Embed Size (px)
Citation preview
Research ArticleFixed Point Results Satisfying Rational TypeContraction in đș-Metric Spaces
Branislav Z. PopoviT,1 Muhammad Shoaib,2 and Muhammad Sarwar2
1Faculty of Science, University of Kragujevac, Radoja Domanovica 12, 34000 Kragujevac, Serbia2Department of Mathematics, University of Malakand, Chakdara, Lower Dir 18800, Pakistan
Correspondence should be addressed to Branislav Z. Popovic; [email protected]
Received 15 May 2016; Accepted 6 June 2016
Academic Editor: Filomena Cianciaruso
Copyright © 2016 Branislav Z. Popovic et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons AttributionLicense, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properlycited.
A unique fixed point theorem for three self-maps under rational type contractive condition is established. In addition, a uniquefixed point result for six continuous self-mappings through rational type expression is also discussed.
1. Introduction
Fixed point theory is one of the core subjects of nonlinearanalysis. This theory is not constrained to mathematics; it isalso applicable to other disciplines. It is closely linked withsocial and medical science, military applications, graph the-ory [1], game theory, economics [2], statistics, and medicine.This theory is divided into three categories: topological fixedpoint theory, metric fixed point theory, and discrete fixedpoint theory.
In metric fixed point theory, the first result proved byBanach [3] is known as Banach contraction principle. Manyresearchers extended this principle for the study of fixedpoints and common fixed points using different types ofcontraction such as weak contraction [4, 5], integral typecontraction [6], rational type contraction [7], and T-HardyRogers type contraction [8]. For more details, see [9â11] andso forth.
Dass and Gupta [12] gave the extension of Banachâscontraction mapping principle by using a contractive con-dition of rational type. Jaggi [7] proved some unique fixedpoint results through contractive condition of rational typein metric spaces. Harjani et al. [13] studied the results ofJaggi in the setting of partially ordered metric spaces. Usinggeneralized weak contractions Luong and Thuan [14] gener-alized the results of [13] through rational type expressions
in the context of partially ordered metric spaces. Chandokand Karapinar [15] generalized the results of Harjani andestablished common fixed point results for weak contractiveconditions satisfying rational type expressions in partiallyordered metric spaces. Mustafa et al. [16] discussed fixedpoint results by almost generalized contraction via rationaltype expression which generalizes, extends, and unifies theresults of Jaggi [7], Harjani et al. [13], and Luong and Thuan[14], respectively. Fixed point theorems for contractive typeconditions satisfying rational inequalities in metric spaceshave been developed in a number of works; see [17â20] andso forth.
Mustafa and Sims [21] generalized the notion of metricspace as an appropriate notion of generalized metric spacecalled đș-metric space. They have investigated convergencein đș-metric spaces, introduced completeness of đș-metricspaces, and proved a Banach contraction mapping theoremand some other fixed point theorems involving contractivetype mappings in đș-metric spaces using different contractiveconditions. Later, various authors have proved some commonfixed point theorems in these spaces (see [8, 22â24]).
Sanodia et al. [25] used rational type contraction andinvestigated a unique fixed point theorem for single mappingin đș-metric spaces. Gandhi and Bajpai [26] generalized theresult of Sanodia et al. and proved unique common fixedpoint results for three mappings in đș-metric space satisfying
Hindawi Publishing CorporationJournal of Function SpacesVolume 2016, Article ID 9536765, 7 pageshttp://dx.doi.org/10.1155/2016/9536765
2 Journal of Function Spaces
rational type contractive condition. Recently, Shrivastava etal. [27] established some unique fixed point theorem for somenew rational type contraction.
The aim of this paper is to establish two common fixedpoint theorems satisfying rational type contraction. In thefirst result, we discuss the existence and uniqueness ofcommon fixed point for three self-maps in the context ofđș-metric space, while in the second one we studied theuniqueness of common fixed point for six continuous self-mappings in the setting of đș-metric through rational typeexpression.
2. Preliminaries
We recall some definitions that will be used in our discussion.
Definition 1 (see [21]). Letđ be a nonempty set and letđș : đĂ
đĂđ â R+ be a function satisfying the following conditions:
(1) đș(đ„, đŠ, đ§) = 0 implies that đ„ = đŠ = đ§ for all đ„, đŠ, đ§ â
đ.
(2) đș(đ„, đ„, đŠ) †đș(đ„, đŠ, đ§) for all đ„, đŠ, đ§ â đ.
(3) đș(đ„, đŠ, đ§) = đș(đ„, đ§, đŠ) = đș(đŠ, đ§, đ„) â â â for all đ„, đŠ, đ§ â
đ.
(4) đș(đ„, đŠ, đ§) †đș(đ„, đ, đ)+đș(đ, đŠ, đ§) for allđ„, đŠ, đ§, đ â đ.
Then, it is called đș-metric and the pair (đ, đș) is a đș-metric space.
Proposition 2 (see [21]). Let (đ, đș) be a đș-metric space. Thefollowing are equivalent:
(1) (đ„đ) is đș-convergent to đ„.
(2) đș(đ„đ, đ„đ, đ„) â 0 as đ â â.
(3) đș(đ„đ, đ„, đ„) â 0 as đ â â.
(4) đș(đ„đ, đ„đ, đ„) â 0 as đ,đ â â.
