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ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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FACULTAD DE INGENIERÍASFACULTAD DE INGENIERÍASFACULTAD DE INGENIERÍASFACULTAD DE INGENIERÍAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
INDICE
Realizado por : CUTIMBO CHOQUE, Wilber. QUISPE ALVAREZ ,Alessandro. QUISPE ROSADO, Rene. RIVERA FLORES. Rommel.
CICLO : IV
DOCENTE : Ing. A. Flores Q.
MOQUEGUA – PERU
2008
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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RESOLUCION DE LA RESOLUCION DE LA RESOLUCION DE LA RESOLUCION DE LA PRIMERA PRACTICA CALIFICADA PRIMERA PRACTICA CALIFICADA PRIMERA PRACTICA CALIFICADA PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE DINAMICADE DINAMICADE DINAMICADE DINAMICA
1.- Hallar una expresión equivalente a:
)()( RPQPQR ××−××
SOLUCIÓN:
)( PQR ××
↓ ↓ ↓
m n o
p
q
onmmnqoonmmoqn
onmmnqomoqn
onmpnopqm
PQRPQRPxQxR
PQRPxQxR
PQReePxQxR
δδδδδδδδ
−=
−=
=
)(
).()(
..)(
� Contracciones:
om
nq
==
nm
oq
==
� Entonces:
( ) ( )PQRQPR
oP
nQR
oPQR mnnoonmoonn
.. •−•=
−= δδδδ
)( RPQ ××
↓ ↓ ↓
s t u
v
x
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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utsstxuutssuxt
utsstxusuxt
utsvtuvxs
RPQRPQRxPxQ
RPQRxPxQ
RPQeeRxPxQ
δδδδ
δδδδ
−=
−=
=
)(
).()(
..)(
� Contracciones:
us
tx
==
ts
ux
==
� Entonces:
( ) ( )RPQPRQ
RPQRPQ utsttuuutsuutt
.. •−•=
−= δδδδ
� Por lo tanto reemplazando en la expresión general tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )RPQPRQQPR
RPQPRQPQRQPR
RPQPRQPQRQPR
RPQPQR
..2.
...
...
)()(
•+•−•=
•+•−•−•=
•−•−•−•=
××−××=
� Entonces la respuesta es :
( ) ( ) ( )RPQPRQQPR ..2. •+•−•=
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2.- Indicar si el siguiente campo es conservativo: (Coordenadas Esféricas),
de ser así existe una función λ tal que λ.∇=H .Hallar dicha función
φθ φθφφθ eeer senrrsenrH ...coscos..cos..2 +−−= .
SOLUCIÓN:
� Aplicando la formula:
Hx∇ = θsenr 2
1
φθθφθ
θ φθ
ArsenrAArr
ersenerer
∂∂
∂∂
∂∂
Hx∇ = θsenr 2
1
θφθφφθφθ
θ φθ
sensenrrsenrr
ersenerer
.cos.coscos..2 22−−∂∂
∂∂
∂∂
=θsenr 2
1. re
−∂∂−
∂∂
)cos.cos().( 22 θφφ
θφθ
rsensenr -r θe
−∂∂−
∂∂
)cos..2().( 2 φθφ
θφ senrsensenrr
+…
…..…r senθ φe
−∂∂−−
∂∂
)cos..2()cos.cos( 2 φθθ
θφ senrrr
Hx∇ = θsenr 2
1
+−+−−−
φ
θ
θθφθφθφθφθφθφ
ersenrr
ersensenrsenrsenesenrsenr r
)cos.cos.2cos.cos.2........(
........)..2.2()cos.cos.( 22
Hx∇ =θsenr 2
1[0]
Hx∇ = 0
Hx∇ = 0 → Entonces es un campo conservativo.
� Calculando la función:
λ(r, θ ,Ø) = H
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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λ / =
λ / = φθ cos..2 senr−
λ = φθ cos..2 senr−
∫ λ = φθ cos..2 senr∫−
λ = - r2 senθ . cosØ + f(θ ,Ø)
θφθφθθλ ddfr /),(cos.cos/ 2 +−=∂∂
cr
csenrrsenr
csenrg
dsensenrdg
dsenrsendg
sensenrrsend
dg
senrd
dgsenrsen
d
dgsenrsen
gsenr
grrrsen
grrsensenr
grrsenf
rrf
rrf
rrf
rrf
rfr
+−=++−−=
+−−=
−=
−=
−=
=+
+=∂∂
+−=+−+−=
+−+−=+−=
∂−=∂
∂−=∂
−=∂∂
−=∂∂
−=∂∂+−
∫∫
∫∫
φλθφφφθλ
θφφ
φθφ
φθφ
φθφφ
φφ
φθ
φφφθ
φλ
φφθλφφθλ
φφθφθλφφθφθ
θθφφθ
θθφφθθφθφθ
θφφθθφθθφθφθφθ
cos.
.cos.cos.cos..
)1(cos.)(
)1(.
)1(
..
..
)(.
)(cos..
)()(cos.
)()(cos.cos.
)()(cos.),(
)(cos.cos),(
)(cos.cos),(
)(cos.cos/),(
cos.cos.cos.cos/),(
cos.cos./),(cos.cos
22
22
2
2
2
2
2
2
� respuesta cr +−= φλ cos.
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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3.- Indicar si el siguiente campo es Solenoidal: (Coordenadas Cilíndricas).
eztgzeseneB ..5).cos.(. 22 φφφθρρρ ++=
SOLUCIÓN:
[ ]
[ ]
0.
.5..3.
.5..31
.
.).5()cos.()(1.
)()().(1
.
22
23
≠∇
+−=∇
+−=∇
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
B
tgsensenB
tgsensenB
tgzsenB
BBBB
Z
ZZ
φφθρρ
φρφθρρρ
φρφ
φθρρρ
ρ
ρφ
ρρρ φρ
→ no es solenoidal.
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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4.- Resolver Φ∇ , si:
)ln(.)( 22222222 222
zyxezyx zyx +++++=Φ ++−
SOLUCIÓN:
( )
++−=∇
++−=∇
++−=∇
++−=∇
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−=∇
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
∂∂+
∂∂=∇
+=∇
+=∇
++=
++==
++=
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−
−
22223
22223
22223
22324
22324
22424
224
224
222
2222
222
2.4..2.
2.4..2.
2.4..2.
2..4.2.
2..4)2.(.
1...
1...
1..
.ln..
