LÄRARPROGRAMMET

Representationer i matematik – Konkret och abstrakt undervisning

Mikael Larsson

Examensarbete 15 hp

Vårterminen 2012

Handledare: Lena Westergren

Institutionen för datavetenskap, fysik och

matematik

Linnéuniversitetet

Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik

Arbetets art: Examensarbete, 15 hp

Lärarprogrammet

Titel: Representationer i matematik - Konkret och abstrakt undervisning

Författare: Mikael Larsson

Handledare: Lena Westergren

SAMMANFATTNING

Studiens syfte är att undersöka huruvida lärare använder sig av olika representationer i

sin undervisning samt vilka representationsformer som får mest utrymme i årskurs 1-3

jämfört med årskurs 4-6. Jag ville även få reda på i vilken utsträckning som lärare i de

olika årskurserna använder sig av konkret material och av elevernas erfarenheter samt

hur de ser på användandet av det. Empirin samlades in genom observationer i tre klasser,

årskurs 1, 3 och 6, med efterföljande intervjuer med de undervisande lärarna samt

genom en enkät där 19 lärare från åk1-6 deltog. Resultatet visar att lärarna i årskurs 4-6

använder fler representationsformer i undervisningen än lärarna i årskurs 1-3 men även

att lärarna är mer benägna att använda abstrakta representationer när eleverna blir äldre

och använder mer konkret matematik i årskurs 1-3. Resultatet visar också att lärarna

anser att konkret laborativt material är ett bra hjälpmedel både vid introduktion av nytt

matematiskt innehåll och för att hjälpa elever i svårigheter.

Nyckelord: Abstrakt matematik, Konkret matematik, Representationer

INNEHÅLL

1 INTRODUKTION ..................................................................................................... 3

2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ................................................................... 4

3 BAKGRUND ............................................................................................................ 5

3.1 Representationernas utveckling ............................................................................ 5

3.2 Konkret och abstrakt matematik ........................................................................... 5

3.2.1 Abstrakt och konkret i undervisningen ...................................................... 5

3.3 Representationer ................................................................................................... 7

3.3.1 Representationsformer ............................................................................... 7

3.3.2 Uttrycksformer och processer .................................................................... 8

3.3.3 Representationer vid nytt innehåll ........................................................... 10

4 METOD ................................................................................................................... 11

4.1 Begreppsdefinitioner .......................................................................................... 11

4.2 Metodval ............................................................................................................. 11

4.3 Undersökningsgrupp - urval och bortfall............................................................ 12

4.4 Genomförande .................................................................................................... 12

4.5 Bearbetning av data ............................................................................................ 15

4.6 Etiska aspekter .................................................................................................... 15

5 RESULTAT ............................................................................................................. 16

5.1 Lärarnas användning av olika representationsformer ......................................... 16

5.2 Representationsformernas utrymme i undervisningen ....................................... 16

5.3 Lärarnas användning av konkret undervisning ................................................... 17

6 DISKUSSION ......................................................................................................... 20

6.1 Användandet av olika representationsformer ..................................................... 20

6.2 Variationen i representationsformer ................................................................... 20

6.3 Konkret undervisning ......................................................................................... 21

6.4 Konklusion ......................................................................................................... 22

REFERENSLISTA .......................................................................................................... 23

BILAGA

3

1 INTRODUKTION

När man lär ut matematik i dagens skola möter man ständigt elever med olika

förutsättningar, intressen och tidigare kunskaper. En del av dessa kommer att tycka

att matematik inte är särskilt roligt eller intressant. Det kan kännas som något man

ägnar sig åt i skolan men som inte har särskilt mycket med verkligheten att göra.

Enligt mina egna upplevelser gick undervisningen i skolan åt ett tydligt håll. När

man i de tidigare åren räknar stenar och klossar och så vidare kanske det inte är svårt

att förstå vad man ska ha matematiken till, men när de mer avancerade

räkneövningarna, som kräver flera led av uträkningar, kommer på "tal" finns det en

klart överhängande risk att matematiken för somliga elever lämnar verkligheten och

blir en meningslös isolerad skolkunskap av "varför ska vi kunna det här"-slaget. Jag

tycker mig ha sett att elever har svårigheter med att koppla ihop och applicera sina

matematikkunskaper på verkliga exempel. Skolmatematiken och den verkliga

världen ses som två skilda saker. Jag har under praktik upplevt att lärare i matematik

i de yngre åldrarna arbetar mer med verkliga exempel medan undervisningen i de lite

högre åldrarna är mer verklighetsfrånvänd och sifferbaserad. Jag vill därför

undersöka huruvida det ligger till så eller om det är en annan verklighet som råder.

I skolans läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11

(utbildningsdepartementet, 2011) står följande:

"Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en

förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att

kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang" (s.62)

Enligt läroplanen ska alltså undervisningen syfta till att använda matematiska

uttrycksformer till att lära eleverna kommunicera matematik och koppla den till sin

egen vardag. Matematiken ska med uttrycksformernas hjälp bli diskuterbar och

mindre statisk vilket ytterligare beskrivs i Lgr11 genom att eleverna ska få möjlighet

att utveckla sin förmåga att: "använda matematikens uttrycksformer för att samtala

om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser"

(utbildningsdepartementet, 2011, s. 63).

Matematik är ett stort och viktigt ämne i skolan och det är ett ämne som relativt

många elever stöter på problem med men som de ändå kommer behöva i hela sitt liv.

Matematiken finns överallt och jag anser att återkopplingen till verkligheten är en

essentiell del i att få eleverna att bli intresserade så att de kan finna en mening med

att lära sig den. Därför vill jag undersöka om det finns någon skillnad i lärarnas

arbete med de matematiska uttrycksformerna i olika årskurser och hur de använder

sig av de olika uttrycksformerna. Begreppet uttrycksformer kommer i arbetet att

användas synonymt med begreppet representationsformer. Begreppsförklaringar

finns i avsnitt 4.1.

4

2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR

Studiens syfte är att undersöka huruvida lärare i årskurs 1-3 och årskurs 4-6 använder

sig av olika representationer i sin matematikundervisning och om det är någon

skillnad i förekomsten av representationsformer i årskurserna. Jag vill också ta reda

på lärarnas tankar om när och varför de använder sig av konkret undervisning.

Frågeställningar:

- Vilka representationsformer använder lärarna?

- Hur mycket utrymme ges olika representationsformer av lärare i årskurs 1-3

och årskurs 4-6?

- I hur stor utsträckning varierar lärare representationsformer?

- När och varför använder sig lärarna av konkret undervisning?

5

3 BAKGRUND

3.1 Representationernas utveckling

Matematik är något som existerar i alla kulturer och i alla mänsklighetens tidsåldrar

och den har alltid varit ett hjälpmedel (Szendrei, 1996). På stenåldern användes den

till att räkna olika saker i huvudet och på fingrarna, men sedan överfördes antalet på

något annat. En representation skapades av antalet genom att till exempel dra streck.

