REVISTA DE ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA · A un siglo de la primera edicio´n de la Teor´ıa del Desenvolvimiento Economico, ... los conceptos de Schumpeter se encuentran

Volumen 5

Número 1

Enero-Junio

2011

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Cristian Alonso y Eduardo Fracchia

El Emprendedor Shumpeteriano

Aportes a la Teoría Económica Moderna

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Caracterización y modelado de redes: el caso de la Bolsa

Mexicana de Valores

Humberto Valencia Herrera

Value at risk and return from the use Bayesian methods for stress testing

in a world asset allocation and the 2008-2009 crises

Arturo Cortés Aguilar

Estimación del residual de un bono respaldado por hipotecas mediante un modelo

de riesgo crédito: una comparación de resultados de la teoría de cópulas y el modelo

IRB de Basilea II en datos del mercado hipotecario mexicano

Beatriz Mota Aragón

Capital Investments and the real options: new proposes

Igor P. Rivera, Enzo D’Antonio di Vito D. y Andrés Fundia

Valuación de Swaptions Bermuda basada en el modelo LIBOR

adaptado a vectores frontera

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Artıculos

Pagina

Cristian Alonso y Eduardo FracchiaEl emprendedor Shumpeteriano Aportes a la TeorıaEconomica Moderna .................................................................................1

Linda Margarita Medina Herrera y Jose Benito Dıaz HernandezCaracterizacion y modelado de redes: el caso de la BolsaMexicana de Valores .................................................................................23

Humberto Valencia HerreraValue at risk and return from the use of Bayesian methods for stresstesting in a world asset allocation and the 2008-2009 crises ....................33

Arturo Cortes AguilarEstimacion del residual de un bono respaldado por hipotecas medianteun modelo de riesgo credito: una comparacion de resultadosde la teorıa de copulas y el modelo IRB de Basilea II endatos del mercado hipotecario mexicano ...................................................50

Beatriz Mota AragonCapital Investments and real options:news proposes.............................................................................................65

Igor P. Rivera, Enzo D’Antonio di Vito D y Andres FundiaValuacion de Swaptions Bermuda basada en el modelo LIBORadaptado a vectores frontera........................................................................77

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa (Journal of Management, Finance and

Economics), vol. 5, num. 1 (2011), pp. 1-22.

El Emprendedor Schumpeteriano

Aportes a la Teorıa Economica ModernaCristian Alonso ∗

Eduardo Fracchia∗∗

Recibido 13 de septiembre de 2010. Aceptado 16 de diciembre de 2010

Resumen

A un siglo de la primera edicion de la Teorıa del Desenvolvimiento Economico,las ideas de Schumpeter conservan una vigencia notable que sorprenderıa alpropio autor. En este artıculo se propone releer en particular el segundo capıtulode su obra a la luz del contexto actual y analizar en que modo sus ensenanzassiguen siendo validas y cuan consistente fue a lo largo de su vida academica.Se ensaya tambien un rapido analisis de su influencia sobre las corrientes depensamiento actuales y las teorıas modernas de innovacion y entrepreneurship.

Abstract

One century after the first edition of the Theory of the Economic Development,Schumpeter’s ideas remain so current that Schumpeter himself would be sur-prised. In this paper we propose to perform a new reading especially over thesecond chapter of the Theory in order to check the validity of his teachings andhis consistency over time. A quick review of Shumpeter’s influence over currenteconomic research and over modern theory of innovation and entrepreneurshipis also included.

Clasificacion JEL : B20, O30

Palabras clave: Schumpeter, Emprendedor, Innovacion

Introduccion

Schumpeter es un autor imposible de encasillar. Admira a Walras ferviente-mente pero comparte con los austrıacos el rechazo al estado estacionario. Creeinevitable el avance de las economıas hacia el socialismo pero no por el fracasodel capitalismo como senalara Marx, sino por su exito. Schumpeter no formaparte de ninguna de las grandes escuelas teoricas y, sin embargo (o quizas poreso mismo), es que puede percibirse su influencia en economistas sumamentedisımiles. Este trabajo no es una sıntesis de la obra schumpeteriana ni unaexposicion detallada de como ha influido en la teorıa economica. El objetivode este trabajo es simplemente releer a Schumpeter hoy y apreciar que tan

∗ IAE Universidad Austral. E-mail: [email protected]∗∗ IAE Universidad Austral. Casilla de correo No.49. Mariano Acosta s/n y Ruta Nacional

8 (B1629WWA) Pilar. Buenos Aires. Argentina. E-mail: [email protected]

2 Revista de Administracion, Finanzas y Economıa

vigentes son sus ideas. Una propuesta que puede sonar atractiva si se consi-dera que pronto se cumpliran cien anos de la primera edicion de su “Teorıa delDesenvolvimiento Economico”. 1

La seccion II ofrece una breve introduccion biografica, necesaria dada laimportancia que se le atribuye a ciertos eventos de su vida personal sobre sutrabajo. En la tercera parte se discuten los conceptos que constituyen el nucleode su teorıa; el emprendedor schumpeteriano que, mediante la introduccion deinnovaciones, motoriza el proceso de desarrollo no lineal de la sociedad. Eneste punto se propone una explicacion grafica de la nocion de nuevas combina-ciones para mostrar que se trata de un concepto superador al de mero cambiotecnologico del ideario neoclasico. En la seccion IV se discute la tesis de ob-solescencia del emprendedor. Y en la seccion V se presentan algunas ideas delpensamiento neo-schumpeteriano. No es la intencion de ese apartado presentaruna discusion formal de las distintas ramas, sino simplemente evidenciar quelos conceptos de Schumpeter se encuentran presentes en la actualidad en doscorrientes de pensamiento opuestas que emplean metodologıas distintas paraformalizar las mismas nociones. Por ultimo, la seccion VI retoma el tema de lainnovacion para mostrar la vigencia de las ideas del autor en este topico.

2. Vida y obra de Joseph Shumpeter

Joseph Alois Schumpeter nacio el 8 de febrero de 1883 en el pequeno pueblode Triesch, en Moravia (posteriormente parte del Imperio Austrohungaro y, enla actualidad, de la Republica Checa). En el seno de una familia acomodada,propietaria de una fabrica textil, Schumpeter crecio observando la cotidianeidaddel manejo de los negocios. Inicio sus estudios de abogacıa en la Universidadde Viena, aunque pronto mostro interes por la economıa. En particular, fuealumno de Friedrich von Wieser y de Eugen von Boehm-Bawerk, entre otroseminentes miembros de la escuela austrıaca, cuya influencia resultara notabledurante toda su carrera. En 1906 obtuvo su doctorado y en 1909 se inicio enla labor docente en la Universidad de Czernowitz como profesor de economıa ygobierno.

Con solo veintiocho anos, en 1911 publico su celebre “Teorıa del Desen-volvimiento Economico”. En este libro desarrollo el concepto de emprendedorcomo un agente irracional que permite, gracias a sus innovaciones en los pro-cesos productivos, el avance de la sociedad. Comulga ademas con sus colegasaustrıacos al negar la existencia de un estado estacionario senalando que elsistema economico justamente avanza gracias a los desequilibrios permanentesgenerados de forma endogena. Pero, como gran admirador de Walras que era(el mayor economista de todos los tiempos, segun expresa en su “Historia delAnalisis Economico”), presento su teorıa de cambio economico como un comple-mento a la teorıa del equilibrio estatico walrasiano. Mas alla de las correccionesque fuera desarrollando a lo largo del tiempo, el nucleo de las ideas plasmadasen esa primera version de la “Teorıa del Desenvolvimiento Economico” estarıapresente en el resto de su obra.

1 A lo largo de este trabajo se empleara la palabra desenvolvimiento como sinonimo de de-sarrollo en sintonıa con la primera traduccion al castellano del libro “Theory of the Economic

Development”, aun cuando desarrollo sea el vocablo mas usual.

El Emprendedor Schumpeteriano Aportes a la Teorıa Economica Moderna 3

En 1911 comenzo a dar clases en la Universidad de Graz. En 1919 sedesempeno como ministro de finanzas de Austria durante poco mas de medioano. Y entre 1920 y 1924 presidio un pequeno banco privado, el prestigiosobanco Biedermann. Aunque su labor allı era bastante acotada, por lo queaprovecho ese tiempo para probar suerte como inversor privado amasando unapequena fortuna que se evaporo con la crisis de 1924, junto con su trabajo.Afortunadamente en 1925 recibio un ofrecimiento de la Universidad de Bonn,con el cual inicia su retorno definitivo a la vida academica. En 1926 aparecela segunda edicion de su “Teorıa del Desenvolvimiento Economico” en aleman,una version reducida y corregida de la anterior sobre la cual se editarıa laprimera traduccion inglesa en 1934. Pero en 1926 sufre la perdida de su segundaesposa, de su hijo recien nacido y de su madre y cae en una profunda depresion.Continua ensenando en la Universidad de Bonn hasta que, con el ascenso delnazismo en Europa Central, decide mudarse a Estados Unidos en 1932.

En Estados Unidos fue nombrado profesor en la Universidad de Harvard,cargo qua mantendrıa hasta su muerte. En este perıodo logro la publicacion deotras dos de sus grandes obras; “Ciclos Economicos” en 1939 y “Capitalismo,Socialismo y Democracia” en 1942, ademas de infinidad de trabajos menores.Tambien fue presidente de la Econometric Society entre 1940 y 1941 y de laAmerican Economic Association en 1948. Luego de su muerte, ocurrida el 8 deenero de 1950, Elisabeth, su tercera esposa, se ocupo de editar el ultimo grantrabajo de Schumpeter, “Historia del Analisis Economico”, que fue publicadoen 1954.

3. El emprendedor Schumpeteriano y el fenomeno del desarrollo

La teorıa del desarrollo economico segun la optica de Schumpeter no se basaen la especializacion y la division del trabajo como indica Adam Smith o en elcambio tecnologico exogeno como senalan las primeras versiones del modelo decrecimiento neoclasico. Schumpeter delinea en cambio la figura del emprende-dor como agente motor de un proceso de transformaciones contınuas en la or-ganizacion de la produccion que configuran un avance no lineal de la sociedad.De hecho, en Schumpeter y, en particular, en el capıtulo dos de su Teorıa, titu-lado El Fenomeno Fundamental del Desenvolvimiento Economico, los conceptosde emprendedor y desarrollo economico se encuentran tan ıntimamente ligadosque resulta imposible exponer una idea sin simultaneamente expresar la otra.Schumpeter inicia ese capıtulo diferenciando dos fenomenos casi antagonicos enlo que refiere al avance de la sociedad, la adaptacion y el desenvolvimiento odesarrollo. Considera adaptacion a todos aquellos cambios que se producen enel sistema economico en respuesta a alteraciones en el medio externo.

El equilibrio walrasiano de una economıa puede variar, por ejemplo, porun incremento de la poblacion; pero este no constituye un cambio cualitativodel cual la teorıa deba ocuparse desde que, para determinar sus consecuenciaseconomicas, basta incluir los nuevos numeros en el modelo. En contraposicion,el fenomeno de desarrollo es el que encierra toda la riqueza del analisis de laevolucion de los sistemas. En sus propias palabras,

“Por tanto, entendemos por “desenvolvimiento” solamente a los cambiosde la vida economica que no hayan sido impuestos a ella desde el exterior, sino


que tengan un origen interno”. 2

El desenvolvimiento es entonces un cambio endogenamente gestado, espon-taneo y discontinuo y es en la concepcion de esta mutacion que emerge la figuradel emprendedor. Es importante notar que para Schumpeter no es necesario queexistan mas factores productivos para el desarrollo (en efecto, eso constituyeuna simple adaptacion); lo que importa es que se hagan cosas nuevas con losfactores existentes, que se los combine de formas mas eficientes, que se creennuevos productos. El emprendedor es el agente que genera esas innovaciones.

Asimismo Schumpeter tampoco pensaba que el ahorro fuera la clave paraentender el avance de las sociedades ya que, en cuanto a mera formacion decapital, no genera cambios cualitativos en la economıa,

“El aumento lento, pero continuo en el tiempo, de la oferta nacional demedios productivos y de ahorro, es indudablemente un factor importante en laexplicacion del curso de la historia economica a traves de los siglos, pero seoculta completamente por el hecho de que el desenvolvimiento consiste prima-riamente en el empleo en forma distinta de los recursos existentes, en hacercosas nuevas con ellos, sin que importe si aumentan o no dichos recursos. Y estoes cierto en forma mas tangible en el tratamiento de perıodos mas reducidos.Los distintos metodos de empleo, y no de ahorro, o de aumentos de la cantidadde trabajo, han cambiado la faz del mundo economico en los ultimos cincuentaanos”. 3

Schumpeter se ocupa entonces de delimitar el concepto de emprendedor oempresario. No todo aquel que tiene a su cargo una empresa es un emprendedor.Al contrario, solo una porcion muy reducida lo es, mientras el resto constituyelo que el denomina meros gerentes de empresa. En la distincion no importa siel individuo es el dueno o es solo un dependiente de la empresa. Lo que importaes como desarrolle su trabajo. El gerente de empresa actua rutinariamente; elemprendedor actua innovando, ve con facilidad la existencia de nuevas combi-naciones de factores y las implementa. En este sentido, el gerente de empresaes la expresion tıpica del homo economicus neoclasico, un agente racional quecontrapesa ingresos y costos y determina el curso optimo de accion para sunegocio. El emprendedor es, en cambio, un individuo irracional como subrayaSchumpeter promediando el final del capıtulo,

“Pues a no ser que asumamos que los individuos que nos interesan se hallenimpulsados por un deseo insaciable de satisfaccion hedonista, el funcionamientode la ley de Gossen harıa cesar todo esfuerzo posterior por parte de los jefesde negocios. Pero la experiencia nos muestra que los empresarios tıpicos solose retiran de la arena cuando se ha agotado su fortaleza y no se sienten a laaltura de su funcion. Esto no parece comprobar la representacion del hombreeconomico, que compara resultados probables con la desutilidad del esfuerzo yalcanza a su debido tiempo un punto de equilibrio mas alla del cual no deseapasar”. 4

Es irracional porque las motivaciones de su accionar no se limitan a la maxi-mizacion de beneficios con un fin hedonista como el de incrementar su consumo

2 Schumpeter (1957), pag. 74.3 Schumpeter (1957), pag. 79.4 Schumpeter (1957), pag. 101.


factible. El emprendedor schumpeteriano persigue, en palabras del autor, unaposicion social poderosa, el placer de sentirse independiente y superior a losdemas, el impulso de lucha y conquista constante y la satisfaccion de crear. Yes irracional tambien porque las innovaciones que incorpora no surgen de unproceso de estudio riguroso, sino de su propia intuicion.

Su comportamiento transgresor no es gratuito en una sociedad mas bienregida por la inercia. Como lo sintetiza Swedberg (2007), los agentes enfrentandos fenomenos de resistencia al cambio originados en el instinto de supervivenciade las sociedades y los individuos. Uno es de naturaleza sociologica, la sociedadreacciona negativamente si alguien abandona la forma tradicional, conocida ysegura de obrar. El otro, de naturaleza psicologica, proviene del propio indi-viduo, es la resistencia al cambio interna. Cambiar implica riesgos y los indi-viduos, en general, rehuyen al riesgo. Es mas facil permanecer actuando en laforma conocida antes que embarcarse en nuevas alternativas, donde no existeun plan de accion acabado para todas las posibles vicisitudes con probabilidadde ocurrencia. El emprendedor, al decidir aplicar una innovacion supera esasresistencias exponiendose a la desaprobacion general, a la negacion de finan-ciamiento o aceptacion de su producto o, incluso a la agresion fısica.

El emprendedor en Schumpeter es un lıder nato. En la edicion de 1911se refiere a el como un “Man of Action”, expresion que curiosamente no estapresente en la reedicion de 1926, como lo nota Swedberg (2007). No acepta larealidad tal como es, sino que busca cambiarla y para ello necesita convencera otras personas para que lo sigan. Necesita impresionar al banquero paraque financie sus proyectos. Si esta introduciendo un nuevo producto, necesitacrear demanda. Conduce los factores productivos y los combina de formasno tradicionales. Y lidera tambien al mercado en su conjunto, en cuanto suscompetidores lo seguiran e imitaran en la implementacion de innovaciones.

Por supuesto, el autor reconoce que el emprendedor no esta innovandodiariamente y que desarrolla ciertas actividades en forma rutinaria. Muchasveces el emprendedor debe ocuparse de tareas administrativas o tecnicas, delmanejo de personal, la liquidacion de impuestos, entre muchas otras. Pero loque lo define como emprendedor es su vocacion por la realizacion de nuevascombinaciones. Es irrelevante por tanto el tamano de la empresa que maneja,como ası tambien la clase social a la cual pertenezca. Lo unico que importa esque cumpla esa funcion especial. Por eso Schumpeter senala,

“() y es en consecuencia tan raro que una persona conserve durante todasu vida el caracter de empresario, como lo es para un hombre de negocios noser empresario, ni aun siquiera un momento y en forma modesta, durante todoel curso de su vida”. 5

Es decir, es bastante improbable que el directivo de empresa nunca imple-mente un cambio en la forma de produccion, comercializacion o competencia,aunque mas no sea uno de reducida importancia. Como tambien resulta impro-bable pensar que alguien pueda generar innovaciones en forma continua durantetoda su gestion. Lo mas razonable es pensar que, en ciertos perıodos o en ciertasareas, el emprendedor tendera a apegarse a la rutina.

Pero no es funcion tıpica del emprendedor la invencion, sino solo su apli-cacion. Es ası como el empresario protagoniza el fenomeno de desarrollo en

5 Schumpeter (1957), pag. 88.


Schumpeter mediante la implementacion de innovaciones que benefician a al-gunos sectores y perjudican a otros en un proceso que dio en llamar destruccioncreativa, termino que acuno en “Capitalismo, Socialismo y Democracia”. Detodos modos, vale destacar que este proceso no es lineal o progresivo, comoel propio autor lo advierte. El empresario es el responsable, con su accionar,tanto de las expansiones como de las depresiones debido a los efectos desequi-librantes que genera la incorporacion de nuevos bienes o procesos productivosen la economıa.

Schumpeter da una concepcion holıstica a la innovacion, y establece la dis-tincion entre tres fases interconectadas que forman el proceso: invencion, inno-vacion y difusion. La invencion segun Schumpeter es aquel producto o procesoque se genera en la esfera cientıfico-tecnica, es decir, el descubrimiento propia-mente dicho. Ahora bien, la socializacion o comercializacion de la invencion esel paso decisivo para que se convierta en una innovacion. La ciencia debe incor-porarse a productos, procesos y/o metodos organizativos para poder difundirseen el tejido social; siendo el empresario innovador quien hace de nexo entre cien-cia y mercado. Es el que, en busca de ganancias independientes al crecimientode los factores de la produccion, esta dispuesto a arriesgarse a incorporar unainnovacion. Esto le permitirıa acceder a beneficios (un lugar monopolico en elmercado, excedente organizacional, u otros) que haran que otros empresarios sesumen y ası se animara la competencia entre empresas. Una vez difundida la in-novacion, el ciclo vuelve a empezar, el empresario buscara nuevas innovacionespara aumentar su beneficio y prestigio personal.

Schumpeter define las innovaciones en general como el hallazgo de nuevascombinaciones, la incorporacion al sistema de conocimiento que es cualitativa-mente nuevo, no incluıdo en la configuracion economica anterior. En particular,establece cinco tipos de innovacion:

a) La creacion de nuevos productos o nuevas variantes a productos exis-tentes

b) El desarrollo de nuevos metodos de produccion o comercializacionc) El ingreso o apertura de nuevos mercadosd) La obtencion de nuevas fuentes de materias primas o insumose) La modificacion de la estructura de mercado (tıpicamente, la creacion

de un monopolio)

Para ejemplificar graficamente estas ideas se propone comparar la teorıade la firma neoclasica con la schumpeteriana en una variante de la alternativapropuesta por Winter (1967). El analisis que sigue es un modelo deliberada-mente simplificado de equilibrio parcial con el solo efecto de conseguir unarapida exposicion. Considerese un conjunto de firmas en una industria com-petitiva que producen el bien Y empleando un unico insumo, trabajo, L atraves de una funcion Y = F (L). Asumiendo que la funcion de produccion pre-senta rendimientos marginales decrecientes, admitirıa una representacion comola del Grafico 1. En la concepcion neoclasica esta funcion separa las combina-ciones factibles de las que no lo son. Todo punto por debajo de la frontera estecnicamente posible, aunque solo aquellos situados en la curva son eficientes.Mientras que todas las combinaciones por encima de la funcion de produccionson inalcanzables, serıa deseable poder obtener mas producto empleando unacierta cantidad de factor pero, en el estado actual de la tecnologıa, eso no esposible.


La firma neoclasica en competencia observa la relacion de precios insumo-producto vigente en el mercado y determina el nivel de produccion dentro delconjunto de alternativas perfectamente conocidas que maximiza sus beneficios.En el grafico que precede, la firma comprarıa L0 unidades de factor para ela-borar Y0 unidades de producto. Si los precios cambiaran la firma solo tendrıaque ajustar las cantidades para conseguir una nueva igualacion de los preciosrelativos al producto marginal y ası seguirıa maximizando beneficios.

Grafico 1. Funcion de produccion. Interpretacion Neoclasica.

En Schumpeter, sin embargo, mas que la diferencia entre planes de pro-duccion factibles y no factibles, lo que interesa es distinguir los planes queson empıricamente conocidos de los que no lo son. El Grafico 2 es util parapresentar esta idea. Por ejemplo podrıa pensarse que, aun bajo la mismafuncion de produccion que en el caso neoclasico, no todo el espacio de alterna-tivas alcanzables es conocido por las firmas. Al contrario, las firmas podrıanconocer empıricamente solo el area sombreada simplemente porque esos son losplanes que eventualmente han implementado con anterioridad y no tienen unconocimiento perfecto de la funcion de produccion.

