Ezequias Martins França

Paulo Giovanni de Souza Carvalho

Resolução dos problemas 2.4 e 2.6 da lista de exercícios

Brasil

2017

Ezequias Martins França

Paulo Giovanni de Souza Carvalho

Resolução dos problemas 2.4 e 2.6 da lista de exercícios

Trabalho técnico solicitado pelo professor Waldir

T. Pinto como requisito parcial para aprovação na

disciplina de Hidrodinâmica l, componente da

grade curricular de Engenharia Naval.

Universidade do Estado do Amazonas

Escola Superior de Tecnologia

Graduação em Engenharia Naval

Brasil

2017

2

2.4 Problema 4

Considere o escoamento potencial para a expansão do duto mostrado na Figura 2. Considere que

a velocidade de entrada no duto é igual a 10 m/s e que a vazão é constante. Calcule o campo de velocidade no domínio indicado fazendo as seguintes considerações: (a) a velocidade horizontal é constante ao longo de cada seção transversal.

Figura 1-Problema 4

Primeiramente, para começar a análise do campo de velocidades, deve-se calcular a vazão no duto, a qual é definida pela seguinte equação:

O valor para a vazão encontrado foi de 10 /s, considerando-se uma profundidade

(perpendicular ao plano da figura) de 1 m. Como será definido na letra b, para a criação da malha, foi adotado um espaçamento de 0.2 m entre os pontos. Assim, para o comprimento de 3 m do duto, foram definidos 16 pontos no sentido do eixo x e 11 no sentido do eixo y. Desta forma, as velocidades para cada seção foram calculadas dividindo-se o valor da vazão pela área de cada seção e, assim, obtendo o módulo da velocidade para cada seção, como

mostra a figura seguinte:

Figura 2-Campo de Velocidades -1

Colunas 1-12

Figura 3-Campo de Velocidades -2

Colunas 13-16

Onde os pontos com NaN não fazem parte do escoamento e, portanto, não possuem valores.

3

(b) Use a rotina desenvolvida no curso para calcular o campo de velocidade. Para calcular o campo de velocidades a partir da rotina desenvolvida durante o curso no Matlab, é necessário, primeiramente, criar a malhar e as condições de contorno do escoamento no duto. Para isso, como já dito, foi considerada uma malha com espaçamento entre os pontos de dx=dy=0.2 m e, a partir daí, utilizando a ferramenta ‘Meshgrid’ do Matlab, foram geradas

duas matrizes X e Y de tamanho 11x16, sendo que cada uma contém as coordenadas do eixo correspondente dos pontos. Feito isso, foram inseridas as paredes inferior e superior do duto e feito um gráfico que foi realizado até então, como mostrado a seguir.

Figura 4-Malha do escoamento no duto

Foram dados ao problema os valores da função de corrente (Psi) para a parede superior

e inferior (em azul) como sendo 10 e 0, respectivamente. Assim, foi-se necessário definir os valores de psi para cada um dos pontos internos. Para tal, utilizou-se a equação de Laplace em diferenças finitas, a qual é mostrada a seguir:

Onde vale

.

Contudo, como é igual a , a equação de Laplace reduz-se à:

Como a equação de Laplace necessita dos valores de psi dos pontos ao redor do ponto o qual estamos analisando, os valores ainda não definidos são tomados como 0 e, assim, o processo para encontrar os valores de psi para os pontos internos é feito cerca de 100 vezes, uma vez que conforme as iterações são realizadas, os valores de psi convergem para um valor real.

Realizadas as iterações, foi-se elaborado um gráfico com o comando ‘contourf’ no Matlab mostrando as linhas de corrente durante o escoamento no duto, como mostrado a seguir:

4

Figura 5- Gráfico de contorno do escoamento

As linhas que separam as cores na figura 5 representam as linhas de corrente para os quais os valores de psi são constantes. A partir dos valores de psi encontrados, é possível encontrar os valores das velocidades

para cada ponto interno utilizando, também, a equação de Laplace para diferenças finitas, com exceção dos pontos para os quais as velocidades são conhecidas, como na seção da entrada e saída do duto (em x e y), assim como para os pontos nas paredes que possuem somente a componente da velocidade em x (u). A fórmula para o cálculo das velocidades dos pontos internos é mostrado a seguir:

e

Assim,

Para os pontos nas extremidades para os quais os valores das componentes da velocidade não são conhecidos, as equações acima sofrem uma variação, uma vez que estes pontos estão na fronteira do escoamento. Portanto, u e v são dados da seguinte forma:

Calculados os valores das componentes da velocidade para cada ponto, o módulo da velocidade é dado por:

Assim, o campo de velocidades, a partir da rotina criada no Matlab, obtido foi:

5

Figura 6- Gráfico do campo de velocidades pela rotina-1

Figura 7- Gráfico do campo de velocidades pela rotina-2

(c) Calcule o coeficiente de pressão sobre a parede inferior do tubo para os dois casos (a) e (b) e discuta os resultados obtidos. A fórmula do coeficiente de pressão é:

Da fórmula de distribuição de pressão, tem-se que e são valores de referência, é

a densidade e p é a pressão. Da equação de Bernoulli, temos:

Considerando que o escoamento acontece em um plano perpendicular ao vetor da gravidade, isto é, todos os pontos do escoamento tem a mesma cota z, as parcelas em função de ‘h’ da equação de Bernoulli são canceladas e, assim, obtém-se:

Substituindo na fórmula do coeficiente de pressão dado pelo problema, temos:

Assim, temos que é função somente do campo de velocidades, o qual já foi calculado

para ambos os casos.

