Análisis de Circuitos II - Universidad de Tarapacá - RGC

Respuesta de Amplitud y Fase

La respuesta en estado estable de un sistema esta dada por ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[cos ]j jH j M e M M jsenφ ωω ω ω φ ω ω φ φ= = ∠ = + donde

( ) ( )H j Mω ω= : amplitud de la respuesta (función par de ω) ( ) ( ) ( )anguloH j H jω ω φ ω= ∠ = : Respuesta de fase (función impar de ω)

Ej:

0

1

( ) 1 1( )( ) 1 1

V s sCH sV s R sC sRC

= = =+ +

sí s jω=

( )1 ( )

2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )1 1

jtg RC jRCH j e M e Mj RC RC

ω φ ωω ω ω φ ωω ω

−−= = = = ∠+ +

En general ( )

( ) ( )( )

N jM H j

D jω

ω ωω

= =

Expresado en dB 20log ( ) 20log ( ) 20log ( )dBM M N Dω ω ω= = − ⇒ se puede dibujar el diagrama de cada componente del numerador y denominador por

separado y después sumar (restar) para obtener el diagrama total.

En forma factorizada N(s) y D(s) se pueden encontrar los siguientes factores: a) una constante, k b) una raíz en el origen, s c) una raíz real simple, s+α d) un par de raíces complejas s2 + 2α·s + α2 + β2

+ V0 −

+ V1 −

M(ω) 1

1/√2

0 ω=1/RC ω

φ(ω)

45º

90º

ω=1/RC ω

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a) factor k 220 logdBM k k= = Sí 1k < , MdB=k2 <0 , ( ) 180ºφ ω = −

Sí 1k > , MdB=k2 >0 , ( ) 0ºφ ω = b) factor s. -un cero en el origen 20 logdBM ω= , (en coordenadas semi-logarítmicas pendiente +20dB/dec)

90ºφ = -un polo en el origen ( )20log 1 20logdBM s ω= = − , (en coordenadas semi-logarítmicas pendiente -20dB/dec) 90ºφ = −

M [dB]

K2

0

-K2

Φ(ω)

0º

-180º

0.01ω 0.1 ω ω 10ω 100 ω 1000ω 104 ω

|k|>1

|k|<1

k >0

k <0

M [dB]

40

20

0

-20

-40

Φ(ω)

π/2

0

-π/2

0.01ω 0.1 ω ω 10ω 100 ω 1000ω 104 ω

s

1/s

s

1/s

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c) factor, s+α Cero: ( )1 22 220 log 20logdBM jω α ω α= + = + ( ) ( )1tgφ ω ω α−= Examinando el comportamiento asintótico: Sí ω α<< → ( )1 22

320 log 20logdBM kα α≈ = =

Sí ω α>> → ( )1 2220 log 20logdBM ω ω≈ = → línea recta

Polo: ( )1 22 220 logdBM ω α= − + ( ) ( )1tgφ ω ω α−= − Examinando el comportamiento asintótico: Sí ω α<< → ( )1 22

420 log 20logdBM kα α≈ − = − =

Sí ω α>> → ( )1 2220 log 20logdBM ω ω≈ − = − → línea recta

M [dB]

60

40

20

0

-20

-40

-60

0.01ω 0.1 ω ω 10ω 100 ω 1000ω 104 ω

(s + 1)

1/(s +1)

asintotas

Φ(ω) π/2

π/4

0

-π/4

-π/2

0.01ω 0.1 ω ω 10ω 100 ω 1000ω 104 ω

(s + 1)

1/(s +1)

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Notación: En el gráfico s+1 corresponde a s+α. Lo mismo que ω=1=α. En general, la frecuencia a la cual la potencia de salida es la mitad (doble) de la de entrada en el caso del polo (cero), es la frecuencia de corte. d) raíces complejas s2 + 2α·s + α2 + β2

( ) ( ) ( )

2 20 0

2 22 20 0 0 0 0 0

( )2 2 1 ( ) 1

k kkG ss s s s s s Q

ω ωξ ω ω ω ξ ω ω ω

= = =+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ +

ω0 : frecuencia angular resonante ξ : coeficiente de amortiguamiento, controla la forma de la función de transferencia en la vecindad de ω=ω0. ωd = 2

