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Resolução de Problemas
abordagem metodológica para o ensino da Matemática
meio pelo qual “se inicia o aluno no modo de pensar
matemático e nas aplicações dessa disciplina” (Dante,
2009, p.9)
orientação para a aprendizagem, pois proporciona o
contexto em que se pode apreender conceitos,
procedimentos e atitudes matemáticas. (Dante, 2009,
p.17)
O que é um problema?
“problema é uma situação que um indivíduo ou
grupo quer ou precisa resolver e para a qual não
dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à
solução” (Lester, em Dante, 2009).
“uma situação que demanda a realização de uma
sequência de ações ou operações para obter um
resultado. Ou seja, a solução não está disponível
de início, no entanto é possível construí-la.” (PCN’s,
1998)
O que é resolver um problema?
“é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido
de antemão, encontrar um caminho a partir de uma
dificuldade, encontrar um caminho que contorne um
obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não
alcançável imediatamente, por meios adequados”.
“ A maior parte do nosso pensamento consciente é sobre
problemas; quando não nos entregamos a simples
contemplação, ou devaneios, nossos pensamentos estão
voltados a algum fim”
(Dante, 2009, p.14)
Várias interpretações da expressão “formulação e
resolução de problemas”:
• meta - motivo principal de se estudar Matemática, é o objetivo primordial
a ser atingido.
• processo - o que importa é o modo como o aluno formula e resolve um
problema, os métodos, as estratégias e os procedimentos que ele utiliza.
• habilidade básica - algo essencial que todos devem dominar para que
se insiram no mundo do conhecimento e do trabalho.
• Metodologia do ensino da Matemática - leva em conta e enriquece as
outras interpretações, desencadeando conceitos e procedimentos por
meio de situações-problema motivadoras e trabalhando com a
problematização de situações.
(Dante, 2009, p. 14-16)
Princípios para o trabalho com a Resolução de Problemas:
- o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o
problema.
- só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da
questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada.
- aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que
aprendeu para resolver outros.
- o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas
constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de
problemas. (Dante, 2009, p.17)
“O maior desafio da educação contemporânea é um ensino que prepare o
ser humano para a vida e a diversidade que nela se apresenta.”
“Sendo a matemática uma área do conhecimento voltada para o
raciocínio lógico e de direta relação com a vida cotidiana das pessoas...,
sua metodologia de ensino deve valorizar os pensamentos e
questionamentos dos alunos por meio da expressão de suas idéias. Daí a
necessidade de explorar a oralidade em matemática, estimulando os
alunos a expressarem suas estratégias diante de uma questão.”
“A formulação e resolução de problemas trazem essa possibilidade em
vários aspectos: as situações-problema desenvolvem o poder de
comunicação do aluno, quando trabalhadas oralmente, e valorizam o
conhecimento prévio do aluno, uma vez que dão a oportunidade de ele
mesmo explorar, organizar e expor seus pensamentos, estabelecendo
uma relação entre noções informais, intuitivas e a linguagem abstrata e
simbólica da matemática.”
(Dante, 2009, p.18)
Objetivos da formulação e resolução de problemas
• fazer o aluno pensar produtivamente: produzir novas e diferentes
soluções, inventando, buscando e usando novos métodos.
• desenvolver o raciocínio do aluno: elaborar raciocínios lógicos e fazer
uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, propondo boas soluções
aos problemas apresentados.
• ensinar o aluno a enfrentar situações novas: lidar com situações novas,
quaisquer que sejam elas, tendo iniciativa, espírito explorador,
criatividade e independência.
• dar ao aluno oportunidade de se envolver com as aplicações da
matemática: usar os conceitos e procedimentos matemáticos no dia a dia
(favorece o desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em relação
à matéria, evitando questionamentos como “Para que serve isso?” ou
“Onde vou usar isso na minha vida?”)
(Dante, 2009, p.18-23)
Objetivos da formulação e resolução de problemas
• tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras:
trabalhar de modo ativo, individualmente ou em pequenos grupos,
buscando a solução de um problema é mais dinâmico e motivador do que
ouvir o professor explicar e repetir;
• equipar o aluno com estratégias para resolver problemas: desenvolver e
apropriar-se de estratégias diversificadas que se apliquem a um grande
número de situações;
• dar uma boa base matemática às pessoas: saber resolver, de modo
inteligente, seus problemas domésticos, e da vida diária de modo geral.