Foi adotado para como 10 m/s (velocidade de entrada). Portanto, a distribuição do coeficiente de pressão para os casos (a) e (b) são mostrados a seguir:

6

Figura 8- Gráfico da distribuição do coeficiente de pressão na parede inferior-Caso (a)

Figura 9- Gráfico da distribuição do coeficiente de pressão na parede inferior-Caso (b)

Portando, a partir dos gráficos, observa-se que para o caso (a), até chegar em x=1m, o escoamento não apresenta variação na distribuição do coeficiente de pressão sobre a parede

inferior do duto enquanto que, para o mesmo intervalo de x no caso (b), há uma queda deste coeficiente e para o comportamento deste é mais similar. De acordo com White, a

partir da análise do gráfico de para o caso (b), é provável que a teoria potencial não seja

muito realista para este escoamento, uma vez que os efeitos viscosos são fortes.

7

(i) Distribuição de pressão:

Aplicando a rquação de Bernoulli

Em seguida, anula-se o de cada lado:

Isolando ambas as velocidades e dividindo-se os dois lados da equação por chega-se

na seguinte equação:

E ,como foi fornecido pela questão,

ou seja,

Logo, a equação para a distribuição de pressão fica:

(ii) Função de corrente

8

A função corrente para o corpo oval de Rankine é dada pela soma dos psi’s dos três

escoamentos presentes neste sistema:

1. Escoamento uniforme

O escoamento uniforme só ocorre na horizontal. Portanto, a coordenada v da

velocidade é nula e a coordenada u será igual a U.

Integrando u em relação à y encontra-se o seguinte valor de psi para o

escoamento uniforme:

2. Fonte e sumidouro

O psi para esses casos é dado pela equação:

A qual será positiva para a fonte e negativa para o sumidouro.

Assim, a função corrente irá resultar, a princípio, em:

Agora, é preciso simplificar essa equação em coordenadas cartesianas em função de

x e y.

Figura 10- Escoamento em um corpo oval de Rankine

Calculando os valores de e a partir de um ponto genérico (x,y) e extraindo

seus arco tangentes e depois substituindo na equação da Função Corrente, resulta

em:

9

(iii) Calculando u=0 no ponto de estagnação:

Figura 11- Equação resultante fazendo u=0

A partir do ponto de estagnação, chegamos na seguinte expressão:

(1)

(iv) Fazendo o psi(0,h), obtém-se:

Figura 12- Equação resultante para psi com x=0 e y=h

Fazendo psi=0 e isolando (h/a):

(2)

10

Isolando ‘m’ na equação (1), a na equação (2) e depois substituindo ‘m’ na nova

equação de ‘a’ junto com os valores U=10, h=0.2 e l=1, encontramos o valor para

‘a’, como mostrado a seguir:

Figura 13- Equação para ‘f(a)’

Em que f(a) deve ser zero e assim encontramos suas raízes de determinamos o valor

de ‘a’.

Plotamos f(a) no GeoGebra para encontrar as raízes, de acordo com a seguinte

figura:

Figura 14- Gráfico de f(a) - 1

11

Figura 15- Gráfico de f(a) - 2

Temos, do gráfico acima, que a=0,929. Substituindo ‘a’ na equação de ‘m’,

temos :

m=0.0737

Figura 16- Substituição dos valores na equação de m

(v) Cálculo das componentes u e v da velocidade:

Primeiro, foi substituído os valores encontrados anteriormente na função psi e,

após isto, foi derivada para encontrar u e v.

12

Figura 17- Substituição dos valores já encontrados na equação psi

Figura 18- Derivadas de psi para encontrar eu v

(vi) Cálculo do módulo da velocidade:

Figura 19- Módulo da velocidade

13

(vii) Pontos ao longo do contorno do corpo oval de Rankine

Para o campo de distribuição de pressão, precisamos encontra os pontos de

contorno em psi = 0.

Assim, isolando x, tem-se que:

x=

Desta forma, o gráfico da função fica:

Figura 20- Gráfico de x para psi=0

Os pontos selecionados são:

(0 , 0.2) , (0.25 , 0.199) , (0.5 , 0.19) , (0.75 , 0.15) , (1 , 0)

(viii) Velocidade nos pontos selecionados

Figura 21- Velocidade nos pontos selecionados

14

(ix) Campo de pressão

Ajustando para equação

e substituindo encontramos a

seguinte expressão para calcular o campo de pressão nos pontos obtidos:

Figura 22- Velocidade nos pontos selecionados

(x) Força de Sustentação

Integrando a equação do campo de pressão para cada ponto através da regra de

Simpson obtém-se que o resultado dá o valor da força de sustentação. Assim, o

valor da força de sustentação atuando no hidrofólio, em Newtons, vale:

Figura 23- Valor da força de sustentação