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Resampling MethodsCross-validation, Bootstrapping
Marek Petrik
2/21/2017
Some of the figures in this presentation are taken from ”An Introduction to Statistical Learning, with applications in R”(Springer, 2013) with permission from the authors: G. James, D. Wi�en, T. Hastie and R. Tibshirani
So Far in ML
I Regression vs classificationI Linear regressionI Logistic regressionI Linear discriminant analysis, QDAI Maximum likelihood
Discriminative vs Generative Models
I Discriminative modelsI Estimate conditional models Pr[Y | X]I Linear regressionI Logistic regression
I Generative modelsI Estimate joint probability Pr[Y,X] = Pr[Y | X] Pr[X]I Estimates not only probability of labels but also the featuresI Once model is fit, can be used to generate dataI LDA, QDA, Naive Bayes
Logistic Regression
Y =
{1 if default
0 otherwise
Linear regression Logistic regression
0 500 1000 1500 2000 2500
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Predict:Pr[default = yes | balance]
LDA: Linear Discriminant Analysis
I Generative model: capture probability of predictors for eachlabel
−4 −2 0 2 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
01
23
45
I Predict:1. Pr[balance | default = yes] and Pr[default = yes]2. Pr[balance | default = no] and Pr[default = no]
I Classes are normal: Pr[balance | default = yes]
Bayes Theorem
I Classification from label distributions:
Pr[Y = k | X = x] =Pr[X = x | Y = k] Pr[Y = k]
Pr[X = x]
I Example:
Pr[default = yes | balance = $100] =
Pr[balance = $100 | default = yes] Pr[default = yes]
Pr[balance = $100]
I Notation:
Pr[Y = k | X = x] =πkfk(x)∑Kl=1 πlfl(x)
LDA with Multiple FeaturesI Multivariate Normal Distributions:
x1x1
x 2x 2
I Multivariate normal distribution density (mean vector µ,covariance matrix Σ):
p(X) =1
(2π)p/2|Σ|1/2exp
(−1
2(x− µ)>Σ−1(x− µ)
)
Multivariate Classification Using LDA
I Linear: Decision boundaries are linear
−4 −2 0 2 4
−4
−2
02
4
−4 −2 0 2 4
−4
−2
02
4
X1X1
X2
X2
QDA:�adratic Discriminant Analysis
−4 −2 0 2 4
−4
−3
−2
−1
01
2
−4 −2 0 2 4−
4−
3−
2−
10
12
X1X1
X2
X2
Confusion Matrix: Predict default
TrueYes No Total
Predicted Yes a b a+ bNo c d c+ dTotal a+ c b+ d N
Result of LDA classification: Predict default ifPr[default = yes | balance] > 1/2
TrueYes No Total
Predicted Yes 81 23 104No 252 9 644 9 896Total 333 9 667 10 000
Today
I Successfully using basic machine learning methodsI Problems:
1. How well is the machine learning method doing2. Which method is best for my problem?3. How many features (and which ones) to use?4. What is the uncertainty in the learned parameters?
I Methods:1. Validation set2. Leave one out cross-validation3. k-fold cross validation4. Bootstrapping
Today
I Successfully using basic machine learning methodsI Problems:
1. How well is the machine learning method doing2. Which method is best for my problem?3. How many features (and which ones) to use?4. What is the uncertainty in the learned parameters?
I Methods:1. Validation set2. Leave one out cross-validation3. k-fold cross validation4. Bootstrapping
Problem: How to design features?
50 100 150 200
10
20
30
40
50
Horsepower
Mile
s p
er
gallo
n
Linear
Degree 2
Degree 5
Benefit of Good Features
0 20 40 60 80 100
−10
010
20
X
Y
2 5 10 200
510
15
20
Flexibility
Mean S
quare
d E
rror
gray: training error red: test error
Just Use Training Data?
I Using more features will always reduce MSEI Error on the test set will be greater
0 20 40 60 80 100
24
68
10
12
X
Y
2 5 10 20
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Flexibility
Me
an S
qua
red E
rror
gray: training error red: test error
Just Use Training Data?I Using more features will always reduce MSE
I Error on the test set will be greater
0 20 40 60 80 100
24
68
10
12
X
Y
2 5 10 20
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Flexibility
Me
an S
qua
red E
rror
gray: training error red: test error
Just Use Training Data?I Using more features will always reduce MSEI Error on the test set will be greater
0 20 40 60 80 100
24
68
10
12
X
Y
2 5 10 20
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Flexibility
Me
an
Sq
ua
red
Err
or
gray: training error red: test error
Solution 1: Validation Set
I Just evaluate how well the method works on the test setI Randomly split data to:
1. Training set: about half of all data2. Validation set (AKA hold-out set): remaining half
!"!#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$!
