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REACTIVOS DE EXMENES EXTRAORDINARIOS

SEMESTRE 2008-2. 1) Resuelva el problema de valor inicial

( )cosd y x y x senxdx y x= 2

21 ; ( )y =0 2

2008-2_3E_A1

2) Obtenga la solucin general de la ecuacin diferencial

tan secdr rd

+ = 0 2008-2_3E_A2

3) Determine la solucin de la ecuacin diferencial

( )D xD y x xsenx = +1 2008-2_3E_A3

4) Sean las funciones ( )y x x=1 , ( ) lny x x x=2 , y ( ) ( )lny x x x= 3 1

soluciones de la ecuacin diferencial homognea ' ' 'x y x y y + =2 0 . Obtenga:

a) Un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin diferencial dada.

b) La solucin general de la ecuacin diferencial '' ' lnx y x y y x x + =2 4

2008-2_3E_A4

5) Sea f la funcin cuya grfica se muestra a continuacin

a) Exprese f en trminos de las funciones generalizadas rampa y escaln unitarios. b) Obtenga la transformada de Laplace de f .

2008-2_3E_A5

6) Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales

''

x y tx y y t

= + + =

2 44 2 4 2 ; ( )x =0 4 ; ( )y = 0 5

2008-2_3E_A6

7) Obtenga una solucin completa de la ecuacin diferencial en derivadas parciales

u u ux y

= 0 para una constante de separacin negativa.

2008-2_3E_A7

SOLUCIONES A LOS REACTIVOS DEL SEMESTRE 2008-2:

1) ( ) cos, x y y xf x y C= + =2 2 2 22 2 2

2) cosGr C sen= +

3) Gy C C x x senx= + + 21 2 12

4) a) { }, lnx x x b) ( )ln lnGy C x C x x x x= + + 31 2 23

5) ( ) s s s s s s sF s e e e e e e es s s ss s s s = + + 2 3 3 4 52 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3

6) ( ) t ty t e e t= 2 46 2

7) ( )k x k yu C e C e = 2 211 2

SEMESTRE 2008-1. 1) Resuelva la ecuacin diferencial

( ) ( )+ + + =y x y dx x y dy2 1 0 2008-1_1E_A1


( )D D D + =y senx3 2 1 4 2008-1_1E_A2

3) Determine la solucin general de la ecuacin diferencial ( )D D tan =x x y x ang x21 2008-1_1E_A3

4) Determine la solucin del sistema ' cos'= += +

x y ty x sent que satisface las condiciones

iniciales x (0) = 1, y (0) = 2.

2008-1_1E_A4

5) Resuelva el problema de valor inicial

( ) ( ) ( )' ' ' ; , ' = + = =ty y y t e y y2 3 1 0 0 0 3 2008-1_1E_A5

6) Sea ( ) =f x x x en el intervalo[ ],0 . Obtenga la serie de senos de Fourier de f . 2008-1_1E_A6

7) Obtenga la ecuacin diferencial en derivadas parciales cuya solucin general es la

funcin ( ) ( ) ( ), = +u x y y f x x g y 2008-1_1E_A7

8) Verifique que x y C =2 24 , donde C es una constante arbitraria,

proporciona una familia uniparamtrica de soluciones implcitas de la ecuacin

diferencial dyy xdx

=4 0 y grafique las curvas solucin para C = 0 , C = 1 y C = 1 .

2008-1_3E_A1

9) Obtenga una funcin ( ),M x y de modo que la siguiente ecuacin diferencial sea

exacta. ( ), x yM x y dx x e x y dyx + + + =

12 0

2008-1_3E_A2

10) Sea la ecuacin diferencial ( )' ' 'y y y g x+ + =2 4 , y sea la funcin

( )y x sen x= 2 una solucin particular de dicha ecuacin.Determine a) La funcin ( )g x . b) La solucin general de la ecuacin diferencial dada.

