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Resolvendo Sistema de Equações Lineares
com GEOGEBRA
Veremos nesta aula algumas técnicas de resolução de Sistemas de Equações Lineares
do tipo A∙x = b por
- Método de Gauss - Método de Gauss-Jordan (GeoGebra)
- Usando Matriz Inversa (computacionalmente não recomendado)
Leiam as seções 5.1, 5.2 e 5.3 do arquivo Fisica_Comp.pdf.
1) Funções no GeoGebra relacionadas a Matrizes:
Sejam Ai,j os elementos linha i, coluna j de uma matriz A
1.2) Criando Matrizes:
- para criar uma matriz 3x3 digitamos em Entrada
A = { { A11, A12, A13 } , { A21, A22, A33 } , { A31, A32, A33 } }
linha 1 linha 2 linha3
- para criar uma Matriz 3x1: b = { {b1} , {b2} , {b3} }
- para criar uma Matriz 1x3: b = { {b1 , b2 , b3} }
- Como exercício tente criar as matrizes A e b:
Observe, na Janela de Álgebra, que o GeoGebra
usa parêntesis como delimitadores
Outra forma de criar matrizes
- Apague as instruções na Janela de álgebra usando o botão direito do mouse sobre
cada elemento: um clique → apagar
- Vá no menu e Exibir –Planilha. Ajuste para visualizar as colunas A B C e D
- digite na coluna A (linhas 1, 2 e 3) os valores da coluna 1 da matriz A
- digite na coluna B (linhas 1, 2 e 3) os valores da coluna 2 da matriz A
- digite na coluna C (linhas 1, 2 e 3) os valores da coluna 3 da matriz A
- digite na coluna D (linhas 1, 2 e 3) os valores da coluna 1 da matriz b
Definindo as matrizes
- Agora usando o botão esquerdo do mouse selecione na planilha os elementos da
matriz A (A1 até C3) e com um clique do botão direito escolha Criar → matriz
- Selecione os elementos do vetor b (D1 até D3) e crie outra matriz
- Na Janela de Álgebra renomeie matriz1 para A com 1 clique do botão direito do
mouse sobre matriz1. Renomeie também a matriz2 para b.
- Crie uma matriz Ampliada selecionando todos os valores da planilha. Em seguida
renomeie o resultado para A_A
1 3 4 14 2 3 22 4 2 3
A b
= =
1.2) Determinante da Matriz: instrução Determinante[ <Matriz> ]
- Digite em Entrada: det = Determinante[ A ]
1.3) Matriz Transposta: instrução MatrizTransposta[ <Matriz> ]
- Digite em Entrada: At = MatrizTransposta[ A ]
1.4) Matriz Inversa: instrução MatrizInversa[ <Matriz> ]
- Digite em Entrada: Ainv = MatrizInversa[ A ]
1.5) Obtendo o vetor solução do sistema Ax=b (usando solucao1 para x)
- Digite em Entrada: solucao1 = Ainv * b (solução pela Inversa de A)
1.6) Solução por Gauss-Jordan: instrução MatrizEscalonada[<Matriz>]
- Digite em Entrada: M_E= MatrizEscalonada(A_A)
compare a última coluna do resultado de M_E com o vetor solucao1. Iguais!?
- solucao2={{Elemento[M_E,1,4]},{Elemento[M_E,2,4]},{Elemento[M_E,3,4]}}
1.7) Verificando as Soluções obtidas (prova dos nove !):
- em Entrada insira os comandos para comparar os resultados com b
res1 = A * solucao1 == b significa verdadeiro se (res1 == b) res1 = true
res2 = A * solucao2 == b na janela de álgebra aparece res2 = true
2) Método da Eliminação Gaussiana: consideremos o sistema de equações lineares
na forma Ax=b: A- matriz de coeficiente e b-vetor de termos independentes.
Este método é baseado em duas etapas: 1ª Triangularização; 2ª Retrosubstituição
Triangularizar o sistema de equações equivale a obter uma forma escalonada
Retrosubstituir significa resolver por substituição o sist. de baixo para cima
2.1) Exemplo: consideremos o sistema matricial ampliado apresentado no item 1)
- 1° - Triangularização do Sist.: equivale a obter um sistema equivalente com
elementos nulos abaixo da diagonal principal da matriz A.
Definimos um multiplicador linha i coluna j por mi,j = - Ai,j / Ai,i em seguida
realizamos as operações com linhas Li e Lj a saber
mi,j *Lj +Li para reescrever o sistema
m2,1 = -4/1 = -4
m2,1 *L1 +L2 = -4 [1, 3, 4, 1] + [4, 2, 3, 2]=
m3,1 *L1 +L3 = -2 [1, 3, 4, 1] + [2, 4, 2, 4]=
m3,1 = -2/1 = -2
O novo SEL (matriz ampliada) será
1
2
1
1 3 40 10 130 2 6
AA
−= − −− −
Porém resta zerar o elemento -2 na linha 3 coluna 2
0 -10 -13 -2
0 -2 -6 1
Matriz
Ampliada
AA
Nova Linha 2
Nova Linha 3
A nova linha 3 é calculada de forma similar
Finalmente a matriz Triangularizada é
- 2° - Solução por Retrosubstituição.: podemos ver na matriz AA que a última
equação do SEL possui solução trivial, i.e.
