Retculo (orden)(Redirigido desde Reticulado (orden))

Diagrama de Hasse del retculo de particiones del conjunto {1,2,3,4}. En matemtica, un retculo es una determinada estructura algebraica con dos operaciones binarias, o bien un conjunto parcialmente ordenado con ciertas propiedades especficas (siendo equivalentes ambos enfoques). El trmino "retculo" viene de la forma de los diagramas de Hasse de tales rdenes.

Contenido[ocultar]y y y y y y y y

1 Definicin como conjunto ordenado 2 Definicin algebraica 3 Homomorfismos 4 Retculos particulares o 4.1 Propiedades 5 Ejemplos de retculos 6 Nociones importantes de la teora de retculos 7 Referencias 8 Bibliografa

[editar] Definicin como conjunto ordenadoEn teora de conjuntos, un retculo, red o lattice es un conjunto parcialmente ordenado en el cual para cada par de elementos existen un supremo y un nfimo, esto es:

Un conjunto parcialmente ordenado (L, ) se denomina retculo si satisface las siguientes propiedades: Existencia del supremo por pares Para cualesquiera dos elementos a y b de L, el conjunto {a, b} tiene un supremo: (tambin conocido como mnima cota superior, o join en idioma ingls). Existencia del nfimo por pares Para cualesquiera dos elementos a y b de L, el conjunto {a, b} tiene un nfimo: (tambin conocido como mxima cota inferior, o meet en idioma ingls). El supremo y el nfimo de a y b se denotan por y , respectivamente, lo que define a y como operaciones binarias. El primer axioma dice que L es un semiretculo superior; el segundo que L es un semiretculo inferior. Ambas operaciones son montonas con respecto al orden: a1 a2 y b1 b2 implica que a1 b1 a2 b2 y a1 b1 a2 b2. Se sigue por induccin matemtica que para todo subconjunto finito no vaco de un retculo existen un supremo y un nfimo. Ntese que an en un conjunto parcialmente ordenado (L, ) arbitrario, la existencia de algn supremo (o nfimo) z para un subconjunto finito no vaco S de L implica que este supremo (o nfimo) z es nico, puesto que de existir dos o ms cotas superiores (o inferiores) de S que sean incomparables entre s, el supremo (o nfimo) por definicin no existe.

[editar] Definicin algebraicaEn lgebra, en sentido inverso, un retculo es un conjunto L, provisto de dos operaciones binarias y , tales que para cualesquiera a, b, c en L se cumplen a a a b=b (b (a a b) c a a a b=b (b (a a b) c las leyes de conmutatividad las leyes de asociatividad las leyes de absorcin

c) = (a b) = a

c) = (a b) = a

condiciones de las que se derivan a a=a a a=a las leyes de idempotencia

Si las dos operaciones satisfacen estas reglas algebraicas, entonces a su vez definen un orden parcial en L por la regla siguiente: a b si y slo si a b = b, o, equivalentemente, a b = a. L, junto con el orden parcial as definido, sera entonces un retculo en el sentido antedicho de la teora del orden.

Inversamente, si se da un retculo (L, ) en trminos de la teora del orden, y escribimos a b para el supremo de {a, b} y a b para el nfimo de {a, b}, entonces (L, ) satisface todos los axiomas de un retculo definido algebraicamente. Por tanto L es un semiretculo con respecto a cada operacin por separado, es decir, un semigrupo conmutativo, con idempotencia de cada uno de sus elementos. Las operaciones interactan a travs de las leyes de absorcin. Al permutar las operaciones se obtiene el retculo dual de L.

[editar] HomomorfismosLa clase de todos los retculos forma una categora si definimos un homomorfismo entre dos retculos (L, ) y (N, ) como una funcin f: L N tal que f(a f(a b) = f(a) b) = f(a) f(b); f(b);

para todo a y b en L. Si es un homomorfismo biyectivo, entonces su inverso es tambin un homomorfismo, y se llama un isomorfismo de retculos. Los dos retculos implicados son entonces isomorfos; para todos los propsitos prcticos, son iguales y se diferencian solamente en la notacin de sus elementos. Cada homomorfismo es una funcin montona entre los dos retculos, pero no cada funcin montona da un homomorfismo de retculo: adems necesitamos la compatibilidad con supremos e nfimos finitos.

