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Resumen 2° Parcial Teórico Análisis

MatemáticoUNIDAD II: Sucesiones NuméricasLIMITE DE LA SUCESIÓN

Para todo épsilon (una cantidad pequeña y mayor que cero) existe un número en función de dicho épsilon perteneciente al campo de los Naturales, tal que para todo n (ubicación de un término en la sucesión) mayor a dicho N(ԑ)

se cumple que el valor absoluta de la diferencia de la sucesión y su límite es menor al épsilon.

En fin, una sucesión tiene límite L o converge hacia L cuando se verifica lo anterior. Cuando una sucesión tiene límite finito L es una sucesión convergente; en cambio, cuando tiene límite infinito, es divergente.

Pero además hay casos en que no existen límites, o sea, cuando la sucesión no tiene límite finito ni infinito, que es el caso de la sucesión oscilante o alternada.

UNIDAD III: Límite de FuncionesConceptos generales. Definición aproximada. Definición estricta

Se dice que la función f(x) se aproxima infinitamente al valor L, o converge, o tiende hacia L, o tiene límite L, al tender x hacia a, y se escribe:

Cuando la diferencia f(x) – L en valor absoluto se hace arbitrariamente pequeña, con tal de tomar suficientemente próximo valor a a.

La definición estricta de límite de una función sería la siguiente:

La cual explica que: para todo épsilon mayor a cero existe un delta en función de dicho épsilon y también mayor que cero, tal que el valor absoluto de la diferencia entre x y a será menor a dicho delta, cuando se cumple que el valor absoluto de la diferencia entre la función en tales valores de abscisa y el

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límite L, es menor a dicho épsilon; siendo L el límite finito de la función cuando x tiende a a.

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Significado geométricoGráficamente esto significa que en la faja horizontal del plano (x;y), que

está comprendido entre los valores y=L-ԑ e y=L+ԑ, están todos los puntos del trozo de gráfica que corresponden al entorno del punto x=x0 (comprendido entre los valores x=x0+ y x=x0-).

Es importante aclarar que en toda definición de límite debe excluirse el punto considerado, y a partir de ahí se pueden plantear los siguientes casos al tratar de determinar el límite de una función en un punto:1.La función tiene límite finito en el punto considerado.2.La función tiende a ±∞ en el punto considerado.3.La función carece de límite en el punto considerado.Propiedades de límites funcionales1.Suma de límites : el límite de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma de los límites de sus términos.

2.Resta de límites : el límite de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de los límites de las funciones.

3.Producto de límites : el límite del producto de un número finito de funciones es igual al producto de los límites de las funciones-factores.

4.Cociente de límites : el límite del cociente de dos funciones es igual al cociente entre el límite del dividendo y el límite del divisor.

Se supone que M≠0. Si L≠0 y M=0, el límite es ±∞; si L=0 y M=0 o si L=∞ y M=∞, el límite es indeterminado, y por ende, debemos salvar dicha indeterminación.5.Límite de una constante : el límite de una constante es la constante misma.

6.Linealidad de límites : el límite de una constante por una función es igual al producto de la constante por el límite de la función.

7.Límite de una potencia : el límite de una potencia es igual a la potencia de su límite.

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InfinitésimosSi se verifica que decimos que F(x) es un infinitésimo en a respecto de x. Si tenemos la función f(x)=x-3 decimos que es infinitésimo cuando x=3.Comparación de infinitésimos

Si partimos de dos infinitésimos y realizamos el cociente de ambos obtenemos una indeterminación del tipo 0/0, y si ahora recurrimos a transformaciones algebraicas, puede ocurrir que:

1. Decimos que estamos en presencia de un infinitésimo

comparado en el entorno a. Podríamos decir también que el numerador y el denominador tienden con la misma velocidad a cero.

2. Es un caso especial del anterior, ya que K=1. Estamos en

presencia de un infinitésimo equivalente.

3. Este es el caso en que “F(x) es un infinitésimo de orden

superior respecto de g(x). En sí, el grado del numerador es mayor que el del denominador.

4. Este es el caso en que “F(x) es un infinitésimo de orden

inferior respecto de g(x). En sí, el grado del numerador es menor que el del denominador.5.Si el cociente cuyo límite es indeterminado del tipo 0/0, carece de límite (caso no muy frecuente), se dice que los infinitésimos no son comparables.Casos de indeterminación de límites

Puede ser un resultado finito o infinito, pero es frecuente que dé una indeterminación, y lo que debemos hacer es salvarla, y para ello hay diversos caminos, pero debe interpretarse que una indeterminación es un obstáculo en la resolución de un límite.

Las indeterminaciones suelen ser del tipo: 0/0, ∞/∞, 0*∞, 00, ∞0, 1∞, ∞-∞, etc.1. Indeterminación del tipo 0/0 cuando x 0

Se resuelve dividiendo numerador y denominador por la variable de menor grado.2. Indeterminación del tipo 0/0 cuando x a

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Si un polinomio entero en x se anula cuando en él se reemplaza a x por a, dicho polinomio es divisible por (x-a). Por ello el numerador y el denominador deben dividirse por (x-a) (aplicamos Ruffini). Si el nuevo resultado obtenido continuara siendo del tipo 0/0 se debería repetir la operación hasta que se salde la indeterminación.3. Indeterminación del tipo ∞/∞ cuando x ∞

Para resolver éste se divide numerador y denominador por la variable de mayor grado.

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4.Límites indeterminados del tipo 0/0 de otros cocientesPor ejemplo, cuando interviene el signo radical. En dicho caso, deberemos

multiplicar y dividir a la función por el conjugado del numerador y/o denominador.5.Límites indeterminados de funciones trigonométricas (MIRAR DESARROLLO)

El número “e”Si tenemos la sucesión

, que es monótona creciente, y desarrollamos el término enésimo por el binomio de Newton (MIRAR DEMOSTRACIÓN), observamos que cada término es igual a 1 sobre el factorial del número anterior a la posición del término correspondiente, multiplicado por 1 menos una constante sobre n, etc.

Si sumamos infinitos términos, la suma da como resultado el número 2,718281828… que es el número e. Por todo ello podemos afirmar que:

Verdadero ValorSi una función para x=a tiene una expresión que en aritmética carece de

significado, pero tiene un límite L cuando xa, tal límite se considera como el verdadero valor de la función en x=a, y se expresa: v.v.f(a).

UNIDAD IV: Funciones continuas y discontinuas. Continuidad-Discontinuidad

Es importante recordar que una función es continua en un punto x=c de un intervalo (a;b) cuando se cumplen simultáneamente las 3 siguientes condiciones:1. f(c)= existe y da un valor finito.2. Existe lo cual se da cuando

3.

Una función es discontinua en dicho punto de dicho intervalo cuando NO se cumpla alguna de las condiciones (al menos una).

Las discontinuidades pueden ser:1.Evitable: existe límite finito, es decir que se cumple la condición 2, pero no existe f(c), es decir que NO se cumple la condición 1. O bien, cuando ambos existen pero son diferentes (no se cumple la condición 3, pero si la 1 y 2).

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2.No Evitable o Esencial:a.De primera especie : Finita: los límites laterales son finitos ambos, pero diferentes entre sí (es decir, que no se cumple la condición 2). Infinita: alguno de los límites laterales -o ambos- son infinitos.

b.De segunda especie : se da cuando al menos uno de los dos límites laterales NO existe.La existencia de un límite finito L como condición de continuidad significa

que la existencia de límites laterales por la derecha y por la izquierda son finitos e iguales.

En una discontinuidad de primera especia finita se llama “salto de la función” en el valor x=c, a la diferencia de los valores de los límites laterales en valor absoluto.

Cuando la discontinuidad es de primera especie infinita en ese punto la función presenta en lugar de un “salto” un “vacío”.

UNIDAD V: Derivada de una función.Definición y conceptos generales

Podemos afirmar que si tenemos una función, y cortamos su gráfica por una secante en los puntos P y Q, y al valor P lo mantenemos fijo y al valor Q lo hacemos coincidir con P tendremos que la secante la transformamos en la tangente. Esa diferencia entre x0 y x1 la llamamos incremento de x (o delta x), y de la misma forma la diferencia entre y0 e y1 la llamamos incremento de y (o delta y). (MIRAR GRÁFICA).

Entonces, podríamos definir a la derivada de una función como la recta tangente a la función en un punto considerado. La pendiente de dicha tangente será la relación /\y//\x. A dicho relación se la denomina razón incremental, y a esos deltas se los suele llamar incremento, y el valor considerado es pequeño.Derivada de la función en un punto

Si consideramos una función y=f(x) finita continua y acotada en el intervalo (a;b) y considerando un punto P de ordenadas (x0;y0) dentro de dicho intervalo, si además tomamos otro punto Q próximo al primero de ordenadas (x1;y1), por lo tanto /\x=x1-x0 y a su vez /\y=y1-y0 y la relación /\y//\x se llama razón incremental, y si a su vez le hacemos tender el límite cuando /\x tiende a cero, esa razón incremental en tales circunstancias recibe el nombre de derivada de la función en el punto P. (MIRAR DEMOSTRACIÓN)

Si observamos la gráfica, podemos ver que la razón incremental es igual al valor de la tangente trigonométrica del ángulo que la tangente geométrica en dicho punto a considerar forma con el eje de abscisas, lo cual es a la vez igual a la pendiente de dicha recta tangente.