)(
2
rererr
rererX
Xr
XerXer
r
X
r
r
r
Xer
r
Xer
r
X
r
re
r
Xr
r
Xer
rXer
Xe
Xr
rXer
X
rer
rer
DOREEMPLAZAN
ZYXr
ZYXrr
ZYXr
rr
rri
iir
ir
iirir
iriir
i
r
i
r
i
i
r
i
r
r
Kji
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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5.- Hallar todas las soluciones de la ecuación de La place que dependan de r:
(Coordenadas Esféricas).
0.2 =∇ u ;
∂∂
∂∂=∇ −
rr
rru 222
SOLUCIÓN:
2
2
2
222
2
222
22
22
222
.2
2
.2
.
r
u
r
u
r
r
ur
r
urr
r
ur
r
u
r
rrr
r
ur
r
rr
r
ur
rru
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂=∇
−
−
−
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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6.- En un sistema de coordenadas (u,v,z)se tiene un vector:
ezeveu zvuA 2122 4
21
3 −+=
Las ecuaciones de transformación son:
( )
zz
vuy
vux
==
+=
.2
1 22
Verificar si existe dependencia entre este sistema y el cartesiano? De ser
así calcular la divergencia del vector. SOLUCIÓN:
� Existe dependencia cuando el jacoviano es diferente de cero.
� Entonces:
( )
zz
vuy
vux
==
+=
.2
1 22
),,(
),,(
,,
,,
321321 uuu
zyx
uuu
zyxJ
∂∂=
( ) ( ) ( )
0
0
)(0)0(000
22
22
≠+=
++=
−+−−−−=
∂∂⋅
∂∂−
∂∂⋅
∂∂
∂∂+
∂∂⋅
∂∂−
∂∂⋅
∂∂
∂∂−
∂∂⋅
∂∂−
∂∂⋅
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
J
vuJ
vuJ
uvvvuuJ
v
y
z
x
z
y
v
x
u
z
v
z
z
x
z
z
v
x
u
y
v
z
z
y
z
z
v
y
u
xJ
z
z
z
y
z
xv
z
v
y
v
xu
z
u
y
u
x
J
→ El Jacobiano es diferente de cero entonces si existe dependencia entre este sistema y el cartesiano.
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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� Calculando Factores de escala:
2
1.
)..12(.).6().12(
..12
1.
)4..6()2
1..6()3..2(
..12
1.
)()()(1
.
..
2
6
2
1
2
1
2
1
2
1
2
122
122
1
2
1
321231132321
2
1
3
2
1
=∇
−+=∇
−
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
=∂∂=
=∂∂=
=∂∂=
−−−
−
−−
−
−
A
vzuzuzv
zvu
A
zvuz
vzuv
uzvu
zvu
A
Ahhz
Ahhv
Ahhuhhh
A
ADIVERGENCI
zz
Ah
vv
Ah
uu
Ah
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RESOLUCION DE LA SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA DE DINAMICA 2008 – II
1.- El pasador A se desliza en la ranura circular a lo largo de la barra giratoria OB. Si el pasador gira en el sentido antihorario alrededor de la ranura circular con un valor constante de velocidad de 150 pies/seg, calcular la velocidad angular de la barra OB y la componente de la velocidad del pasador a lo largo
de la barra giratoria cuando o
01 =θ y cuando o901 =θ .
SOLUCION:
39.20
426
420 22
==
+=
L
L
L
0
24
0
31.11
2.0.3
1
20
4
2
1
2
2
===
===
==
θ
θθθ
Lr
tagarc
Tg
2
.cos.24
..24
cos.24
.
•••
••
••
−=
=
=
+=
θθρ
θθρ
θρθρρ θρ
sen
V ee
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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segrad
V
V ee
/75
2
150
2150
.24
.
=
=
=
=
+=
•
•
•
•
••
θ
θ
θ
θ
θρρ θρ
2
2
61.19
92.3
61.19
.cos.20
..20
cos.20
90
•••
••
•••
••
−=
−=
=
−=
−=
==
θρ
θρ
ρ
θθρ
θθρ
θρθ
sen
o
( ) ( )
segrad
V
V
V
V ee
/82.89
67.1
150
20.150
92.399
61.1992.3.
61.1992.3
.
222
22
=
=
=
=
+−=
+
−=
+=
•
•
•
•
•
••
••
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
θρρ θρ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2.- En la figura se tiene una antena telescópica en funcionamiento, el eje OB gira en torno al eje OZ con una velocidad de 4 rad/seg. Y aceleración de 3 rad/seg2 mientras que el brazo extensible gira con velocidad angular de 2.5
rad/seg. Y aceleración de 5 rad/seg2 .en el instante que o
37=θ OA=1.8m, la velocidad con que se contrae A es igual a 12m/seg.
Hallar la velocidad y aceleración del extremo A de la antena.
SOLUCION:
0
12
8.1
=
−=
=
••
•
r
r
r
5
5.2
37
=
−=
=
••
•
θ
θ
θ
3
4
=
−=••
•
φ
φ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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( ) ( ) ( )
./93.12
16.67
32.45.412
32.45.412
)60.0)(4(8.1)5.2(8.112
222
segmV
V
V
V
V
senrrrV
eere
eere
eere
=
=
++=
−−−=
−+−+−=
++=•••
φθ
φθ
φθ θφθ
r
r
rrr
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
222
22
22
/7.107
92.8916.5368.21
92.8916.5568.21
70.575.2877.5784.1396043.1025.11
cos2.2cos2..
segma
a
a
a
senrrsenrsenrrrsenrrra
eere
eeer
ee
re
=
++−=
++−=
++−+−++−−=
+++
−−++
−−=
•••••••••••••••
φθ
φθ
φθ
θφθφθθφφφφθθθθθ
rrr
r
r
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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3.- Un punto inicialmente ocupa la posición PO=(1,2,3)y tiene en todo instante como componente de su velocidad el valor de 2t m/seg, si la hodografa tiene por
ecuación •••
=−=− ZYX 62
Determinar:
a) Su posición.
b) La aceleración tangencial y normal para t=1 seg.
c) Su respectivo radio de giro para este instante dado.
