1

LA HISTORIA COMO ELEMENTO CLAVE EN LA CULTURA MATEM ÁTICA ‘Historia magistra vitae est’ Cicerón en ‘De Oratore’ ‘Antes de hablar conmigo defina las palabras que emplea’ VOLTAIRE DRAE:

Cultura ‘Resultado o efecto de cultivar los conocimientos humanos y de afinarse por medio del ejercicio las facultades intelectuales del hombre.

Oxford Dictionary (ninth edition)

culture // . n. 1 A) the arts and other manifestations of human intellectual achievement regarded collectively (a city lacking in culture). B) a refined understanding of this; intellectual development (a person of culture).

(‘The Art of Computing’ Knuth – ‘State of the art’, ‘El Arte de resolver Problemas ’ Ackoff, ‘The Art of Mathematics’ Bollobas) Parece que la sociedad, en un entorno geográfico y en un intervalo temporal, produce cultura y no-cultura (o anticultura) Palabras relacionadas CON CULTURA o con culto:

-erudito – docto- instruido- letrado- diletante- universalista –

2

La cultura se adquiere o se conserva en un momento historico y en un lugar. (A veces el choque de dos culturas hace que la más débil desaparezca. En otros casos la mezcla de culturas produce beneficios. ) LA HISTORIA ES INSEPARABLE DE LA CULTURA (la cultura aborigen, la cultura del vaso campaniforme ,… ) Una de las manifestaciones de la cultura de los pueblos, quizás la manifestación más refinada, y en la aue los españoles hemos sido parcos, es la relacionada con la creación matemática. Jacobi (1830) le escribe a Legendre ‘Fourier opina que la finalidad principal de las matemáticas es su utilidad ..pero es rendir honor al espíritu humano’ Dos diferencias metodológicas entre las matemáticas y la historia:

1) En matemáticas tiene sentido ‘Bueno si ocurriese tal cosa…’ (What if?) 2) En historia son de extraordinario valor las fuentes manejadas y el número de ellas

(En Matemáticas … aunque lo diga Aristóteles hay que comprobar)

En 1920 Kolmogorov presentó una tesis sobre el reparto de tierras en Novgorod (ss. XV y XVI). La tesis recibió reparos pues ‘Solo aportas una prueba, lo cual es válido en Matemáticas, pero en historia necesitamos diez’

3

Julia Robinson decidió hacerse matemática tras la lectura del libro ‘Men of Mathematics’ de E.T. Bell (La hermana de Julia es Constance Reid la biógrafa de Hilbert, Neyman,…)

Dos catalizadores de la ‘fiebre matemática’ entre los jóvenes son los problemas y la historia de las matemáticas Polya (en mathematical Discovery, sección 5) dice: ‘The primary aim of mathematical instruction is to teach problem solving ’ ¿Es esta vedad incontestable incompatible con la atención a la historia de las matemáticas?

‘La vida es buena solo por dos cosas: descubrir las matemáticas y enseñarlas’ Poisson ¿Podemos añadir a esta frase … y mostrar la causa y protagonistas de los descubrimientos?

4

¿Pero qué protagonistas? ¿No está plagada la historia de las matemáticas de controversias de prioridad? ¿y la ley de Stigler? ¿Es fiable cualquier libro de historia o cualquier referencia histórica en un libro? Hay que distiguir dos tipos de faltas: veniales y mortales. Ejemplos de veniales (sacadas del libro de Carl Boyer que es excelente!) Ejemplo 1

A. de Moivre Fue admitido como miembro de la Royal Society en 1697, de la Academia de Berlín en 1735 y de la Academia de Ciencias de París en 1754 Carl Boyer en su Historia de las matemáticas (Alianza Universidad. Madrid 1986) dice: En 1667 fue elegido miembro de la Royal Society y poco después de las Academias de Paris y Berlín (pag. 533)

5

Otro venial (ejemplo 2):

Marin Mersenne entró en La Flèche en 1604 y estuvo allí hasta 1609 (A.C. Crombie Biogr. Dictionary of Mathematicians pag 1701) René Descartes entró en La Flèche en 1606 y permanece 8 años. El colegio tenía 1200 alumnos . Boyer dice que Descartes se encontró con Mersenne en Paris (“Todo debe basarse en las matemáticas donde se encuentra la única certeza”Descartes)

6

Un pecado mortal:

7

Ley de la eponimia de Stigler ‘Ningún descubrimiento científico lleva el nombre de su descubridor original’ otra ley: ‘Todo descubrimiento lleva el nombre del científico poco generoso que no concedió el debido crédito a sus predecesores’

