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Revista de História da Matemática para Professores
Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
ISSN 2317-9546 EXPEDIENTE Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat) Presidente: Iran Abreu Mendes Vice-Presidente: Marcos Vieira Teixeira Secretário Geral: Carlos Roberto de Moraes 1º Secretário: Lígia Arantes Sad Tesoureiro: Mariana Feiteiro Cavalari Editoras Responsáveis Bernadete Morey Ligia Arantes Sad Comitê editorial Iran de Abreu Mendes Sergio Roberto Nobre Comitê Científico Antonio Carlos Brolezzi, Dr. (USP) Antonio Henrique Pinto, Dr. (IFES) Antonio Vicente Marafiotti Garnica, Dr. (UNESP) Carlos Henrique Goncalves Dr. (USP-ABC) Circe Mary Silva da Silva Dynnikov Dra(UFES) Francisco de Assis Bandeira, Dr.(UFRN) Giselle Costa de Sousa, Dra. (UFRN) Iran de Abreu Mendes, Dr. (UFPA) John Andrew Fossa, Dr. (UFRN) Lucieli Maria Trivizoli da Silva, Dra. (UEM) Moyses Goncalves Siqueira Filho, Dr. (UFES) Romelia Mara Alves Souto, Dra. (UFSJ) Sergio Roberto Nobre, Dr. (UNESP) Severino Carlos Gomes, Dr. (IFRN) Tercio Gireli Kill, Dr. (UFES) Ubiratan D’Ambrosio, Dr. (UNIBAN / USP) Wagner Valente, Dr. (USP) ASSESSORIA Projeto gráfico Fabrício Ribeiro Diagramação Gerson Eugenio
Editorial................................................................................................................................................ 4
Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad
Diálogo com um educador.................................................................................................. 5 Entrevistado: Prof. Dr. John Andrew Fossa Entrevistadora: Rosângela Araújo da Silva
Artigo 1: História da matemática e o ensino da razão Áurea: uma sequência de atividades ............................................................................ 10
Ana Caroline Frigéri Barboza, Erica G. Jardim Bergamin e Lucieli M. Trivizoli
Artigo 2: A reconstrução dos círculos de proporção no Geogebra como uma atividade para a mobilização de conhecimentos matemáticos .................................................... 19
Verusca Batista Alves e Ana Carolina Costa Pereira
Merece ser lido, visto ou divulgado
Artigo 3: Resenha do Filme o Físico ............................................................................... 30
Kaline Andreza França Correia Andrade
Convite ao leitor........................................................................................................................32 Ligia Arantes Sad e Bernadete Morey
Caro Leitor,
É com muita satisfação que trazemos à luz, em nome da Sociedade
Brasileira de História da Matemática – SBHMat, o número da Revista de
História da Matemática para Professores (RHMP), referente a 2019.
Infelizmente, será este o único número referente a 2019, pelo que pedimos
desculpas aos nossos leitores. É nosso intuito regularizar as publicações a
partir de 2020, publicando dois números da revista anualmente.
O entrevistado neste número da RHMP na sessão Diálogo com um
educador e o Prof. Dr. John Fossa, que foi professor do Departamento de
Matemática da UFRN. O professor Fossa aposentou-se da UFRN, mas
continua a pesquisar e publicar em História da Matemática. Ele nos conta
sobre sua trajetória acadêmica e profissional e fala sobre como a História da
Matemática se insere em seus trabalhos.
Os dois textos publicados neste número são de cunho histórico, mas
ao mesmo tempo, algoritmo de multiplicação (História da matemática e o
ensino da razão áurea: uma sequência de atividades) e (A reconstrução dos
círculos de proporção no Geogebra como uma atividade para a mobilização
de conhecimentos matemáticos) são leituras relacionadas com a sala de aula
da escola básica.
No presente número da RHMP não há artigos de cunho recreativo;
há, porém, uma recomendação de entretenimento, a resenha de um filme
sobre as práticas médicas medievais na Europa cristã e na Pérsia
muçulmana.
Renovamos nossa expectativa de que professores com experiências
de sala de aula, relacionadas a História da Matemática, possam valorizar
esta revista, aceitando o convite para submeter propostas que sejam
pertinentes às seções da RHMP.
Bernadete Morey e Ligia Arantes Sad
Entrevista com o Prof. Dr. John Fossa
Rosângela Araújo da Silva
(UFRN)
Prof. Dr. John Andrew Fossa
Fonte: Arquivo da Entrevistadora
A Revista de História da Matemática para Professores sente-se honrada
em conversar com o professor John Andrew Fossa, pesquisador que
possui graduação em Filosofia pela College Of The Holy Cross (1972),
mestrado em Filosofia pela Fordham University (1974) e doutorado em
Educação Matemática pela Texas A&M University System (1994). Tem
experiência na área de Matemática, com ênfase em História da
Matemática. Atuando principalmente nos seguintes temas: Educação
Matemática, Intuicionismo, Construtivismo Radical.
RHMP: Professor John Fossa, sua Graduação e Mestrado foram em
Filosofia, o que o levaram a trabalhar na Faculdade de Sociologia e
Política da Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Fale-nos um
pouco sobre sua adaptação no Brasil, como pessoa e como professor.
Prof. John Fossa: Bom, como pessoa não houve muitos problemas, eu
me adaptei facilmente, fui bem acolhido aqui, foi tudo tranquilo. Agora
como professor, era um pouco mais difícil porque o sistema aqui é
diferente do sistema que conheci, mas a gente vai se adaptando às
necessidades dos cursos e, no final das contas, não tive grandes
problemas.