SOLUCION:
42
42
4
4
62
−=
−=−
−=−
=−=−
=−=−
•
•
••
•••
•••
tY
Yt
YX
ZYX
ZYX
4=•Z
kji
kji
ji
ji
i
Kji
ttttr
ttttr
ttdr
sma
a
ttV
ZYXV
4)4(
44
)4422(
/82.2
22
4422
22
22
2
−++=
−++=
−++=
=
+=−++=
++=
∫ ∫
•••rrr
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2322
3
2
2
)17164(
2
)(1
1
++=
+
∂∂
=tt
x
dy
x
y
ρ
( ) ( )
( )
2
2
22
222
2
232
2
2
/819.2
82.2
035.082.2
/035.0
)17164(
8
sma
a
a
aaa
sma
tt
ta
Va
t
t
t
Nt
N
N
N
=
=
+=
+=
=
++=
=ρ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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4.- Si el mecanismo de la figura mostrada aOBOA 2== , hallar el lugar geométrico, velocidad y aceleración del punto G, que es el punto medio de AB, sabiendo que OA gira con velocidad angular constante de 3 RPM, a=2m,
o
πθ 43= rad.
SOLUCION:
RPMW
rad
a
Vg
OA
g
3
43
?
?
==
==
πθ seg
radW
segx
rev
radx
rev
OA 31.0
60
min1
1
2
min
3
=
)0510239.1(
)4
3.24.1
4
3cos.24.1(
).4cos.4(31.0
1
iJA
iJA
iJA
OAOAA
V
senV
senxkV
xWa
V
−−=
−=
+=
+=
ππ
φθ
ρ
r
r
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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./102.0
051.0)310,0(164.0
051.0.164.0
310.0.
996.3
239.1.
)996.3239.1()0510.164.0(
)996.3239.1()051.0..4(
..2.cos.4051.0239.1
).4cos.4(051.0239.1
smV
V
WV
W
W
WWV
WWsenV
WsenWV
senxWV
xWVV
B
B
ABB
AB
AB
jABiABB
jABiABB
jABKABiJB
jiKABiJB
ABAA
−=
−−=
−=
−=
−=
++−−=
++−=
++−=
−+−=
+=
rr
rr
rrrr
rrrr
θ
θθ
θθ
ρ
BARRA AG:
( ) ( )./927.1
239.1476.1
239.1476.1
916.144.0239.1
)4
3.2
4
3cos2()310.0(051.0239.1
22
segmV
V
V
V
senxV
xWVV
G
G
jiG
iiJG
JiJG
GAABAG
=+=
+=
+−=
−−−+−=
+=
rr
rrr
rrr ππ
ρ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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RESOLUCION DE LA TERCERA PRÁCTICA CALIFICAFDA DE DINAMICA
1.- La barra ABC gira con velocidad y aceleración angulares de 9 rad/seg y 20 rad/seg2
respectivamente , en el instante mostrado ABC esta en el plano XY y el collarín D tiene una
velocidad de 40 m/s y está aumentando a razón de 100 m/s2. Hallar la velocidad y
aceleración del collarín absolutas con absolutas con respecto al sistema mostrado.
2
2
/100
/40
20/20
9/9
sma
smv
jsrad
jsrad
=
===
==
αω
67.166
100
7.66
40
===
===
••
•
R
a
R
V
θ
θ
0
0)9(6)(
6
=
===
−=
••
•
o
o
o
r
jxjxjrr
jr
ω
r
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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ij
ij
ij
ij
ij
ij
senrr
ij
sen
rsenr
20.320
)7.6.(30)7.6.(33
.30.33
.cos.
333
30cos.630.6
cos..
−−=
−−=
−−=
+−=
+−=
+−=
+−=
•
•
•••
•••
ρ
ρ
θθρ
θθθθρ
ρ
ρθθρ
r
r
r
[ ] [ ]ij
senrrrsenr
ij
ij
27.28305.48
)67.16(3)7.6(33)67.16(33)7.6(3
...cos..cos...
22
222
−=
+−−=
++
−=
••
••
•••••••
ρ
ρ
θθθθθθθθρ
ijkV
ijijjxV
xrV o
20320327
20320))333(9(0
)(
−−−=
−−+−+=
++=••ρρω
kjia
ijijxijjxijjxjxa
xxxra
08.25605.483243
27.28305.48)20320(18)333(20))333(9(90
2)(
++−=
−+−−++−++−+=
++++=•
••••••
r
r
r
ρ
ρρωρωρω
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2.- Una rueda gira alrededor del eje AB con velocidad de 10 rad/s constante, mientras que el
eje AB gira con velocidad y aceleración angulares de 2 rad/s y 3 rad/s2 respectivamente. La
rueda tiene una ranura vertical a lo largo de la cual una partícula puede moverse, si la
partícula P ubicada en esta canaleta tiene una velocidad y aceleración de 3 m/s y 1.2 m/s2
con respecto a la rueda.
Calcular la velocidad y aceleración de la partícula.
ROTACION:
j
ijr
rr
3
102
=+=
αω
TRASLACION:
kr
xiijr
xir
ir
o
o
o
o
r
r
4.2
)102(2.1
)(2.1
2.1
−=
+=
=
=
•
•
•ω
[ ][ ]
kjir
kjir
kkxijr
xixixr
xixir
6.34.28.4
3)24(2.1
3)2()102(2.1
))()((2.1
)(2.1
−+−=
−+−=
−+=
+=
+=
••
••
••
••
••
αωω
ωω
jkiV
jjxijiV
xrV o
36112
36.0)192(2.1
++=
+++=
++=••ρρω
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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[ ]
kjia
jjxijjjxkxijkjia
xxxxra
4.568.342.7
2.13)204(6.036)102(6.3248.4
2)(
+−=
++++++−+−=
++++=•••••
r
r
r ρρωραρωω
3.- En el mecanismo mostrado la barra AB gira con velocidad de 2 rad/s y aceleración
angular de 3 rad/s. Sabiendo que el cilindro E rueda sin deslizar, encontrar su aceleración
angular.
smiV
jkxV
xVV
B
B
ABABAB
/4.24.2
2.12
==−=
+= ρω rrr
0
)/(4.2
5.14.2
5.14.2
=
=
+=
+=
+=
BC
C
BCC
BCC
BCBCBC
smiV
jiV
ixiV
xVV
ω
ωω
ρω
r
r
r
rrr
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2/66.38.4
2.13)4,2(2
)(
smija
jkxikxa
xxxaa
B
B
ABABABABABAB
=+−=
−−=++=
•ρωρωω
2/6
6.38.4
)(
sma
ija
xxxaa
C
C
BCBCBCBCBCBC
=
+−=++=
•ρωρωω
iiV
ijiV
jikxiV
xVV
CECEE
CECEE
CEE
CECECE
ωωωω
ωρω
rr
rr
r
rrr
2.1)2.14.2(
2.12.14.2
)2.12.1(4.2
++=
++=
−+=
+=
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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4.- Ubicar los CIR de todos los cuerpos rígidos.