Matematiken blev mer avancerad och krävde nya räknemetoder och strategier. Ett

genombrott skedde när abakusen uppfanns, där varje kula på en rad representerade

ett ental och varje kula på nästa rad representerade en full rad kulor på föregående

rad. På så sätt förflyttades representationsleden bort från verkligheten och det

konkreta och in i det abstrakta matematikrummet (Szendrei, 1996). På liknande sätt

som matematiken utvecklades historiskt utvecklar sig matematikarbetet även för våra

elever. De börjar med att räkna sina egna fingrar för att sedan gå vidare till

skolkamrater, bilar, träd, pengar, area, hypotenusa, radie, produkter och så vidare

(Szendrei, 1996)

3.2 Konkret och abstrakt matematik

Med konkret matematik menas matematik som har uppstått ur vardagen. Den kan

förklaras med verkliga exempel eftersom den har tagits från "vanliga människors"

verklighet (Löwing och Kilborn, 2002). Abstrakt innebär enligt

Nationalencyklopedin (2012) "saknande individuella drag eller påtaglighet" och står

som motsats till konkret. Det är alltså något icke påtagligt och till viss mån

odefinierbart. Hur tar det sig uttryck i matematiken? Löwing (2004) menar att all

matematik innehåller någon form av abstraktion, redan ett naturligt tal är en

abstraktion och matematiken handlar i stor grad, särskilt i skolan, om att abstrahera

konkreta saker. Abstrakt och konkret är således ett motsatspar som existerar i

matematiken. En stor del av målet med matematik i skolan är att få eleverna att röra

sig från det konkreta och mot det abstrakta för att kunna räkna mer avancerad

matematik (a.a.). Roth och Hwang (2006) kallar det konkreta för det specifika och

det abstrakta för det generella och menar att konkret matematik endast är isolerad till

den specifika händelsen eller tidpunkten och inte går att använda i andra

sammanhang.

3.2.1 Abstrakt och konkret i undervisningen

Det förespråkas mycket konkretiserad matematik i skolan idag enligt Löwing och

Kilborn (2002). Men är det en universallösning? Löwing (2004) menar att avsikten

med att konkretisera är att man med hjälp av ett material, en erfarenhet eller en

metafor vill belysa ett matematiskt begrepp, samband eller en operation. Det används

då som ett språk för att lyfta fram strukturen eller idén man vill att eleverna skall

uppfatta. Att endast använda ett material för att lösa enstaka problem innebär enbart

en manipulation utan matematiskt djup och ger inte något värde på längre sikt.

Materialen har således inget egenvärde utan fungerar enbart som ett medium för att

förmedla kunskaper på ett djupare plan. "Man kan aldrig konkretisera i sig. Man

måste alltid konkretisera något" (a.a. s.129). Även Szendrei (1996) påpekar riskerna

med att förlita sig blint på konkret material som en mirakeldrog. Hon menar att

materialet i sig inte innebär något lärande utan det är läraren som ger det ett

undervisningsvärde. Hon ser istället ett problem i att lärare förlitar sig mycket på

6

konkret material utan att veta vad de har för tanke bakom användandet. Löwing och

Kilborn (2002) menar också att materialet i sig är dött och det är enbart genom

läraren och undervisningssammanhanget som det kan ges ett värde. De menar vidare

att det idag finns ett ökat tryck på lärare att konkretisera sin undervisning då det har

förespråkats på hög nivå. Det är dock inte alla lärare som utnyttjar den konkreta

undervisningen på rätt sätt. En del lärare försöker till exempel förklara saker med

konkreta medel trots att de inte alltid har en konkret tillämpningsmöjlighet det vill

säga de är inte alltid lätta att använda i verklighetens situationer. De tänkta konkreta

förklaringarna blir då så konstruerade och verklighetsfrånvända att de endast kan

användas i den specifika situationen och ger inte eleverna en förståelse för formeln

eller strukturens egentliga mening och generella användningsområde (Löwing och

Kilborn, 2002).

Bertil Gran (1998) menar att lärare ofta arbetar enligt mönstret att vi börjar i det

abstrakta och teoretiska och sedan förklarar hur vi kan tillämpa begreppet eller teorin

på verkligheten. Vidare säger Gran (1998) att matematiken då verkar högtravande

och verklighetsfrånskild eftersom eleverna inte förstår processen bakom teorin utan

bara får den givna formeln. Man borde istället börja i det praktiska, konkreta och

sedan låta eleverna själva hitta mönster och förstå att vissa generaliseringar och

genvägar är nödvändiga för att matematiken ska bli genomförbar och praktisk. De får

då en annan förståelse för var formlerna kommer ifrån och processerna bakom

matematiken. Löwing och Kilborn (2002) håller med om detta och påpekar det

avgörande i att de begrepp som faktiskt måste införas i skolan kopplas till elevernas

egen verklighet och begreppsvärld så att de kan relatera till innehållet. Görs inte detta

isoleras matematiken till skolmiljön och matematiken känns statisk, tråkig och

oanvändbar. Lyckas man med att koppla matematiken till elevernas egen verklighet

och få den relaterbar känns den betydligt tryggare, mer vardaglig och

anpassningsbar.

Bergsten m.fl. (2001) menar att matematik ska "kännas". Eleverna ska få känna att

de löser problem som de inte hade kunnat lösa utan matematiken. Om detta säger

Heddens (1986) att det gäller att använda logiskt tänkande och ha mer fokus på

elevernas tankeprocesser för att eleverna ska förstå sambandet och komma närmare

en mer övergripande förståelse för konkret till abstrakt spektrum. Löwing (2006)

menar att det är just det faktum att matematiken inte bara ska kunna användas i en

konkret situation utan dess generellt giltiga formler ska kunna implementeras i andra

passande hypotetiska situationer. Hon säger att vi lärare ofta använder konkreta

material och situationer och bara antar att de ska ge ett lärande även om

matematikens generella aspekter. Att bara arbeta och vara aktiv räcker emellertid

inte. Eleverna måste även få reflektera över vad de gör. Det konkreta ska istället

användas för att söka mönster i vardagen som sedan kan förenklas till formler och

problembeskrivningar.

Bergsten (2001) skiljer på elever som lärt sig matematik på djupet och de som lärt

sig det på ytan. De som lärt sig på ytan vet hur symboler kan hanteras men är inte

medvetna om varför eller vad det är de symboliserar. De elever som har lärt sig en

djupförståelse kan förstå varför räknereglerna fungerar och förstå grunderna till de

olika sätten att räkna. Roth och Hwang (2006) menar att det inte går att se en rörelse

från abstrakt till konkret utan det är en simultan rörelse åt båda håll eller, ännu bättre,

två parallella rörelser mot samma mål: lärande. Om inte bägge rörelserna finns

förloras lärandet. Finns inte det konkreta så förloras kunskaper i "enbart

skolkunskap" och ifall det abstrakta inte är med blir det bara en osammanhängande

7

hög med meningslösa abstraktioner. "Learning constitutes a movement that negates

the abstract (general) and concrete (particular, singular) and opens up a channel for

sense" (Roth och Hwang, 2006, s.18).

3.3 Representationer

Om man väljer att se konkret och abstrakt som två motsatser som har långt avstånd

emellan sig skulle man kunna kalla representationer för det som är emellan dessa två

(Wittmann, 2005). Enligt Wittmann (2005) bildar representationer av matematiska

objekt, till exempel geometriska former och grafer, ett slags mellanläge mellan

abstrakt och konkret matematik. De kan ses som konkretiseringar av den abstrakta

matematikens koncept och samtidigt abstrakta representationer av verkliga objekt.

Jämfört med abstrakta objekt är de mer konkreta och jämfört med de verkliga

objekten är de mer abstrakta. Goldin och Schteingold (2001) definierar en

representation som något som kan stå för något annat än sig själv men anser

samtidigt att en representation inte kan stå för sig själv utan alltid ingår i ett system

av liknande representationer. Siffran 3 ingår till exempel i flera olika system som till

exempel talraden och har i sig ingen egen betydelse eller värde. Detta påminner till

viss del om det som Löwing och Kilborn (2002) anser om konkret material, som

måste ingå i ett sammanhang och ett bakomliggande matematiskt tänk för att ges

någon mening eller värde.

Stylianou (2009) skriver om representationer att de inte enbart kan ses som isolerade

koncept utan måste ingå i ett större representationssystem där man inte bara ska

kunna kopiera det man ser utan uppfinna och anpassa sitt representationssystem efter

det aktuella målet. Det gäller alltså att som lärare vara medveten om vilka

representationer man använder och ser till så att de passar ihop med de andra

representationerna man har tänkt använda.