Definition 3 (see [22, 28]). A pair of self-mappings đ, đ in ađș-metric space is said to be weakly commuting if
đș (đđđ„, đđđ„, đđđ„) †đș (đđ„, đđ„, đđ„) , âđ„ â đ. (1)
Sanodia et al. [25] proved the following fixed point theoremin the setting of đș-metric space.
Theorem4. Let (đ, đș) be ađș-completeđș-metric space and letđ : đ â đ be a self-map satisfying the condition
đș (đđ„, đđŠ, đđ§) †đŽ
â
max {đș2(đ„, đđ„, đđŠ) , đș
2(đŠ, đđŠ, đđ§) , đș
2(đ§, đđ§, đđ„)}
đș (đ„, đŠ, đ§)
(2)
for all đ„, đŠ, đ§ â đ with 0 †đŽ < 1. Then, đ has a uniquecommon fixed point in đ.
Theorem 5. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space andlet đ, đ : đ â đ be two self-maps such that đ(đ) â đ(đ)
satisfying the following condition:
đș (đđ„, đđŠ, đđ§) †đŽ
â
max {đș2(đđ„, đđ„, đđŠ) , đș
2(đđŠ, đđŠ, đđ§) , đș
2
(đđ§, đđ§, đđ„)}
đș (đđ„, đđŠ, đđ§)
(3)
for all đ„, đŠ, đ§ â đwith 0 †đŽ < 1.Then, đ andđ have a uniquecommon fixed point in đ.
Gandhi and Bajpai [26] proved unique common fixedpoint results satisfying the following rational type contractivecondition.
Theorem6. Let (đ, đș) be ađș-completeđș-metric space and letđ, đ, â : đ â đ be three self-mappings satisfying the condition
đș (đđ„, đđŠ, âđ§) †đŽ
â
max {đș2(đ„, đđ„, đđŠ) , đș
2(đŠ, đđŠ, âđ§) , đș
2(đ§, âđ§, đđ„)}
đș (đ„, đŠ, đ§)
(4)
for all đ„, đŠ, đ§ â đ with 0 †đŽ < 1. Then, đ, đ, and â have aunique common fixed point in đ.
Currently, Shrivastava et al. [27] studied the followingresult.
Theorem7. Let (đ, đș) be ađș-completeđș-metric space and letđ : đ â đ be a self-map satisfying the condition
đș (đđ„, đđŠ, đđ§) †đŽ â đș (đ„, đđŠ, đđŠ) + đș (đ„, đđ§, đđ§)
2+ đ”
â (đș (đ„, đđŠ, đđŠ)đș (đ„, đđŠ, đđŠ) + đș (đ„, đđ§, đđ§)
+ đș (đŠ, đđ„, đđ„) + đș (đ§, đđ„, đđ„))
â (2 (đș (đ„, đđŠ, đđŠ) + đș (đŠ, đđ„, đđ„)))â1
(5)
for all đ„, đŠ, đ§ â đ with 0 †đŽ + đ” < 1/2. Then, đ has a uniquecommon fixed point in đ and đ is đș-continuous at đą.
3. Main Results
Our first new result is the following.
Theorem8. Let (đ, đș) be ađș-completeđș-metric space and letđ, đ, đ : đ â đ be three self-mappings satisfying the followingcondition:
đș (đđ„, đđŠ, đ đ§) †đŽ â (đș (đ„, đđ„, đđŠ)đș (đŠ, đđŠ, đ đ§)
+ [đș (đ„, đŠ, đ§)]2
+ đș (đ„, đđ„, đđŠ)đș (đ„, đŠ, đ§))
â (đș (đ„, đđ„, đđŠ) + đș (đ„, đŠ, đ§) + đș (đŠ, đđŠ, đ đ§))â1
+ đ” â (đș (đŠ, đđŠ, đ đ§) [1 + đș (đ„, đđ„, đđŠ)]
â (1 + đș (đ„, đŠ, đ§))â1
) + đ¶ â đș (đ„, đŠ, đ§)
(6)
Journal of Function Spaces 3
for allđ„, đŠ, đ§ â đwithđ„ = đŠ = đ§ = đ„,đŽ, đ”, đ¶ â„ 0with 0 †đŽ+
đ”+đ¶ < 1,đș(đ„, đđ„, đđŠ)+đș(đ„, đŠ, đ§)+đș(đ„, đđŠ, đ đ§) = 0.Then, đ,đ, and đ have a common fixed point. Further, ifđș(đ„, đđ„, đđŠ)+
đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đ đ§) = 0 implies đș(đđ„, đđŠ, đ đ§) = 0, thenđ, đ, and đ have a unique common fixed point in đ.
Proof. Let đ„0be arbitrary in đ; we define a sequence đ„
đby
the following rules:
đ„3đ+1
= đđ„3đ
,
đ„3đ+2
= đđ„3đ+1
,
đ„3đ+3
= đ đ„3đ+2
,
âđ â X.
(7)
Now, we have to show that đ„đis a đș-Cauchy sequence in đ.
