Upload
iman-besar
View
261
Download
12
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Materi Geometri for teacherGeometri Euclid
Citation preview
RESUME GEOMETRY FOR TEACHER
TUGAS AKHIR SEMESTERDosen Pengampu
Prof. KUSNO, DEA, PhD
IMAN BESAR PRAYITNO
(131820101006)
JURUSAN MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER
2014
1. Dasar-Dasar Geometri
1. Sejarah dan Dasar Geometri
Geometri seperti cabang ilmu matematika yang lain lahir berabad tahun silam
dari kondisi ril kehidupan sehari-hari sekelompok masyarakat. Misalnya lebih dari 2000
tahun silam orang Mesir mempunyai kebiasaan bekerja dengan dasar-dasar geometri,
dikarenakan pertimbangan praktis seperti banjir berkala sungai Nil yang selalu
menghanyutkan garis batas tanah milik mereka. Sehingga memaksa mereka untuk
merekonstruksi garis-garis batas tanah tersebut.
Bangsa Yunani yang banyak dipengaruhi oleh daerah Mediterania memiliki
sedikit pandangan lebih maju terhadap geometri. Geometri telah dianggap sebagai sebuah
abstraksi dari dunia nyata atau sebuah model yang membantu pikiran atau logika. Sampai
akhirnya pada tahun 250 sebelum masehi Euclide menghasilkan karya monumental yang
dituangkan ke dalam buku Element, yang hingga sekarang karyanya masih dipelajari dan
digunakan.
Seperti halnya di dalam buku Element karya Euclide ada yang disebut dengan
istilah primitif. Istilah primitif ditujukan untuk konsep-konsep sederhana yang mudah
dipahami dan sulit dibuatkan batasannya. Yang kemudian oleh para ahli geometri modern
konsep-konsep tersebut dikelompokkan ke dalam istilah-istilah yang tidak didefinisikan
(undefined). Dalam struktur geometri modern khususnya dan matematika pada umumnya
terdapat istilah-istilah yang telah disepakati dan menjadi pedoman bagi semua orang yang
mempelajari geometri, matematika, atau cabang matematika yang lain. Istilah-istilah
tersebut adalah: 1) unsur-unsur yang tidak didefinisikan, 2) unsur-unsur yang didefinisikan,
3) aksioma/postulat, dan 4) teorema/dalil/rumus.
Unsur yang tidak didefinisikan atau pengertian pangkal adalah konsep primitif
yang mudah dipahami dan sulit dibuatkan definisinya, seperti titik, garis, dan bidang.
Apabila kita paksakan untuk membuat definisi untuk unsur primitif tersebut maka akan
terjadi blunder. Misalnya kita akan membuat definisi untuk titik, seperti titik adalah sesuatu
yang menempati tempat. Kemudian kita harus mendefiniskan lagi sesuatu yang menempati
tempat itu apa, misalnya noktah yang ada pada bidang. Kemudian kita harus mendefinisikan
tentang noktah itu apa, dan seterusnya. Sehingga dalam definisi terdapat definisi dan begitu
seterusnya. Oleh karena itu semua konsep yang memiliki sifat demikian dimasukan ke dalam
kategori unsur primitif atau unsur yang tidak terdefinisi.
Unsur-unsur yang didefinisikan adalah konsep yang mempunyai definisi atau
batasan. Sehingga dengan definisi konsep-konsep tersebut menjadi jelas, tidak ambigius
atau tidak bermakna ganda. Syarat sebuah definisi adalah harus singkat, padat, jelas, dan
tidak mengandung pengertian ganda. Unsur yang didefinisikan adalah konsep-konsep yang
dikembangkan dari unsur yang tidak didefinisikan. Misalnya, sinar garis, ruas garis, segitiga,
segiempat dikembangkan dari konsep garis sebagai unsur yang tidak didefinisikan.