3.3.1 Representationsformer

Heddens (1986) menar att fördelen med representationer är att de till skillnad mot de

verkliga objekten går att sätta in i alla situationer och anpassa till alla uppgifter. Det

blir den stora fördelen mot matematik som tas direkt från verkligheten som har vissa

beständiga begränsningar. Genom att arbeta med korrekta representationer av

matematiska objekt kan man påvisa det generella och abstrakta tydligt för eleverna.

Han menar att det mittemellan det abstrakta och konkreta existerar två

klassificeringar till. Dessa kallar han för semikonkret och semiabstrakt. Konkret är

de verkliga objekten med till exempel mätning på verkliga saker och abstrakt är

räkning enbart med siffror och formler. Semikonkret innebär en representation av en

verklig situation, bilder av saker istället för de verkliga sakerna i sig. Semiabstrakt är

då symboliska representationer av konkreta saker men de behöver inte se ut som

sakerna de representerar, till exempel streck som representerar antalet människor

(figur 1).

8

Figur 1. Heddens (1986) modell över abstrakt till konkret-spektrumet

Jerome Bruner (1966) är av en annan åsikt och menar att det finns tre

representationsnivåer. Den handlingsbaserade är den första nivån och begreppen här

existerar bara så länge eleverna kan relatera dem till verkligheten. Den andra nivån är

den bildmässiga, som kan jämföras med Heddens (1986) semikonkreta där verkliga

händelser kan representeras av bilder av olika slag. Den semi-abstrakta kan även den

ingå till viss mån. Den tredje och mest avancerade representationsnivån är den

symboliska och den bygger på att eleven har erfarenheter av de andra nivåerna. Här

sker all matematik med symboler och de handlingsbaserade och bildmässiga

representationerna behövs inte. Bruner (1966) menar att en elev som redan har en bra

förståelse för symboler kan hoppa över de första två nivåerna men i sådana fall finns

det en risk att eleverna inte har några bild- eller handlingsbaserade representationer

som kan rädda upp eventuella svårigheter. Bergsten m.fl. (2001) menar att det är

helhetsbilden som är viktig och att eleverna behöver behärska en mängd olika

aspekter för att kunna förstå matematikens symbolspråk. En elev måste kunna känna

igen en representation och dess struktur för att kunna läsa av dess innehåll och välja

rätt operation. Likaledes behöver eleven kunna läsa av ett innehåll och dess struktur

och skapa en korrekt representation i sitt sinne för att kunna utföra operationen. För

att kunna operera matematiskt, det vill säga utföra problemlösning med olika

generella tillvägagångssätt, krävs alltså att man behärskar alla dessa olika aspekter så

att man kan vandra fritt dem emellan.

3.3.2 Uttrycksformer och processer

Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) menar att det matematiska symbolspråket

behöver förankras i representationsformer som eleverna redan är bekanta med. De

ska förstärkas med det talade och skrivna språket så att de olika översättningarna

mellan representationsformerna kan tolkas utefter elevens egna erfarenheter och på

så sätt bli tryggare och mindre statiskt. Detta är essentiellt för deras

problemlösningsförmåga. Goldin och Schteingold (2001) delar in

representationsformer i inre och yttre representationer där de inre baseras på bland

annat personliga erfarenheter, symboler, problemlösningsstrategier och visuellt

bildskapande och de yttre baseras på matematiska symboler och konkret

läromaterial. De menar att det är i samspelet mellan dessa två som det matematiska

lärandet kan uppstå. En samverkan mellan inre och yttre representationer innebär att

elever behöver få utgå från egna erfarenheter och uttryck. Bergsten m.fl. (2001) delar

in uttrycksformerna i fem olika kategorier:

9

Fysiska - Handlingarna utförs rent fysiskt, exempelvis mäta och väga

Bildmässiga - Sakerna representeras av bilder på papper eller i

huvudet och kan liknas vid Heddens (1986) semikonkreta

Verbala - Tankar och observationer uttrycks i ord, muntligt eller på

papper

Numeriska - Talstreck och siffror får representera verkliga antal som

Heddens (1986) semiabstrakta

Symboliska - De matematiska symbolerna, som t ex. siffror,

bråkstreck och algebraiska symboler används och de behöver inte ha

någon verklig anknytning

Dessa olika uttrycksformer framhäver olika aspekter av ett problem och genom att

översätta mellan dessa kan eleven få andra perspektiv. Översättningarna är inte

identiska och man får alltid något nytt och tappar något annat vid en översättning

mellan uttrycksformer. Det avgörande är att kunna vara flexibel för att lösa

sammansatta matematiska problem. Bergstens m.fl. (2001) representationer kan

liknas vid de uttrycksformer som Lesh (1981) utgår från och avbildar i ett schema,

här omarbetat och översatt av Emanuelsson (1995) (figur 2). I schemat är de

manipulativa modellerna exempelvis grafer eller geometriska figurer, de är alltså

beräkningsbara modeller som läraren och eleven kan förändra och manipulera för att

passa undervisningen. Manipulativa modeller kan ses som en förenkling eller

generalisering av verkligheten men även en konkretisering. De skrivna symbolerna

kan vara allt från antalsstreck till algebrabokstäver, de används för att utföra

beräkningarna och symboliserar och formaliserar problemet så att det kan beräknas.

Det talade språket är ett sätt att beskriva problemet så att tankarna kommer fram på

ett annat sätt. Omvärldssituationer är de konkreta händelserna som kan

partikularisera, det vill säga göra enskilda fall av det generella och knyta an

problemet till elevens verklighet. Bilder innebär statiska bilder som inte är

beräkningsbara eller manipulerbara utan endast används som en illustration för att få

igång tankarna (Lesh 1981, figur 2). Schemat är tänkt att användas av lärare för att

de ska kunna välja rätt arbetssätt till rätt innehåll i undervisningen. Det innehåller

några av de viktigaste processerna som eleverna använder i arbetet med att översätta

mellan olika uttrycksformer (Lesh, 1981).

Figur 2. Emanuelssons (1995) omarbetade schema av Lesh schema över uttrycksformer

10

Emanuelsson (1995) lägger vikt vid att man som lärare är noga med att eleverna ska

förstå de olika sambanden mellan dessa olika representationer eftersom vi vid

problemlösning översätter mellan representationerna för att hitta den mest effektiva

lösningsmetoden. Lesh (1981) å sin sida menar att när en elev förstår ett koncept så

innebär det att den kan utföra några av processerna i figuren och på så sätt utnyttja

konceptet till olika syften och i olika sammanhang. Vid ett arbete kan alltså en elev

börja med en verklig händelse som för att den ska bli beräkningsbar först måste

förenklas till en manipulativ modell då oviktiga variabler förkastas. Sedan går eleven

vidare och symboliserar modellen med skrivna symboler för att kunna räkna med de

siffror som den manipulativa modellen gett. Sedan går eleven tillbaka och

konkretiserar så att det givna resultatet är rimligt i den manipulativa modellen (Lesh,

1981). Emanuelsson (1995) menar att det här schemat pågår ständigt och den stora

skillnaden är att representationerna blir fler, mer stimulerande och avancerade ju mer

matematik som eleverna lär sig och ju högre upp i skolsystemet som de kommer.