2008-1_3E_A3

11) Obtenga la solucin general de la ecuacin diferencial ' ' ' xy y y x e + = 12 ,

x > 0 . 2008-1_3E_A4

12) Determine la solucin general del sistema de ecuaciones diferenciales 'x y t= + 'y x t= 2008-1_3E_A5

13) Mediante la transformada de Laplace obtenga la solucin de la ecuacin diferencial

( )' ' cosy y t u t+ = 4 2 sujeta a las condiciones iniciales ( )y =0 0 , ( )'y =0 1. 2008-1_3E_A6

14) Obtenga el desarrollo en serie de cosenos de Fourier de la funcin ( ) ,f x x x= <

SOLUCIONES A LOS REACTIVOS DEL SEMESTRE 2008-1: 8) ( Continuacin) Para las curvas solucin: C = 0 y x= 2

C = 1 x y =2 2

11 14

C = 1 y x =2 2

1114

C = 1 y 2 C = 0 C = 1 1 x -1 1 -1 - 2

9) ( ) ( ), xy yM x y ye y h xx

= + +2 2

10) cosx xGy C e x C e sen x sen x = + +1 23 3 2

11) ( )x x xGy C e C xe xe Lnx= + + +1 2 1


12) ( )( )

cos

cos

y t C t C sent t

x t C sent C t

= + + = + +

1 2

1 2

1

1

13) ( ) ( ) ( ) ( )cos cosy t t t u t sen t = + 1 1 1 12 2 23 2 3 2

14) ( ) ( ) cosnn

n xf xn

= = + 2 21

41 1 12

SEMESTRE 2007-2.

1) Determine la solucin de la ecuacin diferencial ( ) ( )cos cosx y yseny dy xseny y y dx + + = 0

2007-2_1E_A1

2) Obtenga la solucin de la ecuacin diferencial

( ) ( )D D cosx x y x senx x x = + 2 2 2 2 2007-2_1E_A2

3) Mediante el mtodo de variacin de parmetros, determine la solucin de la ecuacin

diferencial '' 'x

y y y e x + = 228 8 2 2 1 2007-2_1E_A3

4) Obtenga la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales ' '

' '

t

t

x y y e

x y y e

+ =+ =

2

2

62 5 2

2007-2_1E_A4

5) Utilice la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial ( ) ( ) ( ) ( )' ' ; , 'x x r t u t x x+ = = =4 2 4 2 0 0 0 0

2007-2_1E_A5

6) Determine una solucin completa de la ecuacin diferencial en derivadas parciales

u uy xx y

+ = 2 2 0

considerando una constante de separacin = 5 2007-2_1E_A6

7) Obtenga el desarrollo en serie seno de Fourier de la funcin

( ) ;f t t t t= <

13) Obtenga una solucin completa de la ecuacin diferencial en derivadas parciales + =

z zx zx y

considerando una constante de separacin igual a 1 2007-2_3E _A6

14) Obtenga el desarrollo en trminos de la serie de Fourier de la funcin

( ) = xf x e en el intervalo x1 1 2007-2_3E _A7


1) ( )cosxe xseny y y seny c+ =

2) xGy C C e x senx= + + 1 2

3) ( ) ( ) ( )xx xG xey C C x e x e x ang senx= + + + +23 22 2 2 21 2 1 1 112 8

4) ( )( )

t t

t t

y t C e e

x t e C e C

= += +

4 21

2 41 2

434

5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cosx t t t sen t u t = + + 1 11 2 2 2 2 2 24 8

6) ( ), x yu x y Ae +=3 3

15


7) ( ) ( )n

nf t senn t

n

+

=

+ = 1

3 31

1 14

8) ( )xx yLn e Ln y Lny

+ + =2 2

9) x x xGy C e C x e x e= + +2 2 3 21 2 16

10) ( )Gy C x C x x x Lnx x Lnx= + + + 22 2 2 21 2 12 11) ( ) ( ){ }x t x s t= =1L

12) ( ) t ty t t e e = + 1 1 13 3 3 13) ( ), yz x y Ax e= 1 2

14) ( ) ( ) ( ) [ ]cosnn

f x e e n xn

= = + + 2 21

21 1 11

SEMESTRE 2006-2.