En este caso, si el precio relativo del insumo disminuyera por el simpleincremento poblacional, por ejemplo, el grueso de las firmas maximizarıa susbeneficios de acuerdo a su conocimiento historico de la funcion de producciony se situarıa en el punto (L1, Y1). Este ajuste, un incremento en el nivel deproducto y empleo, constituirıa lo que Schumpeter denomina una adaptacionde los agentes a nuevas condiciones y no desenvolvimiento.

Pero si alguna de las firmas estuviera dirigida por un emprendedor, un indi-viduo no apegado a la rutina y a lo conocido, podrıa exhibir un comportamientodistinto. El individuo podrıa notar que es posible incrementar la produccionmas alla de los niveles reconocidos por el conocimiento historico y podrıa ani-marse a explorar planes productivos por encima de la frontera conocida. Alhacerlo descubrirıa que obtiene mayores beneficios si elige producir en el punto(L2, Y2), generando un mayor nivel de empleo y producto. De este modo el


emprendedor habrıa introducido una innovacion al identificar nuevas combina-ciones de factores para la obtencion del bien final. En el corto plazo su firmase beneficiarıa por mayores ganancias respecto al resto de sus competidores.Mientras que en el largo plazo el beneficio se derramarıa sobre el resto de lasociedad tambien ya que, cuando el resto de las empresas note que este agenteencontro una forma mas eficiente de producir, tenderıan a imitarlo. Las queası no lo hicieran serıan eliminadas del mercado. En definitiva, el aporte deeste emprendedor al desarrollo de la sociedad vendrıa dado por el empleo de losrecursos en la forma optima al descubrir la verdadera frontera de posibilidades.

Grafico 2. Funcion de produccion. Interpretacion Shumpeteriana.

Grafico 3. Funcion de produccion. Cambio tecnologico.


Otro ejemplo que puede plantearse en este mismo escenario es el del tradi-cional cambio tecnologico. En este sentido, el emprendedor podrıa observar laexistencia de herramientas nuevas o, simplemente distintas, que incrementarıanla productividad de sus operarios. Al introducirlas a su proceso de elaboracion,su frontera de posibilidades se expandirıa hasta G(L), lo que le permitirıa pro-ducir mucho mas para cada nivel de empleo de insumos.

Si esta ganancia extraordinaria superara los costos de incorporar las herra-mientas, con el tiempo el resto de las firmas lo imitarıa; pero mientras tantodisfrutarıa de beneficios por encima de los competitivos.

A modo de sıntesis, en la teorıa original del emprendedor schumpeteriano,este individuo se constituye en el motor de los saltos cualitativos en el ordeneconomico mediante la introduccion de innovaciones en la produccion, comer-cializacion o estructura del mercado. Para ello se vale de su intuicion mas quedel calculo acabado de costos y beneficios a la hora de detectar posibles nuevascombinaciones. Del mismo modo que su motivacion no se acaba en la perse-cucion hedonista de la maximizacion del beneficios, sino que encuentra placeren la actividad creadora y en una posicion social poderosa.

4. La tesis de obsolescencia del emprendedor

Hacia el final de su vida algunos autores consideran que Schumpeter perdiola fe en su emprendedor. En “Capitalismo, Socialismo y Democracia”, predice laevolucion pacıfica del capitalismo hacia un estadio superior, el socialismo, comoconsecuencia de la constante y creciente concentracion economica en grandesfirmas que desplazan al emprendedor.

“This social function is already losing importance and is bound to lose itat an accelerating rate in the future even if the economic process itself of whichentrepreneurship was the prime mover went on unabated. () The romance ofearlier commercial adventure is rapidly wearing away, because so many morethings can be strictly calculated that had of old to be visualized in a flash ofgenius. () Thus, economic progress tends to become depersonalized and auto-matized. Bureau and committee work tends to replace individual action.” 6

Schumpeter senala que esta obsolescencia del emprendedor se explica basi-camente por dos fenomenos. Por un lado, la concentracion y burocratizacionde los procesos de investigacion y desarrollo en el seno de las grandes corpo-raciones. La busqueda de nuevas combinaciones y los medios para ponerlas enpractica se convierten en la tarea cotidiana de un grupo de tecnicos preparados.La innovacion se torna de este modo una actividad rutinaria. Por otra parte,tampoco es necesaria ya la voluntad del emprendedor para superar las resisten-cias, sociologicas y psicologicas, al cambio porque, tras tantas y tan freneticasmutaciones economicas (durante la primera mitad del siglo XX, en particular),sociedades e individuos simplemente se acostumbraron a los cambios.

La prediccion de Schumpeter era que las grandes firmas reemplazarıan alos emprendedores y a la burguesıa industrial, en general. Perdida su funcioncaracterıstica y con ingresos limitados a un salario por desempenar una activi-dad rutinaria, esta clase social tenderıa a desaparecer. La semilla para el pasoal socialismo quedarıa ası sembrada.

6 Schumpeter (1976), pag. 133


Un importante debate se ha producido en la literatura en torno a estecambio en el pensamiento schumpeteriano o, como se le denomina usualmente,la tesis de obsolescencia del emprendedor. La corriente principal senala queel cambio en Schumpeter se produjo cuando abandono Austria y se instaloen Estados Unidos. Allı fue cuando comprendio la naturaleza del capitalismotardıo al observar las grandes empresas norteamericanas en las cuales la figurade su emprendedor, bastante realista en el escenario austrıaco de principios desiglo, no tenıa cabida.

Trabajos clasicos en esta lınea son los de Phillips (1971), Nelson (1977),Klein (1977) y Freeman (1982). Todos ellos sugieren que se produjo un cambiosustancial en la comprension y descripcion schumpeteriana de la economıa atal punto que bien podrıa considerarse que se trata de dos autores totalmentedistintos, un Schumpeter temprano y uno tardıo. De hecho, Klein expresa estahipotesis de un modo bastante sugestivo:

“Schumpeter expressed very different views in his later writings than in hisearlier works, so much so that one has the impression there were two Schum-peters: Schumpeter the revolter against determinism, and Schumpeter the de-terminist.” 7

Estos autores destacan el cambio producido especialmente en su concepcionde las innovaciones. En el Schumpeter inicial, las invenciones eran un fenomenomas o menos exogeno, que se convertıan en innovaciones comerciales cuando unemprendedor las aplicaba obteniendo ganancias extraordinarias que motivabanal resto del empresariado a seguirlo. En el tardıo, sin embargo, el procesoexogeno de invencion es endogeneizado en el interior de titanicas corporacionesque requieren de la innovacion continua, de la destruccion creativa constante,para mantener su posicion competitiva en el mercado. La intuicion del em-prendedor se vuelve un don irrelevante en instituciones burocraticas dondetodo se ha racionalizado. Sin embargo, existe otra lınea de investigacion queniega que Schumpeter haya modificado su teorıa al mudarse a Estados Unidos.Destaca en este sentido el trabajo de Langlois (2002). Langlois intenta de-mostrar que la teorıa del emprendedor schumpeteriano mantuvo consistencia,al menos, desde 1926 en adelante, seis anos antes que abandonara Europa. Enefecto, en la ultima version de la “Teorıa del Desenvolvimiento Economico”,basada en la segunda edicion alemana de 1926 puede leerse:

“Sin embargo, cuanto mas exactamente lleguemos a conocer el mundo natu-ral y social, tanto mas perfecto sera nuestro control de los hechos; y cuantomayor sea la perfeccion con que puedan calcularse las cosas, con tiempo yracionalizacion progresiva, y en forma rapida y segura, tanto mas decrece laimportancia de dicha funcion. Debera disminuir, por tanto, la importancia delempresario, lo mismo que ha disminuido ya la del jefe militar.” 8

La similitud entre este pasaje del Schumpeter temprano y el previamentecitado del Schumpeter tardıo es innegable. La idea detras de esta consistenciaimplicarıa que, en situaciones de marcada incertidumbre o ignorancia, la intui-cion del emprendedor constituye un don muy valioso. Pero, en la medida queel conocimiento acerca del ambiente externo se acrecienta, es mas facil calcular

7 Klein (1977), pag. 133.8 Schumpeter (1957), pag. 95.


costos, beneficios y riesgos; y determinar, sobre la base del analisis racionalde estos calculos, el mejor curso de accion. De esta forma, la intuicion delemprendedor queda relegada a un segundo plano.

Langlois cita ademas el aporte de Becker y Knudsen quienes, al traducir elensayo “Emprendedor”de 1928, indican que efectivamente aprecian un cambioen la teorıa del emprendedorismo pero entre 1911 y 1926, y no entre 1926 y 1942.En su interpretacion, de constituir una caracterıstica psicologica de un pequenogrupo poblacional en la primera version de la “Teorıa del DesenvolvimientoEconomico”, la nocion de emprendedor pasarıa a intentar conceptualizar unaforma de comportamiento mas bien despersonalizada, un ideal de individuoo, quizas incluso, de organizacion. Estos autores leen entonces una versioninstitucionalizada del emprendedor ya en los escritos de 1926. Para Beckery Knudsen este cambio se debio a un conjunto de eventos y tragedias en lavida personal de Schumpeter. Para Langlois, se explica mas bien por unaintencion de compatibilizar su teorıa con las ideas burocraticas de Max Weber,que gozaban de notable reconocimiento en la Europa Central de la decada delveinte.

Sin embargo, en repetidos pasajes de la segunda version de su libro, Schum-peter reitera la definicion explıcita del emprendedor como una persona y nocomo una institucion, poniendo especial enfasis en la importancia de su intui-cion. A favor de estos autores podrıa pensarse que, el propio Schumpeter senalaen el prefacio a la version inglesa de 1934 que, en la edicion de 1926 que sirviode base para la traduccion, intento mantener la obra original de 1911 aplicandosolo alteraciones menores; lo que justificarıa la persistencia de la figura del em-prendedor como individuo. Pero esas alteraciones menores no impidieron queeliminara un capıtulo completo y reescribiera el segundo y el sexto intentandoexcluir los terminos estatico y dinamico que, a su juicio, habıan motivado ciertasconfusiones entre sus lectores. En consecuencia, no parece tan irracional inferirque, si Schumpeter hubiera estado convencido que el emprendedor ya no eraun individuo sino una institucion, habrıa introducido algunos cambios en estesentido. En nuestra opinion, la teorıa schumpeteriana del emprendedorismomantuvo una consistencia notable durante toda la obra de este autor. InclusoLanglois (2002) reconoce esta posibilidad al senalar:

“A more detailed study might well discover that the continuity really goesback to 1912 or earlier, not merely to 1926.” 9

El emprendedor de 1911 es el mismo que el de 1926 y de 1934; lo quecambio es el medio ambiente en el que se desarrolla y las herramientas queutiliza en la toma de decisiones. La resistencia al cambio fue desvaneciendosey el desarrollo de nuevas tecnicas de gestion y analisis de mercados proveyeronde mayor informacion al individuo para manejar la incertidumbre. En estesentido, el emprendedor se ha racionalizado. Y fue el propio autor el primeroen llamar la atencion en este sentido, contrario a lo que afirma Berumen (2007),por ejemplo. Sin embargo, ningun individuo toma decisiones bajo informacionperfecta. En ocasiones, ni siquiera puede emplear toda la informacion quepodrıa conseguirse por no disponer del tiempo o los recursos para obtenerla,como tambien ya lo notaba Schumpeter. De modo que, la intuicion, el talento

9 Langlois (2002), pag. 11.


individual, aun cuando reducida en su importancia, sigue siendo una parte nodespreciable del comportamiento emprendedor.

Es cierto que la teorıa de 1911 fue disenada especialmente a medida delcapitalismo temprano. Pero tambien es verdad que el autor entrevio pronto queel paso a la nueva etapa estarıa relacionada con un detrimento de la intuicionen pos de la racionalidad. Y es largamente reconocido que no esperaba elaboraruna teorıa economica universal valida para toda epoca y lugar. En sus propiaspalabras, en su prologo a la edicion espanola de 1944,

“Se me ha dicho con frecuencia que mi esquema analıtico se refiere unica-mente a una epoca historica que esta rapidamente llegando a su fin. Y en esoestoy de acuerdo. En mi opinion la teorıa economica no podra ser nunca, eneste sentido, mas que la teorıa de una cierta epoca historica.” 10

Probablemente lo que ha motivado este nivel de discusion es el enfasisparticular que Schumpeter otorgo a las grandes corporaciones en “Capitalismo,Socialismo y Democracia”. Al senalar que, en el lımite, estas empresas des-plazarıan totalmente a los emprendedores en cuanto a la endogeneizacion dela generacion de innovaciones posiblemente estaba considerando que las firmascrecerıan y avanzarıan en forma perpetua gracias a su posicion privilegiada en elmercado, constituyendo una suerte de oligopolio de cıclopes industriales. Perola evidencia demuestra que ese no es el caso. Muchas grandes corporaciones concentros integrados de investigacion y desarrollo han sucumbido por su propiopeso. Mientras que proyectos surgidos en un garaje han revolucionado el mundotecnologico.

Es evidente que el emprendedor de la actualidad no es identico al arquetiposchumpeteriano. Pero no es menos cierto que comparte varios de los atributosmas importantes. Es un agente mas racional, pero no desprecia la intuicion.Ve oportunidades donde otros solo ven rutina e implementa innovaciones querevolucionan el mercado. Afirmar que, como en el pensamiento de Schumpeter,este emprendedor es la base del desarrollo puede sonar un poco arriesgado. Peroque juega un papel importante en el proceso es innegable.

5. El pensamiento Schumpeteriano en las corrientes actuales

Tras la muerte de Schumpeter, sus contribuciones en materia de crecimientofueron soslayadas. El mainstream se hallaba abocado a la formalizacion mate-matica de las teorıas tras la aparicion de los celebrados modelos de Harrod-Domar (1946) y de Solow (1956). Las ideas de Schumpeter eran difıciles deexpresar en relaciones matematicas, el mismo durante su vida habıa intentadohacerlo a sabiendas que el resto de los economistas teoricos no tomarıa en seriosu teorıa del desarrollo hasta que pudiera formalizarla, segun lo afirma Klein.Pero los esfuerzos de Schumpeter y de algunos de sus seguidores inmediatosno lograron los resultados deseados. Probablemente porque todavıa no estabandisponibles las herramientas matematicas y computacionales necesarias parahacerlo.

No es la intencion de esta seccion realizar un analisis detallado de la ampliagama de autores influenciados por el pensamiento de Schumpeter. Al contrario,a sabiendas de que se comete la imperdonable omision de autores notables, esta

10 Schumpeter (1957), pag. 10.


seccion simplemente intenta proveer una breve identificacion de las dos princi-pales corrientes que fundamentan sus trabajos en los conceptos de emprendedor,innovacion y destruccion creativa, entre otros. A grandes rasgos se clasifica aestos autores en dos ramas. Por un lado, los neo-schumpeterianos que persiguenla formalizacion de las ideas de la “Teorıa del Desenvolvimiento Economico” atraves de modelos de simulacion. Por el otro, economistas neoclasicos que de-sarrollan modelos de crecimiento endogeno utilizando versiones simplificadas detales conceptos. A continuacion, una rapida descripcion de cada grupo.

De acuerdo a Kwasnicki (2003) fueron el desarrollo de la informatica en losanos cincuenta y sesenta y del enfoque de simulacion los que permitieron comen-zar a estudiar problemas no lineales. El primer modelo neo-schumpeteriano enemplear simulaciones para emular el comportamiento evolucionista fue el deWinter en 1964, “Economic Natural Selection and the Theory of the Firm”.Los esfuerzos en esta lınea se intensificaron durante las decadas siguientes hastaconsolidarse en el libro de referencia de la economıa evolucionista “An Evolu-tionary Theory of Economic Change” publicado por Nelson y Winter en 1982.Desde entonces, han proliferado modelos de simulacion inspirados en las ideasdel crecimiento schumpeteriano basado en la destruccion creativa.

Estos modelos desplazan totalmente la idea de equilibrio general a favorla modelizacion evolucionaria. Esto les permite incorporar supuestos muchomas realistas respecto a los modelos neoclasicos tradicionales. Se consideran,por ejemplo, heterogeneidad de agentes, racionalidad acotada, mecanismos al-ternativos de innovacion y apropiacion, estructuras de mercado alternativas,aprendizaje en la produccion, rendimientos no decrecientes, etc. Pero un puntoparticularmente interesante entre estos autores es que complementan su mo-delo de simulacion con el analisis de la experiencia historica, contrastando susresultados con la evidencia empırica. Un claro compromiso metodologico con lavision de Schumpeter para quien la teorıa economica, la estadıstica y la historiadebıan interactuar en la explicacion de los fenomenos. Aunque tal compromisono implica que los neo-schumpeterianos hayan adoptado los trabajos del maes-tro como dogma. Al contrario, como lo senala Freeman (1998) es sorprendentela variedad de enfoques que ha proliferado en el marco de esta corriente, muchosde ellos incluso criticando al propio Schumpeter.

En general, los autores neo-schumpeterianos comparten la vision del capi-talismo como un fenomeno evolutivo que muta en el tiempo a traves de innova-ciones productivas, comerciales o estructurales. Partiendo de ese denominadorcomun, se ha sometido al analisis y formalizacion a la mayor parte de las ideasde Schumpeter y se han explorado areas sobre las que el autor no habıa tra-bajado como es el caso del comercio internacional, subdesarrollo y desarrolloregional. Aunque tambien es cierto que otras areas relevantes han sido exclu-idas del analisis, por ejemplo, teorıa del consumidor. Para un excelente repasode esta literatura se sugiere Freeman (1998).

Una ultima caracterıstica notable de los modelos neo-schumpeterianos esque centran su estudio en la innovacion microeconomica a nivel de firmas o in-dustria y no a escala macroeconomica donde la teorıa del desarrollo se encuentraestancada en un callejon sin salida. Estudios notables se han llevado a cabotomando las caracterısticas especıficas de la industria sobre el avance tecnicoen agricultura, minerıa y, especialmente, actividades manufacturares. Sin em-bargo, se ha dejado de lado al sector mas importante de la economıa global y al


mas afectado por los avances tecnologicos, el de los servicios. Por otra parte, lasinnovaciones estudiadas se han concentrado en cambios tecnologicos en la pro-duccion pero escasas investigaciones se han llevado a cabo sobre innovacionesen organizacion. Aunque justo es reconocer el elevado grado de dificultad quela modelizacion de estos avances impone.

En otra lınea de sucesion, ya sobre la decada del noventa, las ideas deSchumpeter encontraron cabida en el marco de los modelos de crecimientoendogeno. Estos autores no son neo-schumpeterianos en el sentido que se le hadado al termino en los parrafos anteriores desde que no emplean la metodologıaevolucionista de los modelos de simulacion. En cambio, emplean modelos decorte neoclasico para formalizar las ideas de Schumpeter acerca de la endo-geneizacion de las innovaciones, la competencia como fenomeno evolutivo queexpulsa a quienes no se ajustan a las nuevas condiciones de mercado, la des-truccion creativa, entre otros.

A partir de los trabajos fundacionales de Romer y Lucas, en 1992 llego eldestacado aporte de Aghion y Howitt, quienes desarrollaron un modelo de cre-cimiento endogeno basado en la idea schumpeteriana de la destruccion creativa.Propusieron una economıa constantemente sometida a innovaciones tecnologicasque benefician a algunos sectores y perjudican a otros y donde la competen-cia se ocupa de eliminar a los que no tienen exito desarrollando o imitandoinnovaciones. En este sentido se diferencian de la teorıa AK convencional queconsidera al progreso tecnologico simplemente como otro modo de acumulacionde capital ignorando la posible existencia de conflictos interpersonales. Estetrabajo original fue continuado en la misma tradicion generalizando el mode-lo basico y desarrollando nuevas alternativas. A continuacion se propone unrepaso breve de aquella version.

Aghion y Howitt (1992) constituye una primera aproximacion al creci-miento endogeno bajo la concepcion schumpeteriana en un contexto de incer-tidumbre. Para ello modelizan las innovaciones como una secuencia aleatoriade mejoras unicamente en la calidad de los productos, por lo que constituye unmodelo de innovaciones verticales ya que estas vuelven obsoleta la tecnologıaanterior. Ası intentan formalizar parcialmente el concepto de destruccion crea-tiva. Adicionalmente suponen que las investigaciones son llevadas a cabo porlas firmas quienes gozarıan de un monopolio sobre las eventuales invenciones.Para operacionalizar estos supuestos, Aghion y Howitt suponen que el trabajoen una economıa puede destinarse a investigacion y desarrollo o a producirun insumo del cual se obtiene un bien final. Cuando una empresa incorporauna innovacion monopoliza la produccion del insumo y goza de beneficios ex-traordinarios hasta que otra empresa desarrolle otra innovacion y la desplace.Por ultimo, las innovaciones se suponen identicamente distribuidas Poisson conparametro λ.

Con esta estructura el monopolista (actual y potencial) maximiza benefi-cios llegando a una ecuacion de arbitraje. Aparece luego una relacion negativaentre la investigacion corriente y la futura porque si se advierte que existiramucha investigacion en los proximos perıodos, las rentas creadas por la in-vestigacion actual se ven amenazadas, desincentivandola. En virtud de estarelacion negativa el modelo puede tener una unica solucion de estado esta-cionario o varias originando posibles senderos de crecimiento cıclicos e, incluso,una trampa de no crecimiento donde la innovacion se detiene. Aunque vale


notar que esta relacion negativa se da porque el monopolista no endogeneiza laexternalidad positiva de la investigacion corriente sobre la futura. Si se permiteque sea un planificador de Pareto el que toma las decisiones podrıa alcanzarseuna tasa de crecimiento mayor que bajo descentralizacion. Para que esto seproduzca los efectos que generan mayores incentivos sociales a la investigacionpor el lado de una menor tasa de descuento social respecto a la privada (porquepara el planificador el beneficio de la proxima innovacion sera para siempre) ypor el problema de la apropiabilidad (el monopolista no puede endogeneizar losbeneficios que producen sus innovaciones sobre las futuras) deben superar aldesincentivo social que resulta de la internalizacion por parte del planificadorde la destruccion del retorno social de la innovacion anterior (que los privadosno interiorizan).

El aporte mas significativo de esta lınea de trabajo claramente resultaentonces la modelizacion de intereses contrapuestos y su impacto sobre el cre-cimiento. En este sentido el enfoque verdaderamente responde al ideal schum-peteriano aun cuando constituye una simplificacion notoria. En palabras deHowitt respecto a la superioridad de este esquema de trabajo sobre los modelosAK,

“Our new theory treats innovation as a separate activity from saving, andit is explicit about who gains from it, who loses, how the gains and losses dependon social arrangements, and how such arrangements affect society’s willingnessand ability to progress.” 11

Las generalizaciones a este modelo basico desarrolladas en los ultimos vein-ticinco anos versan sobre distintas modificaciones a los supuestos. Pero lasque resultan mas interesantes son las relacionadas a competencia, polıtica depatentes, diferencias de ingresos entre paıses y revoluciones tecnologicas. Enterminos de competencia, por ejemplo, los modelos de crecimiento senalan quela competencia reduce la tasa de crecimiento al contraer la tasa de retorno po-tencial de las innovaciones. Sin embargo, la evidencia empırica parece afirmarlo contrario. Lo que motivo a estos autores a buscar explicaciones alternativasen el marco del modelo de 1992. Ası aparecen modelos incluyendo barrerasde entrada, problemas de principal-agente y maximizaciones sobre los benefi-cios incrementales y no sobre los absolutos. Para mas detalles acerca de lasgeneralizaciones del modelo de 1992 se sugiere Aghion y Howitt (1998).

6. La Innovacion en la Teorıa Moderna

Las ideas de Schumpeter acerca de las innovaciones tambien han evidenciadouna revitalizacion en los ultimos anos. Probablemente por la gravitacion queciertos autores neo-schumpeterianos han ejercido sobre organizaciones comola Organizacion para la Cooperacion y el Desarrollo Economico (OCDE) yel Fondo Monetario Internacional (FMI) en pos de la estandarizacion de lasestadısticas sobre investigacion y desarrollo. En el Manual de Oslo (2005) de laOCDE puede apreciarse una cierta influencia de Schumpeter cuando se senalaque las innovaciones pueden agruparse en cuatro categorıas:

11 Howitt (2002), pag. 1.


a) La innovacion de producto implica cambios significativos en las carac-terısticas de las mercancıas o de los servicios. Se incluyen tanto las mer-cancıas totalmente nuevas como los servicios y las mejoras significativasde los productos existentes.

b) La innovacion de proceso representa cambios significativos en los meto-dos de produccion y de distribucion.

c) La innovacion de organizacion, referida a la puesta en practica de nuevosmetodos de trabajo, tanto de la organizacion como del lugar de trabajoy/o de las relaciones exteriores de la empresa. La innovacion de comer-cializacion refleja la puesta en practica de nuevos metodos de comercia-lizacion; desde cambios en el diseno y el empaquetado hasta la promociondel producto mediante nuevas polıticas de precios y de servicios.

Ademas, el concepto de innovacion ha cobrado particular vigor en el marcode las teorıas modernas de competitividad. Existen varias estrategias de com-petitividad, pero no se puede negar que la innovacion es el unico medio paralograr que la competitividad de una nacion a nivel internacional sea genuina,sustentable y acumulativa. La capacidad de innovar, de apropiarse de rentastecnologicas y de generar economıas de escala dinamicas y sustentables expli-can las diferencias entre paıses en cuanto a PBI per capita y distribucion dela riqueza; y explican tambien el fenomeno de convergencia que se observa enla actualidad en cuanto la innovacion ha cobrado importancia dentro de lasnaciones emergentes como puede apreciarse en el Grafico 4. Los paıses emer-gentes han incrementado el gasto en investigacion y desarrollo en relacion asu producto mucho mas fuertemente que los paıses industrializados intentandoreducir la brecha tecnologica. Liderando esta tendencia aparece China dondela participacion se multiplico por 2,5 entre 1996 y 2007.

Grafico 4. Gasto en Investigacion y Desarrollo en relacion al PIB. Paıses seleccionados.

Fuente: Ministerio de Ciencia, Tecnologıa e Innovacion Productiva, Argentina


Los niveles de crecimiento y renta de los estados en una economıa globa-lizada estan determinados por su especializacion internacional, y esta a su vezdepende de las caracterısticas de su estructura productiva, las decisiones em-presarias y el entorno. Un crecimiento genuino solo se producira si el entramadoindustrial es capaz de absorber y generar tecnologıa en un proceso de diversi-ficacion de la actividad industrial desde las tecnologıas mas simples a las mascomplejas, lo que no implica necesariamente un tipo particular de distribucionsectorial de la produccion sino la capacidad de mejorar la productividad y lacomplejidad tecnologica de cada uno de los sectores industriales existentes.

El proceso de destruccion creativa lleva al desarrollo de nuevos productosy procesos empujando al crecimiento de las naciones. Sin embargo, el impactode la innovacion en el bienestar social de un paıs puede ser positivo o negativo.Segun Reinert, el progreso tecnico puede conducir al desarrollo o puede acen-tuar el subdesarrollo. El avance tecnologico puede impactar en la sociedad atraves de menores precios, menores salarios y, en consecuencia, un menor bie-nestar, asociado a desempleo, exclusion y deterioro de la distribucion del ingreso(derrame clasico de la tecnologıa); o puede generar el efecto contrario (mayoresprecios y mayores salarios) y el sector se beneficiara a traves de un aumento ensus ingresos. El rumbo que tomara el desarrollo vendra dado no solo por lascaracterısticas de la firma sino tambien por el entorno a nivel macro.

Desde una perspectiva micro, una primera aproximacion a la idea de in-novacion dentro de una empresa es el modelo lineal de innovacion que se iniciacon la investigacion basica y finaliza con la implementacion del nuevo procesoo la introduccion al mercado del nuevo producto. Sin embargo, la realidadmuestra que la innovacion no es lineal sino mas bien un proceso con mucharetroalimentacion y repetitivo. Las decisiones de las firmas no vienen solo delas invenciones cientıfico tecnicas, sino que a estas se le agrega la informacionproveniente de la demanda y las posibilidades reales de implementar el cambio.En otras palabras, ya que el proceso innovador depende de la capacidad de lafirma de generar nuevo conocimiento, la firma debera sumar a sus fuentes gene-radoras de conocimiento (internas y/o externas) vinculaciones con sus clientes yproveedores, mas alla de las relaciones comerciales tradicionales. La innovacionsurge de la empresa, pero tambien se da en un contexto historico, geografico ysocioeconomico determinado que agregan aun mas informacion y conocimiento.De modo que tambien en este sentido valen las ensenanzas de Schumpeter encuanto es el emprendedor quien incorpora nuevas combinaciones que son con-cebidas en su observacion del medio en el cual su negocio se halla inmerso.

A todo este proceso de innovacion hay que ubicarlo dentro de la estrategiaempresarial que determinara en que momento del proceso de destruccion crea-tiva ingresara la firma al mercado. Segun Porter (1990), se puede distinguir unaestrategia de lıder o de diferenciacion entre las empresas que entran al procesoen la etapa de introduccion del producto (proceso), la estrategia de seguidorcombinada en parte con una estrategia de diferenciacion entre las que sigancon la imitacion, y una estrategia de liderazgo en costos entre las que avanzanen la estandarizacion del producto y procesos. Dependiendo del objetivo quetenga y sus acciones, el derrame en el tejido social variara ası como lo haran lacantidad de esfuerzo que deba aportar y la demanda de capacidad a la que esteexigida. La trayectoria que vaya tomando la firma tambien tendra consecuenciasobre los determinantes del cambio tecnologico, porque la seleccion, desarrollo


y adaptacion de la estrategia tendran un efecto directo sobre la disponibilidadde la tecnologıa. Segun Pavitt (1984), otra forma de explicar la dinamica delcambio tecnologico es a partir de la pertenencia sectorial. En este enfoque laestrategia innovadora de la firma depende de las caracterısticas del sector y esentonces a nivel de la industria donde deben buscarse los patrones de conductainnovadora. Lall (1992) sigue esta lınea y explica la dinamica de acuerdo algrado de intensidad tecnologica de los sectores industriales medido a partir delos esfuerzos en I+D. Lo que fallarıan en explicar son los diferentes niveles deconocimiento incorporado que se pueden encontrar en un mismo sector. Peroen todos estos planteos esta presente la idea schumpeteriana de que existenfirmas emprendedoras que toman la iniciativa en la implementacion de cambiosy firmas seguidoras que se apresuran a imitarlas para no quedar excluidas delmercado. Ademas, de la experiencia se sabe que las firmas innovadoras tienenmenores probabilidades de desaparecer ante crisis economicas, son menores ex-pulsoras de empleo cuando buscan sobrevivir y alcanzan mayores niveles decrecimiento de las ventas e insercion exportadora. Mas aun, presentan mejoresindicadores de desempeno y trayectoria que las firmas no innovadoras, e incre-mentos en la calidad y cantidad de los recursos humanos. Punto a favor de laproposicion de Schumpeter al senalar que son los emprendedores quienes lideranel crecimiento de la economıa.

El efecto positivo de la innovacion sobre la performance financiera, medidapor el valor de mercado o el precio de las acciones, aparece como bastanterobusto en la evidencia empırica, como discuten Blundell et al. (1999), Griliches(1984), Hall et al. (2005) y Toivanen et al. (2002).

Existe tambien abundante literatura documentando los efectos de la inno-vacion sobre el crecimiento y las ganancias de las firmas, aunque no exenta deciertas ambiguedades. Geroski et al. (1993) encuentran un impacto positivo delas innovaciones exitosas de la firma sobre su margen de ganancias. Mientrasque Geroski y Machin (1992) destacan la persistencia y significatividad de lasdiferencias en rentabilidad entre companıas innovadoras y no innovadoras. Porsu parte, Freel (2000) argumenta que tales diferenciales dependen de factorescomo el tamano de la firma y las caracterısticas de la industria.

El trabajo de Adamou y Sasidharan (2007) encuentra que firmas con mayorratio I+D a ventas crecen mas rapido. Yasuda (2005) llega a un resultadoanalogo al estudiar el impacto de los gastos de innovacion por empleado sobreel crecimiento de la companıa. Yang y Huang’s (2005), Foray et al. (2007) yDel Monte y Papagni (2003) arriban a las mismas conclusiones. En cambio,Hershmati y Loof (2006) no encuentran impacto significativo de la innovacionsobre el crecimiento de las ventas en una muestra de 930 firmas suizas. Almusy Nerlinger (1999) concluyen que el crecimiento de una firma es solo afectadopor su tamano y edad, pero no por sus actividades de innovacion.

Ademas, las actividades de innovacion aumentan la probabilidad de super-vivencia de las firmas. Christensen et al. (1998) muestran que la combinacion deestrategias tecnologicas y de mercado son predictores importantes de la proba-bilidad de supervivencia. Cefis y Marsili (2003) muestran que las firmas jovenesy pequenas son las mas expuestas al riesgo de salida y, al mismo tiempo, lasque mas se benefician de las innovaciones para permanecer en el mercado.

Por ultimo, y a modo de conclusion y aplicacion de estos conceptos, una mi-rada a la realidad argentina desde esta optica. La historia economica argentina


reciente ha estado signada por la incertidumbre y vulnerabilidad causadas porlos recurrentes desequilibrios macroeconomicos. A la incertidumbre inherenteal proceso de innovacion hay que agregarle entonces la del entorno, y esto im-pacta directamente en los procesos de toma de decisiones de inversion. Losproyectos de innovacion suelen ser de corto plazo para ser capaces de sostenerla competitividad en los perıodos de crecimiento y minimizar la exposicion encaso de una nueva crisis.

Ademas, las empresas enfrentan el inconveniente adicional de un mer-cado domestico de reducido tamano que limita las economıas de escala quepodrıan obtenerse, desincentivando los gastos en innovacion y promoviendo elgasto en tecnologıa incorporada (productos de tecnologıas anteriores a las exis-tentes pero que ya fueron amortizadas en mercados desarrollados) sin esfuerzosendogenos de generacion y apropiacion de conocimiento. Esto se combina conuna baja insercion internacional como muestra Porta (2007), de forma tal quelos estandares de competencia del grueso de las firmas locales son justamente losdel mercado local: gustos y preferencias de menor sofisticacion relativa, baja de-manda de conocimiento, bajo-medio poder adquisitivo y escala reducida. Para-lelamente, las interacciones entre los entes publicos como el Sistema Nacionalde Innovacion (SNI), el Instituto Nacional de Tecnologıa Industrial (INTI) y lasuniversidades y las empresas estan lejos de ser las de los paıses desarrollados, yestan mas asociados a vınculos rutinarios asociados al desarrollo de pruebas yensayos y al cumplimiento de normas que a la busqueda de nuevos productos yprocesos como lo expresa Suarez (2007).

7. Conclusiones

Schumpeter fue el primero en senalar que su teorıa economica carecıa de valoruniversal, del mismo modo que todas las teorıas economicas carecen ya que solosirven para explicar un perıodo historico particular. Sin embargo, a casi un siglode la primera edicion de la “Teorıa del Desenvolvimiento Economico” sus ideasgozan de una validez notable. Evidentemente el emprendedor que describe enel segundo capıtulo de su obra no es identico al emprendedor actual, pero tienemuchos puntos en comun. Se trata de un agente en busqueda permanentede desafıos impulsado no solo por el beneficio economico, sino tambien por elreconocimiento de la sociedad y por una sensacion de superioridad y liderazgo.En cuanto al modo de incorporar las nuevas combinaciones, seguramente enla actualidad a cada innovacion le antecede un estudio mucho mas minucioso,racional y menos intuitivo que en la Austria de principios del siglo XX. Sinembargo eso no implica que el talento natural para percibir oportunidades denegocio constituya un don inutil.

Ademas en este trabajo se rescata la consistencia, en lıneas generales, delpensamiento schumpeteriano durante mas de cuarenta anos, contrario a la tesisde obsolescencia que indica que existe un Schumpeter temprano europeo y unSchumpeter tardıo americano con posiciones irreconciliables. El autor clara-mente vislumbro que el emprendedor tal y como lo habıa descrito en su teorıase transformarıa en un agente mas racional en la medida que mayores herramien-tas tecnicas estuvieran a su alcance. De ese modo el proceso de desarrollo setornarıa mas burocratico y despersonalizado. Y esta apreciacion aparece ya enla primera edicion de la Teorıa en 1911, treinta anos antes de “Capitalismo,Socialismo y Democracia”, cuando la expone en profundidad.


Por ultimo se intenta mostrar como sus principios se hallan presentes nosolo en la escuela neo-schumpeteriana, sino tambien en el seno de la escuelaneoclasica donde ha cobrado especial valor como componente de sustancia delos modelos de crecimiento endogeno, y en las teorıas contemporaneas de inno-vacion, competitividad y emprendedorismo.

La principal conclusion de este trabajo es que Schumpeter estaba en locorrecto solo a medias. Parte de su teorıa efectivamente cayo en el olvidocomo el esperaba. Pero la mayor parte conserva una vigencia envidiable yse ha constituido en inspiracion de economistas tan disımiles que el propioSchumpeter se asombrarıa de los efectos de su obra.

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Caracterizacion y modelado de redes:el caso de la Bolsa Mexicana de Valores

Linda Margarita Medina Herrera ∗

Jose Benito Dıaz Hernandez ∗∗

Recibido 12 de agosto de 2010. Aceptado 22 de septiembre de 2010

Resumen

En este artıculo revisaremos las principales herramientas que permiten analizarlas caracterısticas estadısticas y topologicas de redes financieras. Presentamosun caso de estudio en la Bolsa Mexicana de Valores que exhibe arboles dinamicosa lo largo de un periodo de 10 anos y analiza los cambios importantes que hanpresentado los movimientos de las acciones, impactando la longitud, el centro demasa y los conglomerados (sectores economicos). Los sectores mas importantesdentro de la red son el de construccion y el de telecomunicaciones.

Abstract

We review the main tools which allow for statistical and topological character-ization of financial networks. We present a case study in the Mexican stockmarket (Bolsa Mexicana de Valores) displaying dynamic trees over a period of10 years and analyzes the significant changes that have made the movementsof the stock, impacting the length, center of mass and clusters (economic sec-tors). The construction and telecommunications sectors are the most importantwithin the network.

Clasificacion JEL: E44, G13.

Palabras clave: redes financieras, arboles dinamicos, portafolio, conglomerados.

1. Introduccion

El mercado mexicano de valores es uno de los mas importantes en AmericaLatina y uno de los diez grandes mercados emergentes, posee un numero im-portante de companıas que han estado involucradas en fusiones y adquisicionesen todo el mundo y cada vez esta mas integrado con mercados de valores inter-nacionales. Esto lo convierte en un interesante caso de estudio. Este artıculoesta enfocado en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV). El objetivo principales caracterizar la topologıa y taxonomıa de la red formada por las principales

∗ Departamento de Fısica y Matematicas, Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad deMexico, Calle del Puente 222, Oficinas 1, Piso 2, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan,

14380 Mexico, D.F., Telefono +52(55)54832190, E-mail: [email protected].∗∗ EGADE, Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad de Mexico, Calle del Puente 222,

Oficinas 3, Piso 4, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan, 14380 Mexico, D.F., E-mail:

[email protected].


acciones que cotizan en la BMV. Tambien estudiamos la estructura dinamicade las redes en la BMV, que nos da informacion relevante sobre las principalesempresas y sectores. Calculamos el coeficiente β de dominio, conglomerados,centralidad, disparidad, nivel de ocupacion y fortaleza, para cada vertice yanalizamos el comportamiento de algunos conglomerados en el tiempo. Estosparametros nos proveen informacion en cuanto a la heterogeneidad de la redy de cuales sectores son mas importantes. Empezando en el 2004 formamosventanas moviles de un ano (250 observaciones por empresa, aproximadamente).Estimamos los parametros para las observaciones de enero-diciembre del 2004,enero-diciembre de 2005 y ası sucesivamente hasta diciembre de 2009. Ademasanalizaremos una ventana especial para los datos correspondientes a la crisisde octubre del 2008 al febrero del 2010. Y el arbol total, correspondiente a losdatos del 2004 al 2010.

El estudio de las propiedades topologicas de las redes se ha convertido enun tema central en la teorıa de redes. En particular, se ha mostrado que muchossistemas naturales y sociales presentan propiedades estadısticas inesperadas derelaciones que conectan diferentes elementos del sistema y que no pueden serdescritas con graficas aleatorias.

Investigaciones recientes han mostrado que la teorıa de redes tiene impor-tantes aplicaciones en el analisis de mercados financieros. El conocimiento delcomportamiento del mercado en el tiempo, permite minimizar el riesgo en losportafolios y disenar mejores estrategias de inversion. Es por esto que la des-cripcion de patrones en la bolsa ha llegado a ser un objetivo popular entrelos investigadores en los ultimos anos. El desarrollo de la teorıa de redes hapermitido revelar estos patrones de una manera muy sencilla y clara.

Los trabajos fundamentales en redes financieras aparecen a finales de losochenta, el concepto de grafos en el ambiente de mercados financieros fue in-troducido por Mantenga, Bonano y otros (1989) como un metodo para encon-trar arreglos jerarquicos de acciones a traves del estudio de conglomerados decompanıas, usando las correlaciones de los rendimientos de las acciones. Bo-nano (2004) lo emplea para investigar no solo las acciones de un portafolio, sinotambien ındices financieros y volatilidad. Onnela, Chakraborti, Kaski y Kertesz(2002) analizan arboles dinamicos, esto es, con ventanas en el tiempo, paramostrar que los activos del portafolio optimo de Markowitz estan practicamentetodo el tiempo en las ramas externas del arbol, los mismos autores (2003) usanel concepto de vertice central, eligen el nodo mas fuertemente conectado delarbol y definen una medida importante, “el promedio del nivel de ocupacion”que durante las caıdas del mercado aparece con un valor muy bajo.

P. Hage, F. Harary (1995) emplean la nocion de centralidad para analizargrafos en contextos no financieros. M. Barthelemy, A. Barrat, R. Pastor-Satorras (2005) realizan una revision de las principales herramientas en elanalisis de arboles financieros. Los artıculos de Kim, D., and Jeong, H. (2005),Tabak, B. Serra, T. Cajueiro, D (2010) y Medina, L. Mansilla, R. (2007) mues-tran evidencia empırica de la importancia de los arboles de expansion en elanalisis de los movimientos de los precios en mercados financieros.

No hay evidencia clara de como los parametros que caracterizan una redcambian en el tiempo. Muy pocas investigaciones de este tipo se refieren amercados emergentes y es aquı donde esta investigacion busca contribuir, carac-terizando redes en la Bolsa mexicana de Valores y estudiando sus cambios en

Caracterizacion y modelado de redes: el caso de la Bolsa Mexicana de Valores 25

el tiempo. En la seccion dos presentamos la definicion de los parametros quese usaran para analizar las redes. En la tercera seccion presentamos los datosempıricos, los arboles dinamicos y las medidas que caracterizan a cada arbol yen la ultima seccion esta constituida por conclusiones y consideraciones finales.

2. Redes financierasSea N el numero de acciones con precio Pi(t) para el activo i en el tiempo t, cont = 0, 1, 2, .., T . Tomamos Si(t) como el logaritmo de los rendimientos de losactivos Sit = ln(Pi(t))− ln(Pi(t− 1)). Las entradas de la matriz de correlacionlas calculamos mediante la formula de Pearson:

ρij =

∑T

t=1(Sit − Sit)(Sjt − Sjt)√

∑T

t=1(Sit − Sit)2∑T

t=1(Sjt − Sjt)2

donde Si es la media.Para construir la red, usamos la distancia euclidiana dij =

√

2(1 − ρij).Debido a que −1 ≤ ρij ≤ 1 se tiene que 0 ≤ dij ≤ 2. Note que si dos accionesestan perfectamente correlacionadas (rij = 1) la distancia entre ellas es 0, y, siestan “anticorrelacionadas” (rij = −1) su distancia es 2.