3.3.3 Representationer vid nytt innehåll

Stylianou (2009) menar även att representationerna spelar en viktig roll i

genomgångarna av nya koncept då det kan knyta ihop gamla och nya tankar och ge

eleverna en relation mellan dessa. Hon påpekar att lärare gärna bör använda mer än

en representation då alla representationer lägger vikt vid vissa aspekter och är mer

passande för att visa ett speciellt koncept eller en viss process. "Representations are

different ways of showing the same concept” (Stylinau 2009, s.331). Ainsworth,

Bibby och Wood (2002) förespråkar att använda flera olika representationer för att

lära ut matematik. De menar att om elever får översätta mellan olika representationer

som visar olika aspekter av den representerade världen lär de sig en robustare och

mer flexibel matematisk kunskap. Den blir mer anpassad till deras egen förmåga.

Ainsworth m.fl. (2002) menar vidare att det finns stora fördelar för lärande med

kombinationer av representationer. Då begränsas nämligen inte eleverna av styrkorna

och svagheterna från en enda representation. Bergsten m.fl. (2001) säger att ju fler

sätt man kan beskriva ett och samma problem på desto bredare blir ens problembild

och desto fler angreppspunkter fås till det aktuella problemet. Rystedt och Trygg

(2005) förespråkar ett arbete med översättningar mellan representationsformer där

eleverna tilldelas ett så kallat fyrfältsblad innehållande de fem kategorierna:

händelse, bild, tal, ord och formel. Dessa tar sin utgångspunkt i de fem

uttrycksformer som Bergsten m.fl. (2001) förordar ovan. Eleverna får då till exempel

en händelse eller fysisk utgångspunkt och ska sedan översätta till de övriga

uttrycksformerna. Detta tränar eleverna i att tänka på ett problem från olika aspekter

och att förstå att även sifferräkning kan ta sin grund i en verklig händelse. Rystedt

och Trygg (2005) menar på att detta arbetssätt går att ta med sig långt upp i skolans

värld för att koppla samman det generella och det specifika och det abstrakta med det

konkreta. Det är inte en specifik matematik som övas i fyrfältsbladet utan ett mer

rörligt sätt att tänka matematiskt.

11

4 METOD

4.1 Begreppsdefinitioner

Många olika begrepp förekommer i den här studien och här definieras och förklaras

deras innebörd. Dessa begrepp användes vid inhämtningen och bearbetningen av

data. Definitionerna av vad begreppen innebär i den här studien kan ses i Tabell 1.

Tabell 1. Förklaringar av de matematiska begreppen som förekommer i studien

Begrepp Definition Exempel

Konkret Påtaglig, verklig Mäta, räkna verkliga saker

Abstrakt Utan koppling till verklig

händelse eller sak

Räkning med siffror,

formler eller bokstäver

Representationer (används

synonymt med

uttrycksformer)

Alla framställningar av

matematiskt innehåll även

abstrakt och konkret ingår

Allt från att räkna verkliga

saker till att räkna

bokstavsmatematik

Manipulativa modeller Representationer som går

att förändra efter

innehållet som behandlas

Grafer, tabeller,

geografiska figurer med

anpassningsbara

dimensioner

Omvärldssituationer Verkliga och påtagliga

händelser och saker

En låda, en cykel, ett

besök i affären

Konkret material Saker eller material som

kan användas för att göra

matematiken mindre

abstrakt

Knappar, stenar, vågar,

linjaler

Skrivna symboler Allt från antalsstreck till

algebrabokstäver

Antalsstreck, siffror,

algebrabokstäver

Talade symboler Beskrivningar av problem,

situationer och saker

En lärare beskriver

längden på en triangels

sidor och ber eleverna

räkna ut arean

4.2 Metodval

Jag ville få en bild av hur undervisningen i matematik faktiskt ser ut. Enligt

Einarsson och Chirac (2002) är observationer ett bra sätt för att få en förförståelse för

hur det man ska undersöka ser ut. Jag var inte delaktig i undervisningen. Om man

ska se den opåverkade undervisningen ska man, enligt Einarsson och Chiriac (2002)

enbart gå in som observatör. Lärarna informerades inte innan om vad jag skulle

observera för att undervisningen skulle vara naturlig och "som vanligt".

12

För att få en helhetsbild av undervisningen och kunna sätta den i ett sammanhang

valde jag att komplettera med korta intervjuer. För att läraren skulle ges möjlighet att

få svara med egna ord innehöll intervjun frågor med låg grad av standardisering.

Lärarna fick då själva chansen att berätta om sin undervisning och kunde räta ut

eventuella frågetecken från observationstillfället. Syftet med en kvalitativ intervju är

enligt Patel och Davidson (2003) att upptäcka och identifiera egenskaper hos något

eller få veta den intervjuades uppfattningar om något fenomen.

Jag ville undersöka och finna mönster och skillnader mellan olika åldersgrupper i

grundskolans tidigare år. För att kunna göra det behövde jag en mängd resultat och

då krävs det enligt Stukát (2011) att en kvalitativ studie genomförs. Då kan resultatet

användas för att generaliseras och jämföras. En kvantitativ undersökning kräver att

man har ett större antal svarande för att resultatet ska bli någorlunda trovärdigt

(Stukát, 2011). Därför valde jag att utforma en enkät. På så sätt kunde samtliga lärare

få samma frågor och de kunde svara när de själva har tid och utan att den som

undersöker är närvarande, vilket gör att fler lärare kunde svara på frågorna. För att

kunna konstruera frågor som passar till studien måste först problemområdena och

syftet definieras så att de blir rätt anpassade (Eljertsson, 1996).

4.3 Undersökningsgrupp - urval och bortfall

I mina frågeställningar utgick jag från lärarnas perspektiv och därför var det enbart

lärare som ingick i undersökningsgruppen. Jag valde att utföra mina olika

undersökningar på skolor där jag känner lärarna sedan tidigare, vilket blev på två

skolor i södra Sverige. Jag ville ha svar från samtliga lärare som ansvarar för

matematikundervisningen i årskurserna 1-6. För att få svar på mina frågeställningar

är samtliga lärare som är med i undersökningarna ansvariga för undervisningen i

matematik eftersom de som inte undervisar i matematik kunde tänkas ge en

missvisande bild av en planerad och måldriven matematikundervisning. Tre lärare

deltog i observationer och intervjuer. Dessa arbetar på samma skola och ansvarar för

matematiken i klasserna 1, 3 och 6 så att jag fick se de äldsta och yngsta eleverna i

mitt undersökningsområde och kunde se om det existerade någon skillnad mellan de

årskurserna. Tanken med att lärarna är från samma skola var att skolan har

gemensamma riktlinjer för hur man lär ut matematik och då skulle inte resultaten

skilja sig åt för att lärarna har olika riktlinjer och mål med sin undervisning. Att jag

valde dessa klasser har också att göra med att jag har varit i dem tidigare på praktik

och till viss del känner både lärare och elever. Då påverkar inte min närvaro läraren

och klassen eftersom de är mer vana vid mig. Enkäten delades ut till alla lärare, som

undervisar i matematik, på de två skolorna. Av 25 utdelade enkäter svarade 19 lärare,

10 lärare i årskurs 1-3 och 9 lärare i årskurs 4-6.

4.4 Genomförande

Observationsmodellen var en egen modifiering av Lesh (1981) och Emanuelsson

(1995) från avsnitt 3.3.2 där fem olika uttrycksformer presenteras. Jag valde att ta

bort uttrycksformen "bilder" då jag tyckte att dokumentationen av observationen

skulle bli betydligt svårare om den uttrycksformen fanns med eftersom den är lik

manipulativa modeller och i vissa fall även kunde ingå i den kategorin. Einarsson

och Chiriac (2002) säger att man ska ha observationskriterier som utesluter varandra.