( )22 0x y y dx x dy + = 2006-2_3E _A1

2) Mediante coeficientes indeterminados resuelva la ecuacin diferencial 6''' 6 '' 2xy y e =

2006-2_3E _A2

3) Resuelva la ecuacin diferencial '' sec cscy y x x+ =

2006-2_3E _A3

4) Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales

2 5 tdx dyx edt dt

+ =

5 tdx dyx edt dt

+ = 2006-2_3E _A4

5) Utilice la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial

( )'' 6 ' 5 1ty y y e t+ + = ; ( )0 0y = , ( )' 0 4y = 2006-2_3E _A5


2 2 0u ut xx t

=

considerando una constante de separacin 3 = 2006-2_3E _A6

7) Obtenga el desarrollo en trminos de la serie de Fourier de la funcin

( ) 1f x x= + , 0 1x< < 2006-2_3E _A7


1) x x Cy + =2

2) 1 2 366 21 1

36 6Gxxy C C x C e xe x= + + + +

3) ( )( ) ( )( )1 2cos sec tan cos csc cotGy C x C senx Ln x x x Ln x x senx= + + + +

4)

( )( )

t t

t t

y t e C e C

x t C e e

= +

= +

41 2

41

35443

5) ( ) ( )5 1 5 3 14

t t t tey t e e e e u t = +

6) ( ), x tu x y Ae += 93 3 9

7) ( )n

f x sen n xn

== 13 1 1 22

SEMESTRE 2005-2.


( ) ( )4 2 7 2 2x y dy x y dx+ = + Sugerencia: Utilice la sustitucin z x y= +2 2005-2_3E _A1

2) Resuelva la ecuacin diferencial

t y t y y t2 5 3 2" '+ + = + si se sabe que { }t t 1 3, es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin diferencial t y t y y2 5 3 0" '+ + = .

2005-2_3E _A2

3) a) Verifique que las funciones ( )y x x1 2= y ( )y x x2 1= son soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencial x y y2 2 0" = b) Obtenga la solucin general de la ecuacin diferencial inciso anterior.

c) Obtenga la solucin que satisfaga las condiciones iniciales:

( )y 1 2= , ( )y' 1 7= . 2005-2_3E _A3 4) Sea la ecuacin diferencial

y y y e t" '+ + = 3 2 2 cuya solucin satisface las condiciones ( )y 0 1= , ( )y' 1 2=

a) Transforme la ecuacin diferencial en un sistema equivalente de primer orden.

b) Mediante la matriz exponencial obtenga ( )y' 0 2005-2_3E _A4

5) Utilice la transformada de Laplace para resolver el sistema

x x yy y x""+ =+ =

00 ;

( ) ( )( ) ( )

x xy y

0 0 0 20 0 0 1

= = = =

, ', '

2005-2_3E _A5


au

xu

tut

22

2

2

2 2

= +

para una constante de separacin positiva.

2005-2_3E _A6


1) ( )5 3 162 22 10 5

x x y Ln x y C = + + +

2) 1 21 3 1 2

8 3y C t C t t = + + +

3) a) Se verifica: Para 1

2y x= ( ) ( )2 22 2 0x x = 0 0=

Para 21y x=

( ) ( )2 3 12 2 0x x x = 0 0=

b) La solucin general es: 1 2

2 1Gy C x C x

= + c) La solucin particular es: 2 13y x x= +

4) a) El sistema equivalente de primer orden es : ( )w Aw b t= +' b) La solucin general ( )0y es: ( ) 2 1

1 22 3 502

e eye e

+ =

5) ( ) 1 3 22 2 2

x t t sen t=

( ) 1 3 22 2 2

y t t sen t= +

6) ( ) ( ) 2 2 2 21 11 2 3 41 1k a t k a tk x k xu x t C e C e C e C e + + = + + ,

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