RESOLUCIÓ DE PROBLEMES - · PDF filepossibles solucions, però, digues-me, els bessons són els dos més grans? A: No, són els dos petits. B: Aleshores ja sé la solució. (I la

Notes

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Els problemes que s’inclouen en aquesta secció no corresponen a cap unitat concreta, ni s’enquadren en cap bloc determinat (aritmètica, geometria...). Ni tan sols hi ha, a priori, un camí concret per a la seva resolució. En definitiva, aquests problemes no te-nen un enquadrament concret dins del curs.

L’alumnat s’hi enfrontarà posant en joc imaginació, bona planificació, autocrítica... i anirà adquirint, de mica en mica i amb entrenament, el seu propi estil per enfocar aquest tipus de problemes.

290

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Diverteix-te resolent problemes!En les pàgines següents et proposem una bona quantitat de problemes.

Són problemes «especials». Per resoldre’ls no es requereix que apliquis tècniques matemàtiques sinó que utilitzis una bona planificació, sentit comú i una mica d’enginy. Alguns són molt fàcils, altres no ho són tant i n’hi ha que, fins i tot, són una mica difícils. Però tots són curiosos i divertits.

Alguns consells• Sempre has d’entendre perfectament l’enunciat i fer una bona planificació.• En alguns casos convindrà que facis un dibuix o una representació esquemàtica, en altres hau-

ràs de fer una cerca, un procés sistemàtic; o tantejar; o pensar en un problema similar, però més senzill.

• En tots els casos, diverteix-te pensant i, després, redacta les teves conclusions.

Per començar, observa la imatge: Qui caurà? I si gires el full? Podries dir del cert quin és el punt de vista correcte?

13_Mates_4tESO_2016.indd 290 14/06/16 12:22

348

Notes

solucionari DEls ProBlEMEs

1. La bassa tarda 4 h 48 min a omplir-se.

2. El dipòsit, només amb l’aixeta B, tarda a omplir-se 6 hores.

3. L’aixeta tarda a omplir la bassa 3 hores i 20 min.

4. La cita és a les 6 de la tarda. El seu destí és a 75 km de distància.

5. La longitud del tren és de 150 m.

6. a) Amb 442 espelmes tenim llum per a 491 hores.

b) Per aconseguir 1.000 hores de llum es necessiten 901 espelmes.

7. El primer ha treballat 80 min, i el segon, 110 min.

8. El nombre d’alumnes és 15.

9. A la colla són, comptant en Jordi, 6 amics.

10. Tenia 7 ous.

11. Eren 6 germans. Hi havia 36 ovelles al ramat.

12. Només tenen tres divisors els quadrats dels nombres primers.

13. Els quadrats perfectes, i només aquests, tenen un nombre senar de divisors.

14. Les potències de 2.

291

Fes comptes!

1. Una bassa s’alimenta de dues boques d’aigua. Obrint només la primera, la bassa s’omple en 8 ho-res i, obrint les dues, en 3 hores. Quant tarda a om-plir-se si s’obre només la segona boca?

2. Un dipòsit disposa de dues aixetes, A i B. Obrint només A, el dipòsit s’omple en 3 hores. Obrint les dues s’omple en dues hores. Quant tardarà a omplir-se el dipòsit si s’obre només l’aixeta B?

3. En una bassa hi ha una aixeta i una sortida de desguàs, que buida la bassa en dues hores.

Un dia, sense adonar-nos-en, i estant la bassa ple-na, vam obrir el desguàs però vam deixar l’aixeta oberta. La bassa va tardar 5 hores a buidar-se.

Quant tarda l’aixeta a omplir la bassa?

4. Un motorista surt de casa a les cinc de la tarda per acudir a una cita. S’adona que si viatja a 60 km/h arribarà un quart d’hora tard, però que si ho fa a 100 km/h arribarà un quart d’hora abans. A quina hora és la cita? A quina distància es troba el seu destí?

5. Un tren avança a 90 km/h per un tram recte de via. Per una carretera paral·lela, i en la mateixa di-recció avança un cotxe a 120 km/h.

Quina és la longitud del tren sabent que el cotxe tarda 18 segons a sobrepassar-lo?

6. Una espelma dura una hora. Amb les sobres de 10 espelmes se’n fabrica una de nova.a) Quantes hores de llum tindrem amb 442 espelmes?b) Quantes espelmes es necessiten per a 1.000 ho-

res de llum?

7. Dos operaris solden peces per a circuits electrò-nics. El primer solda tres peces per minut, i el segon, dues peces per minut.

Sabent que el segon ha treballat mitja hora més que el primer i que entre els dos han soldat 460 pe-ces, calcula el temps que ha treballat cada un.

8. Un professor de tennis, en un entrenament, re-parteix tres pilotes a cada alumne i li’n sobren 11. L’endemà porta 20 pilotes més, amb la qual cosa cada un en rep cinc i només li’n sobra una. Quants alumnes són?

9. Entre tots els amics, aportant 6 € cada un, com-praríem una pilota per regalar-la al nostre amic Jordi. Però l’Ivan i la Júlia no poden pagar-ho, per la qual cosa ara toquem a 10 €. Quants amics som a la colla?

10. Una grangera va anar al mercat a vendre una cistella d’ous. La primera clienta va comprar la mei-tat dels ous més mig ou. La segona va comprar la meitat dels que li quedaven més mig ou, i el mateix va fer la tercera. Amb això va concloure la venda, ja que a la grangera no li quedaven més ous. Quants ous tenia?

11. Un pare va repartir entre els seus fills un ramat d’ovelles.

• El fill gran se’n va dur una ovella més 1/7 de les restants.

• Al segon li van correspondre dues ovelles més 1/7 de les restants.

• El tercer va rebre tres ovelles més 1/7 de les que quedaven.

• I així successivament fins a arribar al més petit. D’aquesta manera, tots van rebre la mateixa he-

rència i no va sobrar cap ovella. Quants germans eren? Quantes ovelles hi havia al ramat?

Juga amb els nombres

12. Un nombre primer només té dos divisors, ell mateix i la unitat. Quins nombres tenen només tres divisors?

13. Quins nombres tenen una quantitat senar de divisors?

14. Quins nombres tenen tots els seus divisors, ex-cepte l’u, parells?

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 291 14/06/16 11:45

349

Notes


15. a) Certa. / b) Certa. / c) Certa.

16. El rotlle de corda mesura 59 metres.

17. Se li ha cremat la safata on hi ha 15 peces.

Té 37 magdalenes i 74 pastissets.