Aksioma/postulat adalah anggapan dasar yang disepakati benar tanpa harus
dibuktikan. Yang termasuk ke dalam aksioma/postulat adalah sesuatu atau konsep yang
secara logika dapat diterima kebenaranya tanpa harus dibuktikan. Dalam geometri (Euclide)
misalnya dikenal postulat garis sejajar yaitu apabila ada sebuah garis dan sebuah titik di luar
garis tersebut, melalui titik itu dibuat garis lain yang sejajar garis pertama maka kedua garis
tersebut tidak akan berpotongan. Teorema/rumus/dalil adalah anggapan sementara yang
harus dibuktikan kebenarannya melalui serangkaian pembuktian deduktif. Pembuktian
teorema/rumus/dalil dalam matematika keberlakuannya harus secara umum, tidak berlaku
hanya untuk beberapa kasus seperti contoh. Misalnya teorema Pythagoras yang
menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga siku-siku berlaku “jumlah kuadrat sisi siku-siku
sama dengan kuadrat sisi miringnya”. Apabila kita mengajukan pembuktian melalui
menunjukkan/memberi contoh dalam segitiga siku-siku dengan panjang sisi masingmasing
3 dan 4 satuan panjang, serta panjang sisi miringnya sama dengan 5 satuan panjang (tripel
Pythagoras), sehingga diperlihatkan hubungan 32 + 42 = 52 ini bukan pembuktian, tetapi
sekadar menunjukkan satu kasus. Teorema Pythagoras sejak ditemukannya sampai sekarang
telah dibuktikan lebih dari 200 cara. Berikut salah satu pembuktian teorema tersebut.
Luas daerah persegi kecil dengan sisi c sama dengan luas persegi besar dengan sisi a + b dikurangi 4 kali luas daerah segitiga siku-siku. Secara aljabar dapat kita selesaikan menjadi,c2 = (a + b)2 – 4 luas daerah segitigac2 = a2 + 2ab + b2 – 4 ½ alas x tinggic2= a2 + 2ab + b2 – 4 ½ abc2= a2 + 2ab + b2 – 2 abc2= a2 + b2 terbukti (c sisi miring, a dan b sisi siku-sikusegitiga)
1.1 Titik
Pada paragraf sebelumnya telah disinggung bahwa titik, garis, dan bidang adalah
unsur-unsur yang tidak didefinisikan. Unsur-unsur sederhana yang mudah dipahami tetapi
menjadi blunder (berbelit) apabila kita mencoba membuat definisinya. Sehingga para akhli
geometri mengelompokan konsep titik, garis, dan bidang ke dalam kelompok unsur yang
tidak didefinisikan atau disebut pengertian pangkal. Dalam geometri, titik adalah konsep
abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran, tidak
mempunyai berat, atau tidak mempunyai panjang, lebar, atau tinggi. Titik adalah ide atau
gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak orang yang memikirkannya. Untuk melukiskan
atau menggambarkan titik diperlukan simbol atau model. Gambar simbol atau model untuk
titik digunakan noktah seperti di bawah ini,
• • •
Gambar atau model sebuah titik biasanya diberi nama. Nama untuk sebuah titik
umumnya menggunakan huruf kapital yang diletakan dekat titik tersebut, misalnya seperti
contoh di bawah ini adalah titik A, titik P, dan titik Z.
• • •A P Z
Melukis atau menggambar sebuah titik dapat menggunakan ujung benda,
misalnya dengan ujung pinsil, pena, jangka, atau kapur yang ditekan pada bidang tulis atau
permukaan kertas atau papan tulis. Apabila anda menekankan ujung pinsil pada permukaan
kertas maka noktah hitam yang membekas pada permukaan kertas tersebut adalah titik.
Gambar atau model titik dapat pula diperoleh dengan cara menggambar bagian-
bagian benda. Misalnya menggambar bagian dari penggaris dengan cara meletakan sebuah
penggaris pada papan tulis kemudian gambar sebuah titik pada sisi penggaris dengan cara
menekankan kapur ke papan tulis dan kemudian angkat penggaris tersebut. Kita dapat
melihat bahwa pada papan tulis terdapat noktah hasil goresan ujung kapur terhadap papan
tulis, dan goresan itu adalah titik.