Det betyder att en sak inte får kunna ingå i två olika kategorier. Modellen jag följde

kan istället ses som en fusion av Lesh (1981) och Heddens (1986) modell för att dela

in graden av abstraktion på de manipulativa modellerna och de skrivna symbolerna

13

(figur 1). De manipulativa modellerna delades in i semi-konkreta och semi-abstrakta

och de skrivna symbolerna delades in i semi-abstrakta och abstrakta.

Omvärldssituationerna kunde direkt översättas till Heddens (1986) konkret och de

talade symbolerna till abstrakt. Observationsmodellen bildade sedan grunden för ett

observationsprotokoll som användes vid observationerna (bilaga 1). Jag observerade

hur ofta de olika uttrycksformerna förekom och dessutom hur ofta de olika

processerna som hör samman med uttrycksformen användes. Var gång läraren sa åt

eleverna att de skulle göra en viss process eller syftade på en uttrycksform så räknade

jag det som en förekomst av den uttrycksformen och processen. Om en lärare till

exempel ritade upp en rektangel på tavlan och sa att detta föreställde hennes hustomt

så använde läraren sig av en manipulativ modell och partikulariserade denna. Detta

gjordes för att kunna kartlägga vilka representationsformer lärarna använder och i

hur stor utsträckning lärarna varierar representationsformerna i den observerade

undervisningen samt för att kunna jämföra detta med de andra observerade

undervisningarna.

Jag bad lärarna att ha någon form av genomgång för att jag skulle ha liknande

lektionsinnehåll att observera. Observationerna genomfördes i tre klasser med en

observerad lektion i varje klass. Lektionen i årskurs 1 handlade om en introduktion i

volym medan lektionen i årskurs 3 var en repetition av subtraktion med

hundratalsövergångar och lektionen i årskurs 6 var en introduktion till begreppet pi

(π) och hur man räknar area på cirklar. Alla lektionerna var på 60 minuter och jag

upplevde inte att min närvaro störde i den vanliga undervisningen.

Intervjuerna genomfördes med de lärare som undervisade i de observerade

lektionerna. Frågorna hade en hög grad av standardisering och låg grad av

strukturering (Patel & Davidsson, 2003) då samma frågor ställdes till de olika lärarna.

Intervjuerna varade mellan 5 och 10 minuter och genomfördes i utrymmen där

läraren kunde tala ostört och fritt. Frågorna var av öppen karaktär just för att de mest

var tänkta som ett komplement till observationen. Vid skapandet av frågorna utgick

jag ifrån Patel och Davidssons (2003) kriterier om hur öppna intervjufrågor skall

ordnas och formuleras. Frågorna skulle komplettera observationerna så att jag skulle

få en större bild av undervisningen samt undersöka lärarnas inställning till hur man

lär ut matematik.

Frågorna var:

Vad var ditt mål med lektionen?

Hur introducerar du vanligtvis nytt matematiskt innehåll?

Vad har du för strategi om en elev har svårigheter?

Intervjuerna spelades in på band med de intervjuades medgivande. Efter intervjuerna

användes inspelningarna för att transkribera intervjuerna och sedan togs

inspelningarna bort.

Efter att observationer och intervjuer var genomförda bearbetades insamlad data och

kategoriserades efter studiens syfte och frågeställningar. Detta resultat togs i

beaktande när enkäten formulerades. Lärarnas introducering av nytt innehåll var till

exempel något som jag förstod var viktigare än jag från början trodde. På så sätt

kunde enkätens frågor preciseras och bestämmas med anpassning efter det som kom

fram i det resultatet. Vid formulerandet av frågorna utgicks det till stor del efter

Eljertsson (1996) och Trost (1994) och de kriterier som presenteras för

konstruerandet av enkätfrågor. Enligt dem ska man börja med neutrala frågor som

14

ger information om bakgrundsvariabler som exempelvis vilken årskurs lärarna

arbetar. Vid hög strukturering och standardisering bör man också undvika långa

frågor, ledande frågor, negationer, förutsättande frågor och "varför"-frågor. Vid fasta

svarsalternativ bör de vara fler än tre och gärna udda. Det är dessutom viktigt att man

undviker alltför svåra ord och försöker få frågorna att omfatta alla delar av

frågeställningarna. Jag utgick mycket från observationsmodellen (figur 3) när jag

skulle formulera frågorna. Eftersom jag inte kunde formulera frågor som motsvarade

Eljertssons (1996) kriterier och svarar på lärarnas användning av skrivna symboler

och talade symboler så valde jag att fokusera på deras manipulativa modeller och

omvärldssituationer. Frågorna formulerades utefter frågeställningarna och till slut

bestod enkäten av 7 frågor (Bilaga 2). Den första frågan var en kategoriseringsfråga

avsedd för att de lärare som svarade på enkäten skulle kunna sorteras in efter vilka

årskurser de arbetar i. De följande fem var graderingsfrågor där lärarna själva skulle

gradera svaret från alltid till aldrig. Vid dessa frågor fanns det även plats för lärarna

att lämna egna kommentarer till frågan. Den sista frågan var en graderingsfråga där

lärarna fick sätta kryss på en streckad linje om var de anser sig lägga tonvikten i sin

undervisning, även den med plats för kommentarer. Frågorna kan därför

kategoriseras som varande i hög grad av struktur enligt Patel och Davidsson (2003)

och även Trost (1994).

Figur 3. Observationsmodellen. Den är en omarbetning och fusion av Emanuelsson (1995)

och Heddens (1986) modeller.

15

4.5 Bearbetning av data

När observationer, intervjuer hade genomförts och enkäten hade formulerats och

blivit insamlad bearbetades data från dessa. Framkomna data ställdes upp och

jämfördes med varandra för att avgöra om det fanns någon skillnad. Intervjuernas

transkriberingar undersöktes noga och lärarnas svar kategoriserades och tolkades

utefter vilken av frågeställningarna de kunde ge svar på. Svaren på

graderingsfrågorna i enkäten kategoriserades även de och analyserades och sedan

fördes de in i diagram tillverkade i Excel. Diagrammen utfördes på liknande sätt för

att data skulle kunna jämföras och åskådliggöras på ett tydligt sätt (Eljertsson, 1996).

Kommentarerna från enkäten valde jag att kategorisera och de som jag ansett viktiga

eller intressanta presenteras i resultatdelen. Här utgick jag från Patel och Davidsson

(2003) samt Stukat (2011) om hur man presenterar kvalitativa undersökningar av

detta slag.

4.6 Etiska aspekter

När man genomför en undersökning finns det vissa etiska överväganden som

Vetenskapsrådet (2002) har utformat för att skydda de som tillhör urvalsgruppen från

bland annat kränkande behandling och förödmjukelse eller andra negativa följder

(a.a.). Det är viktigt att informera om studiens syfte och hur de insamlade uppgifterna

kommer att användas och behandlas. Deltagarna ska informeras om att de deltar på

frivillig basis och kan avbryta när de vill. De ska också få vara anonyma och inte

kunna identifieras av sina svar som framkommer i arbetet. Dessutom är det viktigt att

uppgifterna som samlats in endast används för enkätens ändamål och inget annat

(a.a.) Jag har utgått från dessa krav och alla deltagare i enkät, observation och

intervju blev informerade om detta. För att en undersökning ska vara tillförlitlig finns

det två viktiga aspekter att ta hänsyn till. Den första av dessa är validitet. Validitet

handlar om huruvida forskningen verkligen avspeglar det som den är avsedd att

undersöka. Har frågorna och undersökningsverktygen utarbetats på rätt sätt för att få

svar på frågeställningarna och har sedan korrekta analyser av det undersökta

genomförts (Einarsson och Chiriac, 2002). För att förstärka validiteten har jag använt

mig av flera undersökningsmetoder för att definiera frågeställningarna så att jag

verkligen undersöker det jag vill undersöka. Den andra viktiga aspekten att ta i

beaktande är reliabiliteten. Reliabilitet handlar istället om säkerheten i att

undersökningen stämmer, om det finns en överensstämmelse vid de olika

insamlingstillfällen, om den som observerar är konsekvent vid de olika

observationstillfällena och att det inte finns utrymme för misstolkningar i

observationsschemat. Ett resultat där de olika delarna pekar på samma resultat är ett

tecken på god reliabilitet (a.a.). Genom att använda flera olika undersökningstekniker

blir det lättare att veta om de undersökningar som gjorts verkligen har svarat på

forskningsfrågan.