Ejemplos notables: Laplace empleo la transformada de Fourier antes que lo hiciese el propio Fourier. Poison publicó la disctribución de Cauchy en 1824 (29 años antes que Cauchy) La fórmula de Stirling es de A. de Moivre. La fórmula de probabilidad de Laplace (aparece en la introducción de ‘The Doctrine of Chances’A. de Moivre 1918) Bienaimé probó la desigualdad de Chevychev 10 años antes que él. El teorema de Pitágoras era conocido antes que él naciese(y además Pitágoras no era consciente de su significado geométrico) La eliminación de Gauss (aparece explicitamente descrita en Chiu-Chang-Suan-Shu, ‘9 libros de Aritmética’ 200 aJC)

Stephen Stigler

8

De Moivre ‘visualiza ’ la curva normal A pesar de no haber desarrollado el concepto de función de densidad Obtiene una apoximación del cociente entre un término Q del desarrollo de (1+1)n

que dista ‘l’ del central y el término central M log(Q/M) > -2l2/n y no darle mayor importancia a la función exponencial a parte de la aproximación de la de la distribución binomial pero él tiene en mente una curva cuando escribe: “ Si terminii omnes binomii intelligantur normalite r erigi super lineam rectam ad intervalla aequallia, ducaturque curva per extremitates omniun terminorum seu ordinaturum; Curva sic descripta habebit duplex punctum inflexus, unum at utraque parte termini maximi ” ( Si los términos de la binomial son considerados como conjunto derecho, igualmente esparcido en ángulos rectos encima de una línea recta, las extremidades de los términos siguen una curva. La curva así descrita tiene dos puntos de inflexión, uno a cada lado del término máximo ) K. Pearson, consideró con justicia en 1926, que en esta aproximación está la primera aparición de la curva normal.

9

Las controversias

Hellman incluye en su libro diez disputas:

1) Tartaglia vs Cardano 2) Descartes vs Fermat 3) Newton vs Leibniz 4) Bernoulli vs Bernoulli 5) Sylvester vs Huxley 6) Kronecker vs Cantor 7) Borel vs Zermelo 8) Poincaré vs Russell 9) Hilbert vs Brouwer 10) Absolutistas/platonistas vs falibilistas/constructivistas

Se echan en falta muchas otras (Wallis vs Hobbes, Pearson vs Fisher , Legendre vs Gauss, de Moivre vs Sinsom) Pero como contrapeso de tanto desencuentro ha habido encuentro memorables: Nepper con Briggs Sylvester con Poincaré …..

10

T. Hobbes ‘Mi madre alumbró gemelos El miedo y yo’

11

Briggs visitó a Nepper, señor de Merchiston, en el verano de 1615

almost one quarter of an hour was spent, each beholding other with admiration, before one word was spoken

‘Napper, lord of Markinston, hath set my head and hands a work with his new and admirable logarithms. I hope to see him this summer, if it please God, for I never saw a book which pleased me better or made me more wonder.’

12

LAS TRES ‘APROXIMACIONES’ A LA HISTORIA POR PARTE DE LOS DOCENTES: 1) Seguir o dar un cuso de Historia de las Matemáticas (leyendo textos originales –si es posible en la lengua original-) 2) Añadir detalles históricos a las lecciones ordinarias ( única recomendación : hay que ser riguroso con los datos y las fuentes ) 3) Tener sentido histórico seguir, si ello es posible, un recorrido por la materia recordando el avance histórico.

13

LA APROXIMACIÓN A LA HISTORIA DE LOS HISTORIADORES DE LAS MATEMÁTICAS

14

• ¿Pero qué es la cultura matemática y como fomentarla en los estudios no universitarios?

Una definición aproximada de persona con cultura matemática es aquella con una amplia base de conocimientos matemáticos, con independencia de la especialidad que se tenga. Dentro de tales conocimientos debe estar el saber situar a los matemáticos en su época y conocer las obras (y su influencia) más importantexs que se han escrito (Ars Magna, Aritmetica infinitorum, Pricipia Mathematica, Clavis Mathematicae …) Los tiempos actuales no son favorables al fomento de la cultura o al menos de la buena cultura y en particular la cultura matemática. Dificultan el avance en la cultura matemática 1) El recorte de horas (las horas extra son horas de refuerzo) y la sobrecarga horaria 2) El sistema de evaluación 3) La escasa importancia que se da al cultivo de la memoria. 4) Los programas La televisión fomenta la anticultura y los poderes públicos parece que miran para otro lado o ponen al frente de los organimos controladores de la televisión a personas con escasa cultura o partidarios de posponer la cultura a los dogmas políticos. La otra entidad que podría contrarrestar la tendencia, i.e. la administración educativa se encuentra fragmentada y a la deriva con una reforma tras otra y con la ‘derivada’ de la función cultura respecto al tiempo con valores negativos en un intervalo del tiempo demasiado largo. ¿Cómo invertir esta insufribe tendencia al menos en los centros con ‘libertad de cátedra’ ¿ qué papel juega la historia en general y la historia de las matemáticas en todo esto? y por ultimo ¿qué papel juega la historia en la cultura matemática? …..

15

Una persona culta es aquella que puede relacionar saberes que son propios de diferentes especialistas (aunque sin alcanzar la profundización de aquellos)

• ¿Cómo incrementar la cultura matemática? Una forma de hacerlo es a través de la lectura de diccionarios de matemáticas. En ellos aparecen teoremas, definiciones, conjeturas,

algoritmos, teorías, problemas, gráficas, funciones, tablas, modelos sucesiones, series, transformadas, grafos, números, principios, ecuaciones, matrices, distribuciones … y biografías de matemáticos

• La historia con mayúsculas puede servir siempre de ayuda (incentivo extra) . Algunos matemáticos han ocupado un puesto político

relevante o han estado muy cerca de los detentadores del poder (Arquímedes, Laplace, Monge, Fourier, Borel, de Witt) … algunos acabaron mal.

16

EL NUEVO CURRICULO (detalle) I y II El currículo de Matemáticas I y II incluye los objetivos, contenidos y criterios de evaluación establecidos estas materias en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, junto con las aportaciones específicas para la Comunidad Autónoma de Andalucía que se desarrollan a continuación. Relevancia y sentido educativo. El papel que desempeña el estudio de las matemáticas en bachillerato es principalmente estratégico y se manifiesta en tres aspectos: como base conceptual, como instrumento esencial de desarrollo de la Ciencia y la Tecnología y como valor inherente a la propia cultura. Además de todo eso, el alumnado de bachillerato debe aprender a apreciar la utilidad de las matemáticas, una utilidad relacionada con su capacidad para dar respuesta a la mayoría de las necesidades humanas. Para unos, las matemáticas son útiles porque enseñan a pensar y razonar con precisión, para otros porque llevan a la percepción y creación de la belleza visual, o porque permiten escapar de las realidades de la vida cotidiana, o porque son parte esencial del lenguaje de la ciencia. Para hacer posibles esos objetivos, es necesario que los procesos de enseñanza y aprendizaje se basen en tres pilares fundamentales:

-la resolución de problemas; -la génesis y evolución de los propios conceptos y técnicas matemáticas y, finalmente, -los modelos, métodos y fundamentos matemáticos. Estos tres aspectos deben constituir la base del diseño curricular de matemáticas para una enseñanza y aprendizaje adecuados. Con ellos se

relacionan los núcleos temáticos que ahora se establecen para Andalucía. (BOJA 169 26 de agosto 2008 pag 171) Contenidos y problemáticas relevantes. Al desarrollar los núcleos de contenidos propuestos en el Real Decreto 1467/2007, se pueden trabajar, entre otros, los siguientes aspectos históricos: - Sobre Análisis: Historia de la caracterización de números reales, estructura y topología: Cauchy, Weierstrass y Dédekind. La influencia del método griego de exahusción en el descubrimiento de la derivada. La evolución del concepto de función desde Fermat a Euler. Derivadas y Fluxiones en Leibniz y Newton. La formulación del límite de D’Alembert a Cauchy. La continuidad y la derivada desde la rigorización del límite. La evolución del concepto de integral: Leibniz, Cauchy y Riemann. - Sobre Álgebra: Del Álgebra de Viète a la representación gráfica de Descartes, Fermat y Wallis. Evolución del Álgebra lineal: desde los antecedentes en MacLaurin y Cramer hasta desarrollo en el siglo XIX de Gauss a Kronecker. - El método iterativo para la resolución aproximada de ecuaciones polinómicas basada en la Regula Falsi. Primeras aproximaciones basadas en la falsa posición de Herón, las técnicas de Cardano, Viete, Kepler y Newton en el uso de la falsa posición.

17

- La trigonometría: la obra de Ptolomeo y el desarrollo espectacular de la matemática árabe, destacando el papel de Al-Andalus en el desarrollo de la trigonometría. - Sobre Geometría: Las cónicas en las obras griegas: Apolonio y Arquímedes. El enfoque analítico de Descartes y Witt. Aplicaciones de cónicas por Kepler y Newton. Evolución de la geometría: La concepción geométrica de Euclides. La geometría descriptiva de Monge. Los Espacios Vectoriales de Cayley a Peano. - Sobre Probabilidad: Los inicios del cálculo de probabilidades desde Pacioli a Gauss y su influencia en las distribuciones de probabilidad. Las formulaciones actuales dadas por Borel y Kolmogorov. La progresión de la estadística durante el siglo XX con la aplicación de la probabilidad.

PISA's interpretation of mathematical literacy, including competences, in Chapter 1 of the publication "PISA 2003 Assessment Framework - Mathematics, Reading, Science and

Problem Solving Knowledge and Skills".

18

MIRANDO HACIA ATRÁS SIN IRA

19

20

Mañana hacia la ciencia seguiré sin sentir recelo alguno ni cargo de conciencia. ¡Dulce oficio oportuno que enseñar y aprender es todo uno! Pero es camino largo que hay que seguir tenaz con firme anhelo.

Fray Luis de León