[editar] Retculos particularesEn lo que sigue, por "retculo L" siempre nos referiremos a (L, , ). Un retculo L se denomina distributivo, si sus operaciones son doblemente distributivas:y y

para todo para todo

y .

Como estos dos juicios son equivalentes entre s, basta exigir el cumplimiento de una de las dos leyes distributivas. Un retculo L se denomina modular, si se cumple que:y

para todo

.

Para un retculo L a su vez son equivalentes:

y y y y

L es modular. para todo para todo para todo . . .

Todo retculo distributivo es modular, pero el juicio inverso no se cumple. Un retculo no modular siempre contiene al retculo N5 como subretculo. En caso de que la operaciny

tenga un elemento neutro 0,

a este se lo denomina el 'elemento cero' del retculo. Es nico y es el elemento menor con respecto al orden natural del retculo:y

y

El retculo se denomina entonces retculo con cota inferior. En caso de que la operaciny

tenga un elemento neutro 1,

a este se lo denomina el 'elemento uno' del retculo. Es nico y es el elemento mayor con respecto al orden natural del retculo:y y

y

El retculo se denomina entonces retculo con cota superior. El elemento neutral de una de las operaciones es entonces un elemento absorbente de la otra. Un retculo se denomina acotado si tiene cota superior e inferior, es decir, si ambas operaciones tienen elemento neutro. Para un elemento dado a de un retculo acotado, al elemento b con la propiedady y

y

se lo denomina complemento de a. Un retculo acotado, en el que cada uno sus elementos tiene complemento, se denomina complementado.

Un retculo distributivo complementado se denomina lgebra de Boole o retculo de Boole; cuando en lugar del complemento solamente existe un as llamado pseudocomplemento relativo, se habla de una lgebra de Heyting. Un retculo L se denomina completo si todo subconjunto (inclusive los subconjuntos vaco o posiblemente suconjuntos infinitos) tiene un supremo y un nfimo. Para cada subconjunto M basta exigir la existencia del supremo, ya quey

Un elemento a de un retculo completo L se denomina compacto (segn una propiedad similar en topologa), si todo subconjunto M de L cony

contiene un subconjunto finito E tal quey

.

Un retculo L se denomina algebraico, si es completo y si todo elemento de L es un supremo de elementos compactos.

[editar] PropiedadesTodo retculo completo L es acotado, cony y

y

Todo retculo finito, no vaco L es completo, por lo que tambin es acotado. En un retculo distributivo y acotado, el complemento de un elemento a es nico si existe, lo que suele denotarse como ac (particularmente en el caso de retculos de subconjuntos) o bien a (particularmente en aplicaciones de lgica).y

Demostracin: Sean b y c complementos de a, queremos mostrar que b = c. Ahora se cumple que b = b 1 = b (a c) = (b a ) (b c) = b c. Anlogamente se muestra que c = b c, por lo que b = c.

Sin embargo, si el retculo no es distributivo, pueden existir diversos complementos; va un ejemplo ms adelante. En un retculo distributivo acotado se verifica

y

0 = 1, 1 = 0.

Si a tiene un complemento a, entonces tambin a tiene un complemento, que es:y

(a) = a.

Para otras propiedades de los retculos booleanos vase ese artculo.