1.2 Garis
Garis adalah konsep yang tidak dapat dijelaskan dengan menggunakan kata-kata sederhana
atau kalimat simpel. Karenanya garis juga dikelompokan ke dalam usur yang tidak
didefiniskan. Garis adalah ide atau gagasan abstrak yang bentuknya lurus, memanjang ke
dua arah, tidak terbatas atau tidak bertitik akhir, dan tidak tebal. Garis adalah ide atau
ℓ A
B
gagasan yang hanya ada dalam benak pikiran orang yang memikirkannya. Mengambar
model garis dapat dilakukan dengan membuat goresan alat tulis pada bidang tulis, kertas,
atau papan tulis dengan bentuk yang lurus. Atau model garis dapat dibuat dengan
menggambar bagian sisi benda yang lurus, misalnya menggambar salah satu sisi penggaris
kayu. Berikut adalah model garis yang diperoleh dari hasil menggambar salah satu bagian
sisi penggaris dengan memberi tanda anak panah pada kedua ujungnya yang menandakan
bahwa garis tersebut memanjang kedua arah tidak mempunyai titik akhir.
Menamai sebuah garis dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara. Pertama dengan
sebuah hurup kecil pada salah satu ujung garis. Kedua menggunakan dua hurup besar yang
diletakan pada dua titik pada garis tersebut. Di bawah ini adalah dua cara member nama
terhadap garis.
Garis yang paling kiri adalah garis ℓ dan yang sebelah kanan adalah garis AB. Notasi
untuk menyatakan garis AB ditulis dengan AB. Garis disebut juga sebagai unsur geometri
satu dimensi. Karena garis adalah konsep yang hanya memiliki unsur panjang saja (linier).
1.3 Bidang
Bidang adalah unsur lain dalam geometri yang tidak dapat dijelaskan
menggunakan kata-kata sederhana atau kalimat simpel seperti halnya titik dan garis.
Apabila kita mencoba membuat definisi bidang maka akan berbelit atau blunder. Oleh
karena itu seperti titik dan garis, bidang juga dimasukan ke dalam kelompok unsur yang
tidak didefinisikan.
Bidang adalah ide atau gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak pikiran
orang yang memikirkannya. Bidang diartikan sebagai permukaan yang rata, meluas ke
segala arah dengan tidak terbatas, dan tidak memiliki tebal. Bidang masuk ke dalam bangun
dua dimensi, karena bidang dibentuk oleh dua unsur yaitu panjang dan lebar. Model bidang
dapat digambarkan oleh bagian dari benda, misalnya bagian permukaan kaca, permukaan
daun pintu, lembaran kertas, atau dinding tembok kelas yang rata. Atau bidang dapat
diperoleh dengan cara mengiris tipis-tipis permukaan benda sehingga diperoleh lembaran-
lembaran tipis, misalnya bagian salah satu sisi balok diiris-iris menjadi bagian-bagian yang
α
A
D C
B
tipis. Bagian-bagian tersebut adalah model-model bidang. Di bawah ini adalah gambar atau
model dari bidang.
Memberi nama sebuah bidang dapat menggunakan sebuah hurup kecil atau hurup-hurup
Yunani seperti α (alpa), β (beta), γ (gamma) yang diletakan di daerah dalam bidang
tersebut. Atau menggunakan huruf-huruf besar yang disimpan di titik-titik sudut bidang
tersebut. Berikut adalah cara memberi nama sebuah bidang.
1. 4. Ruang
Seperti halnya titik, garis, dan bidang, ruang juga adalah ide atau gagasan
abstrak yang hanya ada dalam benak pikiran orang yang mempersoalkannya. Ruang
diartikan sebagai unsur geometri yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi yang terus
mengembang tidak terbatas. Ketiga unsur pembentuk ruang tersebut terus berkembang
tanpa batas. Oleh karenanya ruang disebut sebagai bangun tiga dimensi karena memiliki
tiga unsure yaitu panjang, lebar, dan tinggi. Ruang didefinisikan sebagai kumpulan dari titik-
titik. Ruang dapat diilustrasikan sebagai balon yang ditiup terus mengembang tanpa pecah.
Balon yang mengembang tersebut dibentuk oleh titik-titik pada balon dan udara sebagai
titik-titik di dalam balon. Sehingga ruang digambarkan sebagai balon yang terus
mengembang tanpa pecah dengan titik-titik pada balon dan titik-titik di dalam balon yang
kesemua titik-titik itu mengembang tanpa berhenti. Atas dasar itu ruang didefinisikan
sebagai kumpulan dari titik-titik.