Consider đș(đ„, đđ„, đđŠ) + đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đ đ§) = 0; from(6), we have
đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) = đș (đđ„3đ
, đđ„3đ+1
, đ đ„3đ+2
) †đŽ
â [đș (đ„3đ
, đđ„3đ
, đđ„3đ+1
) đș (đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đ đ„3đ+2
)
+ [đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)]2
+ đș (đ„3đ
, đđ„3đ
, đđ„3đ+1
)
â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)] (đș (đ„3đ
, đđ„3đ
, đđ„3đ+1
)
+ đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)
+ đș (đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đ đ„3đ+2
))â1
+ đ”
â (đș (đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đ đ„3đ+2
) [1
+ đș (đ„3đ
, đđ„3đ
, đđ„3đ+1
)] (1
+ đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
))â1
) + đ¶ â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)
= đŽ â [đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
)
+ [đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)]2
+ đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)
â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)] (đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)
+ đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) + đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
))â1
+ đ” â (đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) [1
+ đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)] (1
+ đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
))â1
) + đ¶ â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)
= đŽ â [đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) (đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
)
+ đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) + đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
))]
â (đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) + đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)
+ đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
))â1
+ đ”
â (đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) [1 + đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)]
â (1 + đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
))â1
) + đ¶ â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
,
đ„3đ+2
) = đŽ â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) + đ” â đș (đ„3đ+1
,
đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) + đ¶ â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) = (đŽ + đ¶)
â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) + đ” â đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) ,
(8)
which implies that
đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) †â â đș (đ„3đ
, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) , (9)
where â = (đŽ + đ¶)/(1 â đ”).Similarly,
đș (đ„3đ+3
, đ„3đ+4
, đ„3đ+5
) †â â đș (đ„3đ+2
, đ„3đ+3
, đ„3đ+4
) . (10)
Therefore, for all đ, we have
đș (đ„đ+1
, đ„đ+2
, đ„đ+3
) †â â đș (đ„đ, đ„đ+1
, đ„đ+2
) †â â â
†âđ+1
â đș (đ„0, đ„1, đ„2) .
(11)
Now, for all đ, đ, đ, with đ > đ > đ, using rectangularinequality, the second axiom of the đș-metric, and (11), wehave
đș (đ„đ, đ„đ, đ„đ) †đș (đ„
đ, đ„đ+1
, đ„đ+1
)
+ đș (đ„đ+1
, đ„đ+2
, đ„đ+2
) + â â â
+ đș (đ„đâ2
, đ„đâ1
, đ„đ)
†đș (đ„đ, đ„đ+1
, đ„đ+2
)
+ đș (đ„đ+1
, đ„đ+2
, đ„đ+3
) + â â â
+ đș (đ„đâ2
, đ„đâ1
, đ„đ)
†âđ
+ âđ+1
+ â â â + âđâ2
â đș (đ„0, đ„1, đ„2)
=âđ
1 â ââ đș (đ„
0, đ„1, đ„2) ,
(12)
where đș(đ„đ, đ„đ, đ„đ) â 0 as đ,đ, đ â â.
This shows that đ„đis a đș-Cauchy sequence. But (đ, đș) is
đș-complete đș-metric space so there exists đ€ in đ such thatđ„đâ đ€ as đ tends to infinity.Now, we assume that đ đ€ = đ€. Using condition (6), we
have
đș (đđ€, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) = đș (đđ€, đđ„3đ+1
, đ đ„3đ+2
) †đŽ
â [đș (đ€, đđ€, đđ„3đ+1
) đș (đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đ đ„3đ+2
)
+ [đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)]2
+ đș (đ€, đđ€, đđ„3đ+1
)
â đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)] (đș (đ€, đđ€, đđ„3đ+1
)
+ đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)
+ đș (đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đ đ„3đ+2
))â1
+ đ”
4 Journal of Function Spaces
â (đș (đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đ đ„3đ+2
)
â [1 + đș (đ€, đđ€, đđ„3đ+1
)]
â (1 + đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
))â1
) + đ¶
â đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) = đŽ â [đș (đ€, đđ€, đ„3đ+2
)
â đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) + [đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)]2
+ đș (đ€, đđ€, đ„3đ+2
) đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)]
â (đș (đ€, đ đ€, đ„3đ+2
) + đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
)
+ đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
))â1
+ đ”
â (đș (đ„3đ+1
, đ„3đ+2
, đ„3đ+3
) [1 + đș (đ€, đđ€, đ„3đ+2
)]
â (1 + đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
))â1
) + đ¶
â đș (đ€, đ„3đ+1
, đ„3đ+2
) .
(13)
As đ„đis đș-Cauchy sequence and converges to đ€, therefore,
by taking limit đ â â, we get đș(đđ€,đ€, đ€) †0 which is heldonly if đș(đđ€,đ€, đ€) = 0 implies that đđ€ = đ€. Similarly, it canbe shown that đđ€ = đ€ and đ đ€ = đ€. Hence, đ€ is a commonfixed point of đ, đ and đ .
Uniqueness. Suppose that đ, đ, and đ have two common fixedpoints đ§ andđ€ such that đ§ = đ€. Since conditionđș(đ„, đđ„, đđŠ)+
đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đ đ§) = 0 implies đș(đđ„, đđŠ, đ đ§) = 0, wehave thatđș(đ§, đđ§, đđ€)+đș(đ§, đ€, đ€)+đș(đ§, đđ€, đ đ€) = 0 impliesđș(đđ§, đđ€, đ đ€) = 0. Therefore, one can get the following:
đș (đđ§, đđ€, đ đ€) = đș (đ§, đ€, đ€) = 0
implies that đ§ = đ€,
(14)
which is a contradiction. Therefore, the common fixed pointis unique.
