Upload
vuongdien
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
RESTORASI GAMBAR DIGITAL
MENGGUNAKAN INVERSE PROBLEM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Pandu Arya Wijaya
NIM: 103114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
RESTORASI GAMBAR DIGITAL
MENGGUNAKAN INVERSE PROBLEM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Pandu Arya Wijaya
NIM: 103114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
DIGITAL IMAGE RESTORATION
USING INVERSE PROBLEM
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Sarjana Sains Degree in
Mathematics Study Program
Written By :
Pandu Arya Wijaya
Student Number: 103114012
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
a
RESTORASI GAMBAR DIGITAL
MENGGI'NAKAN INVERSE PROBLEM
SKRIPSI
Disusutr Oleh:
Pandu Arya Wijaya
NIM: 103114012
Telah disetujui oleh:
Dosen Pembimbing Slripsi,
(Hadono, S.Si., M.Sc-, Ph.D) - /3/d/ /2ol <'Taneeal
lll
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
RESTORASI GAMBAR DIGITAL
MENGGTJNAKAI\I NTVERSE PROBLEM
Dipersiapkan dan ditutis oleh :
Patdu Arya Wiiaya
NIM: l03l l,l0l2
Telab dipe alErkan di depan Paoitia P€nguji
psda rugal 17 Des€oDber 2014
dan dinyatakan telah m€metruhi syaiat
Susuan Panitia Penguji
Nama I engkef
Ketua : h. Ig. Ads Ilwiahoko, M.Sc.
Sekretaris : Dr. rer-nat Horry Pdbar.,aoto Surlawa!. M.Si.
Anggota : Harto.o, S.Si., M.Sc., Ph.D.
SKRIPSI
Y os$klirt,- ...P-.... L?.2!.?:....? | 5
Fakultas Sains dan Teknologi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah hadiah terindah Yesus Kristus untuk kado Natal 2014.
“Terpujilah TUHAN, karena Ia telah mendengar suara permohonanku.
TUHAN adalah kekuatanku dan perisaiku; kepada-Nya hatiku percaya.
Aku tertolong sebab itu beria-ria hatiku, dan dengan nyanyianku aku bersyukur
kepada-Nya”.
(Mazmur 28:6-7)
Karya ini aku persembahkan untuk:
Allah Bapa, Putra dan Roh Kudus,
Papa, Mama dan Adikku tercinta,
Kekasih hatiku tersayang,
Teman-teman matematika angkatan 2010,
Serta orang-orang yang selalu berada di sisi saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
PER}TYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skipsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian kfiya ora[g lain, kecuali yang disebutkan dalam
kutipan dan daffar pustaka, sebagaimana layaknya kaxya ilmiah.
Yogyakart4 Desember 20 I 4
Penulis
vPardu Arya Wijaya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Pandu Arya Wijaya. 2014. Restorasi Gambar Digital Menggunakan
Inverse Problem. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah aplikasi inverse problem
dalam restorasi gambar, terutama restorasi gambar digital. Inverse Problem
merupakan suatu metode penyelesaian masalah menggunakan invers dari
permasalahan yang diselesaikan. Tulisan ini akan membahas bagaimana
mengurangi efek kabur pada gambar digital dengan meminimalkan galat yang
terjadi, sehingga diperoleh hasil restorasi yang memuat galat terkecil. Untuk itu,
diperlukan suatu kontrol galat dengan cara menghitung besarnya norma pada
gambar hasil restorasi. Dalam hal ini, teori matematika yang digunakan adalah
Singular Value Decomposition (SVD) dan model permasalahan inversnya adalah
model gambar kabur. Model gambar kabur merupakan transformasi gambar asli
berdasarkan operator pengaburan.
Model gambar kabur akan ditransformasi menjadi gambar yang lebih baik
(noise minimum) dengan metode Truncated Singular Value Decomposition
(TSVD) dan metode Regularisasi Tikhonov.
Kata Kunci: restorasi gambar, inverse problem, norma, gambar kabur, Singular
Value Decomposition, Truncated Singular Value Decomposition, Regularisasi
Tikhonov.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Pandu Arya Wijaya. 2014. Digital Image Restoration Using Inverse
Problem. Thesis. Mathematics Study Program, Department of Mathematics,
Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
The topic of this thesis is the application of inverse problems in image
restoration, especially in digital image restoration. Inverse Problem is a problem
solving method using inverse of problem being solved. This paper discuss how to
reduce the blurring effect on digital image by minimizing the error, such that the
restoration results obtained has a minimum error. For this purpose, we need to
control the error by calculate the norm of image restoration. In this case, we need
a mathematical theory so called Singular Value Decomposition (SVD) and the
model of inverse problem is blurred image model. Blurred image model is an
original image transformed by blurring operator.
The blurred image model will be transformed into a clearer image (with
minimum noise) using Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) method
and Tikhonov regularization method.
Keywords: images restoration, inverse problem, norm, blurred image, Singular
Value Decomposition, Truncated Singular Value Decomposition, Tikhonov
regularization.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PER}TYATAAN PERSf, TUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAII I]NTUK KEPENTINGAII AKADEMIS
Yang bertandatangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharna:
Nama : Pandu Arya Wijaya
NIM :103114012
demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan karya ilmiah saya
kepada Perpustakaan Univemitas Sanata Dharma yang bedudul:
RESTORASI GAMBAR DIGITAL
MENGGIJNAKAN IN\'ERSE PROBLEM
beserta perangkal yang diperlukao (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Uriversitas Sanata Dhaxma hak untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan
dat4 mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet
atau media lain untuk kepentingan akad€mis tanpa meminta izin dari saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencal-up nama saya sebagai
penulis.
Demikian pemyataan ini saya buat dengan sebenaxnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tarygal: 7 Januari 2015
Yang menyatakan,
A
W(Pandu Arya Wijaya)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah
melimpahkan berkat dan kasihNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini dengan baik.
Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril
maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku dosen pembimbing skripsi dan
Ketua Program Studi Matematika yang telah meluangkan banyak waktu
dan membimbing penulis dengan penuh kesabaran.
3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik.
4. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberikan ilmu yang
berguna kepada penulis.
5. Kedua orang tua, Bapak Bambang Wijaya dan Ibu Tri Endang Hidrayani,
yang selalu mendukung penulis dengan doa, semangat, dan materi.
6. Teman-temanku: Arga, Ratri, Ayu, Tika, Astri, Sari, Dini, Celly, Leni,
Agnes, Yohan, Roy, Marsel, dan Yosi, terima kasih untuk canda tawa,
kebersamaan, dan semangat yang selalu diberikan pada penulis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
7. Teman-teman 2009, 2011 dan 2012: Jojo, Indra, Bayu, Rian, Budi, Ega,
Happy, Tika terima kasih untuk doa, semangat, dan keceriaan yang selalu
diberikan kepada penulis.
8. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh
karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta
menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat
memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.
Yogyakarta, Desember 2014
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ..................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................................... vi
ABSTRAK ...................................................................................................... vii
ABSTRACT .................................................................................................... viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............ ix
KATA PENGANTAR ..................................................................................... x
DAFTAR ISI ................................................................................................... xii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xv
DAFTAR TABEL ........................................................................................... xvii
DAFTAR PROGRAM .................................................................................... xviii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1
A. Latar Belakang .................................................................................... 1
B. Perumusan Masalah ............................................................................ 7
C. Pembatasan Masalah ........................................................................... 8
D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 8
E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
F. Metode Penulisan ................................................................................ 9
G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 10
BAB II LANDASAN TEORI ......................................................................... 12
A. Aljabar Linier ...................................................................................... 12
2.1 Sistem Persamaan Linier Homogen ...................................... 12
2.2 Ruang Vektor ........................................................................ 13
2.3 Ortogonalitas ......................................................................... 22
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................... 34
2.5 Dekomposisi Nilai Singular .................................................. 36
2.6 Norma Matriks dan Bilangan Kondisi .................................. 49
B. Kalkulus .............................................................................................. 65
2.7 Big-O ..................................................................................... 65
2.8 Fungsi Bernilai Vektor .......................................................... 66
BAB III INVERSE PROBLEM ...................................................................... 70
A. Prinsip Dasar Inverse Problem ............................................................ 70
3.1 Kestabilan Algoritma pada Sistem ........................................ 71
3.2 Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian ............................ 75
B. Metode Regularisasi ............................................................................ 85
3.3 Regularisasi ........................................................................... 85
3.4 Regularisasi Tikhonov .......................................................... 91
BAB IV APLIKASI ........................................................................................ 94
A. Gambar Digital .................................................................................... 94
4.1 Representasi Gambar Digital ................................................ 94
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
4.2 Model Degradasi Gambar Digital ......................................... 96
B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD ............................................. 98
C. Restorasi Gambar menggunakan Regularisasi Tikhonov ................... 107
BAB V PENUTUP ........................................................................................... 117
A. Kesimpulan .......................................................................................... 117
B. Saran .................................................................................................... 118
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 119
LAMPIRAN .................................................................................................... 120
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ...................... 3
Gambar 1.2 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ....................... 3
Gambar 1.3 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ....................... 3
Gambar 1.4 Koordinat Spasial ........................................................................ 4
Gambar 1.5 Algoritma Inverse Problem ......................................................... 7
Gambar 2.1 Hubungan geometris di antara 𝐱 dan 𝐴𝐱 ..................................... 34
Gambar 3.1 Prosedur metode Inverse Problem .............................................. 70
Gambar 4.1 Gambar Asli dan Gambar kabur .................................................. 97
Gambar 4.2 Gambar Asli ................................................................................ 101
Gambar 4.3 Gambar terkena efek motion ....................................................... 101
Gambar 4.4 Visualisasi Matriks Pengaburan .................................................. 102
Gambar 4.5 Gambar Asli hasil Restorasi TSVD dengan 𝑘 = 200 ................. 103
Gambar 4.6 Grafik TSVD ............................................................................... 104
Gambar 4.7 Grafik TSVD dengan axis([50 100 0 10]) ..................... 105
Gambar 4.8 Grafik TSVD dengan axis([70 75 5 6]) .......................... 105
Gambar 4.9 Grafik TSVD dengan axis([70 75 5.7 5.8]) ................ 106
Gambar 4.10 Gambar hasil Restorasi TSVD dengan 𝑘 = 74 .......................... 106
Gambar 4.11 Gambar hasil restorasi Tikhonov dengan 𝛼 = 0.01 .................. 111
Gambar 4.12 Grafik Regularisasi Tikhonov ................................................... 112
Gambar 4.13 Gambar Regularisasi Tikhonov dengan 𝛼 ∈ 0,0.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
dan axis([0 0.2 0 20]) .................................................. 112
Gambar 4.14 Gambar Regularisasi Tikhonov dengan 𝛼 ∈ 0.06 , 0.12
dan axis([0.06 0.12 6 8]) ........................................... 113
Gambar 4.15 Gambar hasil restorasi regularisasi Tikhonov
dengan 𝛼 = 0,0874 .................................................................... 113
Gambar 4.16 Hasil restorasi metode TSVD dan regularisasi Tikhonov ......... 115
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.1 Hasil Numerik Faktor Perbesaran Galat ......................................... 89
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xviii
DAFTAR PROGRAM
Halaman
Program 4.1a ................................................................................................... 120
Program 4.1b ................................................................................................... 121
Program 4.2a .................................................................................................... 122
Program 4.2b ................................................................................................... 123
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dewasa ini, perkembangan teknologi dapat dikatakan sangat
berkembang pesat. Banyak peralatan elektronik yang diciptakan untuk
memenuhi kebutuhan manusia, baik dari membantu pekerjaan sampai
memenuhi kebutuhan gaya hidup. Salah satu yang cukup berkembang
adalah perkembangan gambar digital. Istilah digital merujuk pada sinyal
atau data yang dinyatakan sebagai rangkaian angka 0 dan 1. Gambar
digital, merupakan bentuk perwakilan visual dari sesuatu, karena gambar
digital dapat digunakan sebagai sarana untuk memberikan penjelasan
mengenai sesuatu. Makna visual yang diberikan gambar dapat
memberikan informasi dengan jelas, tanpa perlu ada penyampaian
informasi detail secara lisan. Karena alasan tersebut maka banyak
peralatan elektronik dikembangkan guna menghasilkan ketajaman gambar
yang lebih baik. Gambar dengan kualitas yang baik dapat memberikan
makna visual yang jelas, sehingga tidak memberikan kesalahan persepsi
bagi yang melihat.
Memanipulasi gambar tentunya bukan merupakan sesuatu yang aneh
lagi pada era modern seperti saat ini. Banyak gambar, seperti poster,
spanduk, foto dan sebagainya dapat memiliki kualitas ketajaman gambar
yang lebih bagus dari aslinya. Selain itu, dapat disaksikan juga animasi-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
animasi menarik dari video dengan kualitas grafis yang mengagumkan.
Dan itu semua, tidak lain merupakan hasil dari perkembangan teknologi
yang sangat cepat dalam pemrosesan gambar digital.
Salah satu bidang dalam pemrosesan gambar digital yang cukup
populer adalah mengenai restorasi gambar. Restorasi berasal dari kata
restore yang artinya memperbaiki. Restorasi gambar adalah cara untuk
memperoleh kembali gambar asli dari gambar yang telah terdegradasi
berdasarkan informasi dari model degradasi yang masuk akal. Kata
degradasi dalam tulisan ini, berasal dari istilah degradation yang artinya
bentuk asli yang telah turun kualitasnya karena suatu penyebab tertentu.
Restorasi gambar mengambil peranan yang sangat penting dalam era
gambar digital, sebab telah diketahui bahwa peralatan optik digital seperti
kamera juga memiliki keterbatasan dalam menangkap gambar. Akibatnya,
gambar yang dihasilkan menjadi kabur atau dalam pemrosesan signal
disebut sebagai derau (noise). Adapun penyebab dari derau tersebut dapat
disebabkan oleh keterbatasan alat maupun manusia. Gambar yang
mengandung derau sering kali membatasi informasi yang akan
disampaikan. Itu sebabnya, derau tersebut harus dihilangkan. Sebagai
contoh, di bawah ini terdapat beberapa gambar yang menunjukkan
perbandingan antara gambar sebelum dan sesudah dilakukan proses
restorasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Sebelum Sesudah
Sumber: image-restore.co.uk
Gambar 1.1.
Sebelum Sesudah
Sumber: carlmason-liebenberg.com
Gambar 1.2.
Sebelum Sesudah
Sumber: retouchphoto.net
Gambar 1.3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Dari beberapa contoh di atas, terlihat bahwa proses restorasi dapat
merubah penampilan gambar menjadi lebih bagus dibandingkan dengan
gambar aslinya. Kemudian, dengan melakukan restorasi ternyata dapat
menghilangkan efek derau yang mengganggu kualitas gambar asli,
sehingga dapat dihasilkan gambar yang lebih jelas.
Untuk lebih memudahkan dalam melakukan proses restorasi, terlebih
dahulu pastikan gambar yang akan direstorasi sudah dalam bentuk digital,
jika belum dapat digunakan scanner untuk mengubah gambar kasar
menjadi gambar digital. Gambar kasar merupakan gambar hasil karya
tangan manusia misalnya lukisan. Ketika sebuah gambar sudah diubah ke
dalam bentuk digital barulah proses restorasi dapat dimulai.
Gambar digital dapat didefinisikan sebagai fungsi dua variabel,
𝑓(𝑥, 𝑦), dimana 𝑥 dan 𝑦 adalah koordinat spasial dan nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah
intensitas (warna) gambar pada koordinat tersebut. Koordinat spasial
merupakan koordinat yang digunakan untuk merepresentasikan fakta dari
dunia nyata. Hal tersebut dapat diilustrasikan seperti pada gambar 1.4.
Sumber: anezblog.com
Gambar 1.4. f(0,0)
f(0,y) f(x,y)
f(x,0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Namun dalam kondisi riil, terkadang didapatkan gambar yang mengalami
efek derau. Hal ini menyebabkan intensitas (warna) gambar pada setiap
koordinat spasial menjadi terganggu. Akibatnya, gambar yang dihasilkan
menjadi kabur.
Dalam usaha mengatasi kendala inilah, penulis menggunakan teknik
restorasi gambar digital menggunakan Inverse Problem. Untuk definisi
Inverse Problem sebenarnya belum diketahui secara pasti. Namun, penulis
mencoba untuk memaparkan beberapa pendapat dari matematikawan
mengenai Inverse Problem. Menurut Julia Robinson (dalam C. W.
Groetsch, 1999), Inverse Problem adalah “Here you were given a solution
and you had to find the equation”, artinya situasi dimana penyelesaian
suatu masalah telah diberikan dan harus ditemukan bagaimana
persamaannya. Menurut Per Christian Hansen (2010), “The inverse
problem is to compute either the input or the system, given the other two
quantities”, artinya inverse problem adalah proses mendapatkan inputatau
sistem, saat diketahui dua kuantitas (dalam kasus ini adalah sistem dan
output). Dari uraian di atas, secara umum Inverse Problem diartikan
sebagai suatu metode penyelesaikan masalah secara tidak langsung,
artinya penyelesaian masalah menggunakan invers dari permasalahan yang
akan diselesaikan.
Pertama kali inverse problem diperkenalkan oleh Hadamard sekitar
awal abad ke-20 (seseorang yang bekerja dalam bidang matematika-
fisika). Hadamard mengatakan bahwa suatu permasalahan adalah well-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
posed jika memenuhi tiga persyaratan. Pertama, existence yaitu suatu
masalah harus memiliki penyelesaian. Kedua, uniqueness bahwa hanya
akan ada tepat satu penyelesaian pada suatu masalah. Ketiga, stability
adalah penyelesaian yang didapat bergantung pada data, sehingga jika data
diberi gangguan sedikit maka tidak akan menimbulkan galat yang sangat
besar pada hasil. Jika terdapat satu dari tiga persyaratan yang tidak
dipenuhi, maka masalah dikatakan ill-posed.
Metode Inverse Problem bertujuan untuk mendapatkan suatu input
yang tidak diketahui, berdasarkan informasi sistem dan output dari
masalah. Prinsip dariinverse problem ini sebenarnya merupakan
pengembangan dari invers matriks yang dikenal dalam aljabar linier.
Dengan cara memandang permasalahan yang akan diselesaikan sebagai
bentuk matriks, misalkan matriks 𝐴𝐱 = 𝐛, dimana 𝐱 merupakan input dari
masalah, 𝐴 merupakan sistem dari masalah, dan 𝐛 merupakan output yang
didapat dari masalah. Dari persamaan matriks tersebut, dapat ditentukan
matriks 𝐱 = 𝐴−1𝐛, dimana 𝐴−1 merupakan invers dari matriks 𝐴. Dengan
menggunakan konsep tersebut maka inverse problem dapat juga
diterapkan pada restorasi gambar digital, sehingga dapat diperoleh kembali
gambar asli yang kabur atau terdegradasi karena efek derau.
Secara umum,proses restorasi dapat dipandang sebagai persamaan
𝐱 = 𝐀−1𝐛, dimana 𝐛 adalah gambar yang telah terdegradasi, 𝐀−1 adalah
model transformasi untuk mengurangi efek derau pada 𝐛, dan 𝐱 adalah
gambar hasil restorasi. Kemudian agar mendapatkan hasil optimal dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
restorasi maka harus didapatkan 𝐀−1terbaik yang mampu meredam efek
derau dari 𝐛. Untuk mengatasi masalah itu, penulis menggunakan metode
Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan metode regularisasi
Tikhonov. Skema berikut ini akan menjelaskan bagaimana alur algoritma
dari invers problem,
Gambar 1.5. Inverse problem adalah proses mendapatkan input, saat
diketahui dua kuantitas (sistem dan output).
B. Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan dirumuskan
sebagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud dengan metode Inverse Problem dan
bagaimana landasan teoritiknya?
2. Bagaimana penerapan metode Inverse Problem pada proses restorasi
gambar digital?
Inverse Problem
Input Sistem
Output
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
3. Bagaimana algoritma dan pemrograman MATLAB pada proses
restorasi gambar digital?
C. Pembatasan Masalah
Penulis akan membatasi beberapa hal untuk uraian masalah yang akan
dibahas, yaitu:
1. Tulisan ini dibatasi pada proses editing dengan restorasi untuk
menghilangkan efek derau pada gambar.
2. Data yang digunakan berupa foto atau gambar yang mengalami derau.
3. Metode dalam Inverse Problem yang digunakan adalah metode
Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan Regularisasi
Tikhonov untuk menghilangkan efek derau dan meningkatkan
ketajaman gambar pada data yang disediakan.
4. Gambar yang direstorasi berupa gambar grayscale.
D. Tujuan Penulisan
Tulisan ini disusun dengan tujuan agar dapat lebih memahami salah
satu teknik restorasi yang sering digunakan dalam restorasi gambar digital.
Terlebih lagi, akan dipelajari juga prinsip Truncated Singular Value
Decomposition (TSVD) dan Regularisasi Tikhonov untuk restorasi gambar
digital. Selain itu, akan dipelajari juga bagaimana penerapan prinsip-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
prinsip restorasi gambar digital tersebut dalam pemrograman MATLAB.
Tulisan ini juga disusun sebagai pemenuhan tugas akhir dalam Program
Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
E. Manfaat Penelitian
Dengan mempelajari topik ini kita dapat mempelajari kegunaan
Inverse Problem dalam proses restorasi gambar digital. Kita juga dapat
mempelajari prinsip Truncated Singular Value Decomposition (TSVD)
dan Regularisasi Tikhonov dalam restorasi gambar digital. Terlebih lagi,
kita juga dapat menerapkan metode tersebut dalam algoritma dan
pemrograman MATLAB sehingga proses restorasi dapat lebih mudah
dilakukan.
F. Metode Penulisan
Penulisan menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku dan jurnal yang berkaitan dengan topik Inverse
Problem, teknik Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan
Regularisasi Tikonov dalam proses restorasi gambar digital.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
G. Sistematika Penulisan
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Perumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II. LANDASAN TEORI
A. Aljabar Linier
B. Kalkulus
BAB III. INVERSE PROBLEM
A. Prinsip Dasar Inverse Problem
B. Metode Regularisasi
BAB IV. APLIKASI
A. Gambar Digital
B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD
C. Restorasi Gambar menggunakan Regularisasi Tikhonov
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Aljabar Linier
Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori aljabar linier
yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab-bab
berikutnya.