Selain ruang dapat diilustrasikan sebagai balon yang ditiup dan terus
mengembang tanpa batas seperti di atas, ruang juga dapat digambarkan sebagai gabungan
dari permukaan tertutup sederhana dengan daerah dalamnya dan dengan kumpulan titik-
titik di bagian luar permukaan tertutup sederhana tersebut. Permukaan tertutup sederhana
di analogikan sebagai kulit balon yang sudah ditiup. Sedangkan daerah dalam adalah udara
yang mengisi balon tersebut.
Ruang dapat dibuatkan modelnya. Model bangun ruang adalah benda tiga
dimensi yang solid atau padat yang mencerminkan berkumpulnya titik-titik.Misalnya balok
atau kubus kayu, prisma segitiga padat dan sebagainya. Piramida tempat penguburan mayat
raja-raja Mesir jaman dulu salah satu contoh model bangun ruang. Akan tetapi kita dapat
membuat model-model bangun ruang yang bagian dalamnya kosong, misalnya kardus bekas
bungkus kulkas, bekas bungkus mesin cuci, bekas bungkus TV dan sebagainya. Berikut
contoh-contoh model bangun ruang.
Model bangun ruang di atas dapat terbuat dari benda-benda padat yang bagian
dalamnya terisi seperti balok atau kubus kayu, atau model-model bangun ruang yang
daerah dalamnya kosong. Kedua jenis bentuk bangun tersebut dapat digunakan sebagai
model-model bangun ruang.
2. Definisi, Asumsi, dan Teorema Geometris
Sebelum kita memasuki definisi, asumsi dan teorema – teorema dalam
geometri, terlebih dahulu kita perlu mengetahui pengertian masing – masing :
Definisi : rumusan tentang ruang lingkup dan ciri – ciri suatu konsep yang
menjadi pokok pembicaraan.
Postulat : Asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap kebenarannya
tanpa perlu pembuktian.
Aksioma : Pernyataan pertama yang dapat diterima sebagai kebenaran tanpa
pembuktian.
Teorema : pendapat yang dikemukakan sebagai keterangan mengenai suatu
kejadian (dapat dibuktikan).
A. Definisi – Definisi Pada Peristilahan Geometri
DEFINISI 1.1 : Ruas garis AB adalah himpunan titik-titik dari garis yang memuat
titik A dan B dan semua titik diantara titik A dan titik B.
DEFINISI 1.2 : Sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari
titik pangkal sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap
titik pangkalnya.
DEFINISI 1.3 : Sinar-sinar yang berlawanan adalah dia sinar berlainan pada garis
yang sama dan mempunyai titik pangkal yang sama dan mempunyai
titik pangkal yang sama.
DEFINISI 1.4 : Sudut adalah himpunan titik - titik yang merupakan gabungan
dua sinar dan kedua titik pangkalnya berserikat.
DEFINISI 1.5 : Titik tengah dari ruas garis adalah suatu titik pada ruas garis itu
sedemikian hingga membantuk dua garis yang sama ukurannya.
DEFINISI 1.6 : Garis bagi (bisector) dari ruas garis adalah garis yang memotong
ruas garis pada titik tengahnya.
DEFINISI 1.7 : Sudut siku – siku adalah sudut dari 900.
DEFINISI 1.8 : Sudut lurus adalah suatu sudut dari 1800.
DEFINISI 1.9 : Sudut lancip adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar dari
900 dan lebih kecil dari 900.
DEFINISI 1.10 : Sudut tumpul adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar 900
dan lebih kecil 1800.
DEFINISI 1.11 : Dua sudut saling berkomplemen adalah dua sudut yang jumlah
ukurannya 900.
DEFINISI 1.12 : Dua sudut saling bersuplemen adalah sua sudut yang jumlah
ukurannya 1800.
DEFINISI 1.13 : Dua garis saling tegak lurus adalah sua garis yang saling
berpotongan dan membentuk sudut siku-siku.
DEFINISI 1.14 : Garis bagi suatu sudut adalh suatu sinar sedemikian hingga titik
pangkalnya titik sudut itu dan membentuk dua sudut yang sama
ukurannya dengan kaki – kaki sudut itu.
B. Asumsi – Asumsi Dan Penggunaannya Dalam Pembuktian
POTULAT 1.1 : Sebuah garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya dari kedua
ujungnya.