El arbol de expansion es una grafica de N objetos (vertices o nodos) unidospor N − 1 arcos que permiten ir de un vertice a cualquier otro. Si cada arcorepresenta una distancia o costo, o en general si a cada arco se le asocia un peso(numero real), la suma de los pesos de todos los lados de un arbol, sera el pesototal del arbol. Un arbol de expansion mınima es un arbol de expansion queminimiza el peso total del arbol.

Emplearemos varias medidas para caracterizar las redes financieras. Conel objeto de estudiar la evolucion de los parametros de las redes en el tiempo,usaremos una ventana movil de un ano de datos, que nos permitira estimary comparar los parametros a traves de los anos. Este acercamiento dinamicopermitira estudiar la evolucion de la red en el tiempo.

Revisaremos brevemente las diferentes medidas y parametros que nos per-mitiran una primera caracterizacion estadıstica de las redes.

Peso: Las propiedades de una grafica se pueden expresar a traves de lamatriz de adyacencia, cuyos elementos toman el valor de 1 si i esta conectadocon j y 0 en otro caso (con i,j = 1, , N donde N es el tamano de la red).Los arboles con peso usualmente se describen por medio de la matriz wij queespecifica el peso del arco que conecta el nodo i con el j. Si el vertice i no estaconectado con el vertice j, entonces wij = 0.

Grado del vertice: El grado del vertice i, ki, es el numero de nodos queestan conectados directamente al nodo i, esto es, el numero de elementos queintegran la vecindad de i, (V (i)).

Fortaleza del vertice: Junto con el grado del vertice, una medida muysignificativa de las propiedades de las redes en termino de sus pesos se obtieneanalizando la fortaleza del vertice si definida como

si = Σj∈V (i)wij

La fortaleza del vertice integra la informacion de su conectividad y de la im-portancia de los pesos de sus vertices conectados.


Nivel del vertice: El nivel es la suma de los arcos que hay que pasar sobreel arbol para ir del vertice i al vertice j. Si i = j entonces vij = 0.

Promedio de ocupacion: Es importante caracterizar la forma en que seextienden los nodos en el arbol. Para ello, se define la cantidad “promedio deocupacion del vertice i” ası:

l(vi) =1

N

N∑

j=1

niv(vij).

El nodo con promedio de ocupacion mas baja es el centro de masa del arbol.Un valor alto de l(vm)refleja una estructura de mercado muy fina, mientras

que en el otro extremo valores bajos se asocian con crisis en el mercado.El vertice central: El vertice central vc es considerado como el padre de

todos los vertices del arbol o tambien como la raız del mismo. Este se usa comopunto de referencia en el arbol, contra el cual la posicion de los demas verticeses relativa. Hay un poco de arbitrariedad en la eleccion del vertice central, sinembargo los siguientes criterios pueden ayudar a escoger al mejor candidato:

i) El vertice de mayor grado.ii) El vertice de mayor peso.iii) El centro de masa.

Centralidad: La centralidad de la grafica nos permite comparar la cen-tralidad del vertice central con la de los demas vertices. Si consideramos ladistancia sobre el arbol de un vertice fijo k a cada vertice h en el arbol G y en-contramos R = maxh∈GdG(k, h). Podemos considerar que el arbol est inmersoen un cırculo de radio R con centro en k. La centralidad es la curvatura delcırculo

C(k) =1

maxh∈GdG(k, h)

El arbol con mayor curvatura es mas central.Coeficiente del peso del conglomerado: Los conglomerados topologicos no

tienen en cuenta el hecho de que algunas vecindades son mas importantes queotras. Es por esto que se introduce una medida para los conglomerados quecombina la informacion topologica con la distribucion de los pesos del arbol. Elcoeficiente del peso del conglomerado se define como

cw(i) =1

si(ki − 1)

∑

j,h

wij + wih

2aijaihajh,

esta medida tiene en cuenta cada tripla que se forma en la vecindad del verticei. El factor de normalizacion si(ki − 1) asegura que 0 ≤ cw(i) ≤ 1 y que cw(i)recupere el coeficiente topologico del conglomerado cuando wij sea constante.

Una de las aplicaciones importantes de los arboles se encuentra en la opti-mizacion de portafolios. La localizacion del activo con respecto al vertice centraljuega un papel importante a la hora de medir el riesgo y los rendimientos.

Si rm y rM son los rendimientos mınimo y maximo de un portafolio P ,respectivamente. El rendimiento esperado varıa entre estos dos extremos, y sepuede expresar como

rP,θ = (1 − θ)rm + θrM


donde 0 ≤ θ ≤ 1. Se define el promedio ponderado del portafolio de la siguientemanera:

lP (θ) =∑

i∈P

wi niv(vci)

donde∑N

i=1 wi = 1 y vc es el vertice central.Los activos que minimizan el riesgo de un portafolio se encuentran en las

ramas exteriores del arbol, por lo tanto, se espera que arboles largos (con lgrande) tengan mayor potencial de diversificacion, esto es, la oportunidad delmercado financiero para eliminar un riesgo especıfico del portafolio de riesgomınimo.

A medida que se incrementa θ hasta llegar a la unidad, el riesgo del portafo-lio en funcion del tiempo empieza prontamente a comportarse muy diferente delpromedio de ocupacion l. Consecuentemente, ya no es util para describir la di-versificacion potencial del mercado. Sin embargo, emerge otro resultado intere-sante: el promedio ponderado del portafolio lp(θ) decrece cuando θ aumenta suvalor. Esto significa que de todos los posibles portafolios de Markovitz, las ac-ciones del portafolio de riesgo mınimo estan localizadas lo mas lejos posible delvertice central, y a medida que se mueve hacia portafolios con altos rendimien-tos esperados, las acciones incluidas en ese portafolio estaran localizadas cercadel vertice central.

3. Arboles empıricos

Las series de tiempo que conforman la base de datos para este estudio estanformadas por los precios de cierre diario de 68 empresas que cotizan en la BMV,en el periodo comprendido entre el 1/03/00 y el 2/23/10. Para la eleccion delas empresas y la longitud de la serie se tuvo en cuenta la bursatilidad, capi-talizacion y mantenimiento de las mismas. La longitud final de las series esde 2553. Dentro de las 68 empresas seleccionadas para el estudio se encuen-tran representados todos los sectores economicos, las empresas elegidas tienenla mayor bursatilidad de cada sector y juntas representan mas del 90% de par-ticipacion en el IPC y el 100% del ındice Mexico (INMEX). Todas las accionesincluidas han permanecido activas en el periodo seleccionado para el estudio.

Construimos la matriz de distancia a partir de los coeficientes de correlaciony el arbol de expansion mınima usando el algoritmo de Kruskal. Calculamos lasmedidas presentadas en la seccion 3 para cada vertice (accion) y analizamos elcomportamiento de los sectores economicos. Tambien estudiamos la evolucionde las redes en el tiempo construyendo ocho arboles. Un arbol con los 2553 datos(del 2000 al 2010), seis arboles dinamicos para los anos del 2004 al 2009 y unarbol correspondiente a la crisis del 2008 (con datos de octubre del 2008 a febrerodel 2010). Calculamos todas las medidas en cada arbol y las promediamos porsector economico.

La Tabla 1 muestra los calculos obtenidos para el centro de masa, gradoy fortaleza para las empresas que obtuvieron los mejores parametros en cadaano.

Las empresas sombreadas fueron seleccionadas como el vertice central delano correspondiente. El vertice central del arbol completo es CEMEX siendoel vertice con mayor fortaleza en el tiempo, el vertice con grado mas alto y unaposicion cercana al centro de masa. CEMEX, una de las empresas lıderes en


la rama de la construccion, tiene una de las participaciones mas altas del IPC,siendo de alta bursatilidad.

GEO, la companıa de vivienda mas rentable en el sector de la construccion,aparece como vertice central en varias ventanas del tiempo: en el 2005 y en losanos de crisis, finales del 2008 a principios del 2010. El 2005 es el ano que exhibeel mayor promedio de ocupacion, donde el arbol se despliega y el mercadomuestra cierta recuperacion y los conglomerados por sectores economicos semuestran mas separados, permitiendo cierta diversificacion.

En los anos de crisis, el vertice central puede mostrar el sector economicomas afectado. Las empresas que aparecen en la tabla, disputandose el tıtulo devertice central son todas de alta bursatilidad, juntas aportan alrededor del 80%al IPC.

Tabla 1. Vertice Central.

America Movil (AMX), la principal companıa de telecomunicaciones deAmerica Latina, es la empresa con mayor fortaleza promedio, las empresasunidas a este vertice tienen correlaciones altas, y permanecen muy cerca delvertice central, son empresas con altos rendimientos.

En la figura 1 mostramos el promedio de ocupacion, el cual oscila entre 3.16y 4.28. El promedio de ocupacion mas bajo lo obtuvo el arbol correspondientea la crisis economica que empezo en el 2008, mostrando que efectivamente hubocontraccion en el mercado. El promedio de ocupacion mas alto corresponde alano 2005.

El pico que apreciamos en el 2005 podrıa ser explicado por algunas condi-ciones economicas presentes en ese ano que favorecieron a la estabilidad fi-nanciera: se mantuvo la orientacion a la prudencia fiscal y monetaria de lapolıtica economica. Las tasas de interes descendieron en la segunda parte delano y el tipo de cambio se aprecio ligeramente en terminos reales, lo que fa-vorecio la baja de la inflacion.

En los anos estudiados, las bolsas financieras americanas mostraron unpromedio de ocupacion entre 3 y 9.8, manteniendose la mayorıa del tiempo porencima de 4. El rango en el que oscila el promedio de ocupacion de la BMV


(3.16, 4.28) nos muestra que el mercado mexicano es aun un mercado en desa-rrollo, uno donde el comportamiento del sistema es todavıa muy homogeneo.

El arbol con mayor centralidad corresponde a los anos de crisis, confir-mando la contraccion en el mercado, una centralidad alta representa un arbolsumergido en un cırculo pequeno, es por esto que el arbol muestra la perdidade conglomerados por sectores economicos. Las ramas exteriores cerca de lasinteriores dificultan la clasificacion de las empresas en cuanto al riesgo y losrendimientos.

Figura 1. Variacion del Promedio de ocupacion en el tiempo.

Figura 2. Variacion de la centralidad en el tiempo.

El arbol del 2005 (figura 3) tiene la centralidad mas baja de todas las ven-tanas, muestra claramente las ramas exteriores del arbol (las acciones de riesgomınimo) y los vecinos del vertice central (las acciones de mayor rendimiento).


El arbol del 2005 es el que presenta coeficientes de peso de conglomeradomas altos, obteniendo tres conglomerados importantes: el de la construccioncon centro en GEO (figura 4), el de telecomunicaciones con centro en AMX yel de siderurgia y metalurgia con centro en SIMEC.

Figura 3. Izquierda: Ventana Octubre 2008 - Enero 2010. Derecha: Ventana 2005.

Figura 4. Conglomerado de construccion en el arbol 2005.

A lo largo del tiempo solo se conservan dos conglomerados: el de cons-truccion con un coeficiente de peso de conglomerado tres veces mayor que elsiguiente conglomerado, el de telecomunicaciones. Las empresas con mayoresrendimientos son precisamente las que aparecen en la Tabla 1 y en las ramasexteriores se mantienen a lo largo del tiempo la hotelera POSADAS, el GrupoPOCHTEC, dedicado a la produccion y comercializacion de productos quımicos,HILASA y VASCONI.

4. ConclusionesEl arbol de activos se puede ver como una poderosa herramienta en el analisisdel movimiento de las acciones en la Bolsa Mexicana de Valores, pues aunqueparece estar fuertemente reducido, contiene informacion esencial del mercado yse puede usar para anadir un juicio subjetivo al problema de optimizacion de unportafolio. La evidencia nos muestra que el mercado financiero mexicano formaconglomerados en el sector de la construccion y el de telecomunicaciones. Las


ramas exteriores y los centros de los arboles permanecen estables en el tiempo,el mercado es homogeneo. Los arboles mostraron ligeras contracciones en lacrisis y extensiones en el 2005.

Las medidas de las redes sugieren que los sectores de construccion y tele-comunicaciones son los sectores relativamente mas importantes en los arbolescon una gran influencia sobre los demas sectores. En este artıculo mostramosque algunas caracterısticas de las redes cambian con el tiempo, mas aun, laimportancia relativa de sectores especıficos cambia. Investigaciones posteriorespodrıan explotar las medidas de los arboles para crear y analizar ındices comoel IPC, tambien esta abierto el tema para comparar comportamientos de bolsasinternacionalmente y de otros instrumentos financieros.

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Value at risk and return from the use of Bayesian

methods for stress testing in a world asset

allocation and the 2008-2009 crisesHumberto Valencia Herrera ∗

Recibido 22 de julio de 2010. Aceptado 30 de septiembre de 2010

Resumen

El rendimiento y el valor en riesgo de una propuesta asignacion de activosobtenida usando metodos de carteras Bayesianas tipo Black-Litterman y Marko-witz aplicado a una cartera mundial de ındices es fuertemente dependiente delparametro de escala de las distribuciones de retornos a priori. Sin embargo, elrendimiento y valor en riesgo observado con la cartera recomendada durante elperıodo 2008 y 2010 es menos sensible a este parametro.

Abstract

The return and value at risk return of a proposed asset allocation obtainedusing Black-Litterman and Markowitz Bayesian portfolio methods applied to aworld portfolio of indexes is strongly dependent on the scale parameter of theprior return distribution. However, the observed mean and value at risk duringthe 2008 to 2010 period with the proposed allocation is relatively less sensibleto this parameter.

Clasificacion JEL : G11, G15

Palabras clave: financial studies, international security markets, Black-Litterman model,

Bayesian portfolio optimization

1. Introduction

The 2008-2009 global financial crises has been described as the worst financialcrises in the United States and many other countries after the great depre-ssion of 1929, which was characterized by negative information effects duringthe financial panic, which resulted in negative movements and contagion acrossfunds [Jinjarak and Zheng, 2010], in particular, during September 2008 [Idier,

∗ Humberto Valencia-Herrera is finance researchprofessor at InstitutoTecnologico y de Es-tudios Superiores de Monterrey, Campus Mexico City. Email: [email protected]: 52-55-54832241. Address: Office Building 3, 2nd Floor, Calle del Puente 222,Ejidos de Huipulco, Mexico, D.F., 14380, Mexico. I thank the comments received from ananonymous referee, the participants at the Banco de Mexico Economic Research Seminar andthe research assistance of Nayeli Carranco. Any remaining errors are the author’s respons-

ability.


2011]. 1 The crises started in the debt market, but extended to other assetsbecause funds could not be raised easily and quickly, which affected the fun-damental values of many assets, which became separated from its real value.These distortions resulted in real consequences in the economy that affectedmany assets far from the toxic subprime mortgage assets, which were the rootof the problem, Krishnamurthy [2010]. These effects not only were limited tothe period of the financial crises. Hall [2010] discuses persistent adverse effectsof a temporary crises that can have adverse effects on employment and outputand they can be fell for many years after the crises, even after the financialcrises subsided.

Here, we propose to use two formulations to incorporate information inportfolio selection. Bayesian updating applied directly to the Markowitz [1952]optimization problem and the use of the views in the Black Litterman port-folio model to update information and to incorporate past information in theportfolio decision. In those frameworks, we explore how changes in the scaleparameters of the prior portfolio distribution modify the asset allocation, thereturn, and the value at risk of the forecasted posterior portfolio distributionand the resulting ones in the 2008 to 2010 period.

1.1. Bayesian updating in the Markowitz optimization problem

The mean variance portfolio optimization problem was initially proposed byMarkowitz [1952], who showed the problem of an investor who minimizes his/herexpected portfolio variance given a desired level of return. An alternative formu-lation is the problem of an investor who maximizes an expected utility functionof future returns, E(U(RT+τ )), whose probability depends on an expected re-turn vector µ, a covariance matrix Σ and the proportions invested on each asset,w, that add on to one,

maxωE(U(ω′RT+τ )) = maxω

∫U(ω′RT+τ )pT+τ (RT+τ |µ, Σ)dRT+τ (1)

subject to ω′1 = 1. The investor has an expected quadratic utility function ofreturn a time T + τ of the form

E(U(ω′RT+τ )) = µp −A

2σ2

p (2)

where A is the relative risk aversion coefficient, a measure of the rate at whichthe investor is willing to accept extra risk for a one unit increase in expectedreturn.

If there is uncertainty in the parameters, it can be accounted for using aBayesian framework. If the next-period excess return data is RT+1 the predic-tive return density is 2

1 Jinjarak and Zheng [2010] shows contagion an negative feedback in emerging-marketfunds during the 2008-2009 period. Idier [2011] shows extreme volatility comovements during

September 2008.2 For a more extensive discussion, see Rachev et al. [2008]

Value at risk and return from the use of Bayesian... 35

p(RT+1|R) ∝ p(RT+1|µ, Σ)p(µ, Σ|R)dµdΣ, (3)

where R = return data available up to period T , a T × N matrix,p(µ, Σ|R) = joint posterior density of the two parameters of the multivariatenormal distribution, p(RT+1|µ, Σ) = multivariate normal density and ∝= pro-portional to.

Substituting in (1), the predictive density of excess returns (3), the in-vestor’s optimization problem becomes

maxωE(U(ω′RT+1)) = maxω

∫U(ω′RT+1)p(RT+1|R)dRT+1 (4)

subject to ω′1 = 1.In this problem, the optimal weights depend on the expected return vector

µT+τ and the inverse of the expected covariance matrix∑

T+τ :

ω∗ =

∑−1

T+τ µT+τ

A(5)

If the investor has informative beliefs about the mean vector and the co-variance matrix of excess returns and they can be represented by conjugatepriors, 3 the mean vector will be normal with mean η a variance covariancematrix (1/τ )Σ and the covariance matrix will be Wishart with parameters Ωand ν . The prior parameters τ and ν reflect the confidence that the investorhas on the parameters η and Ω, respectively. The larger the τ and ν , the lessconfidence the investor has on those values, respectively,

µ|Σ ∼ N(η, (1/τ )Σ)

andΣ ∼ IW (Ω, ν).

The predictive distribution of next-period excess return is a Student’s tdistribution with mean and covariance parameters, respectively,

µ =τ

T + τ )η +

T

T + τ )µ

Σ =T + 1

T (ν + N − 1)

(Ω + (T + 1)Σ +

Tτ

T + τ(η − µ)(η − µ)′

)

The vector of optimal portfolio weights, ω∗ is a function of the forecasted

mean, µ and the forecasted variance matrix, Σ and is given by (5). The efficient

3 In Bayesian probability theory, if the posterior distributions p(θ|x) are in the same

family as the prior probability distribution p(θ), the prior and posterior are called conjugatedistributions, and the prior is called a conjugate prior for the likelihood, see [Raiffa andSchlaifer, 1961]. The Gaussian family is conjugate to itself (or self-conjugate) with respect toa Gaussian likelihood function. If the likelihood function is Gaussian, a Gaussian prior over

the mean ensures that the posterior distribution is also Gaussian.


frontier can by traced out by the optimal weights (µ∗

p, σ∗

p) where µ∗

p = ω∗′

µ and

σ2p = ω∗

′

Σω∗, for varying values of the risk-aversion parameter A, in the relation(2).

1.2 Black Litterman optimization problem

The Black and Litterman [1991, 1992] portfolio model (BL model, hereafter)is appealing for many investors because it can combine subjective informationwith objective one. The BL model is based on the Sharpe [1964] and Lintner[1965] Capital Asset Pricing Model, CAPM, hereafter. The model assumesthat there is one risk factor that explains returns in equilibrium, the marketreturn. 4 Numerous extensions have been made to the basic model, both inthe industry and in the academics. See, for example, Martellini and Ziemann[2007], Nardari and Scruggs [2007], Giacometti et al. [2007], Zhou [2009], Badeet al. [2009], Meucci [2009], and Kooli and Selam [2010].

If the asset universe (the market portfolio ) are N assets, let us assume that

the equilibrium risk premiums are the N ×1 vector R, R = Ra−Rf1, where Ra

is a N × 1 vector of market asset returns, 1 is a N × 1 vector of ones, and Rf is

the risk-free rate. If weq are the N ×1 vector of market capitalization weights ofthe resampling portfolio in BL, the market portfolio, and the CAPM holds, Ris equal to β(Rm −Rf), where Rm −Rf is the market risk premium, β is equal

to cov(R, R′weq)/σ2M is a N × 1 vector of asset betas and R′weq is the market

return, and σ2M is the variance of the market return, that is, σ2

M = w′

eqΣweq,where Σ is the asset return covariance matrix.

If the Sharpe ratio of the market portfolio is R = δΣweq, with δ equal to(Rm − Rf)/σ2

m, the vector of equilibrium risk premiums R can be written as

R = δΣweq (6)

After rearranging, we obtain

weq =1

δΣ−1R (7)

and δ is the risk aversion parameter A of the relation (2).The market on average is expected to be in equilibrium, but at any point in

time, the equilibrium can be perturbed by shocks. Therefore, the return will beµ = Ra+ε, where the N× vector ε includes the perturbations to the equilibrium,which we assume that they have a multivariate normal distribution and that theprior distribution of µ is given by µ ∼ N(Ra, τΣ), that is, the prior covariancematrix of the mean is a scaled covariance matrix of the sampling distribution.The scale parameter τ can be interpreted as the uncertainty in the accuracywith which Ra can be estimated or the confidence that the analyst has on theCAPM. A small τ reflects high accuracy and confidence.

4 Even though the CAPM model has been strongly criticized in the literature, it is auseful approximation for the true market model. Further extensions are Fama and French[1993] and Carhart [1997], who extended the CAPM model, to account for other factors, to

a multifactor market model, which better explains returns.