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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RESOLUCION DE LA CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA DE DINAMICA ING. CIVIL 2008-II
1.- Sobre una superficie horizontal se tiene las partículas A y B de masas 2kg y 1 kg respectivamente, ambas masas están unidas por una cuerda inextensible de masa despreciable y giran entorno su centro de masa g. para t=0 la posición del centro de masas es el punto (0,2)mt, su velocidad 2i + 1.5j (m/seg), así mismo la energía cinética y el momento cinético respecto a el es igual a80joules y 4 kg.m2/seg respectivamente. Poco tiempo después, la cuerda se rompe y se observa que la partícula A se mueve paralelamente al eje “y” a una distancia de 1.5 m y en sentido positivo de este eje, mientras que la partícula b sigue una trayectoria rectilínea. Hallar: las velocidades de las partículas A y B después que se rompió la cuerda y la abscisa xb en que la trayectoria de la partícula b corta al eje “x”
SOLUCION:
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2.-Según la figura los pesos A y B son 15 y 55 Kg. Respectivamente. El coeficiente de rozamiento entre A y el plano es de 0.10. Calcular la fuerza entre ambos cuando deslizan hacia abajo por el plano.
SOLUCION:
DCL BLOQUE A:
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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DCL BLOQUE B:
KgN
N
Fy
49.11
40cos.15
0
==
=∑
KgN
N
Fy
13.42
40cos.55
0
==
=∑
Kgf
f
uNf
87.2
).49.11(25.0
===
Kgf
f
uNf
213.4
).13.42(10.0
===
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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52.1
77.6
.52.177.6
.81.9
1587.264.9
.87.24015
.4015
.
Ra
aR
aR
amRsen
amRsen
amFx
−=
=−
=−−
=−−=−
=∑
61.5
14.31
.61.514.31
.81.9
55213.435.35
.213.44055
.
+=
=+
=−+
=−+
=∑
Ra
aR
aR
amsenR
amFx
Igualando ambos términos:
13.7
35.9
35.913.7
33.4752.161.598.37
61.5
14.31
52.1
77.6
=
=
+=−
+=−
R
R
RR
RR
KgR 31.1=
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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3.- Una cadena de 9.8 m de largo se extiende sobre una mesa horizontal lisa de modo que su mitad queda sobre la mesa y la otra mitad cuelga libremente. Si se deja la cadena en libertad. Hallar el tiempo que tarda la cadena en abandonar la mesa.
SOLUCION:
2/905.4
2
81.9
..2
1
sma
a
amgm
maFy y
=
=
=
=∑
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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Por formula de dinámica:
905.4
8.9
905.48.9
2
19.4
2
1.
2
2
2
2
=
=
=
+=
t
t
at
attVoh
.41.1 segt =
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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4.- Determinar el trabajo realizado por la fuerza
kyzxjyzxixyzF 22323 3)2(2 +++=r&&& al moverse desde el origen de coordenadas
al punto (1,1,1) a lo largo de la curva especificada por las ecuaciones
simultaneas 32 , xzxy == ¿Es el trabajo realizado independiente de la
trayectoria?. Si lo es encontrar la función potencial y comprobar el resultado obtenido.
SOLUCION:
kyzxjyzxixyzF 22323 3)2(2 +++=r&&&
∫∫ ∫ ∫ ++==2
1
2
1
2
1....
z
z
x
x
y
ydzFzdyFydxFxdrFW
JoulesW
zdzz
yy
dyyy
xdxx
213
26
13
9
13
15
13
2
13
9
13
9.3
13
15
13
2.2
13
2
13
2.2
1
0
313
310
1
0
1
0
22
13
211
1
0
131
0
12
==++=⇒
=
=
=
+=+
=
=
∫
∫
∫
JoulesW 2=
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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kyzxjyzxixyzF 22323 3)2(2 +++=r&&&
=+=
=
22
32
2
3
2
2
yzxFz
yzxFy
xyzFx
igualessonzxFzy
zxFyz
igualessonxyzFxz
xyzFzx
igualessonxzFyx
xzFxy
22
22
2
2
3
3
3
3
6
6
2
2
==
==
==
C
yzxzyzx
zyzxdz
d
zyyzx
yzxzydy
dzx
zydy
dzx
dy
d
zxyzxxyzdx
d
=
=+
+=
++=
+=+
+=
+=⇒=
•
•
β
β
βφ
βφ
φ
φφ
θφφ
2222
22
232
3232
32
323
3)(3
)(3
)(
2),(
),(
),(2
Cyyzx ++= 232φ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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RESOLUCION DE LA QUINTA PRÁCTICA CALIFICADA DE DINAMICA ING. CIVIL 2008-II
1.- Plantear la Ecuación Diferencial de movimiento.
SOLUCION:
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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ξξ
ξξ
ξ
ξ
..
.
••••
=
=
=
xa
x
xa
x
x
a
x
••••
••
••
••
=
=
=
=
=
∫ ∫
xaqx
a
qF
da
xqdF
da
xqdF
xg
ddF
a
I
a
I
I
I
1.02
.8.9
8.9
8.9
0
2
0
ξ
ξξ
ξξ
ξϖ
01.05
16.4.9
)(1.0)2(532)2(.2)3(30
0
2 =+++
+++=
=
•••••
•••••
∑
xqaaxKaxcmxa
axqaasenxKaxcamx
M o
o
⇒ La ecuación diferencial del sistema es:
05
16.4.1.09 2 =+++
•••••axKaxcxaqmxa
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2.-Una esfera de peso 20N y radio r=1m rueda sin deslizar dentro de una superficie curva de radio R=4m, sabiendo que la esfera sale del reposo en la posición que se muestra, encontrar la velocidad lineal de la esfera al pasar por B y la magnitud de la reacción vertical en ese instante.
SOLUCION:
Calculo de la velocidad lineal de la esfera es:
Kgm
gm
gm
V
N
B
04.2
8.9
20
.
?
20
=
==
==
=
ϖϖ
ϖ
R
V
RV
RS
=
==
••
ω
ωθ
.
.
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2
2
22
22
22
222
2222
17.28
42.140
4.002.140
)04.2(5
2.