[editar] Ejemplos de retculosy

Los subconjuntos de un conjunto dado, ordenados por inclusin. El supremo est dado por la unin y el nfimo por la interseccin de subconjuntos. El intervalo unidad [0, 1] y la recta extendida de nmeros reales, con el orden total familiar y los usuales supremo e nfimo. Los enteros no negativos, ordenados por divisibilidad. El supremo viene dado por el mnimo comn mltiplo y el nfimo por el mximo comn divisor. Los subgrupos de un grupo, ordenado por la inclusin. El supremo viene dado por el subgrupo generado por la unin de los grupos y el nfimo viene dado por la interseccin. Los submdulos de un mdulo, ordenado por la inclusin. El supremo viene dado por de la suma de submdulos y el nfimo por la interseccin. Los ideales de un anillo, ordenado por la inclusin. El supremo viene dado por la suma de ideales y el nfimo por la interseccin. Los conjuntos abiertos de un espacio topolgico, ordenados por la inclusin. El supremo viene dado por la unin de conjuntos abiertos y el nfimo por el interior de la interseccin. los subconjuntos convexos de un espacio vectorial real o complejo, ordenado por la inclusin. El nfimo viene dado por la interseccin de conjuntos convexos y el supremo por la clausura convexa de la unin. Las topologas en un conjunto, ordenadas por la inclusin. El nfimo viene dado por la interseccin de topologas, y el supremo por la topologa generada por la unin de las topologas. El retculo de todas las relaciones binarias transitivas en un conjunto. El retculo de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto; la relacin de equivalencia ~ se considera ser ms pequeo (o "ms fino") que si x~y implica siempre xy.

y

y

y

y

y

y

y

y

y y

El teorema de Knaster-Tarski establece que el conjunto de puntos fijos de una funcin montona en un retculo completo es asimismo un retculo completo. El retculo de submdulos de un mdulo y el retculo de los subgrupos normales de un grupo tienen la propiedad especial que x (y (x z)) = (x y) (x z) para todo x, y y z en el retculo. Un retculo con esta propiedad se llama un retculo modular. La condicin de la modularidad puede tambin ser establecida como sigue: Si x z entonces para todo y tenemos la identidad x (y z) = (x y) z. Un retculo se llama distributivo si distribuye a , es decir, x (y z) = (x y) (x z). equivalentemente, distribuye . Todos los retculos distributivos son modulares. Dos tipos importantes de retculos distributivos son los conjuntos totalmente ordenados y las lgebras booleanas (como el retculo de todos los subconjuntos de un conjunto dado). El retculo de los nmeros naturales, ordenados por divisibilidad, es tambin distributivo. Otras leyes comunes de distributividad (especialmente la ley de distributividad completa) se dan en el artculo sobre distributividad en teora del orden.

[editar] Nociones importantes de la teora de retculosEn lo siguiente, sea L un retculo. Definimos algunas nociones de la teora del orden que son de importancia particular en teora de retculos. Un elemento x de L se llama supremo-irreducible si y slo siy y

x=a

b implica x = a o x = b para cualquier a, b en L,

si L tiene un 0, de x se requiere a veces ser diferente de 0.

Cuando la primera condicin se generaliza a supremos arbitrarios Vai, x se llama totalmente supremo-irreducible. la nocin dual se llama nfimo-irreducibilidad. A veces uno tambin utiliza los trminos -irreducibles y -irreducibles, respectivamente. Un elemento x de L se llama supremo-primo si y slo siy y

xa

b implica x a o x b,

Si L tiene 0, de x se requiere a veces ser diferente de 0.

Una vez ms esto se puede generalizar para obtener la nocin totalmente supremo-primo y dualizar para nfimo-primo. Cualquier elemento supremo-primo es tambin supremoirreducible, y cualquier elemento nfimo-primo es tambin nfimo-irreducible. Si el retculo es distributivo el inverso es tambin verdad. Otras nociones importantes en teora de retculos son ideal y su nocin dual filtro. Ambos trminos describen subconjuntos especiales de un retculo (o de cualquier conjunto

parcialmente ordenado en general). Los detalles se pueden encontrar en los artculos respectivos. La teora del orden es una rama de la matemtica que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la nocin intuitiva del orden matemtico. Este artculo da una introduccin detallada a este campo e incluye algunas de las definiciones ms bsicas. Para una rpida bsqueda de un trmino orden terico, hay tambin un glosario de teora del orden. Una lista de asuntos sobre orden recoge los artculos que existen en relacin a esta teora del orden.