16

5 RESULTAT

5.1 Lärarnas användning av olika representationsformer

I årskurs 1 förekom det mest talade symboler och omvärldssituationer medan det i

klass 3 nästan mest var talade symboler och skrivna symboler. I klass 6 förekom

samtliga representationsformer ganska jämnt fördelat med skrivna symboler som

minst förekommande(figur 4).

Figur 4. Antal gånger olika representationsformer förekom under lärarledda lektioner

5.2 Representationsformernas utrymme i undervisningen

Lärarnas användning av exempel från elevernas verklighet/intressen i sin

undervisning skiljer sig mellan årskurserna 1-3 och 4-6. Två av tio lärare i årskurs 1-

3 använder alltid exempel från elevernas verklighet och fem stycken använder det

ofta, medan mer än hälften av lärarna i årskurs 4-6 använder sig av den ibland.

Lärarna i årskurs 1-3 ger alltså exempel från elevernas verklighet mer utrymme i

undervisningen (figur 5).

"När det är möjligt. Centrala innehållen styr oss ganska mycket, men inom dem kan man

hitta utrymme för detta." (Lärare årskurs 6)

"Vid genomgångar brukar jag ta exempel på det som ligger nära dem. Jag använder deras

namn i olika räkneberättelser" (Lärare i årskurs 3).

Figur 5. Hur ofta lärarna i årskurs 1-3 och 4-6 använder sig av elevernas

verklighet/intressen i sin undervisning

17

Mer än hälften av lärarna i årskurs 1-3 använder sig av manipulativa modeller ibland

och mer än hälften av lärarna i årskurs 4-6 använder sig av dem ofta, vilket innebär

att lärarna i årskurs 4-6 ger manipulativa modeller mer utrymme i sin undervisning.

(figur 6).

Figur 6. Hur ofta lärarna i årskurs 1-3 och 4-6 använder sig av manipulativa modeller i sin

undervisning

5.3 Lärarnas användning av konkret undervisning

Två av tio lärare från årskurs 1-3 använder alltid konkret material medan två av nio

lärare i årskurs 4-6 sällan använder konkret material. Lärarna i årskurs 1-3 använder

sig alltså mer av konkret material i sin undervisning än lärarna i årskurs 4-6 (figur 7).

"Jag använder det vid varje arbetsområde för att förtydliga det vi håller på med." (Lärare

årskurs 2)

Figur 7. Hur ofta lärarna i årskurs 1-3 och 4-6 använder sig av konkret material i sin

undervisning

Lärarna i årskurs 1-3 och 4-6 utgår från konkret material i stort sett i samma

utsträckning när de introducerar nytt matematiskt innehåll. Deras svar visar på en

viss skillnad mellan lärarna i 1-3 och 4-6 men de flesta, 8 av 10 i årskurs 1-3 och 6

av 9 i årskurs 4-6, använder det alltid eller ofta (figur 8).

"Alltid när det lämpar sig" (Lärare årskurs 6)

18

Figur 8. Lärarna i årskurs 1-3 och 4-6 användning av konkret material vid introducering av

nytt matematiskt innehåll

Alla intervjuade lärare är överens om att konkret material ska användas när något

nytt matematiskt innehåll skall behandlas. Läraren i årskurs 3 uttrycker det såhär:

Då använder jag mycket konkret material. Pengar är en sån sak som jag använder

ofta. För det vet dom vad det är. De har lättare att se det. När vi började med

algoritmer i höstas, då hade vi pengar och la för det här med att man lånar och det

här för det är enklare att förstå (Lärare årskurs 3)

Läraren i årskurs 1 pekar på det avgörande i att eleverna kan knyta an till det som

undervisningen riktar sig mot på ett personligt plan:

För att eleverna ska kunna förstå något nytt så måste de kunna koppla till sig själva,

därför brukar jag alltid börja med något praktiskt och sedan lägga på annat

(Läraren årskurs 1).

Att börja med något bekant för eleverna och bygga vidare är något som läraren i

årskurs 6 höll med om och att det är en trygghet när det kommer något nytt:

Jag använder mycket konkret material när det är något nytt. Ofta använder jag

pengar för att visa algoritmerna för då har de lättare att se det (Lärare årskurs 6)

Samtliga intervjuade lärare tycker det är viktigt att kunna arbeta konkret och att det

är ett sätt att nå eleverna.

Du måste använda konkret material för att annars så går det inte. Bara en siffra på

en tavla, det fungerar inte (Lärare årskurs 6)

Att det konkreta även är ett bra sätt att förenkla och något att återvända till vid

svårigheter betonas starkt av en av lärarna och att det konkreta kan vara en trygghet

eller ett stöd för eleverna som kanske inte behövs men som är skönt att veta att det

finns. De behöver kanske ha konkret material ännu längre. Sen vet de att de har pengarna

och en del använder sig mycket av pengar. Och vi har knappar och klossar och olika

grejer. Och ett tag så var det en del som ville använda sig av kulram. Men nu har

det släppt. Det är inte ofta de går och hämtar (Lärare årskurs 3)

Alla intervjuade lärarna lägger tonvikt vid att matematik handlar om samband och

för att få eleven att förstå så är det sambanden i matematiken som man ska förstärka.

19

De behöver få se att saker och ting hör ihop och att man kan förklara någonting på

olika sätt och att det ändå är samma sak. Att matematiken inte blir annorlunda bara

för att det är i ett annat sammanhang (Lärare årskurs 6)

Läraren i årskurs 1 pekar på det avgörande i att elever har olika sätt att ta till sig

kunskap och att det gäller att arbeta på en mängd olika sätt för att nå ut till så många

elever som möjligt:

Göra det flera gånger fast på olika sätt. Man kan förklara på olika sätt, man kan

vända på olika sätt. Använda olika material, olika praktiskt material. Men gärna

mycket praktiskt material att man vrider på problemet på olika håll och försöka

förklara på olika sätt (Lärare i årskurs 1)

Lärarna i både 1-3 och 4-6 anser att man ofta eller alltid ska använda konkret

material i sin undervisning och 3 stycken i årskurs 4-6 att det konkreta materialet ska

användas ibland. Ingen av lärarna i enkäten har dock svarat sällan eller aldrig

Lärarnas inställning till hur mycket man bör använda sig av konkret material i sin

undervisning skiljer sig alltså inte så mycket (figur 9).

"Målet är att barnen ska klara sig utan konkret material men måste få använda det så länge

de behöver"( Lärare årskurs 3)

"Många elever förstår abstrakt. Vissa moment kan behövas gnuggas och då med konkret

material = nödvändigt" (Lärare årskurs 3)

"När det känns relevant" (Lärare årskurs 5)

"Många elever får en bättre förståelse när de får använda fler sinnen" (Lärare årskurs 6)

Figur 9. Lärarna i årskurs 1-3 och 4-6 inställning till hur mycket man bör använda sig av

konkret material i undervisningen

Samtliga lärare från årskurs 1-3 anser att de lägger större tonvikt i sin undervisning

på konkret matematik än på abstrakt matematik. Lärarna i årskurs 4-6 är mer spridda

i sin uppfattning. Lärarna i årskurserna 1-3 lägger jämförelsevis mer tonvikt vid den

konkreta matematiken än lärarna i årskurs 4-6.

