Riassunti Elettrotecnica

ELETTROTECNICA

Modello (elemento circuitale): insieme di equazioni che descrivono un certo elemento fisico.

Dispositivo: oggetto su cui si possono effettuare delle misure.

Circuito: insieme di elementi circuitali connessi in qualche modo. Può essere:

• a parametri concentrati: le dimensioni d nel dispositivo sono molto minori della lunghezza d’onda λ associata alla

frequenza di funzionamento del dispositivo.

• a parametri distribuiti: le dimensioni sono maggiori della lunghezza d’onda.

Direzioni di riferimento (abbreviato per comodità con ddr)

Considerato un qualsiasi elemento concentrato a due morsetti A e B, ci si riferisce a tale elemento come ad un lato. La ddr per la

tensione è indicata dai simboli + (morsetto A) e - (morsetto B), mentre la ddr per la corrente è indicata dalla freccia (da A a B).

Fissata la ddr per la tensione, per convenzione la tensione di lato v è positiva all’istante t ogni volta che il pot. elettrico di

A all’istante t è maggiore del pot. elettrico di B, con entrambi i potenziali misurati rispetto allo stesso riferimento: �� . Fissata la ddr per la corrente, per convenzione la corrente di lato i è positiva all’istante t ogni volta

che un flusso di cariche positive entra nel lato al nodo A ed esce dal nodo B. È consuetudine scegliere ddr associate, ossia

per cui una corrente positiva entra nel lato dal morsetto + e lascia il lato dal morsetto -. Se sono usate tali direzioni di

riferimento, il prodotto di tensione e corrente di lato è pari alla potenza fornita al lato all’istante t: �� .

LEGGI DI KIRCHOFF: Legge delle correnti (LKC): ∑ �� 0; Legge delle tensioni (LKT): ∑ ∆�� 0;

Elementi circuitali

In genere: ��, ��, �� 0 → tempovarianti��, �� 0 → tempoinvarianti � �lineare → lineari�nonlineare → nonlineari

A. RESISTORE: ��, , �� 0

La resistenza R è la pendenza della caratteristica del resistore lineare tempo-invariante: &�'� � ()�'� (legge di Ohm).

Quindi: * � &�'�)�'� +,&-. � /012. Sfruttando la conduttanza G si ha: 3&�'� � )�'�, poiché 3 � 4( +,-&. � /015� � 62.

• Circuito aperto: � 0; da: * � ∞ (o 8 � 0); lineare, tempo-invariante

• Cortocircuito: � � 0; da: * � 0 (o 8 � ∞); lineare, tempo-invariante

• Interruttore: �� 9 � 9 �� 0�: 9 � 9 �;� � 0; lineare, tempo-variante

• Generatori indipendenti:

− Tensione; non lineare, tempo-invariante

− Corrente; non lineare, tempo-invariante

• Diodi:

− A giunzione pn: �� <= +>?@AB � 12; non lineare, tempo-invariante

− Tunnel; non lineare, tempo-invariante

B. CONDENSATORE: ��D, �, �� 0

La capacità C è la pendenza della caratteristica del condensatore lineare tempo-invariante: E�'� � F&�'�. Quindi: F � E�'�&�'� +,F&. � /G12. Sfruttando l’elastanza S si ha: HE�'� � &�'�, poiché H � 4F +,&F. � /G15�2.

D�� I�� → JK�L�JL � I JM�L�JL � �� → N O��LP � �Q N ��′�LP O�S → �� 0� � �Q N ��S�LP O�S → &�'� � &�T� U 4FN )�'S�'T V'S.

C. INDUTTORE: ��W, , �� 0

L’induttanza L è la pendenza della caratteristica dell’induttore lineare tempo-invariante: X�'� � Y)�'�. Quindi: Y � X�'�)�'� +,Z- . � /[12. Sfruttando l’inertanza Γ si ha: \X�'� � )�'�, poiché \ � 4Y +,-Z. � /[15�2.

W�� ]�� → J^�L�JL � ] J_�L�JL � �� → N O��LP � �̀N ��′�LP O�S → �� 0� � �̀N ��S�LP O�S → )�'� � )�T� U 4Y N &�'S�'T V'S.