0 1ω ξ− : frecuencia resonante natural α =-ξ·ω0 : coeficiente de amortiguamiento exponencial

12

Qξ

= : factor de calidad

21,2 0 0 1s jξ ω ω ξ= − ⋅ ± − 0< ξ <1

1cosθ ξ−=

( ) ( ){ }

1 1 222 20 0

1( )1 2

G jωω ω ξ ω ω

=⎡ ⎤− + ⋅ ⋅⎣ ⎦

En decibeles

( ) ( ){ }1 222 21 0 020 log 1 2dBM ω ω ξ ω ω⎡ ⎤= − − + ⋅ ⋅⎣ ⎦

Asintotas de |G1(jω)|

( ) ( ){ }1 222 20 0 020 log 1 2

d d

ω ω ω ω ξ ω ω⎡ ⎤<< − − + ⋅ ⋅⎣ ⎦

20log1 0= =

( ) ( ){ }1 222 20 0 020 log 1 2

d

ω ω ω ω ξ ω ω⎡ ⎤>> − − + ⋅ ⋅⎣ ⎦

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1 21 24 2 2 2 2

0 0 0 020log 2 20log 2d

ω ω ξ ω ω ω ω ω ω ξ⎡ ⎤− + ⋅ ⋅ = − + ⋅⎣ ⎦

( ) ( )20 020log 40logω ω ω ω− = − pendiente de -40dB/dec

Fase de de |G1(jω)|

( )( )

011 2

0

21

tgξ ω ω

φω ω

−⎡ ⎤⋅ ⋅

= − ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

nω ω<< ( )11 0(2 ) 0ºtgφ ξ ω ω−≈ − ⋅ ⋅ ≈

jω jω0√1-ξ2=jωd

-jω0√1-ξ2=-jωd

-ξ·ω0

θ

ω0

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nω ω>> ( )

11

0

2 180ºtg ξφω ω

− ⎡ ⎤⋅≈ − ≈ −⎢ ⎥−⎣ ⎦

Q ξ=(1/2Q) 5 0.1 2 0.25 1 0.5 0.7 0.71 0.5 1 0.2 2.5 0.1 5

≈20logQ

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Frequency

10mHz 100mHz 1.0Hz 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHzVp(out)

-190d

0d

180d

(60.559,-68.480)

db(V(out)/ V(in))-100

0

100

SEL>>

(159.681m,-19.973)

(60.559,22.035)

Ejemplo Bode 1:

( )2 4 3

0.1( )( 50 1) 16 10 10 1

sH ss s s

=+ ⋅ + +

→ ξ=0.2

Por ejemplo, en ω=1rad/s (f=0.159Hz) la ganancia es de -20dB Nótese que el diagrama de Bode en Spice está en Hertz (ω=2π·f, por ejemplo ω=1rad/s → f=0.159Hz )

40

20

0

-20

-40

0.01 0.1 1 10 100 1000 rad/s 104

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Frequency

10mHz 100mHz 1.0Hz 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHzVp(out)

-100d

0d

100d

SEL>>

(694.359m,50.294)

(1.5777,-9.4021)

db(V(out)/ V(in))-50

0

50

(31.920,-4.9559m)5.968m,12.053)

(1.5777,32.209)

Ejemplo Bode 2:

( )( )2 2

2 12( ) 200 45 100 100 20 1

ssH ss s s s

++= =

+ + + + → ξ=0.25

Por ejemplo, en ω=0.1rad/s (f=0.0159Hz) la ganancia es de +12dB

40

20

0

-20

-40

0.01 0.1 1 10 100 1000 rad/s 104

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Algunos circuitos característicos y su respectivo diagrama de Bode (se muestran las asintotas):

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Sistemas en Cascada:

21

1 1 1

( ) 1( )( ) 1

V s H sV s sR C

= =+

32

2 2 2

( ) 1( )( ) 1

V s H sV s sR C

= =+

el efecto de carga de la red 2 hace que la función de T. de H1 cambie 2 1 2 2

11 1 1 2 2

( ) (1 ) || ( 1 )( )( ) (1 ) || ( 1 )

V s sC R sCH sV s R sC R sC

+= =

+ +2 2

21 1 2 2 1 2 1 1 2 2

(1 )1 ( ) ( )

sR Cs R C R C R C s R C R C

+=

+ + + +