2.1 Sistem Persamaan Linier Homogen
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier dalam
peubah 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 dinamakan sistem persamaan linier (SPL). Sebuah
sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika ruas kanan
pada sistem persamaan tersebut adalah sama dengan nol, yakni sistem
yang mempunyai bentuk
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0
dan ditulis sebagai 𝐴𝐱 = 𝟎.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Teorema 2.1.1
Misalkan 𝐴 matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝐴 adalah taksingular jika dan hanya jika
𝐴𝐱 = 𝟎 mempunyai penyelesaian trivial 0.
Bukti:
→ Jika 𝐴 taksingular dan 𝐱′ adalah penyelesaian dari 𝐴𝐱 = 𝟎, maka
𝐱′ = 𝐼𝐱′ = 𝐴−1𝐴 𝐱′ = 𝐴−1 𝐴𝐱′ = 𝐴−1𝟎 = 𝟎.
← Jika 𝐴𝐱 = 𝟎 mempunyai penyelesaian 𝐱′ = 𝟎, maka 𝐱′ = 𝐴−1𝟎 = 𝟎.
Sehingga 𝐴 haruslah matriks taksingular.
2.2 Ruang Vektor
Himpunan 𝑉 yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar disebut sebagai ruang vektor, jika memenuhi
aksioma-aksioma berikut dipenuhi.
A1. 𝐱 + 𝐲 = 𝐲 + 𝐱 untuk setiap 𝐱 dan y di 𝑉.
A2. 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 untuk setiap 𝐱, 𝐲, 𝐳 di 𝑉.
A3. Terdapat elemen 𝟎 di 𝑉 sehingga 𝐱 + 𝟎 = 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑉.
A4. Untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑉 terdapat −𝐱 elemen di 𝑉, sehingga
𝐱 + −𝐱 = 𝟎.
A5. 𝛼 𝐱 + 𝐲 = 𝛼𝐱 + 𝛼𝐲 untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ dan setiap 𝐱 dan y di 𝑉.
A6. 𝛼 + 𝛽 𝐱 = 𝛼𝐱 + 𝛽𝐱 untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap 𝐱 ∈ 𝑉.
A7. 𝛼𝛽 𝐱 = 𝛼 𝛽𝐱 untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap 𝐱 ∈ 𝑉.
A8. 1. 𝐱 = 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑉.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
A9. Jika 𝐱 ∈ 𝑉 dan 𝛼 ∈ ℝ, maka 𝛼𝐱 ∈ 𝑉.
A10. Jika 𝐱, 𝐲 ∈ 𝑉, maka 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑉.
Contoh 2.2.1
Himpunan matriks berukuran 𝑚 × 𝑛, dinotasikan 𝑀𝑚×𝑛 merupakan ruang
vektor terhadap operasi penjumlahan matriks biasa serta perkalian dengan
skalar.
2.2.1 Ruang bagian
Definisi 2.2.1.1
𝑆 disebut ruang bagian dari 𝑉, jika 𝑆 adalah subhimpunan tak kosong dari
suatu ruang vektor 𝑉 dan 𝑆 memenuhi
𝑖 𝛼𝐱 ∈ 𝑆 jika 𝐱 ∈ 𝑆 untuk sembarang skalar 𝛼 ∈ ℝ
𝑖𝑖 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑆 jika 𝐱 ∈ 𝑆 dan 𝐲 ∈ 𝑆.
Contoh 2.2.1.2
Misalkan 𝑆 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1 = 𝑥2 . Maka 𝑆 adalah ruang bagian dari ℝ3,
sebab
i Jika 𝐱 ∈ 𝑆, maka 𝐱 harus berbentuk 𝐱 =
𝑥2
𝑥2
𝑥3
, sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
𝛼𝐱 = 𝛼
𝑥2
𝑥2
𝑥3
=
𝛼𝑥2
𝛼𝑥2
𝛼𝑥3
. Karena 𝛼𝑥1 = 𝛼𝑥2, berarti 𝛼𝐱 ∈ 𝑆.
ii Jika 𝐱, 𝐲 ∈ 𝑆, maka 𝐱 dan 𝐲 harus berbentuk
𝐱 =
𝑥2
𝑥2
𝑥3
dan 𝐲 =
𝑦2
𝑦2
𝑦3
sehingga
𝐱 + 𝐲 =
𝑥2
𝑥2
𝑥3
+
𝑦2
𝑦2
𝑦3
=
𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
𝑥3 + 𝑦3
.
Karena 𝑥1 + 𝑦1 = 𝑥2 + 𝑦2, berarti 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑆.
2.2.1.3 Kernel dari matriks
Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan 𝑁 𝐴 merupakan himpunan
semua penyelesaian sistem 𝐴𝐱 = 𝟎 yang membentuk ruang bagian dari
ℝ𝑛 . Ruang bagian 𝑁 𝐴 disebut kernel (ruang nol), yang ditulis sebagai
𝑁 𝐴 = 𝐱 ∈ ℝ𝑛 𝐴𝐱 = 𝟎 .
Teorema 2.2.1.4
𝑁 𝐴 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .
Bukti:
Jika 𝐱 ∈ 𝑁 𝐴 dan 𝛼 suatu skalar, maka
𝐴 𝛼𝐱 = 𝛼𝐴𝐱 = 𝟎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
sehingga 𝛼𝐱 ∈ 𝑁 𝐴 . Jika 𝐱 dan 𝐲 adalah elemen-elemen dari 𝑁 𝐴 , maka
𝐴 𝐱 + 𝐲 = 𝐴𝐱 + 𝐴𝐲 = 𝟎 + 𝟎 = 𝟎
akibatnya 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑁 𝐴 . Karena 𝛼𝐱 ∈ 𝑁 𝐴 dan 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑁 𝐴 , berarti
𝑁 𝐴 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .
2.2.2 Kebebasan Linier
Sebuah vektor 𝐰 disebut sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor
𝐯1, 𝐯2 , …𝐯𝑛 jika vektor tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
𝐰 = 𝑐1𝐯1 + 𝑐2𝐯2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝐯𝑛
dimana 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 adalah skalar. Himpunan semua kombinasi linier dari
𝐯1, 𝐯2 , …𝐯𝑛 disebut rentang dari 𝐯1, 𝐯2, …𝐯𝑛 .
Definisi 2.2.2.1
Himpunan 𝐯1, 𝐯2, …𝐯𝑛 disebut himpunan perentang untuk 𝑉 jika dan
hanya jika setiap vektor dalam 𝑉 dapat ditulis sebagai kombinasi linier
dari 𝐯1 , 𝐯2, …𝐯𝑛 .
Definisi 2.2.2.2
Himpunan 𝐯1, 𝐯2, …𝐯𝑛 dikatakan bebas linier jika kombinasi linier
𝑐1𝐯1 + 𝑐2𝐯2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝐯𝑛 = 0
mengakibatkan 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐𝑛 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
2.2.3 Basis dan Dimensi
Definisi 2.2.3.1
Vektor-vektor 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 yang bebas linear dan merentang pada ruang
vektor 𝑉 disebut sebagai basis dan banyaknya vektor dalam basis pada
ruang vektor 𝑉 dikatakan sebagai dimensi.
Contoh 2.2.3.2
Tentukan 𝑁 𝐴 dari matriks
𝐴 = 1 1 1 02 1 0 1
dan kemudian tentukan basis dan dimensi dari 𝑁 𝐴 yang diperoleh.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan proses eliminasi Gauss untuk menyelesaikan
𝐴𝐱 = 𝟎, diperoleh
1 1 1 02 1 0 1
00
𝑅2+ −2 𝑅1
1 1 1 00 −1 −2 1
00
1 1 1 00 −1 −2 1
00
𝑅1+𝑅2
1 0 −1 10 −1 −2 1
00
sehingga
1 0 −1 10 −1 −2 1
00
−1 𝑅2
1 0 −1 10 1 2 −1
00
Bentuk eselon baris tersebut melibatkan dua peubah bebas, 𝑥3 dan 𝑥4
sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
𝑥1 = 𝑥3 − 𝑥4
𝑥2 = −2𝑥3 + 𝑥4
kemudian jika didefinisikan 𝑥3 = 𝛼 dan 𝑥4 = 𝛽, maka
𝐱 =
𝛼 − 𝛽−2𝛼 + 𝛽
𝛼𝛽
= 𝛼
1−210
+ 𝛽
−1101
adalah penyelesaian dari 𝐴𝐱 = 𝟎.
Jadi, 𝑁 𝐴 adalah semua vektor yang berbentuk
𝛼
1−210
+ 𝛽
−1101
dimana 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.
Dari hasil tersebut terlihat bahwa 𝑁 𝐴 adalah ruang bagian dari ℝ4 yang
direntang vektor-vektor
1−210
dan
−1101
.
Selain itu kedua vektor tersebut juga bebas linear, akibatnya vektor-vektor
tersebut membentuk basis untuk 𝑁 𝐴 . Dan karena 𝑁 𝐴 mempunyai 2
vektor dalam basis 𝑁 𝐴 , berarti dimensi dari 𝑁 𝐴 = 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
2.2.4 Ruang Baris dan Ruang Kolom
Definisi 2.2.4.1
Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛, maka ruang bagian dari ℝ𝑛 yang direntang
oleh vektor-vektor baris dari 𝐴 disebut ruang baris dari 𝐴, sedangkan
ruang bagian dari ℝ𝑚 yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari 𝐴
disebut ruang kolom dari 𝐴.
Contoh 2.2.4.2
Misalkan 𝐴 = 1 0 00 1 0
, maka tentukan ruang baris dan ruang kolom
dari 𝐴.
Penyelesaian:
Ruang baris dari 𝐴 adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
𝛼 1,0,0 + 𝛽 0,1,0 = 𝛼, 𝛽, 0
dan ruang kolom dari 𝐴 adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
𝛼 10 + 𝛽
01 + 𝛾
00 =
𝛼𝛽 .
Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛, vektor 𝐛 ∈ ℝ𝑚 berada di dalam
ruang kolom dari 𝐴 jika dan hanya jika 𝐛 = 𝐴𝐱 untuk 𝐱 ∈ ℝ𝑛 . Maka,
ruang kolom dari 𝐴 dapat dinyatakan sebagai 𝑅 𝐴 ,
𝑅 𝐴 = 𝐛 ∈ ℝ𝑚 𝐛 = 𝐴𝐱 untuk 𝐱 ∈ ℝ𝑛 ,
dan ruang kolom dari 𝐴𝑇 dinyatakan sebagai 𝑅 𝐴𝑇
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
𝑅 𝐴𝑇 = 𝐲 ∈ ℝ𝑛 𝐲 = 𝐴𝑇𝐱 untuk 𝐱 ∈ ℝ𝑛 .
Ruang kolom dari 𝑅 𝐴𝑇 sesungguhnya sama dengan ruang baris dari 𝐴.
Jadi 𝐲 ∈ 𝑅 𝐴𝑇 jika dan hanya jika 𝐲𝑇 berada di dalam ruang baris dari 𝐴.
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa 𝑅 𝐴 dan 𝑅 𝐴𝑇 adalah ruang
bagian dari ℝ𝑛 .
(i) Jika 𝐛 ∈ 𝑅 𝐴 dan 𝛼 suatu skalar, maka untuk 𝛼𝐱 ∈ ℝ𝑛
𝛼𝐛 = 𝛼 𝐴𝐱 = 𝐴𝛼𝐱
sehingga 𝛼𝐛 ∈ 𝑅 𝐴 . Jika 𝐛1 dan 𝐛2 adalah elemen-elemen dari
𝑅 𝐴 , maka untuk 𝐱1 + 𝐱2 ∈ ℝ𝑛
𝐛1 + 𝐛2 = 𝐴𝐱1 + 𝐴𝐱2 = 𝐴 𝐱1 + 𝐱2
akibatnya 𝐛1 + 𝐛2 ∈ 𝑅 𝐴 . Karena 𝛼𝐛 ∈ 𝑅 𝐴 dan 𝐛1 + 𝐛2 ∈
𝑅 𝐴 , berarti 𝑅 𝐴 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .
(ii) Jika 𝐲 ∈ 𝑅 𝐴𝑇 dan 𝛼 suatu skalar, maka untuk 𝛼𝐱 ∈ ℝ𝑛
𝛼𝐲 = 𝛼 𝐴𝑇𝐱 = 𝐴𝑇𝛼𝐱
sehingga 𝛼𝐲 ∈ 𝑅 𝐴𝑇 . Jika 𝐲1 dan 𝐲2 adalah elemen-elemen dari
𝑅 𝐴𝑇 , maka untuk 𝐱1 + 𝐱2 ∈ ℝ𝑛
𝐲1 + 𝐲2 = 𝐴𝑇𝐱1 + 𝐴𝑇𝐱2 = 𝐴𝑇 𝐱1 + 𝐱2
akibatnya 𝐲1 + 𝐲2 ∈ 𝑅 𝐴𝑇 . Karena 𝛼𝐲 ∈ 𝑅 𝐴 dan 𝐲1 + 𝐲2 ∈
𝑅 𝐴𝑇 , berarti 𝑅 𝐴𝑇 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Teorema 2.2.4.3
Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama.
Bukti:
Jika matriks 𝐵 ekivalen baris dengan matriks 𝐴, maka 𝐵 dapat dibentuk
dari 𝐴 dengan operasi baris yang berhingga banyaknya. Ini berarti vektor-
vektor baris dari 𝐵 harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor
baris dari 𝐴. Akibatnya, ruang baris dari 𝐵 harus merupakan ruang bagian
dari ruang baris 𝐴. Karena matriks 𝐴 ekivalen baris dengan matriks 𝐵,
maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari 𝐴 adalah ruang bagian
dari ruang baris 𝐵.
Definisi 2.2.4.4
Rank dari suatu matriks 𝐴 adalah dimensi dari ruang baris 𝐴.
Contoh 2.2.4.5
Misalkan
𝐴 = 1 −2 32 −5 11 −4 −7
Dengan mereduksi 𝐴 menjadi bentuk eselon baris, diperoleh
𝑈 = 1 −2 30 1 50 0 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
sehingga 1, −2,3 dan 0,1,5 membentuk basis untuk ruang baris 𝑈.
Karena 𝑈 dan 𝐴 ekivalen baris, maka menurut Teorema 2.2.4.3 matriks
memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari 𝐴 adalah 2.
2.3 Ortogonalitas
2.3.1 Ruang Hasil Kali Dalam
Definisi 2.3.1.1
Hasil kali dalam pada ruang vektor riil 𝑉 adalah fungsi yang
mengasosiasikan bilangan riil 𝐱, 𝐲 dengan vektor 𝐱 dan 𝐲 pada 𝑉,
sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua
𝐱, 𝐲, 𝐳 di 𝑉 dan semua skalar 𝛼, 𝛽 di ℝ:
(i) 𝐱, 𝐱 ≥ 0; dan 𝐱, 𝐱 = 0 jika dan hanya jika 𝐱 = 0.
(ii) 𝐱, 𝐲 = 𝐲, 𝐱 untuk setiap 𝐱 dan 𝐲 di dalam 𝑉.
(iii) 𝛼𝐱 + 𝛽𝐲 , 𝐳 = 𝛼 𝐱, 𝐳 + 𝛽 𝐲, 𝐳 untuk setiap 𝐱, 𝐲, 𝐳 di dalam 𝑉
dan setiap skalar 𝛼, 𝛽.
Sebuah ruang vektor 𝑉 yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali
dalam disebut ruang hasil kali dalam. Salah satu contoh dari ruang hasil
kali dalam adalah ruang vektor ℝ𝑛 , dimana hasil kali dalam baku untuk
ℝ𝑛 dihitung sebagai hasil kali skalar
𝐱, 𝐲 = 𝐱𝑇𝐲.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.3.1.2
Dua vektor 𝐱 dan 𝐲 dikatakan ortogonal jika 𝐱, 𝐲 = 0, yang dinotasikan
sebagai 𝐱 ⊥ 𝐲.
Definisi 2.3.1.3
Sebuah ruang vektor 𝑉 dikatakan ruang linier bernorma jika untuk setiap
vektor 𝐯 ∈ 𝑉 dikaitkan dengan sebuah bilangan riil 𝐯 yang disebut norma
dari 𝐯 yang memenuhi:
(i) 𝐯 ≥ 0.
(ii) 𝐯 = 0 jika dan hanya jika 𝐯 = 𝟎.
(iii) 𝛼𝐯 = 𝜶 v untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ.
(iv) 𝐯 + 𝐰 ≤ 𝐯 + 𝐰 untuk setiap 𝐯 dan 𝐰 di 𝑉.
Teorema 2.3.1.4
Jika 𝑉 sebuah ruang hasil kali dalam, maka
𝐯 = 𝐯, 𝐯 untuk setiap 𝐯 ∈ 𝑉
mendefinisikan sebuah norma pada 𝑉.
Bukti:
(i) Karena nilai dari 𝐯 = 𝐯, 𝐯 ≥ 0, berarti nilai terkecil yang
mungkin hanyalah 𝐯 = 𝟎.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
(ii) Jika 𝐯 = 𝟎, maka 𝐯 2 = 𝐯, 𝐯 = 𝟎, 𝟎 = 0. Jadi 𝐯 = 0.
Kemudian jika 𝐯 = 𝐯, 𝐯 = 𝟎, 𝟎 = 0, berarti haruslah 𝐯 = 𝟎.
(iii) 𝛼𝐯 2 = 𝛼𝐯, 𝛼𝐯 = 𝛼2 𝐯, 𝐯 = 𝛼 𝐯 2. Jadi, 𝛼𝐯 = 𝛼 𝐯 .
(iv) 𝐮 + 𝐯 2 = 𝐮 + 𝐯, 𝐮 + 𝐯
= 𝐮, 𝐮 + 2 𝐮, 𝐯 + 𝐯, 𝐯
≤ 𝐮 2 + 2 𝐮 𝐯 + 𝐯 2 (ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
= 𝐮 + 𝐯 2
Jadi, 𝐮 + 𝐯 ≤ 𝐮 + 𝐯
Kemudian dapat didefinisikan beberapa norma yang berbeda pada
ruang vektor yang diberikan. Seperti, di ℝ𝑛 kita dapat mendefinisikan
𝐱 2 = 𝑥𝑖 2
𝑛
𝑖=1
1
2
= 𝐱, 𝐱 = 𝐱𝑇𝐱
disebut sebagai norma-2 vektor. Selain itu, norma lainnya yang penting
pada ℝ𝑛 adalah
𝐱 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛
𝑥𝑖
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Bukti:
(i) Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑥𝑖 ≥ 0 sehingga max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 . Akibatnya,
max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 = 𝐱 ∞ ≥ 0.
(ii) Jika 𝐱 ∞ = 0, maka max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 = 0. Karena maksimal dari
𝑥𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 berarti 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0, akibatnya
𝐱 =
00⋮0
sehingga 𝐱 = 𝟎. Oleh karena itu 𝐱 haruslah suatu vektor nol.
Jika 𝐱 = 𝟎, berarti 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0. Akibatnya
max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 = 0 sehingga 𝐱 ∞ = 0.
(iii) 𝛼𝐱 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛 𝛼𝑥𝑖 = 𝛼 max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 = 𝛼 𝐱 ∞ .
(iv) 𝐱 + 𝐲 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖
≤ max1≤𝑖≤𝑛
𝑥𝑖 + max1≤𝑖≤𝑛
𝑦𝑖
≤ 𝐱 ∞ + 𝐲 ∞ .
Berdasarkan bukti di atas 𝐱 ∞ memenuhi definisi sebagai norma, maka
𝐱 ∞ disebut sebagai norma-∞ vektor.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Contoh 2.3.1.5
Misalkan 𝐱 adalah vektor 4, −5,3 𝑇 di ℝ3. Hitunglah 𝐱 2 dan 𝐱 ∞ .
𝐱 2 = 16 + 25 + 9 = 50 = 5 2.
𝐱 ∞ = max 4 , −5 , 3 = 5.
Teorema 2.3.1.6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam
𝑉, maka
𝐮, 𝐯 ≤ 𝐮 𝐯
Bukti:
Jika 𝐯 = 𝟎 maka 𝐮, 𝐯 = 𝐮 𝐯 = 0, sehingga ketaksamaan berlaku.
Jika 𝐯 ≠ 𝟎, untuk setiap bilangan 𝑡 ∈ ℝ nilai
𝑡𝐮 + 𝐯 𝑡𝐮 + 𝐯 ≥ 0
𝐮, 𝐮 𝑡2 + 2 𝐮, 𝐯 𝑡 + 𝐯, 𝐯 ≥ 0
merupakan fungsi kuadrat dalam 𝑡 sehingga haruslah 𝑡 ≥ 0. Ini berarti
fungsi kuadrat tersebut tidak mempunyai akar berbeda. Oleh karena ini,
diskriminannya tidak mungkin positif, sehingga
4 𝐮, 𝐯 2 − 4 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯 ≤ 0
atau
4 𝐮, 𝐯 2 ≤ 4 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯
𝐮, 𝐯 2 ≤ 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
𝐮, 𝐯 2 ≤ 𝐮 2 𝐯 2
dengan mengambil akar dari kedua ruas diperoleh
𝐮, 𝐯 ≤ 𝐮 𝐯 .
2.3.2 Ruang Bagian Ortogonal
Vektor 𝐱 dan himpunan 𝑌 = 𝐲1, 𝐲2, . . , 𝐲𝑛 adalah ortogonal jika
terdapat 𝐱 ∈ 𝑋 dan untuk setiap 𝐲 ∈ 𝑌 berlaku 𝐱, 𝐲 = 0. Dan apabila 𝐱
dan 𝑌 ortogonal, dinotasikan sebagai 𝐱 ⊥ 𝑌.
Definisi 2.3.2.1
Dua ruang bagian 𝑋 dan 𝑌 dari ℝ𝑛 dikatakan ortogonal jika 𝐱, 𝐲 = 0
untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑋 dan setiap 𝐲 ∈ 𝑌, dan apabila 𝑋 dan 𝑌 ortogonal ditulis
𝑋 ⊥ 𝑌.
Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan misalkan 𝐱 ∈ 𝑁(𝐴). Karena
𝐴𝐱 = 𝟎 sehingga
𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑥𝑛 = 0
untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa 𝐱 ortogonal
pada setiap vektor kolom dari 𝐴𝑇 , maka 𝐱 ortogonal ke setiap kombinasi
linier dari vektor-vektor kolom 𝐴𝑇 . Sehingga jika 𝐲 adalah vektor kolom
dalam ruang vektor 𝐴𝑇 , maka 𝐱𝑇𝐲 = 0. Jadi setiap vektor di dalam 𝑁 𝐴
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
ortogonal terhadap setiap vektor di dalam ruang kolom 𝐴𝑇 , yang ditulis
sebagai 𝑁 𝐴 ⊥ 𝑅 𝐴𝑇 . Jika dua ruang bagian memiliki sifat ini, maka
dapat dikatakan bahwa ruang bagian tersebut adalah ortogonal.
Definisi 2.3.2.2
Misalkan 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil
kali dalam 𝑉. Jika semua pasangan vektor 𝐯𝑖 , 𝐯𝑗 = 0, dimana 𝑖 ≠ 𝑗, maka
𝐯1, 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 disebut sebagai himpunan ortogonal.
Definisi 2.3.2.3
Misalkan 𝑌 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 . Himpunan semua vektor-vektor
di dalam ℝ𝑛 yang ortogonal pada setiap vektor di 𝑌 akan dinotasikan
dengan 𝑌⊥,
𝑌⊥ = 𝐱 ∈ ℝ𝑛 𝐱, 𝐲 = 0 untuk setiap 𝐲 ∈ 𝑌 .
Himpunan 𝑌⊥ disebut komplemen ortogonal dari 𝑌.
2.3.2.4 Ruang-Ruang Bagian Pokok (Fundamental Subspaces)
Telah dijelaskan bahwa 𝑅 𝐴𝑇 ⊥ 𝑁 𝐴 , selanjutnya akan diperlihatkan
bahwa 𝑁 𝐴 sebenarnya merupakan komplemen ortogonal dari 𝑅 𝐴𝑇 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Teorema 2.3.2.5
Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑚 × 𝑛, maka 𝑁 𝐴 = 𝑅 𝐴𝑇 ⊥ dan 𝑁 𝐴𝑇 =
𝑅 𝐴 ⊥.
Bukti:
Diketahui bahwa 𝑁 𝐴 ⊥ 𝑅 𝐴𝑇 , sehingga 𝑁 𝐴 ⊂ 𝑅 𝐴𝑇 ⊥. Ambil
sebarang vektor 𝐱 di 𝑅 𝐴𝑇 ⊥. Berdasarkan definisi komplemen ortogonal
maka 𝐱 ortogonal pada setiap vektor kolom dari 𝐴𝑇 , akibatnya 𝐴𝐱 = 𝟎.
Padahal 𝑁 𝐴 = 𝐱 ∈ ℝ𝑛 𝐴𝐱 = 𝟎 .
Jadi 𝐱 haruslah menjadi sebuah elemen dari 𝑁 𝐴 , yaitu 𝑁 𝐴 = 𝑅 𝐴𝑇 ⊥.
Secara khusus, hasil ini juga berlaku untuk matriks 𝐵 = 𝐴𝑇 . Jadi
𝑁 𝐴𝑇 = 𝑁 𝐵 = 𝑅 𝐵𝑇 ⊥ = 𝑅 𝐴 ⊥.
2.3.3 Masalah Kuadrat Terkecil
Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai
sebuah sistem kelebihan persamaan linier, yaitu sistem yang memiliki
lebih banyak persamaan daripada peubah. Sistem yang seperti ini biasanya
tidak mempunyai penyelesaian. Misalkan diberikan sebuah sistem 𝑚 × 𝑛
yaitu 𝐴𝐱 = 𝐛 dengan 𝑚 > 𝑛, kemudian penyelesaian dari sistem tersebut
adalah mencari sebuah vektor 𝐱 ∈ ℝ𝑛 sehingga 𝐴𝐱 sama dengan 𝐛. Berarti
vektor 𝐱 yang didapat untuk 𝐴𝐱 harus sedekat mungkin dengan 𝐛.
Diberikan sistem 𝐴𝐱 = 𝐛. Untuk setiap 𝐱 ∈ ℝ𝑛 dapat dihitung sebuah
selisih antara 𝐛 dan 𝐴𝐱 sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
𝑟 𝐱 = 𝐛 − 𝐴𝐱
dan jarak antara 𝐛 dan 𝐴𝐱 diberikan sebagai
𝐛 − 𝐴𝐱 = 𝑟 𝐱 .
Untuk mendapatkan vektor 𝐱 ∈ ℝ𝑛 yang terbaik dalam mendekati 𝐛, maka
harus dicari nilai 𝑟 𝐱 yang paling minimum. Sebuah vektor 𝐱 yang
memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem
𝐴𝐱 = 𝐛.
Teorema 2.3.3.1
Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 yang memiliki rank 𝑛, maka persamaan
normal
𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛
mempunyai sebuah penyelesaian tunggal
𝐱′ = 𝐴𝑇𝐴 −1𝐛
dimana 𝐱′ adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem
𝐴𝐱 = 𝐛.
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa 𝐴𝑇𝐴 adalah taksingular. Misalkan 𝐳 adalah
penyelesaian untuk 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝟎, berarti 𝐴𝐳 ∈ 𝑁 𝐴𝑇 . Sehingga
𝑎1𝑗𝑧1 + 𝑎2𝑗 𝑧2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝑧𝑛 = 0
menunjukkan bahwa 𝐳 ortogonal pada setiap vektor kolom dari 𝐴, maka 𝐳
ortogonal ke setiap kombinasi linier dari vektor-vektor kolom 𝐴.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Akibatnya 𝑁 𝐴𝑇 ortogonal terhadap 𝑅(𝐴), maka 𝐴𝐳 ∈ 𝑅 𝐴 = 𝑁 𝐴𝑇 ⊥.
Karena 𝑁 𝐴𝑇 dan 𝑁 𝐴𝑇 ⊥ adalah ruang bagian yang ortogonal, berarti
𝐴𝐳 ∈ 𝑁 𝐴𝑇 ∩ 𝑁 𝐴𝑇 ⊥ dan 𝑁 𝐴𝑇 ⊥ 𝑁 𝐴𝑇 ⊥, maka 𝐴𝐳 𝑇𝐴𝐳 = 0
sehingga 𝐴𝐳 = 𝟎. Jika 𝐴 mempunyai rank 𝑛 maka vektor-vektor kolom
dari 𝐴 adalah bebas linear, sehingga 𝐴𝐱 = 𝟎 akan mempunyai
penyelesaian trivial. Jadi 𝐳 = 𝟎 dan 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝟎 juga mempunyai
penyelesaian trivial. Berdasarkan Teorema 2.1.1, 𝐴𝑇𝐴 adalah taksingular.
Ini mengakibatkan bahwa 𝐱′ = 𝐴𝑇𝐴 −1𝐴𝑇𝐛 adalah penyelesaian tunggal
untuk persamaan 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛, sehingga 𝐱′ merupakan penyelesaian
kuadrat terkecil yang tunggal untuk sistem
𝐴𝐱 = 𝐛.
2.3.4 Himpunan Ortonormal
Definisi 2.3.4.1
Himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 disebut
sebagai himpunan ortonormal.
Himpunan 𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑛 akan menjadi ortonormal jika dan hanya
jika
𝐮𝑖 , 𝐮𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 ,
dimana𝛿𝑖𝑗 = 1 jika 𝑖 = 𝑗0 jika 𝑖 ≠ 𝑗
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal dari himpunan ortogonal
vektor-vektor taknol 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 dapat dilakukan dengan
mendefinisikan
𝐮𝑖 = 1
𝐯𝑖 𝐯𝑖 =
1
𝐯𝑖 . 𝐯𝑖 = 1 untuk 𝑖 = 1,2, …𝑛
Proses pengalian vektor 𝐯𝑖 taknol ini dengan kebalikan panjangnya untuk
mendapatkan vektor yang normanya 1 dinamakan menormalisasikan 𝐯𝑖 .
Definisi 2.3.4.2
Suatu basis yang anggota-anggotanya saling ortogonal dan masing-masing
memiliki norma 1 disebut basis ortonormal.
Definisi 2.3.4.3
Matriks 𝑍 yang berukuran 𝑛 × 𝑛 disebut sebagai matriks ortogonal, jika
vektor-vektor kolom dari 𝑍 membentuk sebuah himpunan ortonormal di
dalam ℝ𝑛 .
2.3.4.4 Sifat-sifat Matriks Ortogonal
Jika 𝑍 adalah matriks ortogonal 𝑛 × 𝑛, maka
(i) 𝑍𝑇𝑍 = 𝐼
(ii) 𝑍𝑇 = 𝑍−1
(iii) 𝑍𝐱, 𝑍𝐲 = 𝐱, 𝐲
(iv) 𝑍𝐱 2 = 𝐱 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Bukti:
(i) Berdasarkan definisi 2.3.4.1, sebuah matriks 𝑍 yang berukuran 𝑛 × 𝑛
adalah ortogonal jika dan hanya jika vektor-vektor kolom dari 𝑍
membentuk sebuah himpunan ortonormal, yaitu
𝐳𝑖 , 𝐳𝑗 = 𝐳𝑖𝑇𝐳𝑗 = 𝛿𝑖𝑗
dimana 𝛿𝑖𝑗 = 1 jika 𝑖 = 𝑗0 jika 𝑖 ≠ 𝑗
.
Dan dari perhitungan 𝐳𝑖 , 𝐳𝑗 akan menghasilkan nilai-nilai untuk
entri 𝑖, 𝑗 , ( 𝑖 = 1,2, . . 𝑛 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛) dari 𝑍𝑇𝑍 sehingga
𝑍𝑇𝑍 =
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1
= 𝐼 .
(ii) Berdasarkan sifat (i) 𝑍𝑇𝑍 = 𝐼 maka 𝑍𝑇 = 𝐼𝑍−1, sehingga 𝑍𝑇 = 𝑍−1.
(iii) 𝑍𝐱, 𝑍𝐲 = 𝑍𝐱 𝑇𝑍𝐲 = 𝐱𝑇𝑍𝑇𝑍𝐲 = 𝐱𝑇𝐼 𝐲 = 𝐱𝑇𝐲 = 𝐱, 𝐲 .
(iv) 𝑍𝐱 2 = 𝑍𝐱, 𝑍𝐱 = 𝑍𝐱 𝑇𝑍𝐱 = 𝐱𝑇𝑍𝑇𝑍𝐱 = 𝐱𝑇𝐼 𝐱
= 𝐱𝑇𝐱 = 𝐱, 𝐱 = 𝐱 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Apabila sebuah matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dan sebuah vektor 𝐱 ∈ ℝ𝑛 ,
maka biasanya tidak ada hubungan geometris di antara vektor 𝐱 dan vektor
𝐴𝐱 (Gambar 2.1a). Akan tetapi, ada beberapa vektor taknol 𝐱, sehingga 𝐱
dan 𝐴𝐱 merupakan kelipatan satu sama lainnya (Gambar 2.1b). Vektor-
vektor tersebut muncul secara alami dalam telaah getaran, sistem elektris,
genetik, reaksi kimia, mekanika kuanturm, tekanan mekanis, ekonomi dan
geometris. Pada bagian ini akan ditunjukkan bagaimana mencari vektor-
vektor ini.
(a) (b)
Gambar 2.1. Hubungan geometris di antara 𝐱 dan 𝐴𝐱
Definisi 2.4.1
Misalkan 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛. Skalar 𝜆 disebut sebagai nilai
eigen dari 𝐴, jika terdapat vektor tak nol 𝐱 sehingga 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱. Vektor 𝐱
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆.
Ax x
Ax
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Contoh 2.4.2
Diberikan matriks 𝐴 = 3 08 −1
, maka 𝐱 = 12 merupakan vektor eigen
dari matriks 𝐴. Sebab 𝐴𝐱 merupakan kelipatan dari 𝐱, yaitu
𝐴𝐱 = 3 08 −1
12 =
36 = 3
12 = 3𝐱
Dari persamaan ini terlihat bahwa 𝜆 = 3 merupakan nilai eigen dari
matriks 𝐴.
Untuk dapat mencari nilai eigen dari matriks persegi 𝐴, perlu
diperhatikan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen, bahwa bentuk
𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 dapat ditulis sebagai
𝐴𝐱 = 𝜆𝐼𝐱
𝐴𝐱 − 𝜆𝐼𝐱 = 𝟎
𝐴 − 𝜆𝐼 𝐱 = 𝟎,
dimana 𝐼 adalah matriks identitas yang mempunyai bentuk
𝐼 =
1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 0 1
.
Agar 𝜆 menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tak nol dari
persamaan 𝐴 − 𝜆𝐼 𝐱 = 𝟎. Sehingga persamaan tersebut akan mempunyai
penyelesaian tak nol jika dan hanya jika
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0.
Jika det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 diuraikan, akan didapatkan suatu polinomial
berderajat ke-𝑛 dalam peubah 𝜆,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
𝑝 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 .
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan 𝑝 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼
tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari matriks 𝐴.
Contoh 2.4.3
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
𝐴 = 1 14 1
Penyelesaian:
Polinomial karakteristik dari matriks 𝐴 adalah
det 𝐴 − 𝜆𝐼 = det 1 14 1
− 𝜆 00 𝜆
= det 1 − 𝜆 1
4 1 − 𝜆
= 1 − 𝜆 2 − 4.
Dan persamaan karakteristik dari matriks 𝐴 adalah
𝜆2 − 2𝜆 − 3 = 0,
dengan memfaktorkan 𝜆2 − 2𝜆 − 3 = 0, diperoleh
𝜆 − 3 𝜆 + 1 = 0
sehingga penyelesaian dari persamaan ini adalah 𝜆1 = 3 dan 𝜆2 = −1.
Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks 𝐴 tersebut adalah 𝜆1 = 3 dan 𝜆2 = −1.
2.5 Dekomposisi Nilai Singular (Singular Value Decomposition)
Dekomposisi nilai singular merupakan suatu teknik pemfaktoran
matriks yang berkaitan erat dengan nilai singular dari sebuah matriks yang
merupakan karakteristik dari matriks tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Teorema 2.5.1
Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan 𝑝 = min 𝑚, 𝑛 . Maka terdapat
basis ortonormal 𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑚 untuk ℝ𝑚 , 𝐯1, 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 untuk ℝ𝑛 dan
skalar-skalar 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑝 > 0, sehingga 𝐴 mempunyai suatu
dekomposisi nilai singular, 𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 ,
dengan Λ adalah matriks 𝑚 × 𝑛 yang berbentuk
Λ =
σ1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ σ𝑛
0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0
jika 𝑚 > 𝑛 = 𝑝, atau
Λ = σ1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ σ𝑚
0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0
jika 𝑝 = 𝑚 < 𝑛,
atau
Λ =
σ1 0 0 00 σ2 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 σ𝑝
jika 𝑚 = 𝑛 = 𝑝,
𝑈 = 𝐮1, 𝐮2 , … , 𝐮𝑚 adalah matriks ortogonal 𝑚 × 𝑚, dan
𝑉 = 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 adalah matriks ortogonal 𝑛 × 𝑛 dan Λ merupakan
matriks diagonal yang entrinya nilai-nilai singular.
Bukti:
𝐴𝑇𝐴 adalah matriks simetris berukuran 𝑛 × 𝑛, yaitu matriks persegi yang
elemen-elemennya simetri terhadap diagonal utama. Misalkan 𝜆 adalah
nilai eigen dari 𝐴𝑇𝐴 dan 𝐱 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Dengan menggunakan Teorema 2.3.1.4, 𝐱 2 = 𝐱𝑇𝐱 2
= 𝐱𝑇𝐱
𝐴𝐱 2 = 𝐴𝐱 𝑇𝐴𝐱 = 𝐱𝑇𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐱𝑇𝜆𝐱
karena 𝜆 merupakan suatu skalar, berlaku
𝐴𝐱 2 = 𝐱𝑇𝜆𝐱 = 𝜆𝐱𝑇𝐱 = 𝜆 𝐱 2
akibatnya
𝜆 = 𝐴𝐱 2
𝐱 2≥ 0.
Asumsikan bahwa kolom-kolom dari 𝑉 tersusun terurut sehingga
nilai-nilai eigen yang bersesuaian memenuhi
𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ⋯ ≥ 𝜆𝑛 ≥ 0.
dan nilai-nilai singular dari matriks 𝐴 diberikan oleh
𝜎𝑗 = 𝜆𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.
Misalkan 𝑝 merupakan rank dari 𝐴. Karena matriks 𝐴𝑇𝐴 simetris maka
ranknya ditentukan dari banyaknya nilai eigen taknol dari 𝐴𝑇𝐴. Jadi
𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ⋯ ≥ 𝜆𝑝 > 0 dan 𝜆𝑝+1 = 𝜆𝑝+2 = ⋯ = 𝜆𝑛 = 0
sehingga matriks 𝐴𝑇𝐴 juga mempunyai rank 𝑝. Dan hubungan yang sama
juga berlaku bagi nilai-nilai singularnya
𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑝 > 0 dan 𝜎𝑝+1 = 𝜎𝑝+2 = ⋯ = 𝜎𝑛 = 0
Sekarang, misalkan 𝑉1 = 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑝 dan 𝑉2 = 𝐯𝑝+1, 𝐯𝑝+2, … , 𝐯𝑛
dan
Λ1 =
σ1 0 0 00 σ2 0 00 0 ⋱ 00 0 0 σ𝑝
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Jadi Λ1 adalah matriks diagonal 𝑝 × 𝑝 yang entri-entri diagonalnya adalah
nilai-nilai singular taknol σ1, … , σ𝑝 . Selanjutnya matriks Λ 𝑚 × 𝑛 dapat
dinyatakan oleh
Λ = Λ1 𝑂𝑂 𝑂
.
Vektor-vektor dari 𝑉2 adalah vektor-vektor eigen dari 𝐴𝑇𝐴 untuk 𝜆 = 0,
sehingga
𝐴𝑇𝐴𝐯𝑗 = 𝟎, 𝑗 = 𝑝 + 1, … , 𝑛
dan akibatnya, vektor-vektor kolom dari 𝑉2 membentuk basis ortonormal
untuk 𝑁 𝐴𝑇𝐴 = 𝑁 𝐴 . Dengan demikian,
𝐴𝑉2 = 𝑂
dan karena 𝑉 adalah matriks ortogonal, maka
𝐼 = 𝑉𝑉𝑇 = 𝑉1𝑉1𝑇 + 𝑉2𝑉2
𝑇
𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴𝑉1𝑉1𝑇 + 𝐴𝑉2𝑉2
𝑇 = 𝐴𝑉1𝑉1𝑇 . 2.1
Kemudian akan dibuktikan bahwa matriks ortogonal 𝑈 berorde 𝑚 × 𝑚
memenuhi
𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 ↔ 𝐴𝑉 = 𝑈Λ 2.2
dan dengan membandingkan 𝑝 kolom-kolom pertama dari setiap ruas dari
2.2 , diperoleh
𝐴𝐯𝑗 = 𝜎𝑗𝐮𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑝
sehingga
𝐮𝑗 =1
𝜎𝑗𝐴𝐯𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑝 2.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
akibatnya
𝑈1 = 𝐮1, … , 𝐮𝑝
dan berdasarkan hal itu, maka
𝐴𝑉1 = 𝑈1Λ1. 2.4
Vektor-vektor kolom dari 𝑈1 akan membentuk suatu himpunan ortonormal
karena
𝐮𝑖𝑇𝐮𝑗 =
1
𝜎𝑖𝐯𝑖
𝑇𝐴𝑇 1
𝜎𝑗𝐴𝐯𝑗 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝
=1
𝜎𝑖𝜎𝑗𝐯𝑖
𝑇 𝐴𝑇𝐴𝐯𝑗
=1
𝜎𝑖𝜎𝑗𝐯𝑖
𝑇 𝜎𝑗𝐮𝑗 𝐯𝑗𝑇𝜎𝑗𝐯𝑗𝐮𝑗
𝑇 𝐯𝑗
=1
𝜎𝑖𝜎𝑗𝐯𝑖
𝑇 𝜎𝑗2𝐮𝑗 𝐯𝑗
𝑇𝐯𝑗𝐮𝑗𝑇 𝐯𝑗
=𝜎𝑗
2
𝜎𝑖𝜎𝑗𝐯𝑖
𝑇 𝐮𝑗𝐯𝑗𝑇𝐯𝑗𝐮𝑗
𝑇 𝐯𝑗
=𝜎𝑗
𝜎𝑖𝐯𝑖
𝑇𝐯𝑗 = 𝛿𝑖𝑗
Dari persamaan 2.3 maka setiap 𝐮𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 berada dalam ruang
kolom 𝐴 dan dimensi dari ruang kolom tersebut adalah 𝑝, sehingga
𝐮1, … , 𝐮𝑝 membentuk basis ortonormal untuk 𝑅 𝐴 . Berarti ruang vektor
𝑅 𝐴𝑇 = 𝑁 𝐴 ⊥ mempunyai dimensi 𝑚 − 𝑝. Misalkan 𝐮𝑝+1, … , 𝐮𝑚
adalah basis ortonormal untuk 𝑁 𝐴𝑇 dan
𝑈2 = 𝐮𝑝+1, … , 𝐮𝑚
𝑈 = 𝑈1𝑈2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Karena 𝐮1, … , 𝐮𝑝 dan 𝐮𝑝+1, … , 𝐮𝑚 membentuk basis ortonormal,
berarti kita dapat menuliskan 𝐮1, … , 𝐮𝑝 , 𝐮𝑝+1, … , 𝐮𝑚 sebagai kombinasi
linear
𝑐1𝐮1 + ⋯ + 𝑐𝑝𝐮𝑝 + 𝑐𝑝+1𝐮𝑝+1 + ⋯ + 𝑐𝑚𝐮𝑚 = 0
sehingga 𝐮1 , … , 𝐮𝑚 akan membentuk basis ortonormal untuk ℝ𝑚 .