Notice that the covariance matrix is a square symmetric matrix, and theinverse of a block symmetric square matrix can be written, see Jo et al. [2004],Bernstein [2005, p44-45], as

Σ =

[AT A

BT A

AT B

BT B

]−1

=

[(AT PBA)−1

−(BT PAB)−1BT A(AT A)−1

−(AT PBA)−1AT B(BT B)−1

(BT PAB)−1

](8)

where PA = I − A(AT A)−1AT and PB = I − B(BT B)−1BT . If the blocksout of the main diagonal are close to zero, and PB is close to be the identitymatrix, an allocation based on the first block will be the optimal allocation on

the subset of those assets, that is, the allocation of the N assets will be theallocation based on the N assets in the market, except for the omitted ones.

If the analysis focuses on N assets and the investor has K views on those

assets, let us denote the K × N matrix of views portfolios by P . Each row ofthe matrix P represents a view portfolio, where an element of P is nonzero ifthe corresponding asset is associated with the view and zero elsewhere. TheK × 1 vector of expected returns on the view portfolios is given by Pµ. If theprior distribution of returns µ is normally distributed, the investor’s subjectiveviews will be

Pµ ∼ N(Q, Ω) = N(Pµ, Ω), (9)

where µ is the n × 1 vector of the expected prior returns, which maps to theK × 1 vector of prior expected values Q of the views. The K × K covariancematrix reflects the uncertainty of the views under the prior distribution of thestress testing scenario. 5

After applying Bayes’ theorem to combine the objective information, fromµ, and subjective information, from Pµ, the posterior distribution of the ex-pected returns µwill be normal with mean and covariance, M and V , respec-tively:

M = ((τΣ−1 + P ′Ω−1P )−1((τΣ)−1R + P ′Ω−1Q) (10)

= ((τΣ−1 + P ′Ω−1P )−1((τΣ)−1R + P ′Ω−1P µ),

where µ is the estimate of expected returns implied by the views,

µ = (P ′P )−1P ′Q,

and

V = ((τΣ)−1 + P ′Ω−1P )−1

5 In Black and Litterman [1991], the degree of confidence that the investor has on the

views is reflected in the diagonal elements of the prior covariance matrix Ω.


If the returns and the covariance matrix of the N assets in a stress scenarioreflect the absolute views of the investor on each of the N assets of interest, Pwill be an identity matrix, that is, P = I,

M = ((τΣ)−1 + Ω−1)−1((τΣ)−1Ra + Ω−1µ) (12)

and

V = ((τΣ)−1 + Ω−1)−1.

The resulting covariance matrix is the inverse of the sum of the inverse ofthe covariance, multiplied by τ , and the inverse of the prior views covariance,that is, a kind of harmonic weighted average of the covariance matrix Ω and Σ.

1.2.1 The parameter τ in Black-Litterman

If the market portfolio has mean expected return µ, the distribution of thevector µ − R is

µ − R ∼ N(0, τΣ) (13)

where Σ is the covariance matrix of returns computed separately.The parameter τ can be interpreted as the remaining uncertainty in the

sample data due to the perturbations ε, which it is usually assumed between 0and 1. For example, Black and Litterman [1992] proposes to use a value closeto zero, Satchell and Scowcroft [2000] proposes to use the value of one, andRachev et al. [2008] proposes τ = 1/T , where T is the length of the sample inyears.

For purpose of measuring uncertainty, we use two measures: standarddeviation and value at risk, VAR hereafter. We employ the delta-normalmethod, 6 which uses a mean-variance approximation of the VAR and a 99%VAR, following Basel Committee guidelines, which is the expected lost, in a10 day period, with a 99% confidence interval. For purpose of analysis, weuse a one million portfolio, so if σ is the daily standard deviation, the VAR is(2.33)(

√10)(1, 000, 000).

2. Methodology

We use data from the following stock exchange indices: the IPC from Mexi-co, the MERVAL from Argentina, the IPSA from Chile, the BOVESPA fromBrazil, the IBEX 35 from Spain, the DAX from Germany, the FTSE from GreatBritain, the KOSPI 20 from South Korea, the HSENG Index from Hong Kong,the IGBL from Peru, the IGBC from Colombia, the IBC from Venezuela and theSP500 from the United States. The data set was from Economatica, comple-mented with Yahoo Finance and Bloomberg. The exchange rate was obtainedfrom central banks web sources, the Pacific Exchange Rate Service from theSauder School of Business at the University of British Columbia, Canada andEconomatica. We use daily closing prices from September 10th, 1993 to De-cember 17th, 2010. Missing data was filled with previous closing prices. Each

6 The delta-normal method assumes independence of returns. If returns exhibit positive

correlation in the short term, the delta-normal VAR can underestimate the true VAR.


of the indexes was converted to US dollars with daily exchange rates. A total of4,505 daily return observations were calculated based on weeks with five days.Table 1 shows basic statistics for the indexes and equivalent daily returns forthe three month T Bill rates. 7

Figure 4 shows the daily risk premium, the difference between the dailyindex return and the daily T Bill return. During 2008-2010 period, there wasan increase in volatility in almost all indexes; however, other previous periodsalso showed high volatility. In order to analyze previous volatility, we estimatedthe yearly standard deviation for each index and built up a equally weightedportfolio of all indexes. Figure 2 shows that the standard deviation decreaseduring 2008, 2009 and 2010 to 0.24, 0.18, and 0.14, respectively. However, theyears 1997 and 1998 also showed high volatility, standard deviations of 0.13and 0.16, respectively. If we focus on returns, in 1998 the return was belowzero, -1.1%, but it is not comparable with the sharp decreases of 2000 to 2002,-19.7% -10.3%, and -17.8%, respectively, a period in which the volatility wasnot extremely high. The returns failed strongly in 2008, to -48.7%, to recoverin 2009 and 2010, 50.2% and 15.6%, respectively, see Figure 3. The correlationbetween yearly returns and standard deviation is negative, -0.527.

2.1 Bayesian Markowitz portfolio updating

For the Bayesian Markowitz portfolio exercise (BM, hereafter, we select thetime period before 2008 as the pre-sample one of daily excess returns. The an-nualized daily returns of a equally weighted portfolio till 2007 was 11.82%, witha standard deviation of 0.1096 and a Sharpe ratio of 0.0667. 8 For stress testingpurposes, the prior returns must correspond to a worst case scenario, that is, aperiod with high volatility and small returns. The year 1998 had relatively highvolatility but it did not have sharp decreases in return. In contrast, in the year2000, there was large return decreases, but the volatility was relatively small.Therefore, for stress testing purposes, we use the covariance matrix of the year1998, as the prior covariance and the returns from the year 2000, as the priorreturns. The parameters are as follows:

a) The vector µ are the average daily excess returns till the year 2007.b) The covariance matrix Σ is the covariance matrix from the pre-sample

period, till the year 2007.c) The parameter T is equal to 3,731, the number of daily excess returns

in the pre-sample period, till the year 2007.d) The vector of prior returns η is equal to the observed mean daily excess

returns during the year 2000.

7 The exchange rates have had episodes of overvaluation and undervaluation, which re-sulted in different return and VAR in United States dollars (USD) from the ones in nativecurrencies. The average return of the indexes in USD was 12.7% and the average exchangerate yearly change was -4.2%, in the period of study. However, the exchange rates volatili-ties were lower than the stock markets volatilities, 11.4% and 29.3% average yearly standard

deviation, respectively.8 The Sharpe ratio shows the same pattern as the daily returns. The Sharpe ratio, pro-

posed by Sharpe [1966] and redefined in Sharpe [1994], is the ratio between the expected risk

premium and its standard deviation, E(Rt − Rft)/σ(Rt − Rft).


e) The parameter τ is equal to 261. The parameter is usually interpretedas the size of a hypothetical sample drawn from the prior distribution.Here, the number corresponds to the daily observations in a year onaverage.

f) The covariance matrix Ω is equal to Σ(ν −N − 1) where Σ is its samplecounterpart, the covariance matrix from the excess return during theyear 1998. 9

g)The parameter N is equal to 15, the number of assets.h)The parameter ν is 30, the degrees of freedom in the Wishart distribution

and a large value to make the prior of Σ informative and reflect the confi-dence about Ω. 10

2.2. Black-Litterman updating

In order to use BL as a stress testing tool, we consider the market from thepresample period. Because, we did not have information for a world sampleof stock indexes for the period, we took two approximations: the MSCI WorldIndex (MSWO) and the ex-post optimal risky portfolio during the presampleperiod (PRESAM), given the observed returns vector and covariance matrix.MSWO is a index of more than 1,500 stocks from 24 developed economies. Thestock indexes here are an incomplete sample of stock indexes, slightly bias toemerging economies. The prior views were from the stress testing scenario, the1998 covariance matrix and 2000 observed return. Given that there is not aconsensus in the literature about the scale parameter τ , we analyze the forecastbehavior as a function of it.

3. Analysis

3.1. Bayesian Markowitz updating

The assumption of conjugate priors overstates the expected volatility, see Figure4, which is larger than the one observed in the 2008-2010 period. However,the observed return in 2008 was lower than the expected return, which wascomparable to the one in 2009.

From Figure 4, the portfolio expected return and the 2008 observed oneare increasing with τ , but the 2009 and 2010 observed returns are decreasingwith τ . From Figure 5, the expected portfolio VAR is increasing with τ , butthe 2008, 2009 and 2010 observed ones are smaller at 600, 570 and 510 days,respectively, using intervals of 30 days for estimation purposes.

3.2. Black Litterman updating

The selection of the scale parameter τ can be critical for the resulting assetallocation. The optimum portfolio composition is highly dependent on it. Forexample, in the case of the MCWO benchmark, there is a large portfolio real-location when τ changes from 0.1 to 0.15. As a result, the return and the riskincurred can change dramatically, see Figures 6 and 7. In the MCWO bench-mark case and a small τ , the return and the VAR are small, the expected and

9 Given that Σ is distributed IW (Ω, ν),the prior mean of Σ is Ω/(ν − N − 1).10 The Wishart distribution exists if ν > N + 1.


the observed ones during the 2008-2010 period; even though, the expected andthe observed ones in the year 2008 are larger than the ones in the years 2009and 2010. This relation will change with τ larger than the critical point, theexpected return and observed ones for 2008 will be larger than the 2009 and2010 returns. At large τ , the return differences subside.

Changes are also observed in the presample benchmark case at a criticalpoint. There is also a large change in asset allocation; however, it happens whenτ changes from 0.55 to 0.65. At this critical point, the VAR increases dramat-ically, then it subsides, see Figure 9. Before the critical point, the expectedreturn and the observed one during 2008 were smaller than the observed onesduring the years 2009 and 2010, see Figure 8. At the critical point, the relationchanges and continues for a while: the expected return and the observed oneduring 2008 are smaller than the observed ones during the years 2009 and 2010.However, at large τ , the return differences between periods diminish and theexpected return and the observed one in 2008 become smaller than the ones in2009 and 2010.

3.3. Comparing methods

Table 2 compares differences between the forecasted Sharpe ratio and the ob-served one in different years with a conservative τ , that is, in the BayesianMarkowitz method, at τ = 240 days, in BL, at τ close to zero (0.1 and 0.05,with the MCWO Index and the optimal portfolio in the presample period asbenchmarks, respectively) or with τ equal to one. We observed that the mostconsistent forecast is with the MCWO Index as market and τ equal to 0.1. Theforecast with the presample index as market was not as consistent during the2008 and 2010 period. In BL, a small τ gave optimistic forecasts, the observeddifferences were always negative. A τ equal to one gave pessimistic forecasts,the observed differences were all positive. The BM method was not consistent,in 2008, it was optimistic and, in 2009 and 2010, it was pessimistic.

4. Conclusions

Black Litterman portfolio optimization can be useful to obtain an asset alloca-tion that it is little sensible to changes in the stock market if the benchmarkis a stock index. If the stock market recovers, the Black Litterman allocationalso recovers, but it also suffers in bad times. There are small differences inallocation, risks and rewards if the market proxy is the MSWO index or thepresample ex-post optimal portfolio in the analysis of the 2008-2010 period.

Bayesian updating with conjugate priors in a Markowitz model can over-estimate the forecasted VAR. However, the resulting asset allocation can beuseful to manage VAR and return as we observed during the 2008-2010 periodwith a buy and hold strategy. Bayesian Markowitz portfolio optimization andBlack Litterman portfolio optimization are sensible to the scale parameter τ ,particularly the last method mentioned. Black Litterman portfolio optimizationshows strong changes in asset allocation close to a critical scale parameter valueand jumps in VAR and return. This value can be small, as in the MSWO case.If BL is used, the selection of the scale parameter demands special care.


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Estimacion del residual de un bono respaldado por

hipotecas mediante un modelo de riesgo credito:

una comparacion de resultados de la teorıa de

copulas y el modelo IRB de Basilea II en

datos del mercado hipotecario mexicano

Arturo Cortes Aguilar ∗

Recibido 10 de agosto de 2010. Aceptado 12 de octubre de 2010

Resumen

El residual en un bono respaldado por hipotecas, tiene impacto en la calificacionde la emision, por lo que debe reflejar el riesgo de credito de la estructurafinanciera. Se propone el uso de un enfoque de riesgo credito para su estimacioncomo la perdida no esperada de las hipotecas que respaldan al bono a traves dela aplicacion de la teorıa de copulas, se presenta la comparacion de los resultadosobtenidos de la copula t-Student, copula Normal, copula Gumbel, del modelo decapital economico para cartera hipotecaria de Basilea II y del residual real delbono, mostrando que se obtienen estimaciones inferiores al aplicar los modelosde copulas que el analisis de escenarios empleado en la definicion del residualdel bono.

Abstract

Residual tranche in a mortgage backed security is a determinant issue in itsgrade and it should show the credit risk profile. I propose residual trancheestimation in a credit risk view with the application of copula theory to calculateunexpected losses in the collateralized mortgages. The comparison of resultsbetween t-Student copula, Normal copula, Gumbel copula, Basel II economiccapital model and the residual tranche in a Mexican MBS show that residualas economic capital estimated with copula implementation are less than thescenario analysis that had defined that tranche in the structure. Keywords:Mortgage backed security, credit risk, copula theory, Basel II.

Clasificacion JEL : G21, G32.

Palabras clave: Bono respaldado por hipotecas, riesgo credito, teorıa de copulas, Basilea II.

∗ Programa Doctoral en Ciencias Financieras. Tecnologico de Monterrey, Campus Ciudad

de Mexico. E-mail: artur [email protected]. Tel: 55282493.

Estimacion del residual de un bono respaldado por hipotecas... 51

1. Introduccion

En el mercado mexicano, el originador de los creditos hipotecarios recurre ala estrategia de bursatilizacion traspasando activos crediticios a un fideicomisocon la finalidad de obtener mas recursos para generar nuevos prestamos, alrespecto, los agentes estructuradores estan enfocados en resolver el problemade la falta de liquidez de los originadores de los creditos hipotecarios, mas queen establecer juicios respecto al uso optimo del capital, si se considera a lamisma estructura como una entidad financiera, resultando en residuales quepueden sobre o sub valorar el riesgo de credito de la estructura de acuerdo a loque reflejarıa un modelo de estimacion de perdidas esperadas y no esperadas,derivado de este hecho, este trabajo de investigacion tiene por objetivo mostrarque el uso de los modelos aquı empleados disminuyen el requerimiento de capitalo residual de la estructura comparado con lo que se obtiene con el analisis deescenarios empleado en la practica, el beneficio de esta disminucion en la porcionsubordinada de la estructura permitira un incremento en la porcion de bonosemitidos.

2. Riesgo credito en bonos respaldados por hipotecas

Los originadores de creditos recurren a la venta de sus activos hipotecariospara la emision de bonos y ası obtener recursos financieros y emplearlos paraoriginar mas creditos, dicho mercado ha sido el que mas ha entrado en el negociode la bursatilizacion. En una estructura de bursatilizacion, la porcion que noforma parte de los bonos emitidos y constituye parte del capital del fideicomiso,funciona como una porcion de seguro contra incumplimiento en los pagos de loscreditos, esto significa que es la parte que absorbe las perdidas y generalmentees posesion del cedente, esto quiere decir que como el cedente ya recibio el valorde los creditos al momento de la transferencia para la originacion de nuevoscreditos, con excepcion de esa proporcion, tiene un cambio en su exposicion alriesgo credito y este cambio se refleja en un menor requerimiento de capital en subalance general, sin embargo tiene la desventaja de tener un activo subordinado,el cual regresara a formar parte de su balance en el caso de que se cumplanlas siguientes dos condiciones: los bonos emitidos deben estar completamentepagados y las perdidas realizadas sean menores que el residual.

El riesgo de incumplimiento de un bono respaldado por hipotecas resultade una omision de pagos del suficiente numero de acreditados que impidan elcumplimiento del pago del cupon a los inversionistas, es decir, que la amorti-zacion de los creditos hipotecarios no es suficiente para afrontar el compromisoadquirido en la emision del bono, este riesgo es absorbido por el residual y elpapel que desempena en la estructura impacta en la calificacion del bono porlo que el residual debiera ser establecido por el riesgo credito de los colaterales,comprometiendo los flujos de acuerdo a la subordinacion definida siguiendo loscriterios que marcarıa un agente calificador para el efecto de un alto gradode inversion, en este negocio el originador que se queda con el residual, vistocomo un inversionista que compra una nota subordinada no calificada, estarıadispuesto a obtener el diferencial entre las perdidas esperadas y las perdidasrealizadas o cero en el escenario extremo.

Dentro de una institucion financiera, este riesgo se cubre mediante unaporcion de capital que se mantiene de acuerdo a las perdidas potenciales surgidas


por los factores que afectan a las transacciones realizadas por las instituciones,esto es, la perdida esperada (EL), la cual se puede considerar como una primade riesgo 1 y esta en funcion los siguientes tres factores: una porcion de perdidarealizada que es determinada por la experiencia del originador del portafolio yque es conocida como perdida dado que la contraparte incumplio (LGD), dela probabilidad de que la contraparte caiga en incumplimiento (PD) y de laexposicion a un evento de incumplimiento (EAD), mientras que la cantidadde capital necesario para proteger o respaldar a un portafolio de creditos esun estimado de la maxima perdida posible en una ventana de tiempo de unano a un determinado nivel de confianza menos la perdida esperada, es decir,ULα = (QαEL), donde Qα es el α-cuantil de la distribucion de perdidas y ULα

es la perdida no esperada. Basicamente, la nocion de modelar el riesgo credito,se debe a la necesidad de una proteccion contra perdidas, esto es, la estimacionde una prima por riesgo para cada credito y administrarlas dentro de una cuentainterna llamada reservas por riesgo credito, estas reservas tendran la funcionde cubrir las perdidas ocasionadas por incumplimiento en los creditos; en estesentido, el capital economico tiene la funcion de proporcionar cierta proteccionen los eventos en los que la estimacion del riesgo credito sea excedida por otraperdida.

En general, si en un portafolio de creditos se establece que ocurre unaperdida cuando el valor de los activos Xi de la contraparte cae por debajo deun umbral ui establecido, se tiene lo siguiente:

pi = P [Xi < ui] = N(ui)ui = N−1[pi] (1)

Es decir, si se define que el evento de incumplimiento ocurre cuando el rendi-miento de los activos del acreditado es menor a cierto umbral y ademas si seestablece que este rendimiento esta sujeto a riesgo sistematico y riesgo idio-sincrasico o especıfico, se puede establecer la siguiente relacion:

Xi =√

ρY +√

1 − ρZi (2)

donde X representa a un conjunto de variables aleatorias con distribucion con-junta normal estandar y correlaciones ρ e Y , y Z1, Z2, ..., Zn son variablesnormal estandar mutuamente independientes y se refieren a factores de riesgocomun y riesgo especıfico, respectivamente.

Por lo tanto, el incumplimiento ocurre si√

ρY +√

1 − ρZi < ui, equiva-

lentemente√

ρY +√

1 − ρZi < N−1[pi], es decir, el incumplimiento ocurre si ysolo si:

Zi < (N−1[pi] −√

ρY )/√

1 − ρ (3)

Considerando que Zi es una variable normal estandar, el evento de in-cumplimiento ocurre con probabilidad condicional:

pi(Y ) = P [Li = 1|Y ] = N

(

N−1[pi]−√ρY√

1 − ρ

)

(4)

1 Esto se debe a que la perdida esperada, de acuerdo a los mejores estimados de lasinstituciones, puede ser equivalente a la misma cantidad de recursos que estas mantienen

como proteccion, es decir, como un seguro contra incumplimiento.


Estableciendo que para un portafolio con m creditos, la exposicion totalse incrementa a medida de que el numero de individuos se incrementa y quecada exposicion individual se diluye a medida de que el tamano del portafoliotiende a infinito es suficiente para garantizar que en el lımite, la perdida totaldel portafolio Lm y la esperanza condicional de la perdida E[Lm|Y ] son igualesa.s. tal que:

P

[

limm→∞(Lm − E[Lm|Y ]) = 0

]

= 1 (5)

cuando

m∑

i=1

EADi ↑ ∞ si m → ∞ (6)

Ası cuando m → ∞:

Lm → p(Y ) = N

[

N−1[pi] −√ρY√

1 − ρ

]

a.s. (7)

Ahora, si se tiene que P [L ≤ x] = P [p(Y ) ≤ x], se sigue que:

P [L ≤ p(−qα(Y ))] = P [p(Y ) ≤ p(−qα(Y ))]

= P [Y ≥ −qα(Y )]

= P [−Y ≤ qα(Y )]

donde Y ∼ N(0, 1) y qα es el α-cuantil de la distribucion normal estandar. Porlo tanto, se tiene que:

qα(L) = p(−qα(Y )) = N

[

N−1[pi] −√

ρqαY√1 − ρ

]

(8)

De la expresion anterior se desprende el modelo de capital economico de BasileaII considerando la severidad de la perdida (LGD) y la perdida esperada comoP ixLGD a un cuantil del 99.9%, teniendo ası:

K = LGD×N

[

(1−R)−0.5×G(Pr)+

(

R

1 − R

)0.5

×G(0.999)

]

−Pr×LGD (9)

siendo

K =requerimiento de capital

Pr =probabilidad de incumplimiento

X =exposicion

LGD =Perdida dado que hubo incumplimiento o severidad de la perdida

R =Coeficiente de correlacion, establecida en 0.15 para prestamos hipotecarios

N(x) : Denota la funcion de distribucion acumulativa Normal estandar.