"Jag börjar konkret för att sen gå mot abstrakt"(Lärare årskurs 6).

20

6 DISKUSSION

6.1 Användandet av olika representationsformer

Lärarna i årskurs 1-3 använder sig mest av exempel från elevernas verklighet och

konkret material. De ger inte samma utrymme i sin undervisning för manipulativa

modeller. Löwing (2004) anser att konkret material är dött och att det endast är ett

medium för att förmedla kunskaper på en mer elevnära nivå. Jag tror att lärarna i

årskurs 1-3 är medvetna om att det är så och att de använder de mer konkreta

representationsformerna eftersom de ser behovet av att konkretisera matematiken för

att eleverna ska förstå. Att lärare i 4-6 inte i samma utsträckning använder sig av

omvärldssituationer och verkliga exempel utan ger mer utrymme åt manipulativa

modeller är något som Löwing och Kilborn (2002) förklarar med att matematiken på

högre nivåer kan bli svår att förklara med bra exempel från verkligheten eftersom det

då blir en för konstruerad förklaring som ändå inte känns verklig eller förklarar

innehållet. vilket Jag tycker ändå det känns som något som borde kunna förbättras.

Att mer avancerad matematik ofta blir mer abstrakt är visserligen logiskt men

eleverna i de högre årskurserna ska förutom att lära sig mer avancerad matematik

även behärska flera sätt att tolka verkligheten och abstrahera den. På så sätt borde det

gå att använda exempel från verkligheten som eleverna får översätta i flera led på

egen hand för att kunna lösa problemet och förstå de matematiska reglerna eller

sambanden. Enligt Bergsten m.fl. (2001) ska eleverna ständigt ha tillgång till

samtliga representationer för att kunna översätta mellan dessa i sambands- och

problemslösningssyfte. Det betyder att lärare även om det kanske inte är lika lätt

borde anstränga sig för att även i årskurs 4-6 använda exempel från elevernas

verklighet och även att lärarna i årskurs 1-3 borde tänka på att de kan använda sig av

manipulativa modeller när det finns möjlighet.

6.2 Variationen i representationsformer

Under observationerna märktes det stora skillnader i vilka former av representationer

som förekommer i de olika årskurserna. Observationen var dock bara vid ett tillfälle

och kan inte sägas spegla hela den observerade lärarens undervisning. Samtliga

representationsformerna förekommer i ungefär samma utsträckning i årskurserna 4-

6. Lärarna i de klasserna arbetar varierat med olika representationer de använder

konkret material och omvärldssituationer men också manipulativa modeller i samma

utsträckning. Lärarna i årskurserna 1-3 arbetar däremot mest med konkret material

och exempel från verkligheten och ger manipulativa modeller mindre utsträckning.

De varierar inte representationsformerna i samma utsträckning. Emanuelsson (1986)

menar att processen abstrakt till konkret pågår ständigt och den stora skillnaden är att

representationerna blir fler och mer avancerade. Eleverna i årskurserna 4-6 kan

använda mer abstrakta former av representationer eftersom de redan har tillgång till

dessa och kan implementera dem på olika problem. Av detta kan man dra slutsatsen

att lärarna i årskurs 4-6 har tillgång till fler och mer avancerade representationer så

att de kan variera sin undervisning och arbeta mer obehindrat med alla

uttrycksformer i modellen. Lärarna i årskurs 1-3 måste arbeta med mer konkret

material för att nå elevernas matematikkunskaper och deras abstraktionsnivå. De har

inte samma möjlighet att variera sin undervisning mellan de olika

representationsformerna eftersom eleverna in kan ta till sig lika många

representationer än.

21

Att arbeta med flera olika representationsformer ser lärarna som ett sätt att nå fram

till elevernas kunskaper. Särskilt då en elev hamnar i svårigheter gäller det att, enligt

en lärare "Göra det flera gånger fast på olika sätt. Man kan förklara på olika sätt, man

kan vända på olika sätt" (Lärare årskurs 1). Även Emanuelsson (1995) menar att det

är viktigt att kunna översätta mellan de olika representationerna för att man vid

problemlösning går mellan olika representationsformer för att hitta den bästa

lösningen. När det gäller svårigheter vill lärarna använda sig av så många olika

representationer som möjligt och varierar dem för att eleverna ska kunna angripa

problemet på olika sätt. Men borde inte det även vara fallet i den vanliga

undervisningen också? Att visa något på många olika sätt för elever som lär sig på

olika sätt känns ganska självklart när man tänker efter och borde kanske vara

standard istället för något som endast görs för den som ligger efter. Om lärarna kan

variera undervisningen för att hjälpa en elev vidare borde de väl kunna variera

undervisningen för att hjälpa 20 elever att förstå och komma vidare? Ainsworth,

Bibby och Wood (2002) menar att flera representationsformer är en fördel eftersom

alla de olika formerna har sina styrkor och svagheter som kompletterar varandra.

Likadant är det med eleverna som har styrkor och svagheter inom matematik och

behöver få se problemen på ett sätt som de kan förstå.

6.3 Konkret undervisning

Lärarna, såväl i enkäter som i intervjuer verkar ofta förespråka användandet av

konkret material vid introducering av nytt matematiskt innehåll. En relativt stor del

av de tillfrågade lärarna svarar till och med att de alltid gör det. Detta i motsats till

vad Bertil Gran (1998) säger om att lärare ofta utgår från det teoretiska och abstrakta

för att sedan försöka koppla in det praktiska. Stylianou (2009) stödjer lärarna i att

använda konkreta representationer vid genomgången av nya koncept. Hon menar att

dessa är avgörande för förståelsen eftersom de knyter ihop nya och gamla tankar och

sätter dessa i relation. Eller som en lärare uttryckte det i en intervju:

För att eleverna ska kunna förstå något nytt så måste de kunna koppla till sig själva,

därför brukar jag alltid börja med något praktiskt och sedan lägga på annat

(Lärare årskurs 1)

Wittmann (2005) menar att representationer och konkret material är det bästa sättet

att förbereda elever i att applicera matematiken på mer generella situationer. Han

menar dock att det kan finnas en fara i att använda för konkret material eftersom de

är laddade med olika inbyggda begränsningar som kan göra att det matematiska

sambandet går förlorat. En del av lärarna använder sig alltid av konkret material och

då är ju frågan om de är medvetna om att begränsningarna som Wittmann (2005)

nämner existerar. Tar de i beaktande att det finns risker även med att arbeta konkret?

Även Heddens (1986) menar att representationer är ett bättre alternativ än konkret

material just för att alla aspekter inte kommer fram.

Lärare som undervisar i olika årskurser har olika förutsättningar att använda sig av

konkret material i undervisningen. De har egna läroplansmål och kunskaper som

eleverna ska lära sig. Men enligt resultatet skiljer sig inte lärarnas attityder till

konkret material särskilt mycket i de olika åldrarna. Lärarnas användande av konkret

matematik och omvärldssituationer skiljer sig däremot en hel del. Man kan då tänka

sig att lärarna utefter egen förmåga och möjlighet försöker få in den konkreta

matematiken i sin undervisning.

22

6.4 Konklusion

Jag tror det är bra att som lärare bara vara medveten om att det finns olika

representationer av matematik. Att representationsformerna kan användas för att,

istället för att övergripande arbeta från konkret till abstrakt, kunna dela upp

undervisningen i delmål där man lättare kan inrikta sig på var eleverna ligger i sin

abstraktionsprocess. Som lärare kan man också tänka på att bara för att eleverna

klarar av att använda mer abstrakta representationer av matematik så innebär inte det

att de mer konkreta representationerna inte kan användas för att återkoppla till

verkligheten. Elever löser problem på olika sätt och lär sig på olika sätt och med

representationsformernas hjälp kan man variera sin undervisning så att eleverna får

utveckla sitt eget sätt att räkna på ett effektivt sätt samtidigt som de själva kan

relatera till undervisningen.

