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Resumen de formulas de Dinamica de Fluidos
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Mecnica de Fluidos Universidad del Desarrollo
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4. MECANICA DE FLUIDOS Dinmica de Fluidos
El flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado en forma exacta mediante el anlisis matemtico. Contrariamente a lo que sucede con los slidos, las partculas de fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estn sujetos a distintas aceleraciones. Tres principios fundamentales permiten predecir el comportamiento de los fluidos:
a) Principio de conservacin de la masa, a partir del cual se establece la Ecuacin de Continuidad.
b) Principio de la energa cintica, a partir del cual se deducen Ecuaciones de Movimiento aplicables al flujo.
c) Principio de la Cantidad de Movimiento, a partir del cual se deducen ecuaciones para calcular las fuerzas dinmicas ejercidas por fluidos en movimiento.
Adicionalmente, para flujo estacionario de gas ideal se aplican la primera y segunda ley de la Termodinmica. Tipos de Flujo
Flujo Unidimensional: Todos los vectores de velocidad del campo son paralelos, pero no necesariamente iguales. Es decir, son paralelos pero pueden tener diferentes mdulos.
Flujo Laminar: Las partculas de fluido se mueven en capas, sin corrientes transversales ni torbellinos. Este tipo de flujo es gobernado por la ley de viscosidad e Newton, que relaciona el esfuerzo cortante con la rapidez de deformacin angular.
dy
du
En el flujo laminar la accin de la viscosidad amortigua las tendencias a la turbulencia.
Flujo Turbulento: Las partculas de fluido se mueven siguiendo trayectorias muy irregulares que dan lugar a mezcla lateral. El flujo turbulento produce intercambio de cantidades de movimiento que convierte la energa mecnica en calor. Es el tipo de flujo ms frecuente encontrado en aplicaciones de ingeniera.
Flujo Irrotacional: Flujo en fluidos ideales sin viscosidad, que no pueden transmitir tensiones tangenciales.
Flujo a Rgimen Permanente: Las propiedades del fluido y las condiciones del
movimiento no cambian con el tiempo: 0t
u
Adems, en flujo a rgimen permanente no hay cambio en la densidad , presin p o temperatura T con el tiempo en cualquier punto:
0t
T ; 0
t
p ; 0
t
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En el flujo turbulento, debido al movimiento al azar de las partculas fluidas, siempre se presentan pequeas fluctuaciones en un punto, pero la velocidad temporal media no cambia
en el tiempo: t
0
t udtt
1u
t: tiempo ut: velocidad temporal media u: velocidad
Flujo Uniforme: Tiene lugar cuando el mdulo, la direccin y el sentido de la velocidad
no varan de un punto a otro del fluido: 0s
u
; s: espacio
Un ejemplo es un lquido que fluye a travs de una tubera recta de seccin constante.
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Principio de conservacin de la Masa
Este principio indica que la que la masa no puede ser creada ni destruida.
Los flujos de entrada, salida y cambios de masa deben estar en equilibrio y los cambios de masa de una sistema se puede expresar por:
dM = i vi Ai dt - o vo Ao dt (1)
donde dM = cambio en la masa almacenada del sistema (kg) = densidad (kg/m3) v = velocidad (m/s) A = rea (m2) dt = incremento de tiempo (s)
Si el fluye de salida es mayor al de entrada - el cambio en la masa dM es negativa - y la masa en el sistema disminuye. Obviamente - la masa en un sistema aumenta si el flujo de entrada es mayor al flujo de salida. El Principio de conservacin de la Masa es un fundamento en mecnica de fluidos y una base de la Ecuacin de Continuidad y la ecuacin de Bernulli.
Ejemplo - Principio de conservacin de la Masa
Agua con una densidad de 1000 kg/m3 fluye a un estanque por una caera de dimetro interno 50 mm. La velocidad en la caera es 2 m/s. El agua fluye fuera del estanque por una caera de dimetro interno 30 mm con una velocidad de 2,5 m/s.
Usando la ecuacin (1) el cambio en el contenido del estanque despus de 20 minutos se puede calcular como:
dM = (1000 kg/m3)(2 m/s)(3,14 x 0,05 (m) x 0,05 (m) / 4)(20 x 60 s)
- (1000 kg/m3)(2,5 m/s)(3,14 x 0,03 (m) x 0,03 (m) / 4)(20 x 60 s)
= 2590,5 kg
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Ecuacin de Continuidad
La Ecuacin de Continuidad es una continuacin del principio de conservacin de masa.
La ley de conservacin de masa indica que la que la masa no puede ser creada ni destruida. Usando esta ley en flujos, indica que la razn de flujo no puede cambiar en el tiempo.
aplicaciones comunes donde se usa la Ecuacin de Continuidad es en caeras, tubos y ductos donde fluyen fluidos y gases, ros, logstica en general, caminos, circuitos computacionales, etc. La Ecuacin de Continuidad se puede expresar como:
m = i1vi1Ai1 + i2vi2Ai2 +..+ invinAim = o1vo1Ao1 + o2vo2Ao2 +..+ omvomAom (1)
donde
m = flujo msico (kg/s) = densidad (kg/m3) v = velocidad (m/s) A = rea (m2)
Con densidad constante la ecuacin (1) se puede modificar a:
q = vi1Ai1 + vi2Ai2 +..+ vinAim = vo1Ao1 + vo2Ao2 +..+ vomAom (2)
donde q = flujo volumtrico (m3/s) i1 = i2 = . . = in = o1 = o2 = . .= om
Ejemplo - Ecuacin de Continuidad
10 m3/h de agua fluyen por una caera de 100 mm de dimetro interno. La caera se reduce a una dimensin interna de 80 mm. Usando (2), la velocidad en la caera de 100 mm se calcula como:
(10 m3/h)(1/3600 h/s) = v100 (3,14 x 0,1 (m) x 0,1 (m) /4)
v100 = (10 m3/h)(1/3600 h/s) / (3,14 x 0,1 (m) x 0,1 (m) /4) = 0,35 m/s
Usando (2), la velocidad en la caera de 80 mm se calcula como:
(10 m3/h)(1/3600 h/s) = v80 (3,14 x 0,08 (m) x 0,08 (m) /4)
v100 = (10 m3/h)(1/3600 h/s) / (3,14 x 0,08 (m) x 0,08 (m) /4) = 0,55 m/s
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Ecuacin de Movimiento (Flujo a rgimen permanente)
En una lnea de corriente las componentes de las fuerzas que actan sobre una partcula de fluido en la direccin de su movimiento, deben ser iguales a la masa de la partcula multiplicada por la aceleracin a lo largo de la lnea (Segunda Ley de Newton). Se asume un flujo irrotacional.
s: trayectoria de la partcula de fluido por la lnea de corriente.