Akibatnya 𝑈 adalah matriks ortogonal, dan dari persamaan 2.1 dan 2.4
diperoleh
𝑈Λ𝑉𝑇 = 𝑈1𝑈2 = Λ1 𝑂𝑂 𝑂
𝑉1
𝑇
𝑉2𝑇
= 𝑈Λ1𝑉1𝑇
= 𝐴𝑉1𝑉1𝑇 = 𝐴.
Contoh 2.5.2
Tentukan dekomposisi nilai singular dari matriks
𝐴 = 1 11 10 0
Penyelesaian:
Langkah 1: akan dihitung
𝐴𝑇𝐴 = 1 1 01 1 0
1 11 11 0
= 2 22 2
.
Langkah 2: mencari nilai-nilai eigen dan nila-nilai singular dari 𝐴𝑇𝐴.
Dengan menerapkan persamaan karakteristik,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
𝑝 𝜆 = det 2 − 𝜆 2
2 2 − 𝜆 = 2 − 𝜆 2 − 4 = 4 − 4𝜆 + 𝜆2 − 4 = 0
𝜆2 − 4𝜆 = 𝜆 𝜆 − 4 = 0
didapatkan nilai-nilai eigen 𝜆1 = 4 dan 𝜆2 = 0. Akibatnya nilai-nilai
singular dari 𝐴, adalah 𝜎1 = 𝜆1 = 2 dan 𝜎2 = 𝜆2 = 0.
Langkah 3:mencari vektor-vektor eigen dari 𝐴𝑇𝐴 dan kemudiaan
membentuk matriks 𝑉.
Dari nilai-nilai eigen yang telah diperoleh, dapat dicari vektor eigen yang
bersesuaian dengan 𝜆.
Untuk 𝜆1 = 4,
dengan mensubstitusikan nilai 𝜆1 ke 𝐴 − 𝜆𝐼, diperoleh
𝐴 − 4𝐼 = 2 − 4 2
2 2 − 4 =
−2 22 −2
.
Kemudian agar mendapatkan vektor eigen dari 𝜆1, harus dihitung bahwa
𝐴 − 𝜆1𝐼 𝐱 = 𝟎,
−2 22 −2
𝑥𝟏
𝑥2 =
00
dan bentuk matriks diperbesar sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai
−2 22 −2
00 .
kemudian dengan menggunakan eliminasi Gauss diperoleh
−2 22 −2
00
−1
2 𝑅1
1 −12 −2
00
−2 𝑅1+𝑅2
1 −10 0
00 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Dari bentuk eselon baris didapat bahwa 𝑥𝟏 − 𝑥2 = 0 atau 𝑥𝟏 = 𝑥2,
sehingga
𝐱 = 𝑥𝟏
𝑥2 =
𝑥2
𝑥2 = 𝑥2
11
Jadi, vektor-vektor eigen dari 𝜆1 mempunyai bentuk 𝑥2 11 , 𝑥2 ∈ ℝ.
Dengan proses normalisasi dapat dibentuk 𝐯1 sebagai
𝐯1 =𝐱
𝐱 =
𝑥𝟏
𝑥2
𝑥𝟏 𝑥2 𝑥𝟏
𝑥2
12
=
11
2=
1
2
11 =
1
21
2
=
2
2
2
2
Untuk 𝜆2 = 0,
dengan mensubstitusikan nilai 𝜆2 ke 𝐴 − 𝜆𝐼, diperoleh
𝐴 − 0𝐼 = 2 − 0 2
2 2 − 0 =
2 22 2
.
Kemudian agar mendapatkan vektor eigen dari 𝜆2, harus dihitung bahwa
𝐴 − 𝜆2𝐼 𝐱 = 𝟎,
2 22 2
𝑥𝟏
𝑥2 =
00
dan bentuk matriks diperbesar sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai
2 22 2
00
kemudian dengan menggunakan proses eliminasi Gauss diperoleh
2 22 2
00
1
2 𝑅1
1 12 2
00
𝑅2+ −2 𝑅1
1 10 0
00 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Dari bentuk eselon baris didapat bahwa 𝑥𝟏 + 𝑥2 = 0 atau 𝑥𝟐 = −𝑥𝟏,
sehingga
𝐱 = 𝑥𝟏
𝑥2 =
𝑥1
−𝑥1 = 𝑥1
1−1
Jadi, vektor-vektor eigen dari 𝜆2 mempunyai bentuk 𝑥1 1
−1 , 𝑥1 ∈ ℝ.
Dengan proses normalisasi dapat dibentuk 𝐯2 sebagai
𝐯2 =𝐱
𝐱 =
𝑥𝟏
𝑥2
𝑥𝟏 𝑥2 𝑥𝟏
𝑥2
12
=
1−1
2=
1
2
1−1
=
1
2
−1
2
=
2
2
− 2
2
.
Dari vektor 𝐯1 dan 𝐯2 yang diperoleh dapat dibentuk matriks
𝑉 = 𝐯1, 𝐯2 =
2
2
2
2
2
2
− 2
2
Langkah 4: menentukan ruang baris dari 𝐴
𝐴 = 1 11 10 0
Dengan mereduksi 𝐴 menjadi bentuk eselon baris, maka didapatkan
matriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
𝑆 = 1 10 00 0
sehingga 1,1 membentuk basis untuk ruang baris dari 𝑆. Karena 𝑆 dan 𝐴
ekivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris yang sama sehingga
rank dari 𝐴 adalah 1.
Langkah 5: menentukan matriks 𝑈
Dari langkah 4, diketahui bahwa matriks 𝐴 mempunyai rank 1 sehingga
dapat dibentuk basis ortonormal untuk 𝑅 𝐴 . Dengan menggunakan
persamaan 2.3 , diperoleh
𝐮1 =1
𝜎1𝐴𝐯1 =
1
2
1 11 10 0
2
2
2
2
=1
2 2
20
=
2
2
2
20
.
Untuk mencari vektor-vektor kolom yang lain, maka harus dibentuk suatu
basis ortonormal untuk 𝑁 𝐴𝑇 . Karena itu perlu ditunjukkan bahwa
vektor-vektor kolom dari
𝐴𝑇 = 1 1 01 1 0
,
membentuk basis untuk 𝑁 𝐴𝑇 , sehingga
1 1 01 1 0
00
−1 𝑅1+𝑅2
1 1 00 0 0
00 .
Bentuk eselon baris tersebut melibatkan dua peubah bebas 𝑥1 dan 𝑥3
𝑥2 = −𝑥1 − 0𝑥3 ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
misalkan 𝑥1 = 𝛼 dan 𝑥3 = 𝛽, maka
𝐱 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
= 1
−𝛼 − 01
𝛽 = 𝛼 1
−10
+ 𝛽 001 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
Sehingga diperoleh basis dari 𝑁 𝐴𝑇 adalah 𝐱2 = 1, −1,0 𝑇 dan 𝐱3 =
0,0,1 𝑇, dan vektor 𝐱2 dan 𝐱3 saling ortogonal. Selanjutnya akan
dilakukan proses normalisasi sehingga
𝐮2 =𝐱2
𝐱2 =
1
−10
2=
1
2
1−10
= 2
2
1−10
=
2
2
− 2
20
𝐮3 = 001
Akibatnya,
𝑈 = 𝐮1, 𝐮2, 𝐮3 =
2
2
2
20
2
2−
2
20
0 0 1
.
Berdasarkan hasil yang diperoleh bahwa 𝑈 = 𝐮1, 𝐮2, 𝐮3 dan
𝑉 = 𝐯1, 𝐯2 , maka didapat 𝑚 = 3 > 𝑛 = 2 dan 𝑝 = min 3,2 = 2.
Kemudian dapat dibentuk matriks diagonal Λ dengan entrinya adalah nilai-
nilai singular yang diperoleh pada langkah 2,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Λ = 2 00 00 0
.
Dari hasil 𝑈, Λ, dan 𝑉 dapat dibentuk dekomposisi nilai singular dari
matriks 𝐴 sebagai 𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 ,dengan
𝑈 =
2
2
2
20
2
2−
2
20
0 0 1
; Λ = 2 00 00 0
; dan𝑉𝑇 =
2
2
2
2
2
2
− 2
2
,
𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 =
2
2
2
20
2
2−
2
20
0 0 1
2 00 00 0
2
2
2
2
2
2
− 2
2
.
Apabila 𝐴 adalah matriks yang ortogonal, maka invers dari 𝐴 dapat
dihitung sebagai 𝐴−1 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇,
dengan Λ−1 =
1
σ10 0 0
01
σ20 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 01
σ𝑛
.
Contoh 2.5.3
Diberikan matriks 𝐴 = 2 2
−1 1 , carilah dekomposisi nilai singular untuk
𝐴−1 untuk matriks 𝐴.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Penyelesaian:
Dari matriks 𝐴𝑇𝐴 = 2 −12 1
2 2
−1 1 =
5 33 5
diperoleh nilai eigen
𝜆1 = 8 dan 𝜆2 = 2. Dengan nilai eigen tersebut dapat dihasilkan vektor-
vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆1 dan 𝜆2 sebagai
𝑣1 =
−1
2
−1
2
dan 𝑣2 =
−1
21
2
.
Selain itu, diperoleh juga nilai singular dari matriks 𝐴 sebagai 𝜎1 = 2 2
dan 𝜎2 = 2. Akibatnya,
𝐮1 =1
𝜎1𝐴𝑣1 =
1
2 2
2 2−1 1
−1
2
−1
2
= −10
𝐮2 =1
𝜎2𝐴𝑣2 =
1
2
2 2−1 1
−1
21
2
= 01
Jadi, SVD dari matriks 𝐴 adalah
𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 = −1 00 1
2 2 0
0 2
−1
2−
1
2
−1
2
1
2
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Dengan SVD matriks 𝐴 dapat ditentukan invers matriks 𝐴 sebagai
𝐴−1 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇 =
−1
2−
1
2
−1
2
1
2
1
2 20
01
2
−1 00 1
=
1
4−
1
21
4
1
2
.
2.6 Norma Matriks dan Bilangan Kondisi
Dalam menyelesaikan masalah sistem linier, akurasi dari penyelesaian
menjadi sesuatu yang perlu diperhatikan. Sebab, semakin akurat
penyelesaian yang didapat maka semakin kecil pula galat yang terjadi.
Keakuratan penyelesaian sangat bergantung pada seberapa sensitif matriks
koefisien dari sistem terhadap adanya perubahan kecil yang terjadi.
Sensitifitas dari matriks dapat diukur dengan bilangan kondisi (condition
number) matriks tersebut. Bilangan kondisi suatu matriks taksingular
didefinisikan dari sudut pandang norma matriks dan norma inversnya.
Sebelum membahas bilangan kondisi, perlu dipelajari tipe-tipe dari norma-
norma matriks.
2.6.1 Norma Matriks
Berdasarkan penjelasan dalam subbab sebelumnya, kita telah
membahas mengenai perhitungan norma pada ruang vektor di ℝ𝑛 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Selanjutnya pada subbab ini akan dijelaskan perhitungan norma pada
ruang vektor di 𝑀𝑚×𝑛 . Suatu fungsi . : 𝑀𝑚×𝑛 → ℝ disebut norma
matriks, jika untuk sebarang 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 dan 𝛼 ∈ ℝ, memenuhi:
(i) 𝐴 ≥ 0
(ii) 𝐴 = 0 jika dan hanya jika 𝐴 = 𝟎
(iii) 𝛼𝐴 = 𝛼 𝐴
(iv) 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝐴 + 𝐵
Teorema 2.6.1.1
Andaikan . adalah norma vektor pada ℝ𝑛 , maka
𝐴 = max 𝐱 =1
𝐴𝐱
adalah norma matriks.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa
𝐴 = max 𝐱 =1
𝐴𝐱
memenuhi definisi norma.
(i) Untuk setiap 𝐱 = 1,
𝐴𝐱 ≥ 0
max 𝐱 =1
𝐴𝐱 ≥ 0
akibatnya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
max 𝐱 =1
𝐴𝐱 = 𝐴 ≥ 0
(ii) Jika 𝐴 = 0, maka max 𝐱 =1 𝐴𝐱 = 0. Berarti 𝐴𝐱 = 𝟎 untuk setiap
𝐱 ∈ ℝ𝑛 , dan
𝐞𝑗 =
00⋮1
sehingga 𝐴𝐞𝑗 = 𝟎 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Oleh karena itu 𝐴 haruslah
suatu matriks nol.
Jika 𝐴 = 𝟎 dan 𝐱 ∈ ℝ𝑛 , maka 𝐴𝐱 = 𝟎. Berarti max 𝐱 =1 𝐴𝐱 = 0
sehingga 𝐴 = 0.
(iii) 𝛼𝐴 = max 𝐱 =1
𝛼 𝐴𝐱 = 𝛼 max 𝐱 =1
𝐴𝐱 = 𝛼 𝐴
(iv) 𝐴 + 𝐵 = max 𝐱 =1
𝐴 + 𝐵 𝐱
≤ max 𝐱 =1
𝐴𝐱 + 𝐵𝐱
≤ max 𝐱 =1
𝐴𝐱 + max 𝐱 =1
𝐵𝐱
≤ 𝐴 + 𝐵
Akibat 2.6.1.2
Untuk setiap 𝐳 ≠ 0, 𝐱 dapat ditulis sebagai vektor tak nol
𝐱 =𝐳
𝐳
sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
𝐴 = max 𝐱 =1
𝐴𝐱 = max𝐳≠0
𝐴. 𝐳
𝐳 = max
𝐳≠0 𝐴𝐳
𝐳 = max
𝐳≠0
𝐴𝐳
𝐳 .
Akibat 2.6.1.3
Untuk setiap matriks 𝐴 dan 𝐳 ≠ 𝟎, maka terdapat norma natural . ,
sehingga
𝐴𝐳 ≤ 𝐴 𝐳
Bukti:
𝐴𝐳 ≤ max 𝐳 =1
𝐴𝐳 . 𝐳 = 𝐴 . 𝐳 .
Dengan mengganti definisi norma vektor pada Teorema 2.6.1.1 dapat
diturunkan beberapa norma matriks. Apabila norma vektor . yang
digunakan dalam definisi adalah norma vektor . ∞ , maka
𝐴 ∞ = max 𝐱 ∞ =1
𝐴𝐱 ∞ .
disebut sebagai norma-∞ matriks. Sedangkan, jika digunakan norma
vektor . 2 , maka
𝐴 2 = max 𝐱 2=1
𝐴𝐱 2.
disebut sebagai norma-2 matriks.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Teorema 2.6.1.4
Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dengan 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , maka
𝐴 ∞ = max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
.
Bukti:
i Akan ditunjukkan bahwa
𝐴 ∞ ≤ max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
Misalkan 𝐱 adalah matriks berukuran 𝑛 × 1, dengan 𝐱 ∞ =
max1≤𝑖≤𝑚 𝑥𝑖 = 1.
Diberikan matriks 𝐴𝐱 berukuran 𝑚 × 𝑛, sehingga
𝐴𝐱 ∞ = max1≤𝑖≤𝑚
𝐴𝐱 𝑖 = max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑛
𝑗 =1
≤ max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
max1≤𝑗≤𝑛
𝑥𝑗 .
Karena max1≤𝑗≤𝑚 𝑥𝑗 = 𝐱 ∞ = 1, maka
𝐴𝐱 ∞ ≤ max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
dan akibatnya,
𝐴 ∞ = max 𝐱 ∞ =1
𝐴𝐱 ∞ ≤ max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
(ii) Sekarang akan ditunjukkan bahwa
𝐴 ∞ ≥ max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
.
Misalkan 𝑝 adalah suatu bilangan bulat dengan
𝑎𝑝𝑗
𝑛
𝑗=1
= max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
dan vektor 𝐱, dengan koordinat
𝑥𝑗 = 1 jika 𝑎𝑝𝑗 ≥ 0
−1 jika 𝑎𝑝𝑗 < 0
Diberikan 𝐱 ∞ = 1 dan 𝑎𝑝𝑗 𝑥𝑗 = 𝑎𝑝𝑗 , untuk setiap 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.
Sehingga
𝐴𝐱 ∞ = max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑛
𝑗 =1
≥ 𝑎𝑝𝑗 𝑥𝑗
𝑛
𝑗 =1
= 𝑎𝑝𝑗
𝑛
𝑗 =1
= max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
maka,
𝐴 ∞ = max 𝐱 ∞ =1
𝐴𝐱 ∞ ≥ max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
.
Berdasar (i) dan (ii) diperoleh
𝐴 ∞ = max1≤𝑖≤𝑚
𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Teorema 2.6.1.5
Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dengan dekomposisi nilai singular 𝑈Λ𝑉𝑇,
maka
𝐴 2 = 𝜎1
dimana, 𝜎1 adalah nilai singular terbesar dari matriks 𝐴.
Bukti:
Karena 𝑈 dan 𝑉 adalah ortogonal,
𝐴 2 = 𝑈Λ𝑉𝑇 2 = Λ 2 (sifat matriks ortogonal (iv))
Λ 2 = max𝐱=1
Λ𝐱 2
𝐱 2
= max𝐱=1
𝜎12𝑥1
2 + 𝜎22𝑥2
2 + ⋯ + 𝜎𝑛2𝑥𝑛
2
𝑥12 + 𝑥2
2 + ⋯ +𝑥𝑛2
≤ max𝐱=1
𝜎12𝑥1
2 + 𝜎12𝑥2
2 + ⋯ + 𝜎12𝑥𝑛
2
𝑥12 + 𝑥2
2 + ⋯ +𝑥𝑛2
≤ max𝐱=1
𝜎12 𝑥1
2 + 𝑥22 + ⋯ +𝑥𝑛
2
𝑥12 + 𝑥2
2 + ⋯ +𝑥𝑛2
= max𝐱=1
𝜎1
𝑥12 + 𝑥2
2 + ⋯ +𝑥𝑛2
𝑥12 + 𝑥2
2 + ⋯ +𝑥𝑛2
≤ 𝜎1.
Jika dipilih 𝐱 = 𝐞1, maka
Λ𝐱 2
𝐱 2= 𝜎1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
sehingga
𝐴 2 = Λ 2 = 𝜎1.
Contoh 2.6.1.6
Hitunglah 𝐴 ∞ dan 𝐴 2 dari matriks
𝐴 = 1 1
−1 2
Penyelesaian:
1. Untuk dapat menghitung 𝐴 ∞ maka diperlukan menghitung nilai
maksimum yang ada pada setiap baris dari matriks 𝐴, sehingga
𝑎1𝑗 = 1 + 1 = 2
3
𝑗 =1
𝑎2𝑗 = −1 + 2 =
3
𝑗 =1
3
Jadi, 𝐴 ∞ = max 2,3 = 3.
2. Untuk menghitung 𝐴 2 maka diperlukan mencari nilai-nilai eigen
dari matriks 𝐴𝑇𝐴 kemudian menentukan nilai singularnya.
𝐴𝑇𝐴 = 1 −11 2
1 1
−1 2 =
2 −1−1 5
𝑝 𝜆 = det 2 − 𝜆 −1−1 5 − 𝜆
= 2 − 𝜆 5 − 𝜆 − 1 = 0
= 10 − 2𝜆 − 5𝜆 + 𝜆2 − 1 = 𝜆2 − 7𝜆 + 9 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Untuk mencari nilai eigennya digunakan
𝜆1,2 =7 ± 49 − 4.1.9
2=
7 ± 13
2
sehingga
𝜆1 =7
2+
13
2dan 𝜆2 =
7
2−
13
2,
dari hasil tersebut diperoleh
𝜎1 = 𝜆1 = 2,3028 dan 𝜎2 = 𝜆2 = 1,3028.
Berdasarkan nilai singular yang diperoleh, maka
𝐴 2 = 𝜎1 = 2,3028.
2.6.2 Bilangan Kondisi
Norma matriks dapat digunakan untuk memperkirakan sensitivitas
sistem linier terhadap perubahan yang terjadi pada matriks koefisiennya.
Definisi 2.6.2.1
Suatu matriks 𝐴 disebut berkondisi buruk (ill-condition) apabila perubahan
yang relatif kecil dalam entri-entri menyebabkan perubahan yang relatif
besar pada penyelesaian 𝐴𝐱 = 𝐛. Sedangkan, matriks 𝐴 dikatakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
berkondisi baik (well-condition) jika perubahan yang relatif kecil dalam
entri-entri mengakibatkan perubahan yang relatif kecil dalam penyelesaian
𝐴𝐱 = 𝐛.
Jika matriks 𝐴 adalah matriks berkondisi buruk, maka perhitungan
terhadap 𝐴𝐱 = 𝐛 memberikan hasil penyelesaian yang kurang begitu
akurat. Hal ini disebabkan karena galat-galat kecil yang terjadi dalam
proses perhitungan memberikan efek yang sangat drastis terhadap hasil
penyelesaian sehingga menyebabkan galat yang sangat besar. Sebaliknya,
apabila matriks tersebut berkondisi baik maka akan didapat perhitungan
yang memberikan hasil penyelesaian akurat untuk meyelesaikan sistem
𝐴𝐱 = 𝐛. Secara umum, akurasi dari penyelesaian bergantung pada kondisi
matriks yang bersangkutan.
Misalkan 𝐴 adalah matriks taksingular 𝑛 × 𝑛 yang memenuhi sistem
𝐴𝐱 = 𝐛. Jika 𝐱 adalah penyelesaian eksak terhadap sistem 𝐴𝐱 = 𝐛 dan 𝐱′
adalah penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksak dari sistem
𝐴𝐱 = 𝐛, maka selisih di antara 𝐱 dan 𝐱′ menghasilkan galat perhitungan
yang ditulis sebagai
𝐞 = 𝐱 − 𝐱′ .
Untuk menguji keakuratan dari 𝐱′ dilakukan dengan cara mensubstitusikan
kembali 𝐱′ ke dalam sistem 𝐴𝐱 = 𝐛 sehingga diperoleh 𝐴𝐱′ = 𝐛′ .
Kemudian akan dihitung selisih dari 𝐛′ dengan 𝐛 sehingga diperoleh
𝐫 = 𝐛 − 𝐛′ = 𝐛 − 𝐴𝐱′ ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
dimana vektor r ini adalah vektor sisa. Dengan menggunakan norma .
diperoleh 𝐛−𝐴𝐱′
𝐛 =
𝐫
𝐛 , dimana
𝐫
𝐛 disebut sebagai sisa relatif. Sisa relatif
memberikan nilai perkiraan dari galat relatif, dan nilai perkiraan tersebut
bergantung pada kondisi matriks 𝐴. Secara umum, jika matriks 𝐴
berkondisi buruk maka sisa relatif akan lebih kecil dari galat relatifnya.
Sebaliknya, untuk matriks berkondisi baik maka sisa relatif dan galat
relatif akan saling berdekatan.
Karena
𝐫 = 𝐛 − 𝐴𝐱′ = 𝐴𝐱 − 𝐴𝐱′ = 𝐴𝐞
dan 𝐴 adalah matrik taksingular 𝑛 × 𝑛, maka 𝐞 = 𝐴−1𝐫, sehingga dengan
menggunakan Akibat 2.6.1.3 diperoleh
𝐞 ≤ 𝐴−1 𝐫 2.5
dan
𝐫 = 𝐴𝐞 ≤ 𝐴 𝐞 2.6
dari ketaksamaan 2.5 dan 2.6 diperoleh
𝐫
𝐴 ≤ 𝐞 ≤ 𝐴−1 𝐫 2.7
Karena nilai 𝐱 merupakan penyelesaian eksak terhadap 𝐴𝐱 = 𝐛, dan 𝐴
adalah matrik taksingular maka 𝐱 = 𝐴−1𝐛. Sehingga dengan menggunakan
ketaksamaan 2.7 , didapatkan
𝐛
𝐴 ≤ 𝐱 ≤ 𝐴−1 𝐛 2.8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Dari ketaksamaan 2.7 dan 2.8 diperoleh
1
𝐴 𝐴−1
𝐫
𝐛 ≤
𝐞
𝐱 ≤ 𝐴 𝐴−1
𝐫
𝐛
Bilangan 𝐴 𝐴−1 disebut sebagai bilangan kondisi dari matriks 𝐴 yang
diberikan dengan lambang cond(𝐴), sehingga
1
cond(𝐴)
𝐫
𝐛 ≤
𝐞
𝐱 ≤ cond 𝐴
𝐫
𝐛 2.9
Ketaksamaan 2.9 tersebut menunjukkan hubungan galat relatif 𝐞
𝐱
terhadap sisa relatif 𝐫
𝐛 , bahwa semakin bilangan kondisi mendekati nilai 1,
maka galat relatif dan sisa relatif akan berdekatan. Namun jika bilangan
kondisi besar, maka galat relatif akan beberapa kali lebih besar dari sisa
relatif.
Bilangan kondisi dari 𝐴 sesungguhnya memberikan informasi penting
mengenai kondisi matriks 𝐴. Misalkan 𝐴′ adalah matriks baru yang
dibentuk dengan mengganti sejumlah kecil entri-entri dari 𝐴. Maka, kita
dapat membentuk matriks 𝐸 = 𝐴′ − 𝐴 sehingga 𝐴′ = 𝐴 + 𝐸, dimana entri-
entri dari 𝐸 relatif lebih kecil daripada entri-entri pada 𝐴. Matriks 𝐴 akan
berkondisi buruk jika untuk suatu matriks seperti 𝐸 memberikan pengaruh
buruk pada perhitungan penyelesaian terhadap 𝐴′𝐱′ = 𝐛 dan 𝐴𝐱 = 𝐛. Hal
tersebut mengakibatkan selisih dari kedua hasil penyelesaian tersebut
menjadi sangat besar bedanya. Bilangan kondisi dapat digunakan untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
membandingkan perubahan penyelesaian relatif terhadap 𝐱′ , dengan
perubahan relatif dalam matriks 𝐴.
Dari
𝐱 = 𝐴−1𝐛 = 𝐴−1𝐴′𝐱′ = 𝐴−1 𝐴 + 𝐸 𝐱′ = 𝐴−1𝐴𝐱′ + 𝐴−1𝐸𝐱′
= 𝐱′ + 𝐴−1𝐸𝐱′
diperoleh,
𝐱 − 𝐱′ = 𝐴−1𝐸𝐱′
Dengan menggunakan Akibat 2.6.1.3, maka
𝐱 − 𝐱′ ≤ 𝐴−1 𝐸 𝐱′
atau
𝐱 − 𝐱′
𝐱′ ≤ 𝐴−1 𝐸 2.10
Jika ruas kanan pada ketaksamaan 2.10 dikali 𝐴
𝐴 , diperoleh
𝐱 − 𝐱′
𝐱′ ≤ 𝐴 𝐴−1
𝐸
𝐴 = cond 𝐴
𝐸
𝐴 2.11
Untuk lebih memahami maksud dan perhitungan dari ketaksamaan 2.11
akan digunakan . ∞ . Perhatikan contoh berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Contoh 2.6.2.1
Diberikan sistem (a)
2,0000𝑥1 + 2,0000𝑥2 = 6,0000
2,0000𝑥1 + 2,0005𝑥2 = 6,0010
yang mempunyai penyelesaian eksak 𝐱 = 12 . Dan dengan melakukan
sedikit perubahan diperoleh sistem baru, sebagai sistem (b)
2,000𝑥1 + 2,000𝑥2 = 6,000
2,000𝑥1 + 2,001𝑥2 = 6,001
yang memiliki penyelesaian 𝐱′ = 21 . Hitunglah perbandingan perubahan
penyelesaian relatif terhadap 𝐱′dengan perubahan relatif dalam matriks 𝐴.
Penyelesaian:
Dari sistem (a) dan sistem (b) dapat diperoleh matriks koefisien 𝐴 dan 𝐴′ ,
sehingga
𝐴 = 2 22 2,0005
; 𝐴′ = 2 22 2,001
dan
𝐴−1 =1
0,001
2,0005 −2−2 2
= 2000,5 −2000−2000 2000
Kemudian dibentuk matriks 𝐸 = 𝐴′ − 𝐴,
𝐸 = 0 00 0,0005
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
dan galat relatif dalam matriks 𝐴 adalah
𝐸 ∞
𝐴 ∞=
0,0005
4,0005≈ 0,0001
Sedangkan bilangan kondisi dari matriks 𝐴 sebagai
cond∞ 𝐴 = 𝐴 ∞ 𝐴−1 ∞ = 4,0005 4000,5 ≈ 16004.
Dengan menggunakan ketaksamaan 2.10 dapat ditentukan batas dari
galat relatif sebagai
cond∞ 𝐴 𝐸 ∞
𝐴 ∞= 16004 0,0001 = 1,6004
dan galat relatif sesungguhnya bagi sistem adalah
𝐱 − 𝐱′ ∞
𝐱′ ∞=
12 −
21
∞
21
∞
=
−11
∞
21
∞
=1
2
Jadi, perbandingan perubahan penyelesaian relatif terhadap 𝐱′dengan
perubahan relatif dalam matriks 𝐴 adalah
1
2< 1,6004.
Selain menggunakan . ∞ , perhitungan bilangan kondisi dari matriks
𝐴, yang dinotasikan sebagai cond 𝐴 dapat juga dihitung menggunakan
. 2 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Teorema 2.6.2.2
Jika 𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 adalah taksingular, maka
cond2 𝐴 =𝜎1
𝜎𝑛.
Bukti:
Karena 𝐴 adalah taksingular berarti 𝐴 memiliki invers, yaitu 𝐴−1 dan nilai-
nilai singular dari 𝐴−1 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇 tersusun dalam urutan menurun sebagai
1
𝜎𝑛≥
1
𝜎𝑛−1≥ ⋯ ≥
1
𝜎1.
Akibatnya
𝐴−1 2 =1
𝜎𝑛
sehingga
cond2 𝐴 = 𝐴 2. 𝐴−1 2 = 𝜎1.1
𝜎𝑛=
𝜎1
𝜎𝑛.
Contoh 2.6.2.3
Dengan menggunakan matriks pada contoh 2.6.1.6,
𝐴 = 1 1
−1 2
Hitunglah bilangan kondisi dari 𝐴.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Penyelesaian:
Berdasarkan pembahasan pada contoh 2.6.1.6 didapatkan bahwa nilai-
nilai singular dari 𝐴 adalah 𝜎1 = 2,3028 dan 𝜎2 = 1,3028. Dari hasil
tersebut dapat dihitung
cond2 𝐴 =𝜎1
𝜎2=
2,3028
1,3028= 1,768.
B. Kalkulus
Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori kalkulus yang
akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab-bab berikutnya.
2.7 Big-O
Andaikan 𝐠 adalah fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada kitar-𝛿
dengan pusat 𝐱 ∈ ℝ𝑛 , yang ditulis 𝐲 ∈ ℝ𝑛 | 𝐲 − 𝑥 < 𝛿 , dengan 𝐲 ≠ 𝐱.
Misal 𝐡: Ω ↦ ℝ𝑚 adalah fungsi yang didefinisikan dalam suatu domain
(daerah asal) Ω ⊂ ℝ𝑛 yang memuat 𝐲, maka
𝐡 𝐲 = 𝛰(𝐠 𝐲 ), diartikan bahwa
𝐡(𝐲)
𝐠(𝐲)
terbatas. Jadi, terdapat bilangan 𝑀 > 0 dan 𝛿 > 0, sehingga jika
𝐲 − 𝐱 < 𝛿, 𝐲 ∈ Ω berakibat
𝐡(𝐲)
𝐠(𝐲) ≤ 𝑀
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Contoh 2.7.1
Tunjukkan bahwa ℎ 𝑦 = 𝑦2 + 2𝑦 + 1 adalah 𝛰 𝑦2 .
Penyelesaian:
Akan ditentukan bilangan bulat positif 𝑀 dan 𝛿 sehingga untuk setiap
𝑦 ≥ 𝛿, berlaku
𝑦2 + 2𝑦 + 1 ≤ 𝑀 𝑦𝟐
Ambil 𝑦 > 1, maka didapat
0 ≤ 𝑦2 + 2𝑦 + 1 ≤ 𝑦2 + 2𝑦2 + 𝑦2 = 4 𝑦4
Dengan demikian, dari persamaan di atas diperoleh nilai 𝑀 = 4 dengan
𝛿 = 1.
2.8 Fungsi bernilai vektor
Teorema 2.8.1
Misalkan 𝐴 adalah matriks invertibel dan 𝑓 𝐱 =1
2 𝐴𝐱 − 𝐛 2. Maka,
(i) 𝐱∗ adalah titik minimum untuk 𝑓 jika dan hanya jika 𝐱∗ adalah
penyelesaian persamaan 𝐴𝐱 = 𝐛.
(ii) Persamaan titik kritis pada 𝑓 adalah 𝐴𝑇𝐾𝐱 = 𝐴𝑇𝐛.
(iii) Persamaan titik kritis dari 𝑓 ekuivalen dengan persamaan 𝐴𝐱 = 𝐛.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Bukti :
(i) ← Andaikan 𝐱∗ memenuhi 𝐴𝐱∗ = 𝐛, sehingga 𝑓 𝐱∗ =
1
2 𝐴𝐱∗ − 𝐛 2 =
1
2 0 2 = 0. Padahal 𝑓 𝐱∗ ≥ 0, sehingga 𝐱∗ titik
minimum dari 𝑓. Karena 𝐱∗ memenuhi 𝐴𝐱∗ = 𝐛 maka didapat
𝐱∗ = 𝐴−1𝐛, akibatnya 𝐱∗ adalah satu-satunya titik minimum dari 𝑓.
→ Andaikan 𝐱∗ titik minimum dari 𝑓 sehingga 𝑓 𝐱∗ = 0.
Berarti 𝑓 𝐱∗ =1
2 𝐴𝐱∗ − 𝐛 2 = 0, akibatnya 𝐴𝐱∗ − 𝐛 = 0
sehingga 𝐴𝐱∗ = 𝐛. Hal ini menunjukkan bahwa 𝐱∗ satu-satunya
penyelesaian yang memenuhi 𝐴𝐱∗ = 𝐛.
(ii) Turunan 𝑓 di 𝐱, pada arah 𝐡, diberikan oleh
𝑑𝑓𝑥 𝐡 = lim𝜖→0
𝑓 𝐱 + 𝜖𝐡 − 𝑓(𝐱)
𝜖
= lim𝜖→0
1
2𝜖 𝐴 𝐱 + 𝜖𝐡 − 𝐛 2 − 𝐴𝐱 − 𝐛 2
dengan aturan hasil kali dalam 𝐱 2 = 𝐱, 𝐱 , didapat
𝑑𝑓𝑥 𝐡 = lim𝜖→0
1
2𝜖 𝐴 𝐱 + 𝜖𝐡 − 𝐛, 𝐴 𝐱 + 𝜖𝐡 − 𝐛 − 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛
= lim𝜖→0
1
2𝜖 𝐴𝐱 + 𝜖𝐴𝐡 − 𝐛, 𝐴𝐱 + 𝜖𝐴𝐡 − 𝐛 − 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛
= lim𝜖→0
1
2𝜖 𝐴𝐱 − 𝐛 + 𝜖𝐾𝐡, 𝐴𝐱 − 𝐛 + 𝜖𝐴𝐡 − 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
= lim𝜖→0
1
2𝜖 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛 + 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝜖𝐴𝐡 + 𝜖𝐴𝐡, 𝐴𝐱 − 𝐛
− 𝐾𝐱 − 𝐲, 𝐾𝐱 − 𝐲
dengan aturan 𝐱, 𝐲 = 𝐲, 𝐱 dan 𝐱, 𝛽𝐲 = 𝛽 𝐱, 𝐲 menjadi
𝑑𝑓𝑥 𝐡 = lim𝜖→0
1
2𝜖 2𝜖 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐡 = 𝐴𝐱 − 𝐲, 𝐴𝐡
kemudian dengan aturan hasil kali dalam 𝒙, 𝐲 = 𝐱𝑇𝐲, diperoleh
𝑑𝑓𝑥 𝐡 = 𝐴𝐱 − 𝐲, 𝐴𝐡 = 𝐴𝐱 − 𝐛 𝑇𝐴𝐡 = 𝐴𝐱 − 𝐛 𝑇𝑎 𝐡
= 𝐴𝑇 𝐴𝐱 − 𝐛 , 𝐡 .
Sehingga 𝑑𝑓𝑥 𝐡 untuk setiap 𝐡 ∈ ℝ𝑛 ,
∇𝑓 𝐱 = 𝐴𝑇 𝐴𝐱 − 𝐛 .
dimana ∇𝑓 𝐱 adalah vektor gradien dari 𝑓.
Kemudian agar mendapatkan persamaan titik kritisnya maka nilai dari
∇𝑓 𝐱 = 0, sehingga
𝐴𝑇𝐾𝐱 = 𝐴𝑇𝐛. 2.12
Persamaan 2.12 yang diperoleh ini sebelumnya dikenal sebagai
persamaan normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
(iii) Diketahui bahwa 𝐴 adalah matriks invertibel jika dan hanya jika
transposenya, yaitu 𝐴𝑇 juga invertibel dan 𝐴𝑇 −1 = 𝐴−1 𝑇.
Kemudian dengan mengalikan kedua sisi pada persamaan 2.12
dengan 𝐴𝑇 −1, diperoleh
𝐴𝑇 −1𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇 −1𝐴𝑇𝐛
𝐼𝐴𝐱 = 𝐼𝐛, maka 𝐴𝐱 = 𝐛.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
BAB III
INVERSE PROBLEM
A. Prinsip Dasar Inverse Problem
Dalam matematika, terdapat dua cara untuk meyelesaikan
permasalahan, yaitu metode penyelesaian langsung dan metode
penyelesaian tidak langsung. Metode penyelesaian langsung adalah cara
penyelesaian dengan mengoperasikan input dalam sistem kemudian
diperoleh output. Metode penyelesaian tidak langsung adalah cara
penyelesaian dengan menduga input, berdasar informasi sistem dan output
yang diberikan. Pada kesempatan ini, penulis akan membahas mengenai
metode penyelesaian secara tidak langsung.
Metode penyelesaian tidak langsung pada prinsipnya untuk menduga
input berdasar dua informasi penting, yaitu sistem dan output. Menduga
input berarti menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan invers
dari permasalahan, sehingga metode penyelesaian ini dinamakan sebagai
Inverse Problem. Agar dapat lebih memahami metode invers problem,
perhatikan gambar berikut.
Gambar 3.1. Prosedur metode Inverse Problem
Inverse Problem
Input Sistem
Output
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Dalam melakukan perhitungan untuk mendapatkan penyelesaian
berupa input terkadang tidak mudah. Terlebih, apabila sistem yang ada
pada masalah sulit untuk diselesaikan, sehingga tidaklah mungkin
menyelesaikannya secara manual. Karena alasan tersebut, maka
digunakanlah perhitungan dengan komputer. Sebab, komputer dapat
membantu menyelesaikan perhitungan secara lebih akurat dan cepat. Ada
beberapa faktor yang dapat mempengaruhi keakuratan penyelesaian.
Pertama, sistem yang kurang stabil. Kedua, algoritma yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah invers tersebut. Dengan mengetahui faktor-
faktor tersebut, maka mengontrol penyelesaian agar menghasilkan galat
yang terkecil adalah tujuan dari metode invers problem ini. Karena
semakin kecil galat, maka nilai dari penyelesaian yang didapat akan
semakin mendekati nilai penyelesaian eksaknya.
3.1 Kestabilan Algoritma pada Sistem
Seperti yang telah dijelaskan bahwa ada beberapa faktor yang dapat
mempengaruhi keakuratan penyelesaian, salah satunya mengenai
kestabilan algoritma. Sebuah algoritma dikatakan stabil, apabila perubahan
galat kecil yang terjadi dalam data awal memberikan perubahan galat kecil
pada hasil akhir. Sebaliknya, apabila perubahan galat kecil dalam data
awal menghasilkan perubahan galat yang besar pada hasil akhir, algoritma
dikatakan tidak stabil. Gagasan mengenai kondisi dan kestabilan sistem
penting untuk dipahami. Sebab, hal ini dapat mempengaruhi besarnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
galat pada perhitungan untuk mendapatkan input. Karena tidak mungkin
mendapatkan input optimal, apabila sebelumnya belum diketahui
bagaimana kondisi dan kestabilan sistem yang digunakan pada perhitungan
masalah invers.
Dalam melakukan perhitungan terdapat beberapa pilihan algoritma
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah invers. Dari beberapa
kemungkinan itu harus dipilih algoritma terbaik, yang menghasilkan galat
terkecil pada penyelesaian. Perhatikan contoh berikut
Contoh 3.1.1
Selesaikan sistem
𝑥 + 2𝑦 = 31,001𝑥 + 2𝑦 = 3,001
dan tentukan kestabilan dari sistem tersebut.
Penyelesaian:
Dengan menjumlahkan persamaan pertama dan kedua, diperoleh
𝑥1 + 2𝑥2 = 31,001𝑥1 + 2𝑥2 = 3,001
−0,001𝑥1 + 0 = −0,001
dari −0,001𝑥1 = −0,001, didapat nilai 𝑥1 = 1. Kemudian substitusikan
𝑥1 = 1 ke persamaan 𝑥1 + 2𝑥2 = 3, sehingga didapatkan nilai 𝑦 = 1.
Jadi, penyelesaian dari sistem ini adalah 𝑥1 = 1 dan 𝑥2 = 1.
Algoritma yang
digunakan:
1. Eliminasi nilai 𝑦
2. Substitusikan
nilai 𝑦 ke salah
satu persamaan
3. Tentukan nilai 𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem, bilangan di ruas kanan
pada persamaan kedua akan diberi perubahan kecil sebesar 𝛿 = 0,002,
sehingga
𝑥1 + 2𝑥2 = 31,001𝑥1 + 2𝑥2 = 3,003
dengan mengurangkan persamaan pertama dan kedua, diperoleh
𝑥1 + 2𝑥2 = 31,001𝑥1 + 2𝑥2 = 3,003
−0,001𝑥1 + 0 = −0,003
dari −0,001𝑥1 = −0,003, didapat nilai 𝑥1 = 3. Kemudian substitusikan
𝑥1 = 3 ke persamaan 𝑥1 + 2𝑥2 = 3, sehingga 2𝑥2 = 3 − 3 = 0 dan
diperoleh nilai 𝑥2 = 0. Jadi, penyelesaian dari sistem setelah dipengaruhi
𝛿 adalah 𝑥1′ = 3 dan 𝑥2
′ = 0.
Dari perhitungan tersebut didapatkan bahwa penyelesaian eksaknya
adalah 𝐱 = 11 dan penyelesaian hampirannya 𝐱′ =
30 . Maka galat dari
perhitungan tersebut ditulis sebagai 𝐞 = 𝐱 − 𝐱′ = −21
dan galat relatif
diberikan oleh
𝐞 ∞ 𝐱 ∞
=2
1= 2.
Selanjutnya akan dihitung vektor sisa sebagai
𝐫 = 𝐛 − 𝐛′ = 3
3,001 −
33,003
= 0
0,002
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
kemudian dengan menggunakan norma-∞ diperoleh sisa relatif sebagai
𝐫 ∞ 𝐛 ∞
= 𝐛 − 𝐛′ ∞
𝐛 ∞=
0,002
3,001≈ 0,000666.
Setelah itu, akan dilihat bagaimana bilangan kondisi dari
𝐴 = 1 2
1,001 2
dan diperoleh bahwa
𝐴−1 = −1
0,002
2 −2−1,001 1
=
−
2
0,002
2
0,0021,001
0,002−
1
0,002
= −1000 1000500,5 500
Dari perhitungan tersebut didapatkan bahwa 𝐴 ∞ = 3,001 dan
𝐴−1 ∞ = 2000, sehingga cond∞ 𝐴 = 𝐴 ∞ . 𝐴−1 ∞ = 6002.
Berdasarkan perhitungan di atas didapat bahwa galat relatif dari
sistem sebesar 2 dan sisa relatif sebesar 0,000666, sehingga galat relatif
besarnya 3003 kali sisa relatifnya. Ini tidak mengherankan, jika diperoleh
cond∞ 𝐴 = 6002. Karena diperoleh nilai cond∞ 𝐴 = 6002, hal
tersebut menunjukkan bahwa kondisi dari matriks 𝐴 adalah buruk.
Sehingga apabila dilakukan perubahan sebesar 𝛿 akan menyebabkan
perubahan besar pada penyelesaian sistem. Akibatnya, algoritma yang
digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut adalah tidak stabil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Masalah kestabilan dalam menentukan penyelesaian sangat perlu
diperhatikan, sebab tidak semua permasalahan mempunyai penyelesaian
eksak. Sehingga untuk menyakinkan keakuratan dari perhitungan yang
dilakukan perlu untuk menunjukkan seberapa akurat penyelesaian yang
didapat tersebut. Agar meyakinkan bahwa penyelesaian yang diperoleh
memang stabil dan akurat untuk dijadikan penyelesaian dari masalah.
Setelah memahami masalah kestabilan algoritma, selanjutnya perlu
dipahami mengenai eksistensi dan ketunggalan suatu penyelesaian ketika
menyelesaikan permasalahan dengan metode inverse problem.
3.2 Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian
Dalam menyelesaikan masalah dengan metode inverse problem
muncul kesulitan ketika menghubungkan informasi yang diperoleh dari
output permasalahan dengan informasi yang sebenarnya dibutuhkan ketika
menentukan penyelesaian. Hal tersebut tentunya cukup rumit dilakukan,
sebab harus diketahui secara pasti bagaimana informasi yang ada pada
output memberikan pengaruh terhadap masalah yang akan diselesaikan.
Perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh 3.2.1
Carilah persamaan garis, jika diketahui data 0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Penyelesaian:
Diasumsikan bahwa data 0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 memenuhi
persamaan garis 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, dengan 𝑎 dan 𝑏 adalah konstanta yang
berubah-ubah. Sehingga, didapatkan sistem persamaan dengan variabel
yang tidak diketahui 𝑎 dan 𝑏,
0𝑎 + 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏 = 6
2𝑎 + 𝑏 = 93𝑎 + 𝑏 = 15
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis sebagai 𝐴𝐱 = 𝐛, dengan
𝐱 = 𝑎𝑏 , 𝐴 =
0 11 12 13 1
, 𝐛 =
369
15
sehingga didapat 𝐴𝐱 = 𝐛,
0 11 12 13 1
𝑎𝑏 =
369
15
.
Kemudian dari persamaan tersebut diperoleh persamaan normal
𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛 sebagai
0 1 2 31 1 1 1
0 11 12 13 1
𝑎𝑏 =
0 1 2 31 1 1 1
369
15
14 66 4
𝑎𝑏 =
6933
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Dari persamaan normal di atas didapat matriks 𝐱 = 𝐴𝑇𝐴 −𝟏𝐴𝑇𝐛, sebagai
𝑎𝑏 =
1
20
4 −6−6 14
6933
𝑎𝑏 =
78
2048
20
Sehingga, diperoleh nilai 𝑎 =78
20=
39
10= 3,9 dan 𝑏 =
48
20=
24
10= 2,4. Jadi,
persamaan garis yang digunakan untuk menghampiri data
0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 adalah 𝑦 = 3,9𝑥 + 2,4. Dengan
menggunakan persamaan 𝑦 = 3,9𝑥 + 2,4 dapat diperoleh nilai 𝐛 baru
yang ditulis sebagai 𝐛′ = 3,9
0123
+ 2,4
1111
=
2,46,3
10,214,1
.
Untuk menguji keakuratan persamaan 𝑦 = 3,9𝑥 + 2,4 dalam
menghampiri data 0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 . Akan ditunjukkan
dengan menghitung besar galat relatif yang terjadi antara 𝐛 dan 𝐛′ ,
sehingga
𝐛 − 𝐛′ =
369
15
−
2,46,3
10,214,1
=
0,6−0,3−1,20,9
dan 𝐛 =
369
15
diperoleh sisa relatif sebagai
𝐛 − 𝐛′ ∞ 𝐛 ∞
=1,2
15= 0,08.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Berdasarkan hasil di atas persamaan 𝑦 = 3,9𝑥 + 2,4 mempunyai sisa
relatif pada perhitungan sebesar 0,08, sehingga persamaan tersebut
merupakan persamaan yang akurat untuk digunakan sebagai penyelesaian.
Ketika menyelesaikan suatu sistem persamaan terkadang mendapatkan
sistem yang tidak memiliki penyelesaian. Hal ini menyebabkan eksistensi
dan ketunggalan dari penyelesaian menjadi tidak terpenuhi. Untuk itu
masalah yang akan diselesaikan perlu dimodifikasi ulang, sehingga dapat
ditentukan suatu nilai yang memberikan penyelesaian dari masalah.
Contoh 3.2.2
Diberikan sistem
𝑥1 + 𝑥2 = 1𝑥1 − 𝑥2 = 3
−𝑥1 − 2𝑥2 = −2
Carilah 𝑥1 dan 𝑥2 yang menyelesaikan persamaan tersebut.
Penyelesaian:
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis sebagai 𝐴𝐱 = 𝐛, dengan
𝐱 = 𝑥1
𝑥2 , 𝐴 =
1 11 −1
−1 −2 , 𝐛 =
13
−2
sehingga didapat 𝐴𝐱 = 𝐛,
1 11 −1
−1 −2
𝑥1
𝑥2 =
13
−2 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diperbesar
1 11 −1
−1 −2
13
−2
sehingga menggunakan eliminasi Gauss didapatkan
1 11 −1
−1 −2
13
−2 ⟶
1 10 10 0
1
−11
.
Dari baris terakhir dari matriks yang sudah dieliminasi tersebut
menunjukkan bahwa sistem adalah tak konsisten, sehingga menyebabkan
penyelesaian dari sistem menjadi tidak ada. Namun, nilai 𝐛 tersebut dapat
dihampiri dengan suatu 𝐴𝐱 tertentu sehingga galat di antara 𝐛′ dan 𝐛
dapat sekecil mungkin.
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil akan dicari sebuah
vektor 𝐱, sehingga dapat ditentukan 𝐴𝐱 yang terdekat dengan 𝐛. Metode
kuadrat terkecil ini akan meminimumkan galat dari perhitungan 𝐛 − 𝐛′ .
Untuk menyelesaikan 𝐴𝐱 = 𝐛 dengan metode kuadrat terkecil, maka kita
harus menggunakan persamaan normal 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛, sehingga diperoleh
1 1 −11 −1 −2
1 11 −1
−1 −2
𝑥1
𝑥2 =
1 1 −11 −1 −2
13
−2
3 −2
−2 6
𝑥1
𝑥2 =
6−6
selanjutnya akan diselesaikan 𝐱 = 𝐴𝑇𝐴 −𝟏𝐴𝑇𝐛, sehingga didapat
penyelesaian tunggal untuk 𝐱, sebagai
𝐱 = 𝑥1
𝑥2 =
1
12
6 22 3
6
−6 =
2−0,5
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Dari 𝐱 yang diperoleh dapat dibentuk
𝐛′ = 𝐴𝐱 = 1 11 −1
−1 −2
2−0,5
= 1,52,5−1
,
maka
𝐛 − 𝐛′ = 13
−2 −
1,52,5−1
= 0,50,51
dan sisa relatif 𝐛′ terhadap 𝐛 sebesar
𝐛 − 𝐛′ ∞ 𝐛 ∞
=1
3≈ 0,333
sehingga selisih antara 𝐛′ terhadap 𝐛 relatif cukup kecil. Berdasarkan
perhitungan di atas diperoleh penyelesaian
𝐱 = 2
−0,5 .
Dalam menyelesaikan suatu sistem terkadang diperoleh lebih dari satu
penyelesaian, bahkan mungkin sampai takhingga banyak penyelesaian.
Tentunya ini menjadikan ketunggalan penyelesaian menjadi tidak
terpenuhi. Untuk itu perlu ditambahkan suatu syarat tambahan agar
membatasi penyelesaian sehingga diperoleh penyelesaian tunggal.
Contoh 3.2.3
Diberikan sistem
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = −2
−𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Carilah penyelesaian untuk SPL di atas dan memenuhi 𝐱 = 1 dan
𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 > 0.
Penyelesaian:
Sistem persamaan linier dapat ditulis sebagai 𝐴𝐱 = 𝐛, dengan
𝐱 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
, 𝐴 = 1 1 3
−1 3 11 2 4
, 𝐛 = −208
sehingga didapat 𝐴𝐱 = 𝐛,
1 1 3
−1 3 11 2 4
𝑥1
𝑥2
𝑥3
= −208
.
Sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diperbesar
1 1 3
−1 3 11 2 4
−208
sehingga menggunakan eliminasi Gauss didapatkan
1 1 3
−1 3 11 2 4
−208
𝑅3+ −1 𝑅1
1 1 3−1 3 10 1 1
−20
10
𝑅2+𝑅1
1 1 30 4 40 1 1
−2−210
1 1 30 4 40 1 1
−2−210
1
4 𝑅2
1 1 30 1 10 1 1
−2
−1
2
10
𝑅3+ −1 𝑅2
1 1 30 1 10 0 0
−2
−1
221
2
1 1 30 1 10 0 0
−2
−1
221
2
𝑅1+ −1 𝑅2
1 0 2
0 1 10 0 0
−3
2
−1
221
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
sehingga diperoleh bentuk eselon baris
1 0 2
0 1 10 0 0
−3
2
−1
221
2
.
Dari baris terakhir yang diperoleh terlihat bahwa sistem tidak
konsisten, sehingga menyebabkan penyelesaian dari sistem menjadi tidak
ada. Karena itu, sistem tersebut perlu dimodifikasi menggunakan
persamaan normal 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛, sehingga diperoleh
1 −1 11 3 23 1 4
1 1 3
−1 3 11 2 4
𝑥1
𝑥2
𝑥3
= 1 −1 11 3 23 1 4
−208
3 0 60 14 146 14 26
𝑥1
𝑥2
𝑥3
= 6
1426
dan sistem baru tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diperbesar
3 0 60 14 146 14 26
6
1426
.
Dengan menggunakan proses eliminasi Gauss didapatkan
3 0 60 14 146 14 26
6
1426
𝑅3+ −2 𝑅1
3 0 60 14 140 14 14
6
1414
3 0 60 14 140 14 14
6
1414
𝑅3+ −1 𝑅2
3 0 60 14 140 0 0
6
140
3 0 60 14 140 0 0
6
140
1
14 𝑅2dan
1
3 𝑅1
1 0 20 1 10 0 0
210
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
dan diperoleh bentuk eselon baris
1 0 20 1 10 0 0
210 .
Dari bentuk eselon baris tersebut dapat dilihat bahwa sistem konsisten, dan
mempunyai satu peubah bebas. Jika peubah bebas tersebut dipindahkan ke
ruas kanan, akan diperoleh
𝑥1 = 2 − 2𝑥3
𝑥2 = 1 − 𝑥3
Misalkan 𝑥3 = 𝛼, dengan 𝛼 ∈ ℝ
sehingga didapatkan penyelesaian 𝐱 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
= 2 − 2𝛼1 − 𝛼
𝛼 .
Penyelesaian 𝐱 tersebut akan mempunyai takhingga banyak penyelesaian
yang mungkin terjadi untuk menyelesaikan sistem. Namun, kita cukup
memilih sebuah penyelesaian untuk 𝐱, yang memenuhi 𝐱 = 1 dan
𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 > 0, sehingga
𝐱 = 2 − 2𝛼 2 + 1 − 𝛼 2 + 𝛼 2 = 1
2 − 2𝛼 2 + 1 − 𝛼 2 + 𝛼 2 = 1
4 − 8𝛼 + 4𝛼2 + 1 − 2𝛼 + 𝛼2 + 𝛼2 = 1
6𝛼2 − 10𝛼 + 5 = 1
6𝛼2 − 10𝛼 + 4 = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Dengan menerapkan rumus
𝛼1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
10 ± −10 2 − 4 6 4
2 6
=10 ± 100 − 96
12
𝛼1,2 =10 ± 4
12=
10 ± 2
12
akan diperoleh
𝛼1 =10 + 2
12=
12
12= 1 ; 𝛼2 =
10 − 2
12=
8
12=
2
3 .
sehingga penyelesaian untuk 𝛼1 = 1 adalah
𝐱 = 2 − 2𝛼1 − 𝛼
𝛼 =
2 − 2 1
1 − 1 1
= 001
dan penyelesaian untuk 𝛼2 = 23
𝐱 = 2 − 2𝛼1 − 𝛼
𝛼 =
2 − 2 2
3
1 − 2
3
23
=
23
13
23
.
Jadi, penyelesaian untuk sistem yang memenuhi 𝐱 = 1 dan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 > 0
adalah
𝐱 =
23
13
23
Dengan demikian, diperoleh penyelesaian tunggal untuk menyelesaikan
sistem tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Sifat kestabilan, eksistensi dan ketunggalan dari penyelesaian
memberikan gambaran umum mengenai bagaimana metode inverse
problem digunakan dalam menyelesaikan suatu permasalahan.
B. Metode Regularisasi
3.3 Regularisasi
Dalam menyelesaikan inverse problem umumnya akan memunculkan
masalah ill-posed. Hal ini biasanya disebabkan karena adanya galat pada
perhitungan atau kesalahan dalam melakukan pemodelan masalah,
sehingga stabilitas dari penyelesaian menjadi tidak stabil. Kestabilan ini
dapat terlihat ketika sistem diberikan gangguan. Jika gangguan
menyebabkan galat yang besar pada perhitungan penyelesaian maka sistem
tidak stabil. Untuk mengatasi situasi ini maka digunakanlah regularisasi.
Ketika meregularisasi masalah akan didapatkan banyak penyelesaian yang
bersesuaian dengan pemilihan parameter regularisasi. Dari parameter
regularisasi ini akan didapatkan penyelesaian dari masalah regularisasi,
dan dapat diketahui pula besar galat dan faktor perbesaran galat yang
terjadi pada setiap penyelesaian. Setelah itu, akan dipilih penyelesaian
masalah regularisasi yang memiliki galat terkecil. Agar dapat memahami
penjelasan tersebut maka perhatikan contoh berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Contoh 3.3.1
Diberikan matriks
𝐴 = 1 0
01
1024
dengan 𝐛 = 1, 2−10 𝑇 dan jelas 𝐱 = 1,1 𝑇 adalah penyelesaian eksak
dari sistem
𝐴𝐱 = 𝐛 3.1 .
Selain dapat menentukan penyelesaian dari suatu sistem, harus juga
ditentukan bagaimana kestabilan dari sistem tersebut. Untuk itu akan
diberikan gangguan di 𝐛 dan melihat faktor perbesaran galat yang terjadi
pada sistem 3.1 . Agar dapat lebih memahami efek yang terjadi, maka
permasalahan ini akan ditinjau melalui dua kasus. Kasus I jika 𝐛 diberikan
gangguan sebesar 𝐩 = 0, 2−10 𝑇 dan kasus II jika 𝐛 diberikan gangguan
sebesar 𝐬 = 2−10 , 0 𝑇 .
Pada kasus I, misalkan 𝐛 diberikan gangguan sebesar 𝐩 = 0, 2−10 𝑇,
sehingga sistem (3.1) akan berubah menjadi
𝐴𝐱 = 𝐛 + 𝐩 = 1
2−10 + 0
2−10 = 12
210
dan didapat penyelesaian 𝐱′ = 𝐴−1 𝐛 + 𝐩 = 12 . Dari hasil 𝐱′ dapat
dihitung selisih absolut penyelesaian 𝐱′ dan 𝐱 sebagai 𝐫 = 𝐱′ − 𝐱 = 12 −
11 =
01 . Setelah mendapatkan 𝐫, kemudian akan dihitung faktor
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
perbesaran galat yang terjadi pada sistem ketika diberikan gangguan
sebesar 𝐩 sebagai
𝐫 2
𝐩 2=
1
2−10= 1024.
Sedangkan pada kasus II, 𝐛 diberikan gangguan sebesar 𝐬 = 2−10 , 0 𝑇 ,
sehingga sistem (3.1) menjadi
𝐴𝐱 = 𝐛 + 𝐬 = 1
2−10 + 2−10
0 =
1025
10242−10
dan didapat penyelesaian 𝐱′ = 𝐴−1 𝐛 + 𝐬 = 1025
1024
1 . Dari hasil 𝐱′ ini
dapat dihitung selisih absolut penyelesaian 𝐱′ dan 𝐱 sebagai 𝐫 = 𝐱′ − 𝐱 =
1025
1024
1 −
11 2−10
0 . Setelah mendapatkan 𝐫, kemudian dihitung faktor
perbesaran galat yang terjadi pada sistem ketika diberikan gangguan
sebesar 𝐬, yaitu
𝐫 2
𝐬 2=
2−10
2−10= 1.
Berdasarkan kasus I dan kasus II terlihat bahwa penyebab selisih yang
sangat besar pada faktor perbesaran galat dalam kasus I dan kasus II
terletak pada perhitungan 𝐴−1. Dari perhitungan yang telah dilakukan
bahwa 𝐴−1 sangat sensitif terhadap perubahan galat yang diberikan,
sehingga menyebabkan ketidakstabilan pada sistem. Hal ini
mengakibatkan penyelesaian yang didapat menjadi tidak akurat. Situasi
seperti ini dapat dihindari dengan meregularisasi bentuk 3.1 menjadi
sistem
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
𝐴𝛼𝐱 = 𝐛𝛼 , 𝛼 > 0. 3.2
Tujuan dari regularisasi ini adalah untuk menekan galat yang terjadi pada
perhitungan 𝐴−1 sehingga sistem menjadi lebih stabil. Bentuk regularisasi
sistem 3.1 diberikan dengan memilih
𝐴𝛼 = 1 00 1
1−𝛼 101
210 dan 𝐛𝛼 = 𝐛, 0 < 𝛼 < 1 3.3
Setelah mendapatkan sistem 3.2 , maka selanjutnya masalah
regularisasi pada 3.2 dapat diselesaikan. Seperti kasus I, pada sistem
3.2 akan diberikan gangguan sebesar 𝐩 = 0, 2−10 𝑇 . Misalkan 𝐱𝛼
adalah penyelesaian sistem 3.2 pada pemilihan 𝐴𝛼 dan 𝐛𝛼 dalam
persamaan 3.3 . Dan ditentukan nilai 𝛼 sebagai 𝛼 =1
2𝑛 , 𝑛 = 1,2, … ,9.
Dari parameter 𝛼 ini, akan dihitung galat dari perhitungan 𝐱𝛼 yang
bersesuaian dengan faktor perbesaran galatnya. Sebagai contoh pilih
𝛼 =1
2 , diperoleh
𝐴12
= 1 00 1
1−12
101
210 =
1 00 1
dan 𝐛12
= 1
2−10 .
Karena sistem tersebut diberikan gangguan sebesar 𝐩 maka sistem menjadi
𝐴12𝐱 = 𝐛1
2+ 𝐩, dengan 𝐛1
2+ 𝐩 =
12−10 +
02−10 =
12
210
,
sehingga
𝐱12
= 𝐴12 −1
. 𝐛12
+ 𝐩 = 1 00 1
. 12
210
= 12
210
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Setelah mendapat 𝐱12 kemudian akan dihitung besar galat yang terjadi pada
penyelesaian masalah regularisasi, galat tersebut dihitung dengan
menghitung norma dari selisih 𝐱12 dan 𝐱 yang dinotasikan sebagai
𝐫 2 = 𝐱12− 𝐱
2=
12
210
− 11
2
= 0
−511
512
2
= 0.998
dan faktor perbesaran galat dihitung sebagai
𝐫 2
𝐩 2=
0.998
2−10= 1022.
Tabel 3.1 di bawah ini merupakan hasil numerik perhitungan galat dan
faktor perbesaran galat yang dihasilkan pada setiap pemilihan parameter
regularisasi 𝛼 dengan gangguan sebesar 𝐩 = 0, 2−10 𝑇.
𝛼 ½ 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512
𝐫 0.998 0.887 0.474 0.049 0.456 0.709 0.849 0.923 0.961
𝐫 𝐩 1022 909 485 50 467 726 869 945 984
Tabel 3.1. Hasil Numerik Faktor Perbesaran Galat
Dari tabel 3.1 terlihat bahwa penyelesaian terbaik dari sistem 3.2 yaitu
saat memilih 𝛼 = 1/16. Karena penyelesaian yang dihasilkan memuat galat
sebesar 0.049 dan mempunyai faktor perbesaran galat sebesar 50.
Pada contoh 3.3.1 telah dijelaskan mengenai bagaimana teknik
regularisasi diterapkan untuk menyelesaikan masalah linier 𝐴𝐱 = 𝐛. Dari
contoh tersebut teknik regularisasi digunakan untuk menekan pembesaran
galat pada perhitungan 𝐴−1 . Berdasarkan Teorema 2.6.2.2 bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
perhitungan 𝐴−1 akan bergantung pada nilai singular terkecil matriks 𝐴
sehingga
𝐴−1 = 𝜎1 𝐴−1 =
1
𝜎𝑛 𝐴
dimana nilai 𝜎1 𝐴 merupakan nilai singular yang terbesar dari matriks 𝐴,
sedangkan 𝜎𝑛 𝐴 merupakan nilai singular terkecilnya. Sehingga untuk
mencari 𝐴−1 akan dipilih nilai singular terkecil dari 𝐴 dan kemudian
mensubstitusikannya ke 1𝜎𝑛 𝐴 . Hal ini menyebabkan apabila 𝐴
memiliki nilai singular terkecil 𝜎𝑛 𝐴 yang mendekati nol, maka nilai
𝐴−1 akan besar, sehingga penyelesaian menjadi tidak akurat.