Substituímos x3 na 2ª equação e obtemos:
Substituímos x2 e x3 na 1ª equação e obtemos:
A Solução do SEL por eliminação Gaussiana é
m3,2 *L2 +L3 = -0,2 [0, -10, -13, -2] + [0, -2, -6, 1]=
m3,2 = -2/10= -0,2 0 -10 -13 -2
0 -2 -6 1
0 0 -3,4 1,4
1
2
1,4
1 3 40 10 130 0 3,4
AA
−= − −−
3 33,4 1,4 0,4118xx− = → =−
2 3 20,735310 13 2 xx x− − =− =→
1 2 133 4 1 0,4413x xx x+ =+ = →
0,4410,7350,412
x
=−
3) Eliminação Gaussiana c/ GeoGebra: no GeoGebra não é fácil a
implementação do Método de Eliminação Gaussiana para resolver SEL pois
faltam recursos de loops (laços). As aplicações normalmente são restritas a
sistemas 2x2 e 3x3. Embora seja possível encontrar uma gama destes exemplos
faremos a parte operacional para esclarecer a repetição dos procedimentos.
nas duas etapas 1ª Triangularização; 2ª Retrosubstituição
3.1) Considere o mesmo SEL do item 2)
- Defina na Planilha os elementos da Matriz A ( colunas A B C ) e do vetor b na
coluna D. Em seguida selecione com o mouse todos os elementos e crie uma
matriz. Renomeie na Janela de Algebra para MA, ou seja, matriz ampliada. O
resultado esperado é
1 3 4 14 2 3 22 4 2 3
A b
= =
3.2) Zerando elementos da Coluna 1 abaixo da Diag. Principal
- Defina o multiplicador: m21= - Elemento[MA, 2, 1] / Elemento[MA, 1, 1]
- Defina o multiplicador: m31= - Elemento[MA, 2, 1] / Elemento[MA, 1, 1]
- Copie os valores da Linha 1 nas Linhas 5 e 9 da planilha
- Preenchendo a Linha 6. Digite em Entrada Equivale a
PreencherLinha[ 6, m21 * Bloco[A1, D1] + Bloco[A2, D2 ] ]
- Preenchendo a Linha 7. Digite em Entrada
PreencherLinha[ 7, m31 * Bloco[A1, D1] + Bloco[A5, D5 ] ]
- Selecione na Planilha valores A5 até D7 e crie outra matriz: renomeie p/ MA1
- Copie os valores da Linha 6 na Linha 10 da planilha
3.3) Zerando elementos da Coluna 2 abaixo da Diag. Principal
- Defina o multiplicador: m32= - Elemento[MA1, 3, 2] / Elemento[MA1, 2, 2]
- Preenchendo a Linha 11. Digite em Entrada Equivale a
PreencherLinha[11, m32 * Bloco[A6, D6] + Bloco[A7, D7 ] ]
- Selecione na Planilha valores A9 até D11 e crie outra matriz: renomeie p/ MA2
m2,1 *L1 +L2
m3,1 *L1 +L3
m3,2 *L2 +L3
Resultado Final Esperado
Resultado da
TriangularizaçãoElementos
do vetor
Solução
3.4) Retrosubstituição:
- Digite em Entrada: x_3 = MA2(3,4) / MA2(3,3) → x3 = -0.41
x_2 = ( MA2(2, 4) – MA2(2,3) * x_3 ) / MA2(2,2) → x2 = 0.74
x_1 = ( MA2(1, 4) – MA2(1,2)*x_2 - MA2(1,3)*x_3 ) / MA2(1,1) → x1 = 0.44
A solução do SEL é
4) Observações:
- O GeoGebra não é uma ferramenta para cálculos exaustivos porém funciona bém
para resolver SEL pequenos. Repare as duas únicas instruções para resolver o mesmo
sistema por Escalonamento (Gauss-Jordan)
MA = { {1 , 3, 4, 1} , {4, 2, 3, 2 } , {2, 4, 2, 3} }
ME = MatrizEscalonada[ MA ]
- ou ainda as três instruções por inversão
A = { {1 , 3, 4} , {4, 2, 3 } , {2, 4, 2} }
b = { {1} , {2 } , {3} }
sol = MatrizInversa[ A ] * b
1
2
3
0.44
0.74
0.41
x
x x
x
= =
−