POTULAT 1.2 : Untuk setiap dua titik pada garis, ada titik ketiga yang terletak
diantaranya.
POTULAT 1.3 : Ada korespondensi 1-1 antara titik-titik pada garis dengan
A B
bilangan-bilangan real.
POTULAT 1.4 : Ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik.
POTULAT 1.5 : Jika a = b dan c = d , maka a + c = b + d.
POTULAT 1.6 : Jika a = b dan c = d , maka a – c = b – d.
POTULAT 1.7 : Jika a = b dan c = d , maka a . c = b . d.
POTULAT 1.8 : Jika a = b dan c = d , maka a / c = b / d.
POTULAT 1.9 : a = a , sifat refleksif.
POTULAT 1.10 : Jika a = b , maka b = a; sifat simetri.
POTULAT 1.11 : Jika a = b dan b = c , maka a = c .
DEFINISI 1.15 : Ruas –ruas garis yang kongruen adalah ruas – ruas garis yang
mempunyai ukuran sama (tidak harus segaris).
DEFINISI 1.16 : Sudut – sudut yang kongruen adalah sudut-sudut yang
mempunyai ukuran sama. Notasi kongruensi adalah “ ≅ “ . perlu
diingat bahwa jika u AB = u CD, maka AB≅ CD. Tetapi jika AB ≅ CD,
belum tentu u AB = u CD.
DEFINISI 1.17 : Jumlah dari dua ruas garis AB dan BC adalah AC jika dan
hanya jika B diantara A dan C; dapat dilambangkan AB + BC = AC.
DEFINISI 1.18 : AC terletak diantara ruas garis AB dan BC yang berlainan jika
dan hanya jika C diantara A dan B; dilambangkan : AB – BC = AC.
C. Teorema – Teorema Sederhana
POSTULAT 1.12 :
Pernyataan kondisional : jika P, maka Q;
Dan menyatakan kebenaran P : diketahui P (antasenden);
Berakibat benarnya Q : jadi Q (konsekuen).
TEOREMA 1.1 : Jika dua sudut adalah siku-siku, maka keduanya kongruen.
Cara pembuktian :
Diketahui : A sudut siku-siku
B sudut siku-siku
Buktikan : A B
Bukti :
Pernyataan Alasan
1. A siku – siku
2. u A = 900
3. B siku – siku
4. u B = 900
5. u A = u B
6. A B
1. Diketahui.
2. def. Sudut siku-siku
3. diketahui
4. sama No. 2
5. sifat transitif dari kesamaan.
6. definisi kongruensi
TEOREMA 1.2 : jika dua sudut adalah sudut lurus, maka keduanya kongruen.
(bukti seperti teorema 1.)
DEFINISI 1.19 : sinar PB terletak diantara dua sinar PA dan PC berarti bahwa,
uAPB + uBPC = uAPC. (ukuran jumlah sebarang sudut harus = 1800)
DEFINISI 1.20 : Jumlah dari dua sudut ABC dan DBC, adalah ABD jika
dan hanya jika BC diantara BA dan BD; dapat dilambangkan :
ABC + DBC = ABD.
DEFINISI 1.21 : CDB terletak diantara dua sudut , ABD dan ABC jika dan
hanya jika BC diantara BA dan BD; dapat dilambangkan ABD -
ABC = DBC .
TEOREMA 1.3 : Jika dua sudut saling bersuplemen (berpelurus) pda sudut yang
sama , maka keduanya kongruen.
Pembuktian :
Diketahui : B suplemen pada A
C suplemen pada A
Buktikan : B C.
Bukti :
Pernyataan Alasan1. B suplemen dari A.2. uB + uA.= 1800
3. uB .= 1800 – uA4. C suplemen dari A.5. uC + uA.= 1800
6. uC .= 1800 – uA7. uB = uC8. B uC
1. diketahui2. def. Dua sudut yang bersuplemen.3. postulat pengurangan dari kesamaan.4. diketahui5. sama No. 26. sama No. 37. sifat transitif8. def.kongruensi sudut
TEOREMA 1.4 : jika dua sudut saling berkomplemen pada sudut yang sama,
maka kedua sudut itu kongruen. (bukti seperti teorema 3)
TEOREMA 1.5 : jika dua sudut saling bersuplemen terhadap dua sudut yang
kongruen, maka dua sudut itu kongruen.