Collegamenti fra elementi circuitali

In serie In parallelo

Resistori *aK � ∑ *_ _�� 8aK � ∑ 8_ _�� oppure 1 *aKb = 1 ∑ *_ _��b

Condensatori 6aK = ∑ 6_ _�� oppure 1 IaKb = 1 ∑ I_ _��b IaK = ∑ I_ _��

Induttori ]aK = ∑ ]_ _�� caK = ∑ c_ _�� oppure 1 ]aKb = 1 ∑ ]_ _��b

Porta / bipolo

Rete elettrica accessibile solo da una coppia di morsetti e di cui interessa solo il comportamento esterno. Proprietà fondamentali: - la corrente continua entrante che lo attraversa è necessariamente uguale a quella uscente (da conservazione della carica); - la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipendente dal cammino percorso (da conservazione dell’energia).

È descritto da un’equazione del tipo: ��, , �� = 0.

Circuiti del 1° ordine

Dinamici, lineari tempo-invarianti (cioè con tutti i loro elementi lineari tempo-invarianti o generatori indipendenti).

La sollecitazione di tali circuiti non deriva per forza da generatori indipendenti (sollecitazione di ingresso), ma può

anche derivare dallo stato iniziale del circuito (sollecitazione di stato). Sono descritti da equazioni algebriche.

RISPOSTA: Esempio:

1. Ad ingresso zero �def = �P>5 ghi (scarica condensatore: �Q�0� = �P ≠ 0)

2. A stato zero �d=f = *< +1 − >5 ghi2 (carica condensatore: �Q�0� = 0)

3. Completa (1. + 2.) �dQklmnaLo = �def + �d=f = ��P − *<�>5 ghi + *< (carica condensatore: �Q�0� = �P ≠ 0) transitorio regime

SOLUZIONE tramite:

− LKC, LKT � Topologia

− Equazioni di lato � Natura elementi

− Condizioni iniziali � Stato

Circuiti del 2° ordine

Dinamici, lineari tempo-invarianti (cioè con tutti i loro elementi lineari tempo-invarianti o generatori indipendenti).

La sollecitazione di tali circuiti non deriva per forza da generatori indipendenti (sollecitazione di ingresso), ma può anche

derivare dallo stato iniziale del circuito (sollecitazione di stato). Sono descritti da equazioni differenziali del 2° ordine.

RISPOSTA: SOLUZIONE tramite:

1. Ad ingresso zero - LKC, LKT � Topologia

2. A stato zero - Equazioni di lato � Natura elementi

3. Completa (1. + 2.) - Condizioni iniziali � Stato

Esempio ingresso zero: JpJLp `�� + �qQ JJL `�� + �̀Q `�� = 0 → JpJLp `�� + 2s JJL `�� + tP�`�� = 0 → u� + 2su + tP� = 0, dove si è sostituito: v = 4 w(Fb - fattore di smorzamento, xT = 4 √YFb - pulsazione di risonanza

RISPOSTA:

1. SOVRASMORZATA: s > tP → {u� = −s − |s� −tP�u� = −s + |s� − tP� radici reali, negative e distinte � )Y�'� = }4~�4' + }w~�w' 2. CON SMORZAMENTO CRITICO: s = tP → u� = u� = −s radici reali, negative e coincidenti � )Y�'� = }4~5v' + }w'~5v' 3. SOTTOSMORZATA: s < tP → �u� = −s − �tJu� = −s + �tJ, xVw = xTw − vw, radici complesse coniugate � )Y�'� = }~5v' ��xV' + �� 4. OSCILLATORIA PURA: s = 0 → * = ∞ → u�/� = ±�tP radici complesse coniugate � )Y�'� = }��xT' + ��

• Nel caso 4. scompare la resistenza, che è responsabile dello smorzamento nel caso 3. Nella realtà non si ha masi una risposta oscillatoria

pura, in quanto indipendentemente dalla presenza di resistori nel circuito, una resistenza è sempre presente nei vari dispositivi.

• λ1 e λ2 sono dette frequenze naturali del circuito [H]; se sono positive vi è un errore: devono essere sempre negative perché si considerano

dei circuiti stabili, in cui quindi la forma d’onda non cresce.

Doppi bipoli

Costituiscono una generalizzazione dei bipoli.

