Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Residykalkyl: Eleganta räkningar av förskräckliga integraler
Matematisk fysik 2018 Föreläsning 2
En paus från Greenfunktioner...
Cauchys integralformel
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⇤/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⇧⇤
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⇧⇤
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⇤i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytic on and within C (encircling z0)
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⇤/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⇧⇤
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⇧⇤
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⇤i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
Analogi: Laplaces ekvation + randvärdesvillkor bestämmer unikt en elektrostatisk potential
Laurentserie
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⇧⌅
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⇧⌅
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⌅i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
f(z) =⌅⌃
n=�⌅an(z� z0)n, an =
12⌅i
⇧
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⇧⌅
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⇧⌅
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⌅i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
f(z) =⌅⌃
n=�⌅an(z� z0)n, an =
12⌅i
⇧
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⌃⌅
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⌃⌅
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⌅i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
f(z) =⌅⌃
n=�⌅an(z� z0)n, an =
12⌅i
⇧
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2
Singulariteter
“Borttagbara” singulariteter
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⌃⌅
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⌃⌅
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⌅i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
f(z) =⌅⌃
n=�⌅an(z� z0)n, an =
12⌅i
⇧
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2
f(z) =4z2 � 12z + 1
Essentiella singulariteter
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⌃⌅
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⌃⌅
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⌅i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
f(z) =⌅⌃
n=�⌅an(z� z0)n, an =
12⌅i
⇧
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
oändligt många Laurenttermer med n<0
(exempel)
(exempel)
Pol av ordning m
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⌃⌅
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⌃⌅
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⌅i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
f(z) =⌅⌃
n=�⌅an(z� z0)n, an =
12⌅i
⇧
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⌅⌃
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
Residyteoremet
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⌃⌅
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⌃⌅
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⌅i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
f(z) =⌅⌃
n=�⌅an(z� z0)n, an =
12⌅i
⇧
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⌅⌃
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z�z0)mf(z))
1
I =⌥ ⌅
0e�ax cos bx x dx
I(�) =⌥ ⌅
0
e��x
1 + x2dx
I ⇤⇤(�) + I(�) =1�
I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))
Im(k) =⌥
d⇥1
(1 + k · r)m
I2(k,a) =⌥
d⇥a · r
(1 + k · r)2
erf(x) =2⌃⌅
⌥ x
0e�t2dt
1� erf(x) =2⌃⌅
⌥ ⌅
xe�t2dt
�(x + 1) =⌥ ⌅
0txe�tdt
f : [a, b]⌅ R
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
f(xk�1)(xk � xk�1)
⌥ b
af(x)dx ⇤ lim
n⇥⌅
n⌃
k=0
µ(A(n)k ) · k
2n
A(n)k = f�1
�⇤k
2n,k+12n
⌅⇥
f(z0) =1
2⌅i
⇧
C
f(z)z � z0
dz
f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)
f(z) =⌅⌃
n=�⌅an(z� z0)n, an =
12⌅i
⇧
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⌅⌃
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z�z0)mf(z))
⇧
Cf(z) dz = 2⌅i
m⌃
k=1
Res (f(zk))
2
f(z) =⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an =
12⇥i
�
C
f(�)(� � z0)n+1
d�
f analytisk pa en ring ⇤1 < |z � z0 | < ⇤2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)mf(z))
�
Cf(z) dz = 2⇥i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
Jordans lemma
Vanligaste tillämpningen av residykalkyl i fysiken:“komplexifierade” reella integraler
Användbart resultat:
2
f(z) =⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an =
12⇥i
�
C
f(�)(� � z0)n+1
d�
f analytisk pa en ring ⇤1 < |z � z0 | < ⇤2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)mf(z))
�
Cf(z) dz = 2⇥i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�zf(z) dz = 0
2
f(z) =⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an =
12⇥i
�
C
f(�)(� � z0)n+1
d�
f analytisk pa en ring ⇤1 < |z � z0 | < ⇤2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)mf(z))
�
Cf(z) dz = 2⇥i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�zf(z) dz = 0
CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet
f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
2
f(z) =⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an =
12⇥i
�
C
f(�)(� � z0)n+1
d�
f analytisk pa en ring ⇤1 < |z � z0 | < ⇤2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)mf(z))
�
Cf(z) dz = 2⇥i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�zf(z) dz = 0
CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet
f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
2
f(z) =⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an =
12⇤i
�
C
f(⇥)(⇥ � z0)n+1
d⇥
f analytisk pa en ring ⌅1 < |z � z0 | < ⌅2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)mf(z))
�
Cf(z) dz = 2⇤i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�zf(z) dz = 0
CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet
f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
� icke-negativt reellt tal
Enkla typfall:
I. Integraler av rationella funktioner
II. Integraler av produkter av rationella och trigonometriska funktioner
III. Integraler av trigonometriska funktioner på enhetscirkeln
2
f(z) =
⇤⇥
n=�⇤
an(z� z0)
n ,an
=12⇤i
�
C
f(⇥)
(⇥ �z0)
n+1d⇥
f analytisk pa en ring ⌅1
< |z �z0 | < ⌅2
f(z) =4z
2 � 1
2z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =
⇤⇥
n=0
an(z� z0)
n +a�1
z � z0
+ ... +a�m
(z �z0)
m
a�1= Res(f(z0))
=1
(m�1)!
limz⇥z0
dm�1
dzm�1
((z �z0)
m f(z))
�
C
f(z) dz = 2⇤i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orien
teradkurva som
innesluter de singularapunktern
a z1, z2, ...zk
till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�z f(z) dz = 0
CRhalvci
rkelmed radien R i ovre
komplexahalvp
lanet
f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
� icke-negati
vt reellttal
⇤ ⇤
�⇤
p(x)
q(x)dx
q(x) ⌅= 0 for reellax
⇤ ⇤
�⇤
p(x)
q(x)cos(a
x) dxq(x) ⌅= 0 for reella
x, a reell
⇤ ⇤
�⇤
p(x)
q(x)sin(ax) dx
q(x) ⌅= 0 for reellax
2
f(z) =
⇤⇥
n=�⇤
an(z � z0)n , an =
12⇤i
�
C
f(⇥)
(⇥ � z0)n+1
d⇥
f analytisk pa en ring ⌅1 < |z � z0 | < ⌅2
f(z) =4z2 � 1
2z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +
a�1
z � z0
+ ... +a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!limz⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)
m f(z))
�
C
f(z) dz = 2⇤i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�z f(z) dz = 0
CRhalvcirk
el med radien R i ovre komplexa halvplanet
f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
� icke-negativt reellt tal
⇤ ⇤
�⇤
p(x)
q(x)dx q(x) ⌅= 0 for reella x
⇤ ⇤
�⇤
p(x)
q(x)cos(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x, a reell
⇤ ⇤
�⇤
p(x)
q(x)sin(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x
2f(z) =
⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an = 1
2⇤i
�
C
f(⇥)(⇥ � z0)n+1 d⇥
f analytisk pa en ring ⌅1 < |z � z0 | < ⌅2
f(z) = 4z2� 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n + a�1
z � z0+ ... + a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) = 1(m� 1)! lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1 ((z � z0)mf(z))�
Cf(z) dz = 2⇤i
m⇥
k=1
Res (f(zk))C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�zf(z) dz = 0
CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanetf gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
� icke-negativt reellt tal⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x) dx q(x) ⌅= 0 for reella x
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x) cos(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x, a reell⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x) sin(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x
2
f(z) =⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an =
12⇤i
�
C
f(⇥)(⇥ � z0)n+1
d⇥
f analytisk pa en ring ⌅1 < |z � z0 | < ⌅2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)mf(z))
�
Cf(z) dz = 2⇤i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�zf(z) dz = 0
CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet
f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
� icke-negativt reellt tal
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
dx q(x) ⌅= 0 for reella x
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
cos(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x, a reell
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
sin(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x
2
f(z) =⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an =
12⌅i
�
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)mf(z))
�
Cf(z) dz = 2⌅i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�zf(z) dz = 0
CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet
f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
� icke-negativt reellt tal
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
dx q(x) ⌅= 0 for reella x
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
cos(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x, a reell
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
sin(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x
⇤ 2⇥
0F (sin ⇥, cos ⇥) d⇥
Men minst lika ofta i fysiken....