2
102.140
5
2
2
1)04.2(
2
1000)220(
2
1
2
1
2
1
2
1
b
b
bb
bb
bb
bbbaaa
Ba
v
v
vv
RR
vv
mRvx
ImvmghImvmgh
EE
=
=
+=
+=
++=++
++=++
=
ω
ωω
./31.5 segmvb =
Calculo de la magnitud de la reacción vertical en ese instante, es:
ρ
2VaN =
=
=
==
4
)31.5(04.2
04.2
.
2
2
N
VN
amN
WN
N
ρ
NNR 37.14==
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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3.- El peso de 6 Kg. Esta suspendida de un resorte cuya constante es 4 Kg/cm está conectado a un embolo y cilindro que proporcionan un amortiguamiento viscoso. La fuerza de amortiguamiento es de 5 Kg. Cuando la velocidad del embolo es 50cm/seg, calcular la frecuencia de las vibraciones amortiguadas y el decremento logarítmico.
SOLUCION:
DATOS:
W=6 Kg.
cm
KgK
4=
KgF 5=
segcmX /50=•
KgW
NsmxKgW
segmsegcmX
NKgF
6ˆ
8.58/8.96ˆ
./50.0/50
495
2
===
==
==•
./3920
1
8.9
1
1004
mNK
Kg
Nx
m
cmx
cm
KgK
=
=
Frecuencia natural del sistema sin amortiguamiento:
./56.256
3920
ˆ
1
1
1
segradW
W
W
KW
=
=
=
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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El coeficiente de amortiguamiento es:
./.98/5.0
49
.
segmNCsm
NC
X
FC
XCF
=
=
=
=
•
•
El coeficiente de amortiguamiento critico:
7.306
)56.25)(6(2
.ˆ2 1
===
Cc
Cc
WWCc
Factor de amortiguamiento es:
32.07.306
98
=
=
=
ξ
ξ
ξCc
C
Frecuencia de vibración amortiguada:
./21.24
)9474.0.(56.25
1024.0156.25
)32.0(156.25
12
21
segradWd
Wd
Wd
Wd
WWd
==
−=
−=
−= ξ
Calculo del decremento logarítmico.
122.2
)32.0(1
)32.0(21
2
2
2
=−
=
−=
δ
πδ
επεδ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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4.- Plantear la Ecuación diferencial de movimiento.
SOLUCION:
)..(..............................3
)..(..............................3
2
)(2
)(2
IIyxK
xm
IyxK
xm
yKxxK
xm
KyyxKKxxm
yxKKxxm
••••
••
••
••
••
=+
=+
=++
=−++
−++
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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Reemplazando (I) y (II) en:
093
2
3320
332
32
33.
33.
33
3)(
=+++
+++=
+=−−
=−−
=−−
=
+−
=
+−
=−
••••
••
••••
••
••••
••
•••
•••
•••
•••
•
xCK
xmCKxxm
xK
xmCKxxm
xK
xmCxKxm
yCxKxm
yCxKxmxK
yCxK
xmKxK
yCxK
xmxK
yCyxK
La Ecuación diferencial de movimiento es :
0293 =+++
••••••
KxxCxmK
xmC
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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5.- En un sistema vibratorio la amplitud de la onda se reduce a 1/3 de su valor al finalizar su 1er ciclo. Calcular la frecuencia de amortiguamiento, la amplitud y la frecuencia no amortiguada.
SOLUCION:
segxxx
T
segxxxT
segxxT
promedioperiodoelcalculmosgraficalade
rpta
mm
mm
datosiostomados
x
x
n ki
i
333
3332
331
2
1
1082
108108
1081041012
.1080108
.0986.12
0986.10986.1
0986.1
3
944.6944.6
ln1
1
0986.14
12ln
1
1
;var
ln1
−−−
−−−
−−
+
=+=∴
=−=
=−=
−−−−−−
⇒=+=∴
=
⋅=
=
⋅=
−−
⋅=
δ
δ
δ
δ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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( )
( )
( )
335.797
00788.0
283.6
9851.0108
283.6
)1722.0(1108
283.6
1
2
1
2
:.
1722.0
686.40
2069.1
2069.1686.40
2069.1686.40
48.392069.12069.1
1
48.392069.1
1
48.390986.1
1
2
1
2
.
1
31
2321
2
1
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
=
==
−=
−=
−=
−−−−−
=
=
=−=−
=−−
=
−=
−=
−=
−−−
−
−
ω
ω
ω
ω
επ
επ
ε
ε
εε
εεε
εε
εε
πεδ
επεδ
x
segxT
T
sistemadelternainfrecuencialahallamos
ientoamortiguamdecoefcalc
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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RESOLUCION DE RESOLUCION DE RESOLUCION DE RESOLUCION DE 1er EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA 1er EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA 1er EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA 1er EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 –––– IIIIIIII
1.- Se tieneSe tieneSe tieneSe tiene los vectoreslos vectoreslos vectoreslos vectores ),,()6,4ln,( 2326 xx eeXByeA == . Indicar si el Tensor Indicar si el Tensor Indicar si el Tensor Indicar si el Tensor
R es conservativo y solenoidal. R es conservativo y solenoidal. R es conservativo y solenoidal. R es conservativo y solenoidal. ( ){ }BAR ∇=rr
.
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )kx
jx
i
kx
jx
i
kx
jx
i
kx
jx
ikx
jx
ikx
jx
i
kji
eeeexeR
eexeR
eexeR
z
eeX
y
eeX
x
eeXeR
z
B
y
B
x
BeR
Bzyx
eR
Bkz
jy
ix
eR
26626
226
226
232
23236
26
26
26
23
23
0023
64ln
64ln
.64ln
..64ln
++=
++=
++++=
∂++∂+
∂++∂+
∂++∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂++=
→
→
→
→
→→→→
→→
→→ φφφ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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• Calculando el Rotacional:Calculando el Rotacional:Calculando el Rotacional:Calculando el Rotacional:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ]
VOCONSERVATIESNORx
eeeeRx
eekeejiRx
y
xe
x
eek
z
xe
x
eej
z
ee
y
eeiRx
eeeexe
zyx
kji
Rx
kx
jx
xx
xxxx
xxi
⇒≠∇
+=∇
−+−−−=∇
∂∂−
∂∂+
∂∂−
∂∂−
∂∂−
∂∂=∇
=∂∂
∂∂
∂∂=∇
→
→
→
→
→
0
.4
00.400
3322
23
626
626
266
26
266
26
26626
• Calculando la divergencia:Calculando la divergencia:Calculando la divergencia:Calculando la divergencia:
( )
SOLENOIDALESNOR
xeR
xeR
z
ee
y
ee
x
xeR
z
R
y
R
x
RR
kx
jx
i
KjI
⇒≠∇
=∇
++=∇
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
∂∂+
∂∂
+∂
∂=∇
→
→
→
→
→
0.