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1 Trasfondo y motivacin 2 Introduccin a las definiciones bsicas o 2.1 Conjuntos parcialmente ordenados o 2.2 Visualizando rdenes o 2.3 Elementos especiales dentro de un orden o 2.4 Dualidad o 2.5 Construyendo nuevos rdenes 3 Funciones entre rdenes 4 Tipos especiales de orden 5 Subconjuntos de conjuntos ordenados 6 reas matemticas relacionadas o 6.1 lgebra universal o 6.2 Topologa o 6.3 Teora de categoras 7 Esquema de temas relacionados 8 Referencias

[editar] Trasfondo y motivacinEl orden aparece por todas partes - por lo menos, si se trata de matemtica y reas relacionadas tales como la informtica. El primer orden que uno tpicamente encuentra en la educacin matemtica de la escuela primaria es el orden de los nmeros naturales. Este concepto intuitivo es fcilmente extendido a otros conjuntos de nmeros, tal como los enteros y reales. De hecho la idea de ser mayor o menor que otro nmero es una de las intuiciones bsicas de los sistemas de numeracin en general (que uno generalmente se interesa tambin en la diferencia real de dos nmeros, que no viene dada por el orden). Otro ejemplo popular de un orden es el orden lexicogrfico de las palabras en un diccionario. Los tipos antedichos de orden tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento, es decir es o mayor, o menor, o igual. Sin embargo,

esto no siempre es un requisito deseable. Un ejemplo bien conocido es el orden de los subconjuntos de un conjunto. Si un conjunto contiene los elementos de cierto otro conjunto, entonces se puede decir que es menor o igual. Con todo, hay conjuntos que pueden no ser comparables de este modo, puesto que cada uno puede contener algn elemento que no est presente en el otro. Por lo tanto, inclusin de subconjuntos es un orden parcial, en comparacin con los rdenes totales dados antes. Alentadas por los amplios usos prcticos de los rdenes, se pueden definir numerosas clases especiales de conjuntos ordenados, algunas de las cuales han llegado a ser campos matemticos por s mismos. Adems, la teora del orden no se restringe a las varias clases de relaciones de orden, sino que tambin considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad orden terica viene del anlisis donde encontramos con frecuencia a las funciones montonas.

[editar] Introduccin a las definiciones bsicasEsta seccin tiene como objetivo dar una primera gua al reino de los conjuntos ordenados. Est dirigida al lector que tiene un conocimiento bsico teora de conjuntos y aritmtica y que sabe qu es una relacin binaria, pero que no est familiarizado, hasta ahora, con consideraciones tericas sobre orden.

[editar] Conjuntos parcialmente ordenadosComo ya se hizo alusin arriba, un orden es una relacin binaria especial. Por lo tanto consideremos algn conjunto P y una relacin binaria en P. Entonces es un orden parcial si es reflexiva, antisimtrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que: a a (reflexividad) si a b y b c entonces a c (transitividad) si a b y b a entonces a = b, (antisimetra). Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset (del ingls partially ordered set). El trmino conjunto ordenado a veces tambin se utiliza para los posets, mientras est claro del contexto que no se quiere significar ninguna otra clase de rdenes. Comprobando esta propiedad, se ve inmediatamente que los bien conocidos rdenes de los naturales, enteros, racionales y reales son todos rdenes en el antedicho sentido. Sin embargo, tienen la propiedad adicional de ser total, es decir, para todo a, b en X a b o b a (totalidad) este orden se puede tambin llamar orden lineal o cadena. mientras que muchos rdenes clsicos son lineales, el orden entre subconjuntos de un conjunto proporciona un ejemplo donde ste no es el caso. De hecho, muchas propiedades avanzadas de los posets son interesantes principalmente para un orden no lineal.