Sono descritti da un’equazione del tipo: ��, ��, �, �, �� 0

GENERATORI PILOTATI

1. Generatori di tensione

• pilotati in tensione (GTPT): � � � 0�� s��,��v � ��O��>��>��>��>

• pilotati in corrente (GTPC): � �� 0�� L��,��'� � �>��>��O��>��>��'��~�)�'~��

2. Generatori di corrente

• pilotati in tensione (GCPT): � � � 0� � �L��,��'� � ��O��O��>��>��'��V�''��

• pilotati in corrente (GCPC): �� 0� � ��,�� O��>��>��>��>

CIRCUITI IN ALTERNATA (a regime sinusoidale)

Sono circuiti lineari tempo-invarianti in forma d’onda sinusoidale: �� l cos�t� U W�� l cos�t� U �

TEOREMA PRINCIPALE DEL CALCOLO FASORIALE

Date funzioni isofrequenziali, qualsiasi loro combinazione lineare e qualsiasi loro derivazione restituisce un’altra funzione

isofrequenziale con quelle di partenza (isofrequenziale = con la stessa pulsazione ω).

Conduttori e induttori derivano le grandezze, i resistori NE effettuano combinazioni lineari, per cui qualsiasi formazione di tali

circuiti soddisfa il teorema del calcolo fasoriale.

Date le sinusoidi: �� l cos�t� U W�� l cos�t� U � , si definiscono FASORI i vettori: {�¡ � �l>�^ � �l ∠W< ̅ � l>�¤ � l ∠

�¡ � �l>_^

Dominio del tempo Dominio dei fasori

�� *>/�¡>�¥L1

LEMMI DEL CALCOLO FASORIALE

1. Lemma di additività e omogeneità

Date due funzioni complesse ��>��, si ha che: � *>/�� U ��1 � *>/��1 U *>/��1*>/s ∙ ��1 � s ∙ *>/��1∀s ∈ *

Per cui sintetizzando le due proprietà: (~/v ∙ �4 U � ∙ �w1 � v ∙ (~/�41 U � ∙ (~/�w1.

2. Lemma di commutatività dell’operatore parte reale e dell’operatore derivazione nel tempo

Data la funzione: �� © cos�t� U W� � *>/©̅>�¥L1, con ©̅ � ©>_^, si ha che: VV'-��x' U X� � (~/-ª«x~«x'1

Per cui le operazioni di derivazione nel dominio del tempo diventano delle operazioni di moltiplicazione nel dominio dei fasori.

3. Lemma di unicità

Date due funzioni: {�� © cos�t� U W� � *>/©̅>�¥L1¬�� cos�t� U � � *>/¡>�¥L1, vale: ®�'� � ¯�'� ↔ -ª � ±ª

Per cui se nel dominio dei fasori due fasori sono uguali, sono uguali anche le relative funzioni nel dominio del tempo.

Equazioni di lato a confronto

Eq. di lato - dominio del tempo Eq. di lato - dominio dei fasori Da cui: e:

Resistore �� = *�� ¡ = *< ̅ �l = * ∙ <l ∡� = ∡< Condensatore �� = I O��O� < ̅ = ��tI��¡ <l = �tI��l ∡� = ∡< − ³2

Induttore �� = ] O��O� �¡ = ��t]�< ̅ �l = �t]�<l ∡� = ∡< + ³2

Sfasamento: ∡� − ∡< ∡�́ = ∡� − ∡< Impedenza: �́ = �¡ < ̅b ∡¬́ = ∡< − ∡�

�́ = 1 ¬́b

Ammettenza: ¬́ = < ̅ �b

Resistore R Condensatore C Induttore L �́ R 1/jωC jωL ¯́ 1/R jωC 1/jωL

Impedenze in serie: �́aK = �́� +⋯+ �́ = �¡ < ̅b

Impedenze in parallelo: 1 �́aKb = 1 �́�b + ⋯+ 1 �́ b = < ̅ �¡b = ¬́aK

LEGGI DI KIRCHOFF PER I FASORI

Si passa semplicemente dal dominio del tempo al dominio dei fasori usando appunto i fasori <̅>�¡ :

Legge di Kirchoff delle correnti (LKC): ∑ <�̅�� = 0; Legge di Kirchoff delle tensioni (LKT): ∑ �¡�� = 0;

Potenza

Date: {�� = �l cos�t� + ∡�� = *>/�¡>�¥L1�� = l cos�t� + ∡<� = *>/<>̅�¥L1 , si hanno:

1. Potenza istantanea: �� = �� ∙ �� = ��l<l/cos�∡� − ∡<� + cos�2t� + ∡� + ∡<�1 2. Potenza media: ¶laJ_o = �· N ��·P O� = ��l<l cos�∡� − ∡<� 3. Potenza complessa: ¶dklmna��o = ��¡<∗̅ = ��l<l cos�∡� − ∡<� + � ��l<l sin�∡� − ∡<� = ¶ + �¹

4. Potenza attiva: ¶ = ��l<l cos�∡� − ∡<� = ¶laJ_o

5. Potenza reattiva: ¹ = ��l<l sin�∡� − ∡<� 6. Potenza apparente: º = ¶ommo�a La = »¶dklmna��o» = |¶� + ¹�

TEOREMA SUL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA

Poiché si abbia il massimo trasferimento di potenza dal generatore al carico deve valere: �́H = �́Y. (S = source = sorgente, L = load = carico.)