RHMP: Posteriormente o senhor realizou o Doutorado em Educação
Matemática, por que a mudança?
Prof. John Fossa: Eu sempre tive interesse em várias áreas do
conhecimento, então eu estava aqui (UFRN) na Filosofia e na UFPB
também. Eu tinha alguns trabalhos sobre a História da Matemática, e o
pessoal daqui do Departamento de Matemática estava precisando de
alguém para ensinar esta disciplina. Eu soube disso, propus um plano de
trabalho que foi aceito pelo Departamento. Posteriormente, participei num
curso de aperfeiçoamento/especialização de ensino de matemática e o
Departamento sugeriu que eu fizesse o meu doutorado em Educação
Matemática. Achei uma boa ideia e assim o fiz.
RHMP: Como surgiu seu interesse por História da Matemática?
Prof. John Fossa: Como eu disse, eu tinha interesse por diversos campos
de estudo. Eu gostava muito da Matemática, da Física, eu já tinha estudado
bastante a Filosofia e História da Matemática da Ciência, de um modo
geral, e havia tecido alguns trabalhos na área. De fato, estava
desenvolvendo um projeto de pesquisa na área já naquela época.
6 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
RHMP: Em sua visão, quais as co nexões entre a História da Matemática
e o Ensino de Matemática?
Prof. John Fossa: Ah, tem tantas conexões! Mas, acho que tem duas
conexões que são as principais.
A primeira é que a Matemática faz parte da cultura humana e, ainda mais,
é uma parte que permeia quase todas as outras partes da nossa cultura.
Desta forma, é algo do que o aluno deve ter conhecimento.
A outra conexão principal é o fato de que aprendemos a Matemática
através de constituir a própria Matemática perante o nosso pensamento.
Assim, precisamos ter uma maneira de levar o aluno a fazer a Matemática,
a pensar a Matemática. Uma maneira de fazer isso é colocá-lo em uma
situação na qual ele é pesquisador, obviamente não nas fronteiras da
Matemática, mas nas fronteiras do seu próprio conhecimento, e a História
da Matemática é uma maneira exemplar de fazer isso.
Mas, tem várias outras conexões, tem uma coisa muito importante é a
motivação. A História da Matemática era usada, talvez até uns 20 anos
atrás, somente para motivação. Depois essa função foi muito criticada
porque o pessoal queria mais. Mas, se você pensar que o aluno tem que
ser ativo na construção do conhecimento, então a motivação é muito
importante, pois ele não será ativo se não houver motivo. Temos também
as políticas de inclusão que são promovidas para a História da
Matemática.
RHMP: Há 25 anos ocorreu seu retorno ao Brasil, Doutor em Educação
Matemática. Quais foram as principais mudanças na Educação
Matemática nestes 25 anos?
Prof. John Fossa: Nesses 15 anos? Acho que a primeira grande mudança
foi a eclosão da área de Educação Matemática. Cresceu muito, tanto em
número de pessoas, quanto em tendências que são abordadas. Aqui no
Brasil a comunidade de educadores matemáticos, especialmente, abraçou
quase todas as tendências e começaram a aprofundar mesmo todas essas
tendências. Por exemplo, o uso da História da Matemática é uma
tendência que não era muito conhecido até recentemente, mas hoje em
dia, aqui no Brasil, tem pesquisadores conhecidos mundialmente.
RHMP: Professor em 31/08 (LATTES) fez 10 anos de sua aposentadoria,
neste período houve várias publicações suas. Conte-nos sobre suas
contribuições neste período de aposentadoria.
Prof. John Fossa: De fato, não tem uma diferença abrupta entre o antes e
o depois. Na verdade, continuei a agir como professor como visitante aqui
7 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
na UFRN por alguns tempos e agora estou na UEPB (Campina Grande)
como visitante. Então continuo atuando no ensino. Talvez mais
importante, porém, é que sou pesquisador, e pesquisador não necessita ser
atrelado a uma posição acadêmica – claro que ajuda, mas não é necessário.
Nunca deixei de ser pesquisador e continuo fazendo minhas pesquisas e
tenho vários projetos que estão em andamento e outros que estão fluindo.
RHMP: Alguns de seus orientandos se tornaram colegas de trabalho, qual
seu sentimento sobre essa influência positiva na Educação Matemática?
Prof. John Fossa: Este é um fato de que me dá muito orgulho. O sucesso
dos meus alunos é muito importante para mim porque mostra que eu estou
fazendo alguma coisa útil. Quando eu os vejo tendo grande sucesso, se
destacando no cenário nacional como pesquisadores e educadores, isto me
dá muita felicidade.
RHMP: Professor Fossa muito obrigada pela sua atenção e
disponibilidade.
8 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
••• Artigo 1 •••
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E O ENSINO DA RAZÃO ÁUREA:
UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADE
Ana Caroline Frigéri Barboza
(UEM)
Erica Gambarotto Jardim Bergamin
(Unicesumar)
Lucieli M. Trivizoli
(UEM)
O presente texto tem por objetivo apresentar uma possibilidade de
inserção da História da Matemática para a sala de aula, abordando o
ensino do conteúdo Razão Áurea. É válido ressaltar que essa proposta tem
o intuito de elucidar que é possível abordar um conteúdo matemático por
meio da História da Matemática como um recurso pedagógico. Desse
modo, o presente texto concerne ao enfoque da História na Educação
Matemática, um campo de investigação da História da Matemática que
procura corroborar com propósitos destinados à formação de professores,
ao processo de ensino e aprendizagem, bem como a relação entre
professor, aluno e ambiente escolar (MIGUEL; MIORIM, 2004).
