Universidad Fermín Toro

Factultad de Ciencias Económicas y Sociales

Análisis de Problemas y Toma de Decisiones

Autor: Leonardo Linarez

10 De Febrero Del Año 2013

El Metodo Simplex

El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un

algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va

aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal en caso de existir

esta última.

La primera implementación computacional del Método Simplex es el ano 1952

para un problema de 71 variables y 48 ecuaciones. Su resolución tarda 18

horas. Luego, en 1956, un código llamado RSLP1, implementado en un IBM con

4Kb en RAM, admite la resolución de modelos con 255 restricciones.

El Método Simplex hace uso

de la propiedad de que la

solución óptima de un

problema de Programación

Lineal se encuentra en un

vértice o frontera del

dominio de puntos factibles

(esto último en casos muy

especiales), por lo cual, la

búsqueda secuencial del

algoritmo se basa en la

evaluación progresiva de

estos vértices hasta

encontrar el óptimo.

FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Consideremos un modelo de Programación Lineal en su forma estandar, que

denotaremos en lo que sigue por:

Min c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

sa a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

... ... ...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

xi >= 0, i = 1, 2, ..., n y m <= n

Matricialmente escrito como:

Min cTx

s.a Ax = b

x >= 0

Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para

determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo)

escogida de un gran número de decisiones posibles.

En todos los problemas de Programación Lineal, el objetivo es la maximación o

minimización de alguna cantidad.

2. Desarrollo

Construcción de los Modelos de Programación Lineal

De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para

construir un modelo de Programación Lineal.

Requerimiento 1. Función objetivo. (F.O).

Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimización desea alcanzar.

Requerimiento 2. Restricciones y decisiones.

Debe haber cursos o alternativas de acción o decisiones, uno de los cuáles

permite alcanzar el objetivo.

Requerimiento 3. La F.O y las restricciones son lineales.

Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.

Modelo standard de Programación Lineal

Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +….+ Cn Xn). Función objetivo.

Sujeta a a11X1+ a11X2 +…..+ a1nXn) £ b1

a21X1+ a21X2 +…..+ a2nXn) £ b1

Restricciones

am1X1+ am1X2 +…..+ amnXn) £ bm

Debiendo ser

X1 ³ 0, X2 ³ 0, ….. Xn ³ 0

Donde :

Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n.

n : número de variables.

m : número de restricciones.

aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.

Pasos para la construcción del modelo:

1. Definir las variables de decisión.

2. Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.

3. Definir las restricciones.

4. Restringir todas las variables para que sean no negativas.

Lógica Bayesiana

La inferencia bayesiana es un tipo de inferencia estadística en la que las

evidencias u observaciones se emplean para actualizar o inferir la probabilidad

de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre «bayesiana» proviene de uso

frecuente que se hace del teorema de Bayes durante el proceso de inferencia.

El teorema de Bayes se ha derivado del trabajo realizado por el reverendo

Thomas Bayes. Hoy en día, uno de los campos de aplicación es en la teoría de la

decisión, visión artificial (simulación de la percepción en general) y

reconocimiento de patrones por ordenador.

La incertidumbre y la imprecisión son connaturales en el proceso de

razonamiento. La lógica establece unas reglas de inferencia a partir de las

cuales se construye el sistema de razonamiento deductivo, en el que una

proposición determinada es considerada como cierta o falsa, sin que se admitan

grados entre estos dos extremos. Los métodos de razonamiento aproximado,

entre los que se encuentran los métodos bayesianos, aportan modelos teóricos

que simulan la capacidad de razonamiento en condiciones de incertidumbre,

cuando no se conoce con absoluta certeza la verdad o falsedad de un enunciado

o hipótesis, e imprecisión, enunciados en los que se admite un rango de

variación.

Entre los métodos de razonamiento aproximado se encuentran los métodos

bayesianos, basados en el conocido teorema de Bayes. Todos ellos tienen en

común la asignación de una probabilidad como medida de credibilidad de las

hipótesis. En este contexto, la inferencia se entiende como un proceso de

actualización de las medidas de credibilidad al conocerse nuevas evidencias.

Matemáticamente se trata de obtener las probabilidades de las hipótesis

condicionadas a las evidencias que se conocen. La actualización de las

probabilidades condicionadas hipótesis a las evidencias se fundamenta en la

aplicación del Teorema de Bayes. La diferencia entre los distintos métodos

bayesianos, modelos causales y redes bayesianas, estriba en las hipótesis de

independencia condicional entre hipótesis y evidencias. Dichas relaciones se

expresan comúnmente mediante un grafo acíclico dirigido.

Teoria De Juegos

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos

para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los

llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores

estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y

observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente

distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por

lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el

comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en

muchos campos, como en la biología, sociología, psicología y filosofía.

Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir

de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la

Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en

particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los

setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el

desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos como el

dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los

jugadores, la teoría de juegos ha atraído también la atención de los

investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética.

Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría de

juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras

palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los

beneficios de cada opción no están fijados de antemano, sino que dependen de

las elecciones de otros individuos. Un ejemplo muy conocido de la aplicación de

la teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el

matemático Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para

comprender la naturaleza de la cooperación humana. La teoría psicológica de

juegos, que se arraiga en la escuela psicoanalítica del análisis transaccional, es

enteramente distinta.

Los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática, en

particular las probabilidades, las estadísticas y la programación lineal, en

conjunto con la teoría de juegos. Además de su interés académico, la teoría de

juegos ha recibido la atención de la cultura popular. La vida del matemático

teórico John Forbes Nash, desarrollador del Equilibrio de Nash y que recibió

un premio Nobel, fue el tema de la biografía escrita por Sylvia Nasar, Una

mente maravillosa (1998), y de la película del mismo nombre (2001). Varios

programas de televisión han explorado situaciones de teoría de juegos, como el

concurso de la televisión de Cataluña (TV3) Sis a traïció (Seis a traición), el

programa de la televisión estadounidense Friend or foe? (¿Amigo o enemigo?)

y, hasta cierto punto, el concurso Supervivientes.

Método De Transporte Y Localización

Esta técnica es una aplicación de la programación lineal. Para este tipo de

problemas se considera que existe una red de fábricas, almacenes o cualquier

otro tipo de puntos, orígenes o destinos de unos flujos de bienes. La

localización de nuevos puntos en la red afectará a toda ella, provocando

reasignaciones y reajustes dentro del sistema. El método de transporte

permite encontrar la mejor distribución de los flujos mencionados basándose,

normalmente en la optimización de los costes de transporte (o,

alternativamente, del tiempo, la distancia, el beneficio, etc.) En los problemas

de localización, este método puede utilizarse para analizar la mejor ubicación

de un nuevo centro, de varios a la vez y en general para cualquier

reconfiguración de la red. En cualquier caso, debe ser aplicado a cada una de

las alternativas a considerar para determinar la asignación de flujos óptima.

Para utilizar el método de transporte hay que considerar los siguientes pasos:

1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno.

2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno.

3. El

costo de

embarque

por una

unidad

desde cada

origen

hacia cada

destino.

Técnica De MonteCarlo

El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico

numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas

de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de

Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al

ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el

desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente

de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación,

proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la

Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU.

Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de

hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión.

Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la

actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la

generación de imágenes 3D.

En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw

Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin

embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo

de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico

Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores

característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a

nivel nuclear usando este método.

El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran

variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de

experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora.

El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o

determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en

evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una

solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error absoluto de la

estimación que decrece como en virtud del teorema del límite central.