TEOREMA 1.6 : Jika dua sudut berkomplemen terhadap dua sudut yang
kongruen, maka keduanya kongruen. (bukti sebagai latihan)
DEFINISI 1.22 : dua sudut bertolak belakang adalah dua sudut sedemikian
hingga kaki-kaki dari sudut itu yang satu merupakan sinar yang
berlawanan dengan kaki-kaki sudut yang lain.
TEOREMA 1.7 : Jika dua sudut saling bertolak belakang, maka keduanya
kongruen. (bukti sebagai latihan)
TEOREMA 1.8a : Jika dua ruas garis kongruen dengan dua ruas garis yang
kongruen, maka keduanya kongruen. (bukti sebagai latihan)
TEOREMA 1.8b : jika dua sudut kongruen dengan dua sudut yang kongruen,
maka kedua sudut itu kongruen. (bukti sebagai latihan)
Diketahui :ABD bersuplemen terhadap 1EFG bersuplemen terhadap 21 2Buktikan :ABD EFG(sebagai Latihan)
2. Geometri Euclid
1. Struktur Geometri Euclid
Pertama, Pandang ruang ∑ sebagai himpunan titik, sehingga titik-titik di ruang merupakan
unsur-unsur dari ∑. Kemudian, Pandang juga ruang ∑ dapat berupa himpunan garis-garis Γ
atau himpunan bidang-bidang Ω. Jadi himpunan unsur-unsur dari himunan ∑, Γ dan Ω
masing-masing disebut dengan titik-titik, garis-garis dan bidang-bidang. Selanjutnjya, Dari
himpunan berbentuk ∑, Γ ,Ω letakkan aturan-aturan relasi diantara anggota-anggota ∑,
anggota-anggota dari Γ dan anggota-anggota Ωmenurut aksioma-aksioma berikut:
a1¿ .aksioma insidensi;
a2¿ .aksioma keantaraan (tanpa perhatikan letak) dan urutan (memperhatikan letak);
a3¿ .aksioma kekongruenan
a4 ¿ .aksioma kekontinuan (Archimedes);
a5¿ .aksioma kesejajaran Euclid.
Himpunan berbentuk ∑, Γ ,Ω beserta sistem aksioma yang melibatkan kelima aksioma
tersebut, yaitu [∑, Γ ,Ω , a1, a2, a3, a4,a5 ] disebut Struktur Geometri Euclid.
1. Beberapa Aksioma Dasar
a. Aksioma-aksioma insidensi
Aksioma 2.1 : Jika ada dua titik berbedadan tidak segaris, maka ada tepat satu garis yang
memuat titik tersebut.
Aksioma 2.2 : Jika ada tiga titik berbeda dan tidak segaris, maka da tepat satu bidang yang
memuat ketiga titik tersebut.
Aksioma 2.3 : Jika dua titik berbeda terletak pada suatu bidang, maka garis yang memuat
kedua titik tersebut terletak pada bidang.
Aksioma 2.4 : Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah garis.
Aksioma 2.5 : Setiap garis sedikitnya memuat dua titik, setiap bidang sedikitnya memuat
tiga
titik yang tidak segaris dan setiap ruang memuat sedikitnya empat titik yang
tidak
sebidang.
Postulat 2.1 : Sebuah garis dapat diperpanjang sejjauh-jauhnya dari kedua ujungnya.
Postulat 2.2 (Postulat Jarak):
a) Jarak setiap dua titik di ∑ merupakan fungsi terhadap R.
b) Jarak setiap dua titik berharga njon-negatif.
c) Jarak dua titik adalah nol, jika dan hanya jika kedua titik tersebut identik.
d) Jarak terpendek dari dua titik adalah pada suatu garis lurus (diukur menurut jgaris
lurus).
Postulat 2.3 : Pada setiap garis l, titik-titiknya dapat diletakkan suatu korespondendsi 1-1
dngan
bilangan real R.
b. Aksioma-aksioma keantaraan:
Aksioma 2.6 : Jika A dan B dua titik, maka:
a) Terdapat setidaknya satu titik C sehingga C diantara A dan B.
b) Terdapat setidaknya satu titik D sehingga B diantara A dan D.
c) Terdapat setidaknya satu titik E sehingga A diantara B dan E.