De acordo com Mendes e Chaquiam (2016, p. 12), o contexto
histórico envolvendo a matemática desenvolvida em determinado(s)
período(s) contribui para “desafiar a capacidade dos alunos para
exercitarem estudos, pesquisas e problematizações que estimulem suas
estratégias de pensamento e, daí culminar na sua produção de
conhecimento durante a atividade de estudar”. Ressalta-se que é nesta
perspectiv a que se embasa este escrito, pois busca-se apresentar uma
proposta de atividades que enfatiza o contexto histórico do
desenvolvimento da Razão Áurea para ensinar e proporcionar reflexões
sobre alguns aspectos desta razão. A seguir, apresenta-se uma sugestão de
sequência de atividades e direcionamentos relacionados ao conteúdo
supracitado.
Para a introdução do tema tem-se como sugestão fazer
questionamentos como: “Vocês já ouviram menções sobre a Razão
Áurea?”, “O que vocês conhecem sobre a Razão Áurea?”. Assim, tem-se
a possibilidade de valorizar os conhecimentos que os alunos já possuem,
relacionando-os ao modo como a Razão Áurea é retratada por muitos
historiadores e propiciando uma interação entre professor e alunos.
Em seguida, uma possibilidade é realizar uma contextualização
histórica abrangendo que “a primeira definição clara do que mais tarde se
tornou conhecido como a Razão Áurea foi dada por volta de 300 a.C. pelo
fundador da geometria como sistema dedutivo formalizado, Euclides de
Alexandria” (LIVIO, 2006, p. 13). Sendo assim, o primeiro registro
histórico sobre a Razão Áurea se encontra no VI Capítulo do Livro “Os
Elementos” de Euclides, em que o autor aborda a construção do
pentagrama, símbolo demasiadamente utilizado pelos antigos pitagóricos.
Conforme indicado na citação anterior, nesta época a denominação
“Razão Áurea” ainda não era conhecida e, para denotar um segmento
dividido de modo a conter esta razão, era utilizada a expressão “dividir
um segmento em média e extrema razão” (BOYER, 2010, p. 35). Essa
ação de explicar sobre a origem do conceito e de deixar claro que sua
denotação nem sempre foi a mesma, contribui para mostrar aos alunos que
os conceitos matemáticos passam por evoluções e se desenvolvem
conforme as necessidades humanas.
Para esclarecer a expressão mencionada, de acordo com o Clube
de Matemática da OBMEP, pode-se apresentar a seguinte definição:
Seja C o ponto que divide um segmento 𝐴𝐵 em média e extrema razão.
Chamamos de Razão Áurea, a razão entre os comprimentos do maior e
do menor segmentos resultantes da divisão inicial do segmento 𝐴𝐵, ou
seja, a
b .
Assim, os alunos poderão perceber que segmentos divididos em
média e extrema razão atendem à seguinte proporção: a razão do
comprimento de 𝐴𝐵 para o comprimento de 𝐴𝐶 é igual à razão do
11 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
comprimento de 𝐴𝐶 para o comprimento de 𝐶𝐵 (LIVIO, 2006). Sugere-
se a utilização do software Geogebra como apoio para construir um
segmento que contém a Razão Áurea e assim possibilitar que os alunos
tenham uma noção geométrica desta razão.
Para construir um segmento que contém esta razão, Boyer (2010)
apresenta que Euclides construía primeiro sob o segmento 𝐴𝐵 um
quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, e então construía o ponto médio 𝐸 sobre o lado 𝐴𝐶,
traçava o segmento 𝐸𝐵 e prologava a reta que contém os pontos 𝐶, 𝐸 e 𝐴
até 𝐹, de modo que 𝐸𝐹 = 𝐸𝐵. Assim, co mpletava-se o quadrado 𝐴𝐹𝐺𝐻
e o ponto 𝐻 no segmento 𝐴𝐵 é o ponto procurado.
Na continuidade, pode ser proposta a Atividade 11, que tem como
objetivo proporcionar que os alunos encontrem o número irracional que é
gerado pela Razão Áurea (também chamada de Razão Dourada), bem
como sua representação decimal e fracionária, a partir da definição já
apresentada.
Atividade 1: Se |AB| = 1 e |AC| = x, encontre o valor numérico para
a razão dourada.
Conforme definição apresentada, uma possível estratégia de
resolução para a Atividade 1 pode ser: 1
𝑥=
𝑥
1−𝑥⇒ 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 =
−1±√5
2 . Selecionando o valor positivo, temos . E,
considerando, por exemplo, a razão 1
𝑥, a razão dourada será
.
Na continuidade, após os alunos conhecerem o Número de Ouro,
ou seja, o valor numérico relacionado à Razão Áurea, é relevante propiciar
discussões acerca da presença de representações deste número na
natureza, uma vez que há muitos mitos acerca deste assunto. Assim, na
sequência, sugere-se solicitar aos alunos que realizem a Atividade 22, em
que o objetivo é construir um Retângulo de Ouro e verificar onde se
encontra a razão dourada em tal retângulo.
1 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de
Swetz (1994). 2 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de
Swetz (1994).
12 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
Atividade 2: Um retângulo cujo lados estão sob a medida da razão
dourada é conhecido como retângulo de ouro. Utilizando a régua e
compasso, construa um retângulo de ouro seguindo os seguintes
passos:
a. Construa um quadrado ABCD.
b. Construa o ponto médio 𝑀 de 𝐶𝐷 .
c. Construa o ponto E que está no prolongamento do segmento 𝐷𝐶 tais
que 𝑀𝐵 ≅ 𝑀𝐸.
d. Encontre o ponto 𝐹 que situa na perpendicular traçada por 𝐸 a 𝐴𝐵 .
e. O retângulo AFED é o retângulo dourado.
