Resistencia de Materiales

Resistencia de Materiales2015 -2016

Captulo 1-2

Esfuerzo Simple

Deformaciones

Ing. Alonso Ziga Surez. MSc

[email protected]

IntroduccinLa Resistencia de Materiales amplia el estudio de las fuerzas que se inici

en la mecnica.

El campo de la mecnica abarca fundamentalmente las relaciones entre las

fuerzas que actan sobre un slido rgido (indeformable) .

La esttica estudia los slidos acelerados, aunque se pueden establecer el

equilibrio dinmico mediante la introduccin de las fuerzas de inercia .

0xF

0xM

0yF 0zF

0yM 0zM

Donde el trmino F representa las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo en lasdirecciones x, y, z de un sistema coordenado ortogonal. Anlogamente,el trmino M est referido a los momentos que se ejercen en el cuerpo, enlas direcciones x, y, z.

Introduccin

En contraste con la mecnica, la resistencia de materiales estudia y

establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos

en el interior de los solidos. Adems no supone que los slidos son

idealmente rgidos como en la mecnica, sino que las deformaciones por

ms pequeas tienen gran inters.

Diferencias entre la mecnica de cuerpos rgidos y la resistencia de

materiales se puede observar en el los siguientes grficos

Cargas y Reacciones

Las fuerza que actan en un miembro se llaman cargas, las fuerzas que

contra restan el efecto de las cargas se llaman reacciones.

Cargas y reacciones pueden clasificarse como externas o internas; estticas

o dinmicas. Adems pueden definirse con relacin al rea sometida a

contacto.

CARGA ESTTICA.

CARGA PERMANENTE.

CARGA AXIAL.

CARGA CONCENTRADA.

CARGA DISTRIBUIDA.

CARGA EXTERNA.

CARGA INTERNA.

HIPOTESIS FUNDAMENTALES

a) El material se considera macizo (continuo): El comportamiento real de losmateriales cumple con esta hiptesis aun cuando pueda detectarse la presencia deporos o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuestapor tomos que no estn en contacto rgido entre s, ya que existen espacios entreellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada.

Esta hiptesis es la que permite considerar al material dentro del campo de lasfunciones continuas

b) El material de la pieza es homogneo (idnticas propiedades en todos lospuntos): El acero es un material altamente homogneo; en cambio, la madera, elhormign y la piedra son bastante heterogneos. Sin embargo, los experimentosdemuestran que los clculos basados en esta hiptesis son satisfactorios.

c) El material de la pieza es istropo: Esto significa que admitimos que el materialmantiene idnticas propiedades en todas las direcciones.

HIPOTESIS FUNAMENTALES

d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas: Lasfuerzas interiores entre las partculas del material, cuyas distancias varan, seoponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Alhablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen enslido no sometido a cargas. Esta hiptesis no se cumple prcticamente en ningunode los materiales. En piezas de acero se originan estas fuerzas debido alenfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormign durante el fraguado.Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudio especial.

e) Es vlido el principio de superposicin de efectos: Ya se ha hecho uso de esteprincipio, para el caso de slidos indeformables. Al tratarse de slidos deformableseste principio es vlido cuando:

Los desplazamientos de los puntos de aplicacin de las fuerzas son pequeos encomparacin con las dimensiones del slido.

Los desplazamientos que acompaan a las deformaciones del slido dependenlinealmente de las cargas. Estos slidos se denominan slidos linealmentedeformables.

HIPOTESIS FUNAMENTALES

f) Es aplicable el principio de Saint Venant: Este principio establece que el valorde las fuerzas interiores en los puntos de un slido, situados suficientemente lejosde los lugares de aplicacin de las cargas, depende muy poco del modo concreto deaplicacin de las mismas. Merced a este principio en muchos casos podremossustituir un sistema de fuerzas por otro estticamente equivalente, lo que puedeconducir a la simplificacin del clculo.

g) Las cargas son estticas o cuasi-estticas: Las cargas se dicen que son estticascuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras que se denominan cuasi-estticas cuando el tiempo de aplicacin es suficientemente prolongado. Las cargasque se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinmicas, y lassolicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesenestticas o cuasi-estticas.

CUERPO EN EQUILIBRIO

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio. En forma sencilla,podemos citarlas de la siguiente forma:

Donde el trmino F representa las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo enlas direcciones x, y, z de un sistema coordenado ortogonal. Anlogamente, eltrmino M est referido a los momentos que se ejercen en el cuerpo, en lasdirecciones x, y, z.

Supongamos que tenemos un cuerpo que se encuentra en equilibrio, concargas (fuerzas, momentos) aplicadas sobre el mismo. Si le hacemos un cortetransversal imaginario dividindolo en dos partes, observaremos que debengenerarse fuerzas internas en su seccin transversal para que pueda mantenerseen equilibrio.

______________________________________________________________________________Fuente: Universidad de los Andes, Facultad de Ingeniera, Escuela de Ingeniera Mecnica

Las fuerzas internas que segeneran en la seccin transversal sedenominan esfuerzos. Para determinarstos, se hace necesario definir las cargasque estn ejercidas sobre dicha seccin;esto se logra aplicando las condicionesde esttica que recordamos lneas atrs.Tendremos entonces que, en la seccinde inters, estn aplicados una fuerza yun momento resultante (FR y MRrespectivamente).