18. En l’excursió participen 36 membres del club.

19. Les edats poden ser: 1, 4 i 9 8 sumen 141, 6 i 6 8 sumen 132, 2 i 9 8 sumen 132, 3 i 6 8 sumen 114, 3 i 3 8 sumen 10En dues de les opcions, les edats sumen 13 i dos dels fills tenen la mateixa edat. Per tant, el viatger B va en el seient número 13 i les edats dels fills són 2, 2 i 9 anys, ja que els bessons són els petits.

20. Tots són múltiples d’11.

21. K = 3

22. 899 < 1675 < 32120 < 25150 < 7300 < 2900

23. El 6 s’utilitza 25 vegades.

24. El contenen 138 nombres.

25. La suma és 6.500.100.

26. Acaba en 24 zeros.

27. 16 jugadors 8 15 partits32 jugadors 8 31 partits64 jugadors 8 63 partits90 jugadors 8 89 partits133 jugadors 8 132 partitsn jugadors 8 n – 1 partits

292

15. Són certes les afirmacions següents? Raona les respostes.a) La suma de dos nombres consecutius no és múlti-

ple de dos.b) La suma de dos senars consecutius és múltiple de

quatre.c) La suma de tres nombres naturals consecutius és

múltiple de tres.

16. Tinc un rotlle de corda.• Si el mesuro de dos en dos metres me’n sobra un.• Si el mesuro de tres en tres, me’n sobren dos.• Si el mesuro de quatre en quatre, me’n sobren

tres.• Si ho faig de cinc en cinc, me’n sobren quatre.• Si ho faig de sis en sis, me’n sobren cinc. Sabent que mesura menys de 100 metres, podries

dir-me’n la longitud?

17. Un forner fica dins el forn cinc safates, unes amb magdalenes i altres amb pastissets.

A les safates hi ha 36, 15, 20, 8 i 47 peces, res-pectivament.

Per un descuit, se li crema una de les safates. Ara té més de 100 peces i ha comptabilitzat el doble de pastissets que de magdalenes.

Quina safata se li ha cremat? Quantes magdale-nes i quants pastissets té ara?

18. En una excursió a la muntanya, organitzada per un club alpí, cada tres membres comparteixen una motxilla, cada quatre, una brúixola i cada sis, un mapa. Si entre motxilles, brúixoles i mapes n’hi ha 27, quants membres de club participen en l’ex-cursió?

19. D urant un llarg viatge amb tren, dos viatgers passen el temps proposant-se endevinalles. Aquesta n’és una:

A: Tinc tres fills. El producte de les seves edats és 36 i la seva suma coincideix amb el número del seient que vostè ocupa.

B: (Després de cavil·lar una estona…). Hi ha dues possibles solucions, però, digues-me, els bessons són els dos més grans?

A: No, són els dos petits.B: Aleshores ja sé la solució. (I la va encertar). Explica com ho va aconseguir i el perquè de la

seva pregunta.

20. Tots els nombres capicues de quatre xifres te-nen un factor comú. Quin és?

21. Encara que et sembli estrany, el número K que veus aquí és un nombre enter:

K = √4 + √632

+ √4 – √632

Pots dir de quin número es tracta?

22. Ordena de petit a gran:

2900 7300 899

1675 25150 32120

C ombina, prova, tempteja...

23. Si escrius tots els números senars entre el 55 i el 555, quantes vegades hauràs usat la xifra 6?

24. Quants nombres compresos entre 100 i 400 contenen el dígit 2?


350

Notes


28. Se’n poden formar 15 quantitats diferents.

29. Ha pogut utilitzar: • 6 monedes de 0,50 €, o bé• (2 de 1 €) + (1 de 0,50 €) + (2 de 0,20 €) + (1 de 0,10 €)

30. Es pot fer de 16 formes diferents.

31. Una carta de 2 € es pot franquejar d’11 formes diferents.

Una carta de n € es pot franquejar de 5n + 1 formes diferents.

32. Per a quatre poblacions, 6 trams de carretera.

Per a cinc poblacions, 10 trams de carretera.

Per a n poblacions, n · (n – 1)2

trams de carretera.

33. a) Omplim el de 10 litres i en buidem el contingut en el de 6 litres. En queden 4 i 6 litres. Buidem l’envàs de 6 l .En queden 4 i 0 litres. Posem els 4 l en l’envàs de 6 l .En queden 0 i 4 litres. Omplim el de 10 litres.N’hi ha 10 i 4 litres. Amb el de 10 l omplim el de 6 litres.En queden 8 i 6 litres. Buidem el de 6 l .En queden 8 i 0 litres. Omplim el de 6 l amb el contingut del de 10.En queden 2 i 6 litres. Ja hem aconseguit els 2 litres.

b) Es poden aconseguir 2, 3, 6, 8, 10, 12, 14 i 16 litres.

34. L’àrea demanada és de 57,08 cm2.

35. L’àrea demanada és de 2,58 cm2.

36. L’àrea de l’hexàgon és d’1,15 cm2.

37. L’àrea de l’hexàgon és de 18 cm2.

293

25. Quina és la suma de tots els nombres capicues compresos entre 60.000 i 70.000?

26. En quants zeros acaba el producte dels cent primers nombres naturals?

27. Quants partits cal jugar per completar un cam-pionat de tennis, per eliminatòries, amb 16 jugadors? I amb 32? I amb 64?

I amb 90 jugadors? (En la primera ronda hauríem d’eliminar 26 jugadors perquè en quedin 64. Això s’aconsegueix seleccionant 52 jugadors perquè ju-guin 26 partits i classificant els restants directament a la ronda següent.)

I amb 133? Mirant les solucions dels exercicis anteriors, engi-

nya-te-les per dir quants partits es necessiten per dur a terme un torneig per eliminatòries amb n jugadors.

28. I magina que tens en una butxaca aquestes quatre monedes (2 €, 1 €, 0,50 € i 0,20 €):

Quines quantitats diferents pots formar?

29. En Julià tenia a la butxaca monedes d’1 €, de 0,50 €, de 0,20 € i de 0,10 €. Ha comprat una re-vista per 3 € utilitzant sis monedes.

Quines monedes ha utilitzat?

30. D e quantes formes diferents es poden ajuntar 6 € utilitzant només monedes de 2 €, 1 € i 0,50 €?

31. Suposa que disposes, exclusivament, de se-gells el valor dels quals és de 0,10 € i 0,20 €.

Amb aquests segells tens tres formes diferents de franquejar una carta amb 0,40 €:

0,10 + 0,10 + 0,10 + 0,10 = 0,400,10 + 0,10 + 0,20 = 0,40

0,20 + 0,20 = 0,40 De quantes formes diferents podràs franquejar

una carta amb 2 €? I una carta amb n €?

32. Quants trams de carretera són necessaris per comunicar quatre poblacions de manera que des de cada una es pugui arribar a qualsevol altra sense passar per una tercera?

I per comunicar cinc poblacions? I per comunicar n poblacions?