Fazer a validação.
Para a socialização acerca do modo como identificam a Razão
Áurea no Retângulo de Ouro, é interessante promover uma discussão para
que os alunos indiquem quais segmentos do retângulo construído devem
ser utilizados a fim de encontrar a razão dourada e, conforme as
indicações, tem-se como sugestão que o professor vá realizando a
verificação no software Geogebra. Após essa discussão, o professor deve
esclarecer que o Retângulo de Ouro é um retângulo cuja razão entre a
medida do lado maior e a medida do lado menor é a razão dourada, razão
esta que resulta no Número de Ouro.
Em seguida, o professor pode solicitar aos alunos que pesquisem,
com seus celulares e notebooks, objetos do cotidiano e construções
históricas que “contém” a Razão Áurea. Esta ação pode ser um momento
muito rico da aula, pois tem-se a oportunidade de desconstruir com os
alunos alguns mitos referentes à presença da Razão Áurea em construções,
monumentos, pinturas e objetos. Para promover uma reflexão com relação
à veracidade de algumas informações contidas na internet, o professor
poderá utilizar as próprias informações históricas, por exemplo, presentes
em Livio (2006), como apoio para explicar o porquê de algumas
indicações sobre a presença da Razão Áurea não poderem ser
comprovadas cientificamente. Indica-se, como direcionamento, reflexões
e discussões acerca de duas situações: o monumento histórico Partenon e
a obra de arte Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, pois estes são comumente
associados à Razão Áurea.
No que diz respeito ao primeiro monumento histórico, muito
autores afirmam que a sua parte frontal se enquadra impecavelmente em
um Retângulo Áureo. No entanto, alguns historiadores vão contra essa
asserção, indicando que partes do Partenon vão além do Retângulo, como
13 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
por exe mplo, as extremidades do pedestal; outra contestação indica que
as dimensões do Partenon variam conforme determinadas fontes (LIVIO,
2006). Com relação à Mona Lisa, há indícios de que no formato de seu
rosto possa-se encaixar um Retângulo Áureo, todavia, faltam-se
indicativos sobre qual lugar em específico o Retângulo poderia se
localizar, ou seja, não há comprovações científicas que garantem a
presença deliberada da Razão Áurea na Mona Lisa, e de maneira
semelhante, no Partenon (LIVIO, 2006). O autor supracitado ainda reitera
que as ideias apresentadas refletem mais um “forçar para se encontrar” a
Razão Áurea do que de fato constatar a presença desta razão nestes
monumentos históricos.
Na sequência, tem-se a sugestão da Atividade 33, que tem como
objetivo propiciar que os alunos conheçam e explorem a representação de
um objeto histórico que usa deliberadamente a Razão Áurea em sua
construção.
Atividade 3: Os pitagóricos usavam o
pentagrama como seu símbolo secreto. Dado
um pentágono regular, se todas as diagonais
possíveis são desenhadas dentro desse
pentágono, então temos formada uma estrela
pentagonal regular. Esta estrela é chamada de
pentagrama. Um pentagrama possui muitas
propriedades incomuns, uma delas é a que ele
gera um outro pentágono no qual outra estrela
pentagonal pode ser formada, então o pentagrama gera ele mesmo.
Além disso o pentagrama contém muitas razões douradas. Dado um
pentagrama, verifique onde se localiza a Razão Áurea.
Conforme mencionado no enunciado, a razão entre vários dos
segmentos que compõem o pentagrama contém a Razão Áurea. Sendo
assim, para realizar a verificação (com precisão) de que a divisão entre
3 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de
Swetz (1994).
14 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
determinados segmentos resulta n o Número de Ouro, indica-se que seja
feito o cálculo da divisão no software Geogebra.
Após este momento, é interessante explicar aos alunos que, no
pentagrama, a razão entre o comprimento da diagonal do pentágono que
o compõe e o comprimento do lado desse mesmo pentágono é igual ao
Número de Ouro. Cabe ressaltar que Boyer (2010) levanta a hipótese de
que talvez este símbolo possa ter sido o “causador” do descobrimento da
incomensurabilidade (e não a diagonal de um quadrado, conforme a
maioria de nós conhecemos), uma vez que quando se traçam as cinco
diagonais de um pentágono, elas formam um pentágono regular menor e
a diagonais desse segundo pentágono, por sua vez, formam o terceiro
pentágono ainda menor. “Esse processo pode ser continuado
indefinidamente, resultando em pentágonos tão pequenos quanto se queira
e levando a conclusão de que a razão da diagonal para o lado num
pentágono regular não é racional” (BOYER, 2010, p. 50).
Outra constatação interessante nas medidas dos segmentos que
compõem este símbolo histórico está no fato de que se considerarmos cada
segmento do pentagrama em ordem decrescente de comprimento, a razão
entre cada segmento e seu antecessor é igual à Razão Áurea, ou ao
Número de Ouro (LIVIO, 2006). Ou seja, utilizando algumas medidas de
segmentos do pentagrama da Atividade 3, podemos ter:
A partir desta atividade, pode-se discutir com os alunos a respeito
da influência da civilização grega para o desenvolvimento do conteúdo
Razão Áurea. Depois disso, avançando na cronologia histórica, o
professor poderá explicar que após esta civilização houve outras
civilizações que contribuíram para o desenvolvimento do conteúdo Razão
Áurea, mas que estudos conhecidos e que se destacaram surgem com
Leonardo de Pisa (conhecido como Leonardo Fibonacci) no século XII.
Assim, pode-se apresentar uma breve biografia deste matemático para
propor a Atividade 44, que tem como objetivo apresentar uma solução para
o problema dos coelhos presente no livro “Liber Abacci”, de Leonardo
Fibonacci, para posteriormente investigarem os números da sequência de
Fibonacci e descobrir o porquê da sequência de Fibonacci estar
relacionada ao Número de Ouro.
4 O enunciado da atividade foi retirado do livro “História da Matemática” de Boyer
(2010).
15 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
Atividade 4: “Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano,
começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par
que se torna produtivo a partir do segundo mês?” (BOYER, 1974, p.
186)
O número de pares de coelhos de cada mês no problema
apresentado forma os primeiros termos da sequência de Fibonacci. Essa
sequência possui a propriedade de que a partir do terceiro termo, cada
termo é igual à soma dos dois termos precedentes (os 12 primeiros termos
dessa sequência são apresentados no quadro 1). Dessa forma, assim que
os alunos resolverem o problema e conhecerem os primeiros termos da
sequência de Fibonacci, o professor poderá instigá-los a responderem a
seguinte pergunta: Qual a relação entre o problema dos coelhos de
Fibonacci e a Razão Áurea? Para respondê-la, os alunos terão que
investigar mais propriedades dos termos que compõem a sequência de
Fibonacci.
Espera-se, com a exploração dos termos da sequência e com a
condução do professor, que os alunos percebam que a divisão entre um
número de Fibonacci e seu precedente leva a aproximações do Número de
Ouro quando se avança para valores cada vez maiores na sequência,
conforme é apresentado no quadro abaixo.
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Fn/
Fn-1
1/
1=
1
2/
1=
2
3/
2=
1,
5
5/3
=
1,66
67
8/
5=
1,
6
13/
8=
1,6
25
21/1
3=
1,61
538
34/2
1=
1,61
905
55/3
4=
1,61
765
89/5
5=
1,61
818
144/
89=
1,61
798
Quadro 1 – Divisão de um número de Fibonacci por seu antecessor
Fonte: Belini (2015, p. 38)
A partir disso, explica-se que em termos matemáticos significa que 𝐹𝑛
𝐹𝑛−1
tende para 1+√5
2 quando n tende a infinito (BELINI, 2015), ou seja,
Para finalizar a sequência de atividades acerca do tema Razão
Áurea, sugere-se uma apresentação cronológica com momentos históricos
16 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
que caracterizam a evolução do tema retratado, desde especulações sobre
sua origem até os dias atuais.
Ao apresentar esta linha do tempo é relevante retomar com os
alunos as discussões feitas sobre o contexto histórico em que surge a
Razão Áurea, os diferentes momentos da história que caracterizam as
evoluções da Razão Áurea, bem como a influência de determinadas obras
(por exemplo, Divina Proportione, de Luca Paccioli) para o surgimento
de alguns mitos referentes à presença desta razão na natureza.
Espera-se que com essa sequência de atividades e direcionamentos
pedagógicos, possa-se desfrutar do conteúdo Razão Áurea de forma mais
rica e produtiva, contemplando a contextualização histórica do
desenvolvimento do tema elencado de modo a destacar contribuições já
presentes em produções científicas e oportunizar o encaminhamento de
futuras propostas para o ensino de Matemática por meio da História da
Matemática.
É válido ressaltar sobre o auxílio do software Geogebra para o
desenvolvimento da sequência de atividade apresentada, no que diz
respeito ao tempo destinado às atividades, bem como a precisão nas
medições solicitadas, uma vez que o Número de Ouro é um número
irracional. Ainda, reitera-se que esta sequência de atividades pode ser
desenvolvida desde o Ensino Básico ao Ensino Superior, cabendo ao
professor adaptá-la de acordo com o nível de ensino e seu objetivo.
Referências
BELINI, M. M. A razão áurea e sequência de Fibonacci. 2015. 67 f.
Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional).
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Universidade de
São Paulo. São Carlos: SP.
BOYER, C. B. História da matemática. 3ª ed. São Paulo: Blucher, 2010.
LIVIO, M. Razão Áurea: a história de Fi, um número surpreendente.
Tradução de Marco Shinobu Matsumura. Rio de Janeiro: Record. 2006.
MENDES I. A.; CHAQUIAM, M. História nas aulas de matemática:
fundamentos e sugestões didáticas para professores. Belém: SBHMat,
2016.
17 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
MIGUEL A.; MIORIM M. A. História na Educação Matemática:
Propostas e Desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
SWETZ, F. J. Learning Activities from the History of Mathematics.
Portland: J. Weston Walch Publisher, 1994.
18 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
••• Artigo 2 •••
A RECONSTRUÇÃO DOS CÍRCULOS DE PROPORÇÃO NO GEOGEBRA COMO UMA ATIVIDADE PARA A
MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS
Verusca Batista Alves
(Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE)
Ana Carolina Costa Pereira
(Universidade Estadual do Ceará – UECE)
Associar a história com o ensino de matemática, é tema de recentes
investigações que promovem essa interface por meio do estudo de
instrumentos histórico. Dentre os instrumentos, pode-se citar os círculos
de proporção de William Oughtred (1574-1660), que era utilizado para
realizar cálculos algébricos e aritméticos. Objetiva-se apresentar uma
reconstrução de duas graduações dos círculos de proporção, através do
software GeoGebra, para auxiliar o professor de matemática que deseje
elaborar uma atividade partindo de uma articulação entra a história e o
ensino de matemática. Para isso, inicialmente é feita uma breve
explanação histórica sobre o instrumento estudado, apontando outras
fontes de leitura ao professor que busque aprofundar no tema. Em seguida,
relata-se a lista de procedimentos realizados no software para essa
reconstrução. Percebe-se que, por meio dessa reconstrução, há a
possibilidade de associar diversos conhecimentos matemáticos tais como,
noções de geometria, proporção, logaritmos, dentre outros. Com isso,
espera-se que o texto possa auxiliar na construção de ações do professor
de matemática, que queira articular a história com o ensino de matemática.
Introdução
A um tempo, tem-se estudado como inserir nas salas de aula os
recursos que a história da matemática fornece. Uma das possibilidades
investigadas é a articulação com o ensino de matemática através dos
instrumentos matemáticos históricos, que incorporam em si,
conhecimentos que podem ser explorados através do manuseio e da
reconstrução desses objetos (DIAS; SAITO, 2013; CASTILLO; SAITO,
2016).
Um dos instrumentos que se investiga para este fim são os círculos
de proporção de William Oughtred (1574-1660) que mobilizam
conhecimentos matemáticos, como por exemplo, os Logaritmos. Com
isso, o professor pode além de tratar do conteúdo de Logaritmos, articular
a história da matemática, contextualizando sobre o século XVII que
corresponde ao instrumento e ao conteúdo, fazendo uma análise histórica
e social da época (ALVES; PEREIRA, 2018a).
Desse modo, propõe-se apresentar aqui a reconstrução de duas
graduações do instrumento círculos de proporção, no GeoGebra, para
servir de base para uma atividade que o professor de matemática deseje
aplicar em sala de aula, envolvendo uma conexão entre a história e o
ensino e assim promover uma aula diferenciada.
Conhecendo o Instrumento
Os séculos XVI e XVII foram palco de diversas mudanças no
cenário social, político e econômico. Também, foi nesse momento que se
iniciaram as discussões a respeito do que conhecemos hoje como ciências.
Um dos itens que teve destaque nesse desenvolvimento, em especial da
matemática, foram os instrumentos matemáticos, principalmente em
Londres, que era confeccionados e publicados em tratados e atendiam a
um público específico.
Em 1632, no tratado The circles of proportion and the Horizontal
Instrvment (Os círculos de proporção e o instrumento horizontal),
20 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
publicado em nome de William Oughtred (1574-1660)5, é apresentado um
instrumento chamado de círculos de proporção (Figura 1).
Figura 1 – Círculos de Proporção.
Fonte: Adaptado de Oughtred (1633, s/p) e do Museum of the
History of Science, University of Cambridge (2018).
Oughtred (1633) descreve o instrumento como tendo oito círculos
graduados da seguinte forma: quatro para tangentes que variam de 35’ até
aproximadamente 89° 25’; dois para senos que variam de 35’ até 90°; um
para os valores desiguais, que correspondem aos logaritmandos e um para
os números iguais, que correspondem aos logaritmos.
O autor da obra ainda descreve que há um par de compassos que
são utilizados para o manuseio do instrumento, que devem ser chamados
de “braço antecedente” e “braço consequente” e que são posicionados de
acordo com o uso.
A Reconstrução dos Círculos de Proporção
A reconstrução dos círculos de proporção, perpassa por
conhecimentos matemáticos que vão desde conceitos geométricos, até o
cálculo de alguns valores algébricos. Desse modo, o processo é rico e pode
ser desenvolvido com os alunos, com a finalidade que o professor de
matemática desejar. Por isso, é importante deixar claro que a
reconstrução6 apresentada aqui, fornece uma base de conhecimentos para
5 Para uma descrição mais detalhada da obra e do autor vide Alves e Pereira (2018a,
2018b). 6 A reconstrução na nossa visão está constituída na proposta de Saito (2014) no qual
entende-se que não há como reproduzir as mesmas condições materiais e técnicas
mobilizadas na construção de um instrumento de outra época. Desse modo, essa
21 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
o professor de matemática explorar ao seu modo, de acordo com o seu
planejamento, não sendo portanto, uma “receita” a ser seguida.
Processo de reconstrução do primeiro círculo
Para esta reconstrução, é necessário um computador com o
GeoGebra instalado e sugere-se as seguintes etapas:
1) Utilizando o GeoGebra, na função “círculos dado raio e centro” trace
um círculo cujo centro seja (0,0) e que tenha raio igual a 1. Destaca-
se que esses valores são apenas sugestões, e que, de acordo com o
planejamento do professor, eles podem variar;
2) O passo seguinte é graduar o círculo, marcando pontos que
correspondem aos valores de 0 até 9. Esse círculo, é o que contém os
logaritmos e que o autor chama de números iguais. Essa nomenclatura
tem uma razão de ser, e equivale dizer que, a cada dois
3) pontos adjacentes marcados, eles devem ter a mesma distância. Assim,
dada a circunferência toda, 360°, e 10 pontos (0 à 9) a serem marcados,
temos que:
𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐴 à 𝐵 = 𝛼 =360°
10
𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐵 à 𝐶 = 𝛼 =360°
10
...
𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐼 à 𝐽 = 𝛼 =360°
10
Para marcá-los no Geogebra, utilizando a função “ângulo com amplitude
fixa”, selecione no eixo vertical, um ponto qualquer 𝐴 = (0, 𝑦), depois
selecione o centro (0,0) da circunferência e defina que o ângulo é 36° no
sentido horário e assim será marcado o ponto B. Até agora, a construção
deve corresponder ao que mostra a figura 2.
reconstrução não reproduz o real processo daquele período, mas sim, uma interpretação
baseada na investigação histórica, recuperada de documentos (SAITO, 2014).
