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nguyendieu
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Resumo com exercícios resolvidos dos assuntos:
Máximos e mínimos absolutos e Multiplicador de Lagrange
(0)- Considerações iniciais:
-Grande parte das funções não possui máximos e/ou mínimos absolutos quando
consideramos todo o seu domínio. Tendo como exemplo o paraboloide elíptico abaixo:
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥
Podemos perceber que, se considerássemos todo o plano XY, essa função não teria um ponto
de máximo absoluto, pois conforme (𝑥,𝑦) → (+∞, +∞) a função também explode!! Logo, só
podemos determinar o máximo absoluto se restringirmos o domínio dessa função.
(1)- Teorema de existência (Teorema de Weierstrass):
O teorema de Weierstrass afirma que:
Se a função (F) for contínua e seu domínio (D) for limitado e fechado,
Então F possui máximo e mínimo absoluto em D
(2)- Calculando máximos e mínimos absolutos:
Para calcularmos os valores máximos e mínimos absolutos, facilita dividir o problema:
Avaliando a primeira parte (I) , podemos achar candidatos da mesma forma que
utilizamos para calcular máximos e mínimos locais, ou seja, encontrar os pontos críticos
(∇ 𝑓 = 0 ). Dessa forma, poderemos encontrar os pontos candidatos a maximos e mínimos
absolutos no interior de D.
Avaliando a segunda parte (II), podemos proseguir de duas formas: uma muito
trabalhosa e uma bem mais tranquila. A trabalhosa é tentar reduzir a equação para uma
equação de uma variável e resolver usando Calculo 1. A tranquila é utilizar um novo método
chamado Método dos Multiplicadores de Lagrange.
Apenas dessa vez, mostraremos o método trabalhoso. Em seguida, explicaremos
como resolver usando Lagrange.
Exercicio: Ache os máximos e mínimos locais de 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥 em 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1
Olhando os pontos dentro de D, ∇ 𝑓 = 0 ↔ 𝜕𝑓
𝜕𝑥,𝜕𝑓
𝜕𝑦 = (0,0) , logo:
𝑎) 𝜕𝑓
𝜕𝑥= 0 ↔ 2𝑥 − 1 = 0 e 𝑏)
𝜕𝑓
𝜕𝑦= 0 ↔ 4𝑦 = 0
Por fim, resolvendo o sistema gerado por “a” e “b”:
𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 12 ↔ 𝑥,𝑦 =
1
2, 0
Olhando para a periferia de D, partimos da equação de D:
1 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ↔ 𝑦2 = 1 − 𝑥2
Substituindo 𝑦2 na equação de 𝑓(𝑥,𝑦), temos:
Candidatos à
Max abs
ou
Min abs
(I) No interior de D
(II) Na beirada de D
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2 1 − 𝑥2 − 𝑥 ↔ 𝑓 𝑥 = −𝑥2 − 𝑥 + 2, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 𝜖[−1,1]
Para encontrar os candidatos de máximo,
𝑑𝑓
𝑑𝑥= 0 ↔ −2𝑥 − 1 = 0 ↔ 𝑥 = −1/2 , usando esse resultado em (1):
𝑦2 = 1 −1
4↔ 𝑦 = ± 3
2
Também podemos concluir que:
2 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ↔ 𝑥2 = 1 − 𝑦2
Substituindo 𝑥2 na equação de 𝑓(𝑥,𝑦), temos:
𝑓 𝑦 = 1 − 𝑦2 + 2𝑦2 ± 1 − 𝑦2 1
2 ↔ 𝑓 𝑦 = 𝑦2 ± 1 − 𝑦2 1
2 + 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑦 𝜖 [−1,1]
Para encontrar os candidatos de máximo,
𝑑𝑓
𝑑𝑦= 0 ↔ 𝑦 2 ±
1
1−𝑦2 = 0 ↔ 𝑦 = 0 𝑜𝑢 𝑦 = ±(
3
2), para 𝑦 = ±(
3
2), já fizemos,
substituindo 𝑦 = 0 em (2):
𝑥2 = 1 ↔ 𝑥 = ±1
Por fim, obtemos 5 candidatos para máximos e mínimos absolutos:
𝑎) −1
2, +
3
2 , 𝑏) −
1
2,−
3
2 , 𝑐) +1,0 , 𝑑) −1,0 , 𝑒) (
1
2, 0)
Para descobrirmos qual é o máximo absoluto, basta substituir os pontos em 𝑓(𝑥,𝑦) e
ver qual é o maior e o menor:
𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 9
4,𝑓 𝑐 = 0 ,𝑓 𝑑 = 2 , 𝑓 𝑒 = −
1
4
Analisando os resultados, podemos conluir que:
𝟗
𝟒 é o máximo absoluto e −
𝟏
𝟒 é o mínimo absoluto de 𝒇 𝒙,𝒚 em 𝑫
(2)- Método dos Multiplicadores de Lagrange:
No último exemplo, resolver pelo método trabalhoso não foi tão complicado, mas nem
sempre as funções serão tão amigáveis a esse ponto. Por isso precisamos de um método mais
eficaz.
Para a utilização do método, precisamos estabelecer uma condição entre a direção de
maior crescimento de 𝑓 (∇ 𝑓) e a superfície que delimita o domínio 𝑆. Essa relação é dada por:
(2.1) 𝜵 𝒇 ⊥ 𝑺
Essa condição é verdadeira para pontos candidatos a máximo e mínimo absoluto, pois,
ao nos deslocarmos na direção de maior crescimento de 𝑓 não observamos mudança na
posição do ponto em 𝑆.
Da condição (2.1), podemos concluir que:
𝛁 𝒇 é colinear a 𝒏 (vetor normal à 𝑆), ou seja é um múltiplo de 𝒏
Finalmente, denotando 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧,… , restringida por 𝑆:𝑔 𝑥,𝑦,… = 𝑘
(2.2) 𝛁 𝒇 = 𝝀𝛁 𝒈
Atente que essa fórmula SÓ PODE SER UTILIZADA PARA AS BORDAS DA SUPERFÍCIE QUE
DELIMITA O DOMINIO DE 𝒇, uma vez que 𝒈 𝒙,𝒚,… = 𝒌 é uma superfície de tipo
FRONTEIRA.
Vamos utilizar esse novo método para resolver o problema anterior:
Exercicio: Ache os máximos e mínimos locais de 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥 em
𝐷: 𝑔 𝑥,𝑦 ≤ 1, 𝑔 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
Para o interior de 𝒈(𝒙,𝒚), como já fizemos, ∇ 𝑓 = 0 , logo 𝑥,𝑦 = (1
2, 0)
Para a fronteira de 𝑔(𝑥,𝑦), ∇ 𝑓 = 𝜆∇ 𝑔 ↔ 𝜕𝑓
𝜕𝑥,𝜕𝑓
𝜕𝑦 = 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝑥, 𝜆
𝜕𝑔
𝜕𝑦 , com isso chegamos ao
sistema:
2𝑥 − 1 = 𝜆 2𝑥
4𝑦 = 𝜆 2𝑦 , um sistema gerado por (2.2) possui n equações(x,y,z,... ) e (n+1) incognitas
(x,y,z,..., 𝜆). Logo, para acharmos um conjunto discreto de soluções, precisamos de mais uma
equação. Se prestar atenção, nós já possuimos essa equação extra: 𝑔 𝑥,𝑦, 𝑧,… = 𝑘.
Levando isso em conta:
2𝑥 − 1 = 𝜆 2𝑥4𝑦 = 𝜆 2𝑦
𝑥2 + 𝑦2 = 1
, utilizando a segunda equação do sistema, encontramos que: 𝜆 = 2 ou 𝑦 = 0.
Usando 𝜆 = 2, na primeira equação, chegamos que: 𝑥 = −12 , usando 𝑥 na terceira
equação, obtemos: 𝑦 = ± 32
Usando 𝑦 = 0 na terceira equação, obtemos : 𝑥 = ±1 .
Por fim,
𝑎) −1
2, +
3
2 , 𝑏) −
1
2,−
3
2 , 𝑐) +1,0 , 𝑑) −1,0 , 𝑒) (
1
2, 0)
𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 9
4,𝑓 𝑐 = 0 ,𝑓 𝑑 = 2 , 𝑓 𝑒 = −
1
4
(3)- Outras aplicações do Método dos Multiplicadores de Lagrange:
Existe uma gama de exercícios que podem ser resolvidos usando o método. O que será
cobrado em Calculo 2 será a maximização de funções de mais de uma variável.
Exemplo: Encontre as dimensões máximas e o volume máximo de um paralelepípedo
inscrito no elipsoide: 𝑔 𝑥,𝑦, 𝑧 : 𝑥2
9+
𝑦2
4+
𝑧2
1= 1
Para resolver esse problema é necessário escrever a fórmula do volume do paralelepípedo
que, assim como o elipsoide, deve ser centrado na origem. Observe a imagem:
Temos 𝑉 = 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 2𝑥2𝑦2𝑧 = 8𝑥𝑦𝑧, restrita por 𝑔 𝑥,𝑦, 𝑧 : 𝑥2
9+
𝑦2
4+
𝑧2
1= 1
Logo, utilizamos Lagrange: ∇ 𝑓 = 𝜆∇ 𝑔 com:
∇ 𝑓 = 8𝑦𝑧, 8𝑥𝑧, 8𝑥𝑦 𝑒 ∇ 𝑔 = (2
9𝑥,
1
2𝑦, 2𝑧), chegando ao sistema:
8𝑦𝑧 = 𝜆
2
9𝑥
8𝑥𝑧 = 𝜆1
2𝑦
8𝑥𝑦 = 𝜆2𝑧
↔ 4𝑦𝑧 = 𝜆
1
9𝑥
16𝑥𝑧 = 𝜆 𝑦4𝑥𝑦 = 𝜆 𝑧
Para resolver esse sistema, usaremos o método de eliminação de fatores 𝜆, observe:
- Dividindo a segunda equação pela terceira:
16𝑥𝑧
4𝑥𝑦=𝜆𝑦
𝜆𝑧 ↔ 4𝑧2 = 𝑦2 ↔ 𝑧 =
𝑦2
Lembre-se que x, y e z são grandezas unicamente positivas, uma vez que são lados do
paralelepípedo. Por isso, ao tirar raiz quadrada dos dois lados, os termos ficam positivos!
- Dividindo a primeira equação pela segunda:
4𝑦𝑧
16𝑥𝑧=𝜆𝑥9
𝜆𝑦 ↔ 𝑦2 =
4
9𝑥2 ↔ 𝑦 =
2
3𝑥
Juntando as equações geradas, obtemos as relações entre x, y e z no volume máximo. São elas:
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 2𝑥 ∙ 2𝑦 ∙ 2𝑧 = 2𝑥 ∙4
3𝑥 ∙
2
3𝑥
Resta agora descobrir o valor de x. Podemos utilizar então as relações entre x, y e z na equação
de 𝑔 𝑥,𝑦, 𝑧 = 1 obtendo:
𝑥2
9+𝑥2
9+𝑥2
9= 1 ↔ 3𝑥2 = 9 ↔ 𝑥 = 3
Finalmente:
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 2 3 ∙4
3 3 ∙
2
3 3 ↔ 𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟔 𝟑
𝟑
Bons Estudos!!
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