VALORE EFFICACE

Date: {�� = �l cos�t� + ∡�� = *>/�¡>�¥L1�� = l cos�t� + ∡<� = *>/<>̅�¥L1 , il valore efficace è dato da: ¼�a½½ = ��.l.�. = M¿√�<a½½ = <�.l.�. = e¿√�, da cui: {√2�a½½ = �l√2<a½½ = <l .

Sostituendo tali valori nelle varie espressioni delle potenza si ottengono queste in funzione dei valori efficienti di tensione e corrente.

PARTITORE DI TENSIONE: = ÀqÁÂ⋯ÂqÃ → �_ = *_ = ()(4Â⋯Â(� Ä = &)

PARTITORE DI CORRENTE: � = eÅÁÂ⋯ÂÅÃ → � = 8�� = 3«34Â⋯Â3� Æ = )«

RISONANZA REATTANZA

Si ha: �́�� = �́q + �́Q + �́` = * + 1 �tIb U �t] � * U �Çt] � 1 tIb È.

Sia ω0 t.c. +tP] � 1 tPIb 2 � 0 → tP�]I � 1 � 0 → xT � 4 √YFb (pulsazione di risonanza)

Quando il circuito funziona con questa pulsazione, si ha che: �́��tP� � *.

Risonanza: fenomeno per cui, ad una determinata pulsazione ω0 detta pulsazione di risonanza, si annulla la

reattanza del circuito (la parte immaginaria di �́), per cui la sua impedenza �́�� risulta pari alla sua resistenza R.

Poiché: �́ � �¡ < ̅b → �¡ � �́<,̅ e nel nostro caso, essendo �́ � *: �¡ � *<.̅ Quindi le due cadute di tensione su C e su L si bilanciano

(sono uguali ed opposte), per cui rimane solo la caduta di tensione su R: il circuito si comporta come resistivo anche se non lo è.

ANTIRISONANZA SUSCETTANZA

Si ha: ¬́�� ¬́q U ¬́Q U ¬́` � 1 *b U 1 �t]b U �tI � 1 *b U �ÇtI � 1 t]b È.

Sia ω0 t.c. +tPI � 1 tP]b 2 � 0 → tP�]I � 1 � 0 → xT � 4 √YFb (pulsazione di anti-risonanza)

Quando il circuito funziona con questa pulsazione, si ha che: ¬́��tP� � 1 *b .

Anti-risonanza: fenomeno per cui, ad una determinata pulsazione ω0 detta pulsazione di anti-risonanza, si annulla la suscettanza del

circuito (la parte immaginaria di ¬́), per cui la sua ammettenza ¬́�� risulta pari all’inverso della sua resistenza R.

Poiché: ¬́ � < ̅ �¡b → < ̅ � ¬́�¡ , e nel nostro caso, essendo ¬́ � 1 *b : �¡ � *<.̅ Quindi le due intensità di corrente su C e su L si

bilanciano (sono uguali ed opposte), per cui rimane solo l’intensità su R: il circuito si comporta come resistivo anche se non lo è.

Quindi: - mettere in risonanza un circuito significa cortocircuitarlo nella zona in cui sono presenti C ed L;

- mettere in anti-risonanza un circuito significa creare un circuito aperto nella zona in cui sono presenti C ed L.

CIRCUITI RESISTIVI

Sono descritti da equazioni algebriche. Ne fanno parte generatori indipendenti, generatori pilotati, trasformatori, resistenze.

Circuito resistivo semplice: costituito solo da bipoli. Si risolve con LKC, LKT, equazioni di lato, serie/parallelo.

Circuito resistivo complesso: costituito anche da altri elementi. Si risolve con:

1. TEOREMA DI SOVRAPPOSIZIONE:

Dato un circuito resistivo, lineare, tempo-invariante, con più ingressi (generatori di tensione/corrente) una qualunque variabile di

rete (tensione o corrente) si può ottenere come somma delle singole variabili quando i generatori agiscono uno per volta. Quindi:

risposta ad n ingressi simultanei = somma delle risposte quando ciascuno degli n ingressi agisce singolarmente (cioè tutti i generatori

di tensione vengono cortocircuitati e tutti i generatori di corrente vengono aperti).

