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IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Revisão IDinâmica Movimento da Aeronave, aproximação de
Corpo Ŕıgido (6DoF)
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Aplicação da 2a. Lei: resumoSistemas de referência
Introdução
CGxb
zb
yb
p
q
r
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Aplicação da 2a. Lei: resumoSistemas de referência
IntroduçãoAplicação da 2a. Lei: resumo
Como já foi visto:Considerando a aeronave como corpo ŕıgido,a Terra como referencial inercial, a diádicade inércia constante, a atmosfera parada(sem vento), e desconsiderando a variaçãode massa, a aplicação da 2a. Lei de Newtonresume-se portanto a:
δV0δt
=Fext
m− ω ×V0
e
δω
δt= J−1
(MextCM − ω × (Jω)
)xI yI
zI
Terra
CM
RR0
r
xB
zB
sistema de referência
do corpo (não inercial)
sistema de referência da Terra
(considerado inercial)
elemento
de massa
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Aplicação da 2a. Lei: resumoSistemas de referência
IntroduçãoSistemas de referência
As forças e momentos, bem como velocida-des e acelerações da aeronave estão escritosem diferentes sistemas de referência, em es-pecial:
I sistema de referência terrestre(considerado inercial)
I sistema de referência do corpo
I sistema de referência aerodinâmico
I sistema de referência propulsivo
Faça uma revisão das definições e das ma-trizes de transformação!
ybxb
zazb
ya
xa
CM
b
a
plano formadopor x e ya b
plano desimetria x zb b
V
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoDinâmica de translação
Comecemos com a 2a. Lei aplicada à dinâmica de translação:
δV0δt
=Fext
m− ω ×V0
I soma das forças externas, no referencial do corpo:
Fext = Lba
−DY−L
+ Lbp T0
0
︸ ︷︷ ︸ FxFy
Fz
+Lbt
00mg
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoDinâmica de translação
I vetor velocidade do CG, no referencial do corpo:
V0 =
uvw
Não se esqueça que:
V0 = Lba
V00
= uv
w
Dáı saem as relações entre as componentes u, v , w com V , α e β queveremos adiante.
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoDinâmica de translação
I vetor velocidade de rotação da aeronave em relação ao referencial daTerra, escrito no referencial do corpo:
ω =
pqr
NOTA: o produto vetorial ω×V0 pode ser calculado pela produto matri-cial:
ω ×V0 =
0 −r qr 0 −p−q p 0
uvw
= qw − rv−pw + ru
pv − qu
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoDinâmica de translação
A aplicação de:
δV0δt
=Fext
m− ω ×V0
resume-se portanto a: u̇v̇ẇ
= Fx/mFy/m
Fz/m
︸ ︷︷ ︸
aero + prop
+
−g sin θg cos θ sinφg cos θ cosφ
︸ ︷︷ ︸
gravidade
+
−qw + rvpw − ru−pv + qu
︸ ︷︷ ︸
rotação
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoDinâmica de rotação
Passemos à aplicação da 2a. Lei à dinâmica de rotação:
δω
δt= J−1
(MextCM − ω × (Jω)
)I soma dos momentos externos, no referencial do corpo:
Mext = MA︸︷︷︸aero
+MF︸︷︷︸prop
=
LMN
IntroduçãoDinâmica do movimento
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Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoDinâmica de rotação
Considerando simetria com relação ao plano que corta a aeronave vertical-mente na linha de referência da fuselagem:
J =
Jxx 0 −Jxz0 Jyy 0−Jxz 0 Jzz
,a solução algébrica leva a (veja próximo slide a obtenção usando MATLABsimbólico):
ṗq̇ṙ
=
−JzzL−JxzN+Jxz (−Jxx+Jyy−Jzz )pq+(J2xz+J2zz−JyyJzz )qr