Realicemos ahora una descomposicin de la fuerza resultante sobre laseccin de inters. Obtendremos una fuerza que es normal al plano de la seccin;sta es la carga axial (P). El resto de fuerzas estn contenidas en el plano, y sellaman cortantes (V). Observe que la fuerza cortante total es la sumatoria vectorialde las fuerzas contenidas en el plano de la seccin.


Desarrollemos ahora el mismo procedimiento para el momentoresultante. Obtendremos una componente que es normal al plano de la seccin;sta representa el momento torsor (T). Las componentes restantes de momentoestn contenidas en el plano, y se denominan momentos flectores (M). Lasumatoria vectorial de todos los momentos contenidos en el plano resulta en elmomento flector total en la seccin.


En resumen, podemos tener cuatro tipo de cargas sobre una seccintransversal:

- Carga Axial. Es la componente normal al plano de la fuerza resultantesobre el mismo.

- Fuerza Cortante. Es la componente de la fuerza resultante contenidaen el plano de la seccin transversal.

- Momento Torsor. Es la componente normal al plano del momentoresultante sobre el mismo.

- Momento Flector. Es la componente del momento resultantecontenida en el plano de la seccin transversal.


Concepto de Esfuerzo

Esfuerzos son las fuerzas internas que se generan dentro de

cuerpos sometidos a cargas.

Para brindar unadefinicin matemtica a esteconcepto, tomaremos uncuerpo cargado representandolas fuerzas internas que en laparecen. Elegiremos undiferencial de rea de laseccin transversal, en la queacta una fuerza interna finitacomo se muestra.


Definiremos entonces como Esfuerzo Normal () a la cantidad de fuerzapor unidad de rea actuando en direccin normal a A. Matemticamente,puede expresarse de la siguiente forma:

Si Fn sale de la seccin transversal, el esfuerzo normal es de tracciny se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal es decompresin y se escribe con signo negativo.


El Esfuerzo Tangencial Cortante (t) es la cantidad de fuerza por unidadde rea actuando en direccin tangencial a A. Matemticamente, puedeexpresarse de la siguiente forma:

A diferencia de Fn , cuyadireccin puede ser una sola, Ftpuede tener cualquier direccin en elplano.

El esfuerzo cortante tendrla misma direccin y sentido de Ft.

Como el esfuerzo est integrado en unidades de fuerza sobre rea, seexpresa en Pa (N/m2) segn el Sistema Internacional y en psi (Lbf/in2) segn elSistema Ingls.


Esfuerzo normal de aplastamiento en elementos de unin pasantesObservemos la figura que se muestra. En las superficies de contacto

entre el remache y las placas (donde se transmiten fuerzas entre ellos), segeneran esfuerzos de aplastamiento. Estos aparecen en todas las situacionessimilares a la ilustrada (con pernos, pasadores, entre cojinetes y ejes).


En principio, este esfuerzopuede parecer difcil de identificar puesa primera vista puede observarse que elrea de contacto (Acontacto = 2rL) no essiempre perpendicular a la fuerza quese ejerce sobre la misma.

Para calcular este esfuerzo,proyectamos el rea de contacto sobreun plano normal a la fuerza y tomamosel valor del rea proyectada, que ahorasera Aproyectada = 2rL.

Finalmente, el esfuerzo de aplastamiento vendra dado por la expresin:


Esfuerzo cortante promedio en elementos de unin pasantes

Considerando el mismo casoque se nos presentaba en el apartadoanterior, se generan tambin esfuerzoscortantes en la seccin transversal delelemento de unin. Esto se debe a laaccin de una fuerza cortante queintenta cizallar el elemento, tal comose observa en la figura.


Cilindros de Pared Delgada

DeformacionesLos cuerpos completamente rgidos no existen. Todo elemento se

deforma ante la presencia de cargas sobre l, aunque sea en una

proporcin muy pequea.

Si aplicamos una carga axial de traccin a un cuerpo,

observaremos que ste tender a alargarse en el sentido de dicha carga.

Si la carga fuese de compresin, el cuerpo se acortara en la

direccin de la carga.


Cuando un cuerpo se deforma en una direccin, se producen

tambin deformaciones en las dos direcciones ortogonales a la primera.

Estas deformaciones pueden determinarse utilizando el mdulo de Poison

(u).

Si se aplica una carga axial en la direccin de x, se tendr una

deformacin x, y se producirn deformacin y y z, las cuales puedencalcularse mediante las relaciones:


Ensayo de TraccinSe define como Propiedades Mecnicas a los valores

caractersticos de esfuerzo, dureza, deformacin energa con los que un

material responde ante la aplicacin de una carga sobre el mismo.

Vale decir que, la seleccin del material del cual se mecanizar un

elemento dado depende en gran medida de sus propiedades mecnicas; he

all su importancia.