Corollary 9. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space andlet đ, đ, đ : đ â đ be three self-mappings satisfying thecondition
đș (đđ„, đđŠ, đ đ§) †đŽ â [đș (đ„, đđ„, đđŠ)đș (đ„, đđŠ, đ đ§)
+ [đș (đ„, đŠ, đ§)]2
+ đș (đ„, đđ„, đđŠ)đș (đ„, đŠ, đ§)]
â (đș (đ„, đđ„, đđŠ) + đș (đ„, đŠ, đ§) + đș (đ„, đđŠ, đ đ§))â1
(15)
for all đ„, đŠ, đ§ â đ with đ„ = đŠ = đ§ = đ„ đŽ â„ 0 with 0 †đŽ <
1, đș(đ„, đđ„, đđŠ) + đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đ đ§) = 0. Then, đ, đ,and đ have a common fixed point. Further, if đș(đ„, đđ„, đđŠ) +
đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đ đ§) = 0 implies đș(đđ„, đđŠ, đ đ§) = 0, thenđ, T, and đ have a unique common fixed point in đ.
Proof. The proof follows by taking đ” = đ¶ = 0 in Theorem 8.
Corollary 10. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space andlet đ, đ, đ : đ â đ be three self-mappings satisfying thecondition
đș (đđ„, đđŠ, đ đ§) †đ”
â đș (đŠ, đđŠ, đ đ§) [1 + đș (đ„, đđ„, đđŠ)]
1 + đș (đ„, đŠ, đ§)
+ đ¶ â đș (đ„, đŠ, đ§)
(16)
for all đ„, đŠ, đ§ â đ with đ„ = đŠ = đ§ = đ„ đ”, đ¶ â„ 0 with 0 â€
đ”+đ¶ < 1,đș(đ„, đđ„, đđŠ)+đș(đ„, đŠ, đ§)+đș(đ„, đđŠ, đ đ§) = 0.Then đ,đ, and đ have a common fixed point. Further, ifđș(đ„, đđ„, đđŠ)+
đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đ đ§) = 0 implies đș(đđ„, đđŠ, đ đ§) = 0, thenđ, đ, and đ have a unique common fixed point in đ.
Proof. The proof follows by taking đŽ = 0 in Theorem 8.
Corollary 11. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space andlet đ, đ : đ â đ be two self-mappings satisfying the condition
đș (đđ„, đđŠ, đđ§) †đŽ â [đș (đ„, đđ„, đđŠ)đș (đ„, đđŠ, đđ§)
+ [đș (đ„, đŠ, đ§)]2
+ đș (đ„, đđ„, đđŠ)đș (đ„, đŠ, đ§)]
â (đș (đ„, đđ„, đđŠ) + đș (đ„, đŠ, đ§) + đș (đ„, đđŠ, đđ§))â1
+ đ” â (đș (đŠ, đđŠ, đđ§) [1 + đș (đ„, đđ„, đđŠ)]
â (1 + đș (đ„, đŠ, đ§))â1
) + đ¶ â đș (đ„, đŠ, đ§)
(17)
for allđ„, đŠ, đ§ â đwithđ„ = đŠ = đ§ = đ„ đŽ, đ”, đ¶ â„ 0with 0 †đŽ+
đ” +đ¶ < 1, đș(đ„, đđ„, đđŠ) + đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đđ§) = 0. Then,đ and đ have a common fixed point. Further, if đș(đ„, đđ„, đđŠ) +
đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đđ§) = 0 implies đș(đđ„, đđŠ, đđ§) = 0, thenđ and đ have a unique common fixed point in đ.
Proof. The proof follows by taking đ = đ in Theorem 8.
By setting đ = đ = đ inTheorem 8, we have the followingcorollary.
Corollary 12. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space andlet đ : đ â đ be a self-mapping satisfying the condition
đș (đđ„, đđŠ, đđ§) †đŽ â [đș (đ„, đđ„, đđŠ)đș (đ„, đđŠ, đđ§)
+ [đș (đ„, đŠ, đ§)]2
+ đș (đ„, đđ„, đđŠ)đș (đ„, đŠ, đ§)]
â (đș (đ„, đđ„, đđŠ) + đș (đ„, đŠ, đ§) + đș (đ„, đđŠ, đđ§))â1
+ đ” â (đș (đŠ, đđŠ, đđ§) [1 + đș (đ„, đđ„, đđŠ)]
â (1 + đș (đ„, đŠ, đ§))â1
) + đ¶ â đș (đ„, đŠ, đ§)
(18)
for all đ„, đŠ, đ§ â đ with đ„ = đŠ = đ§ = đ„ đŽ, đ”, đ¶ â„ 0 with0 †đŽ+đ”+đ¶ < 1,đș(đ„, đđ„, đđŠ)+đș(đ„, đŠ, đ§)+đș(đ„, đđŠ, đđ§) = 0.Then, đ has a unique fixed point. Further, if đș(đ„, đđ„, đđŠ) +
đș(đ„, đŠ, đ§) + đș(đ„, đđŠ, đđ§) = 0 implies đș(đđ„, đđŠ, đđ§) = 0, thenđ has a unique common fixed point in đ.
Journal of Function Spaces 5
The second main result in this section is the following.