J2xz−JxxJzzM+(Jzz−Jxx )pr+Jxz (r2−p2)
Jyy−JxzL−JxxN+(JxxJyy−J2xx−J
2xz )pq+Jxz (Jxx−Jyy+Jzz )qr
J2xz−JxxJzz
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Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoDinâmica de rotação
Usando MATLAB simbólico para calcular J−1 (MextCM − ω × (Jω)):syms p q r Jxx Jyy Jzz Jxz L M N
% angular velocity
om=[p;q;r];
% inertia diadic
J=[Jxx,0,-Jxz;0,Jyy,0;-Jxz,0,Jzz];
% total external moment
Mext=[L;M;N];
simplify((J^(-1))*(Mext-cross(om,J*om)))
Obtém-se como resposta:ans =
- (Jxz*(N + q*(Jxx*p - Jxz*r) - Jyy*p*q))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) - (Jzz*(L + q*(Jxz*p - Jzz*r) + Jyy*q*r))/(Jxz^2 -
Jxx*Jzz)
-(p*(Jxz*p - Jzz*r) - M + r*(Jxx*p - Jxz*r))/Jyy
- (Jxx*(N + q*(Jxx*p - Jxz*r) - Jyy*p*q))/(Jxz^2 - Jxx*Jzz) - (Jxz*(L + q*(Jxz*p - Jzz*r) + Jyy*q*r))/(Jxz^2 -
Jxx*Jzz)
IntroduçãoDinâmica do movimento
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Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoSistema de equações diferenciais
Chegamos ao seguinte sistema de equações diferenciais:
u̇ = Fx/m − g sin θ − qw + rvv̇ = Fy/m + g cos θ sinφ+ pw − ruẇ = Fz/m + g cos θ cosφ− pv + qu
ṗ =−JzzL− JxzN + Jxz (−Jxx + Jyy − Jzz ) pq +
(J 2xz + J
2zz − JyyJzz
)qr
J 2xz − JxxJzz
q̇ =M + (Jzz − Jxx ) pr + Jxz
(r2 − p2
)Jyy
ṙ =−JxzL− JxxN +
(JxxJyy − J 2xx − J 2xz
)pq + Jxz (Jxx − Jyy + Jzz ) qr
J 2xz − JxxJzz
IntroduçãoDinâmica do movimento
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Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoSistema de equações diferenciais
Para resolver esse sistema de equações diferencias é necessário conhecerainda:
I α, β e V : modelo aerodinâmico / modelo propulsivo
I altitude H : modelo aerodinâmico / modelo propulsivo
I θ e φ: entram diretamente nas equações
IntroduçãoDinâmica do movimento
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Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoCinemática de translação
Da cinemática de translação temos que:
dR0d t
= V0
Escrevendo-se os vetores no sistema terres-tre: ẋẏ
−Ḣ
= LTbt uv
w
onde, lembrando:
I Lbt é a matriz de transformaçãoI u, v e w são as componentes de V0
no sistema do corpo
xI yI
zI
Terra
CM
RR0
r
xB
zB
sistema de referência
do corpo (não inercial)
sistema de referência da Terra
(considerado inercial)
elemento
de massa
IntroduçãoDinâmica do movimento
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Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoCinemática de translação
No MATLAB simbólico:syms psi theta phi u v w real
% IRF to BRF
Lpsi=[cos(psi) sin(psi) 0;-sin(psi) cos(psi) 0;0 0 1];
Ltheta=[cos(theta) 0 -sin(theta);0 1 0;sin(theta) 0 cos(theta)];
Lphi=[1 0 0;0 cos(phi) sin(phi);0 -sin(phi) cos(phi)];
% transformation matrix
Lbt=Lphi*Ltheta*Lpsi;
% vector velocity, written on IRF
simplify(Lbt’*[u;v;w])
Em regime sem a presença de vento, x e ysão ignoráveis. A equação de Ḣ é:
Ḣ = u sin θ − v cos θ sinφ− w cosφ cos θ
xI yI
zI
Terra
CM
RR0
r
xB
zB
sistema de referência
do corpo (não inercial)
sistema de referência da Terra
(considerado inercial)
elemento
de massa
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoCinemática de rotação
Da cinemática de rotação, temos no sistemado corpo (lembre-se que os ângulos de Eulernão estão definidos no sistema do corpo!):
φ̇00
+Lφ 0θ̇