Fs sasAg
cossAAsds
dppAp
dividiendo por As y simplificando se tiene: 0g
acos
ds
dp1 s
Por otra parte: ds
dzcos
s
z
y
ds
duu
ds
ds
dt
du
dt
duas
Luego se tiene: 0ds
du
g
u
ds
dz
ds
dp1
multiplicando por gds y teniendo en cuenta que = g, se tiene:
0udugdzdp
0udugdzdpg
integrando la ecuacin diferencial se tiene la ecuacin de la energa para flujo en rgimen permanente e irrotacional:
.cte
dp
2
ugz
2
La constante de integracin vara de una lnea de corriente a otra, pero es invariable a lo largo de cada una de ellas.
Para resolver la integral dp
debe conocerse en funcin de p.
pA
s
z
As
z
Asds
dpp
s
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Si el fluido es incompresible entonces = cte., por lo que la ecuacin queda:
ctep
2
ugz
2
Ecuacin de BERNOULLI para flujo en rgimen permanente, irrotacional e incompresible en unidades de energa por unidad de masa. Si la ltima ecuacin se divide por g se tiene la ecuacin de Bernoulli en unidades de energa por unidad de peso, la que es til para su aplicacin a problemas de lquidos con
superficie libre: ctep
g2
uz
2
Si esta se multiplica por se tiene una forma de la ecuacin de Bernoulli til para aplicaciones a problemas de gases incompresibles.
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Ecuacin de la Energa Mecnica
La Ecuacin de Energa es la base de la primera ley de termodinmica. La ecuacin de la energa involucra energa, transferencia de calor y trabajo. Con ciertas limitaciones la ecuacin de energa mecnica puede compararse a la ecuacin de Bernoulli.
Ecuacin de la Energa Mecnica en trminos de Energa por Unidad Masa
La ecuacin de energa mecnica para bombas y ventiladores pueden escribirse en trminos de energa por unidad masa:
pin / + vin2 / 2 + g hin + wshaft = pout / + vout
2 / 2 + g hout + wloss (1)
donde
p = presin esttica = densidad v = velocidad flujo g = aceleracin de gravedad h = altura de elevacin wshaft = energa especfica en por unidad masa para bombas, ventiladores o
similares wloss = perdida debido a friccin
La ecuacin de energa mecnica generalmente es usada en problemas de fluidos incompresibles es llamada Ecuacin de la Energa Mecnica o la Ecuacin Extendida de Bernoulli. La ecuacin de energa mecnica para turbinas se puede escribir como:
pin / + vin2 / 2 + g hin = pout / + vout
2 / 2 + g hout + wshaft + wloss (2)
donde
wshaft = energa especfica en por unidad masa para turbinas o similares
Ecuacin (1) y (2) tiene unidades de energa por unidad masa (ft2/s2 = ft.lb/slug o m2/s2 = N.m/kg)
Eficiencia
De acuerdo a (1) y un mayor aumento de perdidas - wloss resulta en un mayor trabajo requerido para obtener la misma energa de salida. La eficiencia de una bomba o ventilador se puede expresar como:
= (wshaft - wloss) / wshaft (3)
La eficiencia de una turbina puede expresar como:
= wshaft / (wshaft + wloss) (4)
Ecuacin de la Energa Mecnica en trminos Energa por Unidad Volumen
La ecuacin energa mecnica para una bomba o ventilador (1) puede escribirse en trminos de energa por unidad volumen multiplicando (1) por la densidad del fluido - :
pin + vin2 / 2 + hin + wshaft = pout + vout
2 / 2 + hout + wloss (5)
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donde
= g = peso especfico
La ecuacin (5) tiene unidades de energa por unidad volumen (ft.lb/ft3 = lb/ft2 o N.m/m3 = N/m2)
Ecuacin de la Energa Mecnica en trminos de Energa por Unidad peso incluyendo altura
La ecuacin de energa mecnica para una bomba o ventilador (1) puede escribirse en trminos de energa por unidad peso dividiendo por la gravedad - g:
pin / + vin2 / 2 g + hin + hshaft = pout / + vout
2 / 2 g + hout + hloss (6)
donde
= g = peso especfico hshaft = wshaft / g = energa neta de altura por unidad de masa hloss = wloss / g = perdida debido a friccin
Las unidades de la ecuacin (6) son energa por unidad peso (ft.lb/lb = ft o N.m/N = m). Altura es la energa por unidad peso.
hshaft puede escribirse como:
hshaft = wshaft / g = Wshaft / m g = Wshaft / Q (7)
donde
Wshaft = potencia m = flujo msico Q = flujo volumtrico
Ejemplo Bombeo de agua
Agua es bombeada de un estanque abierto a nivel cero a un estanque abierto a nivel 10 ft. La bomba agrera 4 hp al sistema cuando se bombea 2 ft3/s.
