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Engineering, Mathmatics
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Resumo de Álgera Linear III unidade
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I. Produto interno:
É uma operação entre vetores que é característico de cada espaço vetorial. Essa operação
“pega” dois vetores e “retorna” um número real. Representamos o produto interno entre dois
vetores, v e w, por .
Existem diversos “produtos” entre vetores retornando números reais, mas para que ele seja
interno é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas:
Para vetores e :
a) ;
b) ;
c) ;
d)
.
Obs.: Quando não é mencionado o produto interno, usa-se o produto interno canônico, que é o
produto escalar visto em Geometria Analítica e Física I.
Ex.: Seja e o produto interno usual (canônico) entre eles é
.
II. Módulo de um vetor:
Para este assunto é melhor “esquecer” que módulo de um vetor refere-se ao „tamanho‟
dele. O módulo de um vetor é uma característica do próprio em relação a um determinado
produto interno. Um mesmo vetor pode ter „módulos‟ diferentes, dependendo dos produtos
internos usados, e por isso a ideia de „tamanho‟ acabaria confundindo um pouco.
O módulo de um vetor é definido como: (pela propriedade „d‟ do
produto interno, temos a garantia de que ).
III. Ângulo entre dois vetores:
Assim como o módulo, o ângulo entre dois vetores depende do produto interno em
questão. Sabe-se da Geometria Analítica que:
Onde é o menor ângulo formado entre os vetores. Portanto:
IV. Ortogonalidade de vetores:
Dois vetores são ditos ortogonais quando fazem um ângulo de 90º entre si, portanto vai
depender do produto interno mas, garantidamente, eles serão ortogonais se o produto interno
entre eles for zero (cos90º = 0). Ou seja, são ortogonais se:
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IMPORTANTE: Uma base é dita ORTOGONAL se todos os seus vetores são ortogonais entre si.
É preferível que se trabalhe com bases ortogonais, pois facilita as contas.
Obs.: O vetor nulo é ortogonal a TODOS os vetores, inclusive a ele mesmo.
V. Normalização de vetores:
Como a aparição de módulos de vetores é bastante regular nas contas, costuma-se
trabalhar com vetores „normalizados‟, ou seja, vetores que possuem módulo igual a um.
Para normalizar um vetor basta dividir o próprio vetor pelo seu módulo. Seja um vetor
não normalizado, o vetor unitário (ou normalizado) é:
.
IMPORTANTE: Uma base é dita NORMAL se todos os seus vetores são normalizados.
IMPORTANTE: Uma base é dita ORTONORMAL se for simultaneamente ORTOGONAL e
NORMAL.
VI. Processo de ortogonalização de vetores (Gram-Schmidt):
Um método de se achar uma base ortogonal é através do processo de ortogonalização de
vetores de Gram-Schmidt onde, a partir de vetores quaisquer, você vai obtendo vetores
ortogonais entre si. Para se ter uma ideia geométrica, tomemos o espaço vetorial e o produto
interno usual (ou canônico). Sejam dois vetores quaisquer, a ideia é obter um vetor ,
ortogonal a a partir de e de sua projeção sobre . Segue na figura abaixo a ideia:
Vetorialmente:
;
E, pela figura: assim como .
O processo de Gram-Schmidt é baseado na mesma ideia, mas extendida para até
dimensões.
Seja uma base qualquer, queremos achar uma base ortogonal
. A “fórmula” de Gram-Schmidt fica então:
Ou seja, primeiro escolhemos um vetor qualquer de para ser o vetor e, a partir dele,
obtemos os outros vetores da base ortogonal (o somatório faz o papel do da figura).
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Ex.: Seja uma base, ache uma base ortogonal a partir dela:
Primeira coisa a se fazer é escolher um vetor qualquer de para ser o primeiro vetor da base
ortogonal. Por fim, utiliza-se o processo de Gram-Schmidt para se obter os demais vetores.
Fazendo :
:
:
Portanto, a base
é uma base ortogonal (VERIFIQUE a
ortogonalidade dois-a-dois vetores (produto interno entre eles igual a zero)).
Obs.: Daí se tira o passo-a-passo para se obter uma base ortogonal:
1) Acha-se uma base qualquer (I unidade);
2) Utiliza-se o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt;
3) CASO você queria uma base ORTONORMAL, basta normalizar os vetores da base
ortogonal encontrada.
VII. Coordenadas:
Foi visto que para se determinar as coordenadas de um vetor é necessário fazer uma
combinação linear e resolver um sistema (o que pode ser, convenhamos, bastante trabalhoso).
Uma das vantagens de se trabalhar com uma base ortogonal (e mais ainda se for ortonormal) é
que as coordenadas podem ser obtidas de uma forma mais direta.
Seja o vetor com coordenadas, em relação a uma base qualquer ,
, a i-ésima coordenada (é preciso entender que, ao se falar de i-ésima, estamos
falando de algo que é obtido trocando o „i‟ pela ordenação. Por exemplo, a primeira coordenada é
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quando se troca o „i‟ pelo „1‟, a nona coordenada é quando se troca o „i‟ pelo „9‟ e assim por
diante) é obtida através da „fórmula‟:
E essa „fórmula‟ é conhecida como „coeficiente de Fourier do vetor em relação ao vetor ‟.
Ex.: Quais as coordenadas do vetor em relação à base
?
A primeira coisa a se fazer é analisar se a base é ortogonal para verificar a validade no
método de Fourier. Como não foi mencionado, o produto interno em questão é o canônico.
Analisando os vetores aos pares:
i) . Os vetores são ortogonais entre si.
ii) . Os vetores são ortogonais.
iii) . Os vetores são ortogonais.
Então a base é ortogonal, o que permite a utilização do método de Fourier para obtenção
das coordenadas.
i) A primeira coordenada:
ii) A segunda coordenada:
iii) A terceira coordenada:
Logo, um vetor qualquer tem coordenadas em relação à base :
IMPORTANTE: Esse modo de se obter a coordenada é EXCLUSIVAMENTE quando a base em
questão é ortogonal (ou ortonormal).
Obs.: Se a base for ortonormal, repare que para qualquer , portanto a
coordenada se resume a .
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VIII. Complemento ortogonal de um subespaço:
Como o próprio nome diz, o complemento ortogonal de um subespaço é o complemento
dele (ou seja, um outro subespaço do mesmo espaço vetorial) que é formado apenas por vetores
ortogonais aos vetores do subespaço .
Ou seja:
Se é um subespaço de , dizemos que o complemento ortogonal de , representado
por é o conjunto de vetores de que são ortogonais a todos os vetores de .
Resumidamente:
Obs.: Como o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores (inclusive a ele próprio), ele pertence
tanto a quanto a . Portanto .
Obs².: Os vetores de e de somados resultam em qualquer vetor de . Dizemos portanto
que a soma direta de e é : . Essa observação é especialmente importante
pois nos garante que e, sendo base de e base de ,
podemos garantir que uma base de será (para o caso particular de e serem
ortogonais/ortonormais, também será).
Um passo-a-passo pode ser montado para se determinar o complemento ortogonal de um
subespaço. Seja um espaço vetorial e um subespaço de :
1) Determinar o subespaço e uma base dele;
2) A condição para que um vetor de seja ortogonal a qualquer um dos vetores de é
simplesmente que ele seja ortogonal (produto interno igual a zero) simultaneamente a
todos os vetores da base de ;
3) Fazer a condição de .
Ex.: Seja o espaço vetorial das matrizes 2 por 2 e
, determine:
a) O complemento ortogonal de .
b) Uma base de .
c) Uma base de V.
Para responder, basta seguir o passo-a-passo anterior:
a) Passo-a-passo do complemento ortogonal:
1) já está determinado, falta achar uma base:
O vetor na forma mais geral é
.
Separando as „letras‟:
.
Colocando em „evidência‟:
.
