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RESISTENCIA DE MATERIALES
UNIDAD I MECÁNICA VECTORIAL Y MECANICA ESTÁTICA.
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SEMANA 2
1. INTRODUCCIÓN
Esta semana abordaremos contenidos que permitan seguir
comprendiendo conceptos
básicos del equilibrio estático y comprender el comportamiento
de los cuerpos rígidos bajo
cargas exteriores.
2. FUERZA MECÁNICA ESTÁTICA
2.1. Fuerza concurrente:
Fuerzas cuyas líneas de acción tienen un punto en común; con la
aplicación de la ley del
paralelogramo se puede calcular su suma vectorial.
2.2. Sistema de fuerzas concurrentes.
Se llama así al proceso o mecanismo para obtener la resultante
entre 2 o más fuerzas
aplicadas a un cuerpo.
2.3. Composición de dos fuerzas concurrentes
Dos fuerzas, aplicadas a un cuerpo de modo que tengan un punto
en común forman un
sistema de dos fuerzas concurrentes.
En un sistema de dos fuerzas concurrentes pueden ofrecer dos
circunstancias;
a) Que las dos fuerzas pertenezcan a la misma recta; es decir,
que tengan igual dirección.
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b) Que cada una de las dos fuerzas pertenezcan a distintas
rectas.
Cuando cada una de las dos fuerzas pertenece a la misma recta
pueden darse 3 casos.
1. Que tengan distinto sentido pero igual intensidad. Por
ejemplo: cuando dos personas tiran
de una cuerda sin ningún vencedor.
De aquí deducimos que la resultante de dos fuerzas de igual
intensidad, que pertenecen a
una misma recta es nula.
En símbolos es:
R = F1 + F2 = 0
2. Que las dos fuerzas tengan igual sentido. Por ejemplo: cuando
dos personas tratan de
empujar un automóvil o una carga cualquiera.
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Esto nos indica que la resultante de dos fuerzas de igual
dirección y sentido es otra fuerza de
igual dirección y sentido que aquéllas, y cuya intensidad
equivale a la suma de ambas.
3. Que las dos fuerzas tengan igual dirección, pero sentido e
intensidad distintos. Por
ejemplo: el mismo de las personas tirando de la cuerda, pero con
un vencedor. El que
vence, lo consigue aplicando una fuerza superior a la del otro,
En este caso, el que
pierde se desplaza en dirección del ganador.
De lo expuesto deducimos que la resultante de dos fuerzas de
igual dirección, pero con
sentido e intensidad distintos es otra, cuyo sentido está
determinado por el de la fuerza
mayor y cuya intensidad es igual a la diferencia de intensidad
de ambas fuerzas.
En el caso de que las dos fuerzas no pertenezcan a una misma
recta, se aplica la llamada
regla del paralelogramo, que se enuncia así:
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Por el extremo de cada una de las fuerzas se traza una paralela
a la otra, Así se forma un
paralelogramo. La diagonal que parte del origen de las fuerzas
es la resultante del sistema.
Si las fuerzas no tuvieran el punto en común O, se procede a
prolongar sus direcciones hasta
que se determine el punto de intersección, y a partir de éste se
trasladan las fuerzas.
2.4. Descomposición de fuerzas
2.4.1. Descomponer una fuerza según dos direcciones dadas
Procediendo en forma inversa al caso de la composición de dos
fuerzas concurrentes,
podremos calcular las fuerzas F1 y F2, que denominamos
componentes de la fuerza
dada R. Para ellos, procedemos así: por el extremo de la fuerza
R trazamos las paralelas a
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las direcciones m y n hasta cortarlas. Los segmentos
determinados sobre cada una de ellas
nos darán las fuerzas buscadas.
2.4.2 Descomposición en el plano inclinado y en el péndulo
1. En el plano inclinado (tobogán, dispositivos para deslizar
objetos, etc.) Si consideramos la
descarga de un cuerpo por un plano inclinado, observamos que
aquél se desliza por la
acción de una fuerza F, cuyo origen explicaremos.
A primera vista, la única fuerza actuante es la del cuerpo.
Veamos que ocurre. En el
punto G está aplicada la fuerza P, pero del cuerpo (con
dirección y sentido hacia el centro de
la tierra). Por el punto G trazamos la paralela al plano
inclinado y una perpendicular a dicho
plano (rectas a y b). Por el extremo de P trazamos las paralelas
a las rectas a y b; de este
modo determinamos los puntos T y V.
