ŘEŠENÍ TROJÚHELNÍKŮ

Mgr. Martina Fainová

POZNÁMKY ve formátu PDF

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

1) pravoúhlý Pythagorova věta Euklidovy věty (o výšce, o odvěsně) goniometrické funkce

2) obecný Sinová věta Kosinová věta

Řešení trojúhelníka

trigonometrie = početní metody řešení užitím goniometrických funkcí

= určení základních prvků ze zadaných prvků

Pythag. věta a goniom. fce- pro pravoúhlý ABC s přeponou c

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami.

c2 = a2 + b2

Sinus úhlu = protilehlá odvěsna / přepona

Kosinus úhlu = přilehlá odvěsna / přepona

Tangens úhlu = protilehlá odv. / přilehlá odv.

Kotangens úhlu = přilehlá odv. / protilehlá odv.

- pro pravoúhlý ABC s přeponou c

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.

v2 = ca cb

Euklidovy věty

Euklidova věta o výšce:

Obsah čtverce sestroj. nad odvěsnou pravoúhlého je roven obsahu obdélníka sestroj. z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

v2 = ca cb

Euklidova věta o odvěsně:

Cvičení:Příklad 1: V rovnostranném ABC o straně délky a určete velikost výšky.

Příklad 5: Je dána kružnice k(S, r = 5 cm).Vypočtěte délku tětivy AB na sečně, která je od středu S vzdálena 3 cm. (Pyth. věta)

Příklad 2: Ve čtverci ABCD o straně délky a určete velikost úhlopříčky.

Příklad 3: V kvádru o hranách délky a, b, c určete velikost tělesové úhlopříčky.

Příklad 4: Rozhodněte, zda každý , jehož strany mají délky 2n, n2 + 1, n2 - 1 je pravoúhlý.

Cvičení:Příklad 6: Vypočítejte zbývající prvky (a,b,c,ca,cb,v,,) v pravoúhlém ABC, je-li dáno:

Příklad 7: Obdélník ABCD má rozměry a, b. V jakém poměru rozděluje úhlopříčku BD bod M, který je patou kolmice z bodu A na přímku BD?

a) c = 10 cm, ca = 7 cm

b) a = 5 cm, ca = 4 cm c) b = 5 cm, c = 13 cm

Příklad 8: Užitím Euklidovy věty o odvěsně sestrojte úsečky o délce .815 a

OBVOD :o = a + b + c

Obvod a obsah trojúhelníka

o = 3a pro rovnostranný

OBSAH :

avaS 2

1bvb

2

1cvc

2

1vyjádření výšek pomocí hran a vnitřních úhlů

?

sin2

1 baS sin

2

1 cb sin

2

1 ca

Obsah trojúhelníka

2

cbaS

r

abcS

4

Příklad: Odvoďte vzorce pro obsah pravoúhlého a rovnostranného .

cbascsbsassS 2

1;

Heronův vzorec:

Příklad: Odvoďte vzorce pro obsah obecného , je-li dán poloměr kružnice opsané a vepsané.

baS 2

1

Cvičení:Příklad 1: Vypočtěte obvod a obsah o stranách a = 8 cm, b = 11 cm, c = 13 cm.

Příklad 3: Vypočtěte strany o obsahu 84 cm2, platí-li a:b:c = 10:17:21.

Příklad 2: Dopočítejte zbývající strany a úhly v pravoúhlém ABC, je-li dáno S = 230 cm2, c = 29 cm.

Příklad 4: Vypočtěte obvod a obsah , je-li dáno: a = 56,28 m, c = 34,75 m, = 6324´

Příklad 5: Základna rovnoramenného je 20 cm, obsah je 240 cm2. Vypočítejte obvod tohoto trojúhelníku.

Cvičení:Příklad 6: Vypočtěte délky stran pravoúhlého ABC s přeponou c, je-li ta = 10 cm, tb = 410 cm.

Příklad 8: Vypočtěte délku strany rovnostranného , který má stejný obsah jako daný pravoúhlý trojúhelník

s odvěsnami a, b.

Příklad 7: Vypočtěte obsah rovnoramenného , jehož základna má délku 10 cm a rameno je o 3 cm delší než základna.

Příklad 9: Trojúhelníky ABC a A´B´C´ jsou podobné s poměrem podobnosti k. Co platí o poměru jejich obvodů a obsahů: