Upload
vuongnhu
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
B9 �
301
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
IV.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticascompletandoatrinomiocuadradoperfecto;compruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.
1. 2x x 1 0− − =
2. 2x 3x 2 0− − =
3. 2x 10x 20 0+ + =
4. 22x 4x 6 0+ − =
5. 2x 5x 24 0− + =
6. 22x 8x 5 0− − =
7. 23x 12x 15 0− + =
8. 2x 6x 4 0+ − =
9. 2x 2x 10 0− − =
10. 2x 5x 2 0− + =
11. 260x 30x 120 0− + =
12. 210x 30x 1 0− + =
V.Apartirdelasecuacionesmodeladasenelejercicioanterior,encuentralasolucióndecadaunadeellasaplicandounmétodoalgebraico.
1.Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.
2.Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.
3. En un rectángulo, la basemide el triple que la altura.Si se disminuye en1 centímetrocadalado,eláreainicialdisminuyeen 15centímetros.Calcularlasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.
4.Halla3númerosimparesconsecutivos,talesquesialcuadradodelmayorselerestanloscuadradosdelosotros 2, seobtienecomoresultado7.
5. Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo,¿cuántosañostieneahoracadauno?
VI. Enequipos resuelvan los siguientesproblemas, cuya solución seráexpuestaenplenaria.
1. La suma de dos números es9 y la suma de sus cuadrados es53. Halla losnúmeros.
302
B9 �B9 �2.Unnúmeropositivoes3/5 deotroysuproductoes2160.Encuentralosnúmeros.
3. Paola tiene tres añosmás que Brenda y el cuadrado de la edad deAdrianaaumentadoenelcuadradodelaedaddeBrendaequivalea317años.Determinaambasedades.
4.Unnúmeroeseltripledeotroyladiferenciadesuscuadradoses1800. ¿Cuálessonlosnúmeros?
5. El cuadradodeunnúmerodisminuidoen 9, equivalea8 vecesel excesodelnúmerosobre2.Obtienetalesnúmeros.
6.Untrenharecorrido200kmenciertotiempo.Parahaberrecorridoesadistanciaen1horamenos,lavelocidaddebíahabersido10km/h.Encuentralavelocidaddeltren.
7.Unaempresavendecalzadodeportivoa$40elparsisepidenmenosde50 pares.Sisecompran 50 omás,hasta600,elpreciodelparsereduceaunatasade$.04porelnúmerorequerido.¿Cuántosparessepuedencomprarcon$1800?
8.Sedeseausarunahojadepapelde24 cm x 36cm parauncartelrectangularcuyolargoseavertical.Losmárgenesalosladosyenlapartesuperiordebentenerigualanchura,peroelmargeninferiordebetenerdobleanchuraquelosdemás.Calculaelanchodelosmárgenessielárea impresadebetener661.5cm2.
9.Unapelotadebeisbolsearrojadirectahaciaarribaconunavelocidadinicialde64 pies/s.Elnúmerodepiess, sobreel terrenodespuésde t segundos,estáexpresadoporlaecuación:s=-16 t2 + 64 t.¿Cuándoestarálapelotaa48piessobreelterreno?
Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,determinando en cada uno de ellas: ecuación cuadrática y método algebraico desolución.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectoacadauna.
1.JuanAntoniotieneunterrenodeformacuadradaconunáreade289 m2,quequiereemplear como corral. ¿Cuántos metros de tela de alambre va a necesitar paracercarloporloscuatrolados?
a) 13 b) 15 c) 17 d) 19
Autoevaluación
B9 �
303
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
2. Si se aumenta en4 cm el ladodeun cuadrado, su área aumenta en 104 cm2.Calculareláreayperímetrodelcuadradoinicial.
a)Área:121cm2
Perímetro:44cmc)Área:144cm2
Perímetro:48cm
b)Área:81cm2
Perímetro:36 cmd)Área:169cm2
Perímetro:52cm
3. Determinaelvalordemparaquelaecuación2x2 - 4x + m = 0 tengaunaraízcuadráticadoble(demultiplicidad2).
a)m= 0 b)m=1 c)m=2 d)m=3
4.Calculaelvalordexparaelsiguientepardeecuaciones:
( )2
2
3x y 12
y 2 2 x 2
+ =
+ = +
a) x 2= ± b) x 2= c) x 3= d) x 3= ±
5. Enunlaboratorioseestudiaelcrecimientodeunabacteriapeligrosa;elestudiodesucomportamiento fueencargadoaHugo,pero, sedurmióysóloalcanzóaregistrarlosdatosmostradosenlasiguientetabla:
Hora (x) Crecimiento de una bacteria (y)
1 43 12
287
8411 124
¿CuáleslaexpresiónalgebraicaquedebióencontrarHugoparadeterminarlosvaloresquefaltanyasíestablecerlarelaciónentreambascolumnas?
a) 2y x 3= +
b) y x 3= +
c) 2y 3x=
d) 2y 3x 1= +
304
B9 �B9 �Evaluación formativa
Apartirdelasituaciónplanteadarealizaloquesepide.
Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerloseparadamente,siunotarda5horasmásqueelotro?
a) Encuentralaecuacióncuadráticaquemodelalasituación.
b) Resuelvelaecuacióncuadráticaaplicandounmétodoalgebraico.
c) Verificaqueelprimerobrerotardaenrealizareltrabajo,élsolo,21.75horas,esdecir,21horasy45minutos;elsegundoobrerotarda5horasmás,esdecir,26horasy45minutos.
B9 �
305
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
Escala de rango
Nombredelalumno:
Escala de valoración:0 Nulo1 Deficiente2 Aceptable3 Satisfactorio
Aspectos observables Sí No Estimación
Comprendiólasituacióndelplanteada
Encontrólaecuacióncuadráticacorrectamente
Resolviólaecuaciónporalgúnmétodoalgebraico
Severificaronlosresultados
TOTAL:Cal
Total=
×1012
=
OBSERVACIONES:Nombredequienrevisó:
BLO
QU
E
10 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»
UN
IDA
D D
E CO
MP
ETEN
CIA
»
• Identificalarelaciónentrefuncionesyecuacionescuadráticas.
• Reconocelaecuaciónendosvariablesy=ax2+bx+c,comolaformadelafuncióncuadrática,ylasecuacionesenunavariabled=ax2+bx+c,comocasosparticularesdelaanterior.
• Describelafuncióncuadráticaenlaformaestándary=a(x–h)2+kparatrazarsugráfica.
• Comprendeelefectodelparámetroaenelanchoyconcavidaddelaparábola,yasocialasintersecciones-xdeéstaconlasraícesdeax2+bx+c=0.
• Interpretalafórmulacuadrática.
Resuelve ecuaciones cuadráticas II
BLO
QU
E
10 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»U
NID
AD
DE
COM
PET
ENCI
A»
Construyeeinterpretamodelosaritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.
• Explicaquelaecuacióncuadráticaendosvariablesy=ax2+bx+c,representaunarelaciónfuncionalentrelasvariablesporqueparacadavalordexobtieneunúnicovalorparay.
• Obtieneelvalordelosparámetrosa,byc,deunaecuacióncuadrática.
• Trazalasgráficasdefuncionescuadráticastabulandovaloresylasidentificacomoparábolasverticales.
• Tabulapuntoscercanosalvértice,paraobteneréstemediantetanteosyaproximacionesyloidentificacomoelpuntomásaltoomásbajodeunaparábola.
• Escribelaformaestándardelafuncióncuadráticaparaubicarelvértice(h,k)delaparábolaytrazaréstacalculandovaloresdexalrededordeh.
• Anticipalaconcavidaddelaparábolamedianteelsignodelparámetroaycomparaelanchodedistintasparábolas,medianteelvalorabsolutodelparámetroa.
• Identificagráficamentecuándolaecuacióncuadráticaax2+bx+c=0poseeuna,dos,oningunasoluciónreal.
• Calculaelvalordeldeterminanteb2–4ac,paraanticiparlanaturalezadelasraícesdeunaecuacióncuadrática.
• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunaecuaciónounafuncióncuadrática.
• Elaboraointerpretagráficasytablasutilizandodistintasescalasyrealizandolascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesdiversasqueconllevanelusodefuncionesyecuacionescuadráticas.
• Resuelveecuacionescuadráticaspormétodosnuméricosygráficos.
• Representayresuelvesituacionesmedianteecuacionesyfuncionescuadráticas.
• Transitadeecuacionesafuncionescuadráticas,yviceversa,alrepresentarysolucionardiversassituaciones.
• Ejecutainstruccionesyprocedimientospropiosdelasecuacionescuadráticasdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedeunobjetivo.
• Describeelprocesoparahallarlassolucionesdeunaecuacióncuadráticamediantelafórmulageneral.
• Interpretalanaturalezarealocomplejadelasraíces,apartirdeldiscriminantecuadrático.
• Valoralaimportanciadelaconexiónentrefuncionesyecuacionescuadráticas,paraexaminarysolucionarsituaciones.
• Aprecialasrepresentacionesgráficasdefuncionescuadráticascomoinstrumentodeanálisisvisualdesucomportamiento.
• Aprecialautilidaddelafórmulacuadráticaysudiscriminante,pararesolverecuacionescuadráticascompletascontodotipodecoeficientesyconocerlanaturalezadelasraíces.
308
B10�B10�
Las ecuaciones cuadráticas tienen su representación gráfica para lo cual seestableceunarelacióncon lafuncióncuadrática;además,existeunmétodode soluciónpor fórmulageneral. Éstos son los temaspara el desarrollodelpresentebloque.
Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto.
1.¿Cuálenunciadocorrespondealaexpresión 2 yx
2+ ?
a)Lamitaddelcuadradodeunnúmeromásotro.b)Elcuadradodeunnúmeromáslamitaddeotro.c)Lasumadelcuadradodeunnúmeroconlamitaddeotro.d)Elcuadradodelamitaddedosnúmeros.
2.Losvaloresdexenlaecuación ( )2x 7 25− = son:
a) 1
2
x 5
x 7
==
b) 1
2
x 2
x 12
==
c) 1
2
x 2
x 12
= −=
d) 1
2
x 5
x 7
== −
3.Losvaloresdexenlaecuación 2x 64= − son:
a) 1
2
x 8i
x 8i
== −
b) 1
2
x 8
x 8
== −
c) 1
2
x 32
x 32
== −
d) 1
2
x 32i
x 32i
== −
4.¿Cuáleslagráficaquecorrespondealaecuación 2y x 1= −
INTRODUCCIÓN
Evaluación diagnóstica
B10�
309
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
a) b)
c) d)
5. Unaexpresiónequivalentea 9− enelconjuntodenúmeroscomplejoses:
a) 9i b) – 9 c) – 3 d) 3i
6.¿Cuántasraícespuedetenerunaecuacióncuadráticadelaforma ax2 + bx + c =0?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
7. ¿Quénombrerecibelagráficadeunaecuacióncuadrática?______________________
8.¿Quévalortomalaexpresión2b b 4ac
x2a
− + −= para a 2, b 4 y c 6= = = − ?
a) x 1= b) x 2= c) x 4= d) x 6=
310
B10�B10�9.Y,¿quévalortomalaexpresión
2b b 4acx
2a− − −
= tambiénparaa 2, b 4 y c 6= = = − ?
a) x 3= b) x 2= − c) x 3= − d) x 2=
Relacionandolaecuacióncuadráticaconsugráfica
Organizadosenequiposdetresintegrantes,ymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrarla ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuestacorrespondiente.
Vamosaponerenpruebasushabilidades,jugandoalasadivinanzas:
1. ¿Cuántasmonedastengoenmibolsillo,sialmultiplicarelnúmerodemonedasqueposeoporelmismonúmeromenoscuatro,obtengo21?
a)¿Cómosepuedeexpresaralgebraicamentelasituaciónanterior?
b) ¿Quésimilitudencuentrasentreestaexpresiónencontradaylasecuacionesde las fórmulas que determinan el área de un cuadrado, un círculo y unrectángulo?
Sisabemosque:
2.¿Qúedioeláreadeunrectángulo?
Conbaseenlaecuación 2y x x 2= + − ,completenlasiguientetabulación:
x -3 -2 -1 0 1 2
y
a) Ubiquen las coordenadas ( )x,y obtenidas en la tabulación, en el plano, eintententrazarlagráficacorrespondiente.
Actividad introductoria
B10�
311
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
b)¿Quécaracterísticaspuedenmencionardelagráficaobtenida?
c)¿Paraquévalordexsetieney = 0?
d) ¿Qué pueden conjeturar acerca de las tres representaciones del área delrectángulo:figura,ecuaciónygráfica
e)Grafiquentambiénlaecuacióndeláreadelcuadrado 2y x=
f)Hagancomparacionesentrelasdosgráficasobtenidasdelasfórmulasdeunrectánguloydelcuadrado.
Alfinalizar,elíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.
Unmétodomás, donde podemos encontrar y observar la solución de unaecuación cuadrática es el de la representación gráfica de una ecuacióncuadráticaodesegundogrado,locualesunaparábola.Estarepresentaciónseestableceapartirdelaexpresión 2y ax bx c= + + lacualpodemosreferircomofuncióncuadrática,puesesunaexpresiónendosvariablesendondeelvalordeunadeellasy,correspondeunoysólounvalorsujetoalvalorquerecibax.
MÉTODO GRÁFICO
312
B10�B10�Una función cuadrática es una expresión de la forma
2y ax bx c= + + ,obien, ( ) 2f x ax bx c= + + ,cona,b,c,a,b,c∈ .
Paragraficarunafuncióncuadráticapuedeaplicarseelmétododetabulación,enelcualse leasignanvaloresax,paraquealsersustituidosen lafunción
2y ax bx c= + + ,setenganlosvaloresdey,obteniendoparejasordenadasqueserepresentanenelplanocartesianoparalogrartrazarlagráfica.
Enlaparáboladebemosreconocerunelementoimportantellamadovértice,queeselpuntodondelacurvacambiadedirección,obien,elpuntomásbajoomásaltodelaparábola;lacoordenadadeestevérticesedenotapor(h,k),comoseobservaenlassiguientesfiguras.
A partir del vértice, podemos describir la función cuadrática en su formaestándar:
( )2y a x h k= − +
dedondepuedetrazarsetambiénlaparábola.
Si tenemos la función cuadrática de la forma 2y ax bx c= + + , deducimos laformaestándar ( )2y a x h k= − + comosigue:
2
2
2
2 2
y ax bx c
by a x x c
a
by a x x c
a
b by a x c
2a 4a
= + +
= + +
= + + + −
= + + −
2 2b b4a 4a
Lasolucióndelaecuación2ax bx c 0+ + = es
elvalor(es)dexquesatisfacenlaigualdad,yporseruncasoparticulardelafunción
2y ax bx c= + +(puessededucesiy=0),podremosobservargráficamentedichasolucióncomolasabscisasdelospuntosdondelaparábolaintercepta(corta)alejex.Silagráficanointerceptaalejex,sedicequelasraícessonimaginarias
B10�
313
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
Sihacemos: 2b b
h y k c2a 4a
= = −
Tenemos: ( )2y a x h k= − +
Así, para determinar el vértice (h, k) a partir de la función cuadrática
2y ax bx c= + + tendremosporfórmula2b b
, c2a 4a
−
,pues
2b bh y k c
2a 4a= = −
Los valores que corresponden a la solución de una ecuación cuadrática2ax bx c 0+ + = , se denominan raíces o soluciones de la ecuación; éstas se
observangráficamentecomosigue:
• Unaecuacióncuadráticapuedetenerdos raíces;esdecir, laparábolacortadospuntosdelejex.
• Unaecuacióncuadráticapuedetenersólo una raíz; es decir, la parábolacortasólounpuntodelejex.
• Si la parábola no corta ningúnpuntodel eje x, entonces la ecuacióncuadráticanotieneraícesreales;éstassonimaginarias.
Ejemplos
I. Acontinuación,sehaceunatabulaciónparagraficarlafuncióncuadráticaindicada,delaforma 2y ax bx c= + + y,apartirdeésta,sevisualizalasoluciónoraícesdelaecuación 2ax bx c 0+ + =
314
B10�B10�1.Graficar 2y x x 6= + −
Tabulación:
x y P(x, y)
–4 y = (–4)2 + (–4) – 6 = 6 P(–4, 6)–3 y = (–3)2 + (–3) – 6 = 0 P(–3, 0)–2 y = (–2)2 + (–2) – 6 = – 4 P(–2, – 4)–1 y = (–1)2 + (–1) – 6 = – 6 P(–1, –6)0 y = (0)2 + (0) – 6 = – 6 P(0, –6)1 y = (1)2 + (1) – 6 = – 4 P(1, –4)2 y = (2)2 + (2) – 6 = 0 P(2, 0)
Gráfica:
Enesteejemplo,podemosvisualizarconclaridadquelasabscisasdelasinterseccionesde laparábolaconelejexson: –3 y 2; luego, lassolucionesoraícesde laecuación
2x x 6 0+ − = son: x1 = –3 y x2 = 2
Comprobación:
Para x1 = – 3
(–3)2 + (–3) – 6 = 0
9 – 3 – 6 = 0
0 = 0
Para x2 = 2
(2)2 + (2) – 6 = 0
4 + 2 – 6 = 0
0 = 0
Elmétodográficodesolucióndelaecuación
2ax bx c 0+ + = sedeterminacorrectamentecuandolosvaloresdelasabscisasdelospuntosdeinterseccióndelaparábola,yeleje x,sonnúmerosenteros,deotromodosólopodráestimarselasoluciónalrecurrirentoncesaalgunodelosmétodosalgebraicos.
B10�
315
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
Alsustituirlasraícesenlaecuación,severificaquesoncorrectas.
II. Ahora, en estos ejemplos, observemos que a partir de visualizar las raíces dela ecuación cuadrática en la gráfica, podremos deducir la ecuación cuadráticamisma,asícomolafunciónlineal,aunsilasraícessonimaginarias.
1.
Paraestagráfica,como las raícesson:
1 2x 5, x 7= = , a partir del método defactorización,deducimos:
Ecuacióncuadrática: ( )( )2
x 3 x 1 0
x 2x 3 0
+ − =
+ − =
Funcióncuadrática: 2y x 2x 3= + −
2.
Paraestagráfica,como las raícesson:
1 2x 5, x 0= − = ,apartirdelmétododefactorización,deducimos:
Ecuacióncuadrática:( )( )
2
x 5 x 0 0
x 5x 0
+ + =
+ =
Funcióncuadrática: 2y x 5x= +
3.
Para esta gráfica,como las raícesson: 1 2x 2, x 6= = , a partir delmétodode factorización y atendiendo que laparábolaseabrehaciaabajo,deducimos:
4.
Para esta gráfica, como la raízes: 1x 0= , a partir del método defactorización y atendiendo que laparábolaseabrehaciaabajo,deducimos:
3x2 + 5x - 2esexpresiónalgebraica3x2 +5x -2=0es:ecuacióny =3x2 + 5x -2 esfunción
316
B10�B10�Ecuacióncuadrática:
( )( )2
x 2 x 6 0
x 8x 12 0
− − − =
− + − =
Funcióncuadrática: 2y x 8x 12= − + −
Ecuacióncuadrática: ( )2
2
x 0 0
x 0
− + =
− =
Funcióncuadrática: 2y x= −
5.
Paraestagráfica,comolaraízes: 1x 3= ,apartirdelmétododefactorización,deducimos:
Ecuacióncuadrática: ( )2
2
x 3 0
x 6x 9 0
− =
− + =Funcióncuadrática: 2y x 6x 9= − +
6 .
Para esta gráfica , como la raíz es: x1=-4, a partir delmétodode factorización,deducimos:
Ecuacióncuadrática: ( )2
2
x 4 0
x 8x 16 0
+ =
+ + =Funcióncuadrática: 2y x 8x 16= + +
7.8.
Lagráficadeunaecuacióndeprimergradocorrespondeaunarectaylagráficadeunaecuacióndesegundogradocorrespondeaunaparábola.
B10�
317
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
7. Para esta gráfica, como las raícesson imaginarias, deduciremos laecuacióndelasiguientemanera:
Partimos de la función cuadrática ensu forma estándar ( )2y a x h k= − +, y sustituimos en ella el vértice( ) ( )h,k 4,4= − y un punto( ) ( )x,y 3,5= − identificados en laparábola,paradeterminarasíelvalordea.
8.Paraestagráfica,comolasraícessonimaginarias,deduciremos laecuacióndelasiguientemanera:
Partimosdelafuncióncuadráticaensuformaestándary=a(x-h)2+k,ysustituimos
enellaunvérticeaprox. ( ) 1 8h,k ,
2 3 = −
y unpunto ( ) ( )x,y 0, 3= − identificados
en la parábola, para determinar así el
valordea.
( )( )( )
( )
2
2
y a x h k
5 a 3 4 4
5 a 1 4
a 5 4a 1
= − +
= − − − +
= +
= −=
Con este valor, determinamos lafunción cuadrática en su formaestándarcomo:
( )2y x 4 4= + +
Esdecir:
Funcióncuadrática: 2y x 8x 20= + +Ecuacióncuadrática: 2x 8x 20 0+ + =
( )2
2
y a x h k
1 83 a 0
2 3
1 83 a
4 3
8a 4 3
3
1 4a 4
3 3
= − +
− = − −
− = − = − +
− = − =
Conestevalor,determinamos lafuncióncuadráticaensuformaestándarcomo:
24 1 8y x
3 2 3 = − − −
Esdecir:Funcióncuadrática: 24 4
y x x 33 3
= − + −
Ecuacióncuadrática: 24 4x x 3 0
3 3− + − =
Hemosesperadohastaestemomentoparaestudiarotrométodoalgebraicodesolucióndeunaecuacióncuadrática,siendoéstacompletaoincompleta,esporfórmulageneral.
FÓRMULA GENERAL
Unapostolpredicabaalamultitudmencionandoy=ax2 +bx+caloquealguienpregunto¿Quéesello?Ylefuecontestado“Unaparábola”
318
B10�B10�Para resolver la ecuación 2ax bx c 0+ + = , bastará identificar los coeficientesdelostérminosdelaecuacióncuadráticaysustituirlosenlafórmulageneral.
Lafórmulageneralquepermiteencontrarlassolucionesdelaecuación
ax2+bx+c=0es:
2b b 4acx
2a− ± −
=
Donde:
aeselcoeficientedeltérminocuadrático.
beselcoeficientedeltérminolineal.
ceseltérminoindependiente.
(Esta fórmula se justifica en el caso 2 del método por factorización antesdescrito).
Laexpresiónb2– 4acsellamadiscriminanteydeterminalassolucionesdelaecuacióncuadráticabajolascondicionessiguientes:
• Sib2–4ac>0,laecuacióntienedossolucionesreales.
• Sib2–4ac=0,laecuacióntieneunasoluciónreal.
• Sib2–4ac<0,laecuacióntienedossolucionescomplejas(imaginarias).
Ejemplos
I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general, y realicemostambiénsucomprobación.
1. 3x2 – 4x + 1 = 0
Seidentificanloscoeficientesdelostérminos: a = 3, b = – 4 y c = 1
Estosvaloressesustituyenenlafórmulageneral:
2b b 4acx
2a− ± −
=
Donde:( ) ( ) ( )( )
( )
24 4 4 3 1x
2 3
− − ± − −=
B10�
319
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
Simplificando:
1
2
4 2 6x 1
4 16 12 4 4 4 2 6 6x4 2 2 16 6 6
x6 6 3
+ = = =± − ± ± = = = = − = = =
Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1 2
1x 1 y x
3= =
Comprobación:
Parax1= 1 Parax2=13
( ) ( )23 1 4 1 1 0
3 4 1 04 4 00 0
− + =
− + =− ==
21 13 4 1 0
3 31 4
1 03 3
1 1 00 0
− + =
− + =
− + ==
2. 4x2– 4x + 1 = 0
Seidentifica:a=4, b = – 4 y c = 1
Estosvaloressesustituyenenlafórmulageneral:
2b b 4acx
2a− ± −
=
Donde:
( ) ( ) ( )( )( )
24 4 4 4 1x
2 4
− − ± − −=
4 16 16 4 0 4 2 1x ,de donde x
8 8 8 4 2± − ±
= = = = =
Así,lasoluciónoraízdelsistemaes: 1
1x
2=
Comprobación:
21 14 4 1 0
2 21 2 1 0
1 1 00 0
− + = − + =− + ==
320
B10�B10�3. 5x2 - 4x + 1 = 0
Seidentifica:a=5,b=–4yc=1
Estosvaloressesustituyenenlafórmulageneral:
2b b 4acx
2a− ± −
=
Donde:
( ) ( ) ( )( )( )
24 4 4 5 1x
2 5
− − ± − −=
( )
4 16 20x
10
4 4 14 410 10
4 4 110
4 2i10
± −=
± −± −= =
± −=
±=
Luego, 1
2
4 2i 2 ix
10 10 5 54 2i 2 i
x10 10 5 5
= + = + = − = −
Así,lassolucionesoraícesdelsistemasonimaginarias:
xi
y xi
1 2
25 5
25 5
= + = −
I. Relaciona las siguientes ecuaciones cuadráticas con su correspondiente funcióncuadrática,construyelagráficaeidentificagráficamente,lasraícesdelaecuación.
1. 2x 9 0+ =
2. 23x 12 0+ =
3. 22x 10 0− − =
4. 27x 11 0+ =
5. 25x 15 0− =
6. 281x 16 0− − =
Actividad
Unaraízimaginariaesunnúmerocuyocuadradoesnegativo;serepresentacomobi,dondebesunnúmerorealeieslaunidadimaginariaconlapropiedadsiguiente:
i2 = – 1,dedondei= 1−
Lassolucionesimaginariasseexpresancomo a bi±
B10�
321
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
7. 2x 18 0− + =
8. 28x 20 0+ =
9. 21x 4 0
2− =
10. 2x 3x 0+ =
11. 23x 9x 0− =
12. 2x 4x 0− − =
13. 214x 17x 0− =
14. 25x 20x 0− − =
15. 212x 48x 0− =
16. 23x 18x 0− − =
17. 21 1x x 0
2 3+ =
18. 21 4x x 0
2 3− =
19. 2x x 2 0− − =
20. 2x 3x 4 0− − =
21. 2x 10x 25 0+ + =
22. 22x 5x 3 0+ − =
23. 2x 10x 24 0− + =
24. 22x 3x 5 0− − =
25. 23x 12x 12 0− + =
26. 2x 5x 6 0+ − =
27. 2x 2x 15 0− − =
28. 23x 5x 2 0− + =
29. 263x 29x 4 0− − + =
30. 265x 29x 4 0− − + =
31. 2x x 1 0− − =
32. 2x 3x 2 0− − =
33. 2x 10x 20 0+ + =
34. 22x 4x 6 0+ − =
35. 2x 5x 24 0− + =
36. 22x 8x 5 0− − =
37. 23x 12x 15 0− + =
38. 2x 6x 4 0+ − =
39. 2x 2x 10 0− − =
40. 2x 5x 2 0− + =
41. 260x 30x 120 0− + =
42. 210x 30x 1 0− + =
II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general,comprueba que las raíces encontradas son correctas y construye la gráficavisualizandoquelassolucionesenlagráficaylasencontradasporfórmulageneralsonlasmismas.
322
B10�B10�1. 2x 3x 4 0− + =
2. 22x 5x 2 0− + =
3. 22x 3x 5 0+ + =
B10�
323
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
4. 2x 6x 9 0+ + =
5. 22x 5x 1 0− + =
6. 2x 5x 14 0− + =
324
B10�B10�7. 23x 8x 5 0− + =
8. 23x 6x 2 0− + − =
III. Diseñalaecuaciónquemodelelassituacionesplanteadasyencuentralasoluciónacadauna.
1.Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.
2. Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.
3. Enunrectángulo,labasemideeltriplequelaaltura.Sisedisminuye 1 centímetrocadalado,eláreainicialdisminuye 15 centímetros.Calculalasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.
4. Halla 3 númerosimparesconsecutivos,talesquesialcuadradodelmayorselerestanloscuadradosdelosotros 2, seobtienecomoresultado7.
5. Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode 24 añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo,¿cuántosañostieneahoracadauno?
B10�
325
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
IV. Mediantelavisualización,obténlasraícesdelaecuacióncuadráticarepresentadaencadaunade lasgráficassiguientes,además,usatucuadernodenotasparadeterminarlaecuacióncuadráticayfuncióncuadráticacorrespondientes.
1.
Ecuacióncuadrática:
Funcióncuadrática:
2.
Ecuacióncuadrática:
Funcióncuadrática:
3.
Ecuacióncuadrática:
Funcióncuadrática:
4.