¿Qué hemos logrado? Descomponer, según lo explicado, la fuerza P
en otras 2: F1 y F2.
Consecuentemente, la acción de la fuerza P que quedado
transformada en F1 y F2 o
reemplazarlas por ellas.
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2. En el péndulo (columpio, péndulo de reloj, etc.) Procedemos
como en el ejemplo del caso
anterior. La fuerza P (peso del cuerpo) se descompone según dos
direcciones: una
perpendicular al hilo y otra igual a la del hilo y otra igual a
la del hilo. En el
punto A actuaba P; ahora, en su reemplazo, actúan F1 y F2. Pero
por el principio de acción y
reacción, F2 queda anulada por la reacción del hilo, que se pone
tenso (si no reaccionara, el
péndulo caería por rotura del hilo; la reacción también es del
soporte M).
Queda solamente, actuando sobre el punto A, la fuerza F1, que
hace desplazar al péndulo
sobre B.
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2.5. Resultante de varias fuerzas concurrentes
2.5.1. Método del paralelogramo
Por la regla del paralelogramo, relativa a las fuerzas, sabemos
obtener la resultante entre
dos fuerzas concurrentes. En caso de ser más, procede del modo
siguiente: se calcula la
resultante entre las dos primeras F1 y F2 y se logra la primera
resultante parcial, R1. A esta
resultante se le suma la tercera fuerza y se consigue la
resultante R2. A esta nueva
resultante se le suma la cuarta fuerza, y así sucesivamente,
hasta haber sumado la última
fuerza.
2.5.2. Método de la poligonal
En este caso también podemos aplicar lo que conocemos como suma
de vectores.
Es decir, que a continuación de la primera fuerza F1,
construimos un vector F2, equipolente
con F2; a continuación de éste, otro, F3, equipolente con F3, y
así sucesivamente, hasta
construir el equipolente al último dado. La resultante R está
dada por el vector cuyo origen
es el de las fuerzas y su extremo es el del último
transportado.
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2.6. Fuerza Equilibrante
Si al sistema dado le aplicamos una fuerza E de igual intensidad
que R pero de sentido
contrario, el cuerpo permanece en equilibrio. De ahí que E se
denomina equilibrante.
2.7. Ecuaciones de Equilibrio
Si sobre un objeto actúan n fuerzas, es condición necesaria y
suficiente para el equilibrio
que la resultante R del sistema de fuerzas sea nula:
R = 0 = ( F1; F2; F3; ….; Fn).
Simbólicamente, la condición anterior puede escribirse como:
𝑅 = ∑ 𝐹 = 0
Pero teniendo presente que las cantidades involucradas en la
sumatoria corresponden a
cantidades vectoriales que no pueden sumarse simplemente en
forma algebraica, sino
conforme a las reglas establecidas a la composición de
fuerzas.
La ecuación vectorial puede expresarse escalarmente en términos
de las composiciones de
las fuerzas. En referencia a un sistema de ejes x e y en el
espacio bidimensional, si
agregamos el eje z se transforma es un espacio tridimensional,
se transforman en tres
ecuaciones escalares:
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𝑅𝑋 = ∑ 𝐹𝑋 = 𝐹𝑋1 + 𝐹𝑋2 + ⋯ + 𝐹𝑋𝑛 = 0
𝑅𝑌 = ∑ 𝐹𝑌 = 𝐹𝑌1 + 𝐹𝑌2 + ⋯ + 𝐹𝑌𝑛 = 0
𝑅𝑍 = ∑ 𝐹𝑍 = 𝐹𝑍1 + 𝐹𝑍2 + ⋯ + 𝐹𝑍𝑛 = 0
En la ecuación de equilibrio RX, es la componente X de la
resultante, y F1X, F2x hasta Fnx, son
las componentes según x de las fuerzas F1, F2 hasta Fn,
respectivamente. Similar significado
tiene las demás ecuaciones, pero en referencia a las proyección
de las fuerzas en los ejes X,
Y, Z respectivamente. En forma más simple las condiciones de
equilibrio se escriben usando
la siguiente notación:
∑ 𝐹𝑋 = 0
∑ 𝐹𝑌 = 0
∑ 𝐹𝑍 = 0
Adicionalmente las ecuaciones de equilibrio de fuerza, se pueden
resolver utilizando formas
alternativas de expresarlas, como también ciertas propiedades
que son con frecuencia útiles.