[editar] Visualizando rdenesAntes de proceder con ms ejemplos y definiciones, ser provechoso poder exhibir un orden de una manera grfica conveniente, para proporcionar un "cuadro" que uno pueda tener en mente (o en papel) cuando se intente acceder a conceptos ms abstractos. Para este propsito se han introducidos los, as llamados, diagramas de Hasse. Estos son grafos donde los vrtices son los elementos del poset y la relacin de orden est indicada por las aristas y la posicin relativa de los vrtices. Los rdenes se dibujan de abajo hacia arriba: si un elemento x es menor que y entonces existe una trayectoria de x hasta y que se dirige hacia arriba. A menudo es necesario que la conexin entre puntos se intersequen, pero los puntos nunca deben ser situados en conexin directa entre otros dos puntos. An los conjuntos infinitos pueden a veces ser ilustrados por diagramas similares, usando puntos suspensivos (...) despus de dibujar un suborden finito que sea lo suficientemente instructivo. Esto funciona bien para los nmeros naturales, pero falla para los reales, donde no existe el inmediato sucesor. Sin embargo, frecuentemente se obtiene una intuicin relacionada con diagramas de este tipo. Todos los rdenes antedichos son muy comunes en matemtica, sin embargo hay tambin ejemplos que uno no considera a menudo como rdenes. Por ejemplo, la relacin de identidad "=" en un conjunto es un orden parcial. Dentro de este orden, cualesquiera dos (i.e. distintos) elementos son incomparables. Es tambin la nica relacin que es un orden parcial y una relacin de equivalencia. El diagrama de Hasse de tal orden discreto es solamente una coleccin de puntos etiquetados, sin ninguna arista entre ellos. Otro ejemplo viene dado por la relacin de divisibilidad "|". Para dos nmeros naturales n y m, escribimos n|m si n divide a m sin resto. Uno ve fcilmente que esto da realmente un orden parcial. Un ejercicio instructivo es dibujar el diagrama de Hasse para el conjunto de los nmeros naturales que son menores o iguales que, digamos, 13, ordenados por |.

[editar] Elementos especiales dentro de un ordenEn un conjunto parcialmente ordenado hay algunos elementos que desempean un papel especial. El ejemplo ms bsico est dado por el mnimo de un poset. Por ejemplo, 0 es el mnimo de los nmeros naturales y el conjunto vaco es el mnimo bajo el orden de subconjuntos. Formalmente, esto se puede describir por la propiedad: 0 a, para todo elemento a del conjunto ordenado. Es frecuente encontrar la notacin 0 para el mnimo, incluso cuando no se refiera a nmeros. Sin embargo, en un orden de un conjunto numrico, esta notacin puede ser inadecuada o ambigua, puesto que el nmero 0 no siempre es el mnimo. Un ejemplo es el antedicho orden de divisibilidad |, donde 1 es el mnimo puesto que divide a todo el resto de nmeros. Por otra parte, 0 es un nmero que se divide por todo el resto de nmeros. Por lo tanto es el mximo del orden! Otros trminos frecuentes para estos elementos son fondo y tapa o cero y uno. Pueden no existir los elementos "mnimo" o "mximo", como