6.
0023.
23.
.
6
6
266
26
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2.- Calcular el vector unitario tangente a la curvatura K, para t=2 seg. En la Calcular el vector unitario tangente a la curvatura K, para t=2 seg. En la Calcular el vector unitario tangente a la curvatura K, para t=2 seg. En la Calcular el vector unitario tangente a la curvatura K, para t=2 seg. En la curva determinada por:curva determinada por:curva determinada por:curva determinada por:
tZ
tY
tX
=
=
=
3
2
3
4
12
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
EL EL EL EL VECTOR VECTOR VECTOR VECTOR POSICION POSICION POSICION POSICION ES:ES:ES:ES:
kji tttr ++= )3
4()12( 32
EL EL EL EL VECTOR VECTOR VECTOR VECTOR UNITARIO UNITARIO UNITARIO UNITARIO TANGENTE TANGENTE TANGENTE TANGENTE ES:ES:ES:ES:
dtds
dtdr
ds
dr ==→µ
( ) ( ) ( )
116576
1424
1424
42
2222
2
++=
++==
++=
tt
ttdt
dr
dt
ds
ttdt
drkji
Por lo tanto, en cualquier punto de la curva es:Por lo tanto, en cualquier punto de la curva es:Por lo tanto, en cualquier punto de la curva es:Por lo tanto, en cualquier punto de la curva es:
157616
142424
2
++++
=→
tt
tt kjiµ
Para t = 2 seg.Para t = 2 seg.Para t = 2 seg.Para t = 2 seg.
2561
11648
1)2(576)2(16
1)2(4)2(2424
2
kji
kji
++=
++++
=
→
→
µ
µ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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3333....---- Una Una Una Una partículapartículapartículapartícula asciende con una aceleración tangencial de 15 m/segasciende con una aceleración tangencial de 15 m/segasciende con una aceleración tangencial de 15 m/segasciende con una aceleración tangencial de 15 m/seg2222. Por una . Por una . Por una . Por una superficie helicoidal de 6 m de paso. Hallar la velocidad y aceleración para t=5 superficie helicoidal de 6 m de paso. Hallar la velocidad y aceleración para t=5 superficie helicoidal de 6 m de paso. Hallar la velocidad y aceleración para t=5 superficie helicoidal de 6 m de paso. Hallar la velocidad y aceleración para t=5 seg. , seg. , seg. , seg. , ρ=2m.=2m.=2m.=2m.
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
z= senα=15senα
= cosα=15cosα
o52.254
6
)2(2
6
2
6
1 =
=
==
−
πα
ππα
Tg
RTg
COORDENADAS CILINDRICASCOORDENADAS CILINDRICASCOORDENADAS CILINDRICASCOORDENADAS CILINDRICAS
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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�
�
v= 75.03m/s
2291.70m/s2
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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4.- El disco de la figura gira en torno a un eje vertical con velocidad angular deEl disco de la figura gira en torno a un eje vertical con velocidad angular deEl disco de la figura gira en torno a un eje vertical con velocidad angular deEl disco de la figura gira en torno a un eje vertical con velocidad angular de
10 RPM y aceleración angular dey aceleración angular dey aceleración angular dey aceleración angular de 30 rad/seg2, a su vez un objeto se desliza desde A a su vez un objeto se desliza desde A a su vez un objeto se desliza desde A a su vez un objeto se desliza desde A hacia B con una velocidad dehacia B con una velocidad dehacia B con una velocidad dehacia B con una velocidad de 12 m/seg. yyyy aceleración deaceleración deaceleración deaceleración de 5 m/seg2. CaCaCaCalcular la lcular la lcular la lcular la velocidad y aceleración en los instantes A y C.velocidad y aceleración en los instantes A y C.velocidad y aceleración en los instantes A y C.velocidad y aceleración en los instantes A y C.
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
J
Jsegradseg
xrev
radxRPM
30
05.1./05.1.60
.min1
1
210
−=
==
=
α
πω
kir
kir
ijkjr
iir
kkkr
ijr
ir
ir
189
6.0
)309
(6.0
30))3
(3
(6.0
)(6.0
628.03
6.0)05.1(6.0
)05.1(6.0
)(6.0
6.0
2
2
+−=
+−=
×−−×=
×+×=
−=−=−=
×=
×=
=
••
••
••
•••
•
•
•
π
π
ππωω
π
ω
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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PUNTO A:PUNTO A:PUNTO A:PUNTO A:
j
j
j
5
12
4.0
=
−=
=
••
•
ρ
ρ
ρ
kjV
jjjkV
rV
36.012
4.03
123
6.0
π
ππρωρ
−−=
×+−−=
×++=
→
→
••→
kja
kja
kjka
ra
rr
rr
rrr
372.175
)3
6.018(5
1853
6.0
2)(
+=
−+=
++−=
+×+×+××+=
→
→
→
••••••→
π
πρρωρωρωω
PUNTO C:PUNTO C:PUNTO C:PUNTO C:
j
j
r
r
5
12
0
=
−=
=
••
•
ρ
ρ
ρ
jkV
rV
123
6.0 −−=
×++=→
••→
πρωρ
kja
kja
kjka
ra
rr
rr
rrr
372.175
)3
6.018(5
1853
6.0
2)(
+=
−+=
++−=
+×+×+××+=
→
→
→
••••••→
π
πρρωρωρωω
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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5.- En el mecanismo de la figura la barra DE se mueve con velocidad deEn el mecanismo de la figura la barra DE se mueve con velocidad deEn el mecanismo de la figura la barra DE se mueve con velocidad deEn el mecanismo de la figura la barra DE se mueve con velocidad de 3 m/seg.
Y aceleraY aceleraY aceleraY aceleración deción deción deción de 2 m/seg2.Determinar las velocidades y aceleraciones angulares Determinar las velocidades y aceleraciones angulares Determinar las velocidades y aceleraciones angulares Determinar las velocidades y aceleraciones angulares de las otras barras.de las otras barras.de las otras barras.de las otras barras.
SOLUCION:
�
�
TRAMO DB
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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TRAMO BA
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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POR LO TANTO
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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RESOLUCION DEL SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA ING. CIVIL 2008-II
1.-Se tiene una esfera de 20 Kg de peso, la barra vertical esta soldada en
B a la barra horizontal si K=10 Kg/cm, C=0.4 Kg.seg/cm. Si A se desplaza
8 cm hacia la derecha. ¿Qué tiempo tomara para regresar a su
configuración vertical?
SOLUCION:
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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W=20 kg � m=20/9.81 � m=2.04
K=10kg/cm � 1000Kg/m
C=0.4 Kg.Seg/cm � 40Kg.Seg/m
∑MB = 0
0.8mθ (2) + 0.3C.θ ( 0.3) + 0.5 K θ (0.5) = 0
0.16mθ + 0.09Cθ + 0.25 K θ = 0
0.16 (2.04) θ + 0.09 (40) θ + 0.25 (1000) = 0
0.3264.θ + 3.60.θ + 250.θ = 0
θ + 3.6θ + 250 θ = 0
0.3264 0.3264
θ + 11.03 θ + 766 θ =0
Sabemos que:
C = 2ξω1 K = ω12
m m
11.03 = 2ξω1 ω12= 766
� 11.03 = ξ
2 (27.68) ω1 = √766 = 27.68 rad/seg
� ξ = 0.199 < 1 subamortiguado
El tiempo que tarda en volver a su posición original será el periodo que tarda en hacerlo
� T = 2π .
ω1√1 – ξ2
�T = 2π .
27.68√1 – 0.1992
� T = 0.23 seg
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2.- una masa “m” es frenada por un resorte de constante k se encuentra
inicialmente en reposo, para el tiempo t=0, se encuentra bajo la acción
de una fuerza excitadora, suponiendo que no hay amortiguamiento y
dado que w/2π =10 ciclos por segundo. “m” pesa 4.539kg, k=29.8kg/m,
Fo=45,359 kg. Hallar la amplitud de las vibraciones forzadas y de las
vibraciones libres
SOLUCION:
463.08.9
539.4
.539.4
=
=
=
m
m
gm
023.8
362.64
463.0
8.29
==
=
=
Wi
Wi
Wi
m
kWi
83.62
)2)(10(
102
==
=
W
W
W
ππ
kgFo
kgK
kgW
354.45
8.29
539.4
===
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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33.60
522.1
023.883.62
1
8.29359.45
1
2
2
2
2
=
−=
−=
A
A
wi
wk
Fo
A
mA 0252.0=
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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3.-En un ensayo de funcionamiento del mecanismo de antena telescópica
el árbol soportante gira en torno al eje soportante calcular las
componentes r, φθ y de la fuerza del extremo en el instante en que:
mL 2.1= 045=β siendo las velocidades segradw /21 = y
segmL /9.0=& constantes en el transcurso del tiempo. La masa del cuerpo
en el extremo es de 80 UTM.
SOLUCION:
0
72
0
/5.1
45
0
/9.0
2.1
2
0
========
φφθθθ
&&
&
&&
&
&&
&
srad
srad
r
smr
mr
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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φθ θφθθφθφθθφθθθφθ ersenrsenresenrrresenrrra rv&&&&&&r&&&&&r&&&& )cos22()cos2()( 2222 +++−++−−=
φθ
φθ
φ
θ
eee
eee
esensen
esenesena
r
r
r
rrr
rrr
r
rr
6.73.01.5
)4.35.20()4.27.20()4.27.2(
]45cos)2)(5.1)(2.1(245)2)(9.0(245)0)(2.1[(
]45cos45)2)(2.1()5.1)(9.0(2)0)(2.1[(]45)2)(2.1()5.1)(2.1(0[
000
0020222
++−=
+++−++−−=
++
+−++−−=
)1575.9()784(
.
4.59556.7784.
2.2353.0784.
4.39981.5784.
XF
amF
xaemFe
xaemFe
xraemFer
=
=
======
−=−==
φφ
θθ
rr
r
rr
NF 48.7179=
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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4.- Encontrar el trabajo realizado al finalizar el quinto segundo por la
fuerza kji tttF ˆˆˆ2 )22(27 −+−=
r cuyo punto de aplicación recorre la recta
de ecuación 3y+2z=9; eje X; con la ley horaria de movimiento 82 2 += tS
SOLUCION:
0
400
4
82 2
==→=
==
+=
t
tv
tdt
dsv
tS
kji tttF ˆˆˆ2 )22(27 −+−=
r
Cztytxt
zttdz
d
zxdy
dytt
dy
d
zxxttdx
d
tFz
tFy
tFx
++++=
++=→+=
+=→=
+=→=
+==
=
).22()2(.7
).22()22(
),()2(2
),(.77
)22(
2
7
212
21
22
2
φ
βφφ
θφφ
θφφ
La ecuación de la recta: 923 =+ zy
tyy
z
tzz
y
x
=→−=
=→−=
=
2
393
29
0
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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−=−=
−=
=
=
=
==
=
=
326
31
0
5
29
339
0
0
z
y
x
t
z
y
x
t
Reemplazando en la ecuación se tiene:
Czyx
Czyx
segtPero
Cztytxt
+++=
++++=
=++++=
).12()10(175
).25*2()5*2(.)5(7
.5
).22()2(.7
21
212
212
φ
φ
φ
( )486.6305.37
5410336103
105
−−=
+−
−−=
−=
W
W
W φφ
JW 53.100−=
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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5.-Plantear la ecuación diferencial de movimiento del siguiente sistema.
cmKgK
cmsegKgC
/15
/.2.1
==
SOLUCION:
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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RESOLUCION RESOLUCION RESOLUCION RESOLUCION DEL DEL DEL DEL EXAMEN EXAMEN EXAMEN EXAMEN DE DE DE DE APLAPLAPLAPLAAAAZADOS DE ZADOS DE ZADOS DE ZADOS DE DINAMICA DINAMICA DINAMICA DINAMICA ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 –––– IIIIIIII
1.- La barra AB de 6m de lLa barra AB de 6m de lLa barra AB de 6m de lLa barra AB de 6m de longitud está articulada en A el extremo B, se ongitud está articulada en A el extremo B, se ongitud está articulada en A el extremo B, se ongitud está articulada en A el extremo B, se mueve sobre el arco de circunferencia CBD de 6m de radio. Hallar la mueve sobre el arco de circunferencia CBD de 6m de radio. Hallar la mueve sobre el arco de circunferencia CBD de 6m de radio. Hallar la mueve sobre el arco de circunferencia CBD de 6m de radio. Hallar la velocidad y aceleración angulares de la barra AB sonvelocidad y aceleración angulares de la barra AB sonvelocidad y aceleración angulares de la barra AB sonvelocidad y aceleración angulares de la barra AB son 0.4 rad/seg. y 0.25 rad/seg. 2
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
jjB
jiKB
ABABAB
senV
senxV
xWVV
θθ
θθ
ρ
.4.2cos.4.2
)cos.6(4.00
+=
++=
+=
r
r
rrr
…
[ ]
jin
ijjin
ijjikn
jikjikkn
ABABABABABAn
sensena
sensena
sensenxa
senxsenxxa
xxWxWaa
)cos5.196.0()5.1cos96.0(
5.1cos5.196.0cos96.0
)5.1cos5.1)4.2cos4.2(4.0
)6cos6(25.0)6cos6(4.04.0
)(
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
ραρ
++−−=
−++−=
−++=
+++=
++=
.