Det skulle vara intressant att gå mer på djupet och svara på varför lärare i årskurs 4-6

använder sig mindre av konkret matematik och om det är bra eller dåligt för

undervisningens bredd och se lärares medvetenhet om representationer och om de

tänker på dem när de planerar sin matematikundervisning. Det skulle vara intressant

att följa lärarnas arbete med olika representationsformer under en längre tid och se

om de olika sätten att arbeta med representationsformer i matematik leder till olika

resultat bland eleverna och se om/hur arbetssättet förändras med tiden mot abstrakt

eller konkret. Modellen som jag tillverkat skulle kunna användas för att se

förekomsten av de olika representationsformerna i undervisningen men kanske

knutet till ett visst matematiskt innehåll. Arbetar lärare mer med konkreta

representationsformer när de lär ut till exempel geometri?

Efter mycket läsande och skrivande om detta ämne tänker jag mig

matematikundervisningen med konkret och abstrakt lite som en verktygslåda som

sakta fylls på. Från början kanske man bara har hammaren(verkligheten) och då kan

man inte lösa särskilt många olika uppgifter hur mycket man än bankar, men sedan

fylls det på med skruvmejslar, vinkelhakar, bandsågar, bågfilar och andra abstrakta

representationer. Man får helt enkelt tillgång till fler och mer avancerade verktyg och

abstraktioner och kan välja att använda det som passar bäst för tillfället. Men det

betyder inte att hammaren inte behöver tas fram ibland för lite extra konkret

inbankning.

Stort tack till handledare Lena Westergren och Malin Gardesten för hjälp med att

fånga in virriga och spridda tankar, till nära och kära som har stått ut med osocialt

beteende och stöttat när det gått tungt, till lärare som medverkade i studien och

slutligen till hundarna Tina och Daisy som hjälpt till att lufta tankarna under otaliga

promenader.

23

REFERENSLISTA

Ainsworth, S & Bibby, P & Wood, D (2002). Examining the Effects of Different Multiple

Representational Systems in Learning Mathematics. The journal of the Learning Sciences

vol 11 ( 25 – 61)

Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (2001). Algebra för alla. (1. uppl.) Göteborg:

Nämnaren.

Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Cambridge, Mass.: Belknap

Einarsson, C. & Hammar Chiriac, E.(2002). Gruppobservationer - teori och praktik. Lund:

studentlitteratur.

Eljertsson, G. (1996). Enkäten i praktiken. Lund: Studentlitteratur

Goldin, G A & Schteingold, N. (2001). Systems of representation and the Development of

Mathematical Concepts. I A A. Cuoco(Red) & F R. Curcio(Red) The roles of representation

in school matematics(s. 1-23) National Council of teachers of mathematics

Gran, B. (1998). Matematik på elevers villkor. I B. Gran (Red), Matematik på

elevers villkor (s. 11-22). Lund: Studentlitteratur

Heddens, J. (1986). Bridging the gap between the concrete and the abstract. The Arithmetic

Teacher, 33(6), 14–17

Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av

kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Göteborg: Acta

Universitatis Gothoburgensis

Löwing, M. (2006). Matematikundervisningens dilemman: Hur lärare kan hantera lärandets

komplexitet. Lund: Studentlitteratur.

Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik – för skola, hem och samhälle.

Lund: Studentlitteratur

Malmer, G. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds Förlag AB

Patel, R. & Davidson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder: att planera, genomföra

och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur

Roth, W-M & Hwang, S. (2006). Does Mathematical Learning Occur in Going

from Concrete to Abstract or in Going from Abstract to Concrete? Journal of Mathematical

Behavior 25: 334-344

Rystedt, E. & Trygg, L. (2005). Matematikverkstad: en handledning för att bygga, använda

och utveckla matematikverkstäder. (1. uppl.) Göteborg: Nationellt centrum för

matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet

Stukát, S. (2011). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. Lund:

Studentlitteratur.

Stylianou, D. (2009). Teachers' Conceptions of Representation in Middle School

Mathematics. Journal of Mathematics Teacher Education, 13(4), 325-343

Szendrei, J. (1996). Concrete materials in the classroom. International handbook of

mathematics education. Dordrecht: Kluwer.

Trost, Jan (1994). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur

Utbildningsdepartementet (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och

fritidshemmet, Lgr 11. Västerås: Skolverket och Fritzes

Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer – inom humanistisk-

samhällsvetenskaplig forskning. Vällingby: Elanders Gotab

24

Wittmann, E. (2005). Mathematics as the science of patterns – a guideline for developing

mathematics education from early childhood to adulthood. Mathematical learning from early

childhood to adulthood. (Elektronisk resurs) Hämtad från: http://irem.u-

strasbg.fr/php/publi/annales/sommaires/11/WittmannA.pdf

1

BILAGA 1

Streck för varje gång de olika uttrycksformerna och processerna förekommer.

Skrivna symboler Läser

Konkretiserar

Talade symboler Skriver

Dramatiserar

Omvärldssituationer Förenklar

Beskriver

Manipulativa modeller Partikulariserar

Symboliserar

Manipulativa modeller Semi-konkreta

Semi-abstrakta

Skrivna symboler Semi-abstrakta

Abstrakta

2

Anteckningar:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

3

Bilaga 2

Enkätundersökning

Jag heter Mikael Larson och studerar till lärare på Linneuniversitetet i Kalmar.

Denna enkät kommer till stor del att ligga till grund för min c-uppsats om matematik

i grundskolan. Därför är jag väldigt tacksam att du tar dig tid att besvara frågorna så

noga du kan. De frågor med alternativ sätter du kryss i det alternativ du tycker

stämmer bäst överens och på de med streckad linje sätter du kryss på linjen där du

anser svaret stämma överens med din uppfattning. Till frågorna finns det även rader

som lämnar utrymme för kommentarer till frågan. Om det är någon fråga som du

anser vara svårtolkad så får du gärna skriva hur du har tolkat den.

1. Vilken årskurs är du lärare i?

________________________

2. I hur stor utsträckning använder du dig av konkret material i din

matematikundervisning?

Alltid( ) Ofta( ) Ibland( ) Sällan( ) Aldrig( )

Kommentar:__________________________________________________________

____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

3. När jag introducerar ett nytt matematiskt innehåll utgår jag från konkret material.

Alltid( ) Ofta( ) Ibland( ) Sällan( ) Aldrig( )

Kommentar:__________________________________________________________

____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

4. I hur stor utsträckning anser du att man ska använda sig av konkret material i

undervisningen?

Alltid( ) Ofta( ) Ibland( ) Sällan( ) Aldrig( )

Kommentar:__________________________________________________________

____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

5. I hur stor utsträckning använder du dig av exempel från elevernas

verklighet/intressen i din undervisning?

Alltid( ) Ofta( ) Ibland( ) Sällan( ) Aldrig( )

Kommentar:__________________________________________________________

____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

4

6. I hur stor utsträckning använder du dig av matematiska modeller(diagram,

geometriska figurer...) i din undervisning?

Alltid( ) Ofta( ) Ibland( ) Sällan( ) Aldrig( )

Kommentar:__________________________________________________________

____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

7. Var lägger du tonvikten i din undervisning mellan konkret och abstrakt

matematik?

Konkret------------------------------------------------------------------------Abstrakt

matematik

Kommentar:__________________________________________________________

____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Tack för att du tog dig tid att svara på denna enkät!

Mikael Larsson