demuestra el ejemplo de los nmeros reales. Por otra parte, si existen son siempre nicos. En contraste, consideremos la relacin de divisibilidad | en el conjunto {2, 3, 4, 5, 6}. Aunque este conjunto no tiene ni tapa ni fondo, los elementos 2, 3, y 5 no tienen ningn elemento debajo, mientras que 4, 5, y 6 no tienen ninguno otro nmero arriba. Tales elementos se llaman minimales y maximales, respectivamente. Formalmente, un elemento m es minimal si: a m implica a = m, para todo elemento a. Intercambiando con obtenemos la definicin de maximal. Como el ejemplo demuestra, puede haber muchos elementos minimales o maximales y algn elemento puede ser maximal y minimal (e.g. 5 arriba). Sin embargo, si hay un elemento mnimo, entonces es el nico elemento minimal del orden. (Si se sigue estrictamente la definicin dada. Lamentablemente hay una tradicin matemtica "a contrario": considerar los minimales y maximales en el conjunto despojado de su mximo y su mnimo, si los hubiere. Esto debe recordarse. N.T.). Una vez ms, en los posets no siempre hay infinitos elementos maximales - el conjunto de todos los subconjuntos finitos en un conjunto infinito dado, ordenado por inclusin de subconjuntos, proporciona uno, entre muchos, contraejemplo. Una herramienta importante para asegurar la existencia de elementos maximales bajo ciertas condiciones es el Lema de Zorn. Los subconjuntos de un conjunto parcialmente ordenado heredan el orden. Ya aplicamos esto al considerar el subconjunto {2, 3, 4, 5, 6} de los nmeros naturales con el orden de divisibilidad inducido. Hay tambin elementos de un poset que son especiales con respecto a cierto subconjunto del orden. Esto conduce a la definicin de cota superior. Dado un subconjunto S de cierto poset P, una cota superior de S es un elemento b de P que est sobre todo elemento de S. Formalmente, esto significa que s b, para todo s en S. Cota inferior se define invirtiendo el orden. Por ejemplo, -5 es una cota inferior de los nmeros naturales como subconjunto de los enteros. Dado un conjunto de conjuntos , una cota superior para stos conjuntos viene dado por su unin. De hecho, esta cota superior es muy especial: es el ms pequeo conjunto que contiene todos los conjuntos dados. Por lo tanto, encontramos la menor cota superior de un conjunto de conjuntos. Este concepto se llama tambin supremo y para un conjunto S se escribe sup S o VS para su menor cota superior. Inversamente, la mayor cota inferior se la conoce como nfimo y se denota inf S o ^S. Este concepto desempea un papel importante en muchos usos de la teora del orden. Para dos elementos x y y, uno tambin escribe x v y y x ^ y para sup{x, y} e inf{x, y}, respectivamente. Usando Wikipedia TeX markup, uno puede tambin escribir y , as como smbolos

grandes y . Observe, sin embargo, que todos esos smbolos pueden no tener smbolo de tamao correspondiente al de la fuente del texto estndar y, por tanto, se prefiere utilizarlos en lneas adicionales. Muchos de los navegadores de hoy son incapaces de representar para v y para ^ en algunas plataformas, y por lo tanto se evita aqu.

Considere otro ejemplo en la relacin | para los nmeros naturales. La menor cota superior de dos nmeros es el menor nmero que es mltiplo de ambos, es decir el mnimo comn mltiplo. Mayor cota inferior es, alternativamente, el mximo comn divisor.

[editar] DualidadEn las anteriores definiciones, a menudo, observamos que un concepto puede ser definido por invertir simplemente el orden en una definicin anterior. Este es el caso para "menor" y "mayor", para "mnimo" y "mximo", para "cota superior " y "cota inferior", etctera. Esto es una situacin general en teora de orden: Un orden dado se puede invertir con solamente intercambiar su direccin, pictricamente dar vuelta el diagrama de Hasse de arriba para abajo. Esto da el, as llamado, orden dual, inverso u opuesto. Cada definicin orden terica tiene su dual: es la nocin que se obtiene al aplicar la definicin al orden inverso. Dada la simetra de todos los conceptos, esta operacin preserva los teoremas del orden parcial. Para un resultado matemtico dado, se puede, simplemente, invertir el orden y substituir todo definicin por su dual y obtener otro teorema vlido. Esto es importante y til, puesto que uno obtiene dos teoremas al precio de uno. Ms detalle y ejemplos se pueden encontrar en el artculo sobre dualidad en teora de orden.

[editar] Construyendo nuevos rdenesHay muchas maneras de construir rdenes, o para combinar rdenes en uno nuevo. El orden dual es un primer ejemplo. Otra importante construccin es el producto cartesiano de dos conjuntos parcialmente ordenados, junto con el orden producto en pares de elementos. Esto se define por los rdenes originales haciendo (a, x) (b, y) si a b y x y. La unin disjunta de dos posets es otra tpica construccin, donde el orden es exactamente la unin de los rdenes originales. Como en el caso del orden usual de nmeros, cada orden parcial da lugar a un orden estricto