G(z) : Denota la funcion de distribucion acumulativa inversa para una variablealeatoria Normal estandar.

La expresion anterior proporciona como resultado el capital economico paracubrir perdidas no esperadas, al percentil 99.9%.

3. Copulas

La teorıa de copulas es el fundamento de modelos de riesgo credito tal comolos basados en calificaciones internas (BIS, 2006) y otros modelos estructuralesderivados del modelo de Merton (1974), (Vasicek 2002), sin embargo, una carac-terıstica principal de dichos modelos es el supuesto de un solo factor de riesgosistematico (ASRF, por sus siglas en Ingles). Puesto que la estructura de de-pendencia que se trata de capturar a traves del modelo de copula Gaussiana, seobtiene de la correlacion entre los activos de las entidades bajo estudio, surgela necesidad de retomar los fundamentos de esta teorıa para extender a otrosfactores de riesgo cuando no es posible observar la variable de activos, masaun, cuando se desea considerar la existencia de eventos extremos, los cualesno pueden ser modelados bajo el escenario de normalidad.

En varios campos de estudio, el uso de copulas ha sido una herramientamuy util para el analisis de dependencia entre vectores aleatorios que tienenuna funcion de distribucion conjunta, la cual esta definida por las distribu-ciones marginales de cada uno de los vectores considerados, particularmente enriesgo credito, los nuevos enfoques para valuacion de activos financieros sujetos ariesgo de incumplimiento, han mostrado mejores resultados empleando copulaspara obtener la estructura de dependencia entre dos eventos de incumplimientoconjunto (Li, 2000) para la valuacion de derivados de credito, estimacion delrequerimiento de capital o perdida no esperada (Gordy 2003) y para una colo-cacion eficiente de capital mediante el estudio de la dependencia de ındices demercado (Cherubini y Luciano, 2000), entre otras aplicaciones.

Una Copula n-dimensional es una funcion de distribucion multivariada condistribuciones marginales estandar C : [0, 1]d → [0, 1], es decir, una funcion den dimensiones que mapea desde el cubo unitario de n dimensiones al intervalounitario y que esta caracterizada por las siguientes tres propiedades:

1. C(u1, u2, ..., ud) es creciente en cada componente ui.2. C(1, ..., 1, ui, 1, ...1) = ui para cada i ∈ 1, 2, .., d y ui ∈ [0, 1].3. Para cualesquiera (a1, a2, ..., ad), (b1, b2, ..., bd) ∈ [0, 1]d con ai ≤ bi se

tiene:2

∑

i1

...

2∑

i1

(−1)i1+i2+...+idC(u1i1, udid, ..., udid

≥ 0

con uj1 = aj y uj2 = bj para todo j ∈ 1, 2, .., d.Ası, si se supone un vector aleatorio X = (X1, X2, .., Xd)

′ con distribucionconjunta F y marginales continuas F1, F2, ..., Fd aplicando una transformacionadecuada se obtiene un vector de la forma (F (X1), F (X2), ..., F (Xd)) cuyafuncion de distribucion es por definicion una copula, la cual se denota porC, lo anterior queda establecido mediante el teorema de Sklar (Nelsen, 2006).

Teorema de Sklar. Sea H una funcion de distribucion n-dimensional conmarginales F1, F2, ..., Fn, entonces existe una copula C n-dimensional tal quepara todo x ∈ Rn,


H(x1, x2, ..., xn) = C(F1(x1), F2(x2), ..., Fn(xn)) (10)

Si F1, F2, ..., Fn son continuas, entonces C es unica, de lo contrario C estadefinida unicamente sobre Ran F1 × Ran F2 × ...× Ran Fn.

Recıprocamente, si C es una copula n-dimensional y F1, F2, ..., Fn son fun-ciones de distribucion, entonces la funcion H definida en (10) es una funcion dedistribucion n-dimensional con marginales F1, F2, ..., Fn.

3.1 Copula t-Student

Esta Copula es estudiada con gran detalle en Demarta y Mcneil (2004) dondese definen algunas variantes importantes como la copula t-Student agrupada yla de valores extremos, esto debido a la habilidad de la copula t de capturarmejor el fenomeno de dependencia de valores extremos, la copula t-Student estadefinida mediante la expresion (11):

Ctv,P (u1, u2, ..., ud) = tv,P (t−1

v (u1), ..., t−1v (ud)) (11)

En la expresion (11) anterior, t−1v es la inversa de la distribucion t-Student

univariada o funcion de cuantiles, mientras que tv,P es la distribucion t-Studentmultivariada con v grados de libertad, media cero y matriz de correlaciones P ,la cual se define como:

td(v, 0, P ) =

∫ t−1v (u1)

−∞

...

∫ t−1v (ud)

−∞

(

Γ(v+d2 )

Γ(v2 )

)(

1 +X′P−1X

v

)

v+d2

dX (12)

donde X = (X1, X2, ..., Xd)′es un vector aleatorio de mezcla normal en varianza

definido como:

Xd = µ +√

WZ (13)

donde Z ∼ Nd(0, Σ), W es independiente de Z y satisface v/W ∼ χ2v, equiva-

lentemente W tiene distribucion gamma inversa W ∼ Ig(v/2, v/2).Para el caso particular de dos factores de riesgo o dos variables aleatorias

de interes con distribuciones marginales t-Student, la copula t-Student bidimen-sional, esta definida mediante la distribucion t-Student bivariada:

Ct(u; θ) =

∫ tθ1(u1)

−∞

∫ tθ2(u2)

−∞

(1 − θ22)−1/2

2π

[

1 +s2 − 2θ2st + t2

v(1 − θ22)

]

−θ1+2

2

dsdt (14)

donde u = (u1, u2), θ = (θ1, θ2) y θ1 son los grados de libertad, el cual controlael peso de la cola y si θ1 → ∞,

Ct(u1, u2; θ1, θ2) → ΦN (u1, u2; θ2),

θ2 es el parametro de dependencia o correlacion.


3.2 Copula Normal

Una de las copulas mas usadas en finanzas es la copula normal, el modelo decalificaciones internas de BASILEA II (BIS, 2006) se fundamenta en el supuestode un solo factor de riesgo sistematico (ASRF por sus siglas en ingles), mismoque se distribuye normal con media cero y varianza uno. La copula normal sedefine como:

CnP (u1, u2, ..., ud) = ΦP (Φ−1

P (u1), Φ−1P (u2), ..., Φ

−1P (ud)) (15)

donde Φ es la distribucion normal multivariada estandar, Φ−1 la distribucionnormal univariada estandar inversa, P es la matriz de correlaciones con 1 en ladiagonal y ρ (la correlacion del vector ui fuera de la diagonal, ası para el casobivariado, la expresion (15) toma la forma siguiente:

Ct(u1, u2) =

∫ Φ−1(u1)

−∞

∫ Φ−1(u2)

−∞

1

2π√

1 − ρ2exp

[

−x2 − 2ρxy + y2

2(1 − ρ2)

]

dxdy (16)

3.3 Copula Gumbel

La copula Gumbel es la mas comun de las copulas de valores extremos y estadefinida mediante la expresion:

CGα (u1, u2) = exp

−[

(ln(u1))α + (ln(u2)

α)

]1/α

(17)

para α ∈ [1, +∞].El parametro α controla el grado de dependencia y cuando es igual a uno,

la dependencia no existe, si α = +∞ hay dependencia perfecta.

3.4 Copula empırica

Las copulas empıricas son empleadas para realizar pruebas de independenciano parametricas y para la estimacion no parametrica de copulas.

Sean u1 ≤ u2 ≤ ... ≤ un y v1 ≤ v2 ≤ ... ≤ vn los estadısticos de ordende muestras univariadas de la copula C, la copula empırica C se define en lospuntos (i/n, j/n) por:

C

(

i

n,j

n

)

=1

n

n∑

k=1

Iuk≤ui,vk≤vj (18)

para i, j = 1, 2, ..., n.

Ası mismo, C converge uniformemente a C, cuando el tamano de la muestratiende a infinito.

La copula empırica de frecuencia c esta dada por la siguiente expresion:

c

(

i

n,j

n

)

=

1n si (ui, vi) son elementos de la muestra

0 en cualquier otro caso(19)


4. Resultados

Se analiza un bono respaldado por hipotecas a traves de la aplicacion del mode-lo de calificaciones internas basico (BIS, 2006) y la teorıa de copulas a loscreditos hipotecarios que respaldan dicha estructura financiera, estimando elresidual mediante un nivel de capital economico (ULα) resultado de ambosmodelos. Para estimar los parametros de riesgo credito del portafolio, este sesegmento mediante la tecnica de arboles de segmentacion basados en pruebasχ2 (CHAID), para esto se considero la razon valor de la garantıa a montofinanciado (LTV ) en el momento de la originacion del credito y de acuerdo conKaskowitz et al (2002), se considero una ventana de 5 anos para observar elincumplimiento, mismo que ocurre si los creditos que tenıan un atraso igual omenor a 3 meses al inicio del periodo de observacion, al final de 5 anos tienen masde tres meses de atraso, esta segmentacion se realizo en el paquete estadısticoSPSS y los grupos resultantes se muestran en el cuadro 1.

Cuadro 1. Grupos y probabilidad de incumplimientoresultado de la prueba CHAID.

Posterior a la segmentacion, se construyeron las curvas de tasas de in-cumplimiento historicas por grupo, considerando el incumplimiento con atrasoen el pago mayor a 3 meses en un ano, esta estimacion es consistente con laprobabilidad de incumplimiento anual que se obtiene en los metodos de cali-ficaciones internas. En la practica, el indicador de incumplimiento es 3 pagosatrasados o mas, en el caso especıfico de este trabajo, se empleara superior a3 considerando un mayor periodo de observacion antes de definir a un creditocon estatus de incumplimiento. Ası, el incumplimiento esta definido por:

Iit =

n∑

i=1

1Dit (20)

donde

1Dit =

1 si atraso mayor a 3 meses

0 si atraso menor a tres meses(21)

Dado lo anterior, la tasa de incumplimiento esta definida como la razon deincumplimientos a total de observaciones de acuerdo a lo siguiente:


Tit =Iit

Nt(22)

donde Tit es la tasa de incumplimiento observada en el periodo t y Nt el numerototal de creditos hipotecarios (vigentes y vencidos).

La composicion de la estructura de bursatilizacion se muestra en el cuadro2, la primera estimacion se realizo mediante simulacion historica de las perdidasobteniendose la perdida esperada, perdida no esperada, α-cuantil y deficit espe-rado (PE, ULα, Qα, ESα respectivamente) en lo que respecta al ULα, α-cuantily al ESα, se obtuvieron para α = 99.9% que es el equivalente a la calificacionBBB en escala global de un bono y tambien a manera de comparacion se presen-tan valores de 99% y 99.5%, el residual va a estar definido mediante el resultadodel α-cuantil menos la perdida esperada, dado que la tasa activa 2 de un creditoincluye la estimacion de este tipo de perdida como un costo a ser cubierto, esteresultado es el concepto de capital economico, estos resultados se muestran enel cuadro 3.

Cuadro 2. Composicion actual de la estructura de bursatilizacion.

* La exposicion es la proporcion del saldo del grupo respecto al total.

Dentro del enfoque regulatorio y de mejores practicas bancarias, la corre-lacion en el modelo de Basilea II es un parametro exogeno establecido, para elcaso de creditos hipotecarios este valor es 0.15 y la probabilidad de incumpli-miento se puede obtener mediante un modelo que asigne una calificacion oprobabilidad de acuerdo a ciertas caracterısticas de segmentacion, la severidadde la perdida puede ser obtenido tambien mediante un modelo estadıstico opuede considerarse como un parametro establecido de acuerdo a si se trabajarabajo el enfoque avanzado o estandar, respectivamente. En este caso, se em-pleara la probabilidad promedio de cada grupo de segmentacion como insumopara el modelo de capital economico; la severidad se considera un parametroconstante en 50%. Adicionalmente, se incrementa el supuesto de correlacionentre incumplimientos para obtener una estimacion mas severa de la perdidano esperada, es decir, se prueba con una correlacion de 0.20 para probar losresultados del modelo con el supuesto del 0.15.

2 En terminos generales, la tasa activa podrıa definirse como la tasa de interes que cobrauna institucion al financiar a una contraparte, la cual incluye el costo de financiamiento de

la institucion, el riesgo credito, un margen financiero, entre otros conceptos.


Cuadro 3. Resultados de la simulacion historica.

Cuadro 4. Parametros para la expresion (1)

*El nombre del escenario no tiene relacion con calificaciones crediticias.

Los resultados del modelo de BASILEA II de acuerdo a los parametrosdel cuadro 4, son mostrados en el cuadro 5, para el escenario KB1 significan elempleo de una probabilidad promedio a 5 anos resultado del cuadro 1 y unacorrelacion de 0.20, mostrando que la estimacion del capital economico bajoestos supuestos es mayor que con los parametros establecidos del modelo deBasilea II (expresion (9)) para un cuantil del 99.9%, el valor resultante delpromedio ponderado por exposicion de cada grupo de riesgo es de 23.3% menorque el bono bajo analisis que fue emitido con un residual igual al 27.9% detoda la estructura, el cual esta respaldado por hipotecas a 30 anos y formadopor un tramo senior, un tramo subordinado y el residual que tiene la menorsubordinacion en la estructura.

Cuadro 5. Estimacion del residual por el modelo deBasilea II, expresion (1) con parametros de acuerdo al cuadro 4.

El analisis siguiente que se presenta, se desarrollo con el sistema estadısticode libre acceso R (Develompent Core Team, 2010), empleando el paquete copula(Kojadinovic y Yan 2010) y de acuerdo a la teorıa expuesta en la seccion 3,


se tiene como primer caso la estimacion parametrica de la copula t-Studentbivariada, que como ya se comento en dicho apartado, supone que las marginalesunivariadas son t-Student con v grados de libertad, por lo que es preciso estimarlos parametros de la copula (α) y de las marginales (β) de la expresion (14),partiendo de la misma, la expresion de log-verosimilitud es la siguiente:

l(θ) = log(c(t1(Xi, β), t2(Xi, β); α) +

n∑

i=1

2∑

j=1

log(tj(Xi, β)) (23)

donde θ(βT , αT )T es el vector de parametros a ser estimados y el estimador de

maxima verosimilitud esta dado por θML = arg maxθ∈Θl(θ).

Figura 1. Panel de grupos de Ti y EAD. Densidades de las copulas ajustadas.

La estimacion de los parametros de las copulas y las marginales es unproceso numerico complicado si se quiere llevar a cabo en un solo paso, porlo que se implemento maxima verosimilitud en dos etapas, es decir primero seestiman los parametros de las marginales t-Student y en una segunda etapa seestiman los parametros de la copula t-Student bivariada para los 5 pares devariables Ti y EAD, las densidades de las copulas ajustadas se muestran enla figura 1, misma que muestra colas mas pesadas para la copula del par Ti

y EAD que representa al total del portafolio de creditos hipotecarios (grupoTotal).

Teniendo ajustada la copula a los datos, se procede a simular las perdidashistoricas y a obtener la perdida esperada (PE), perdida no esperada (ULα),


para cada uno de los pares de variables Tii, EADi de acuerdo a lo visto en laseccion 3. Estos valores se estimaron para los cuantiles 95% que es el cuantilal que se define el V aR, al 99.9% que es la probabilidad a la cual se asigna lacalificacion BBB en escala global a un bono, tambien a manera de comparacionse consideran 99% y 99.5%.

Cuadro 6. Perdida esperada para los grupos de Ti y EAD y perdidano esperada a diferentes cuantiles para la copula t-Student parametrica.

Como segundo caso, se lleva a cabo la estimacion semi-parametricamentede las copulas t-Student, Normal y Gumbel, de acuerdo con Neelsen (1999) yGenests y Favre (2007), dentro del analisis de copulas se presenta el problemade subestimacion de las marginales ajustadas a los datos bajo estudio, esteproblema se minimiza empleando la distribucion empırica de las marginales,obteniendo con esto la copula empırica la cual esta definida de acuerdo a laexpresion (18), este analisis se refiere a la estimacion no parametrica de copulasque de acuerdo a la seccion III, dada la continuidad del par de vectores aleatorios(X, Y ), existe una unica copula asociada a dicho vector la cual es invariante bajotransformaciones monotonas no decrecientes de las marginales, es decir,

C(i/n, j/n) → C(X, Y )

cuando n → ∞, ası la dependencia entre C es capturada por la copula empıricacomo la mejor representacion muestral de la copula teorica C. En este sentido,se desarrolla el siguiente analisis mediante la estimacion no parametrica de lasmarginales y parametrica para las copulas t-Student, normal y Gumbel a losvectores (Ti,EAD).

Cuadro 7. Perdida esperada para los grupos de Ti y EAD y perdidano esperada a diferentes cuantiles para la copula t-Student semi-parametrica.


Cuadro 8. Perdida esperada para los grupos de Ti y EAD y perdidano esperada a diferentes cuantiles para la copula Normal semi-parametrica.

Cuadro 9. Perdida esperada para los grupos de Ti y EAD y perdidano esperada a diferentes cuantiles para la copula Gumbel semi-parametrica.

Definiendo al residual como el resultado de los modelos analizados paraun cuantil del 99.9% para el caso de las copulas (UL0.999), se obtiene un nivelinferior al residual real con el que se emitio la estructura de bursatilizacion quefue del 27.9%, este comparativo puede observarse en el cuadro 10, donde losresultados para las copulas, son una ponderacion entre los niveles de UL0.999

de los cuadros 6 a 9 y el cuadro 2, estos resultados son ligeramente mayores ypor consiguiente mas conservadores que los resultados obtenidos por el modelode calificaciones internas (BIS 2006), cuyo valor maximo fue de 23.3%. Senotara que para el caso de las copulas el resultado no tiene gran variacion, estoindica que los parametros de riesgo considerados son poco sensibles respecto ala copula empleada.

Cuadro 10. Comparativo de estimaciones.


5. Conclusiones

Los resultados obtenidos muestran que las estimaciones basadas en el modelode Basilea II y Copulas son inferiores al residual real con el que fue emitidala estructura y que fue estimado mediante analisis de escenarios, esto sugiereque el empleo del modelo de la agencia calificadora pudiera sobreestimar elriesgo credito de la estructura, por lo tanto se considera importante senalarque el uso de modelos estadısticos como los empleados en esta investigacion,permiten disminuir el tamano del residual o requerimiento de capital empleandoun nivel de confianza de 99.9%, obteniendo aun asıuna sobrecolateralizacion queproporcione un desempeno satisfactorio de la estructura, ya que los modelos quese emplearon en el presente trabajo, utilizan variables estadısticas que reflejan elriesgo credito de los activos subyacentes de los bonos respaldados por hipotecas.

Una caracterıstica adicional a analizar es el plazo legal del bono el cual essuperior a los 25 anos y la estrategia de realizar pagos anticipados al principalen los casos donde se presentan excesos de flujos posteriores al pago de los res-pectivos cupones, disminuye significativamente el plazo de la estructura que deacuerdo a las caracterısticas del escenario base de la proyeccion de su amorti-zacion, puede llegar a ser hasta de 10 anos generando un riesgo de prepago, quese presenta al amortizar anticipadamente el principal del bono cuando las tasasde reinversion en el mercado son inferiores a la que paga dicho instrumentofinanciero. Esta particularidad disminuye el riesgo de credito del bono respal-dado por hipotecas, ya que al amortizar anticipadamente las obligaciones delfideicomiso, disminuye la exposicion que este tiene ante un eventual incrementode la tasa de incumplimiento de los activos subyacentes de la estructura en elfuturo, este efecto de prepago y su efecto en el residual, no se ha analizado aprofundidad de lo que se puede desprender una investigacion posterior.

6. Referencias

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Nelsen, Roger B. 1999. An introduction to copulas. Springer.Vasicek, Oldrich Alfons. 2002. The distribution of loan portfolio value.



Capital Investments and real options:news proposes

Beatriz Mota Aragon ∗

Recibido 25 de mayo de 2010. Aceptado 26 de octubre de 2010

Resumen

La aportacion mas importante de este trabajo esta orientada a la Teorıa deOpciones Reales. La investigacion sostiene que el Valor Presente Neto (V PN)es un proceso estocastico. Se sugiere un modelo de opciones reales a traves deun “modelo extendido” de Vasicek y Cox-Ingersoll-Ross (1985) para la tasa deinteres en el V PN , en el cual se consideran variables de control externas (Zt),mismas que cambian el curso de los flujos netos de efectivo. El VPN modificadosugiere un valor presente neto mas exacto al valuar V PN(Zt) + φ, donde φ esla opcion real.

Abstract

The main contribution of this research to directed on Real Option Theory.Research asserts that Net Present Value (NPV ) is stochastic processes. Amodel for the real options is suggest where is constructing a continuous modelfor net present value named “Vasicek extended ”and the Cox-Ingersoll-Ross(1985) model for interest rate is examined. In the model is considering externalcontrol variables (Zt) which change the NCF course. The modified NPV (Zt)this gives a more accurate value for valuating V PN(Zt)+φ, where φ is the realoption.

Clasificacion JEL: Finance 0508

Palabras Clave: Capital Investments Theory, Net Present Value, Net Cash Flow, Interest

Rate, Real Options Theory, Options Financial Theory, Stochastic Processes. Asymmetric

Information.

1. IntroductionThis research suggested a different point of view about on the real optionstheory. The orthodox capital investment theory is considered and thinkingabout assumptions the Net Present Value (NPV), such as the assets price followsa discrete process, or that the interest rate is constant. The research presentedassumptions a different way, at the stochastic processes theory. The work isproposing a continuous model which explains the Net Present Value (NPV)random evolution. And their effects on the valuation on the real options theory.The financial options theory is considered too.

∗ Profesora Titular “C” de Tiempo Completo en la Universidad Autonoma Metropolitana-

Iztapalapa. E-mail: [email protected].