Ecuacióncuadrática:
Funcióncuadrática:
326
B10�B10�7.
Ecuacióncuadrática:
Funcióncuadrática:
8.
Ecuacióncuadrática:
Funcióncuadrática:
Elije laopción correctaen cadaunode losejercicios y resuelveen tu cuadernodenotaslaecuacióncorrespondienteacadaejercicioaplicandolafórmulageneral.
1. ¿Cuál es la gráfica que representa correctamente los valores numéricos de laecuación 2y x 8x= − + ?
a) b)
Autoevaluación
B10�
327
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
c) d)
2.¿Cuáleslafuncióncuadráticaqueserelacionaconlasiguientegráfica
a) 2y x 2x 2= − +
b) 2y x 2x 2= − −
c) 2y x 2x 2= + −
d) 2y x 2x 2= + +
3.Identificalagráficadelafunción: 2y x 2x 1= + −
a) b)
Autoevaluación
328
B10�B10�c) d)
4.¿Cuáleslafuncióncuadráticaqueserelacionaconlagráfica?
a) 2y x 4x 3= − + −
b) 2y x 4x 3= − + +
c) 2y x 4x 3= − − −
d) 2y x 4x 3= − − +
Apartirdelasituaciónplanteadarealizaloquesepide.
1.Enunlaboratoriomédicoseinvestigaelcrecimientodelabacteriaqueproduceelcólera.Paraellosecolocalabacteriaenunacajadepetriconaguaycomponentesnutrimentales. En la gráfica se representa el número de bacterias durante lasprimerashorasdelexperimento.
Evaluación formativa
B10�
329
B10�ResuleveecuacionescuadráticasII
a) ¿Cuáleslaecuaciónquerelacionalagráficayhacecorresponderelnúmerodebacteriasconeltiempotranscurrido?
a)y= 1+2x2 b)y= 1+x c)y= 1+x2 d)y= 1+4x
b) ¿Cuántasbacteriashabíaaliniciarelexperimento?
c) Si el crecimientode lasbacterias sedade igualmaneraal transcurrir lashoras,¿cuántasbacteriashabrádespuésdetranscurrir 5 horas?
Escala de rangoNombredelalumno:
Escala de valoración:0 Nulo1 Deficiente2 Aceptable3 Satisfactorio
Aspectos observables Sí No Estimación
Comprendiólasituacióndelplanteada
Encontrólaecuacióncuadráticacorrectamente
Resolviólaecuaciónporalgúnmétodoalgebraico
Severificaronlosresultados
Total:Cal
Total=
×1012
=
Observaciones:
Nombredequienrevisó:
330
B10�B10�BibliografíaArriaga Coronilla, Alfonso y et al (2009). Matemáticas I. México, Progreso Editorial
Baldor, Aurelio (2006). Álgebra. México, Ultra.
Baldor, Aurelio (1974). Aritmética. Barcelona, Cultural Centroamericana.
Barnett, Raymond A. (1987). Álgebra. México, McGraw-Hill.
Gobran, Alfonse (1995). Álgebra elemental. México, Iberoamérica.
Kaseberg, Alice (2001). Álgebra elemental, un enfoque justo a tiempo. México,
Thomson Internacional.
Northop, Eugene (2002). Paradojas matemáticas. México, Limusa.
Perelman,Yakov (2001). Álgebra recreativa. México, Quinto Sol.
Perero, Mariano (1994). Historia e historias de matemáticas. México, Grupo Editorial Iberoamérica.
Philips, Elizabeth P. et. al (1999). Álgebra con aplicaciones. México, Oxford University Press.
Pulido Chiunti, Antonio (2009). Matemáticas I. México, Compañía Editorial Nueva Imagen SA. de CV.
Ríos Hernández, Rosa Isela (2008). Matemáticas I. México, SEV.
Schools, Council (1985). Modelos polinomiales. México, CECSA.
Smith, Stanley y et al (2001). Algebra. EUA, Addison-Wesley Iberoamericana.
Spiegel, Murray (1992). Álgebra Superior. McGraw-Hill.
Steen, Lynn Arthur (2003). La enseñanza agradable de las matemáticas. México, Limusa.
Swokowski, Earl W. y Jeffer A. Cole (2006). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. 3a ed. México, Iberoamericana.