Dengan meregularisasi masalah diharapkan akan memperoleh nilai
singular yang dapat membuat perhitungan 𝐴−1 kecil. Untuk itu, bentuk
regularisasi dari matriks 𝐴 akan ditulis sebagai 𝐴𝛼 , dimana 𝐴𝛼 adalah
matriks regularisasi. Sehingga dengan mempertimbangkan ketentuan
tersebut dalam menyelesaikan sistem 3.1 diperoleh masalah regularisasi
sebagai
𝐴𝛼𝐱 = 𝐛, 3.4
dan penyelesaian dari persamaan 3.4 tersebut adalah
𝐱𝛼 = 𝐴𝛼−1𝐛 ∈ ℝ𝑛 . 3.5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
3.4 Regularisasi Tikhonov
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai cara meregularisasi masalah
dengan menggunakan metode regularisasi Tikhonov. Metode regularisasi
ini digunakan untuk menyelesaikan masalah sistem 𝐴𝐱 = 𝐛. Penyelesaian
dari sistem adalah mencari 𝐱 sehingga 𝐴𝐱 = 𝐛 dan penyelesian dari sistem
3.1 tersebut dihitung dengan meminimalkan
𝑓 𝐱 = 𝐴𝐱 − 𝐛 2 3.6
Kemudian untuk menghindari perbesaran galat ketika meminimalkan
3.6 maka digunakan regularisasi Tikhonov. Dalam metode Tikhonov
proses regularisasi dilakukan untuk mendapatkan 𝐱𝛼 yang memuat galat
paling minimum. Agar dapat memperoleh hasil tersebut, maka pada
perhitungan 𝐴𝐱 − 𝐛 2 digunakanlah 2. Dan bentuk regulasisasinya
diberikan sebagai masalah fungsional
𝑓𝛼 𝐱 = 𝐴𝐱 − 𝐛 22 + 𝛼2 𝐱 2
2 3.7
dengan 𝛼 > 0 adalah parameter regularisasi. Peran dari 𝛼2 𝐱 22 adalah
untuk menekan galat yang terjadi pada 𝐴𝐱 − 𝐛 22 supaya menjadi lebih
kecil. Sehingga apabila perhitungan 𝛼2 𝐱 22 mendekati nol maka dapat
diperoleh hasil penyelesaian yang optimal.
Untuk mendapatkan penyelesaian 𝐱𝛼 yang minimum maka harus
dihitung turunan untuk 𝑓𝛼 𝐱 sebagai ∇𝑓𝛼 𝐱 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Dari definisi hasil kali dalam pada 𝐱 2 = 𝐱, 𝐱 diperoleh
∇𝑓𝛼 𝐱 =𝜕
𝜕𝐱 𝐴𝐱 − 𝐛 2
2 + 𝛼2 𝐱 22
=𝜕
𝜕𝐱 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛 + 𝛼2.
𝜕
𝜕𝐱 𝐱, 𝐱
=𝜕
𝜕𝐱 𝐴𝐱, 𝐴𝐱 − 2 𝐴𝐱, 𝐛 + 𝐛, 𝐛 + 𝛼2.
𝜕
𝜕𝐱 𝐱, 𝐱 .
≤𝜕
𝜕𝐱 𝐴𝐱, 𝐴𝐱 − 𝐴𝐱, 𝐛 + 𝐛, 𝐛 + 𝛼2.
𝜕
𝜕𝐱 𝐱, 𝐱 .
dengan menggunakan 𝐱, 𝐲 = 𝐱𝑇𝐲 dan 𝐱, 𝐱 = 𝐱𝑇𝐱 diperoleh
=𝜕
𝜕𝐱 𝐴𝐱 𝑇𝐴𝐱 − 𝐴𝐱 𝑇𝐛 + 𝐛𝑇𝐛 +
𝜕
𝜕𝐱 𝐱𝑇𝐱
=𝜕
𝜕𝐱 𝐱𝑇𝐴𝑇𝐴𝐱 − 𝐱𝑇𝐴𝑇𝐛 + 𝐛𝑇𝐛 + 𝛼2.
𝜕
𝜕𝐱 𝐱𝑇𝐱
= 𝐴𝑇𝐴𝐱 − 𝐴𝑇𝐛 + 𝛼2𝐱
Karena ∇𝑓𝛼 𝐱 = 0 maka 𝐴𝑇𝐴𝐱 − 𝐴𝑇𝐛 + 𝛼2𝐱𝛼 = 0, karena nilai
minimum 𝐱 adalah 𝐱𝛼 , maka
𝐴𝑇𝐴𝐱𝛼 + 𝛼2𝐱𝛼 − 𝐴𝑇𝐛 = 0
𝐴𝑇𝐴𝐱𝛼 + 𝛼2𝐱𝛼 = 𝐴𝑇𝐛
𝐴𝑇𝐴𝐱𝛼 + 𝛼2𝐱𝛼 = 𝐴𝑇𝐛
𝐴𝑇𝐴 + 𝛼2𝐼 𝐱𝛼 = 𝐴𝑇𝐛, 3.8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
dan penyelesaian dari persamaan 3.8 tersebut adalah
𝐱𝛼 = 𝐴𝑇𝐴 + 𝛼2𝐼 −1𝐴𝑇𝐛.
Dengan demikian, untuk mendapatkan penyelesaian inverse problem
dengan kualitas terbaik maka harus dapat ditentukan parameter 𝛼 yang
tepat, sehingga galat yang terjadi dapat minimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
APLIKASI
Pada bab ini akan dibahas bagaimana aplikasi inverse problem untuk
restorasi gambar digital dengan metode TSVD dan Regularisasi Tikhonov.
Adapun data yang digunakan dalam aplikasi ini adalah gambar grayscale,
yaitu setiap piksel gambar memiliki nilai antara 0 dan 1. Proses restorasi
yang dilakukan adalah untuk memperoleh gambar yang lebih baik dari
gambar input.
A. Gambar Digital
4.1 Representasi Gambar Digital
Image adalah gambar yang terletak pada bidang dua-dimensi. Ditinjau
dari sudut pandang matematis, gambar merupakan fungsi kontinu dari
intensitas cahaya pada bidang dua-dimensi. Sumber cahaya menerangi
objek, lalu objek memantulkan kembali sebagian dari berkas cahaya
tersebut. Kemudian pemantulan cahaya ini ditangkap oleh alat-alat optik,
seperti kamera, scanner dan sebagainya sehingga bayangan dari objek
dapat terekam dalam format digital maupun analog.
Agar memudahkan proses pengolahan maka digunakan gambar dalam
bentuk digital yang disebut sebagai gambar digital. Namun apabila
terdapat gambar dalam bentuk analog, terlebih dahulu gambar tersebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
harus diubah menjadi format digital melalui proses scanning. Proses
scanning memerlukan perangkat keras khusus yang disebut scanner.
Gambar digital hitam putih dapat dipandang sebagai suatu larik
(array) dua-dimensi atau suatu matriks yang elemen-elemennya
menyatakan tingkat keabuan gambar. Dan setiap tingkat keabuan gambar
akan direpresentasikan dengan bilangan riil antara 0 (hitam pekat) dan 1
(putih pekat). Sehingga informasi yang terkandung didalamnya bersifat
diskrit.
Untuk mengubah gambar kontinu menjadi gambar digital diperlukan
pembuatan kisi-kisi arah horizontal dan vertikal, sehingga diperoleh
gambar dalam bentuk larik dua-dimensi. Proses ini disebut sebagai proses
digitalisasi atau sampling. Setiap elemen pada larik dikenal sebagai elemen
gambar atau piksel. Pembagian sebuah gambar menjadi sejumlah piksel
dengan ukuran tertentu ini akan menentukan resolusi spasial yang
diperoleh. Semakin tinggi resolusi yang diperoleh berarti semakin kecil
ukuran pikselnya sehingga semakin halus gambar yang diperoleh karena
informasi yang hilang akibat pengelompokan tingkat keabuan pada proses
pembuatan kisi-kisi akan semakin kecil.
Pengolahan gambar digital yang akan dibahas sebatas pada gambar
grayscale, dimana secara umum gambar diberikan sebagai 𝐼 𝑖, 𝑗 yang
merupakan intensitas tingkat keabuan dari hitam ke putih pada piksel, 𝑖
menyatakan variabel baris 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 , 𝑗 menyatakan variabel kolom,
𝑗 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑖, 𝑗 menyatakan posisi piksel. Sebagai contoh,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
gambar yang mempunyai ukuran 256 × 512, berarti jumlah piksel vertikal
adalah 512 piksel sedangkan jumlah piksel horizontal adalah 256 piksel,
sehingga jumlah piksel keseluruhan yang terdapat dalam gambar tersebut
adalah 131.072 piksel.
Pada saat mengambil gambar dengan menggunakan kamera terkadang
muncul efek derau dalam rekaman gambar digital. Hal ini disebabkan
karena saat merekam gambar sistem optik lensa kamera mungkin kurang
fokus, sehingga cahaya yang masuk memberikan efek derau pada gambar.
Untuk memulihkan gambar kabur tersebut digunakanlah proses restorasi.
Tujuan dari proses restorasi ini adalah menghilangkan atau mengurangi
pengaruh kabur maupun degradasi yang terjadi pada gambar asli karena
proses akuisisi.
4.2 Model Degradasi Gambar Digital
Untuk memperoleh gambar yang lebih baik dalam proses restorasi
maka perlu diberikan model yang menjelaskan proses kabur dari gambar
asli. Dengan melakukan itu maka dapat diperoleh informasi untuk
memulihkan gambar kabur, namun pemulihan gambar yang diperoleh
tidak mirip seperti aslinya. Hal ini disebabkan berbagai galat yang terjadi
tidak dapat dhindarkan dalam gambar yang direkam, seperti fluktuasi
dalam proses pendekatan galat ketika mewakili gambar dengan sebuah
digit. Sehingga model yang dibentuk sebaiknya memuat dua informasi,
yaitu derau dan proses kabur yang terjadi pada gambar asli. Perhatikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
contoh yang ditunjukkan pada Gambar 4.1. Gambar kiri merupakan
gambar asli dan kanan adalah versi kabur dari gambar yang sama.
Gambar 4.1. Sebuah gambar asli (kiri) dan gambar kabur yang
bersesuaian (kanan).
Sehingga gambar grayscale pada Gambar 4.1 dapat dituliskan sebagai
matriks 𝑚 × 𝑛, dimana notasi 𝐱 ∈ ℝ𝑚×𝑛 merepresentasikan gambar asli
dan 𝐛 ∈ ℝ𝑚×𝑛 dinotasikan sebagai gambar kabur. Kemudian terdapat
operator pengaburan (blurring) yang memetakan gambar asli menjadi
gambar kabur yang dinotasikan sebagai matriks 𝐀 ∈ ℝ𝑚×𝑛 , sehingga relasi
di antara gambar asli dan gambar kabur ditulis sebagai
𝐀𝐱 = 𝐛.
yang merupakan model dari gambar kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD
Bentuk kompak dari singular value decomposition (SVD) matriks 𝐀
banyak digunakan dalam berbagai aplikasi terutama dalam restorasi
gambar. Selain itu, algoritma restorasi gambar dengan SVD dilakukan
dengan membuang unsur-unsur yang mewakili nilai singular kecil. Untuk
menunjukkan bagaimana SVD digunakan, misalkan 𝐀 mewakili matriks
pengaburan yang digunakan untuk mendekati derau yang terjadi pada
gambar, dan 𝐀 = 𝑈Λ𝑉𝑇 maka 𝐀 dapat ditulis sebagai
𝐀 = σ1𝐮1𝐯1𝑇 + σ2𝐮2𝐯2
𝑇 + ⋯ + σ𝑛𝐮𝑛𝐯𝑖𝑇
karena σ1 ≥ σ2 ≥ ⋯ ≥ σ𝑛 > 0 maka semua nilai singular adalah positif
dan 𝐀 adalah matriks persegi, dimana invers dari matriks 𝐀 diberikan
sebagai
𝐀−1 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇 .
Karena Λ adalah matriks diagonal maka inversnya Λ−1 juga diagonal,
dengan entri 1 σ𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, sehingga
𝐀−1 = 1
σ𝑖
𝑛
𝑖=1
𝐯𝑖𝐮𝑖𝑇 . 4.1
Seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya bahwa model gambar
kabur diberikan sebagai persamaan 𝐀𝐱 = 𝐛 dan penyelesaiannya adalah
𝐱 = 𝐀−1𝐛. Sehingga apabila 𝐀−1 di persamaan 4.1 disubstitusikan pada
penyelesaian akan diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
𝐱 = 𝐀−1𝐛 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇𝐛 = 1
σ𝑖
𝑛
𝑖=1
𝐯𝑖𝐮𝑖𝑇𝐛 =
𝐮𝑖𝑇𝐛
σ𝑖
𝑛
𝑖=1
𝐯𝑖 .
Pada kasus ini derau yang terjadi pada gambar direkonstruksikan dengan
bentuk 𝐀−1𝐛. Pendekatan SVD dapat digunakan untuk meredam efek yang
disebabkan oleh pembagian nilai-nilai singular kecil, khususnya nilai
singular yang mendekati nilai nol. Sementara itu, penyebab dari perubahan
nilai-nilai singular dan vektor singular terjadi karena pengaruh derau.
Untuk mengurangi efek derau tersebut yang perlu dilakukan adalah
membuang nilai-nilai singular kecil dengan sebuah parameter pemotongan
𝑘. Karena informasi mengenai galat yang besar terjadi ketika dilakukan
pembagian dengan nilai singular kecil σ𝑛 , maka komponen yang
menyebabkan galat besar tersebut dapat dibuang. Untuk itu digunakanlah
Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) yang didefinisikan
sebagai
𝐀𝑘 = 𝑈Λ𝑘𝑉𝑇 = σi𝐮𝑖𝐯𝑖
𝑇
𝑘
𝑖=1
4.2
dimana
Λ𝑘 = diag σ1, σ2 , … , σ𝑘 , 0, … ,0 ∈ ℝ𝑚×𝑛
atau
Λ𝑘 =
σ1 0 0 0 00 ⋱ 0 0 00 0 σ𝑘 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 0 0
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Matriks Λ𝑘 sama seperti Λ namun perbedaanya terletak pada nilai singular
terkecil 𝑛 − 𝑘 yang diganti oleh nol, dengan 𝑘 ≤ 𝑛. Pemotongan nilai
singular ini dimaksudkan untuk mendapatkan bilangan kondisi yang kecil
dengan cara memilih 𝑘. Apabila 𝑘 yang dipilih tepat, maka perhitungan
bilangan kondisi σ1
σ𝑘 dari 𝐀𝑘 akan menjadi kecil. Dari 𝐀𝑘 yang
diperoleh dapat dibentuk 𝐀𝑘+ sebagai pseudo-invers dari 𝐀𝑘 ;
𝐀𝑘+ = 𝑉Λ𝑘
−1𝑈𝑇 = 1
σ𝑖
𝑘
𝑖=1
𝐯𝑖𝐮𝑖𝑇
dimana
Λ𝑘−1 = diag σ1
−1, σ2−1, … , σ𝑘
−1, 0, … ,0 ∈ ℝ𝑛×𝑚
atau
Λ𝑘−1 =
σ1−1 0 0 0 0
0 ⋱ 0 0 00 0 σ𝑘
−1 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 0 0
.
sehingga penyelesaian dari TSVD didefinisikan sebagai
𝐱𝑘 = 𝐀𝑘+𝐛 = 𝑉Λ𝑘
−1𝑈𝑇𝐛 = 𝐮𝑖
𝑇𝐛
σ𝑖
𝑘
𝑖=1
𝐯𝑖 4.3
Setelah memahami bagaimana metode TSVD digunakan dalam
menyelesaikan masalah 𝐀𝐱 = 𝐛. Selanjutnya metode tersebut akan
diaplikasikan untuk restorasi gambar digital. Seperti dijelaskan pada bab
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
sebelumnya bahwa untuk input dari proses restorasi ini diberikan sebagai
𝐀 dan 𝐛, dimana 𝐀 adalah matriks pengaburan yang digunakan sebagai
pendekatan model gambar blur sedangkan 𝐛 adalah gambar yang
mengalami efek derau. Untuk itu akan digunakan gambar digital
‘cameraman.tif’
Gambar 4.2. Gambar Asli ‘cameraman.tif’
yang ditambahkan derau berupa efek motion dengan sudut sebesar 110°
dan tingkat motion sebesar 10 sehingga diperoleh gambar blur sebagai
berikut
Gambar 4.3. Gambar ‘cameraman.tif’ terkena efek motion
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Selanjutnya untuk memulihkan kembali gambar yang mengalami efek
derau dapat dilakukan restorasi gambar. Langkah awal yang perlu
dilakukan dalam proses restorasi adalah membentuk matriks pengaburan.
Pembentukkan matriks pengaburan ini dimaksudkan untuk memodelkan
efek derau yang terjadi, sehingga saat melakukan proses restorasi dapat
dihasilkan penyelesaian optimal. Dalam proses restorasi ini akan
digunakan matriks pengaburan yang dibentuk dengan
a=zeros(r,1);
a(1:5)=[5:-1:1]'/25;
A=toeplitz(a);
Gambar 4.4. Visualisasi matriks pengaburan
dimana toeplitz adalah matriks yang mempunyai entri konstan pada setiap
diagonalnya. Gambar 4.4 menunjukkan visualisasi dari matriks
pengaburan yang dibentuk dengan menggunakan toeplitz.
Notasikan matriks pengaburan yang dibentuk sebagai matriks 𝐀, dimana
matriks tersebut memliki ukuran piksel seperti gambar 4.3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Setelah mendapatkan model dari matriks pengaburan selanjutnya akan
dihitung SVD dari matriks 𝐀. Dari perhitungan SVD tersebut didapatkan
nilai-nilai singular 𝐀 sebagai matriks Λ. Dengan memilih suatu parameter
𝑘 dapat dibentuk suatu matriks singular yang banyaknya nilai singularnya
akan sama dengan 𝑘 yang dipilih. Matriks yang demikian disebut sebagai
Λ𝑘 . Dengan Λ𝑘 yang diperoleh dapat dibentuk sebuah matriks Λ𝑘−1
. Dan
hasil restorasi gambar digital dengan metode TSVD dituliskan dalam
bentuk
𝐱𝑘 = 𝑉Λ𝑘−1𝑈𝑇𝐛.
Gambar di bawah ini menunjukkan hasil restorasi gambar dengan
pemilihan 𝑘 = 200,
Gambar 4.5. Gambar hasil restorasi TSVD dengan 𝑘 = 200
kemudian untuk mengetahui besar galat yang terjadi pada perhitungan
restorasi, maka perlu dihitung norma antara gambar asli dengan gambar
hasil restorasi. Semakin kecil norma yang didapat maka hasil restorasi
yang diperoleh akan semakin baik, sebab hasil yang diperoleh semakin
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
mendekati gambar aslinya. Pada gambar 4.5 hasil restorasi TSVD dengan
𝑘 = 200 memiliki norma sebesar 25,3104, tentunya hasil tersebut masih
kurang optimal. Untuk mendapatkan hasil restorasi terbaik, maka harus
dicari parameter 𝑘 yang mengoptimalkan proses restorasi. Berikut adalah
hasil perhitungan norma yang bersesuaian dengan pemilihan parameter 𝑘.
Gambar 4.6. Grafik TSVD
Dari gambar 4.6 di atas dapat dilihat besar norma yang terjadi pada setiap
pemilihan parameter 𝑘. Berdasarkan hasil tersebut nilai norma terkecil
berada pada interval parameter 𝑘 ∈ 50,100 dengan norma di antara nilai
0 sampai 10. Dengan mempertimbangkan hal ini maka diperoleh grafik
TSVD sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Gambar 4.7. Grafik TSVD dengan axis([50 100 0 10])
kemudian dengan mengubah axis([70 75 5 6]) diperoleh
Gambar 4.8. Grafik TSVD dengan axis([70 75 5 6])
Dari gambar 4.8 terlihat bahwa nilai norma terkecil terletak di antara nilai
5,7 dan 5,8 yang berada pada 𝑘 = 73 dan 𝑘 = 74. Untuk mengetahui letak
norma terkecil tersebut, maka dipilihlah axis([70 75 5.7 5.8])
sehingga diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Gambar 4.9. Grafik TSVD dengan axis([70 75 5.7 5.8])
Berdasarkan hasil grafik TSVD pada gambar 4.9 didapatkan bahwa nilai
norma terkecil diperoleh ketika dipilih parameter 𝑘 = 74. Dengan memilih
parameter 𝑘 = 74 didapatkan hasil restorasi TSVD sebagai berikut
Gambar 4.10. Gambar hasil restorasi TSVD dengan 𝑘 = 74 memiliki
norma sebesar 5,7171
Dari hasil tersebut dapat dikatakan bahwa parameter 𝑘 = 74 memberikan
nilai norma yang mengoptimalkan hasil restorasi gambar dengan metode
TSVD.
Bila dijelaskan dalam bentuk algoritma dan diagram alir, maka
metode TSVD dapat digambarkan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
1. Bentuk matriks pengaburan yang berukuran sama seperti gambar
yang akan direstorasi.
2. Hitunglah SVD dari matriks pengaburan dengan menggunakan
fungsi svd Matlab, dan plot nilai-nilai singularnya.
3. Tentukan parameter pemotongan 𝑘 untuk nilai-nilai singular yang
diperoleh pada langkah 2, kemudian bentuk matriks Λ𝑘 .
4. Dari Λ𝑘 yang diperoleh bentuklah matriks Λ𝑘−1
.
5. Hitunglah 𝐱𝑘 = 𝑉Λ𝑘−1𝑈𝑇𝐛.
6. Ulangi langkah 3 sampai 5 sampai mendapatkan parameter 𝑘 yang
mengoptimalkan hasil restorasi.
Kode sintaks dalam program MATLAB akan dilampirkan pada program
4.1a dan program 4.1b.
C. Restorasi Gambar menggunakan Regularisasi Tikhonov
Dalam melakukan proses restorasi gambar digital tentunya tidak
hanya berhenti dengan menggunakan satu metode saja. Selain dengan
metode TSVD di tulisan ini juga akan dibahas metode restorasi dengan
menggunakan regularisasi Tikhonov. Regularisasi Tikhonov berbasis pada
meminimalkan suatu fungsional
min𝐱 𝐛 − 𝐀𝐱 22 + 𝛼2 𝐱 2
2 4.4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
dengan 𝛼 adalah parameter regularisasi. Kemudian 4.4 dapat
diformulasikan menjadi
min𝐱
𝐛𝟎 −
𝐀𝛼𝐼
𝐱 2
2
dan penyelesaian dari masalah tersebut diberikan oleh
𝐀𝑇𝐀 + 𝛼2𝐼 𝐱 = 𝐀𝑇𝐛
𝑉Λ𝑇𝑈𝑇 𝑈Λ𝑉𝑇 + 𝛼2𝐼 𝐱 = 𝑉Λ𝑇𝑈𝑇𝐛
𝑉Λ𝑇Λ𝑉𝑇 + 𝛼2𝐼 𝐱 = 𝑉Λ𝑇𝑈𝑇𝐛
sehingga didapatkan hasil akhir
𝐱 = 𝜎𝑖
2
𝜎𝑖2 + 𝛼2
𝑛
𝑖=1
.𝐯𝑖𝐮𝑖
𝑇𝐛
𝜎𝑖=
𝜎𝑖2
𝜎𝑖2 + 𝛼2
𝑛
𝑖=1
𝐮𝑖𝑇𝐛
𝜎𝑖𝐯𝑖 .