33. Estàs al costat d’una font i disposes d’un reci-pient de 10 litres i un altre de 6 litres.a) Com te les enginyaries per mesurar, exactament,

2 litres d’aigua?b) Quines quantitats diferents pots mesurar amb els

recipients de què disposes?

M ira bé les figures

34. Troba l’àrea de la part ombrejada.

c = 10 cm

35. Prenent com a centre cada un dels vèrtexs d’un triangle equi-làter, s’han traçat tres arcs de radi 4 cm, com indica la figura.

Troba l’àrea de la zona pintada.

36. Troba la superfície de l’he xàgon.

2 cm

37. Calcula l’àrea d’un hexàgon regular sabent que té el mateix perímetre que un triangle equilàter la superfície del qual fa 12 cm2.


351

Notes


38. Àrea zona groga = 36 cm2

Àrea zona blava = 48 cm2

Àrea zona verda = 24 cm2

Àrea zona morada = 12 cm2

Àrea zona vermella = 24 cm2

39. El segment AB mesura 7 unitats de longitud.

40. L’àrea del quadrat és de 36 cm2.

41. A = π · 12 · 18

= π8

cm2

42. S’han ombrejat 38

de la superfície del triangle.

43. L’àrea del cercle és de 18,10 cm2.

44. El perímetre de la figura és de 9,81 cm.

45. La longitud del camí més curt és de 50 cm.

294

38. Calcula l’àrea de la part del quadrat ocupada per cada color.

12 cm

39. C alcula la longitud del segment AB.

A

B4 3

40. C alcula l’àrea d’un quadrat, sabent que té els vèrtexs sobre un rombe les diagonals del qual mesu-ren 8 cm i 24 cm.

41. Troba l’àrea del sector pintat, sabent que la dia-gonal del quadrat mesura √2 cm.

42. Quina fracció de la su-perfície del triangle s’ha om-brejat?

m

m

a

a

43. El rombe té una superfície de 24 cm2, i la seva diagonal petita és igual als tres quarts de la gran.

Calcula l’àrea del cercle inscrit.

r

44. Troba el perímetre extern de tota la figura, sa-bent que el radi de la circumferència petita és r = 1 cm.

r

45. La sargantana estava tranquil·lament prenent el sol sobre el bloc de pedra, al punt A, però, en sentir-nos arribar, ha corregut a amagar-se al punt B. Per descomptat, no ha seguit el camí més curt. Troba el camí més curt entre A i B i calcula'n la longitud.

30 c

m A20 cm

B

20 cm


352


solucions

50. a) b)

c)

d)

Notes

46. L’han de tallar a una altura de 6 cm.

47. Se’n necessiten 75 unces.

48. 22,472 km

49. a) b) c) o bé

d) e) f) g) h)

i) J) k) l)

50. Vegeu resposta gràfica al marge.

51. a) b)

52. a) b)

53. El nombre de persones enquestades va ser 100.

295

46. En Robert i la Fàtima compartiran un gelat. A quina altura han de tallar el cucurutxo perquè les dues meitats siguin iguals?

9 cm

6 cm

47. Per preparar una coca de 15 polzades de dià-metre i 1 polzada de gruix, es necessiten 18 unces de massa. Quantes unces de massa es necessitaran per a una coca de polzada i mitja de gruix i 25 pol-zades de diàmetre?

48. D ues localitats A i B es troben al mateix costat d’una autopista recta, de la qual disten 14 km i 5 km, respectivament.

Es vol construir una carretera tan curta com sigui possible, que uneixi les dues localitats en un punt de l’autopista. Sabent que la distància entre A i B és de 15 km, troba la longitud de la carretera.

49. Aquí hi ha 14 quadrats. Els veus? Són 9 de petits, 4 de mitjans i 1 de gran.

Per tant, suprimint escuradents es redueix el nombre de quadrats. Re-sol els casos següents:

a b c d e f g h i j k l

Nre. d’escuradents

suprimits2 4 4 4 6 8 8 8 8 8 10 12

Nre. dequadrats que

hi queden7 5 6 7 5 2 3 4 5 6 2 2

50. A B

a) Aconsegueix que en la figura A quedin només tres quadrats suprimint tres escuradents.

b) Aconsegueix que en la figura A quedin només tres quadrats suprimint dos escuradents.

c) Divideix la figura B en tres peces fent-li dos talls rectes. Construeix amb aquestes peces un qua-drat.

d) Divideix la figura B en quatre peces idèntiques.

51. A B

a) Canviant de lloc dos escuradents, aconsegueix, en la figura A, que quedin quatre quadrats.

b) Divideix la figura B en quatre peces idèntiques.

52. A B

a) Mou tres escuradents perquè quedin quatre qua-drats iguals en la figura A.

b) Divideix la figura B en quatre peces idèntiques.

F es un esquema

53. Un enquestador ha preguntat a un grup de per-sones sobre els seus gustos a l’hora de triar el lloc per anar de vacances. Els resultats han estat:

• A 60 els agrada la platja.• A 30 els agrada la muntanya.• A 7 els agraden els dos ambients, és a dir, la

platja i la muntanya.• 17 manifesten que no els agrada ni una cosa ni

l’altra, per la qual cosa no surten de vacances o van a l’estranger.

Quantes van ser les persones enquestades?


353

Notes


54. Les instal·lacions interiors han estat visitades per un 28 % + 22 % = 50 %.

55. El nombre de preseleccionats ha estat 3.

56. Anomenem V els robots que diuen la veritat i M els que diuen mentides.

• Si el primer és V, aleshores el segon és V; aleshores el primer és M, perquè ja hi hauria dos V.

• Si el tercer és V, aleshores el segon i el quart són V; aleshores el tercer és M, perquè ja hi hauria tres V.

• Si el cinquè és V, aleshores el segon, el quart i el cinquè són V; aleshores el cinquè és M, perquè ja hi hauria quatre V.

La primera conclusió que treiem de tot això és que el primer, el tercer i el cinquè són M.

Ara, canviem de procediment:

• Suposem que hi ha només un V. 8 És impossible, perquè el primer seria V i no és cert.

• Suposem que hi ha dos V. 8 No pot ser, perquè el tercer seria V i no és cert.

• Suposem que hi ha tres V. 8 No pot ser, perquè el cinquè seria V i no és cert.

No hi pot haver més de tres V, perquè només hi ha sis robots i sabem que tres són M.

L’única conclusió que es treu de tot això és que tots són M.