0
+LφLθ 00ψ̇
= ω = pq
r
Logo (use o MATLAB simbólico por exem-plo):
φ̇ = p + tan θ(q sinφ+ r cosφ)
θ̇ = q cosφ− r sinφ
ψ̇ =q sinφ+ r cosφ
cos θ
CGxb
zb
yb
p
q
r
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimento
Dinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Dinâmica do movimentoRelação entre (u,v,w) e (V,α,β)
Da relação geométrica entre os sistemas ae-rodinâmico e do corpo:
V =√
u2 + v2 + w2
α = arctanw
u
β = arcsinv
V
Porém, por vezes é conveniente usar as equa-ções com as variáveis do segundo conjunto.Logo:
V̇ = (uu̇ + v v̇ + wẇ) /V
α̇ = (uẇ − wu̇) /(u2 + w2
)β̇ =
(V v̇ − vV̇
)/(V√
u2 + w2)
ybxb
zazb
ya
xa
CM
b
a
plano formadopor x e ya b
plano desimetria x zb b
V
u = V cosβ cosα
v = V sinβ
w = V cosβ sinα
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio
Equações completas do movimento
V̇ = (uu̇ + vv̇ + wẇ) /V
θ̇ = q cosφ− r sinφ
q̇ =M + (Jzz − Jxx ) pr + Jxz
(r2 − p2
)Jyy
α̇ = (uẇ − wu̇) /(u2 + w2
)Ḣ = u sin θ − v cos θ sinφ− w cosφ cos θ
β̇ =(V v̇ − vV̇
)/(V√
u2 + w2)
ṙ =−JxzL− JxxN +
(JxxJyy − J2xx − J2xz
)pq + Jxz (Jxx − Jyy + Jzz ) qr
J2xz − JxxJzzφ̇ = p + tan θ(q sinφ+ r cosφ)
ṗ =−JzzL− JxzN + Jxz (−Jxx + Jyy − Jzz ) pq +
(J2xz + J
2zz − JyyJzz
)qr
J2xz − JxxJzz
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio
Equações completas do movimento
O sistema de equações diferenciais assim obtido pode ser integrado nume-ricamente, dados:
I condição inicial
I comandos
Vetor de estado, no sistema completo:
X = [ V̇ θ̇ q̇ α̇ Ḣ β̇ ṙ φ̇ ṗ ]T
5 variáveis longitudinais 4 variáveis látero-direcionais
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio
Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio
Considerando-se apenas os controles primários:I 9 estadosI 4 controles
No equiĺıbrio:I taxas de variação nulas: p = q = r = 0I equações de θ̇ e φ̇ anulam-se identicamente, veja:
θ̇ = q cosφ− r sinφ
φ̇ = p + tan θ(q sinφ+ r cosφ)
Logo:I restam 7 equaçõesI 6 estados + 4 controles a serem determinados
Portanto, 3 grandezas precisam ser estipuladas a priori:
velocidade de voo (V ), altitude de voo (H ),ângulo de derrapagem (β,normalmente nulo)
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio
Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio
Casos de exceção: voo de subida permanente
I neste caso, Ḣ /V é igual aogradiente de subida
I como a densidade varia, éválido somente nas redondezasda condição de operaçãoinformada
retirado de news.delta.com
IntroduçãoDinâmica do movimento
Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio
Equações completas do movimentoDeterminação do equiĺıbrio
Casos de exceção: curva permanente
I neste caso, ψ̇ = Ω é o gradiente de curva, e φ̇ = θ̇ = 0
I da relação entre as componentes da velocidade angular, 3 estadosficam estipulados:
pE = −Ω sin θEqE = Ω sinφE cos θE
rE = Ω cosφE cos θE
I 7 equações: 4 controles + 3 estados podem ser determinados
I 3 estados estipulados (V, H, e β = 0 para curva coordenada)
I NOTE: os comandos obtidos são para manter a condição de voo, enão para se chegar a ela!
IntroduçãoAplicação da 2a. Lei: resumoSistemas de referência
Dinâmica do movimentoDinâmica de translaçãoDinâmica de rotaçãoSistema de equações diferenciaisCinemática de translaçãoCinemática de rotaçãoRelação entre (u,v,w) e (V,,)
Equações completas do movimentoDeterminação do equilíbrio