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I Choose the number of features/representation based onminimizing error on validation set
Solution 1: Validation Set
I Just evaluate how well the method works on the test setI Randomly split data to:
1. Training set: about half of all data2. Validation set (AKA hold-out set): remaining half
!"!#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$!
%!!""!! #!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!& !
I Choose the number of features/representation based onminimizing error on validation set
Feature Selection Using Validation Set
0 20 40 60 80 100
24
68
10
12
X
Y
2 5 10 200.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Flexibility
Mean S
quare
d E
rror
gray: training error red: test error (validation set)
Problems using Validation Set
1. Highly variable (imprecise) estimates: Each line showsvalidation error for one possible division of data
2 4 6 8 10
16
18
20
22
24
26
28
Degree of Polynomial
Me
an
Sq
ua
red
Err
or
2 4 6 8 10
16
18
20
22
24
26
28
Degree of PolynomialM
ea
n S
qu
are
d E
rro
r
2. Only subset of data is used (validation set is excluded – onlyabout half of data is used)
Problems using Validation Set
1. Highly variable (imprecise) estimates: Each line showsvalidation error for one possible division of data
2 4 6 8 10
16
18
20
22
24
26
28
Degree of Polynomial
Me
an
Sq
ua
red
Err
or
2 4 6 8 10
16
18
20
22
24
26
28
Degree of PolynomialM
ea
n S
qu
are
d E
rro
r
2. Only subset of data is used (validation set is excluded – onlyabout half of data is used)
Solution 2: Leave-one-out
I Addresses problems with validation setI Split the data set into 2 parts:
1. Training: Size n− 12. Validation: Size 1
I Repeat n times: to get n learning problems
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Leave-one-outI Get n learning problems:
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I Train on n− 1 instances (blue)I Test on 1 instance (red)
MSEi = (yi − yi)2
I LOOCV estimate
CV(n) =1
n
n∑i=1
MSEi
Leave-one-out vs Validation Set
I Advantages
1. Using almost all data not just half2. Stable results: Does not have any randomness3. Evaluation is performed with more test data
I Disadvantages
I Can be very computationally expensive: Fits the model n times
Leave-one-out vs Validation Set
I Advantages1. Using almost all data not just half
2. Stable results: Does not have any randomness3. Evaluation is performed with more test data
I Disadvantages
I Can be very computationally expensive: Fits the model n times
Leave-one-out vs Validation Set
I Advantages1. Using almost all data not just half2. Stable results: Does not have any randomness
3. Evaluation is performed with more test data
I Disadvantages
I Can be very computationally expensive: Fits the model n times
Leave-one-out vs Validation Set
I Advantages1. Using almost all data not just half2. Stable results: Does not have any randomness3. Evaluation is performed with more test data
I Disadvantages
I Can be very computationally expensive: Fits the model n times
Leave-one-out vs Validation Set
I Advantages1. Using almost all data not just half2. Stable results: Does not have any randomness3. Evaluation is performed with more test data
I Disadvantages
I Can be very computationally expensive: Fits the model n times
Leave-one-out vs Validation Set
I Advantages1. Using almost all data not just half2. Stable results: Does not have any randomness3. Evaluation is performed with more test data
I DisadvantagesI Can be very computationally expensive: Fits the model n times
Speeding Up Leave-One-Out
1. Solve each fit independently and distribute the computation
2. Linear regression:
I Solve only one linear regression using all dataI Compute leave-one-out error as:
CV(n) =1
n
n∑i=1
(yi − yi1− hi
)2
I True value: yi, Prediction: yiI hi is the leverage of data point i:
hi =1
n+
(xi − x)2∑nj=1(xj − x)2
Speeding Up Leave-One-Out
1. Solve each fit independently and distribute the computation
2. Linear regression:
I Solve only one linear regression using all dataI Compute leave-one-out error as:
CV(n) =1
n
n∑i=1
(yi − yi1− hi
)2
I True value: yi, Prediction: yiI hi is the leverage of data point i:
