Fisika FMIPA UNSRI 1

LanjutanReview Analisis Vektor

INTEGRAL KALKULUS

Fisika FMIPA UNSRI 2

1. Teorema Dasar Gradien

o Integral garis sepanjang lengkungan kurva tertentu dari suatu turunan(gradien) diberikan oleh harga fungsi dibatas kurva (a dan b).

∫ −=•∇b

a

aTbTldT )()()(v

Fisika FMIPA UNSRI 3

Teorema Dasar Gradien

1. ∫ •∇b

a

lintasanbergantungtdk:ldTv

2. ∫ =•∇ 0)( ldTv

∫ =−=•∇b

a

T(a)T(a)ldT 0v

Fisika FMIPA UNSRI 4

CONTOH 1.1:

1. Tinjau T = xy2 dan titik-titik a=(0,0,0); b = (2, 1, 0). Periksalah kebenaran teorema gradien!

Fisika FMIPA UNSRI 5

SOLUSI:

dx21

dy

x21

y2;0:x

dzkdyjdxild

2xyjyiT 2

=

=→

++=

+=∇v

Fisika FMIPA UNSRI 6

SOLUSI:

dz)kdyjdxi(2xy)jyi(ldT 2 ++•+=•∇v

= y2dx + 2 xy dy = ¼ x2dx + ½x2dx

∫∫ ===•∇2

0

2

0

32 241

43

ldT xdxxv

................. (*)

T(b) – T(a) = 2 – 0 = 2 ….………. (**)

Jadi (*) = (**): menunjukkan kebenaran teotema gradien

Fisika FMIPA UNSRI 7

PR:o Problem 1.29

Fisika FMIPA UNSRI 8

2. TEOREMA DASAR DIVERGENSI( = teorema Gauss = teoremaGreen)

( )∫ ∫ •=•∇vol surface

adVdV vvvτ

∫∫∫∫∫ •=•∇ sdVdVV vvvATAU:

intergral turunan(divergensi) suatu fungsi pada suatu daerah tertentu sama dengan harga fungsi tersebut pada permukaan batas yang membatasi volume tersebut.

Fisika FMIPA UNSRI 9

CONTOH 2.1:

Solusi:asal. titik darisatuan -satu panjangdengan ,ˆ)2(ˆ)2(ˆ

:fungsin menggunaka divergensi teoremakebenaran Periksalah22 kyzjzxyiyV +++=

v

Fisika FMIPA UNSRI 10

è Sekarang tinjau integral permukaan(sisi kanan teorema), lihat gambar berikut:

(*)2)(

11

121

21

)21

(

21

)(21

)(

)(2)(2)(

)(2220ˆ)2(ˆ)2(ˆˆˆˆ

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

0

1

0

1

0

22

LLv

v

v

∫

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫∫∫

=•∇∴

=

=+=+

+=+=+

+=+=•∇

+=++=+++•

∂∂

+∂∂

+∂∂

=•∇

vol

vol

dV

dz

dyy

yxyxdxyx

dxdydzyxdyxdV

yxyxkyzjzxyiyz

ky

jx

iV

τ

ττ

Fisika FMIPA UNSRI 11

Fisika FMIPA UNSRI 12

∫∫∫∫ ∫ ====•

=•+++=•==1

0

1

0

1

0

31

0

21

0

222

31

31

)31

(

ˆ)ˆ)2(ˆ)2(ˆ(;1;ˆ

dzdzydzdyyadV

dzdyyidzdykyzjzxyiyadVxidzdyad

vv

vvv

∫∫∫∫ ∫ −=−=−=−=•

−=

−•+++=•=−=

1

0

1

0

1

0

31

0

21

0

2

22

31

31

)31

(

)ˆ()ˆ)2(ˆ)2(ˆ(;0);ˆ(

dzdzydzdyyadV

dzdyy

idzdykyzjzxyiyadVxidzdyad

vv

vvv

34

)2(

)2(

ˆ)ˆ)2(ˆ)2(ˆ(;1;ˆ

1

0

21

0

2

22

=+=•

+=

•+++=•==

∫∫ ∫ dzdxzxadV

dzdxzx

jdzdxkyzjzxyiyadVyjdzdxad

vv

vvv

Fisika FMIPA UNSRI 13

31

)(

)ˆ()ˆ)2(ˆ)2(ˆ(;0);ˆ(

1

0

21

0

2

22

−=−=•

−=

−•+++=•=−=

∫∫ ∫ dzdxzadV

dzdxz

jdzdxkyzjzxyiyadVyjdzdxad

vv

vvv

1)2(;1;ˆ1

0

1

0

==•== ∫∫ ∫ dydxyadVzkdydxad vvv

0)2(;0);ˆ(1

0

1

0

=−=•=−= ∫∫ ∫ dydxyadVzkdydxad vvv

∫ =++−+−=•s

adVflukstotalJadi 20131

34

31

31

: vv…… (**)