Förskräckliga integraler!
...kan fortfarande lösas elegant med fiffig användning av residykalkyl!
2
f(z) =⇤⇥
n=�⇤an(z � z0)n, an =
12⌅i
�
C
f(⇤)(⇤ � z0)n+1
d⇤
f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2
f(z) =4z2 � 12z + 1
f(z) = e1/z
f(z) =⇤⇥
n=0
an(z � z0)n +a�1
z � z0+ ... +
a�m
(z � z0)m
a�1 = Res(f(z0)) =1
(m� 1)!lim
z⇥z0
dm�1
dzm�1((z � z0)mf(z))
�
Cf(z) dz = 2⌅i
m⇥
k=1
Res (f(zk))
C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f
limR⇥⇤
⇤
CR
ei�zf(z) dz = 0
CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet
f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤
� icke-negativt reellt tal
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
dx q(x) ⇧= 0 for reella x
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
cos(ax) dx q(x) ⇧= 0 for reella x, a reell
⇤ ⇤
�⇤
p(x)q(x)
sin(ax) dx q(x) ⇧= 0 for reella x
⇤ 2⇥
0F (sin ⇥, cos ⇥) d⇥
⇤ ⇤
�⇤eiax�bx2
dx a, b ⌅ R, b > 0
Välj en smart kurva!
3
� 2�
0F (sin �, cos �) d�
� ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b � R, b > 0
� ⇥
0
dx
x3 + 1
... eller integrera längs ett snitt!
Multivärd komplex funktion [ jfr. ln(z)! ] sekvens av komplexa funktioner definierade i komplexa talplanet en enkelvärd komplex funktion definierad på en Riemannyta [ = Riemannblad ihopklistrade längs grensnitt ]
3
� 2�
0F (sin �, cos �) d�
� ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b � R, b > 0
� ⇥
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2sammanbinder två grenpunkter(eller en grenpunkt med “punkten i oändligheten”)
3
� 2�
0F (sin �, cos �) d�
� ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b ⇥ R, b > 0
� ⇥
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2
� 1
�1
dx⇤1� x2(1 + x2)
� �
0
�x dx
1 + x2(1)
1
Viktig integral vid fysiktillämpningar: “Principalvärdet” för en reell funktion med en enkel pol
3
⇥ 2�
0F (sin �, cos �) d�
⇥ ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b ⇤ R, b > 0
⇥ ⇥
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2
⇥ 1
�1
dx⌅1� x2(1 + x2)
P
⇥ ⇥
�⇥
f(x)x� x0
dx = ±i⇥f(x0) + 2⇥im�
j=1
Res[f(zj)
zj � x0]
dar zj ar polerna till f(z)z�x0
i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.
3
⇥ 2�
0F (sin �, cos �) d�
⇥ ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b ⇤ R, b > 0
⇥ ⇥
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2
⇥ 1
�1
dx⌅1� x2(1 + x2)
P
⇥ ⇥
�⇥
f(x)x� x0
dx = ±i⇥f(x0) + 2⇥im�
j=1
Res[f(zj)
zj � x0]
dar zj ar polerna till f(z)z�x0
i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.