hi =1
n+
(xi − x)2∑nj=1(xj − x)2
Speeding Up Leave-One-Out
1. Solve each fit independently and distribute the computation
2. Linear regression:I Solve only one linear regression using all data
I Compute leave-one-out error as:
CV(n) =1
n
n∑i=1
(yi − yi1− hi
)2
I True value: yi, Prediction: yiI hi is the leverage of data point i:
hi =1
n+
(xi − x)2∑nj=1(xj − x)2
Speeding Up Leave-One-Out
1. Solve each fit independently and distribute the computation
2. Linear regression:I Solve only one linear regression using all dataI Compute leave-one-out error as:
CV(n) =1
n
n∑i=1
(yi − yi1− hi
)2
I True value: yi, Prediction: yiI hi is the leverage of data point i:
hi =1
n+
(xi − x)2∑nj=1(xj − x)2
Speeding Up Leave-One-Out
1. Solve each fit independently and distribute the computation
2. Linear regression:I Solve only one linear regression using all dataI Compute leave-one-out error as:
CV(n) =1
n
n∑i=1
(yi − yi1− hi
)2
I True value: yi, Prediction: yi
I hi is the leverage of data point i:
hi =1
n+
(xi − x)2∑nj=1(xj − x)2
Speeding Up Leave-One-Out
1. Solve each fit independently and distribute the computation
2. Linear regression:I Solve only one linear regression using all dataI Compute leave-one-out error as:
CV(n) =1
n
n∑i=1
(yi − yi1− hi
)2
I True value: yi, Prediction: yiI hi is the leverage of data point i:
hi =1
n+
(xi − x)2∑nj=1(xj − x)2
Solution 3: k-fold Cross-validationI Hybrid between validation set and LOOI Split training set into k subsets
1. Training set: n− n/k2. Test set: n/k
I k learning problems
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I Cross-validation error:
CV(k) =1
k
k∑i=1
MSEi
Cross-validation vs Leave-One-OutI k-fold Cross-validation
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I Leave-one-out
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%!
%!
Cross-validation vs Leave-One-Out
2 4 6 8 10
16
18
20
22
24
26
28
LOOCV
Degree of Polynomial
Mean S
quare
d E
rror
2 4 6 8 10
16
18
20
22
24
26
28
10−fold CV
Degree of Polynomial
Mean S
quare
d E
rror
Empirical Evaluation: 3 Examples
2 5 10 20
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Flexibility
Mean S
quare
d E
rror
2 5 10 20
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Flexibility
Mean S
quare
d E
rror
2 5 10 20
05
10
15
20
Flexibility
Mean S
quare
d E
rror
Blue True error
Dashed LOOCV estimate
Orange 10-fold CV
How to Choose k in CV?
I As k increases we have:1. Increasing computational complexity2. Decreasing bias (more training data)3. Increasing variance (bigger overlap between training sets)
I Empirically good values: 5 - 10
Cross-validation in Classification
Logistic Regression
I Predict probability of a class: p(X)
I Example: p(balance) probability of default for person withbalance
I Linear regression:
p(X) = β0 + β1
I Logistic regression:
p(X) =eβ0+β1X
1 + eβ0+β1X
I the same as:
log
(p(X)
1− p(X)
)= β0 + β1X
I Linear decision boundary (derive from log odds: p(x1) ≥ p(x2))
Features in Logistic RegressionLogistic regression decision boundary is also linear . . . non-lineardecisions?
Degree=1
o
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Degree=2
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Degree=3
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Degree=4
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o
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o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Logistic Regression with Nonlinear Features
I Linear:
log
(p(X)
1− p(X)
)= β0 + β1X
I Nonlinear odds:
log
(p(X)
1− p(X)
)= β0 + β1X + β2X
2 + β3X3
I Nonlinear probability:
p(X) =eβ0+β1X+β2X2+β3X3
1 + eβ0+β1X+β2X2+β3X3
Cross-validation in Classification
I Works the same as for regressionI Do not use MSE but:
CV(n) =1
n
n∑i=1
Erri
I Error is an indicator function:
Erri = I(yi 6= yi)
K in KNN
I How to decide on the right k to use in KNN?
I Cross-validation!
Logistic regression KNN
2 4 6 8 10
0.1
20
.14
0.1
60
.18
0.2
0
Order of Polynomials Used
Err
or
Ra
te
0.01 0.02 0.05 0.10 0.20 0.50 1.00
0.1
20
.14
0.1
60
.18
0.2
0
1/K
Err
or
Ra
te
Brown Test errorBlue Training errorBlack CV error
K in KNN
I How to decide on the right k to use in KNN?I Cross-validation!