Existen numerosos ensayos mecnicos con los que se pueden

determinar las propiedades mecnicas de un material; sin embargo, el ms

utilizado de ellos, es el Ensayo de Traccin. Este consiste en aplicar una

carga axial de traccin sobre una probeta hecha del material de estudio,

aumentando muy lentamente el valor de dicha carga desde cero hasta que

la probeta se rompa. Cada valor de carga se registra junto con el

alargamiento respectivo que produce. Luego, con los datos obtenidos, se

calcula el esfuerzo normal () ejercido por la carga y la deformacin unitaria() relativa al alargamiento experimentado por la probeta.


Posteriormente, con los valores de esfuerzo y deformacin

calculados, se construye una grfica que se conoce como Curva Esfuerzo-

Deformacin. Es a partir de esta grfica que pueden obtenerse varias

propiedades mecnicas del material.

Las dimensiones y caractersticas de la probeta dependen de la

normativa que se siga. La figura muestra una probeta segn las normas

Covenn, donde Do = 12,5mm; L = 50mm; R = 10mm; L L + Do.


Curva Esfuerzo - DeformacinComo se expuso anteriormente, es una grfica donde se observa la

variacin del esfuerzo normal () respecto a la deformacin unitaria () apartir de los resultados obtenidos en un ensayo de traccin.

Aunque estas curvas pueden tener mltiples comportamientos

segn el material del que se trate, las tendencias que nos interesa estudiar

se muestran abajo.

Con una mirada superficial sobre las curvas, podemos observar

dos cosas. En primer lugar, los materiales frgiles se deforman muy poco

antes de romperse, a diferencia de los materiales dctiles. Por otro lado, los

materiales dctiles pueden presentar no zona de fluencia. Si el material es

un metal puro, la curva no presentar este fenmeno, y viceversa si se trata

de una aleacin.

Siendo ms detallistas, podremos notar que podemos dividir la

curva en varias zonas. Para esto, centraremos nuestra atencin en los

materiales con zona de fluencia (por poseer la curva ms compleja).


En primer lugar, podemos

dividir la curva en dos zonas

generales.

La zona elstica (AB) se caracteriza

porque las deformaciones

producidas en esta seccin son de

carcter elstico.

Por otro lado, en la zona plstica

(BE) las deformaciones producidas

son permanentes.

En la zona plstica ocurren tres fenmenos:

- Fluencia (tramo BC)

- Endurecimiento por deformacin (tramo CD)

- Formacin de cuello o estriccin (tramo DE).

Estudiaremos ahora cada zona con mayor detenimiento.


Zona Elstica

Como se mencion anteriormente, las deformaciones producidas

en esta zona son elsticas, es decir: desaparecen si se retira la carga.

Durante el primer tramo, esta zona exhibe un comportamiento lineal hasta el

lmite de proporcionalidad (P), a partir del cual cambia su tendencia. Secumple entonces hasta el valor de esfuerzo mencionado anteriormente la ley

de Hooke:

Donde E es el mdulo de

Young mdulo de elasticidad del

material. Este comportamiento

elstico se cumple hasta el lmite de

elasticidad (E), el cual es un valorde esfuerzo bastante difcil de

conseguir, y es apenas un poco

superior al lmite de proporcionalidad

del material.


Zona de Fluencia

Se presenta en los metales aleados. Est caracterizada por dos

valores de esfuerzo: el punto superior de fluencia y el punto inferior de

fluencia. En esta zona y en las siguientes, las deformaciones sern

permanentes, al igual que todos los cambios en sus propiedades mecnicas

sufridos debido a dicha deformacin.

Zona de Endurecimiento por Deformacin

Durante esta etapa, ocurre una disminucin uniforme de la seccin

transversal de la probeta a lo largo de su longitud L. Para continuar

deformando la probeta, se debe aumentar notablemente el valor de la carga

aplicada, por ello se dice que el material en esta zona se endurece. El

esfuerzo ltimo (U) marca el final de esta etapa.


Zona de formacin de cuello Estriccin

En esta fase final ocurre la estriccin, que consiste en una

reduccin del rea de la seccin transversal en una zona especfica.

Debido a esta reduccin, la carga que debe ejercer la mquina de ensayo

para deformar la probeta se hace cada vez menor, aunque en realidad el

esfuerzo en la probeta va en aumento hasta que ocurre la ruptura.


La curvas mostradas hasta ahora desprecian el fenmeno de

estriccin en la probeta. Por ello, se les denomina Curvas Nominales de

Esfuerzo-Deformacin. Al considerar la formacin de cuello en la probeta, el

esfuerzo real no presenta un valor mximo luego de la fluencia, sino que

aumenta hasta la ruptura del material.


Finalmente, de las Curvas Nominales de Esfuerzo-Deformacin

pueden obtenerse las siguientes propiedades mecnicas:

- Lmite de proporcionalidad

- Lmite de elasticidad

- Lmite(s) de fluencia

Bibliografa:

Fuente: Universidad de los Andes, Facultad de Ingeniera, Escuela de IngenieraMecnica

Pyteel . Singer, Resistencia de Materiales , pg., 19,21; 2010

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