Theorem 13. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space. Letđ , đ, đ, đŒ, đœ, đ : đ â đ be six continuous self-maps and let{đ, đŒ}, {đ, đœ}, and {đ , đ} be weakly commuting pairs of self-mapping such that đ(đ) â đŒ(đ), đ(đ) â đœ(đ), and đ (đ) â
đ(đ), satisfying the condition
đș (đ đ„, đđŠ, đđ§) †đŽ â [đș (đđ„, đđ„, đŒđ§) đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„)
+ [đș (đđ„, đœđŠ, đŒđ§)]2
+ đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„) đș (đđ„, đœđŠ, đŒđ§)] (đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„)
+ đș (đđ„, đœđŠ, đŒđ§) + đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„))â1
+ đ”
â đș (đđ„, đœđŠ, đŒđ§)
(19)
for all đ„, đŠ, đ§ â đ with đ„ = đŠ = đ§ = đ„ đŽ, đ” â„ 0 with0 †đŽ+đ” < 1,đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„)+đș(đđ„, đœđŠ, đŒđ§)+đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) =
0. Then đ , đ, đ, đŒ, đœ, đ have a common fixed point. Further, ifđș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) + đș(đđ„, đœđŠ, đŒđ§) + đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) = 0 impliesđș(đđ„, đđŠ, đ đ§) + đș(đđ„, đœđŠ, đŒđ§) = 0, then đ , đ, đ, đŒ, đœ, đ havea unique common fixed point in đ.
Proof. Take đ„0as arbitrary point of đ. Since đ (đ) â đ(đ),
we can find a point đ„1in đ such that đ đ„
0= đđ„
1. For
đ(đ) â đœ(đ), we can find a point đ„2inđ such thatđ đ„
1= đđ„2
and for đ(đ) â đŒ(đ) we can find a point đ„3in đ such that
đđ„2= đŒđ„3. Generally, for a point đ„
3đ, choose đ„
3đ+1such that
đ đ„3đ
= đđ„3đ+1
; for a point đ„3đ+1
, choose đ„3đ+2
such thatđđ„3đ+1
= đœđ„3đ+2
; and for a point đ„3đ+2
, choose đ„3đ+3
such thatđđ„3đ+2
= đŒđ„3đ+3
for đ = 0, 1, 2, 3, . . ..Suppose đș
3đ= đș(đ đ„
3đ, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
) = 0 and đș3đ+1
=
đș(đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+2
, đđ„3đ+3
) = 0. Then, from condition (19), wehave
đș3đ+1
= đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+2
, đđ„3đ+3
) †đŽ
â [đș (đđ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đŒđ„3đ+3
)
â đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đŒđ„3đ+1
)
+ [đș (đđ„3đ+1
, đœđ„3đ+2
, đŒđ„3đ+3
)]2
+ đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đŒđ„3đ+1
)
â đș (đđ„3đ+1
, đœđ„3đ+2
, đŒđ„3đ+3
)]
â [đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đŒđ„3đ+1
)
+ đș (đđ„3đ+1
, đœđ„3đ+2
, đŒđ„3đ+3
)
+ đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đŒđ„3đ+1
)]â1
+ đ”
â đș (đđ„3đ+1
, đœđ„3đ+2
, đŒđ„3đ+3
) = đŽ
â [đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
)
â đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ
)
+ [đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
)]2
+ đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ
)
â đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
)]
â [đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ
)
+ đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
)
+ đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ
)]â1
+ đ”
â đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
) = đŽ
â đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
) + đ”
â đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
) = (đŽ + đ”)
â đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
) .
(20)
Hence,
đș (đ đ„3đ+1
, đđ„3đ+2
, đđ„3đ+3
)
†(đŽ + đ”) â đș (đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
) ,
đș3đ+1
†â â đș3đ
,
(21)
where â = đŽ + đ”. Continuing this procedure, in the end weget
đș3đ+1
†â â đș3đ
†â2
â đș3đâ1
†â3
â đș3đâ2
†â4
â đș3đâ3
†â â â †â3đ+1
â đș0.
(22)
Clearly, đș3đ+1
â 0 as đ â â. So, đș(đ đ„3đ
, đđ„3đ+1
, đđ„3đ+2
) â
0; we get the following sequence:
{đ đ„0, đđ„1, đđ„2, đ đ„3, đđ„4, đđ„5, đ đ„6, đđ„7, đđ„8, . . . , đ đ„
3đ+1,
đđ„3đ+2
, đđ„3đ+3
, . . .} ,
(23)
which is a Cauchy sequence in đș-complete đș-metric spaceand therefore converges to a limit point đ€. But all subse-quences of a convergent sequence converge; so, we have
limđââ
đ đ„3đ
= limđââ
đđ„3đ+1
= đ€,
limđââ
đđ„3đ
= limđââ
đœđ„3đ+1
= đ€,
limđââ
đđ„3đâ1
= limđââ
đŒđ„3đ
= đ€.