Como vin = vout = 0, pin = pout = 0 y hin = 0 - la ecuacin (6) puede modificarse a:
hshaft = hout + hloss o hloss = hshaft - hout (8)
La ecuacin (7) da:
hshaft = Wshaft / Q = (4 hp)(550 ft.lb/s/hp) / (62.4 lb/ft3)(2 ft3/s) = 17.6 ft
62.4 lb/ft3 1 hp (Potencia Inglesa) = 550 ft. lb/s
Combinada con (8):
hloss = (17.6 ft ) - (10 ft) = 7.6 ft
La eficiencia de la bomba puede calcularse de (3), modificada para altura:
= ((17.6 ft) - (7.6 ft)) / (17.6 ft) = 0.58
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La Ecuacin de Bernoulli
El estado de conservacin de energa es una forma usada para resolver problemas de fluidos. Para fluidos no viscosos, incomprensibles en flujo estacionario, la suma de energa de presin, potencial y cintica por unidad de volumen es constante en todo punto.
Una forma especial derivada de la ecuacin de Eulers a lo largo de la lnea de corriente es llamada Ecuacin de Bernoulli:
02
2
hg
pv
s (1)
donde v = velocidad fluido p = presin = densidad g = aceleracin de gravedad h = altura
Constante2
2
hgpv
(2)
Constante2
2
hg
p
g
v
(3)
donde = g
Constante2
2
pv
(4)
4
2
2p
v
(5)
Constante22
2
22
1
21
p
vp
v (6)
Para flujos de estados estacionarios incomprensible la ecuacin de Euler es (1). Si integramos (1) a lo largo de la lnea de corriente es (2). (2) puede ser modificada a (3) dividiendo por la gravedad.
Altura de Flujo
Ecuacin (3) esta generalmente referida a altura porque todos los elementos tienen unidades de largo.
Presin Dinmica
(2) y (3) son dos formas de la Ecuacin de Bernoulli para flujos incomprensibles. Si asumimos que las fuerzas gravitacionales son despreciables, (3) puede ser escrito como (4).
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Ambos elementos en la ecuacin tienen unidades de presin y es comn referirse a la componente de velocidad de fluye como la dinmica presin (5). Como la energa se conserva a lo largo de la lnea de corriente, (4) puede ser expresado como (6). Usando la ecuacin se observa que aumentando la velocidad se reduce la presin, y disminuyendo la velocidad se aumenta la presin. Este fenmeno puede ser observado en un flujometro venturi donde la presin es reducida en una constriccin de rea y luego recuperada. Tambin puede observarse en un tubo pitot donde la presin esttica es medida. La presin esttica es donde la componente de velocidad es cero. Cada trmino del Bernoulli es una forma de energa:
a) z, Energa de Posicin: Energa potencial del fluido por unidad de peso, medida a partir de un origen arbitrario. Corresponde al trabajo necesario para elevar una masa de W (kg) desde el origen a la altura z, es Wz (kgfm), que es una energa potencial. Por lo tanto, la energa potencial por kgf es:
(m) zW
Wz
b)
p, Energa de Presin: El trabajo que un fluido es capaz de realizar en virtud de su
presin:
W
W
z
origen
dl h = cte
pA
F
a) Rgimen Permanente
h = cte
pA
b) Sistema Cerrado
Tapn
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En la figura a el pistn es empujado por la fuerza debido a la presin del fluido pA (donde A es el rea del pistn) y se desplaza una distancia dl contra la fuerza resistente F, realizando un trabajo pAdl (kgfm). La fuerza necesaria para realizar el trabajo es dlA, ya que es la cantidad de fluido que ser devuelta por el pistn al estanque para regresar a su posicin original para luego repetir el ciclo. Por lo tanto, el trabajo por unidad de peso, el cual corresponde a la altura de presin es: (Slo para fluido en movimiento)
p
Adl
pAdl (m)
En un sistema cerrado como b se puede dar un gran valor de p/ si el tapn se aprieta fuertemente, sobre todo si el fluido es incompresible, pero el liquido es incapaz de realizar mucho trabajo, porque la presin cae rpidamente cuando el desplazamiento del tapn aumenta el volumen del sistema.
c) u2/2g, Energa de Velocidad: Energa cintica de un elemento de fluido es mu2/2 y m = W/g, donde W es el peso del fluido. Luego, por unidad de peso se tiene la altura de velocidad:
g2
u
W2
u)g/W( 22 (m)
Bernoulli: La suma de las energas cintica, potencial y de presin por unidad de peso permanece constante a lo largo de una lnea de corriente.
Ejemplo - Ecuacin de Bernoulli de Flujo de un Estanque por un Orificio pequeo
Liquido fluye de un estanque por un orificio cercano a piso. La Ecuacin de Bernoulli puede ser adaptada a la lnea de corriente de la superficie (1) al orificio (2) como (e1):
Constante22
2
22
1
21
p
vp
v
donde
h = h1 h2
2
1
21 V
A
AV
(e2)
hgpp
A
AV
21
21
22
2
1
2 (e3)
hgV 22 (e5)
hgcV 21 (e5b)
W u
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212
2 ppV
(e6)
Como la altura de (1) y (2) referida como en (e2), la ecuacin de continuidad puede ser expresada como (e3), es posible transformar (e1) en (e4).
Estanque Venteado
Un caso especial de inters de la ecuacin (e4) es cuando el rea del orificio es mucho menor que el rea de la superficie y cuando la presin dentro y fuera del estanque es la misma - cuando el estanque tiene una superficie abierta o "venteada" a la atmsfera. En esta situacin (e4) puede transformarse a (e5). "La velocidad de salida de estanque es igual a la velocidad de un cuerpo libre cayendo una distancia h." tambin conocido como Teorema de Torricelli's.
Ejemplo - velocidad de salida de un estanque venteado
h = 10 m V2 = [2 x 9.81 x 10]
1/2 = 14 m/s
Estanque Presurizado
Si el estanque es presurizado as que el producto de la gravedad por la altura (gh) es mucho menor que la diferencia de presin dividido por la densidad, (e4) puede ser transformada a (e6). La velocidad de salida del estanque depende generalmente de la diferencia de presin.
Ejemplo - velocidad de salida de un estanque presurizado
h = 10 m/s, p1 = 0.2 MN/m2, p2 = 0.1 MN/m
2 A2/A1 = 0.01, h = 10 m V2 = [(2/(1-(0.01)
2) ((0.2 - 0.1)x106 /1x103 + 9.81 x 10)]1/2 = 19.9 m/s
Coeficiente de Descarga - Coeficiente de Friccin
Debido a friccin, la velocidad real va a ser menor a la teora de estos ejemplos. Si introducimos el coeficiente de friccin c (coeficiente de descarga), (e5) puede ser expresado como (e5b).
El coeficiente de descarga puede ser determinado experimentalmente. Para aberturas de cantos afilados es cercano a 0.6. Para cantos lisos puede estar entre 0.95 y 1.
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La Energa y Lnea Hidrulica La calidad hidrulica y la lnea de energa son formas grficas de la ecuacin de Bernoulli.
La Ecuacin de Bernoulli
Para flujos estacionarios e incomprensibles, la energa total a lo largo de la lnea de corriente se mantiene constante y es expresado por la Ecuacin de Bernoulli:
p + 1/2 v2 + h = constante a lo largo de la lnea de corriente (1)
donde
p = presin esttica (relativa al fluido en movimiento) = densidad = peso especifico v = fluye velocidad g = aceleracin de gravedad h = altura de elevacin
Cada trmino de esta ecuacin tiene unidades de fuerza por unidad de rea - psi, lb/ft2 o N/m2. La Altura
Dividiendo cada trmino por el peso especifico - = g - (1) puede ser transformada y expresada en "altura":
p / + v2 / 2 g + h = constante a lo largo de la lnea de corriente = H (2)
donde
H = altura total
Cada trmino de esta ecuacin tiene unidades de largo - ft, m. La Altura Total
El estado (2) es la suma de la altura presin - p / -, altura velocidad - v2 / 2 g - y altura de elevacin - h - es constante a lo largo de la lnea de corriente. Esta constante se llama altura total - H -. La altura total en un flujo puede ser medida por la presin esttica usando un tubo pitot. La Altura Piezomtrica
La suma de la altura de presin - p / y la altura de elevacin - h - es llamada altura piezomtrica. La altura piezomtrica en un flujo puede en una pequea abertura paralela al flujo. La lnea de Energa
La lnea de Energa es la lnea que representa la altura total disponible del fluido y puede be expresado como:
EL = H = p / + v2 / 2 g + h = constante a lo largo de la lnea de corriente (3)
donde
EL = Lnea de Energa
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Para un flujo sin perdidas debido a friccin (perdidas regulares) o componentes (perdidas singulares) la lnea energa tiene un nivel constante. En el mundo practico la lnea energa disminuye a lo largo del flujo debido a las perdidas. Una turbina en un flujo va a reducir la lnea de energa y una bomba o ventilador va a aumentar la lnea de energa. La lnea hidrulica (Hydraulic Grade Line)
La lnea hidrulica es la lnea que representa la total altura disponible del fluido menos la altura de velocidad y puede ser expresada como:
HGL = p / + h (4)
donde
HGL = Lnea hidrulica (Hydraulic Grade Line)
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El nmero de Reynolds Una combinacin de variables para estudiar el flujo de fluidos viscosos es el llamado nmero de Nmero de Reynolds. El nmero de Reynolds es importante para analizar todo tipo de flujo cuando hay sustanciales campos de gradientes de velocidad. El nmero de Reynolds indica el efecto relativo de la viscosidad comparado con la de inercia. El nmero de Reynolds es proporcional a la fuerza de inercia dividido por las fuerzas viscosas. El nmero de Reynolds se expresa como:
vvRe
LL (1)
donde
L = largo caracterstico = densidad v = velocidad flujo = viscosidad dinmica = viscosidad cinemtica
Nota: Para una caera o ducto circular el largo caracterstico es el dimetro.
El flujo es
laminar si Re < 2300 transiente si 2300 < Re < 4000 turbulento si 4000 < Re
Es importante conocer si el flujo es laminar, transiente o turbulento cuando se calcula transferencia de calor o perdidas de presin.
Flujo Laminar
Flujo laminar generalmente ocurre en caeras pequeas y en bajas velocidades de flujo. Este flujo puede visualizarse como una serie de cilindros lquidos en la caera, donde la parte interna tiene mxima velocidad y la parte cercana a la pared casi no se mueve. El esfuerzo en flujo laminar es independiente de la densidad , y el esfuerzo depende siempre slo de la viscosidad .
Flujo Turbulento
En flujo turbulento, vrtices, remolinos y estelas hacen el flujo impredecible. Flujo turbulento ocurre generalmente a altos flujos y/o en caeras largas. El esfuerzo para flujo turbulento es una funcin de la densidad .
Flujo Transiente
Flujo Transiente es una mezcla de flujo laminar y turbulento, con turbulencia en el centro de la caera, y flujo laminar cercano a la pared. Cada flujo tiene diferentes valores en trminos de perdida de energa friccional, y tiene diferentes ecuaciones para predecirlo.
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Ejemplo Calculo del nmero de Reynolds - Unidades SI
Un fluido Newtoniano tiene una viscosidad dinmica de 0.38 Ns/m2 y una gravedad especfica de 0.91 y fluye por una caera de 25 mm de dimetro con una velocidad de 2.6 m/s.
La densidad del fluido es calculada con la gravedad especifica:
densidad = 0.91 x 1000 kg/m3 = 910 kg/m3
El nmero de Reynolds se calcula con la ecuacin (1):
Re = ( 910 kg/m3 2.6 m/s 25 mm 10-3 m/mm ) / 0.38 Ns/m2 = 156 (kgm/s2)/N
Re = 156 < 2300 ~ flujo Laminar
como 1 N = 1 kgm/s2
Dimetro hidrulico y equivalente
Dimetro Hidrulico
El dimetro hidrulico dh es diferente al dimetro geomtrico en ductos o caeras no circulares y puede calcularse de la ecuacin:
dh = 4 A / P (1)
donde: dh = dimetro hidrulico (m, in) A = rea o seccin del ducto (m2, in2) P = permetro mojado del ducto (m, in)
Ejemplo - Dimetro Hidrulico de Tubo o Ducto Circular
Basado en ecuacin (1):
dh = 4 r2 / 2 r = 2 r (2)
El dimetro hidrulico en una caera circular es 2 veces el radio.
Ejemplo - Dimetro Hidrulico de Tubo Circular con Tubo Circular interno
Basado en ecuacin (1):
dh = 4 ( ro2 - ri
2) / (2 ro + 2 ri) = 2 (ro - ri) (3)
donde
ro = radio interno del tubo externo (m, in) ri = radio externo del tubo interno (m, in)
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Dimetro Hidrulico para Tubos o Ductos Rectangulares
Basado en ecuacin (1), el dimetro hidrulico para ducto o caera rectangular puede ser calculado por la expresin:
dh = 2 a b /(a + b) (4)
donde
a = ancho del ducto (m, in) b = alto del ducto (m, in)
Dimetro Equivalente
El dimetro equivalente se usa para estimar la perdida de presin en un ducto o caera no circular con tablas o nomogramas realizados para ductos o caeras circulares.
Dimetro Equivalente para Tubos o Ductos Circulares
Para tubos circulares el dimetro equivalente es el mismo que el dimetro hidrulico y es el mismo que el dimetro standard.
Dimetro Equivalente para Tubos o Ductos Rectangular
El dimetro equivalente para a tubo o ducto rectangular se expresa por:
de = 1.3 (a b)0.625 / (a + b)0.25
donde
a = ancho del ducto (m, in) b = alto del ducto (m, in)
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Perdida Total de Presin o Altura en Sistemas de Caeras o Ductos Perdida regulares y singulares en sistemas de caeras, tubos y ductos La perdida de altura en un sistema de caera, tubo o ducto, es la misma que las producidas por la friccin en la caera o ducto de largo es igual al de la caera ms la suma de los largos equivalentes de todos los componentes (fittings) del sistema. Esto puede ser expresado como:
hperdida = hregulares_perdidas + hsingulares_perdidas (1)
donde
hperdida = perdida total de altura en el sistema de caera o ducto hregulares_perdidas = perdida regulares debido a friccin en caera o ducto hsingulares_perdidas = perdida singulares debido a componentes del sistema
Perdida Altura Regulares - perdida altura o presin - debido a friccin en caeras y ductos.
Perdida Altura Singulares - perdida altura o presin - debido a componentes como vlvulas, codos, tees, etc., del sistema.
Sumatoria de Perdidas Regulares
La perdida altura regulares para caeras o ductos puede ser expresada como:
hregulares_perdida = (l / dh) (v2 / 2 g) (2)
donde
hperdida = altura perdida (m, ft) = coeficiente friccin l = largo del ducto o caera (m) dh = dimetro hidrulico (m) v = velocidad fluyo (m/s, ft/s) g = aceleracin de gravedad (m/s2, ft/s2)
Sumatoria de Perdidas Singulares
La perdida de altura singulares puede ser expresada como:
hsingulares_perdida = v2/ 2 g (3)
donde
= coeficiente perdida singulares
Dado que la velocidad v en la ecuacin (2) en general esta relacionada con la caera o ducto donde el componente esta localizado, la suma de las perdidas singulares en la caera o ducto puede ser expresado como:
hsingulares_perdidas = (v2/ 2 g) (3)
Las perdidas singulares pueden ser calculadas sumando los coeficientes de perdida singulares y multiplicando la suma por la altura o presin dinmica.
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Perdida Altura Total en una Caera o Ducto simple
La perdida altura total en una caera puede ser calculada usando la ecuacin (1) y (3):
hperdida_single = (l / dh) (v2 / 2 g) + v2/ 2 g (4)
hperdida_single = ( (l / dh) + ) (v2/ 2 g) (5)
Perdida Altura Total en Caeras Conectadas en serie
La perdida altura total en varias caeras conectadas en seria puede ser calculada aadiendo perdida de altura total en cada caera o ducto. La perdida altura total puede ser expresada como:
hperdida_serial = [(1 (l1 / dh1) + 1) (v12/ 2 g) + .. + n (ln / dhn) + n) (vn
2/ 2 g)] (6)
para 1 a n caeras conectadas en serie
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Perdida Regulares en Ductos o Tubos Perdida Regulares - altura perdida o presin perdida - debido a friccin en caeras o ductos.
Presin y Perdida Presin
De acuerdo con la Ecuacin de Energa de un fluido, la energa total es la suma de la energa de elevacin, energa de velocidad y energa de presin. La Ecuacin de Energa puede ser expresada como:
p1 + v12 / 2 + g h1 = p2 + v2
2 / 2 + g h2 + pperdida (1)
donde
p = presin del fluido (Pa (N/m2), psi (lb/ft2)) pperdida = perdida de presin (Pa (N/m
2), psi (lb/ft2)) = densidad del fluido (kg/m3, slugs/ft3) v = velocidad del flujo (m/s, ft/s) g = aceleracin de gravedad (m/s2, ft/s2) h = elevacin (m, ft)
Para flujo horizontal estacionario v1 = v2 y h1 = h2, y (1) puede ser transformada a:
pperdida = p1 - p2 (2)
La perdida de presin es dividida en perdidas regulares debido a friccin y perdidas singulares debido a cambios de velocidad en codos, vlvulas y similares. La perdida de presin en caeras y tubos depende de la velocidad del flujo, el largo y dimetro de la caera o ducto y al factor de friccin basado en la rugosidad de la caera o ducto. La perdida de presin en un tubo o ducto debido a friccin (perdida regulares), puede ser expresado como:
pperdida = (l / dh) ( v2 / 2) (3) frmula de Darcy-Weisbach
donde
pperdida = perdida presin (Pa, N/m2)
= coeficiente de friccin l = largo del ducto o caera (m) dh = dimetro hidrulico (m)
(3) es llamada la Ecuacin de Darcy-Weisbach y es valida para flujo plenamente desarrollado, estacionario, flujo incomprensible.
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El Coeficiente de Friccin
El factor o coeficiente friccin depende si el flujo es laminar, transiente o turbulento y de la rugosidad del tubo o ducto. El coeficiente de friccin puede ser calculado con la Ecuacin de Colebrooke o usando el Diagrama de Moody.
El Coeficiente de friccin en flujo Laminar
En un flujo laminar la rugosidad del ducto o caera puede ser despreciable. El coeficiente de friccin depende slo del Nmero de Reynolds Re y puede ser expresado como:
= 64 / Re (7)
donde
Re = nmero adimensional de Reynolds
El Coeficiente de friccin en flujo Transiente
Si el flujo es transiente 2300 < Re < 4000 y el flujo vara entre laminar y turbulento, no es posible determinar el coeficiente de friccin.
El Coeficiente de friccin en flujo Turbulento
Para flujo turbulento el coeficiente de friccin depende del Nmero de Reynolds y de la rugosidad de la pared del ducto o caera. Una forma funcional puede ser expresada como:
= f( Re, / dh ) (8)
donde
= rugosidad relativa de la pared de tubo o ducto (mm, ft) / dh = razn rugosidad
La Rugosidad Relativa para materiales es determinada experimentalmente.
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La Rugosidad de algunos materiales comunes son:
Superficie Rugosidad -
millimetros pies
Cobre, Plomo, bronce, Aluminio (nuevo)
0,001 - 0,002 3,33 - 6,7 10-6
Caeras PVC y Plstica 0,0015 - 0,007 0,5 - 2,33 10-5
Acero inoxidable 0,015 5 10-5
Caera acero comercial 0,045 - 0,09 1,5 - 3 10-4
Acero forjado 0,015 5 10-5
Acero soldado 0,045 1,5 10-4
Acero galvanizado 0,15 5 10-4
Acero oxidado (corrosin) 0,15 - 4 5 - 133 10-4
Hierro nuevo 0,25 - 0,8 8 - 27 10-4
Hierro pulido 0,8 - 1,5 2,7 - 5 10-3
Hierro oxidado 1,5 - 2,5 5 - 8,3 10-3
Hierro Laminado 0,01 - 0,015 3,33 - 5 10-5
Cemento liso 0,3 1 10-3
Concreto normal 0,3 - 1 1 - 3,33 10-3
Concreto muy rugoso 0,3 - 5 1 - 16,7 10-3
Madera plana o lisa 0,18 - 0,9 6 - 30 10-4
Madera normal 5 16,7 10-3
El coeficiente de friccin puede ser calculado por la Ecuacin de Colebrooke:
1 / 1/2 = -2,0 log10 [ (2,51 / (Re 1/2)) + ( / dh ) / 3,72 ] (9)
Como el coeficiente de friccin esta a ambos lados de la ecuacin y slo se conoce el nmero de Reynolds y la rugosidad, la ecuacin se resuelve por iteracin. Una representacin grfica de la Ecuacin de Colebrooke es el Diagrama de Moody.
Con el diagrama de Moody se puede encontrar el coeficiente de friccin si conocemos el Nmero de Reynolds - Re - y la relacin de Rugosidad - / dh. En el diagrama se puede ver como el coeficiente de friccin depende del nmero de Reynolds para flujo laminar y como el coeficiente de friccin es indefinido para flujo transiente, y como el coeficiente de friccin depende de la relacin de rugosidad para flujo turbulento. Para caeras lisas la razn de rugosidad tiende a cero y el coeficiente de friccin es casi slo dependiente del nmero de Reynolds.
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Ejemplo - Perdida Presin en Ductos de Aire
Aire a 0 oC fluye en ducto galvanizado de 10 m de largo y 315 mm de dimetro y con una velocidad de 15 m/s. El nmero Reynolds es expresado como:
Re = L v / (10)
donde
Re = nmero Reynolds L = largo caracterstico (en este caso L = dh ) v = velocidad = densidad = viscosidad dinmica (absoluta)
Clculo del nmero de Reynolds:
Re = ( 1,23 kg/m3 15 m/s 315 mm 10-3 m/mm ) / 1,79 10-5 Ns/m2 = 324.679 kgm/s2)/N
Re = 324.679 > 4000 ~ flujo Turbulento
Flujo Turbulento indica que la ecuacin de Colebrooks (9) debe ser usada para determinar el coeficiente de friccin . La rugosidad para acero galvanizado es 0,15 mm, la razn de rugosidad puede ser calculada por:
Razn Rugosidad = / dh = 0,15 mm / 315 mm = 4,76 10-4
Usando representacin grfica de la ecuacin de Colebrooks - el Diagrama Moody - el coeficiente friccin puede ser determinado:
= 0,015
Las perdidas regulares para el ducto de 10 m puede se calculado con la Ecuacin de Darcy-Weisbach (3) o (6):
hperdida = ( l / dh ) ( v2 / 2 )
= 0,015 (10 m / 0,315 m) ( 1,23 kg/m3 (15 m/s)2 / 2 )
= 65 Pa (N/m2)
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Perdidas Singulares en Componentes de Caeras o Ductos En componentes como vlvulas, codos, tees, etc., la perdida de altura comnmente se llama perdida singulares. Las perdidas singulares pueden ser significativas comparadas con las perdidas regulares - en caso por ejemplo cuando una vlvula es cerrada.
Perdida Singulares
Cada de Presin o perdida singulares en componentes estn correlacionadas con la presin dinmica puede ser expresado como:
pperdida = 1/2 v2 (1) o hperdida = v
2/ 2 g (2)
donde
= coeficiente perdida singulares pperdida = perdida presin (Pa (N/m
2), psi (lb/ft2)) = densidad (kg/m3, slugs/ft3) v = velocidad flujo (m/s, ft/s) hperdida = perdida altura (m, ft) g = aceleracin de gravedad (m/s2, ft/s2)
El coeficiente de perdida singulares - - tiene valores entre 0 y 1. Para = 0 la perdida singular es cero y para = 1 la perdida singular es igual a la presin dinmica o altura.