Jika
𝜑𝑖 =𝜎𝑖
2
𝜎𝑖2 + 𝛼2
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
maka dapat dibentuk
Φα =
𝜑1 0 0 00 𝜑2 0 00 0 ⋱ 00 0 0 𝜑𝑛
,
sehingga penyelesaian dari metode regularisasi Tikhonov didefinisikan
sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
𝐱𝛼 = 𝑉ΦαΛ−1𝑈𝑇𝐛 = 𝜑𝑖
𝑛
𝑖=1
𝐮𝑖𝑇𝐛
𝜎𝑖𝐯𝑖 4.5
Masalah meminimumkan fungsi persamaan 4.4 didasari pada fakta
bahwa perhitungan 𝐛 − 𝐀𝐱 22 harus memuat galat yang relatif kecil.
Tetapi, jika karena alasan tersebut dipilih 𝐱 = 𝐀−1𝐛 maka perhitungan
galat 𝐱 22 akan relatif besar. Sehingga dengan masalah meminimumkan
fungsi di 4.4 diharapkan bahwa norma dari perhitungan 𝐛 − 𝐀𝐱𝛼 dan
norma penyelesaian 𝐱𝛂 memiliki galat yang relatif kecil.
Sekarang akan dipertimbangkan efek dari pemilihan parameter
regularisasi 𝛼. Kasus pertama untuk faktor filter 𝜑𝑖 dimana 𝜎𝑖 > 𝛼,
dengan menggunakan ekspansi Taylor 1 + 𝜖 −1 = 1 − 𝜖 +1
2𝜖2 + 𝑂 𝜖3
diperoleh
𝜑𝑖 =𝜎𝑖
2
𝜎𝑖2 + 𝛼2
=1
1 + 𝛼2
𝜎𝑖2
= 1 −𝛼2
𝜎𝑖2 +
1
2
𝛼4
𝜎𝑖4 + ⋯ .
Selanjutnya kasus kedua untuk faktor filter 𝜑𝑖 dimana 𝜎𝑖 < 𝛼. Dengan
menggunakan ekspansi Taylor 1 + 𝜖 −1 diperoleh
𝜑𝑖 =𝜎𝑖
2
𝜎𝑖2 + 𝛼2
=𝜎𝑖
2
𝛼2
1
1 + 𝜎2
𝛼𝑖2
=𝜎𝑖
2
𝛼2 1 −
𝜎2
𝛼𝑖2 +
1
2
𝜎4
𝛼𝑖4 + ⋯ .
Kemudian dapat dituliskan bahwa faktor filter Tikhonov memenuhi
𝜑𝑖 = 1 −
𝛼
𝜎𝑖
2
+ 𝑂 𝛼
𝜎𝑖
4
, 𝜎𝑖 ≫ 𝛼
𝜎𝑖
𝛼
2
+ 𝑂 𝜎𝑖
𝛼
4
, 𝜎𝑖 ≪ 𝛼.
4.6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Ini berarti apabila dipilih 𝛼 ∈ 𝜎𝑛 , 𝜎1 maka 𝜑𝑖 ≈ 1 untuk indeks kecil 𝑖,
sedangkan 𝜑𝑖 ≈𝜎𝑖
2
𝛼2 untuk indeks 𝑖 yang besar.
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya akan dilihat hasil
restorasi dari gambar 4.3 dengan metode regularisasi Tikhonov. Langkah
awal proses restorasi ini adalah membentuk matriks pengaburan seperti
terlihat pada gambar 4.4. Selanjutnya akan dihitung SVD dari matriks 𝐀,
sehingga didapatkan nilai-nilai singular 𝐀 sebagai matriks Λ. Kemudian
dari nilai singular yang ada dipilih 𝜎𝑛 dan 𝜎1. Hal ini dilakukan untuk
menentukan parameter regularisasi 𝛼, sebab nilai parameter regularisasi
harus berada pada 𝜎𝑛 , 𝜎1 . Dari parameter 𝛼 yang dipilih dapat dibentuk
sebuah matriks diagonal Φα yang elemen diagonalnya adalah 𝜑𝑖 . Hasil
restorasi gambar digital dengan metode regularisasi Tikhonov dituliskan
dalam bentuk
𝐱𝛼 = 𝑉ΦαΛ−1𝑈𝑇𝐛
dimana Φα diperoleh dari 𝜑𝑖 pada persamaan 4.6 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Gambar berikut menunjukkan hasil restorasi gambar 4.3 dengan
menggunakan 𝛼 = 0.01,
Gambar 4.11. Gambar hasil restorasi Tikhonov dengan 𝛼 = 0.01
Berdasarkan pengamatan, hasil restorasi pada gambar 4.11 ternyata masih
memuat efek derau yang memiliki norma sebesar 22,89089. Akibatnya,
hasil restorasi dengan 𝛼 = 0.01 belum menghasilkan penyelesaian yang
optimal. Agar memperoleh penyelesaian terbaik harus dapat dicari nilai 𝛼
yang menghasilkan norma terkecil. Grafik di bawah ini menunjukkan hasil
perhitungan norma pada setiap pemilihan parameter regularisasi 𝛼 ∈
𝜎𝑛 , 𝜎1 dengan mengambil panjang langkah 0.01,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Gambar 4.12. Grafik Regularisasi Tikhonov
Berdasarkan gambar 4.12 di atas terlihat bahwa norma terkecil berada
pada 0 ≤ 𝛼 ≤ 0.2 dengan norma di antara nilai 0 sampai 20. Dengan
mempertimbangkan hal tersebut maka selanjutnya akan dipilih 𝛼 ∈ 0,0.2
dengan mengambil panjang langkah 0.01 sehingga diperoleh grafik
Gambar 4.13. Grafik Regularisasi Tikhonov dengan 𝛼 ∈ 0,0.2
dan axis([0 0.2 0 20])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
kemudian dengan mengubah 𝛼 ∈ 0.06 , 0.12 dan axis([0.06 0.12 6
8])diperoleh
Gambar 4.14. Grafik Regularisasi Tikhonov dengan 𝛼 ∈ 0.06 , 0.12 dan axis([0.06 0.12 6 8])
Berdasarkan hasil grafik regularisasi Tikhonov pada gambar 4.14
didapatkan bahwa nilai norma terkecil diperoleh ketika 𝛼 = 0,0874.
Dengan memilih parameter regularisasi 𝛼 = 0,0874 didapatkan hasil
restorasi regularisasi Tikhonov sebagai berikut
Gambar 4.15. Gambar hasil restorasi regularisasi Tikhonov dengan
𝛼 = 0,0874 memiliki norma sebesar 6,59414
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
Dari hasil tersebut parameter 𝛼 = 0,0874 memberikan nilai norma yang
mengoptimalkan hasil restorasi gambar dengan metode regularisasi
Tikhonov.
Bentuk algoritma dan diagram alir metode regularisasi Tikhonov
dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Bentuk matriks pengaburan yang berukuran sama seperti gambar
yang akan direstorasi.
2. Hitunglah SVD dari matriks pengaburan dengan menggunakan
fungsi svd Matlab, dan plot nilai-nilai singularnya.
3. Tentukan parameter regularisasi 𝛼 yang dipilih pada interval
𝜎𝑛 , 𝜎1 .
4. Hitung faktor filter Tikhonov 𝜑𝑖 berdasarkan pemilihan nilai 𝛼
yang diperoleh pada langkah 3, kemudian bentuk matriksΦα .
5. Hitunglah 𝐱𝛼 = 𝑉ΦαΛ−1𝑈𝑇𝐛.
6. Ulangi langkah 3 sampai 5 sampai menemukan parameter 𝛼 yang
mengoptimalkan hasil restorasi.
Kode sintaks program MATLAB dari metode regularisasi Tikhonov ini
akan dilampirkan pada program 4.2a dan program 4.2b.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai aplikasi
restorasi gambar digital menggunakan metode TSVD dan regularisasi
Tikhonov. Berdasarkan pada persamaan 4.3 dan 4.5 diperoleh bahwa
persamaan untuk metode TSVD ditulis sebagai
𝐱𝑘 = 𝑉Λ𝑘−1𝑈𝑇𝐛 =
𝐮𝑖𝑇𝐛
σ𝑖
𝑘
𝑖=1
𝐯𝑖
dan metode regularisasi Tikhonov ditulis sebagai
𝐱𝛼 = 𝑉ΦαΛ−1𝑈𝑇𝐛 = 𝜑𝑖
𝑛
𝑖=1
𝐮𝑖𝑇𝐛
𝜎𝑖𝐯𝑖 .
Dari persamaan di atas perbedaan antara metode TSVD dan regularisasi
Tikhonov adalah pada TSVD kita hanya mengamati sebagian dari nilai
singular tertentu sejumlah 𝑘. Sedangkan pada regularisasi Tikhonov semua
nilai singular dimasukkan dalam perhitungan, tetapi dengan menambahkan
faktor filter 𝜑𝑖 . Dibawah ini akan ditampilkan perbedaan hasil restorasi
menggunakan metode TSVD dan regularisasi Tikhonov.
a) Hasil restorasi TSVD b) Hasil restorasi Tikhonov
Gambar 4.16. Hasil restorasi metode TSVD dan regularisasi Tikhonov
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Gambar 4.16 menunjukkan perbandingan hasil restorasi dengan
menggunakan metode TSVD dan regularisasi Tikhonov. Dari hasil yang
telah diperoleh pada Gambar 4.10 menunjukkan bahwa hasil restorasi
terbaik dari metode TSVD tercapai ketika memilih parameter 𝑘 = 74
dengan selisih nilai norma antara gambar hasil restorasi dan gambar asli
sebesar 5,7171. Selanjutnya dilihat dari regularisasi Tikhonov (Gambar
4.15) hasil restorasi terbaik tercapai ketika dipilih parameter regularisasi
𝛼 = 0,0874 dengan selisih nilai norma antara gambar hasil restorasi dan
gambar asli sebesar 6,59414. Dengan demikian, berdasarkan hasil
restorasi yang telah diperoleh bahwa hasil restorasi dengan TSVD
memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan regularisasi
Tikhonov
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Regularisasi inverse problem dengan menggunakan metode Truncated
Singular Value Decomposition (TSVD) dan regularisasi Tikhonov
memberikan peluang untuk tetap memberikan hasil restorasi yang relatif
mendekati gambar asli. Metode TSVD mensyaratkan pemotongan jumlah
nilai singular yang mendekati nilai nol sedangkan regularisasi Tikhonov
mensyaratkan nilai parameter 𝛼 yang tepat.
Pemotongan nilai singular pada metode TSVD dimaksudkan untuk
membuang nilai-nilai singular kecil yang mendekati nilai nol. Sedangkan
pada metode regularisasi Tikhonov semua nilai singular dimasukkan
dalam perhitungan tetapi dengan menggunakan faktor filter 𝜑𝑖 , dengan
nilai 𝜑𝑖 ≈ 1 jika 𝜎𝑖 > 𝛼 dan 𝜑𝑖 ≈𝜎𝑖
2
𝛼2 jika 𝜎𝑖 < 𝛼. Kedua metode
tersebut bertujuan untuk mengurangi bahkan menghindari perbesaran galat
yang terjadi pada perhitungan penyelesaian.
Berdasarkan aplikasi pada bab sebelumnya didapatkan bahwa hasil
restorasi gambar digital dengan menggunakan TSVD memberikan
penyelesaian yang lebih baik dibandingkan dengan regularisasi Tikhonov.
Hal tersebut terlihat dari perhitungan nilai norma pada metode TSVD jauh
lebih kecil bila dibandingkan dengan metode regularisasi Tikhonov. Selain
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
itu, kedua metode tersebut sama-sama memberikan hasil restorasi yang
cukup baik untuk mendapatkan kembali gambar asli yang mengalami efek
derau.
B. Saran
Aplikasi metode TSVD dan regularisasi Tikhonov yang dibahas
adalah restorasi gambar digital untuk menghilangkan efek derau pada
gambar grayscale. Dalam tulisan ini baru digunakan satu model matriks
pengaburan yang digunakan untuk proses restorasi. Dengan demikian,
disarankan agar pembaca dapat menemukan algoritma yang lebih baik
mengenai cara membentuk matriks pengaburan lainnya. Selain itu,
pembaca juga dapat memberikan pembahasan mengenai cara menentukan
parameter regularisasi 𝛼 menggunakan metode kurva L (L-curve).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, K. E. 1989. An Introduction to Numerical Analysis (Second
Edition). John Wiley & Sons, Inc.
Bertero, M. & Boccacci, P. (1998). Introduction to Inverse Problems in
Imaging. Philadelphia, PA: IOP Publishing, Ltd
Budhi, W. S. (1995). Aljabar linear. Jakarta: Gramedia.
Burden, R. L. & Faires, J. D. 2010. Numerical Analysis (Nineth Edition).
USA: Brooks/Cole, Cengage Learning.
Chong, E. K. P. & Zak, S. H. 2008. An Introduction to Optimization
(Third Edition). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Groetsch, C. W. (1999). Inverse Problems Activities for Undergraduates.
Washington, DC: MAA
Hansen, P. C. (2010). Discrete Inverse Problems Insight and Algorithms.
Philadelphia, PA: SIAM.
Leon, S. J. (1998). Aljabar Linear dan Aplikasinya (Edisi ke-5).
Terjemahkan oleh: Alit Bondan. 2001. Jakarta: Erlangga.
Moura Neto, F. D.&Silva Neto, A. J. (2013). An Introduction to Inverse
Problems with Applications. New York: Springer.
Peressini, A. L. dkk. (1988). The Mathematics of Nonlinear Programming.
New York: Springer.Solomon, C. & Breckon, T. (2011).
Fundamental of Digital Image Processing (First Edition).
Hoboken, NJ: John Wiley and Sons, Ltd.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
LAMPIRAN
PROGRAM PADA BAB IV
Program 4.1a.
%PROGRAM 4.1a %Program Restorasi Gambar Digital Dengan Metode TSVD % Keterangan: % X=gambar asli grayscale % A=blurring matrix % PSF=point spread function pemberi efek blur % SVD=nilai-nilai singular matriks A % k=pemotongan nilai singular pada SVD % B=gambar asli yang terpengaruh efek PSF
tic
X=im2double(imread('cameraman.tif'));%Membaca gambar grayscale
lalu %mengkonversikannya ke bentuk double [r,c]=size(X);%Menentukan ukuran matriks X
%Membentuk Blurring Matriks (A) a=zeros(r,1); a(1:5)=[5:-1:1]'/25; A=toeplitz(a);
%Membentuk Gambar Blur dengan pemberian efek PSF pada X PSF=fspecial('motion',10,110); B=conv2(X,PSF,'same');
%Program TSVD untuk mendapatkan xk [m,n]=size(A);%Ukuran matriks A [U,S,V]=svd(A);
%Metode TSVD sesuai dengan pemilihan k k=200; SK=S(1:k,1:k); SKc=[inv(SK) zeros(k,m-k);zeros(n-k,k) zeros(n-k,m-k)]; xk=V*SKc*U'*B;
norm_X_B=norm(X-B) norm_X_xk=norm(X-xk)
subplot(131), imshow(X), title('Gambar Asli'); subplot(132), imshow(B), title('Gambar Blur'); subplot(133), imshow(xk), title('Gambar hasil Restorasi');
toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
Program 4.1b.
%PROGRAM 4.1b %Program Restorasi Gambar Digital Dengan Metode TSVD % Keterangan: % X=gambar asli grayscale % A=blurring matrix % PSF=point spread function pemberi efek blur % SVD=nilai-nilai singular matriks A % k=pemotongan nilai singular pada SVD % B=gambar asli yang terpengaruh efek PSF
tic X=im2double(imread('cameraman.tif'));%Membaca gambar grayscale
lalu %mengkonversikannya ke bentuk double [r,c]=size(X);%Menentukan ukuran matriks X
% Membentuk Blurring Matriks (A) a=zeros(r,1); a(1:5)=[5:-1:1]'/25; A=toeplitz(a);
% Membentuk Gambar Blur dengan pemberian efek PSF pada X PSF=fspecial('motion',10,110); B=conv2(X,PSF,'same');
% Program TSVD untuk mendapatkan xk [m,n]=size(A);%Ukuran matriks A [U,S,V]=svd(A);
% Metode TSVD untuk restorasi Gambar Digital z0=100; for i=1:r; k(i)=i; r=k(i); SK=S(1:r,1:r); SKc=[inv(SK) zeros(r,m-r);zeros(n-r,r) zeros(n-r,m-r)]; xk=V*SKc*U'*B; y(i)=norm(X-xk); if y(i)<z0; z0=y(i); indeks=i; XK=xk; end end XK; %Gambar hasil restorasi terbaik z0; %Norma paling minimum dari gambar hasil restorasi K=indeks; %Indeks dari parameter yang memiliki norma terkecil fprintf('\n Hasil restorasi TSVD terbaik memiliki norma %3.5f,
tercapai ketika parameter K=%1.0f\n',z0,K)
% Grafik plot antara k dan y % plot(k,y,'-o'); % title('Grafik TSVD');
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
% xlabel('parameter k'); % ylabel('nilai norma antara X dan xk'); % axis([72 75 5.7 5.8]); % grid on;
subplot(131), imshow(X), title('Gambar Asli'); subplot(132), imshow(B), title('Gambar Blur'); subplot(133), imshow(XK), title('Gambar hasil Restorasi'); toc
Program 4.2a.
%PROGRAM 4.2a %Program Restorasi Gambar Digital Dengan Regularisasi Tikhonov % Keterangan: % X=gambar asli grayscale % A=blurring matrix % PSF=point spread function pemberi efek blur % SVD=nilai-nilai singular matriks A % alfa=parameter regularisasi % B=gambar asli yang terpengaruh efek PSF
tic
X=im2double(imread('cameraman.tif'));%Membaca gambar grayscale
lalu %mengkonversikannya ke bentuk double [r,c]=size(X);%Menentukan ukuran matriks X
%Membentuk Blurring Matriks (A) a=zeros(r,1); a(1:5)=[5:-1:1]'/25; A=toeplitz(a);
%Membentuk Gambar Blur dengan pemberian efek PSF pada X PSF=fspecial('motion',10,110); B=conv2(X,PSF,'same');
%Program Tikhonov untuk mendapatkan xk [m,n]=size(A);%Ukuran matriks A [U,s,V]=svd(A); [S]=svd(A);%Nilai singular [m,n]=size(S);
%Menentukan parameter regularisasi alfa S(76) alfa=0.01;
for i=1:m; if S(i)>=alfa; q(i)=1-(alfa/S(i))^2;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
elseif S(i)<alfa; q(i)=(S(i)/alfa)^2; end end
q;
Q=diag(q);
xk=V*Q*inv(s)*U'*B;
norma=norm(X-xk);
disp('Hasil restorasi menggunakan parameter:'); fprintf('\n alfa1=%1.5f menghasilkan norma %3.5f\n',alfa,norma);
subplot(131), imshow(X), title('Gambar Asli'); subplot(132), imshow(B), title('Gambar Blur');
subplot(133), imshow(xk), title('Gambar hasil Restorasi dengan alfa=0.01');
toc
Program 4.2b.
%PROGRAM 4.2b %Program Restorasi Gambar Digital Dengan Regularisasi Tikhonov % Keterangan: % X=gambar asli grayscale % A=blurring matrix % PSF=point spread function pemberi efek blur % SVD=nilai-nilai singular matriks A % alfa=parameter regularisasi % B=gambar asli yang terpengaruh efek PSF
tic
X=im2double(imread('cameraman.tif'));%Membaca gambar grayscale
lalu %mengkonversikannya ke bentuk double [r,c]=size(X);%Menentukan ukuran matriks X
%Membentuk Blurring Matriks (A) a=zeros(r,1); a(1:5)=[5:-1:1]'/25; A=toeplitz(a);
%Membentuk Gambar Blur dengan pemberian efek PSF pada X PSF=fspecial('motion',10,110);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
B=conv2(X,PSF,'same');
%Program Tikhonov untuk mendapatkan xk [m,n]=size(A);%Ukuran matriks A [U,s,V]=svd(A); [S]=svd(A);%Nilai singular [m,n]=size(S);
%Menentukan parameter regularisasi alfa z0=100; % alfa=S(1):-0.01:S(m); % alfa=0:0.01:0.2; alfa=0.06:0.0001:0.12; for j=1:length(alfa); alfa_1=alfa(j); for i=1:m; if S(i)>=alfa_1; q1(i)=1-(alfa_1/S(i))^2; elseif S(i)<alfa_1; q1(i)=(S(i)/alfa_1)^2; end end Q=diag(q1); xk=V*Q*inv(s)*U'*B; y(j)=norm(X-xk); if y(j)<z0; z0=y(j); indeks=alfa(j); XK=xk; end end XK; %Gambar hasil restorasi terbaik z0; %Norma paling minimum dari gambar hasil restorasi indeks; %Nilai parameter alfa yang memiliki norma terkecil fprintf('\n Hasil restorasi Tikhonov terbaik memiliki norma %3.5f,
tercapai ketika parameter alfa=%1.5f\n',z0,indeks)
% Grafik plot antara alfa dan y plot(alfa,y); title('Grafik Regularisasi Tikhonov'); xlabel('parameter alfa'); ylabel('nilai norma antara X dan xk'); % axis([0 0.2 0 20]); axis([0.06 0.12 6 8]); grid on;
% subplot(131), imshow(X), title('Gambar Asli'); % subplot(132), imshow(B), title('Gambar Blur'); % subplot(133), imshow(XK), title('Gambar hasil Restorasi'); toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI