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Reti Logiche
Le reti logiche sono gli elementi architettonici di base
deicalcolatori, e di tutti gli apparati per elaborazioni
digitali.
- Elaborano informazione rappresentata da segnali digitali,
cioesegnali che assumono nel tempo solo un numero finito di
valoripossibili.
- Scambiano informazioni con lesterno attraverso un insieme
diconnessioni di ingresso (morsetti di ingresso) e di
uscita(morsetti in uscita).
- Trasformano i segnali di ingresso in segnali di uscita con
uncomportamento unidirezionale, cioe le uscite non possonoalterare
linformazione in ingresso.
Possono essere collegate tra loro allinterno di un sistema
digitalepiu complesso o scambiare informazioni con il mondo esterno
alsistema.
Se lambiente esterno non e digitale ma analogico, cioe
producesegnali continui, questi dovranno venir convertiti in forma
digitaleprima di essere elaborati da una rete logica.
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Reti Combinatorie e Macchine Sequenziali
Una rete logica puo essere composta (o decomposta) in
sottoreti(piu piccole e piu semplici). I componenti atomici per
talecomposizione modulare sono dette blocchi logici.
I blocchi logici possono essere suddivisi in due grandi classi
aseconda della loro capacita di possedere o meno memoria.
Reti combinatorie
Sono composte da blocchi logici privi di memoria.Luscita dipende
unicamente dagli ingressi in un dato istante.
Reti (o Macchine) Sequenziali
Hanno capacita di memorizzazione, ovvero di possedere unostato.
Luscita in questo caso dipende dalla sequenza degli ingressie, in
ogni istante, e determinata sia dagli ingressi sui morsetti
dientrata che dallo stato in cui si trova la macchina.
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Algebra di Boole
Generalmente le reti logiche elaborano segnali binari,
checorrispondono a due livelli di tensione alta (di livello 1)
ebassa (di livello 0).
Il mezzo matematico fondamentale per descrivere e studiare
ilfunzionamento di una rete logica e lAlgebra di Boole.
Una rete logica trasforma n segnali digitali in ingresso in
unsegnale (o piu) in uscita.Il suo comportamento puo essere
descritto da una funzionebooleana
f: {0,1}n {0,1}
Esempio. (n=3)
a b c f (a,b,c)------------------------------------0 0 0 10 0 1
00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
--------------N.B. 3 valori in ingresso, 23 terne possibili
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Operatori booleani
NOT(x) AND(x1, x2) OR(x1, x2)x x` x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1+x20 1 0 0
0 0 0 01 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 11 1 1 1 1 1
Espressioni booleane
x1 (x3 + x2) + x3x`1 + (x3 x2)
Definizione esplicita di funzioni booleane
z1 = f1 (x1, x2, x3) = x1 (x3 + x2) + x3z2 = f2 (x1, x2, x3) =
x1 + (x2 x3)z3 = f3 (x1, x2, x3) = (x1 + x3) (x1 + x2)
Equivalenza tra espressioni booleane
Per ogni terna di valori x1, x2, x3:
x1 + (x2 x3) = (x1 + x3) (x1 + x2)
------------------------priorit : - , , +
-
Propriet degli operatori - , , +
x1 + (x2 x3) (x1 + x3) (x1 + x2)
x1 x2 x3 x1 + (x2 x3) (x1 + x3) (x1 + x2)
0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11
1 1 1 1
x + 0 = x x 1 = xx + 1 = 1 x 0 = 0x + x = x x x = xx + x` = 1 x
` x = 0x1 + x2 = x2 + x1 x1 x2 = x2 x1(x1 + x2) + x3 = x1 + (x2 +
x3) (x1 x2) x3 = x1 (x2 x3)(x1x2) + (x1x3) = x1 (x2 + x3) (x1 + x2)
(x1 + x3) = x1+ (x2 x3)
NOT(NOT(X)) = xx1 x2 + x1`x2 = x1 (x1 + x2) (x1 + x`2) = x1x1 +
(x1 x2) = x1 x1 (x1 + x2) = x1
teoremi di De Morgan:
NOT(x1 + x2) = NOT(x1) NOT(x2)
NOT(x1 x2) = NOT(x1) + NOT(x2)
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Blocchi logici ( o porte logiche)
x1 x1 x2 AND gate
x2
x1 x1 + x2 OR gate
x2
x1 x`1 NOT gate
y1 x1 y2
x2 z1 x3
z2
y1 = x`1 y2 = x`1 x2z1 = y2 + x3 z2 = y2 x3
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Completezza funzionale Operatori NAND e NOR
Con gli operatori NOT, AND e OR si possono esprimere tutte
lefunzioni boolene ({0,1}n {0,1}).
E facile verificare che due operatori sono sufficienti
peresprimere ogni funzione booleana.Infatti,entrambe le coppie (NOT
ed AND) e (NOT ed OR) sonofunzionalmente complete:
X1 + X2 = X`1 `X2 X1 X2 = X`1 + X`2
In realt sufficiente un solo operatore.
Operatore NAND - (X1 | X2) x` = x | x
x1 x2 x1| x2
0 0 1 x10 1 1 x1| x21 0 1 x21 1 0
Operatore NOR - (X1 X2) x` = x x
x1 x2 x1 x2
0 0 1 x10 1 0 x1 x21 0 0 x21 1 0
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Mintermini e Maxtermini
Un mintermine pi una funzione che vale 1 in corrispondenza
allasola configurazione i delle variabili.
Un maxtermine si una funzione che vale 0 in corrispondenza
allasola configurazione i delle variabili.
a b c p0 p2 p3 p6 p7 s1 s4
s6--------------------------------------------------------------------0
0 0 1 0 0 0 0 1 1 10 0 1 0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 0 1 0 0 0 1 1 10 1 1
0 0 1 0 0 1 1 11 0 0 0 0 0 0 0 1 0 11 0 1 0 0 0 0 0 1 1 11 1 0 0 0
0 1 0 1 1 01 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
Ogni mintermine pi puo essere espresso come lAND di tutte
levariabili, dove una variabile compare diretta (non negata) se
vale 1nella configurazione i, compare negata se vale 0
nellaconfigurazione i.
p5 = a b` c (5 10 = 101 2)
Ogni maxtermine si puo essere espresso come lOR di tutte
levariabili, dove una variabile compare negata se vale 1
nellaconfigurazione i, diretta se vale 0 nella configurazione
i.
s3 = a b` c` (3 10 = 011 2)
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Forma Canonica - SP
Prima forma canonica per una funzione f lOR di tutti imintermini
pi per le configurazioni i dove f=1.
Esempio a b c f (a,b,c)------------------------------------0 0 0
10 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
f (a,b,c) = p0 + p2 + p4 +p5 +p6
= a` b` c` + a` b c` + a b` c` + a b` c + a b c`
= a` c` + a b` c` + a b` c + a b c`
= a` c` + a `b c` + a b` c` + a b` c + a b c`
= a` c` + a b` + a b` c` + a b c`
= a` c` + a b` + a c`
= c` + a b`
NOTA: Ogni mintermine si puo esprimere come un prodotto,quindi
una funzione nella prima forma canonica risulta essere unaSomma di
Prodotti (SP).
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Forma Canonica - PS
Seconda forma canonica per una funzione f lAND di tutti
imaxtermini si per le configurazioni i dove f=0.
Esempio a b c f (a,b,c)------------------------------------0 0 0
10 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
f (a,b,c) = s1 s3 s7
= (a + b + c` ) (a + b` + c` ) ( a` + b` + c` )
= (a + c` ) ( a` + b` + c` )
= (a + c` ) (a + c` + b` ) ( a` + b` + c` )
= (a + c` ) (a + b` + c` ) ( a` + b` + c` )
= (a + c` ) (b + c` )
NOTA: Ogni maxtermine si puo esprimere come una somma,quindi una
funzione nella seconda forma canonica risulta essereun Prodotto di
Somme (PS).
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Reti a due o piu livelli
Una rete e di livello h se h e il numero massimo di blocchi
logiciche un segnale incontra tra un punto di ingresso e quello di
uscita.
N.B. Generalmente non vengono considerati i blocchi
negazione.
Utilizzando le forme canoniche si possono costruire reti a
duelivelli.
f(a, b, c) = (a + c` ) (b + c` )
a
f(a,b,c)
b c
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PLA Array Logica Programmabile
x1
x`1 piano AND
x2
x`2
x3` x3
z1
piano OR z2z3
Z1 =Z2 =Z3 =
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Selettori
I selettori sono impiegati per dirottare su una linea di
trasmissionemessaggi provenienti da sorgenti diverse (selettori di
ingresso omultiplexer), o per dirottare su linee diverse il
messaggioproveniente da una sorgente (selettori di uscita o
demultiplexer),o per combinare entrambi questi effetti (selettori
di ingresso-uscita).
Un multiplexer e una rete combinatoria in cui alcuni segnali
diingresso rappresentano i messaggi, e altri, detti di
controllo,selezionano le vie attraverso cui instradare i
messaggi.
S C---------------
A 0 AC
B 1 B
S
A
B
S
0
1
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Codificatori e decodificatori
Trasformano parole rappresentate in un dato codice in un
codicediverso.
Esempio codificatore con 23 ingressi e 3 uscite (in generale:
nuscite e 2n ingressi).
x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0 z2 z1
z0-----------------------------------------------------------------------0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0
0 1 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 0 1 0 10 1 0 0 0
0 0 0 1 1 01 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
Le configurazioni ammesse in ingresso sono solo quelle che
hannoesattamente un 1. Luscita la rappresentazione binaria
delnumero che rappresenta la posizione dellunico 1 in ingresso.
Esempio decodificatore con 3 ingressi e 23 uscite.
x2 x1 x0 y7 y6 y5 y4 y3 y2 y1
y0-----------------------------------------------------------------------0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 0 0 1 0 00 1 1
0 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 0 1 0 0 0 01 0 1 0 0 1 0 0 0 0 01 1 0 0 1
0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