57. La corbata del Sr. Negre és de color verd, la del Sr. Gris és negra i la del Sr. Verd és grisa.

58. L’ordre en què estan assegudes les quatre amigues, el tipus de pel·lícula que agrada a cada una i la camiseta que duen és:

victòria

intriga

blanca

patrícia

terror

verd

elena

acció

crema

marta

amor

groga

296

54. En un zoològic hi ha dos tipus de visites:A. ANIMALS A L’AIRE LLIURE

B. INSTAL·LACIONS INTERIORS S ’ha fet un informe en què es diu:• El 78 % dels clients visita els animals que estan

a l’aire lliure.• El 70 % visita les instal·lacions interiors.• El 28 % fa les dues visites. La direcció del zoo, en llegir l’informe, demana a

la persona que l’ha redactat que el revisi, perquè in-dubtablement ha d’haver-hi un error. Es comprova que l’error està en el percentatge dels assistents a les instal·lacions interiors. Corregeix tu l’error.

55. Un centre aeroespacial preselecciona futurs astronautes entre 83 persones candidates. Després de les proves que s’han fet (de coneixements, física i psicològica) es disposa de les dades següents:

• 45 de les persones candidates han superat la prova física; 26, la de coneixements, i 31, la psi-cològica.

• 12 han superat les proves físiques i la de conei-xements; 7 han superat la de coneixements i la psicològica; 9 han superat la psicològica i la física.

• Només 6 candidates no han superat cap de les tres proves.

Quantes han estat les preseleccionades?

CF

P

x

Lògica

56. Sis robots dialoguen a la sala d’espera del psi-quiatre. Estan afligits d’un mal estrany: només diuen mentides o només diuen veritats. Tots es coneixen perfectament. Parlen els sis, per torn, i afirmen:

— A quí només n’hi ha un de sincer.— A lmenys n’hi ha un de sincer.— Només n’hi ha dos de sincers.— Almenys dos són sincers.— Només n’hi ha tres de sincers.— Almenys n’hi ha tres de sincers.Quins són els sincers i quins els mentiders?

57. El Sr. Gris, el Sr. Verd i el Sr. Negre berenaven junts. Un d’ells duia una corbata bruna; un altre, una corbata verda, i un altre, una corbata negra.

— ¿S’han adonat —va dir l’home de la corbata verda— que encara que les nostres corbates són de colors iguals als nostres noms, cap de nosaltres duu una corbata que correspongui al seu nom?

— Té raó! —va exclamar el Sr. Gris. De quin color era la corbata de cada un?

58. Quatre amigues van juntes al cinema i xerren animosament mentre esperen el començament de la sessió.

• La Victòria comenta que li agraden les pel-lícules d’intriga.

• Qui porta la samarreta verda és aficionada a les pel·lícules de terror.

• A qui seu a la dreta de la Patrícia li agraden les pel·lícules d’acció.

• La Victòria seu a l’esquerra de la Patrícia.• La Marta porta una samarreta groga.• A qui seu a la dreta de l’Elena li agraden les

pel·lícules d’amor.• La de la samarreta groga seu a la dreta de la de

la samarreta vermella.• La de la samarreta blanca està refredada. Indica l’ordre en què estan assegudes, el color de

la samarreta i el gust cinematogràfic de cada una d’elles.


354

solucionari FaiG BalanÇ

TEMA 1

1. Naturals: √81 / Enters: √81; –8 /

Racionals: √81; –8; 3,)47; 2,03333…; – 13

9 /

Reals: √81; –8; 3,)47; 2,03333…; – 13

9;

3√4; √53

2. {x / x Ó 45 } 4

53. 3,35 · 1015 / E.A. < 0,005 · 1015 / E.R. < 0,0015

4. 14√a 3

5. 3b2z

3 3a2b2√ 2z

6. a) 7 + 2√6 / b) 6√6 / c) 0 / d) 2√3 + √2

7. A = 332

π m2

TEMA 2

1. –11x2 + 10x – 37

2. Quocient = 3x2 – 5x – 2 / Residu: 10x + 3

3. • És divisible per x + 4. quocient: x3 – 6x2 + x – 6

• És divisible per x – 6. quocient: x3 + 4x2 + x + 4

4. m = –12

5. a) x2(x – 6)2 / b) (x – 1)(x + 3)(2x + 1)

6. a) x2

4 b)

5x – 12(x – 2)2

7. d = 75 – xx

faig balanç

En aquestes pàgines s’ofereix una autoavaluació de cada tema perquè l’alumne pugui valorar el seu aprenentatge.

En les activitats titulades Diari d’aprenentatge, se li proposa fer una reflexió sobre allò que ha après en cada unitat.

A www.espaibarcanova.cat també estan les solucions, que l’alumne comprovarà quan el professor estimi convenient.

Notes

297

FAIG BALANÇ

Tema 1Saps classificar els nombres en els diferents conjunts nu-mèrics (N, Z, Q, Á), representar-los en la recta real i re-conèixer-los en diversos contextos?

1. Classifica els nombres següents com a naturals, en-ters, racionals, irracionals i/o reals:

3,)47; 2,03333…; √81; 3√4; √5

3; –

139

; –8

Identifiques els nombres que pertanyen a un interval, en coneixes la notació i saps utilitzar-la?

2. Escriu com a desigualtat i representa [4/5, +@).

Utilitzes amb agilitat la notació científica i controles l’er-ror comès quan dónes una aproximació?

3. Expressa en notació científica i, amb ajuda de la cal-culadora, opera-hi. Escriu el resultat amb tres xifres signi-ficatives.

1.500.000 · 25 · 1017

0,00007 · (2.000)4

Després, dóna una fita de l’error absolut i una altra de l’error relatiu del valor aproximat que has obtingut.

Saps identificar una arrel amb una potència i utilitzar amb destresa la simplificació i les operacions amb radicals?

4. Expressa com a potència i calcula. Dóna’n el resultat

com a arrel: √a · 4√ 1

a5

5. Extreu del radical tots els factors possibles: 3√ 81a 2b 5

16z 4

6. Opera i simplifica:

a) (3 √2 + √3 )2

3 b) √54 – 2 √6 + √150

c) 5

√50 – √2

2 d) 10

2 √3 – √2

7. Troba l’àrea de la corona circu-lar compresa entre les circumferèn-cies inscrita i circumscrita en un quadrat de 6 m2 d’àrea. Dóna’n el valor exacte.

8. Diari d’aprenentatge. Comprova les solucions de les activitats anteriors i explica com t’ha anat: Quines activi-tats has fet bé? N’hi ha alguna que hagis fet malament? Per què? Què has après en aquesta unitat?

Tema 2Saps operar amb polinomis amb agilitat i obtenir el quo-cient i el residu d’una divisió?

1. Multiplica pel MCM dels denominadors i simplifica:

(x – 2)(x + 1)3

– (3x – 1)2

8 +

(2x – 3)(2x + 3)12

2. Troba el quocient i el residu d’aquesta divisió:

(3x 4 – 5x 3 + 4x 2 – 1) : (x 2 + 2)

Coneixes la regla de Ruffini i les seves aplicacions?