Logistic regression KNN
2 4 6 8 10
0.1
20
.14
0.1
60
.18
0.2
0
Order of Polynomials Used
Err
or
Ra
te
0.01 0.02 0.05 0.10 0.20 0.50 1.00
0.1
20
.14
0.1
60
.18
0.2
0
1/KE
rro
r R
ate
Brown Test errorBlue Training errorBlack CV error
Overfi�ing and CV
I Is it possible to overfit when using cross-validation?
I Yes!I Inferring k in KNN using cross-validation is learningI Insightful theoretical analysis: Probably Approximately Correct
(PAC) Learning
I Cross-validation will not overfit when learning simple concepts
Overfi�ing and CV
I Is it possible to overfit when using cross-validation?I Yes!
I Inferring k in KNN using cross-validation is learningI Insightful theoretical analysis: Probably Approximately Correct
(PAC) Learning
I Cross-validation will not overfit when learning simple concepts
Overfi�ing and CV
I Is it possible to overfit when using cross-validation?I Yes!I Inferring k in KNN using cross-validation is learning
I Insightful theoretical analysis: Probably Approximately Correct(PAC) Learning
I Cross-validation will not overfit when learning simple concepts
Overfi�ing and CV
I Is it possible to overfit when using cross-validation?I Yes!I Inferring k in KNN using cross-validation is learningI Insightful theoretical analysis: Probably Approximately Correct
(PAC) Learning
I Cross-validation will not overfit when learning simple concepts
Overfi�ing and CV
I Is it possible to overfit when using cross-validation?I Yes!I Inferring k in KNN using cross-validation is learningI Insightful theoretical analysis: Probably Approximately Correct
(PAC) LearningI Cross-validation will not overfit when learning simple concepts
Overfi�ing with Cross-validation
I Task: Predict mpg ∼ power
I Define a new feature for some βs:
f = β0 + β1 power + β2 power2 + β3 power
3 + β4 power4 + . . .
I Linear regression: Find α such that:
mpg = α f
I Cross-validation: Find values of βs
I Will overfitI Same solution as using linear regression on entire data (no
cross-validation)
Overfi�ing with Cross-validation
I Task: Predict mpg ∼ power
I Define a new feature for some βs:
f = β0 + β1 power + β2 power2 + β3 power
3 + β4 power4 + . . .
I Linear regression: Find α such that:
mpg = α f
I Cross-validation: Find values of βsI Will overfitI Same solution as using linear regression on entire data (no
cross-validation)
Preventing Overfi�ing
I Gold standard: Have a test set that is used only once
I Rarely possible
I $1M Netflix prize design:1. Publicly available training set2. Leader-board results using a test set3. Private data set used to determine the final winner
Bootstrap
I Goal: Understand the confidence in learned parametersI Most useful in inferenceI How confident are we in learned values of β:
mpg = β0 + β1 power
I Approach: Run learning algorithm multiple times withdi�erent data sets:
I Create a new data-set by sampling with replacement fromthe original one
Bootstrap
I Goal: Understand the confidence in learned parametersI Most useful in inferenceI How confident are we in learned values of β:
mpg = β0 + β1 power
I Approach: Run learning algorithm multiple times withdi�erent data sets:
I Create a new data-set by sampling with replacement fromthe original one
Bootstrap
I Goal: Understand the confidence in learned parametersI Most useful in inferenceI How confident are we in learned values of β:
mpg = β0 + β1 power
I Approach: Run learning algorithm multiple times withdi�erent data sets:
I Create a new data-set by sampling with replacement fromthe original one
Bootstrap Illustration
2.8 5.3 3
1.1 2.1 2
2.4 4.3 1
Y X Obs
2.8 5.3 3
2.4 4.3 1
2.8 5.3 3
Y X Obs
2.4 4.3 1
2.8 5.3 3
1.1 2.1 2
Y X Obs
2.4 4.3 1
1.1 2.1 2
1.1 2.1 2
Y X Obs
Original Data (Z)
1*Z
2*Z
Z*B
1*α
2*α
α*B
!!
!!
!!
!!
!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
Bootstrap Results
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
050
100
150
200
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
050
100
150
200
True Bootstrap
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
αα
α
![Resampling: The New Statistics - USDapps.usd.edu/coglab/psyc792/resampling/Resampling-Colloquium2.pdfResampling: The New Statistics Frank Schieber ... [5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15];](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5b3499c67f8b9ae1108e64d7/resampling-the-new-statistics-the-new-statistics-frank-schieber-5-6-7-8.jpg)