Aksioma 2.7: Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka A, B dan C
berbeda dan terletak pada satu garis (kolinear).
Aksioma 2.8: Jika A, B dan C suati titik sehingga B diantara A dan C, maka B diantara C dan A.
Aksioma 2.9: Jika A, B dan C tiga titik kolinear, maka tepat satu dari tiga keadaan benar:
a) B diantara A dan C
b) C diantra A dan B
c) A diantara B dan C.
Catatan: istilah keaantaraaan merupakan primitf, karena itu tidak didefinisikan.
3. Kekongruenan Segmen Garis dan Sudut.
Definisi 3.1: Segmen (ruas) garis AB dinotasikan AB adalah himpunan titik-titik dari aris yang
memuat titik A dan titik B dan semua titik diantara titik A dan titik B.
Definisi 3.2: Sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari titik pangkal
sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya.
A B
Gambar dibawah ini contoh sinar AB yang dinotasikan AB.
Definisi 3.3 : Sudut adalah himpunan titik-titik dari gabungan dua sinar yang kedua titik
paangkaalnya berserikat, tetapi tdak terletak pada garis yang sama.
Pada gambar di atas dapat dituliskan sudut-sudut yang sama: ∠ ACE , ∠ECA atau ∠BCE.
Titik C disebut titik sudut, sedangkan sinar sinar CE dan CA merupakan kaki sudut.
Postulat 3.1 (Postulat Ukuran Sudut):
a) Ukuran sudut merupakan fungsi dari himpunan sudut ke himpunan bilangan real R.
b) Untuk setiap ∠ A, maka ukuran sudut ∠ A, yaitu u∠ A, terletak diantara 0 dan 180.
c) Untuk setiap sinar AB atau garis AB dan setiap bilangan r diantara 0 dan 180 ada
tepat satu sinar AP sehingga u∠PAB=r.
Definisi 3.4: garis bagi (bisektor) dari ruas garis adalah garis yang memotong ruas garis pada
titik tengahnya.
AB bisektor CD, maka B titik tengah CD. Karena B titik tengah CD, maka uCD = uBD.
Dengan demikian CB ≅ BD.
4. Kekongruenan Segitiga.
Definisi 4.1: Suatu jhimpunan S adalah himpunan konveks jika setiap dua titik X dan Y di S,
maka segmen garis XY terletak di S.
A B
A
B
CE
A
CB
D
Definisi 4.2: Poligon adalah gabungan himpunan titik-titik P1 ,P2 , P3 ,⋯ , Pn−1 , Pn dengan
ruas-ruas garis: P1P2 , P2P3 , . . . , Pn−1Pn , Pn P1 , sedemikian sehingga jika dua sebarang
dari ruas garis berpotongan, bertitik potong salah satu dari titik P1 ,P2 , P3 ,⋯ , Pn−1 , Pn dan
tidak ada titik lain. Poligon konveks adalah poligon yang masing-masing sudutnya lebih kecil
dari sudut lurus.
Definisi 4.1: Dua poligon adalah kongruen, jika ada korespondensi 1-1 diantara titik-titiknya
sedemikian sehingga
a. semua sis yang berkorespondensi kongruen
b. semua sudut yang berkorespondensi kongruen
Definisi 4.2: Segitiga adalah poligon bersisi tiga.
Postulat 4.1: Dua segitiga adalah kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik
sudut-
titik sudutnya sedemikian sehingga dua sisi dan sudut apitnya dari sebuah
segitiga kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga
kedua.
(Postulat S-Sd-S).
Teorema 4.1: Dua segitiga adalah kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik
sudut-
titik sudutnya sedemikian sehingga dua sudut dan sisi apitnya dari sebuah
segitiga
kongruean terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga yang
kedua.
(Teorema Sd-S-Sd).
Teorema 4.2: Dua segitiga adalah kongruen jika terdapat korespondensi diantara titik sudut-
titik
sudutnya, ketiga sisi pada segitiga adalah kongruen terhadap sisi-sisi yang
berkorespondensi pada segitiga yang lain. (Teorema S-S-S).
/
/
/