(24)
Since {đ, đŒ} are weakly commuting mappings, thus we have
đș (đđŒđ„3đ
, đŒđđ„3đ
, đŒđđ„3đ
) †đș (đŒđ„3đ
, đđ„3đ
, đđ„3đ
) . (25)
Taking limit đ â â and noting that đ and đŒ are continuousmappings, we have
đș (đđ€, đŒđ€, đŒđ€) †đș (đ€,đ€, đ€) , (26)
6 Journal of Function Spaces
which gives the notion that đđ€ = đŒđ€. Analogously, we canget đđ€ = đœđ€ and đ đ€ = đđ€. We claim that đ đ€ = đđ€ andđđ€ = đđ€ and then from condition (3)
đș (đ đ€, đđ€, đđ€) †đŽ
â [đș (đ đ€, đđ€, đđ€)đș (đ đ€, đđ€, đđ€)
+ [đș (đ đ€, đđ€, đđ€)]2
+ đș (đ đ€, đđ€, đđ€)đș (đ đ€, đđ€, đđ€)]
â (đș (đ đ€, đđ€, đđ€) + đș (đ đ€, đđ€, đđ€)
+ đș (đ đ€, đđ€, đđ€))â1
+ đ” â đș (đ đ€, đđ€, đđ€) ,
đș (đ đ€, đđ€, đđ€) †(đŽ + đ”)đș (đ đ€, đđ€, đđ€) ,
(27)
which is a contraction:
đș (đ đ€, đđ€, đđ€) = 0 implies đ đ€ = đđ€ = đđ€. (28)
Similarly, using similar arguments to those given above, weobtain a contradiction for đ đ€ = đđ€ and đđ€ = đđ€ or forđ đ€ = đđ€ and đđ€ = đđ€. Hence, in all the cases, we concludethat đ đ€ = đđ€ = đđ€. We prove that any fixed point of đ is afixed point of đ, đ, đ, đŒ, and đœ. Assume thatđ€ â đ is such thatđ đ€ = đ€. Now, we prove that đ€ = đđ€ = đđ€. If it is not thecase, then, for đ€ = đđ€ and đ€ = đđ€, we get
đș (đ€, đđ€, đđ€) = đș (đ đ€, đđ€, đđ€) †đŽ
â [đș (đ đ€, đđ€, đđ€)đș (đ đ€, đđ€, đđ€)
+ [đș (đ đ€, đđ€, đđ€)]2
+ đș (đ đ€, đđ€, đđ€)đș (đ đ€, đđ€, đđ€)]
â (đș (đ đ€, đđ€, đđ€) + đș (đ đ€, đđ€, đđ€)
+ đș (đ đ€, đđ€, đđ€))â1
+ đ” â đș (đ đ€, đđ€, đđ€) ,
đș (đ€, đđ€, đđ€) †(đŽ + đ”)đș (đ€, đđ€, đđ€) ,
(29)
where đș(đ€, đđ€, đđ€) = 0 which implies that đ€ = đđ€ = đđ€;in a similar argument, we can prove the other cases.
Uniqueness. Suppose that đ, đ, đ , đŒ, đœ, and đ have two com-mon fixed points đ§ and đ€ such that đ§ = đ€. Since conditionđș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) + đș(đđ„, đœđŠ, đŒđ§) + đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) = 0 impliesđș(đđ„, đđŠ, đ đ§)+đș(đđ„, đœđŠ, đŒđ§) = 0, we have thatđș(đ đ§, đđ§, đŒđ§)+
đș(đđ§, đœđ§, đŒđ€) + đș(đ đ§, đđ§, đŒđ§) = 0 implies đș(đđ§, đđ§, đ đ€) +
đș(đđ§, đœđ§, đŒđ€) = 0, which can be written asđș(đđ§, đđ§, đ đ€) = 0
or đș(đđ§, đœđ§, đŒđ€) = 0.Therefore, one can get the following:
đș (đ§, đ§, đ€) = 0
or đș (đ§, đ§, đ€) = 0 implies that đ§ = đ€.
(30)
Theorem 13 produces the following corollaries.
Corollary 14. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space andlet đ , đ, đ, đŒ, đœ, đ : đ â đ be three self-maps and let {đ, đŒ},{đ, đœ}, and {đ , đ} be weakly commuting pairs of self-mappingsuch that đ(đ) â đŒ(đ), đ(đ) â đœ(đ), and đ (đ) â đ(đ),satisfying
đș (đ đ„, đđŠ, đđ§) †đ” â đș (đđ„, đœđŠ, đŒđ§) (31)
for all đ„, đŠ, đ§ in đ with đ„ = đŠ = đ§ = đ„ with 0 †đ” < 1. Then,đ , đ, đ, đŒ, đœ, and đ have a unique common fixed point in đ.
Proof. It follows by taking đŽ = 0 in Theorem 13.
Corollary 15. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space andlet đ , đ, đ, đŒ, đœ, đ : đ â đ be three self-maps and let {đ, đŒ},{đ, đœ}, and {đ , đ} be weakly commuting pairs of self-mappingsuch that đ(đ) â đŒ(đ), đ(đ) â đœ(đ), and đ (đ) â đ(đ),satisfying
đș (đ đ„, đđŠ, đđ§) †đŽ â [đș (đđ„, đđ„, đŒđ§) đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„)
+ [đș (đđ„, đœđŠ, đŒđ§)]2
+ đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„) đș (đđ„, đœđŠ, đŒđ§)] (đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„)
+ đș (đđ„, đœđŠ, đŒđ§) + đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„))â1
+ đ”
â đș (đ đ§, đđ§, đđ§)
(32)
for all đ„, đŠ, đ§ in đ with đ„ = đŠ = đ§ = đ„ đŽ â„ 0 with 0 â€
đŽ < 1, đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) + đș(đđ„, đœđŠ, đŒđ§) + đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) = 0.Then, đ , đ, đ, đŒ, đœ, and đ have a common fixed point. Further,if đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) + đș(đđ„, đœđŠ, đŒđ§) + đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) = 0 impliesđș(đđ„, đđŠ, đ đ§)+đș(đđ„, đœđŠ, đŒđ§) = 0, thenđ , đ, đ, đŒ, đœ, andđ havea unique common fixed point in đ.