Jadi terlihat bahwa (*) = (**) è kebenaran teorema divergensi

Fisika FMIPA UNSRI 14

Latihan 1. (P.1.31)

2.lenght of sideswith 1, figin shown cube theeyour volum as Take

,ˆ3ˆ2ˆ :function for the theoremdivergence Test the

kxzjyzixyV ++=v

Fisika FMIPA UNSRI 15

3. TEOREMA DASAR CURL (= teorema Stokes)

( )∫ ∫ •=•×∇surface bl

ldVadVvvvv

Fisika FMIPA UNSRI 16

Contoh 3.1:

disampinggambar sepertipermukaan untuk

Stokes, teoremakebenaran tunjukkan

ˆ)4(ˆ)32(

: diketahui Jika22 kyzjyxzv ++=v

Fisika FMIPA UNSRI 17

Solusi:

dzdyxz

idzdykzixzadv

idzdyadkzixzv

)24(

ˆ)ˆ)2(ˆ)24(()(

ˆ;ˆ)2(ˆ)24(

2

2

2

−=

⋅+−=⋅×∇

=+−=×∇vv

vv

( )

∫ ∫

∫ ∫ ∫

==

−=•×∇

1

0

1

0

2

1

0

1

0

2

34

)4(

)24(

dydzz

dydzxzadVsurface

vvJadi:

……. (#)

Fisika FMIPA UNSRI 18

Sekarang hitung untuk suku yg disebelahtanda sama dengan:

...=•∫bl

ldVvv

34

0134

1 =+−+=•∫bl

ldVvv

……….. (##)

Fisika FMIPA UNSRI 19

PR:

1. P.1.33

Fisika FMIPA UNSRI 20

CURVILINEAR COORDINAT

1. SPHERICAL POLAR COORDINAT[koordinat bola]

2. CYLINDRICAL COORDINAT[koordinat silinder]

Fisika FMIPA UNSRI 21

KOORDINAT BOLA (r, θ, φ)

Dengan:r : jarak dr ttk asalθ : sudut polar(0-π)φ : sudut azimut(0-2π)

P’

Oθ

Kita tinjau gambar berikut:

'O

'O

'O

Pcos

Psin

rP

sin

x

y

=

=

=

φ

φ

θ

Fisika FMIPA UNSRI 22

Hubungan (r, θ, φ) dgn (x,y,z)

φθ φθˆˆˆAA

:ditulisdpt ,A vektor mempunyai kita Jika

r AAr ++=v

v

x = r sin θ cos φy = r sin θ sin φz = r cos θ

Dgn: Ar, Aθ, dan Aφ; masing2 komponen arahradial, polar dan azimut

Fisika FMIPA UNSRI 23

Hubungan antar vektor satuan:

j cosi sinˆk sinj sincosi coscosˆk osj sinsini cossinˆ

φφφ

θφθφθθ

θφθφθ

+−=

−+=

++= cr

φφθθθ ˆ d sinr ˆ d ˆ ++= rrdrldv

Vektor perpindahan:

Fisika FMIPA UNSRI 24

Elemen volume:

φθθ

τ φθ

d ddr sinr 2=

= dldldld r

Fisika FMIPA UNSRI 25

Grad, div, curl, dan Laplasian:

Fisika FMIPA UNSRI 26

KOORDINAT SILINDER (r, φ, z)Perhatikan gambar berikut:

Dengan:x = r cos φy = r sin φz = z

r

Fisika FMIPA UNSRI 27

Vektor satuan, vektor perpindahan & elemen volume:

zdzdrrdrld

dzdlrddldrdl zr

ˆ ˆ ˆ

:jadi

dan ; ; :nperpindahaVektor

++=

===

φφ

φφ

v

Elemen volume:

dτ=r dr dφ dz

Fisika FMIPA UNSRI 28

Grad, div, curl, dan Laplasian:

Fisika FMIPA UNSRI 29

PR:1. P.1.382. P.1.41