Estas se resumen en los teoremas siguientes:
Teorema del polígono de fuerzas: Si una partícula está en
equilibrio bajo la acción de
varias fuerzas, el polígono de ellas es cerrado. La conclusión
es obvia ya que la
condición geométrica de polígono cerrado es equivalente a que la
resultante sea nula.
Teorema de la coplanaridad: Si una partícula está en equilibrio
bajo la reacción de 3
fuerzas, las fuerzas son coplanares. Ello se demuestra
reconociendo que dos de las
fuerzas definen un plano, por lo tanto la tercera fuerza no
podrá estar fuera del plano
que sería imposible equilibrar su componente perpendicular al
plano de las otras dos.
Teorema del triángulo: Si una partícula está en equilibrio bajo
la acción de 3 fuerzas,
estas pueden representarse en magnitud y dirección por los lados
de un triángulo.
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Esta es conclusión directa de los teoremas anteriores, ya que el
polígono cerrado es
un triángulo plano.
Teorema de Lamy: Si una partícula está en equilibrio bajo la
acción de 3 fuerzas, la
magnitud de cada una de ellas es proporcional al seno del ángulo
formado por las
otras dos. De la trigonometría se tiene el conocimiento del
teorema del seno en un
triángulo plano:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 ∝=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
Teorema del cuerpo sometido: Si un cuerpo está en equilibrio
bajo la acción de tres
fuerzas, las fuerzas son coplanares y sus líneas de acción son o
bien concurrentes o
paralelas.
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2.8. Fuerzas no concurrentes
Es un grupo de fuerzas actuando sobre un mismo cuerpo cuyas
líneas de acción no se
cruzan, es decir, no concurren a un mismo punto. La utilidad de
saber esto es porque la
forma de calcular el efecto final del grupo de fuerzas actuando
a la vez (conocido como
fuerza resultante) depende entre otras cosas de saber si el
sistema es concurrente o no.
Por supuesto, si lo piensas un momento, si las líneas de acción
de las fuerzas no se cruzan
nunca, solo puede tratarse de fuerzas paralelas, como también se
conoce este tipo de
sistema de fuerzas.
2.8.1. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas
a) Hay dos condiciones algebraicas independientes de
equilibrio.
∑F = ∑M = 0
∑Ma = ∑Mb = 0
Ambas condiciones son suficientes para hacer la resultante igual
a cero. En efecto, si hay
resultante será una fuerza o un par.
Si ∑F = 0, la resultante no es una fuerza, y si ∑Ma = 0, no es
un par; por lo tanto, no
hay resultante.
Si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa
por a; y si también
∑Mb = 0, el momento de la resultante respecto a b debe ser cero,
lo que implica que la
fuerza es cero.
Gráficamente, hay dos condiciones de equilibrio; el polígono de
fuerzas y el funicular deben
cerrar porque en el primer caso si hay resultante será un par,
pero con la condición segunda
no existirá el par.
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B) Hay tres condiciones independientes algebraicas de
equilibrio:
∑Fx = ∑Fy = ∑Ma = 0
∑Fx = ∑Ma = ∑Mb= 0
∑Ma = ∑Mb = ∑Mc= 0
Hay que advertir que los ejes x, y, de las componentes y los
orígenes de momentos deben
estar en el plano de las fuerzas, y los tres puntos a, b, c, no
deben ser colineales.
Estas tres condiciones bastan para dar resultante igual a cero.
En efecto, si existe resultante
será una fuerza o un par.
Cuando ∑Fx = ∑Fy = 0, la resultante no es fuerza, pero si ∑M =
0, no es un par y no
habrá resultante.
Cuando ∑Fx = 0, la resultante es perpendicular al eje o un par;
si ∑Ma = 0, no es un
par sino una fuerza que pasa por a y perpendicular al eje; si
además, ∑Mb = 0, el
momento de esa fuerza respecto a b es cero, y por tanto, la
fuerza es cero.
Cuando ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que
pasa por a; si
además, ∑Mb = 0, la resultante pasa por b, pero si ∑Mc = 0, esta
resultante será cero.