“Fysikjargong”:
3
⇥ 2�
0F (sin ⇤, cos ⇤) d⇤
⇥ ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b ⌅ R, b > 0
⇥ ⇥
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2
⇥ 1
�1
dx⇧1� x2(1 + x2)
P
⇥ ⇥
�⇥
f(x)x� x0
dx = ±i⌅f(x0) + 2⌅im�
j=1
Res[f(zj)
zj � x0]
dar zj ar polerna till f(z)z�x0
i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.
1x� x0 ± i⇥
= P1
x� x0dx⇤ i⌅�(x� x0)
Sadelpunktsmetoden redux
3
⇥ 2⇤
0F (sin ⌅, cos ⌅) d⌅
⇥ ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b ⌅ R, b > 0
⇥ ⇥
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2
⇥ 1
�1
dx⇧1� x2(1 + x2)
P
⇥ ⇥
�⇥
f(x)x� x0
dx = ±i⇧f(x0) + 2⇧im�
j=1
Res[f(zj)
zj � x0]
dar zj ar polerna till f(z)z�x0
i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.
1x� x0 ± i⇤
= P1
x� x0dx⇤ i⇧⇥(x� x0)
⇥
⇥e�f�(z) dz
f� komplexvard funktion, � kurva i C
3
⇥ 2⇤
0F (sin ⌅, cos ⌅) d⌅
⇥ ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b ⌅ R, b > 0
⇥ ⇥
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2
⇥ 1
�1
dx⇧1� x2(1 + x2)
P
⇥ ⇥
�⇥
f(x)x� x0
dx = ±i⇧f(x0) + 2⇧im�
j=1
Res[f(zj)
zj � x0]
dar zj ar polerna till f(z)z�x0
i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.
1x� x0 ± i⇤
= P1
x� x0dx⇤ i⇧⇥(x� x0)
⇥
⇥e�f�(z) dz
f� komplexvard funktion, � kurva i C
Stationära fas-metoden
3
⇥ 2⇤
0F (sin ⌅, cos ⌅) d⌅
⇥ ⇥
�⇥eiax�bx2
dx a, b ⌅ R, b > 0
⇥ ⇥
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2
⇥ 1
�1
dx⇧1� x2(1 + x2)
P
⇥ ⇥
�⇥
f(x)x� x0
dx = ±i⇧f(x0) + 2⇧im�
j=1
Res[f(zj)
zj � x0]
dar zj ar polerna till f(z)z�x0
i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.
1x� x0 ± i⇤
= P1
x� x0dx⇤ i⇧⇥(x� x0)
⇥
⇥e�f�(z) dz
f� komplexvard funktion, � kurva i C
⇥
Reif�x dx
f� reelvard funktion
3
⇥ 2⇤
0F (sin ⌅, cos ⌅) d⌅
⇥ ⇤
�⇤eiax�bx2
dx a, b ⌥ R, b > 0
⇥ ⇤
0
dx
x3 + 1
Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2
⇥ 1
�1
dx 1� x2(1 + x2)
P
⇥ ⇤
�⇤
f(x)x� x0
dx = ±i⌃f(x0) + 2⌃im�
j=1
Res[f(zj)
zj � x0]
dar zj ar polerna till f(z)z�x0
i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.
1x� x0 ± i⇤
= P1
x� x0dx⌅ i⌃⇥(x� x0)
⇥
⇥e�f�(z) dz
f� komplexvard funktion, � kurva i C
⇥
Reif�x dx
f� reellvard funktionµ Lebesguematt
limn⇥⇤
⇥
Rfn(x) dx =
⇥
Rf(x) dx
om fn konvergerar punktvis till f nastan overalltoch det existerar en Lebesgue-integrabel funktiong sadan att |fn |⇧ g nastan overallt
⇥
X(⇥
Yf(x, y) dy) dx =
⇥
Y(⇥
Xf(x, y) dx) dy
dar f : X ⇥ Y ⌃ R ar en icke-negativ funktion