3. El polinomi x 4 – 2x 3 – 23x 2 – 2x – 24 és divisible per x – a per a dos valors enters de a. Busca’ls i dó na el quo-cient en ambdós casos.

4. Calcula el valor del paràmetre m perquè el polinomi P (x ) = 7x 3 – mx 2 + 3x – 2 sigui divisible per x + 1.

Saps buscar les arrels d’un polinomi i descompondre’l en factors?

5. Descompon en factors els polinomis següents:a) x 4 – 12x 3 + 36x 2 b) 2x 3 + 5x 2 – 4x – 3

Coneixes els procediments per simplificar i operar frac-cions algebraiques, i saps aplicar-los?

6. Opera i simplifica, si és possible:

a) 2x 2

x – 3 :

8

x 3 – 3x 2 b)

x 2 – 6

(x – 2)2 –

x – 3x – 2

Ha millorat la teva capacitat d’expressar algebraicament un enunciat?

7. Si dividim 75 entre un nombre d, obtenim el quocient igual al residu, x. Expressa el divisor en funció de x.

www. Trobaràs el solucionari de totes aquestes activitats a www.espaibarcanova.cat


355

Notes


8. xy – (x – 50)(y – 30) = (30x + 50y – 1.500) m2

TEMA 3

1. a) x = 3 / b) x1 = 2, y1 = –1/3

2. a) x = 9/4, y = 5/2 / b) x1 = 3, y1 = 5; x2 = –3, y2 = –5

3. a) [–1/3, 2] / b) (–@, 7/2)

4. El valor dels quadres és 1.530 € i 1.120 €.

5. Les dimensions del jardí són 13 m i 17 m.

6. Hi ha dues solucions: • 8 noies i 13 nois.• 9 noies i 14 nois.

7. S’hi han de barrejar menys de 10 l de vi.

TEMA 4

1. a) 11 minuts i mig, aproximadament.

b) Entre els minuts 3 i 6 guanya 115 m d’altura, aproximadament. Entre els minuts 7 i 11 guanya uns 96 m.

c) És una funció creixent.

d) Continuaria fent-la pujar cada vegada més lentament, fins que s’es-tabilitzés a una certa altura.

298

8. En una parcel·la de costats x i y es construeix una casa, en la zona que s’indica en el dibuix.

x

y

50 m

30 m

Expressa, en funció de x i y, l’àrea de la zona no edificada.


Tema 3Identifiques diferents tipus d’equacions i les resols amb destresa?

1. Resol les equacions següents:

a) √x + 1 – x = x – 7

4 b)

1x

– x + 1x – 1

+ 52

= 0

Resols amb eficàcia sistemes lineals i no lineals?

2. Resol:

a) °¢£

√x = 4 – y

y 2 = 4 + x b)

°¢£

xy = 15

4x 2 – y 2 = 11

Saps resoldre inequacions de primer i segon grau?

3. Resol:

a) 3x 2 – 5x – 2 Ì 0 b) °¢£

2x – 3 < 4

4 – x Ó –1

Ha augmentat la teva capacitat de plantejar i resoldre problemes d’enunciat?

4. Un inversor compra dos quadres per 2.650 €. Al cap de dos anys, els ven per 3.124 €. Amb un hi guanya un 20% i amb l’altre, un 15%. Quant li va costar cada quadre?

5. Troba les dimensions d’un jardí rectangular el períme-tre del qual és de 60 m, i l’àrea, de 221 m2.

Has après a plantejar i resoldre problemes amb in equa-cions?

6. En una classe hi ha 5 nois més que noies. Sabem que en total són més de 20 alumnes, però que no arriben a 25. Quina pot ser la composició de la classe?

7. Quants litres de vi de 5 €/l s’han de barrejar amb 20 l d’un altre de 3,5 €/l perquè el preu de la mescla sigui inferior a 4 €/l ?


Tema 4Saps interpretar la gràfica corresponent a una situació real?

1. La gràfica següent representa l’altura a la qual es tro-ba, amb el pas del temps, un globus d’hidrogen que es va elevant… fins que esclata:

2

100

200

300

400

500

TEMPS (min)

ALTURA (m)

ESCLATA

4 6 8 10 12

a) Quant tarda a esclatar des que el deixem anar?b) Quina altura guanya entre el minut 3 i el minut 6? I en-

tre el 7 i l’11?c) Com és aquesta funció, creix o decreix?d) Com continuaries la gràfica si el globus no hagués es-

clatat?


356


2. a) Dom = [–4, 5]; recorregut = [–6, 2].

b) Màxims relatius: (–2, 2) i (5, 2); Mínims relatius: (–4, 0) i (1, –6)

c) Creix en (–4, –2) « (1, 5). Decreix en (–2, 1).

d) És contínua en (–4, 3) « (3, 5). És discontínua en x = 3.

3. a) [–2, +@) / b) (–@, 7) « (7, +@) / c) (–@, –5] « [3, +@)

4. a) És periòdica de període 6.

b) f (2) = 2; f (4) = 2; f (40) = 2; f (42) = –1

5. x 0 1 2 3 4 5

y 26 19 24 35 46 51

–1 1 2 3 4 5 6

60

40

20

• Decreix en l’interval (0, 1), durant el primer mes després de canviar d’adreça. El seu valor en borsa baixa uns 5 milions d’euros.

• Creix en l’interval (1, 5), des del segon mes al cinquè. El seu valor creix uns 30 milions d’euros.

• Mínim relatiu: (1, 19).

• Té dos màxims relatius, (0, 26) i (5, 51).

299

Reconeixes les característiques més rellevants d’una funció?

2. Observa la gràfica i troba-hi:

–2

–4

–2–4 2

Y

X

2

4

a) Domini i recorregut.b) Màxims i mínims.c) Intervals de creixement i decreixement.d) On és contínua i els punts de discontinuïtat.

3. Troba el domini de definició d’aquestes funcions:

a) y = √4x + 8 b) y = 1

x – 7

c) y = √x 2 + 2x – 15

4. a) És periòdica aquesta funció?

2

Y

X

2

46

8

Quin període té?b) Troba els valors de la funció en els punts d’abscisses:

x = 2; x = 4; x = 40; x = 42

5. Representa la funció y = –x 3 + 9x 2 – 15x + 26, defi-nida en [0, 5], donant-li a x valors enters.

Suposa que y és el valor en borsa, en milions d’euros, d’una empresa que acaba de canviar d’adreça, i que x és el nombre de mesos transcorreguts des que va canviar d’adreça.

Descriu-ne l’evolució en aquests cinc mesos, assenya-lant creixement, decreixement, màxims i mínims.

Saps trobar la TVM d’una funció en un interval?

6. Calcula la TVM de la funció y = x 2 + 4x – 5 en els intervals [–5, 2], [ –2, 1] i [ 1, 2].


Tema 5

Domines les funcions lineals i les utilitzes per interpretar i representar funcions definides a trossos?

1. Representa la funció definida a trossos l’equació de la qual és:

y = °§¢§£

2x + 6 si x < –2

x/2 + 3 si –2 Ì x < 2

–x + 6 si x Ó 2

Coneixes algunes famílies de funcions i relaciones les se-ves gràfiques amb les seves equacions?

2. Troba el vèrtex d’aquestes paràboles i representa-les:

a) y = x 2

2 – 2 b) y = x 2 + 4x – 5

3. Representa les funcions següents:

a) y = 3 – 1

x – 3 b) y = √–3x + 4 c) y = 2x – 3

Saps calcular els logaritmes i relacionar-los amb les po-tències?

4. Calcula:

a) log2 64 b) log2 1

16 c) log3 27 d) log5 25

Associes una situació real amb algun model de funció i t’hi bases per interpretar-la?

5. Amb un llistó de fusta de 3 metres de llarg, volem fa-bricar un marc per a un quadre.a) Si la base mesurés 0,5 m, quant mesurarien l’altura i la

superfície del quadre?b) Quin és el valor de la superfície per a una base qualse-

vol, x ?c) Per a quin valor de la base s’obté la superfície màxi-

ma? Quant val aquesta superfície?


Notes

357

Notes


6. TVM [–5, 2] = 1; TVM [–2, 1] = 3; TVM [1, 2] = 7

TEMA 5

1.

–4 –2 2 4 6 8 10

4321

–1–2–3

2. a) Vèrtex en (0, –2). b) Vèrtex en (–2, –9).

–2 –1,5 –1 –0,5 0,5 1 1,5 2

–0,5

–1

–1,5

–2

–10 –5 5

10

5

–5

–10

299



–2

–4

–2–4 2

Y

X

2

4



a) y = √4x + 8 b) y = 1

x – 7

c) y = √x 2 + 2x – 15


2

Y

X

2

46

8


x = 2; x = 4; x = 40; x = 42







Tema 5



y = °§¢§£

2x + 6 si x < –2

x/2 + 3 si –2 Ì x < 2

–x + 6 si x Ó 2



a) y = x 2

2 – 2 b) y = x 2 + 4x – 5


a) y = 3 – 1

x – 3 b) y = √–3x + 4 c) y = 2x – 3


4. Calcula:


16 c) log3 27 d) log5 25







358

Notes


3. a) b)

15 –10 –5 5 10 15 20

15

10

5

–5

1 2

3

2

1

c)

–20 –15 –10 –5 5 10

15

10

5

4. a) 6 / b) –4 / c) 3 / d) 2

5. a) Altura = 1 m; àrea = 0,5 m2 / b) Àrea = 1,5 x – x2 / c) S’obté per a x = 0,75 m, i és de 0,5625 m2.

299



–2

–4

–2–4 2

Y

X

2

4



a) y = √4x + 8 b) y = 1

x – 7

c) y = √x 2 + 2x – 15


2

Y

X

2

46

8


x = 2; x = 4; x = 40; x = 42







Tema 5



y = °§¢§£

2x + 6 si x < –2

x/2 + 3 si –2 Ì x < 2

–x + 6 si x Ó 2



a) y = x 2

2 – 2 b) y = x 2 + 4x – 5


a) y = 3 – 1

x – 3 b) y = √–3x + 4 c) y = 2x – 3


4. Calcula:


16 c) log3 27 d) log5 25







359

Notes


TEMA 6

1. Perímetre = 212,5 cm; àrea = 2.343,75 cm2

2. x = 8 km; y = 7,5 km

3. BP = 18,38 km; BF1 = 22,52 km; BF2 = 31,84 km

4. N’hi cap més de mig litre. El seu volum és, aproximadament, de 615,75 cm3.

5. Àrea = 276 cm2. Perímetre = 74 cm.

TEMA 7

1. a) sin a = 0,85; tg a = 1,64 o bé sin a = –0,85; tg a = –1,64

b) sin b = 1213

; cos b = 513

o bé sin b = – 1213

; cos b = – 513

2. Els catets del triangle mesuren 12,26 cm i 10,28 cm.

3. El riu té una amplada de 28 m.

4. L’altura sobre AC és 15,76 m.

Àrea del triangle = 220,64 m2

Cì

= 36°

5.

82°

250°305°

130°

305°82°250°130°

0°130° 250° 82° 305°

sin + – + –

cos – – + +

tg – + + –

300


Tema 6Saps utilitzar la semblança de figures per obtenir mesu-res d’una a partir de l’altra?

1. Volem fer una maqueta d’un jardí rectangular a escala 1:400. El perímetre és de 850 m, i l’àrea, de 37.500 m2. Quines seran aquestes mesures en la maqueta?

Coneixes les condicions que s’han de comprovar per as-segurar que dos triangles són semblants?

2. Un centre comercial P està situat entre dues vies paral·leles r i s. Es vol unir, mitjançant car reteres, amb les poblacions A, B, C i D. Amb les dades de la figura, calcula x i y.

6 km

10 km

B

x

y

D r

s

P

C 6,75 km

9 kmA

Coneixes i apliques els teoremes del catet i de l’altura?

3. Un vaixell B que navega cap a port se situa en un punt en què la seva posició forma un angle recte amb els fars F1 i F2. Des d’aquest punt, la línia que l’uneix al port P és perpendicular a la costa.

26 km13 km

B

P1F 2F

Sabem que PF1 = 13 km i que PF2 = 26 km.Calcula la distància del vaixell al port i a cada un dels

fars.

Utilitzes amb destresa la semblança per resoldre proble-mes?

4. Tenim un vas de vidre amb forma de tronc de con en el qual els diàmetres de les bases fan 10 cm i 6 cm i l’al-tura és de 12 cm. Si l’omplim, hi cap més de mig litre d’aigua, o menys?

5. Les diagonals d’un rombe mesuren AC = 32 cm i BD = 24 cm. Per un punt P de la diagonal petita, tal que PD = 9 cm, es traça una paral·lela a la diago-nal AC, que talla en M i N els costats AD i CD. Calcula l’àrea i el perímetre del pentàgon MABCN.


Tema 7

Domines les raons trigonomètriques d’un angle agut i saps utilitzar-les per calcular costats i angles? Coneixes les relacions entre elles?

1. a) Si cos a = 0,52, calcula sin a i tg a.

b) Si tg b = 125

, calcula sin b i cos b.

Saps resoldre triangles rectangles a partir d’un costat i un angle o a partir de dos costats? I triangles obliquangles aplicant l’estratègia de l’altura?

2. En un triangle rectangle, un angle agut mesura 50°, i la hipotenusa, 16 cm. Resol el triangle.

3. Per mesurar l’amplada d’un riu, hem pres les mesures indica-des en la figura. Troba-la.

50 m C

B

A 56° 42°

4. En aquest triangle, troba l’al-tura sobre AC, l’àrea del triangle i l’angle C

^.

28 m

17 m

C

B

A68°

Saps utilitzar la circumferència goniomètrica per repre-sentar angles qualssevol i valorar-ne les raons?

5. Dibuixa els angles següents sobre la circumferència goniomètrica i digues el signe de les seves raons trigono-mètriques:a) 130° b) 250° c) 82° d) 305°


360


solucions

Tema 9

1. a)275250225200175150125100

755025

0 [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75)

3.

1,5 3

6 8

0 2 4 6 8 10

* *

Notes

6. a = 35° 27' 2''; a = 144° 32' 58''

TEMA 8

1.

A

C

D

M

B

MAC = MBD = (–1; 3,5)

2. Q(11, 15)

3. k = 15/2

4. 8 AB = √104;

8 AC = √20;

8 BC = 10

5. x2 + (y – 3)2 = 52 8 x2 + y2 – 6y – 16 = 0

6. r : 3x + 8y – 7 = 0; s: 4x + 2y – 31 = 0

7. 2x + y – 7 = 0

8. Són la mateixa recta.

9. P (9, – 52 )

TEMA 9

1. a) Vegeu resposta gràfica al marge.

b) x– = 47,90; q = 13,94; C.V. = 29 %

2. • Empresa A: x– = 5,4; q = 1,97; C.V. = 36 %

• Empresa B: x– = 4,6; q = 0,80; C.V. = 17%

Té major variació l’empresa A.

3. Me = 2; Q1 = 1,5; Q3 = 3

301

La calculadora científica és un instrument bàsic en trigo-nometria. Saps fer-la servir amb eficàcia?

6. Troba dos valors per a a, sabent que sin a = 0,58.


Tema 8Saps trobar el punt mitjà d’un segment i el simètric d’un punt respecte d’un altre? I comprovar si tres punts estan alineats?

1. Representa els punts A(–5, 0), B(0, 2), C(3, 7) i D(–2, 5) i comprova analíticament que el punt mitjà de AC coinci-deix amb el punt mitjà de BD.

2. Troba el simètric de P (–7, –15) respecte de M(2, 0).

3. Troba el valor de k perquè els punts A(1, –5), B (3, 0) i C (6, k) estiguin alineats.

Saps calcular la distància entre dos punts? I aplicar-la per trobar l’equació d’una circumferència?

4. Calcula la longitud dels costats del triangle de vèrtexs A(– 4, 1), B (6, 3) i C (–2, –3).

5. Escriu l’equació de la circumferència de centre (0, –3) i radi 5.

Obtens amb destresa l’equació d’una recta donada de maneres diferents?

6. Obtén l’equació de les rectes r i s tals que:r passa per (–3, 2) i és perpendicular 8x – 3y + 6 = 0.s passa per (9, –5/2) i és paral·lela a 2x + y – 7 = 0.

7. En el triangle de vèrtexs A(–2, 2), B(0, 7) i C(6, 4), troba l’equació de la mitjana que parteix B.

Reconeixes, sense representar-les, si dues rectes són pa-ral·leles o perpendiculars?

8. Estudia la posició relativa d’aquestes rectes:

r : 2x + y – 2 = 0 s : x + 12

y = 1

Obtens amb agilitat el punt de tall de dues rectes?

9. Troba el punt d’intersecció de les rectes següents:

3x + 8y – 7 = 0 i 4x + 2y – 31 = 0

10. Diari d’aprenentatge. Comprova les solucions de les activitats anteriors i explica com t’ha anat: Quines ac-tivitats has fet bé? N’hi ha alguna que hagis fet malament? Per què? Què has après en aquesta unitat?

Tema 9

Coneixes els paràmetres estadístics x–, q i C.V.? Els saps calcular i interpretar?

1. L’edat dels visitants d’una exposició està recollida en la taula següent:

Edat [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75]

Nre. de vis. 63 95 189 243 175 105

a) Representa les dades en un gràfic adequat.b) Troba x–, q i C.V.

2. Els beneficis, en milions d’euros, de dues empreses en sis anys consecutius han estat els següents:

A 5,9 2,5 7,4 8,1 4,8 3,7

B 4,5 3,8 5,7 3,5 5,5 4,6

Quina de les dues empreses té una variació més gran?

Coneixes les mesures de posició, mediana, quartils i per-centils? Els saps calcular i interpretar? Saps utilitzar-los per construir o interpretar un diagrama de caixa?

3. Troba la mitjana i els quartils de la distribució següent:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8

fi 27 73 193 62 38 4 2 0 1

Fes el diagrama de caixa corresponent.

14_Mates_4tESO_2016.indd 301 14/06/16 12:29

361


solucions

Tema 10

4.

5

105Nota en anglès

Nota en francès

10

Notes

4. Per recórrer a assenyalar casos particulars (asteriscs), és necessari que el «bigoti» corresponent tingui una longitud d’1,5 vegades la de la caixa. En aquest cas es podria haver posat el bigoti arribant a 11. La seva longitud seria de 5 unitats, menor que 1,5 · 3,5 = 2,25.

TEMA 10

1. a) No hi ha correlació o, si n’hi ha, és positiva i molt baixa. / b) Correlació positiva. / c) Correlació negativa. / d) Correlació negativa. / e) Correlació positiva.

2. a) r = 0,23 / b) r = 0,83 / c) r = – 0,92 / d) r = – 1 / e) r = 1

3. A: r = 0,97 / B: r = –0,83 / C: r = 1 / D: r = 0,18

4. a) Vegeu resposta gràfica al marge. / b) r = 0,88

5. a) En francès obtindran y (1) = 1,85; y (6,5) = 6,525 i y (9,5) = 9,075, respectivament.

b) Les estimacions són bastant fiables, perquè es tracta de matèries molt relacionades entre elles i pot haver-hi una correlació positiva forta.

TEMA 11

1. Cada vegada que guanya en Pep, posem una P; cada vegada que guanya l’Aina, posem una A. Quan algú dels dos arriba a 6 partides guanyades, s’acaba el joc –i la branca del diagrama. Hem de tenir en compte que en el punt inicial guanya en Pep per 4 a 2.

Vegeu resposta gràfica al marge següent.

2. a) 21 eleccions. / b) 6 possibilitats.

302

4. Indica per què aquest diagrama de caixa és incorrecte:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

*


Tema 10Estimes el signe y, a grans trets, i el valor de la correlació d’una distribució donada per les seves variables o per un núvol de punts?

1. De les distribucions bidimensionals següents, digues en quins casos la correlació és positiva, en quins és nega-tiva i en quins no veus correlació:a) Alçada d’una persona - Grandària del seu gos.b) Distància d’un viatge d’avió - Preu del bitllet.c) Latitud d’un lloc de l’hemisferi nord - Temperatures

mitjanes anuals.d) Altitud - Pressió atmosfèrica.e) Profunditat del mar - Pressió de l’aigua.

2. Associa a cada una de les distribucions bidimensio-nals de l’exercici anterior una d’aquestes correlacions:

r = –1 r = 0,83 r = –0,92 r = 0,23 r = 1

3. Associa cada núvol de punts amb una de les correla-cions següents:

r = 1 r = –0,83 r = 0,97 r = 0,18

A B

C D

Representes el núvol de punts corresponent a una taula de valors i traces, de manera aproximada, la recta de re-gressió?

4. S’han anotat a final de curs les notes d’anglès i de francès de 10 estudiants d’ESO. Aquests són els resultats:

Nota en anglès Nota en francès

6 6

3 4

5 6

6 5

5 7

8 7

10 9

4 5

9 10

7 7

a) Representa les dades en un núvol de punts. Traça a ull la recta de regressió corresponent.

b) Indica quin d’aquests coeficients de correlació li cor-respon:

r = 0,99 r = –0,86 r = 0,88 r = 0,63

Estimes, a partir de la recta de regressió, el valor que li ha de correspondre a una variable a partir d’un valor de l’al-tra? Valores la fiabilitat de les teves prediccions?

5. Sabent que la recta de regressió corresponent a les notes en anglès i francès de l’activitat anterior té com a equació y = 1 + 0,85x :a) Estima quina nota obtindran en francès 3 nous estu-

diants que van treure en anglès 1; 6,5 i 9,5.b) Consideres fiables aquestes estimacions? Explica per

què.



362


solucions

Tema 11

2.P

P

P

PP P

P P P

A

A

AA A

A A A

P

P

P

P

P

A

A

A

A

AA

Notes

3. 81 nombres.

Cada xifra apareixerà com a unitat, desena, centena o miler 81:3 = 27 vegades; la suma de tots els nombres és (27 · (1 + 2 + 3) · 1) + (27 · (1 + 2 + 3) · 10) + (27 · (1 + 2 + 3) · 100) + + (27 · (1 + 2 + 3) · 1.000) = 179.982.

4. 42 maneres.

5. 12 ordenacions.

6. 900

TEMA 12

1. a) E = {x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7, x = 8, x = 9}

P [x = 1] = 0,0416; P [x = 2] = 0,083; P [x = 3] = 0,125;

P [x = 4] = 0,16; P [x = 5] = 0,16; P [x = 6] = 0,16; P [x = 7] = 0,125;

P [x = 8] = 0,083; P [x = 9] = 0,0416.

b) P [A] = 0,75; P [B] = 0,5416; P [A « B] = 0,9583;

P [A » B] = 0,3; P [A’] = 0,25; P [(A « B)’] = 0,0416

2. 715

3. 13

4. 310

5. P [asos « reis] = 840

+ 739

+ 638

= 0,537

6. P [big/àfrica] = 35

(Els que porten bigoti entre els africans.)

P [àfrica/big] = 12

(Els que són africans entre els que duen bigoti.)

303

Tema 11Coneixes els agrupaments combinatoris clàssics (varia-cions, permutacions, combinacions) i les fórmules per calcular-ne el nombre, i els apliques a la resolució de problemes?

1. L’Aina i en Pep estan jugant un torneig d’escacs que guanyarà el primer que venci en 6 partides. Les taules (empats) no compten.

En Pep va guanyant 4 a 2. Fes un diagrama en arbre que descrigui totes les possibles continuacions.

2. En un examen, el professor ha posat 7 problemes, i se n’han de triar 5.a) Quantes eleccions es pot plantejar un alumne?b) Si en Carles té clar que en triarà tres, quantes possibi-

litats li queden per als altres dos?

3. Quants nombres de quatre xifres es poden fer amb els dígits 1, 2 i 3? Quina és la suma de tots?

4. De quantes maneres podem elegir el delegat i el sub-delegat d’un curs en el qual hi ha set candidats?

Utilitzes el diagrama en arbre i altres estratègies per for-mar o comptar agrupacions seguint criteris determinats?

5. Amb les lletres de la paraula CASA, quantes ordena-cions, amb sentit o sense, podem formar? Escriu- les totes.

6. Quants nombres capicues de 5 xifres hi ha?


Tema 12Apliques propietats dels esdeveniments i de les probabi-litats?

1. Tenim una bossa amb quatre boles numerades: 0, 1, 2 i 3. I disposem d’un dau normal. Extraiem una bola de la bossa, llancem el dau i sumem els dos resultats obtinguts. Anomenem x la suma.

a) Descriu l’espai mostral d’aquesta experiència i assigna probabilitat a cadascun dels casos.

b) A és l’esdeveniment «x < 7» i B és l’esdeveniment «4 < x < 9». Troba, detallant-ne tots els casos, A ∪ B, A ∩ B, A' i (A ∪ B)'.

c) Troba les probabilitats dels esdeveniments A, B, A ∪ B, A ∩ B, A' i (A ∪ B)'.

Resols problemes de probabilitat composta utilitzant el diagrama en arbre quan convingui?

2. Tenim dues bosses, A i B, amb aquestes boles:A: 7 blanques i 3 negres.B: 1 blanca, 2 negres i 7 vermelles.Tirant un dau, si surt 1 o 2 extraiem una bola de A. Si

surt 3, 4, 5 o 6, extraiem una bola de B. Calcula la proba-bilitat d’extreure la bola vermella.

3. Extraiem una bola de cada caixa. Quina és la pro-babilitat que sumin 5?

2 31

2 21

1 1

4. L’urna A té 3 boles vermelles i 1 de negra, i la B, 3 de negres i 1 de vermella. Traiem una bola de A, la posem a B, removem i traiem una bola de B. Calcula la probabilitat que les dues boles siguin vermelles.

5. Extraiem tres cartes d’una baralla de 40 cartes. Troba la probabilitat que totes aquestes siguin ASOS o REIS.

Interpretes les taules de contingència? Resols problemes de probabilitat relacionats amb aquestes taules?

6. En un grup d’homes, uns duen bigoti, i els altres, no. Què volen dir els esdeveniments BIG/AFRIC i AFRIC/BIG? Tro-ba’n les probabilitats.

Europa Àfrica Amèrica

BIG 2 6 4

NO BIG 8 4 6



363

Documents

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES - · PDF filepossibles solucions, però, digues-me, els bessons són els dos més grans? A: No, són els dos petits. B: Aleshores ja sé la solució. (I la