Como
e
são LI, formam uma base de .
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2) O vetor do complemento precisa ser ortogonal aos dois vetores da base achada
anteriormente, portanto, seja
um vetor qualquer de :
, logo: .
, logo .
3)
.
b) Passo-a-passo para achar uma base:
O vetor na forma mais geral é
.
Separando as „letras‟:
.
Colocando em „evidência‟:
.
Como
e
são LI, formam uma base de .
c) Como a soma direta de e de resultam em , uma base de é a união das bases de
e .
IX. Operador linear auto-adjunto:
Também chamado de auto-operador ou operado simétrico se, para qualquer que seja uma
base ORTONORMAL (exclusivamente), a matriz é simétrica (como se tivesse um espelho
na diagonal principal), isto é:
A definição é que, sejam vetores e será um auto-operador se, e somente se:
Ex.: Seja , o operador
definido por:
E o produto interno usual, diga se é auto-adjunto.
A primeira coisa a se fazer é achar uma base ortonormal de . Pode ser achada partindo
de uma base qualquer, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e, por fim,
normalizando-a. Mas como o espaço vetorial em questão é o sem restrições, a base canônica
já é ortonormal.
Agora é achar a matriz da transformação linear:
i) ;
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ii) ;
iii) .
Lembrando que . Então:
que é uma matriz simétrica (números coloridos).
Como a matriz de transformação do operador com relação a uma base ORTONORMAL é
simétrica, o operador é auto-adjunto.
Obs.: O fato de um operador ser auto-adjunto GARANTE que existe uma base ortonormal de
autovetores. Pode ser obtida calculando-se os autovalores e assim os autovetores associados
como na unidade anterior. Os autovetores de operadores auto-adjuntos são SEMPRE ortogonais,
bastando portanto normalizar a base de autovetores para obter a base ortonormal. Com isso, é
garantia que se pode diagonalizar este operador.
Obs².: Daí se tira o passo-a-passo para se determinar se o operador é auto-adjunto:
1) Determinar uma base ortonormal;
2) Fazer a matriz de transformação dos vetores da base;
3) Ver se a matriz é simétrica. Caso seja, então T será auto-adjunta.
X. Operador (e matriz) ortogonal:
Um operador é dito ortogonal quando ele preserva o módulo de um vetor. Ou seja:
Além disso, ele preserva o produto interno entre dois vetores. Ou seja:
Existem ainda outros dois métodos de se determinar se um operador é ortogonal:
i) Se a matriz transposta da transformação for igual à matriz inversa da transformação.
Ou seja:
ii) Se as colunas da matriz de transformação (em relação a uma base ortonormal)
formam uma base ortonormal em relação ao produto interno usual. Exemplo:
Seja uma base ortonormal.
Seja
, se forem tomados os vetores
, eles formam uma base ortonormal
(VERIFIQUE).
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Obs.: Uma matriz é dita ortogonal se ela define um operador ortogonal (basta verificar as
condições anteriores).
Obs².: Para esta parte existem várias formas de se determinar se o operador é ortogonal
(utilizando as condições dadas anteriormente), abaixo estão dois passo-a-passos possíveis:
i) Se você tem a matriz:
a) A matriz tem que ser em relação a uma base ortonormal (se não for, basta obter
uma através desta primeira);
b) Verificar se as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto interno
usual.
ii) Se você tem a transformação linear definida:
a) Verificar se um vetor (na forma mais geral) tem seu módulo preservado. Ou seja,
se .
Ex.: Diga se a matriz A é ortogonal:
Como temos a matriz, basta verificar se as colunas formam uma base ortonormal com
relação ao produto escalar.
i) Coluna 1: ;
ii) Coluna 2: ;
iii) Coluna 3: .
Já está verificado que são normais, resta agora saber se são ortogonais entre si:
i) Colunas 1 e 2:
;
ii) Colunas 1 e 3: ;
iii) Colunas 2 e 3: .
Foi verificado que as colunas formam uma base ortonormal em relação ao produto escalar,
então a matriz é ortogonal.
IMPORTANTE: Se a matriz caracterizasse uma transformação, esta seria ortogonal APENAS SE
ESSA MATRIZ FOSSE EM RELAÇÃO A UMA BASE ORTONORMAL.
Ex².: Seja
com produto interno usual onde . Diga se T é
ortogonal.
Como temos a transformação linear definida, basta verificar (literalmente) se o módulo do
vetor é preservado:
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Como , temos que é um operador ortogonal.
XI. Projeção ortogonal:
A projeção de um subespaço vetorial em outro (ou de um vetor em particular sobre um
subespaço) é a “componente” que cada vetor do primeiro teria sobre o segundo (a “sombra” de
um em outro).
Para ter uma noção geométrica, imagine o e um subespaço dele, um plano que passa
pela origem .
Na figura a seguir um vetor (em vermelho) é projetado ortogonalmente (em azul)
sobre o plano . Para qualquer outro subespaço a ideia é a mesma, embora não faça mais
sentido tentar uma visualização geométrica.
A projeção de um vetor em seu próprio subespaço é ele mesmo:
Seja , seja um vetor , então . Logo, é um autovetor
associado ao autovalor . (“A projeção de um vetor em seu próprio espaço vetorial é um
autovetor associado ao autovalor 1”).
A projeção de um vetor em um subespaço ortogonal ao seu (por exemplo, a projeção de
um vetor de em ) é o vetor nulo:
Seja , seja , então . Logo, é um autovetor associado ao
autovalor . (“A projeção de um vetor sobre um subespaço ortogonal ao seu é um autovetor
associado ao autovalor 0”);
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar uma projeção ortogonal de um vetor em um
subespaço :
a) Achar uma base ortogonal (ou ortonormal) do subespaço ;
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b) Calcula a projeção pela fórmula:
, onde:
Projeção do vetor sobre o subespaço ;
Base ortogonal (ou ortonormal) de .
Obs.: Se for pedido a projeção de um subespaço sobre outro, é só usar o vetor na forma mais
geral no lugar de .
Ex.: Seja , ache
e depois ache .
Aplicando o passo-a-passo:
a) Achar uma base ortonormal (pode ser ortogonal, mas normalizar facilita as contas):
i) Condição: a forma mais geral de um vetor de é ;
ii) “Separando por letras”: (já está separado);
iii) Colocando em evidência:
Então é um gerador e, por ser LI a si mesmo, é uma base ortogonal (como é
único é ortogonal);
iv) Normalizando:
;
v)
é base ortonormal de .
b) Como estamos pedindo de um espaço, pegamos o vetor mais geral do espaço. No caso,
e . Aplicando a “fórmula” de projeção (como está normalizada,
:
.
c) Substituindo por :
Como dito antes, a projeção de um vetor sobre o subespaço em que ele está contido
(repare que ) é ele mesmo, pois se trata de um autovetor associado ao autovalor .
XII. Reflexão:
Na reflexão de um vetor em relação a outro subespaço, é como se o subespaço
funcionasse como um espelho e nós estivéssemos interessados no reflexo.
A figura abaixo serve para dar uma noção geométrica, tomando um vetor em (de
vermelho) e uma reta . Acha-se a reflexão (em azul) em torno da reta.
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A reflexão de um vetor do subespaço no próprio subespaço é ele mesmo. .
Então os vetores de (exceto o vetor nulo) são autovetores associados ao autovalor . A
reflexão em de um vetor ortogonal ao subespaço (ou seja, um vetor de ) é o seu oposto.
. Então os vetores de são autovetores associados ao autovalor .
IMPORTANTE: Passo-a-passo para se achar reflexão de um vetor em um subespaço :
a) Calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço;
b) Aplicar a “fórmula”: ;
A explicação para a fórmula vem da figura abaixo (foi usado para dar a ideia
geométrica, mas a ideia é a mesma para qualquer subespaço).
Se um vetor (em vermelho) for decomposto em sua componente vertical (roxo) e horizontal
(verde projeção do vetor em π) e for feito a reflexão em relação à reta, é fácil notar que, por
soma vetorial:
Além de:
Substituindo a primeira igualdade na segunda:
IMPORTANTE: Existe um outro passo-a-passo para se resolver esse tipo de problema. Se der
preguiça de calcular a projeção (muito embora esse método também tenha muito cálculo), a
reflexão de um subespaço em um subespaço :
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço ;
b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço ;
c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas;
d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os
coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das
entradas do vetor mais geral);
e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear;
Obs.: Mais uma vez, se for pedido um vetor específico ou de um subespaço inteiro, basta alternar
no uso do vetor ou do vetor na forma mais geral.
Obs².: Eu aconselho usar o primeiro método (=P).
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Ex.: Seja , ache
e depois ache .
PELO PRIMEIRO PASSO-A-PASSO:
Já sabemos que a projeção (pelo exemplo resolvido na parte de Projeção Ortogonal) é:
Aplicando a fórmula:
Para o vetor específico (4,-2):
PELO SEGUNDO PASSO-A-PASSO:
a) Encontrar uma base ortogonal do subespaço :
Como a condição já está dada, os vetores de são da forma , então
é base ortogonal de .
b) Encontrar uma base ortogonal do complemento ortogonal do subespaço :
é base ortogonal de (VERIFIQUE).
c) Fazer a base do subespaço ser a união das duas bases encontradas:
é base ortogonal de .
d) Escrever o vetor mais geral de como combinação linear de sua base (os
coeficientes que multiplicam os vetores da base devem ser deixados em função das
entradas do vetor mais geral):
O vetor que queremos é o mais geral de , :
Daí tiramos o sistema:
Mas lembrar que os coeficientes ( ) deve estar em função das entradas do vetor
( ), portanto eles devem ser isolados.Isolando e :
Resumo de Álgera Linear III unidade
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e) “Aplicar” o operador reflexão dos dois lados da combinação linear:
Como se trata de uma transformação linear, podemos aplicar as propriedas aqui (vide
resumo da 2ª unidade):
Substituindo os valores de e :
Vale agora lembrar que, como o vetor , a reflexão de um vetor em relação ao
seu próprio subespaço é ele mesmo (autovetor associado ao autovalor ),
portanto:
Como o vetor , a reflexão de um vetor do complemento ortogonal de um
subespaço em relação ao subespaço é seu oposto (autovetor associado ao autovalor
), portanto:
Então temos no fim que:
Para o vetor específico (4,-2):
XIII. Cônicas:
Chamamos de cônica um conjunto de pontos do plano que satisfazem a equação:
E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto, onde
a matriz é:
Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial:
Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de
(espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto
admite uma base de autovetores ortonormais.
Resumo de Álgera Linear III unidade
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Rotação:
As cônicas podem ser “desenhadas” no plano . O que chamamos de termo cruzado é o
termo que multiplica ao mesmo tempo e . No caso apresentado, é o termo . O termo cruzado
está associado à rotação da cônica no plano e, para melhor ser representado é preferível eliminar
esse termo (fazer ). Isso é possível se mudarmos da base ortonormal canônica para a base
ortonormal de autovetores. Podemos escrever a cônica eliminando o termo cruzado da seguinte
forma:
Onde e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a
forma canônica da cônica:
Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir e e, assim,
toda a forma canônica.
Serão encontrados dois autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do
plano). Esses dois autovetores serão chamados e . Temos então que fazer a
mudança de coordenadas de para :
Temos então que:
Obs.: Note que não muda com a mudança de base.
A cônica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores:
Translação:
Por vezes, ao eliminar o termo misto, a equação obtida ainda não fica na origem, então
recorremos à translação dos novos eixos (visto em Geometria Analítica, Cálculo 1 e Cálculo 2).
Basta completar quadrados, ver o centro da cônica e, então, transladar os eixos de modo que a
origem coincida com o centro da cônica.
IMPORTANTE: Para eliminar o termo cruzado, o passo-a-passo é:
a) Achar os autovalores e e os autovetores associados a eles. (Esses vetores formarão
a nova base ortonormal);
b) Determinar e ;
c) Classificar a cônica e determinar sua nova forma canônica.
Resumo de Álgera Linear III unidade
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Ex.: Considere a cônica .
a) Escreva a equação da cônica na forma matricial.
b) Determine uma base ortonormal de de forma que a equação com novas coordenadas
nesta base não tenha termo misto (cruzado). Escreva esta nova equação explicitamente e
classifique a cônica.
a) Basta determinar as correspondências dos termos, lembrando que:
Temos então que:
Portanto, na forma matricial:
b) A base ortonormal que elimina o termo cruzado é a base de autovetores normalizados:
# Achando os autovalores:
Os autovalores são as raízes do polinômio característico (vide resumo da 2ª unidade):
# Achando os autovetores associados a cada autovalor (vide resumo da 2ª unidade
para entender os passos):
Portanto o autovetor na forma mais geral fica e um autovetor associado a é
.
Normalizando para a forma :
Portanto o autovetor na forma mais geral fica e um autovetor associado a é
.
Resumo de Álgera Linear III unidade
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Normalizando para a forma :
A base ortonormal que elimina o termo cruzado é:
# Determinando e :
Lembrar que:
Fazendo as equivalências:
E portanto:
# Determinando a nova forma matricial da cônica:
Lembrar que:
Fazendo as equivalências:
# Determinando a nova forma canônica da cônica:
Lembrar que:
Fazendo as equivalências:
E não há necessidade de fazer translação.
# Classificando a cônica:
Logo, a cônica é uma parábola.
A figura abaixo mostra o que foi feito nessa questão.
A cônica (de verde) não sofre alteração, tudo o que é feito é a definição de novos eixos (de
roxo) com vetores diretores e (em vermelho). Como não houve translação, os novos
eixos são os antigos, rotacionados de um ângulo .
Resumo de Álgera Linear III unidade
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XIV. Quádricas:
As quádricas são semelhantes às cônicas, mas são superfícies, ou seja, são
tridimensionais. Tudo o que se aplica nas cônicas, aplica-se nas quádricas.
Elas são da forma:
E pode ser representado por uma matriz associada ao vetor correspondente ao ponto,
onde a matriz é:
Assim, a cônica pode ser escrita na forma matricial:
Como pode ser observado, a matriz está determinada para a base canônica de
(espaço ao qual pertence o vetor ) que é ortonormal. Além disso ela é simétrica. Portanto
admite uma base de autovetores ortonormais.
Rotação:
As quádricas podem ser “desenhadas” no espaço. No caso apresentado, são os termos „d‟,
„e‟, „f‟. Assim como nas cônicas, é preferível eliminar esses termos. Isso é possível se mudarmos
da base ortonormal canônica para a base ortonormal de autovetores. Podemos escrever a
quádrica eliminando os termos cruzados da seguinte forma:
Resumo de Álgera Linear III unidade
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Onde , e representam as novas coordenadas. Equivalentemente, podemos achar a
forma canônica da quádrica:
Isso nada mais é do que uma mudança de base. Podemos então definir , e e, assim,
toda a forma canônica.
Serão encontrados três autovetores unitários (que formarão a nova base ortonormal do
plano). Esses autovetores serão chamados e . Temos então
que fazer a mudança de coordenadas de para :
Temos então que:
Obs.: Note que não muda com a mudança de base.
A quádrica pode ser classificada de três maneiras, de acordo com seus autovalores:
Se os três autovalores tiverem o mesmo sinal, ela é uma elipsóide;
Se pelo menos um autovalor tiver sinal diferente dos outros, ela é uma hiperbolóide;
Se pelo menos um autovalor for nulo, ela é uma parabolóide.