Coeficiente de perdida Singulares
El coeficiente de perdida singulares puede ser expresado como:
= pperdida / (1/2 v2) (3) o = hperdida / (v
2/ 2 g) (4)
Las perdidas singulares en componentes dependen principalmente de la construccin geomtrica y del impacto que la construccin tiene en el fluido debido al cambio de velocidad. Las propiedades del fluido - en general expresado con el nmero de Reynolds influyen en las perdidas singulares. La informacin de perdida de altura en componentes es dada en forma adimensional y la informacin esta basada en experimentos.
Largo Equivalente
Las perdida singulares pueden ser convertidas a largo equivalentes de caera o tubo que entregan las mismas perdidas de presin o altura. La perdida de altura puede ser expresada como:
hperdida = (leq / dh) (v2/ 2 g) (5)
= coeficiente friccin leq = largo equivalente de caera o ducto (m, ft) dh = dimetro hidrulico de la caera o tubo (m, ft)
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El largo equivalente puede entonces expresado como:
leq = dh / (6)
La Perdida Total de Altura del sistema de caera, tubo o ducto, es la misma que la producida por el sistema original de caeras, ms la suma de los largos de todos los componentes del sistema.
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Golpe de ariete
El golpe de ariete es un fenmeno de sobrepresin producido por una reduccin brusca de la velocidad del flujo, que en algunos casos puede ser varias veces superior a la presin de operacin normal de la tubera, pudiendo llegar al colapso de sta si no se toman las medidas adecuadas. En caso extremo, el golpe de ariete se produce al cerrarse completamente una vlvula, generndose una detencin del flujo en forma violenta; en estas situaciones, despus de la detencin del flujo, se produce una circulacin en sentido contrario, generndose una componente negativa de presiones, pudindose llegar en caso extremo en algunos materiales, al abollamiento de la tubera como consecuencia de presiones negativas.
La magnitud del golpe de ariete depende de las siguientes variables:
Velocidad del flujo (V): a mayor velocidad, mayor sobrepresin. Tiempo utilizado en la detencin del flujo (t): a menor tiempo, mayor sobrepresin. Longitud involucrada de la tubera (L): a mayor longitud, mayor sobrepresin. Grado de deformabilidad de la tubera: a mayor deformabilidad, menor sobrepresin.
Este ltimo concepto se materializa en la variable celeridad (), velocidad de propagacin de la onda de sobrepresin, que es caracterstico de cada tipo de tubera.
Se puede determinar la sobrepresin producida por el golpe de ariete, aplicando las frmulas de Michaud y Joukousky, segn la magnitud de tiempo utilizado en la detencin del flujo.
Si
Lt
2 (tiempo ms prolongado de detencin del flujo)
tg
vLh
2 Frmula de Michaud
Si
Lt
2 (tiempo ms reducido de detencin el flujo)
Lh
2Frmula de Joukousky
En que:
t = tiempo de duracin de la maniobra de detencin del flujo (s) L = longitud de la tubera (m) = velocidad de propagacin de la onda de sobrepresin o celeridad (m/s) h = sobrepresin o variacin de presin producida por el golpe de ariete (metros de columna de agua, m.c.a.) v = velocidad de rgimen del flujo (m/s) g = constante de aceleracin de gravedad, 9,81 m/s2
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Medios para atenuar el golpe de ariete a) Depsito de aire:
Consiste en un depsito acoplado a la tubera en el cual hay agua y aire a presin. b) Estanque hidroneumtico:
Se trata de un depsito cilndrico con una membrana llena de nitrgeno en su interior, que acta como cmara de expansin. c) Chimenea de equilibrio:
Consiste en un depsito vertical, cuya seccin puede ser variable, acoplado a la tubera y de altura mayor que la equivalente a la presin que soporte la tubera. d) Ventosas:
Son vlvulas que se ubican en los puntos altos del trazado para evacuar el aire acumulado en la tubera. El aire en los puntos altos puede formar verdaderos bolsones que obstaculizan el flujo, llegando incluso a obstaculizarlo completamente originando graves problemas de prdidas de carga puntuales severas. Por otro lado, tanto la compresin de aire como el desplazamiento brusco de las burbujas generan sobrepresiones que pueden eventualmente causar la rotura de los tubos. e) Vlvulas de seguridad:
Dichos accesorios se usan cuando se admite la cavitacin, ya que se abren automticamente al aumentar la presin. f) Vlvulas de retencin:
Se instalan normalmente en las impulsiones para evitar el vaciado de la tubera a travs de la bomba. Las vlvulas de retencin con by-pass disminuyen el golpe de ariete.
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Ejemplo:
En una tubera de PVC clase 10 de 1.850 metros de longitud que trabaja a 50 m.c.a. de presin, es decir, a la mitad de la presin admisible, y a una velocidad de 1,3 m/s, se realiza una maniobra de cierre de una vlvula en un tiempo de 15 segundos. En este ejemplo se evala la sobrepresin de golpe de ariete de la siguiente manera: Evaluacin si el cierre es rpido o lento:
s 9,7380
18502 s 15
Frmula de Michaud
m.c.a. 32,68 159.,81
1,318502
h
Por lo tanto, con una presin de trabajo de 50 m.c.a. ms una sobrepresin por golpe de ariete de 32,68 m.c.a., se llega a una presin mxima de 82,68 m.c.a., resistiendo perfectamente los 100 m.c.a. que tiene la tubera de PVC clase 10. En el mismo caso anterior, pero suponiendo una detencin del flujo en slo 5 segundos, se tiene:
s 9,7380
18502 s 5
15 Frmula de Joukousky (cierre rpido)
m.c.a. 32,68 159.,81
1,318502
h
Por lo tanto, con una presin de trabajo de 50 m.c.a. ms una sobrepresin por golpe de ariete de 50,36 m.c.a., se llega a una presin mxima de 100,36 m.c.a., sobrepasando levemente la presin admisible de 100 m.c.a. que tiene la tubera de PVC clase 10, por lo que se aprecia que en una situacin como sta, en que el flujo trabaja a una presin igual a la mitad de la presin admisible de la tubera, con un cierre brusco de la vlvula, se puede sobrepasar la presin admisible de sta. De todos modos, la tubera de PVC tiene grados de seguridad bastante holgados, evitando que se comprometa su estructura. La frmula de Joukousky se emplea para las impulsiones en las que el golpe de ariete se produce por un paro imprevisto de la bomba, y la de Michaud en las condiciones por gravedad, en las que la importancia de la sobrepresin es debida al tiempo de cierre de las vlvulas.
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Prdida de carga segn Hazen & Williams Un fluido al ser conducido a travs de una tubera ejerce una fuerza de roce, generndose una prdida de presin o prdida de carga, que se evala a partir de la conocida frmula de Hazen & Williams cuya representacin es la siguiente:
4,8691,852
1,852
DC
Q665,10J
Donde:
J = Prdida de carga en tanto por uno (m.c.a./m) (adimensional) Q = Caudal en m3/s D = Dimetro interior de la tubera en m C = Coeficiente de rugosidad (C=150) El factor C = 150 para el empleo de la frmula de Hazen & Williams en tuberas de PVC, ha sido establecido conservadoramente luego de una serie de investigaciones en el Laboratorio de Hidrulica Alden del Instituto Politcnico de Worcester. Es recomendado tambin por el Plastic Pipe Institute, AWWA, National Engineering Standards de U.S.A. y todos los grandes productores de tubera de PVC en el mundo. Basado en la ecuacin anterior, se ha preparado un baco para facilitar los clculos. De la frmula Hazen & Williams se puede despejar el dimetro interior de la tubera, quedando la expresin siguiente:
0,38040,2054
0,3804
CJ
Q626,1D
Adicionalmente, Q = V A En que:
Q = Caudal (m3/s) V = Velocidad del flujo (m/s) A = D2 / 4 Seccin o rea de escurrimiento (m2) Por lo tanto, despejando la velocidad del flujo, se tiene: V = 4 Q / D2
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Ejemplo de clculo hidrulico a) Determinacin de la prdida de carga
Para satisfacer una necesidad de agua se dispone de un caudal Q = 5 l/s y una tubera de dimetro nominal D = 75 mm Clase 10. Determinar la prdida de carga y la velocidad de escurrimiento: * Espesor tubo C-10 DN 75 mm: 3,6 mm * Dimetro interior: 75-(23,6) = 67,8 mm * Prdida de carga:
4,8691,852
1,852
0,0678150
005,0665,10J
J = 0,0267 m.c.a./m = 26,7 m/km * Velocidad de escurrimiento: V =4 Q / D2 = 4 0,005 / 0,06782 = 1,38 m/s b) Determinacin del dimetro de la tubera.
Se desea trasladar gravitacionalmente agua entre una toma de captacin superficial y un loteo rural a 300 metros de distancia con un desnivel de 15 metros. Determinar el dimetro de la tubera y la velocidad de escurrimiento si se dispone de un caudal Q = 20 l/s. * Prdida de carga permitida (J): 15/300 = 0,05 m.c.a./m Se tiene:
0,38040,2054
0,3804
0,38040,2054
0,3804
15005,0
020,0626,1D
CJ
Q626,1D
D = 0,101 m Se adopta como dimetro comercial D = 110 mm clase-4 cuyo dimetro interior es 105,6 mm, levemente superior a 101 mm, que resiste una presin de trabajo de 40 metros columna de agua, valor bastante superior a la mxima presin admisible que podra tener el escurrimiento de 15 m.c.a. por el desnivel de 15 metros. Evaluando la velocidad, se tiene: V =4 0,020 / 0,10562 = 2,28 m/s
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Prdidas de carga singulares Las prdidas de carga de una lnea de presin corresponden a las prdidas de carga por friccin (evaluadas anteriormente) ms las prdidas de carga singulares, correspondientes a las prdidas de carga ejercidas por piezas y accesorios especiales tales como codos, tees, vlvulas, etc. Las prdidas singulares se evalan segn la expresin siguiente:
Prdida singular = K g2
v 2
En que:
K = factor que depende de cada singularidad v = velocidad del flujo (m/s) g =: aceleracin de gravedad. g = 9,81 m/s2 v2/2g: altura de velocidad (m.c.a.)
La altura de velocidad conceptualmente corresponde a una energa cintica; y, por el hecho de ser un tipo de energa, se le puede hacer la equivalencia con la energa potencial de presin, y es la razn por la que tiene unidades de presin. Las prdidas singulares se evalan como una fraccin de la altura de velocidad del flujo en cuestin. En el grfico adjunto aparecen los valores de K de cada una de las singularidades, cuyo valor est graficado en una lnea recta ascendente. Adicionalmente, existe otra lnea recta con el dimetro interior de las tuberas, y otra con la longitud equivalente de la caera. El objetivo del grfico es evaluar la equivalencia entre una prdida singular y una prdida por friccin de la lnea en cuestin. Por ejemplo, la lnea punteada del grfico indica que la prdida singular de una Tee (K=1,8) en una tubera de dimetro 110 mm clase 10 (dimetro interior 99,4 mm = 3,9 plg), equivale a una prdida por friccin de 21 pies (6,4 metros) de esta tubera (la lnea punteada corta la recta ascendente del medio en 21 pies). Por lo tanto, si esta lnea de presin es de 1.000 metros lineales con una nica singularidad de la Tee en cuestin, la prdida de carga total se puede evaluar como prdida friccional nicamente, considerando que la longitud es de 1006,4 metros.
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Grfico de prdida de carga singulares y coeficiente de resistencia K
Ejemplo: la lnea punteada indica que la resistencia de un codo es equivalente a, aproximadamente, 16 pies de caera de 6 de dimetro.