22 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
Figura 2 – Distância entre os pontos A e B.
Fonte: Elaborado pelas autoras (2019)
Repita o processo, novamente selecionando o ponto A = (0, y) depois
selecione o centro (0,0) da circunferência e defina que o ângulo é 72° no
sentido horário e assim será marcado o ponto C. Continue tomando a
distância de A até os demais pontos utilizando: 108° (ponto 3), 144°
(ponto 4), 180° (ponto 5), 216° (ponto 6), 252° (ponto 7), 288° (ponto 8)
e 324° (ponto 9).
Para marcar o ponto na circunferência, trace uma reta passando pelo
centro (0,0) e pelo ponto A e outra que passe pelo centro (0,0) e pelo ponto
B (figura 3). Ao fazer isso, a primeira reta definirá o ponto 0 e a segunda
o ponto 1.
23 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
Figura 3 – Marcação de 0 e 1 no círculo interno.
Fonte: elaborado pelas autoras (2019)
Para marcar os demais pontos (2, 3, 4, ..., 9), basta traçar em cada,
uma reta que passe pelo centro e por cada um dos pontos.
Processo de reconstrução do segundo círculo
Depois de feita toda a graduação do primeiro círculo, segundo
deve ser traçado de modo que o centro seja o ponto (0,0) e o raio igual a
1,5. Desse modo, haverá dois círculos de mesmo centro e raios diferentes.
Para demarcar os valores nesse segundo círculo, segue-se o mesmo
procedimento feito no primeiro, no entanto, para definir a distância
angular entre os pontos, é preciso calculá-los através da seguinte equação
β𝑎 = log10 𝑎 . 360°
onde β é o ângulo e 𝑎 é o valor que varia de 1 até 10.
Ao calcular todos os pontos, os valores correspondem ao que
mostra o Quadro 1.
24 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
Quadro 1 – Distâncias em ângulos no círculo externo.
𝑎 log10 𝑎 . 360°
1 β1 = log10 1 . 360° = 0°
2 β2 = log10 2 . 360° ≈ 108,3708°
3 β3 = log10 3 . 360° ≈ 171,7637°
4 β4 = log10 4 . 360° ≈ 216,7416°
5 β5 = log10 5 . 360° ≈ 251,6289°
6 β6 = log10 6 . 360° ≈ 280,1345°
7 β7 = log10 7 . 360° ≈ 304,2352°
8 β8 = log10 8 . 360° ≈ 325,1125°
9 β9 = log10 9 . 360° ≈ 343,5273°
10 β10 = log10 10 . 360° = 360°
Fonte: Elaborado pelas autoras (2019)
Desse modo, a distância do ponto 1 até o 2 tem 108,3708°, do ponto 1 até
o 3 tem 171,7637° e assim por diante. Ao final, a reconstrução deve estar
semelhante ao que mostra a figura 5.
Figura 5 – Reconstrução finalizada no GeoGebra.
Fonte: Elaborada pelas autoras (2019)
25 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
Note que a figura 5 apresenta também, subdivisões no círculo
interno e no externo. Isso mostra que a graduação pode ser ampliada de
acordo com as necessidades de mediação com o instrumento. A partir
dessa reconstrução, o professor poderá trabalhar com seus alunos, em um
laboratório de informática, buscando explorar os processos matemáticos
adotados em cada etapa dessa reconstrução. Além disso, outra opção de
ação do professor, é levar o material impresso e sugerir aos alunos o
manuseio do instrumento mobilizando conhecimentos matemáticos
(ALVES; PEREIRA, 2018a).
Assim, em anexo a este artigo, há uma versão ampliada da mesma
reconstrução aqui descrita, que servirá ao professor que deseja somente
imprimir e trabalhar com a manipulação do instrumento. Para isso, ele
ainda terá de produzir dois ponteiros, de tamanhos iguais e fixa-los ao
centro (0,0) da circunferência, de modo que eles possam ser girados. Caso
o professor opte pela impressão e a confecção física do instrumento, ele
deverá estar semelhante à figura 6, que mostra uma outra reconstrução das
oito graduações dos círculos de proporção em curso para formação de
professores.
Figura 6 – Círculos de proporção com as oito graduações.
Fonte: Acervo das autoras (2019)
26 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
Ainda sobre a manipulação, o professor poderá consultar Alves e
Pereira (2018a), para conhecer como manusear o instrumento e como
fazer outra confecção, utilizando-se de compasso, transferidor, lápis e/ou
caneta, papel couchê, folha acetato transparente, tacha, fita adesiva
(opcional), para outros tipos de atividade com materiais manipuláveis.
Considerações Finais
O artigo apresenta a reconstrução de somente duas das oito
graduações do instrumento círculos de proporção, no entanto, percebe-se
as vastas possibilidades quanto aos conteúdos que podem ser mobilizados
em aplicações que envolvam esse tipo de estudo.
Pode-se citar dentre alguns conhecimentos matemáticos
apresentados nessa reconstrução, noções de geometria como ponto e reta,
o estudo das proporções e dos logaritmos, a noção da distância entre dois
pontos em uma circunferência, distância angular e o próprio cálculo
algébrico.
Além disso, percebe-se também que essa reconstrução pode ser
realizada também de outras formas, como por exemplo, utilizando
materiais que possam ser manipuláveis para uma construção palpável, que
também irá requisitar outros tipos de conhecimentos a serem mobilizados
para essa construção, tais como o uso de instrumentos de medida, como a
régua e o transferidor.