The first section presents a real option theory extended review is made andobserved the several fields the action. Second, the fundamental concepts the fi-nancial option valuation theory and real option theory are reintroduced. Third,the capital investment theory is review and proposed a continuous model ofNPV and the real options model later.

The NPV continuous model is defined in the Net Cash Flow (NCF ) withexternal control variables (Zt) with Vasicek model (1977) and the interest ratewith Cox-Ingersoll-Ross model (1985) for determined the interest rate and fi-nally φ is incorporated in the RO.

2. Literature Review

This section expected to show the several works development using real optionstheory (Mota, 2006). The methodology developed with the real options wasfirst applied to investments in natural resources; nevertheless there are appli-cations in other fields such as Research and Development (R&D), CorporateStrategies, Mergers and Acquisitions (M&A), Innovation and High Technol-ogy, Intellectual Property Rights, Interest Rate, Capital Risk, among others,Schwartz and Trigeorgis (2000). See table 1.

Copeland and Vladimir (2001) stated that real options may be applied onalmost any situation where it is possible to estimate a Net Present Value (NPV)project. Merton (1988) presents an excellent review showing the ample scopeof applications that the real options theory has had.

Dixit and Pindyck (1995), Amram and Kulatilaka (1999) and Trigeorgis(1988) provide conceptual arguments to develop real options on capital invest-ment decisions. Other conceptual works are presented by Trigeorgis and Mason(1987), Brealy and Myers (2000). As well as Merton (1977) and Mason andMerton (1985) discuss connections among financial options and investment de-cisions.

Real options quantitative origins derivate form the works on financial op-tions by Black-Sholes (1973) and Merton (1973). And other way, Cox, Rossand Rubinsteins (1979) study and made possible the use binomial lattices toevaluate options in discrete time.

Another important work is the one of Geske (1979) who evaluates com-pound options with differential equations. Kulatilaka and Trigeorgis (1994)present a model in discrete time to interchange options. Dixit (1992) presentsa discrete model to valuate the expected value. Pindyck (1988) shows in a con-tinuous expected value model using dynamic programming. Dixit and Pindyck(1994) study the cost function and implication as diffusion processes; also seeQuigg (1993).

Cortazar (1992) makes a simulation and other numerical approximationsto valuate an European real option. Among others, as we can see, there isan important number of works in real options literature which are focused inquantitative valuation, the ones mentioned are important for this research.

In the following table we might observe according to their area, some ofthe works developed using real options theory.

Capital Investments and real options: news proposes 67

Table 1Real options: Topics and some Application Areas

Source: Lander y Pinches (1988), Schwartz (2001) y Mota (2006, 2008).


The review of the literature shown in the table above to show the factthat real options may be used in several fields related to investment projectevaluation.

3. Fundamental concepts

As well known, the financial option valuation theory was written in the 1970s byBlack-Sholes and Merton (1973), they got a close solution for the equilibriumprice of a call option; since then, hundreds of articles and empirical studieshave been written in this direction and have been linked to the real optionstheory. Myers (1977) stated that corporative assets may be seen as growthoptions (as a call option) and through this he applies financial options conceptsto real assets. Brabazon (1999) states that the real options concept comes fromfinancial options research, among others.

A definition accepted for a real option purchase is the right, but not theobligation of investing, postponing, expanding, contracting or quitting an in-vestment project in the future. This decision has a predetermined cost calledexercise price which will be paid in a determined date and which exists duringthe whole option life long (Copeland and Antikarov, 2001). While exercising,the option utility is the difference between the underlying assets value and theexercise price, and considering that in general terms real options theory is anextension of the financial options theory applied to the non-financial real assetsvaluation, so to the capital investment (Amram and Kulatilaka, 1999), thereforewe find some adaptations on the parameters to consider the valuation.

The parameters that compose a financial option are:The underlying asset price Sf , the exercise price K, the underlying volatil-

ity σ, the risk-free rate r and the option T − t expiration date.

Table 2Real and Financial Options Parameter Valuation

Source: Mota (2006). Adapted of Venegas, F. (2006). Riesgos Financieros yEconomicos. Thomson, Mexico. Chapter 69, p. 801.

At the real options language: Sf is the cash flow present value expected int; K is the cost at present value of the project investment in t; σ is the projectcash flow volatility; r is the risk-free rate and T −t is the project maturity time.


Finally, some methodology advantages are: first, it considers uncertainty,which to get any type of growth opportunity, diversification or risk (Smith andTriantis, 1998). Thus an important methodology value is given by the possibilityof according administratives abilities that from the traditional method valuationperspective of NPV is impossible to evaluate.

Second, real options integrates technological and strategic factors inside ageneral valuation model (McGrath and McMillan, 2000), it to make possibleto manage administratives abilities. Third, from the methodological viewpointa decision process based on real options offers a systematic approximation toinvest and evaluate in a high uncertainty and competence environment, creatingsubsequent investment opportunities, evaluated as cash flows plus a group ofoptions (Amram and Kulatilaka 1999). Mota (2006).

3.1 Real options versus financial options

For ended, and assuming that the Real Option (RO) takes their base fromthe Financial Option (FO) theory, it is important to mention differences be-tween them because they change the RO models mathematical structure. TheFO had been used for periods, while the RO have a recent development. TheRO have a long term life, T − t = years, and the FO have a short term life,usually T − t = months.

The underlying asset in FO is the asset price; while in RO there is aninfinite variables quantity, in our case they are the net cash flows. Since theanalysis of RO considers physical assets (real), we might be careful at theunderlying variables selection, because the mentioned volatility refers to theunderlying asset.

The OF are regulated, although in theory, stockholders manipulate assetprice for their sake. The RO are created by the enterprise and their decisionsmay increase the project value. The FO have relatively got a lower value(hundreds or thousands dollars per option), while the RO worth thousands,millions or billions dollars per project (strategic option), Mun (2002).

Both option types may fuse by using similar approximations; close solu-tions, finite differences; Brennan (1979), partial differential equations; Geske(1979), binomial and multinomial lattices; Cox, Ross and Rubinstein (1979),Trigeorgis (1991), Hull and White (1988) and Boyle (1976), who include theMonte Carlo simulation.

The FO models are based in a formal market, which make assets pricesto be transparent; thus model construction is more objective. The RO are notnegotiated at a formal market and financial information is just available for theadministration, therefore model designing becomes subjective.

Hence, the enterprise assumes the key is to valuate RO not FO. Having aparticular project issued, the enterprise may create strategies that might provideby themselves future options, whose value could vary depending on how theyare constructed, (Mun, 2002).

In short, fundamental characteristics and differences of RO and FO arepresented in table 3.


Table 3Differences between Real Options and Financial Options

Source: Mota (2006, 2008). Adapted from Mun, J. (2002): Real options, Ana-lysis. J. Wiley, USA. Chapter 5, p. 100.

4. Capital investments

Is time to review the capital investment theory and proposing a continuousmodel of Net Present Value and the real options model later.

Literature about capital investments may be divided in two groups; the oneformed by independent investment opportunities, situations where investmentsconsidered are substantial and another which includes some models studyingsequential irreversible investments, Pindyck (1988).

Dixit and Pindyck (1994), Dixit (1995), Bertola (1998), Ingersoll and Ross(1992) were the first ones who considered the stochastic interest rate impactover investment opportunities. Alvarez and Koskela (2006) extended Ingersolland Ross (1992) analysis for different interest rates and uncertain income joints.

The question is: How does this work impact the real options theory? Thisresearch to assume that in order to understand nowadays enterprise problemswe must exclude the orthodox NPV, and it shows the requirement to includestochastic processes in NCF and NPV valuation.

The principal condemnation to the traditional NPV method is that itproduces a simple estimation, and this is a disadvantage, because the eventsthat affect cash flow forecasts are highly uncertain; Myers (1987), Trigeorgis(1993), (Copeland and Vladimir, 2001). Other remarks are in Hayes and Garvin(1982) and Hayes and Abernathy (1980), who recognize that the NPV criteriasub estimates investment opportunities.


Brennan and Schwartz (1985) support that the NCF presents deep lim-itations due to prices volatility. Paddock, Siegel and Smith (1988) list NPVtechnique disadvantages.

On the other hand, Dixit and Pindick (1994) assure that:“The simple NPV rule is not just wrong; it is often very wrong ”, (see

chap. 5:136). One of the fundamental drawbacks observed at the traditionalNPV technique is that NCF estimation depends on a constant benefit rateand static expected flows. On several works, the method selected to solvethe expected project cash flow estimation problem consists of inferring thatthe project generates perpetual rents in constant terms identical to the onesgenerated on the last exercise, and the interest rate with which they discountexpected cash flows follows the CAMP rules. Copeland and Antikarov (2001),D´ iaz (1999, 2000), Kester (1984), Gil (1991), and Smith (2001), Mota (2006,2008, 2009), among others.

Motivated by the argument previously exposed, we to suggest the NetPresent Value continuous model, which defined the Net Cash Flow with exter-nal control variables (Zt), and confirmed that NCF and interest rate are notconstants. A criterion distant to the one we find at ultra-traditional environ-ment. His expression is, Mota (2006, 2009):

NPV = E

[

∫ T

0

NCF (t)e−r(t)tdt

]

NPV = NPV + φ

The discrete version of the model to explain the Net Cash Flow and itsinternal dynamics with variables (Zt) and random interest rate, is presented inthe description follow, see Mota (2006):

Table 4


The important point in this research is that now NCF is a stochastic processthat the administration council looks forward and guides the evolution. Wehave used diffusion processes with control variables (Zt) and showed that theseprocesses not only explain NCF evolution, but also guides it. The analysisabout how to use control variables on diffusion processes is of the form:

dNCFt = µ(Zt, NCFt, t)dt + σ(Zt, NCFt, t)dWt

In this work we have used the Vasicek model (1977) which is a diffusion processand due to its affinity with the purpose of this work had showed been applicable,but the possibility of studying more processes and proposing new ones is notexcluded, still more. Only by focusing in the component F (Zt) formulation,proposing non-linear relations, we get the possibility of entering upon complexschemes.

In short, the modified real option is:

RO = NPV = E

[

∫ T

0

NCF (t)e−r(t)tdt

]

> 0

In order to review the impact on a real option value and therefore on real optionstheory, it would be enough to apply modified NPV with external variables (Zt)on a capital investment opportunity; we take back the idea that a real optionis:

NPV = NPV + φ > 0

and we ask whether the real option is such that NPV < 0, φ is call/put optionsuch that NPV = NPV + φ > 0. We change the path by taking more stepsbefore a decision is reach, instead we see the relation:

NPV (Zt) = NPV (Zt) + φ

and we start in the same place with NPV < 0, and φ is a call/put option, nowwe suggest:

1.- Find a suitable Zt such that NPV (Zt) > 0.2.- If for all possible sets Zt NPV < 0, then find a couple Zt, φ such

thatNPV (Zt) = NPV (Zt) + φ > 0

The simple idea that takes traditional NPV ignores:1. The Zt set is actually acting over the cash flow estimates.2. NPV is a stochastic processes not a deterministic one.

The typical questions emerged from administration council while making a cap-ital investment decision can be answered from traditional viewpoint: V PN > 0,from real options perspective traditional: V PN + φ > 0, or even from a newapproach proposed in this research; V PN(Zt) + φ > 0 as information jointassociated to Zt.

Classical real options inquiries investing in research and development; ex-panding or not annual production; postponing an investment project, etc. theseare questions on the structure NPV (Zt)+φ > 0. With this approach, acceptingor rejecting an investment project depends on variables Zt trajectories.


The rationale behind is that with the model proposed we go into a moreaccurate value rather than just doing a real option valuation. Now since NPVis stochastic and is possible to manage its behavior through a wise use of thecontrol variables, now the firm has to set the level of Zt in NV P = NPV (Zt),which says the ability to generate wealth in the firm depends on the decisionsof the board setting the level of control (Zt).

5. Conclusions

The work was written on the continuous objective to contribute in Real OptionsTheory with news proposes. We have been proposed that the Net Present Valueis a stochastic process because we should consider a continuous models NetCash Flow and interest rate. The considering external control variables (Zt)which change the Net Cash Flow course and modified the traditional NPV forNPV (Zt) and addition φ, where φ is the real option are some contributions.Mota (2006, 2008, 2009).

In this research was important raised that multiples questions emergedfrom administration council while making a capital investment decision can beanswered from approach proposed:

V PN(Zt) + φ > 0

as information joint associated to Zt and these are questions on the structureNPV = NPV (Zt) + φ > 0. With this approach, accepting or rejecting aninvestment project depends on variables Zt trajectories. In short, we find asuitable Zt such that NPV (Zt) > 0 and if for all possible sets Zt, NPV < 0then find a couple Zt, φ such that NPV = NPV (Zt) + φ > 0.

As can see, for the Investment Capital Theory this work is significant forinvestment project area because the model proposed is able to offer a moreaccurate valuation the real option.

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Valuacion de Swaptions Bermuda

basada en el Modelo LIBORadaptado a vectores frontera

Igor P. Rivera∗

Enzo D’Antonio di Vito D. ∗∗

Andres Fundia ∗∗∗

Recibido 15 de abril de 2010. Aceptado 09 de septiembre de 2010

Resumen

El presente trabajo estudia el calculo del precio de Swaptions tipo Bermuda,con base en el Modelo Libor (LMM) de tasa de interes adaptado al algoritmode vectores de frontera de ejercicio para valuar opciones americanas. Dichoalgoritmo de la familia de la simulacion Monte Carlo, obtiene una fronterade tasas de ejercicio que permite valorar la decision de seguir en la opcion oejercerla de forma anticipada. Este enfoque tiene la ventaja de ser facil deimplementar y puede obtener un resultado rapido y aproximado del valor de unSwaption bermudano, mejor conocido en el mercado como Swaption Bermuda.

Abstract

This paper studies the computation of the price of Bermuda Swaptions type,based on the Libor Model (LMM) interest rate vector algorithm adapted tothe exercise boundary to value American options. This algorithm about familyMonte Carlo, get a border exercise to rate the value of staying in decisionoption or exercise early. This approach has the advantage of being quickly toimplement and get a result about the value of a swaption bermudano, betterknown swaption market as Bermuda.

Clasificacion JEL : G10, G14

Palabras clave: Valuacion de derivados de tasa de interes, Swaptions Bermuda, Simulacion

Monte Carlo

Introduccion

Actualmente el uso de derivados sofisticados es cada vez mas solicitado en losmercados financieros y entre las razones principales de esta creciente demandase encuentra la posibilidad de aprovechar y generar oportunidades de negocio

∗ Escuela de Graduados en Administracion y Direccion de Empresas Tecnologico de Mon-terrey, Campus Ciudad de Mexico, EGADE. Calle del Puente 222, Aulas 4-Piso 4, Ejidos de

Huipulco, Tlalpan, D.F. 14380, e-mail: [email protected]∗∗ Departamento de Estructuracion BBVA Bancomer (Mexico)

∗∗∗ Departamento de Riesgos Infonavit, Mexico


que se derivan de la evolucion y cambios de las necesidades de los clientes yparticipantes de los mercados. Entre los productos mas comunes en el mercadode derivados de tasas, se encuentran los caps, floors y los swaps. Los caps sonopciones de tasas de interes que le garantizan al tenedor que una tasa variableno exceda de un nivel especıfico; los floors, contrario a los caps, garantizan altenedor que una tasa variable no disminuya de un cierto nivel. La cotizacionde ambos en el mercado generalmente se realiza en terminos de volatilidad detasas.

Por otra parte, los swaps son contratos en el que las contrapartes acuerdanel intercambio de flujos futuros en una misma o en diferentes monedas y atasas fijas o flotantes. Dado que el uso de swaps en los mercados se ha hechotan comun, que ha generado la necesidad de utilizar derivados sofisticados quetengan como subyacente a los swaps, entre ellos estan los swaps adelantados, losfuturos sobre swaps y las opciones sobre swaps, mejor conocidas en el mercadocomo swaptions. Los swaptions contratos que otorgan a su tenedor el derechode entrar en un swap, para recibir o pagar una tasa fija.

Al igual que las opciones de tasas de interes, los swaptions cotizan enterminos de volatilidad de tasas y la tasa de ejercicio esta dada por la tasa fijadel swap subyacente al que se puede entrar. Tambien, como en el caso de lasopciones tradicionales, los swaptions pueden ser de tipo europeos o americanosaunque tambien son muy comun los de tipo bermudano. Los swaptions europeospueden ejercerse unicamente a su vencimiento, mientras que los americanospueden ser ejercidos en cualquier momento antes del vencimiento. Entre dichosextremos, existe una variante, llamada opcion bermuda que permiten ejercer elderecho asociado en un calendario de fechas definido antes del vencimiento. Losvencimientos tıpicos de un swaption pueden ir desde unos cuantos meses hastavarios anos.

En el caso de los swaptions, la analogıa entre opciones de compra (calls) yde venta (puts) se define en terminos de la clase de tasa de interes que al tenedorcorresponderıa pagar en caso de ejercer su derecho de entrar al swap: en uncall swaption, mejor conocido como payer swaption, el tenedor tiene el derechode entrar al swap pagando flujos a tasa fija, mientras que en el put swaption,tıpicamente denominado receiver swaption, el tenedor queda habilitado paraentrar al swap erogando los flujos a tasa variable si decide ejercer la opcion.

Si bien los swaptions bermudanos pueden ser utilizados con objeto de ne-gociacion y especulacion, han cobrado gran importancia al usarse como instru-mentos de cobertura. De hecho, los swaptions bermudanos generalmente estanimplıcitos en swaps que pueden ser cancelables (conocidos como callable swaps)los cuales la mayorıa de las veces forman parte de canastas de activos o debonos cancelables en las campanas de financiacion corporativa. Por ejemplo,en perıodos de baja volatilidad, intermediarios financieros y tesorerıas banca-rias, podrıan tomar posicion larga en swaptions para compensarla en perıodosposteriores de mayor volatilidad; bajo esquemas de esta naturaleza general-mente se negocian swaptions tipo europeo y en estrategias basicas. Incluso, unatesorerıa bancaria podrıa utilizar un swaption para cubrir niveles de volatilidadprovocados por posiciones propias o de clientes.

Existen en la literatura diversas referencias sobre los efectos de noticias yavisos macroeconomicos tanto en el mercado de contado de tasas de interes,como en su mercado de derivados; se sugiere al lector el trabajo de Forniari

Valuacion de swaptions Bermuda ... 79

(2004) como compendio sobre el tema. Ante tales circunstancias, es comun queuna tesorerıa bancaria necesite ajustar el desbalance de duracion que se generaante eventos de prepago de sus creditos de mediano y largo plazo. Por ejemplo,suponga que el banco otorgo un credito a tasa fija en el que el cliente puedaprepagar de forma anticipada; si bien el credito puede cubrirse por un swap,simultaneamente el prepago puede cubrirse con la compra de un swaption queotorgue el derecho de recibir la tasa fija. Ası, en el caso de que el cliente decidaprepagar el credito (esto asume que el prepago se realiza por ventajas en elmercado), la cobertura instituıda en forma del swap deja de tener sentido, demodo que el banco debe ejercer el swaption a fin de compensar el swap mediantela sustitucion de los flujos. a tasa fija que proporcionaba el antiguo acreditado.

El siguiente cuadro muestra un ejemplo de cobertura contra el riesgo deprepago por medio de un swaption.

Para el caso de los swaptions europeos, es posible obtener una solucioncerrada a la ecuacion diferencial parcial del precio del swaption, en la forma deuna ecuacion del tipo Black-Scholes-Merton. Sin embargo, esto no es posible enel caso del swaption Bermuda por lo que en este trabajo emplearemos metodosoriginalmente pensados para la valuacion de opciones americanas para obteneruna aproximacion al precio del swaption bermudano. Si bien, existe literaturarelacionada con esta conjetura (p.e. Andersen (2000)), el enfoque que en estetrabajo presenta se caracteriza por su facil implementacion. El modelo Libor


para determinar las tasas de mercado tanto porque se apega a los datos es-tilizados sin recurrir a parametros no observables y porque es compatible con eluso del metodo Monte Carlo. El trabajo esta organizado de la siguiente forma:en la seccion 2 abordamos las tecnicas mas comunes de valuacion de swaps; enla seccion 3 mostramos como la simulacion Monte Carlo permite manejar ladependencia con la trayectoria del modelo Libor de mercado, al mismo tiempoque permite incorporar vectores frontera para hacer frente al ejercicio antici-pado de las opciones americanas. En la seccion 4 se revisa la implementacion.En la seccion 5 se analizan los resultados y se trazan algunas conclusiones.

2. Tecnicas comunes de valuacion de swaptions

Como se muestra en las figuras 2.1 y 2.2, los derivados de tasas de interes secotizan tıpicamente en terminos de una estructura de plazos de la volatilidadimplıcita calculada con base en un modelo de Black (1976) bajo el supuesto deuna dinamica lognormal de la tasa de interes.

Figura 2.1. Cotizacion de caps y floors sobre la Libor del USD (Fuente: Bloomberg, L.P.)

Con el fin de obtener una ecuacion para valuar un swaption como el delejemplo en las figuras 2.1 y 2.2, considere primeramente al swap subyacentecon una estructura de pagos, dada por el plazo θ que empezarıa a correr si ysolo si el swaption hubiera sido ejercido en la fecha, Tk. Dicho swap tendrıa suvencimiento en Tm. La condicion a alcanzar al vencimiento serıa la tasa swapadelantada fuera mayor que la tasa de ejercicio, i.e. rsw,fwd > rk. En dicho


caso, el precio del receiver swaption descontado a Tk estarıa dado por:

RSWPTk= θmax(rk − rsw,fwd, 0)

n∑

i=1

B(Tk , Tk + θi)

donde n = (Tm−Tk)/θ y B(Tk , Tj) serıa el precio en Tk de un bono sin cuponescon vencimiento en Tj . La suma del precio de dichos bonos, una anualidad,sera utilizada como numeraria y cuya medida de probabilidad rsw,fwd > rk esmartingala, de modo que:

RSWP0 = θE[max(rk − rsw,fwd, 0)]B(0, Tk + θi)

Figura 2.2. Cotizacion de swaptions sobre la Libor del USD (Fuente: Bloomberg, L.P.)