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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[ ]
[ ]
4.0
6
4.2
4.2.6
0.64.2
).6cos4.2().64.2(0
).6cos4.2().64.2(
.64.2cos4.2
)6cos6(4.2cos4.2
)6cos6(
=
=
=
=+−
−++−=
−++−=
+−−=
−−+−=
−−+=
CBD
CBD
CBD
CBD
jCBDiCBD
jCBDiCBDC
iCBDJCBDijC
jiKCBDijC
jiCBDBC
W
sen
senW
senWsen
Wsensen
WWsensen
WWsensenV
WsenWsenV
senxWsenV
senxWVV
θθ
θθ
θθ
θθθ
θθθ
θθθ
θθθθ
θθ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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2.- La barra AB tiene una rotación angular deLa barra AB tiene una rotación angular deLa barra AB tiene una rotación angular deLa barra AB tiene una rotación angular de 5 rad/seg y 12 rad/seg. 2
avanzandoavanzandoavanzandoavanzando hacia arriba a lo largo del eje del perno, además tiene una hacia arriba a lo largo del eje del perno, además tiene una hacia arriba a lo largo del eje del perno, además tiene una hacia arriba a lo largo del eje del perno, además tiene una velocidad y aceleración lineales de velocidad y aceleración lineales de velocidad y aceleración lineales de velocidad y aceleración lineales de 10 m/s y 8 m/s 2 respectivamente. respectivamente. respectivamente. respectivamente. Hallar la velocHallar la velocHallar la velocHallar la velocidad y aceleración del punto A situado sobre la barra.idad y aceleración del punto A situado sobre la barra.idad y aceleración del punto A situado sobre la barra.idad y aceleración del punto A situado sobre la barra.
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
0
0
1.0
=
=
=
••
•
ρ
ρ
ρ
8
10
12
5
−=
=
=
=
••
•
••
•
Z
Z
φ
φ
smV
V
V
V
ZV
eze
ezee
/07.10
44.101
)10()2.1(
10)12)(1.0(
22
==
+=
+=
++=••••
φ
φρ φρρ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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[ ] [ ]
2
222
2
2
/46.8
69.71
)8()2.1()5.2(
82.15.2
8)5)(0(2)12)(1.0()5)(1.0(
)2()(
sma
a
a
a
a
Za
ezee
ezee
ezee
=
=
−++−=
−+−=
−++−=
+−+−=•••••••••
φρ
φρ
φρ φρφρφρρ
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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3.- AtrevesAtrevesAtrevesAtreves de los brazo de unde los brazo de unde los brazo de unde los brazo de un irregadorirregadorirregadorirregador fluye agua a razón fluye agua a razón fluye agua a razón fluye agua a razón constante constante constante constante dededede 15 m/s15 m/s15 m/s15 m/s.... Mientras rota a razón deMientras rota a razón deMientras rota a razón deMientras rota a razón de 20 rad/seg Calcular la aceleración del Calcular la aceleración del Calcular la aceleración del Calcular la aceleración del agua inmediatameagua inmediatameagua inmediatameagua inmediatamente antes que salga por una de las dnte antes que salga por una de las dnte antes que salga por una de las dnte antes que salga por una de las dos.os.os.os. CuálCuálCuálCuál será la velocidad del fluido que eserá la velocidad del fluido que eserá la velocidad del fluido que eserá la velocidad del fluido que emerge exprese la lmerge exprese la lmerge exprese la lmerge exprese la longitud y el ongitud y el ongitud y el ongitud y el ángulo respecto a ángulo respecto a ángulo respecto a ángulo respecto a la línea lineal.la línea lineal.la línea lineal.la línea lineal.
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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4.- Plantear la ecuación diferencial de movimiento de las masas y Plantear la ecuación diferencial de movimiento de las masas y Plantear la ecuación diferencial de movimiento de las masas y Plantear la ecuación diferencial de movimiento de las masas y expresaexpresaexpresaexpresarrrr la frecuencia circular.la frecuencia circular.la frecuencia circular.la frecuencia circular.
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
m
kWf
m
kW
MovimientoDifEcxm
kx
kxmx
mxkxmx
mmemplazando
mxmxmxkxmx
ππ
θ
θ
θθ
2
1
2
..0
022
0cos2
cos:Re
cos0cos2
2
2
2
22
==⇒=
→=+
=+
=++
=
==++
••
••
••••
••••••••
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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5.- a) Deducir una expresión paraDeducir una expresión paraDeducir una expresión paraDeducir una expresión para )).(( dcb ×∇×
b) )..()( aaaxxa ∇+∇
SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:
)).(( dcb ×∇×
↓ ↓ ↓ ↓
i j r l
k k
spuestacdbdcb
dcbdcb
dcbdcb
pjlj
lipi
nescontraccio
dcbdcb
dcb
dcbeedcb
LpPLLpLP
LpPLPPLLLpLPLLPP
LpjiJPILLpjiJLIP
LpjiJPILJLIP
LpjiKPLKIJ
Re)()(
..
:
..
))((
.)).((
→→•∇•−•∇•
∇−∇=
∇−∇=
====
∇−∇=
∇−=
∇=×∇×
δδδδ
δδδδ
δδδδ
B) )..()( aaaxxa ∇+∇
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
i j i i j i
k
l
ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\
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)()(
:
)(
.
..
xaxa
aa
ijlj
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nescontraccio
aa
a
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iillixl
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jiilixj
jlii
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jiiljlii
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KILXIJ
KILXIJixj
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∇−∇
∂∂−
∂∂
====
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂
∂∂
δδδδ
δδδδ
δδδδ