Referências
ALVES, Verusca Batista; PEREIRA, Ana Carolina Costa. A matemática
por trás da construção física e graduação da régua de cálculo circular.
Caminhos da educação matemática em revista, v .8, n. 2, 2018a.
ALVES, Verusca Batista; PEREIRA, Ana Carolina Costa. O instrumento
“círculos de proporção” exposto na obra de William Oughtred (1633): um
elemento na interface entre história e ensino de matemática. Rev. Prod.
Disc. Educ.Matem., São Paulo, v.7, n.2, pp. 89-108, 2018b.
DIAS, Marisa da Silva; SAITO, Fumikazu. Interface entre história e
ensino de matemática: aspectos teóricos e metodológicos. In:
CONGRESSO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN
27 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
MATEMÁTICA, 7., 2013, Montevideo. Actas del VII CIBEM.
Montevideo: La Sociedad de Educación Matemática Uruguaya, 2013. p.
7502 – 7509.
CASTILLO, Ana Rebeca Miranda; SAITO, Fumikazu. Algumas
considerações sobre o uso do báculo (baculum) na elaboração de
atividades que articulam história e ensino de matemática. In: SALAZAR,
Jesús Flores; GUERRA, Francisco Ugarte. Investigaciones en educación
matemática. Lima: Fondo Editorial Pucp, 2016. p. 237-251.
OUGHTRED, William. The Circles of Proportion and the Horizontal
Instrument (1633). Londres: William Forster, 1633. Tradução de
William Forster, reimpresso por EBBO Editions, 2010.
SAITO, Fumikazu. Instrumentos matemáticos dos séculos XVI e XVII na
articulação entre história, ensino e aprendizagem de matemática.
Rematec, v. 9, n. 16, mai.- ago., 2014, p. 25-47.
28 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
••• Artigo 3 •••
RESENHA DO FILME
O FÍSICO
Kaline França Correia Andrade
(Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do
Norte – IFRN)
Ano: 2013
Tempo: 150 minutos
Direção: Philipp Stölzl
Gêneros: aventura, drama, histórico
Baseado no livro homônimo de Noah Gordan
Trazemos aqui uma resenha sobre o filme O físico baseado no livro
homônimo de Noah Gordon, com direção de Philipp Stölzl. Este filme nos
conta sobre a vida na idade média europeia e sobre as doenças e sobre os
tratamentos médicos aos quais se recorria naquele contexto histórico e
cultural. O filme também nos fornece um vislumbre da grande diferença
entre o nível dos conhecimentos médicos na Europa e no mundo islâmico
de então.
A princípio nos pareceu estranho o título O físico para o filme,
porém, mais tarde ficamos sabendo que o termo mais correto para nomear
o profissional que cuidava da saúde física das pessoas naquela época era
“físico” e não “médico”.
O filme é ambientado na Inglaterra do século XI, nos arredores de
Londres, época em que o conhecimento de cura usado no império romano
tinha sido em grande parte esquecido e o que restava eram métodos
rudimentares misturados com crendices, superstições e tabus que
dificultavam o avanço do conhecimento sobre o corpo humano. Os
dogmas da igreja católica comandavam a vida das pessoas que aceitavam
o seu destino como completamente orientado pela vontade divina e os
infortúnios eram vistos como fruto do pecado e da ação diabólica.
Não havia médicos ou hospitais e os poucos que faziam algum tipo
de “cura” eram os chamados de barbeiros-cirurgiões que não eram bem
vistos, suas práticas eram consideradas muitas vezes heréticas e sempre
corriam o risco de serem condenados à fogueira da inquisição.
Neste cenário, Rob Cole, uma criança muito pobre que foi separara
do seu irmão e irmã após a morte da sua mãe, em decorrência da “doença
do lado”, passa a acompanhar um barbeiro-cirurgião que havia passado
por seu lugarejo. O tempo passa, ele se torna barbeiro-cirurgão e fica cada
vez mais curioso em saber o que se passa dentro do corpo humano. Até
que um dia ele ouve falar de Ibn Sina, um sábio que vive em Isfahan na
Pérsia, capaz de curar catarata, tuberculose e febre tifoide, que tem um
enorme palácio onde cuida dos doentes onde lá ficam até melhorar e outro
palácio onde ensina o que sabe, a madraça.
Assim, ele parte rumo a Pérsia disposto a vencer todos os
empecilhos chegando a se circuncidar para passar por judeu, visto que
cristãos não eram tolerados no oriente. Rob começa a ter aulas com o reitor
Ibn Sina na madraça, enfrenta um surto de peste negra em Isfahan e cuida
dos doentes junto com alguns dos demais alunos. Também se torna o
melhor amigo do Shah Ala ad-Daula.
No entanto, sua curiosidade em saber como é dentro do corpo
humano só aumenta e ele decide abrir o corpo de um zoroastrista. Os
zoroastristas acreditam na imortalidade da alma, crença que os leva a ver
a manipulação de cadáveres de modo distinto dos judeus, cristãos e
mulçumanos da época.
O roteiro do filme não para por aí. Conta ainda com um surto de
peste negra, um levante de muçulmanos radicais aliados aos turcos
seljúcidas contra a madraça e os estudiosos que nela vivem, e assim por
diante.
Para quem está interessado na História as referências são muitas.
O filme tem desfecho surpreendente, elementos históricos e culturais da
ciência oriental, por isso o recomendamos. Ele está disponível no Youtube
e na Netflix.
31 Revista de História da Matemática para Professores, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019
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34 RHMP, Natal (RN), v. 5, n. 1, Out. 2019