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Resistência dos Materiais II
• Trabalho de deformação.
• Trabalho específico de deformação em um ponto.
• Trabalho de distorção.
SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO
MAJ MONIZ DE ARAGÃO
Trabalho de Deformação
Trabalho elementar:
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
975
dxPdU
Trabalho ou Energia de Deformação: 1
0
x
dxPU
Nm = J = joule
Trabalho de Deformação
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
975
Trabalho de deformação linear e elástica:
21
02
11
xkdxkxU
x
112
1xPU
Trabalho de Deformação
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
975
Trabalho de deformação específica:
11
00
x
xx
x
dL
dx
A
P
V
Uu
dV
dU
V
Uu
V
0lim
Energia por unidade de volume
necessária para provocar a ruptura
do material
Energia
recuperável
Energia
perdida
Trabalho de Deformação
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
975
Módulo de resiliência:
EE
d
EdE
ux
xx
x
xx
2
2
21
0
21
0
1
1
Trabalho de deformação específica:
E
fu
y
res2
2
onde fy tensão de escoamento
Trabalho de Deformação
Tensões Normais
(para A cte)
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
975
dxAdV
dVuU
Eu
2
21
Trabalho de deformação para carga axial:
dVEA
PdV
EU
2
221
22
L
dxEA
PU
0
2
2
EA
LPU
2
2
Trabalho de Deformação
Tensões Normais
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
975
dxdAdV
dVuU
Eu x
2
2
Trabalho de deformação na flexão:
dVEI
yMdV
EU x
2
222
22
I
Myx
LL
dxEI
MdxdAy
EI
MU
0
2
0
2
2
2
22
Trabalho de Deformação
Tensões Normais - Exemplos
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
975
Trabalho de Deformação
Tensões Cisalhantes
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
986
Trabalho específico de deformação para um material submetido a
tensões cisalhantes:
1
0
x
xx du
xy
xyxy du
0
Abaixo do limite de proporcionalidade:
GGu
xy
xyxyxy22
1
2
12
2
dVuU dVG
U x
2
2
Trabalho de deformação :
Trabalho de Deformação
Tensões Cisalhantes
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
975
Trabalho de deformação na torção:
(para A, T cte)
J
T
dxAdV
dVuU
Gu
xy
xy
2
2
L
dxdAGJ
TdV
GJ
TU
0
2
2
2
2
22
22
GJ
LTU
2
2
Trabalho de Deformação
Tensões Cisalhantes - Exemplos
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
990
GA
LP
EI
LP
5
3
6
232
UUU
desprezível
Trabalho de Deformação
Caso Geral de Tensões
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
990
Expressão geral do trabalho de deformação:
Expressão geral do trabalho em função das tensões principais:
Trabalho específico: u = uv + ud
variação volumétrica “reta”
distorção: mudança de forma
Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
Primeiro Teorema de Castigliano:
,
0 ,
ijii
iji
i
PdPdU
ddU
dU
i
i
UP
Segundo Teorema de Castigliano:
i
iP
U
ji
P
ij
ij
UUk
i
2
não realizam trabalho
Def. coef. de rigidez
Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
1047
EA
LP,U
2
3640
EA
PLyB 728,0
ByPU 2
1
AE
BDF
AE
BCFU BDBC
22
22
mas P é a única força
que realiza trabalho
PFBC 6,0onde
PFBD 8,0
Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
Ref: B
eer
e J
ohnsto
n,
Resis
tência
dos M
ate
riais
, 3ª
Ed.
Pág.
1047
P
UyB
8060 ,
BDBD
,
BCBC
P
F
AE
BDF
P
F
AE
BCF
2º Teo Castigliano:
PFBC 6,0pois PFBD 8,0e
EA
PLyB 728,0
EA
LP,U
2
3640
Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
BBBB xyCDBxDCByr5
4
5
3ˆcosˆcos1
ou ainda 1º Teo Castigliano:
1r
BB xyr5
3
5
42
1r
By
Bx
Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
1º Teo Castigliano (cont.):222
211
2
1
2
1rkrkU
22
21
22r
BD
EAr
BC
EAU 2
22
16,12,1
rL
EAr
L
EA
22
5
3
5
4
61
1
5
4
5
3
21
1BBBB xy
,xy
,L
EA
22758020007000 BBBB x,xy,y,
L
EA
Trabalho de Deformação
Teoremas de Castigliano
1º Teo Castigliano (cont.):
EA
PLyB 728,0
Py
U
B
BB x,y,
L
EA2041
0
Bx
U BB x,y,
L
EA517120
BB y,
,x
5171
2000