2. TEOREMA DI THEVENIN/NORTON:

Si può usare con qualsiasi circuito, in generale non lineare e tempo-variante, a condizione che in tale circuito venga individuata una

coppia di morsetti AB da una parte dei quali vi siano solamente elementi lineari tempo-invarianti e dall’altra parte tutto il resto.

Inoltre, il circuito dev’essere ben definito (nessun tipo di accoppiamento elettromagnetico attraverso la porta AB) e deve

ammettere un’unica soluzione (per ogni valore del generatore di corrente – THEVENIN, o di tensione – NORTON). Se soddisfa tali

condizioni, la parte lineare tempo-invariante del circuito è equivalente ad un circuito in cui siano combinati in serie – THEVENIN un

generatore di tensione VTh (generatore di Thevenin) e una resistenza RTh (resistenza di Thevenin) o in parallelo – NORTON un

generatore di corrente IN (generatore di Norton) e una conduttanza GN (conduttanza di Norton). In particolare, la resistenza RTh è la

resistenza che si misura ai morsetti AB quando si aprono i generatori di corrente e si cortocircuitano i generatori di tensione (circuito

passivato), mentre la tensione VTh è quella che si misura ai morsetti AB a circuito aperto. Inoltre, la conduttanza GN è la conduttanza

che si misura ai morsetti AB quando si aprono i generatori di tensione e si cortocircuitano i generatori di corrente, mentre la

corrente IN è la corrente che si misura ai morsetti AB a cortocircuito. Valgono inoltre le seguenti relazioni: <É � �·Ê *·Êb ;�·Ê � <É 1 8Éb ;*·Ê � 1 8Éb

TEOREMA DI THEVENIN/NORTON PER CIRCUITI IN ALTERNATA

Valgono gli stessi risultati precedenti: si passa semplicemente dal dominio del tempo al dominio dei fasori,

usando appunto i fasori <̅>�¡ . Le relazioni diventano quindi: <É̅ � �¡·Ê �́·ÊË ;�¡·Ê � <É̅ 1 ¬́Éb ;�́·Ê � 1 ¬́Éb .

PUNTO DI CARICO

Nel caso di circuiti non lineari con una sola non-linearità, la soluzione si può trovare per via grafica intersecando la retta di carico

data da: (ÌÍ ∙ )Y U &Y � &ÌÍ con la caratteristica della non-linearità in questione. Tale intersezione è detta punto di carico.

FORZA ELETTRO MOTRICE (f.e.m.) e MAGNETO MOTRICE (f.m.m.)

Caso elettrico: �. >.�.� *<, con R resistenza [Ω] (misura l’opposizione di un materiale al transito di una corrente).

Caso magnetico: �.�.�.� *ÎW, con RH riduttanza [A/W] (misura l’opposizione di un materiale al transito di un flusso magnetico).

Induttori accoppiati

�W� � ]�� UÏ��W� � ]�� UÏ�� J JLbÐÑÒ Ó�� ]� O�O� U ÏO�O�� ]� O�O� UÏ O�O�

EQUAZIONI DEGLI INDUTTORI ACCOPPIATI

(con L1 ed L2 autoinduttanze [H], M=M12=M21 mutua induzione [H]).

M positivo M negativo

(rafforza il flusso) (indebolisce il flusso) ] � Ô]� ÏÏ ]�Õ Matrice delle induttanze accoppiate

Trasformatore

Insieme di induttori accoppiati in cui:

1. non si hanno flussi dispersi (tutte le linee di forza rimangono all’interno della struttura):

poiché su qualunque spira il flusso è lo stesso, vale: �W� � ��WW� � ��W → ^Á^p � lÁlp → MÁ�L�Mp�L� � lÁlp

2. si ha una permeabilità magnetica molto elevata (μ � ∞):

poiché la riduttanza RH vale: *Î � Ö ×6b , per μ � ∞, RH � 0. Inoltre vale: �� U �� *ÎW. Da ciò deriva

una relazione fra le tensioni di porta i1 e i2: � �b � �� b , con m1 ed m2 numero di spire degli avvolgimenti 1 e 2.

SISTEMI TRIFASE

Particolare sistema di produzione, distribuzione e utilizzazione dell'energia elettrica basato su tre tensioni elettriche alternate aventi

la stessa frequenza (isofrequenziali) e la stessa differenza di fase (vedere dispense).

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Riassunti Elettrotecnica