• liberar a criatividade do aluno: desenvolver a criatividade por meio do
pensamento produtivo.
Como se resolve um problema
Segundo Polya, são quatro as etapas principais orientadoras do
processo de resolução de um problema (não são rígidas, fixas e
infalíveis):
- compreender o problema: ler atentamente o problema, buscando
entender o que se deve fazer;
- elaborar um plano: fazer conexão entre os dados do problema e o
que ele pede;
- executar o plano: fazer o que foi planejado, verificando cada passo a
ser dado;
- retrospecto ou verificação: analisar a solução obtida e fazer a
verificação do resultado (rever o próprio pensamento expressado na
solução).
Pedro e José possuem, juntos, 36 figurinhas. Pedro
possui 6 a mais que José. Quantas figurinhas tem
cada um?
Pedir aos grupos que resolvam o problema e registrem a solução para socializar com a turma.
Pedir aos grupos que resolvam o problema e registrem a solução para socializar com a turma.
BUENO, Renata. Poemas problemas. São Paulo: Editora do Brasil, 2011, p. 31
Como encaminhar a solução de um problema em sala de aula
Ensinar a resolver problemas não é um mecanismo direto de
ensino, mas uma variedade de processos de pensamento que precisam
ser cuidadosamente desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo
do professor.
O professor precisa:
- ajudar os alunos a pensar, questionando-os a respeito do problema;
- encorajar os alunos a questionar, o professor e os colegas de grupo,
para esclarecer pontos fundamentais, destacar informações importantes
e compreender melhor o que o problema pede e que dados e condições
possuem para resolvê-lo;
Como encaminhar a solução de um problema em sala de aula
- incentivar os alunos a pensar e por em ação estratégias para solucionar o
problema (estratégias pessoais/ noções intuitivas, informais/conhecimento
formal);
- propor aos alunos a verificação (um retrospecto) da solução encontrada
(pensar sobre o que foi pensado/ revisar);
- pedir aos alunos que socializem/ apresentem à turma a solução
encontrada.
- estabelecer relações entre as diferentes soluções/ diferentes registros
encontrados pela turma;
- estabelecer relações entre o conhecimentos/registros informais e o
conhecimento/registro formal (para se apropriar de um sistema de
representação convencional, é fundamental que usem inicialmente
representações pessoais). Ler e discutir com a turma o texto das páginas 56-58
Características de um bom problema
- ser desafiador (que motive, que aumente a curiosidade);
- ser de interesse do aluno (relação com o universo infantil);
- ser o elemento desconhecido de um problema realmente
desconhecido;
- não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais
operações aritméticas;
- ter nível adequado de dificuldade.
Como contornar fatores que dificultam um problema- linguagem usada na redação do problema: usar linguagem clara e
simples, apropriada a cada faixa etária e o vocabulário o mais próximo
possível da vivência do aluno (nos primeiros anos pode-se usar imagens
e palavras);
- tamanho e estrutura das frases: em geral, os alunos se perdem na
leitura de frases longas e complexas. É interessante separá-las em duas
ou mais frases curtas e simples;
- vocabulário matemático específico: é preciso ajudar o aluno a distinguir
o significado de uma palavra em linguagem matemática e em uso
corrente;
- tamanho e complexidade dos números: problemas com números
“pequenos” fazem com que o aluno focalize mais o problema em si e os
processos de pensamento necessários para resolvê-los, e não
simplesmente os cálculos;
Como contornar fatores que dificultam um problema
- ordem em que as informações (dados e condições) são dadas:
um problema se torna mais difícil quando as informações que
contém não são usadas na mesma ordem em que aparecem;
- número de condições a serem satisfeitas e sua complexidade:
se um problema apresenta duas ou mais condições a serem
satisfeitas , ele se torna mais difícil, em geral o aluno pensa que o
problema já está resolvido quando consegue satisfazer uma delas.
- número e complexidade de operações e estratégias envolvidas:
de modo geral, se a solução do problema envolve apenas uma
operação, ele é mais simples do que aqueles que requerem duas
ou mais operações. Quanto ao tipo de estratégias também podem
ser considerados simples ou não.
Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa
do que ensinar algoritmos. A postura do professor ao ensinar um
algoritmo é, em geral, a de um orientador que dá instruções,
passo a passo, de como fazer. Na resolução de problemas, ao
contrário, o professor deve funcionar como incentivador e
moderador das idéias geradas pelos próprios alunos.
Diferentemente de mostrar e repetir, com base na expressão é
assim que se faz,... [nesta perspectiva de ensino] o professor
encoraja o aluno a pensar por si mesmo, a levantar as próprias
hipóteses e a testá-las, a criar as próprias estratégias, a discutir
com seus colegas como e por que aquela maneira de fazer
funciona. O papel do professor é manter os alunos pensando e
gerando ideias produtivas.
(DANTE, 2009, p. 56)
Orientações Metodológicas
- O sucesso em alguma atividade nos leva a desenvolver atitudes positivas em
relação a ela. Comece dando problemas bem fáceis aos alunos, de tal modo que
todos os resolvam. Em seguida, apresente problemas de impacto que envolvam
os alunos, levando-os a pensar neles e a querer resolvê-los. Lembre-se de que
repetidos fracassos levam à desmotivação e à frustração. A ordem poderia ser:
problemas fáceis, um pouco mais difíceis e, finalmente, os desafios.
- É interessante resolver diferentes problemas com uma mesma estratégia e
aplicar diferentes estratégias para resolver um mesmo problema.
- Deve-se focalizar, enfatizar e valorizar mais a análise do problema, as estratégias
utilizadas, os procedimentos que podem levar à solução e a revisão da solução
obtida, do que simplesmente a resposta correta.
- Não se aprende resolver problemas de repente. É um processo vagaroso e
contínuo, que exige planejamento e tempo.
Orientações Metodológicas
- É preciso reconhecer que, ao apresentar, por exemplo, vários problemas de
adição, logo após o estudo dessa operação, estamos fazendo exercícios de
aplicação para fixar a idéia de adição e o algoritmo da adição. Não estamos
apresentando problemas-processo, pois o algoritmo a ser usado já é conhecido.
Por isso, não há desenvolvimento de estratégias nem pesquisa e exploração.
Basta apenas aplicar o algoritmo estudado anteriormente.
- Devemos incentivar os alunos a “pensarem alto”. Assim, nossa função de
orientador e facilitador da aprendizagem se realizará mais facilmente, pois
poderemos perceber como eles estão pensando, como estão encaminhando a
solução do problema, que estratégias estão tentando usar, que dificuldades
tentam superar.
Orientações Metodológicas
- Devemos motivar os alunos a rever o seu raciocínio, descrevendo-o, a pensar
como poderiam ter resolvido de outra maneira o problema, a testar a solução
encontrada, a generalizar os resultados e a criar novos problemas com base
naquele resolvido.
- Formar um banco de problemas e pedir que os alunos tragam problemas
curiosos e interessantes. Toda segunda-feira pode-se colocar no mural o problema
da semana e recolher as soluções na sexta-feira seguinte. Nesse mesmo dia, os
alunos devem explicar as soluções trazidas e fazer comentários a respeito delas.
- Ao incentivar os alunos na resolução de um problema, devemos apresentar
sugestões e insinuações, mas nunca apontar o caminho a ser seguido. É melhor
transformar as informações que porventura forneceríamos em descobertas do aluno
orientadas por nós.
Orientações Metodológicas
- É conveniente apresentar problemas num contexto que motive o aluno, problemas que
possam ser resolvidos apenas por contagem.
- É interessante fornecer respostas para que os alunos inventem problemas
correspondentes.
- Apresentar problemas sem números e pedir que os alunos coloquem números nos
problemas e os resolvam.
- Propor problemas sem perguntas. Por exemplo, descrever uma situação e pedir à
classe para fazer a pergunta.
- Propor problemas extravagantes e irreais.
- Apresentar problemas com falta de dados, para que o aluno os descubra.
- Apresentar problemas com excesso de dados para que o aluno “retire os excessos”.
- Propor aos alunos a invenção de problemas (saber formular um problema é tão
Importante quanto resolvê-lo corretamente. Pode-se apresentar um desenho, uma figura
Ao aluno. Ele inventa uma história e faz uma ou mais perguntas.