Proof. It follows by taking đ” = 0 in Theorem 13.
Corollary 16. Let (đ, đș) be a đș-complete đș-metric space andlet đ, đ , đŒ, đœ : đ â đ be three self-maps and let {đ, đŒ}, {đ, đœ},and {đ , đŒ} be weakly commuting pairs of self-mapping such thatđ(đ) â đŒ(đ), đ(đ) â đœ(đ), and đ (đ) â đŒ(đ), satisfying
đș (đ đ„, đđŠ, đđ§) †đŽ â [đș (đŒđ„, đđ„, đŒđ§) đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„)
+ [đș (đŒđ„, đœđŠ, đŒđ§)]2
+ đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„) đș (đŒđ„, đœđŠ, đŒđ§)]
â (đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„) + đș (đŒđ„, đœđŠ, đŒđ§)
+ đș (đ đ„, đđ„, đŒđ„))â1
+ đ” â đș (đŒđ„, đœđŠ, đŒđ§)
(33)
for all đ„, đŠ, đ§ â đ with đ„ = đŠ = đ§ = đ„ đŽ, đ” â„ 0 with0 †đŽ+đ” < 1,đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„)+đș(đŒđ„, đœđŠ, đŒđ§)+đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) =
0. Then, đ, đ , đŒ, and đœ have a common fixed point. Further,if đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) + đș(đŒđ„, đœđŠ, đŒđ§) + đș(đ đ„, đđ„, đŒđ„) = 0 impliesđș(đđ„, đđŠ, đ đ§) + đș(đŒđ„, đœđŠ, đŒđ§) = 0, then đ, đ , đŒ, and đœ have aunique common fixed point in đ.
Proof. The proof follows by setting đ = đ and đŒ = đ inTheorem 13.
Journal of Function Spaces 7
Competing Interests
The authors declare that they have no competing interests.
References
[1] S. Aleomraninejad, S. Rezapour, and N. Shahzad, âFixed pointresults on subgraphs of directed graphs,âMathematical Sciences,vol. 7, article 41, 2013.
[2] K. C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Eco-nomics and Game Theory, Cambridge University Press, Cam-bridge, Uk, 1985.
[3] S. Banach, âSur les oprations dans les ensembles abstraitset leurs applications aux equations integrales,â FundamentaMathematicae, vol. 3, pp. 133â181, 1922.
[4] Ya. I. Alber and S. Guerre-Delabriere, âPrinciple of weaklycontractive maps in Hilbert spaces,â in New Results in OperatorTheory and Its Applications, I. Gohberg and Yu. Lyubich, Eds.,vol. 98 ofOperatorTheory: Advances and Applications, pp. 7â22,Springer, New York, NY, USA, 1997.
[5] R. P. Agarwal, Z. Kadelburg, and S. Radenovic, âOn coupledfixed point results in asymmetric G-metric spaces,â Journal ofInequalities and Applications, vol. 2013, article 528, 2013.
[6] A. Branciari, âA fixed point theorem for mappings satisfyinga general contractive condition of integral type,â InternationalJournal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 29, no.9, pp. 531â536, 2002.
[7] D. S. Jaggi, âSome unique fixed point theorems,â Indian Journalof Pure and AppliedMathematics, vol. 8, no. 2, pp. 223â230, 1977.
[8] M. Abbas and T. Nazir, âFixed points of T-Hardy Rogers typecontraction mapping in metric spaces,â Afrika Matematika, vol.25, no. 1, pp. 103â113, 2014.
[9] M. Abbas, T. Nazir, and S. Radenovic, âSome periodic pointresults in generalized metric spaces,â Applied Mathematics andComputation, vol. 217, no. 8, pp. 4094â4099, 2010.
[10] M. Abbas, T. Nazir, and S. Radenovic, âCommon fixed pointof generalized weakly contractive maps in partially ordered G-metric spaces,â Applied Mathematics and Computation, vol. 218,no. 18, pp. 9383â9395, 2012.
[11] S. Radenovic, âRemarks on some recent coupled coincidencepoint results in symmetric G-metric spaces,â Journal of Opera-tors, vol. 2013, Article ID 290525, 8 pages, 2013.
[12] B. K. Dass and S. Gupta, âAn extension of Banach contractionprinciple through rational expression,â Indian Journal of Pureand Applied Mathematics, vol. 6, no. 12, pp. 1455â1458, 1975.
[13] J. Harjani, B. Lopez, and K. Sadarangani, âA fixed point theoremfor mappings satisfying a contractive condition of rationaltype on a partially ordered metric space,â Abstract and AppliedAnalysis, vol. 2010, Article ID 190701, 8 pages, 2010.
[14] N. V. Luong and N. X. Thuan, âFixed point theorem forgeneralized weak contractions satisfying rational expressions inorderedmetric spaces,â Fixed PointTheory andApplications, vol.2011, article 46, 2011.
[15] S. Chandok and E. Karapinar, âCommon fixed point of gener-alized rational type contraction mappings in partially orderedmetric spaces,â Thai Journal of Mathematics, vol. 11, no. 2, pp.251â260, 2013.
[16] Z. Mustafa, E. Karapinar, and H. Aydi, âA discussion on gener-alized almost contractions via rational expressions in partiallyordered metric spaces,â Journal of Inequalities and Applications,vol. 2014, article 219, 2014.
[17] S. Chandok and J. K. Kim, âFixed point theorem in orderedmetric spaces for generalized contractions mappings satisfyingrational type expressions,â Journal of Nonlinear FunctionalAnalysis and Applications, vol. 17, pp. 301â306, 2012.
[18] S. Chandok, M. S. Khan, and K. P. R. Rao, âSome coupledcommon fixed point theorems for a pair of mappings satisfyinga contractive condition of rational type,â Journal of NonlinearAnalysis and Application, vol. 2013, Article ID jnaa-00174, 6pages, 2013.
[19] D. S. Jaggi and B. K. Dass, âAn extension of Banachâs fixed pointtheorem through a rational expression,â Bulletin of the CalcuttaMathematical Society, vol. 72, no. 5, pp. 261â262, 1980.
[20] B. G. Pachpatte, âCommon fixed-point theorems for mappingssatisfying rational inequalities,â Indian Journal of Pure andApplied Mathematics, vol. 10, no. 11, pp. 1362â1368, 1979.
[21] Z. Mustafa and B. Sims, âA new approach to generalized metricspaces,â Journal of Nonlinear and Convex Analysis, vol. 7, no. 2,pp. 289â297, 2006.
[22] S. Manro, S. S. Bhatia, S. Kumar, and C. Vetro, âA commonfixed point theorem for two weakly compatible pairs in G-metric spaces using the property E.A,â Fixed Point Theory andApplications, vol. 2013, article 41, 2013.
[23] H. K. Nashine and Z. Kadelburg, âNonlinear generalized cycliccontractions in complete đș-metric spaces and applications tointegral equations,â Nonlinear Analysis: Modelling and Control,vol. 18, no. 2, pp. 160â176, 2013.
[24] R. Saadati, S. M. Vaezpour, P. Vetro, and B. E. Rhoades,âFixed point theorem in generalized partially ordered G-metricspaces,âMathematical and Computer Modelling, vol. 52, no. 5-6,pp. 797â801, 2010.
[25] P. L. Sanodia, D. Jaiswal, and S. S. Rajput, âFixed point theoremsin G-metric spaces via rational type contractive condition,âInternational Journal of Mathematical Archive, vol. 3, no. 3, pp.1292â1296, 2012.
[26] M. P. Gandhi and K. B. Bajpai, âUnique common fixedpoint theorem in G-Metric space via rational type contractivecondition,â in Proceedings of the International Conference onBenchmarks in Engineering Science and Technology, pp. 1â4,September 2012.
[27] R. Shrivastava, M. Sharma, and R. Bhardwaj, âFixed pointresults in G-Metric spaces through rational contractive condi-tions,â International Journal of Theoretical and Applied Sciences,vol. 6, pp. 82â88, 2014.
[28] S. Manro, S. S. Bhatia, and S. Kumar, âExpansion mappingstheorems in G-metric spaces,â International Journal of Contem-porary Mathematical Sciences, vol. 5, no. 49-52, pp. 2529â2535,2010.
Submit your manuscripts athttp://www.hindawi.com
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
MathematicsJournal of
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Mathematical Problems in Engineering
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com
Differential EquationsInternational Journal of
Volume 2014
Applied MathematicsJournal of
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Probability and StatisticsHindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Journal of
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Mathematical PhysicsAdvances in
Complex AnalysisJournal of
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
OptimizationJournal of
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
CombinatoricsHindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
International Journal of
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Operations ResearchAdvances in
Journal of
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Function Spaces
Abstract and Applied AnalysisHindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
The Scientific World JournalHindawi Publishing Corporation http://www.hindawi.com Volume 2014
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Algebra
Discrete Dynamics in Nature and Society
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Decision SciencesAdvances in
Discrete MathematicsJournal of
Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com
Volume 2014 Hindawi Publishing Corporationhttp://www.hindawi.com Volume 2014
Stochastic AnalysisInternational Journal of
![Dynamic visual understanding of the local environment for an ...web.eecs.umich.edu/~kuipers/papers/Tsai-iros-12.pdfpoint cloud. There are methods [27], [18] that combine 3D point cloud](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/605167a3093a0f7ea73481f3/dynamic-visual-understanding-of-the-local-environment-for-an-webeecsumichedukuiperspaperstsai-iros-12pdf.jpg)
![Point MMA Business Plan v2pointmma.com/wp-content/uploads/2018/06/Point-MMA-Business-Plan_v2.pdfPoint MMA [7] 1. Executive Summary MMA is the fastest growing sport in the world, but](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5fff250af0eaf360b85fe1ec/point-mma-business-plan-point-mma-7-1-executive-summary-mma-is-the-fastest-growing.jpg)
![arXiv:1606.08897v2 [math.OA] 24 Oct 2016 âș pdf âș 1606.08897.pdfpoint of view, for example, led to the index theory for locally compact noncommutative geometries [18]. As in past](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5f0444477e708231d40d2157/arxiv160608897v2-mathoa-24-oct-2016-a-pdf-a-160608897pdf-point-of-view.jpg)