Al transformar este resultado en una expresion tipo Black-Scholes-Mertonobtenemos un resultado conocido tal como:

RSWP0 = θ[rkΦ(−d2) − rsw,fwdΦ(−d1)]B(0, Tk + θi),

donde

d1 =ln(rsw,fwd/rk) + 0.5Tkσ2

sw

σsw(T − k)1/2

yd2 = d1 − σsw(T − k)1/2

con σsw como la volatilidad de la tasa swap adelantada.


En virtud de que los swaptions americanos no son tan comunes como loseuropeos, no profundizaremos en su valuacion, sino en la de opciones ame-ricanas. Wilmott (2001) y Hull (2006) establecen que los arboles binomialesson muy comunes en la valuacion de opciones americanas. Un arbol binomialrepresenta un diagrama de diferentes trayectorias recombinantes que pudieranseguir los precios del bien subyacente durante la vida de la opcion, partiendodel supuesto de que el subyacente en cada perıodo de tiempo se mueve haciaarriba o hacia abajo en una magnitud determinada con sendas probabilidadesde ocurrencia como se muestra en la figura 2.3. Una vez trazado el arbol laforma de trabajar es partiendo del final del arbol hasta el principio, probandocada uno de los nodos para ver donde es optimo ejercer antes del vencimiento.En general es un modelo muy recurrido para el calculo de este tipo de opciones,el cual comienza a complicarse si la funcion de pago de la opcion depende dela trayectoria que sigue el subyacente y no solo del valor final en cada uno delos pasos, ademas de complicarse con problemas de mas de dos dimensiones.Las simulaciones Monte Carlo, en cambio, se adaptan facilmente al problemade alta dimension, como lo establecen Broadie and Glasserman (1997).

Figura 2.3. Arbol binomial de tres pasos.

En las simulaciones Monte Carlo pueden incorporarse dependencias detrayectoria, esto dado que, como se muestra en la figura 2.4, se generan dife-rentes trayectorias aleatorias independientes con algun proceso estocastico defi-nido para el subyacente, se calcula la funcion de pagos para cada trayectoriay posteriormente se pueden combinar linealmente y promediar para estimar elvalor esperado de la funcion de pagos del derivado.

A pesar de que en Wilmott (2001) y Hull (2006) se considera como difıcilmanejar la posibilidad de ejercicio anticipado de las opciones americanas a


traves de la simulacion Monte Carlo, existen diversas referencias tales comoBrodie y Glasserman (1997), Dupire (1998), Fundia (2002) y Rivera (2005) enlas que se proporcionan indicios y ejemplos de como emplear el metodo MonteCarlo para la valuacion de opciones americanas.

Figura 2.4. Trayectorias de precio simuladas por Monte Carlo.

3. Modelo Libor, vectores frontera para valuar opciones americanas

En la presente seccion se presentara la forma de utilizar el metodo Monte Carlopara manejar la dependencia de trayectoria requerida por el modelo Libor demercado a las vez que los vectores frontera permiten incorporar el ejercicio anti-cipado, tıpico de opciones americanas. Recuerdese ante todo que los modelos detasas de interes pretenden describir la evolucion de las tasas de interes a travesdel tiempo; algunos describen una estructura temporal de tasas basados en elcomportamiento de la tasa de corto plazo, mientras que otros se basan en pro-cesos que siguen tasas adelantadas instantaneas, las cuales no son observablesen el mercado. Hull (2006) aborda estos modelos con profundidad intermediamientras que la revision detallada de dichos modelos se puede encontrar enBrigo and Mercurio (2001).

Diversos autores como Brace, Gatarek y Musiela (1997), Jamshidian (1997)ası como Miltersen, Sandmann y Sondermann (1997) han abordado la no obser-vabilidad de la tasa forward instantanea mediante lo que en forma unificada seconoce como LMM, por sus siglas en ingles Libor Market Model, el cual puedeexpresarse en terminos de las tasas “forward ”que se observan en los mercadosactuales. Resulta conveniente usar este modelo sobre las tasas aplicables a losderivados de tasas de interes en los perıodos lıquidos, que son de por lo menosun mes y comunmente de tres y seis meses resultando su uso menos complicadoque las tasas instantaneas no observables.

Como lo describen Hull (2006) y Jamshidian (1997) este modelo se puedeutilizar en la valuacion de productos comunes del mercado de derivados de


tasas de interes, como caps y floors, bajo el supuesto de que las tasas forwardsiguen una distribucion lognormal. Comunmente la implementacion requierede la simulacion Monte Carlo. Existen diferentes modelos para el calculo deprimas de opciones americanas utilizando simulacion Monte Carlo; en generalse caracterizan por utilizar metodos numericos y en algunos casos metodositerativos; a continuacion revisaremos los principales.

Longstaff y Schwartz (2001) proponen una aproximacion por mınimos cua-drados para la valuacion de opciones americanas. Bajo este enfoque es necesarioelegir en cada posible punto de ejercicio entre continuar con la opcion o ejercer.El metodo consiste en generar un gran numero de trayectorias y analizar losposibles valores del subyacente para cada periodo de ejercicio en cada una delas trayectorias. Se compara el valor de ejercicio en cada punto con el valor deno ejercer:

V = a + bS + cS2

donde S es el precio del subyacente en el i-esimo perıodo y V es el valor deno ejercer calculado al tiempo correspondiente, es decir, el valor de ejercer enel siguiente periodo descontado al periodo i-esimo. Para todos los valores seencuentran a, b y c tal que se determine el mınimo de la suma

∑

(Vi − a − bSi − cS2i )

a traves de mınimos cuadrados. Se realiza de atras hacia delante hasta obtenerel valor de ejercer inmediatamente. Este modelo podrıa llegar a complicarsecuando el precio de la opcion se vea afectado por mas de un factor, resultandola aproximacion ordinaria por mınimos cuadrados impractica para el calculo dela funcion condicional V ; en tal situacion, resulta mas eficiente utilizar otrastecnicas como mınimos cuadrados ponderados o mınimos cuadrados general-izados entre otros. Podrıa tambien encontrarse algunas otras implicacionesnumericas para la significancia estadıstica de las regresiones de mınimos cuadra-dos al definir la funcion condicional, como se resume en Longstaff y Schwartz(2001).

Por su parte Andersen (2000) propone una aproximacion en la que se generaun numero considerable de trayectorias Monte Carlo, y en el que la frontera deejercicio es parametrizable. Primeramente se define una funcion de ejercicioanticipado I(t) que es igual a 1 si el ejercicio anticipado es optimo en el tiempot y 0 en otro caso. I(t) es una funcion con un vector de parametros, cuyosvalores optimos son determinados iterativamente, iniciando por el vencimientode la opcion hasta el inicio.

Despues, se prueban cada uno de los valores del precio S del subyacente,en cada perıodo t de las diferentes trayectorias, y en el que el valor esperadode ejercicio sea mayor/menor dependiendo del tipo de opcion, es decir, el valorque maximice el precio promedio de la opcion se definira como punto frontera.Se obtiene el punto frontera para cada perıodo t y ası hasta llegar a t = 0 comose sugiere en Hull(2006) o Broadie y Glasserman (1997). En este modelo laparametrizacion de las fronteras es unica para cada tipo de operacion; y enocasiones podrıa resultar complicada la forma en que debe ser parametrizadala frontera de ejercicio anticipado.


En Fundia (2002), los vectores frontera se calculan iniciando por el venci-miento de la opcion hasta el inicio, es decir haciendo el recorrido hacia atrasen el tiempo. En el tiempo final N , el vector esta determinado por el preciode ejercicio de la opcion, y para encontrar sus valores en cualquier tiempo kes necesario haber obtenido los valores futuros, es decir entre el tiempo k y N .En cada uno de los perıodos primeramente debe definirse el techo y el piso dela frontera y se define a y como el punto medio de dichos puntos; entonces,la pregunta que debe responderse es si la funcion de pago es mayor o igual alvalor estimado de continuar con la opcion; con base en la respuesta, y sera elnuevo piso o techo del perıodo k. Para responder a esas preguntas, se defineprimero la funcion de valor de la opcion si el tenedor decide no ejercer. Sesimulan trayectorias desde el tiempo k hasta el tiempo N ; en cada una de ellasse obtiene un valor observado.

Para las n trayectorias que se calculan, se obtienen valores observados de losque al obtener la media (estimador) se obtendra el valor esperado de continuaren la opcion; las posibles respuestas en el punto de decision son:

a) ejercer si la funcion de pago es mayor o igual al valor estimado decontinuar,b) no ejercer si la funcion de pago es menor al valor estimado de continuar.

El proceso se repite hasta que el valor del piso y del techo coincidan (i.e.hasta que difieran en un valor no mayor a ε). Una ventaja de este modelo es quees un metodo iterativo y con alta velocidad de calculo. De hecho, el algoritmodescrito anteriormente es el que se implemento en el presente trabajo, siendo labase para el desarrollo en VBA. En la siguiente seccion se describira con mayordetalle la implementacion.

4. Implementacion

En esta seccion, se revisra una descripcion general del algoritmo a seguir parael calculo de la frontera de ejercicio, que combinado con el modelo Libor detasas, conformara un metodo alternativo a los ya existentes; posteriormentese explicara a detalle tomando como ejemplo un swaption semestral con plazode 10 anos. La idea fundamental que se propone consiste adaptar el modelo“Fast Monte Carlo American Option Pricing”de Fundia (2002), para obteneruna aproximacion de la frontera de ejercicio de tasas swaps que permita calcularel valor de un swaption Bermuda. La implementacion incluye la combinacion dedicho metodo de aproximacion para opciones americanas con el modelo Liborde mercado.

Es importante senalar que el ejemplo implementado con fines experimen-tales para el calculo de la frontera, tiene como supuestos:

a) que se considera la curva de tasas libres de riesgo como plana en todoslos plazos para este ejemplo en particular

b) que la Curva de volatilidad se considera plana para todos los plazos paraeste ejemplo en particular

c) que es un modelo de una sola dimension.

Sin embargo destacamos que la gran ventaja de implementar esta metodo-logıa es que puede aplicarse de manera general para swaps de cualquier plazo taly como se observan en el mercado, ademas de que puede generalizarse facilmente


a estructuras temporales de tasas observadas y volatilidades incluso si estas noson deterministas.

Como se menciono, el algoritmo se centra en calcular los vectores fronterainiciando por el vencimiento de la opcion (i.e. al tiempo N) hasta el inicio. Altiempo N el valor de la frontera esta determinado por el precio de ejercicio dela opcion, y para encontrar este valor en cualquier tiempo k es necesario haberobtenido los valores futuros, es decir entre k y N .

En cada uno de los perıodos primeramente debe definirse el techo y elpiso de la frontera, los cuales pueden ser 0 y un numero B, con una realizacionunica u que pertenezca al intervalo (0, B) y tal que (x, u∗) sea un vector frontera.Entonces, se define a y como el punto medio del piso y techo dados por (0, B)y la pregunta que debe responderse es si y ≥ u∗; dependiendo de la respuesta ysera el nuevo piso o techo de u∗; el proceso se repetira hasta que la diferenciaentre el piso y el techo no sea mayor al nivel de precision dado por ε.

Para abordar el proceso, se define primero a gk como el valor de la opcionsi el tenedor decide no ejercer. Se simulan trayectorias comenzando en Sk, esdecir, se obtienen los valores (Sk, Sk+1, ..., SN) con cada una de ellas se obtieneun valor observado Gk que se define como:

Gk = Dk,th(St)

donde

t = min(k + 1, ..., N)

si St ≥ V para cualquier V que pertenezca a la frontera de ejercicio, o t = Nsi St < V , h() representa el valor de ejercer en este instante, y Dk,t es el factorde descuento.

De hecho para las n trayectorias que se calculan, se obtienen valores deGk; si se hace que gk = (1/n)

∑

Gk, es decir el estimador del valor esperado decontinuar, las posibles respuestas a las preguntas antes mencionadas serıas lassiguientes:

a) y ≥ u∗ si h(x) ≥ gk, es decir, ejercer si la funcion de pago es mayor oigual al valor estimado de continuar,b) y < u∗ si h(x) < gk, es decir, no ejercer si la funcion de pago es menoral valor estimado de continuar.

Este procedimiento itera hasta que el valor del piso y del techo coincidan esdecir, difieran en un valor no mayor a ε. El numero de trayectorias y el tiempode simulacion dependeran del subyacente sobre el que se este calculando y delproceso estocastico que se defina para este.

A continuacion se desarrolla un ejemplo en el que se supone que el productoa valuar es un swaption tipo bermuda sobre un swap con periodicidad semestral,en el que se adquiere el derecho de pagar la tasa fija (“payer”) y con posibilidadde ejercer en cualquier perıodo de vencimiento de cupon.

Antes de iniciar con el algoritmo para construir la frontera de tasas sepresentan las caracterısticas del instrumento en la tabla siguiente y se describirael proceso a utilizar con el modelo Libor de mercado, para las simulaciones detrayectoria de tasas.


Como ya se menciono anteriormente el modelo Libor de Mercado puedeser implementado usando simulacion Monte Carlo y expresado en terminos devolatilidad.

El modelo libor que se utilizara es el proceso definido para tasas forwards,de las cuales pretende obtenerse las tasas swaps; entonces la expresion a utilizarque define el proceso estocastico de las tasas forward, es como sigue:

F (t, j + 1) = F (t, j)exp

[(

δF (t, j)σ2

1 + δF (t, j)−

σ2

2

)

δ + σZδ1/2

]

donde

a)F (t, j + 1) es la tasa forward para el siguiente perıodo,

b)F (t, j) es la tasa forward para el perıodo actual,

c)δ es la periodicidad de la tasa,

d)σ es la volatilidad de la tasa forward,

e)y Z es una variable aleatoria con distribucion normal estandar.

Por medio de la simulacion, esta expresion permitira obtener trayectoriasde las tasas forwards de las que derivaran las tasas swaps que formaran partede la frontera de ejercicio. De acuerdo a la descripcion general anterior, se tieneque el algoritmo inicia el calculo en el vencimiento del subyacente, es decir altiempo N , en este caso 10 anos.

Como se ha definido una frecuencia semestral, dicho plazo equivale a 20perıodos. En virtud de que el punto frontera en el perıodo 20 esta dado por elprecio de ejercicio que es igual a la tasa forward a esa fecha, el primer punto deanalisis es al tiempo N − 1, es decir el perıodo 19 en este ejemplo.

El analisis inicia con definir un piso (0) y un techo (B) iniciales, los cualesse iran cerrando a traves de un proceso iterativo, hasta hacer convergencia conla tasa forward frontera que se busca. En este ejercicio se definio como techoinicial B = 2K, es decir B = 19%, de modo que el intervalo inicial esta dadopor los valores (0,19%).

Siguiendo con la descripcion del modelo hecha anteriormente, se encuentrael punto medio del intervalo (0, B), es decir y = 9.5%, y a partir de este valor seharan simulaciones que permitiran obtener el valor esperado de la tasa forwardcomo se muestra en la grafica 4.1.

Usando el proceso de tasas forward definido con anterioridad, se tiene que:

F (20i) = 0.095exp

[(

(0.5)(0.095)((0.1215)2

1 + (0.5)(0.095)−

(0.1215)2

2

)

0.5+0.1215Z(0.5)0.5

]


donde el valor Z es un numero aleatorio con distribucion normal estandarN(0, 1). Para obtener el valor esperado de F es preciso realizar un numeroimportante de simulaciones; tıpicamente en la industria se harıan de 10,000a 100,000 simulaciones dependiendo de la velocidad de los compiladores dis-ponibles como se establece en Dupire (1998).

Grafica 4.1. Simulaciones para el tiempo (N - 1)

Para cada valor de F (20, i) debe determinarse el valor Gk dado por:

Gk = (F (20, i)− K)FD,

donde FD es el factor de descuento dado por la tasa libre de riesgo entreel periodo n y n − 1. Con base en el numero de simulaciones n, se calculagk = (1/n)

∑

Gk y se obtiene el valor esperado de permanecer en la opcion siası conviene el tenedor.

A partir de la comparacion del valor gk con el valor y, en caso de queel valor de permanecer en la opcion sea mayor que ejercer; entonces y serael nuevo piso para la siguiente iteracion, es decir el procedimiento de calculodescrito anteriormente se realiza ahora con el intervalo (y, B) o (9.5%,19%) eneste caso.

Este proceso se repite hasta que la diferencia entre el piso y el techo seainferior a ε, que representa el error con el que finalmente esta calculado el valorfrontera. Una vez que se calculo el valor en el perıodo N −1, es decir el perıodo19 en este ejemplo, se debe continuar con el perıodo inmediatamente anteriorN − 2 que en este caso serıa el perıodo 18.

En este punto se parte nuevamente del piso y techo iniciales definidosanteriormente (0, B), se obtiene el valor medio y , y se haran simulaciones,esta vez desde el perıodo N − 2 hasta N ; en general, las trayectorias inicianen el perıodo N − i y terminaran en el punto en que se encuentren por arriba


del punto frontera anteriormente calculado o en el perıodo N . La grafica 4.2muestra como se generan las trayectorias desde cualquier punto N −i con i > 1.

Grafica 4.2 Simulaciones para el tiempo N - i.

Con los valores Gk generados por medio de las simulaciones, se encuentrael valor esperado gk; se compara con el punto medio y, y ası se procede deforma sucesiva hasta llegar al perıodo N = 1. Una vez obtenida la tasa forwardfrontera para cada uno de los puntos; se puede obtener la tasa swap de cadauno de ellos; esto a traves de la relacion entre estas tasas y que se describe acontinuacion:

Si =

∏n−1j=i (1 + δF (ti)) − 1

∑n−1j=i

∏n−1k=j−1(1 + δF (tk))

donde

a) Si es la tasa swap para el siguiente perıodo,b)F (tk) es la tasa forward para el perıodo actual, yc)δ es la periodicidad de la tasa.

Finalmente el precio de la opcion en el perıodo actual corresponde al valorde permanecer en la opcion ya que el tenedor no ejercerıa de forma instantanea,es decir el valor de gk en t = 0.

5. Analisis de resultados y conclusiones

Para el ejemplo anterior, por medio de simulacion se obtendrıan sendasfronteras, de tasas forward y de tasas swap, como las que se muestran en lasgraficas 5.1 y 5.2. La interpretacion de esta frontera de ejercicio indica que sila tasa observada se encuentra por arriba de dicha frontera, en el caso de unpayer swaption, al tenedor le convendrıa ejercer la opcion de forma anticipada.


Para obtener el precio de la opcion en el tiempo cero, solo es necesario calcularel valor de permanecer en la opcion como se realizarıa en cualquier tiempo t.

Grafica 5.1 Frontera de tasas forward.

Grafica 5.2 Frontera de tasas swap.

En el ejemplo el precio de la opcion resulta 1.75%; este valor parece serrazonable, pero para saber realmente la efectividad del algoritmo, a conti-nuacion se presenta un cuadro comparativo del precio de algunos swaptions


tipo bermuda que se cotizan en el mercado y cuyo proceso de calculo puedetener un grado mayor de sofisticacion, aunque no necesariamente de rapidez.

Como se muestra en el cuadro anterior, los resultados obtenidos por lametodologıa sugerida en este trabajo, son comparables con los niveles de compray de venta que se cotizan en el mercado mexicano.

El objetivo del presente trabajo, fue proponer una alternativa eficientede calculo para valuar los swaptions de tipo Bermuda, con base en un modeloiterativo para el calculo de opciones americanas y aplicado al Modelo Libor o demercado se logro obtener una rapida aproximacion del valor de dicho producto.El modelo iterativo, fundado en simulaciones Monte Carlo, permite calcularel valor de permanecer en la opcion o de ejercerla en cada un de los perıodosdefinidos.

El numero de simulaciones que despues de diferentes corridas se sugieremanejar, es de al menos 10,000; un numero menor de simulaciones puede causardesviaciones grandes en el resultado. Por otro lado en cada uno de los puntos,el numero de iteraciones sugeridas es 15, es decir el subproceso de definir unnuevo piso o techo para definir el valor frontera, se repite 15 veces. Esto implicaque el grado de error, es decir la diferencia entre el piso y el techo es menor a0.00001. El proceso estocastico utilizado en las simulaciones es el modelo Liborestandar para tasas forward. El algoritmo aquı definido encuentra una fronterade tasas forward y a partir de estas es posible encontrar la frontera de tasasswap.

Este modelo tiene la ventaja sobre algunos ya existentes, de que es facilde implementar y se puede obtener un resultado rapido y muy aproximado delvalor de un swaption bermuda; entre las desventajas, en esta version, es quese trabaja en una sola dimension y el modelo Libor de un factor lognormal.En la comparacion de precios realizada al final de la seccion anterior, puedeobservarse que los precios calculados por el modelo de vectores son cercanos alas cotizaciones de compra y venta encontradas en el mercado mexicano; perosi se supone que el precio teorico real, se aproxima al precio promedio entre lasposturas de compra y de venta, se puede observar que los precios calculadosestan subvaluados, esto se atribuye a los supuestos considerados de volatilidad,curva de tasas de interes y de modelo. Con base en estas dos consideraciones,en investigaciones futuras se puede ampliar la precision del enfoque a travesde un modelo multifactorial, ası como incorporando dinamicas estocasticas masricas para la volatilidad. Asimismo, trabajos posteriores podrıan realizarsedesarrollos para el calculo de sensibilidades y compararlas con otros modelos.

Sin embargo cabrıa mencionar que estudios empıricos como el de Driessen,Klaassen y Melenberg (2003) han demostrado que no es necesario utilizar un


modelo de muchos factores para capturar la volatilidad total de los mercados;tres factores son suficientes para explicar en promedio el 97.8% de las varia-ciones y un solo factor explica en promedio mas del 80% por lo que la eficienciaobtenida con este enfoque de poder calcular un precio en menos de 10 segun-dos con un compilador de bajo nivel como VisualFortranMR hacen atractivo elresultado.

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