Richard M. Berry and Howard C. Berg- Torque Generated by the Bacterial Flagellar Motor Close to Stall

8/3/2019 Richard M. Berry and Howard C. Berg- Torque Generated by the Bacterial Flagellar Motor Close to Stall

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B i o p h y s i c a l J o u r n a l V o l u m e 7 1 D e c e m b e r 1 9 9 6 3 5 0 1 - 3 5 1 0

Torque G e n e r a t e d b y t h e B a c t e r i a l F l a g e l l a r Motor Close t o S t a l lR i c h a r d M . B e r r y a n d Howard C . B e r gR o w l a n d I n s t i t u t e f o r S c i e n c e , C a m b r i d g e , M a s s a c h u s e t t s 02142 USAABSTRACT I n e a r l i e r w o r k i n w h i c h e l e c t r o r o t a t i o n was u s e d t o a p p l y e x t e r n a l t o r q u e t o t e t h e r e d c e l l s o f t h e b a c t e r i u mE s c h e r i c h i a c o l i , i t was f o u n d t h a t t h e t o r q u e r e q u i r e d t o f o r c e f l a g e l l a r m o t o r s b ac k war d was c o n s i d e r a b l y l a r g e r t h a n t h et o r q u e r e q u i r e d t o s t o p t h e m . T h a t i s , t h e r e a p p e a r e d t o b e a s u b s t a n t i a l b a r r i e r t o backward r o t a t i o n . H e r e , we sh o w t h a t i nm o s t , p o s s i b l y a l l , c a s e s t h i s b a r r i e r i s a n a r t i f a c t d u e t o a n g u l a r v a r i a t i o n o f t h e t o r q u e a p p l i e d b y e l e c t r o r o t a t i o n , o f t h e m o t o rt o r q u e , or b o t h ; t h e m o t o r t o r q u e appears t o b e i n d e p e n d e n t o f s p e e d o r t o v a r y l i n e a r l y w i t h s p e e d u p t o s p e e d s o f t e n s o fH e r t z , i n e i t h e r d i r e c t i o n . H o w e v e r , m o t o r s o f t e n b r e a k c a t a s t r o p h i c a l l y when d r i v e n b a c k w a r d , s o backward r o t a t i o n i s n o te q u i v a l e n t t o f o r w a r d r o t a t i o n . A l s o , c e l l s c a n r o t a t e b a c k w a r d w h i l e s t a l l e d , e i t h e r i n r a n d o m l y t i m e d j u m p s o f 1 8 0 0 or v e r ys l o w l y a n d s m o o t h l y . When c e l l s r o t a t e s l o w l y a n d s m o o t h l y b a c k w a r d , t h e motor t a k e s s e v e r a l seconds t o recover a f t e re l e c t r o r o t a t i o n i s s t o p p e d , s u g g e s t i n g t h a t some f o r m o f r e v e r s i b l e damage h a s o c c u r r e d . These f i n d i n g s d o n o t a f f e c t t h ei n t e r p r e t a t i o n o f e l e c t r o r o t a t i o n e x p e r i m e n t s i n w h i c h m o t o r s a re d r i v e n r a p i d l y f o r w a r d .INTRODUCTIONT h e b a c t e r i a l f l a g e l l a r m o t o r i s a r o t a r y e n g i n e f o u n d i n t h ec e l l e n v e l o p e o f many s p e c i e s o f b a c t e r i a . I t i s p o w e r e d b ya n i n w a r d f l u x o f i o n s down a n e l e c t r o c h e m i c a l g r a d i e n t( r e v i e w e d b y M a c n a b , 1 9 9 6 ) . I n m o s t b a c t e r i a , e a c h m o t o rd r i v e s a h e l i c a l f i l a m e n t t h a t e x t e n d s o u t i n t o t h e e x t e r n a lm e d i u m . R o t a t i o n o f t h e s e f i l a m e n t s p r o v i d e s t h e p r o p u l -s i v e f o r c e t h a t e n a b l e s c e l l s t o s w i m . I n E s c h e r i c h i a c o l i ,s e v e r a l f i l a m e n t s c o m e t o g e t h e r t o f o r m a b u n d l e t h a t r o -t a t e s a t s p e e d s o f a f e w h u n d r e d H e r t z a n d d r i v e s t h e c e l lb o d y f o r w a r d a t s p e e d s o f a f e w t e n s o f m i c r o n s p e r s e c o n d( L o w e e t a l . , 1 9 8 7 ) . T h e c e l l b o d y c o u n t e r - r o t a t e s a t s e v e r a lH e r t z . A c e l l a l s o c a n b e t e t h e r e d t o a s u r f a c e b y a s i n g l ef i l a m e n t ( S i l v e r m a n a n d S i m o n , 1 9 7 4 ) , i n w h i c h c a s e i t sb o d y r o t a t e s a t s p e e d s u p t o a p p r o x i m a t e l y 2 0 H z .E a c h m o t o r c o n t a i n s a n u m b e r o f i n d e p e n d e n t t o r q u e -g e n e r a t i n g u n i t s b e l i e v e d t o c o m p r i s e t h e p r o t e i n s MotAa n d M o t B . T h e i n d u c e d e x p r e s s i o n o f w i l d - t y p e MotA o rMotB i n t e t h e r e d b u t n o n r o t a t i n g m o t m u t a n t s l e a d s t o t h er e c o v e r y o f t o r q u e i n a s e r i e s o f e q u a l l y s p a c e d s t e p s ( B l o c ka n d B e r g , 1 9 8 4 ; B l a i r a n d B e r g , 1 9 8 8 ) . C e r t a i n m o t m u t a n t sa l s o l a c k r i n g s o f p a r t i c l e s , o r s t u d s , t h a t a r e s e e n i n f r e e z e -f r a c t u r e e l e c t r o n m i c r o g r a p h s o f b a c t e r i a l c e l l e n v e l o p e ss u r r o u n d i n g d e p r e s s i o n s o f a s i z e s i m i l a r t o t h e r i n g st h o u g h t t o b e t h e r o t o r i n t h e f l a g e l l a r m o t o r ( C o u l t o n a n dM u r r a y , 1 9 7 8 ; K h a n e t a l . , 1 9 8 8 ) . E x p r e s s i o n o f w i l d - t y p eMot p r o t e i n s r e s t o r e s t h e s e p a r t i c l e r i n g s a s w e l l a s r o t a t i o n ,i d e n t i f y i n g t h e p a r t i c l e s w i t h t o r q u e - g e n e r a t i n g u n i t s .T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t o r q u e a n d s p e e d i s i m p o r t a n t i na s s e s s i n g m o d e l s o f ho w t h e m o t o r f u n c t i o n s . By c a l c u l a t -i n g t h e v i s c o u s d r a g c o e f f i c i e n t s o f t h e r o t a t i n g c e l l b o d y ,R e c e i v e d f o r p u b l i c a t i o n 1 1 J u l y 1 9 9 6 a n d i n f i n a l f o r m 1 7 S e p t e m b e r1 9 9 6 .A d d r e s s r e p n n t r e q u e s t s t o D r . H o r a r d C . B e r g , M o l e c u l a r a n d C e l l u l a r B i o l o g y ,H a r v a r d U n i v e r s i t y , 1 6 D i v i n i t y A v e n u e , C a m b r i d g e MA, 0 2 1 3 8 . P h o n e : 6 1 7 -4 9 5 - 0 9 2 4 ; F a x : 6 1 7 - 4 9 6 - 1 1 1 4 ; E - m a i l : h b e r g @ b i o s u n . h a r v a r d . e d u .C 1 9 9 6 b y t h e B i o p h y s i c a l S o c i e t y0 0 0 6 - 3 4 9 5 / 9 6 / 1 2 / 3 5 0 1 / 1 0 $ 2 . 0 0

t h e t o r q u e g e n e r a t e d b y t h e m o t o r w h i l e r u n n i n g a t v a r i o u ss p e e d s i n s w i m m i n g a n d t e t h e r e d c e l l s c a n b e e s t i m a t e d .H o w e v e r , t h e r a n g e o f m o t o r s p e e d s a c c e s s i b l e b y t h e s et e c h n i q u e s i s l i m i t e d t o a p p r o x i m a t e l y 5 0 - 1 0 0 H z f o rs w i m m i n g c e l l s a n d 0 - 2 0 Hz f o r t e t h e r e d c e l l s . A s w e l l a st h e i n t e r m e d i a t e s p e e d r a n g e b e t w e e n 2 0 a n d 5 0 H z , o n ew o u l d l i k e t o b e a b l e t o m e a s u r e t h e t o r q u e t h a t t h e m o t o rg e n e r a t e s w h e n d r i v e n b a c k w a r d o r w h e n d r i v e n f o r w a r d u pt o a n d b e y o n d i t s n a t u r a l m a x i m a l s p e e d .

T h i s h a s b e e n a c h i e v e d u s i n g a t e c h n i q u e c a l l e d e l e c t r o -r o t a t i o n ( W a s h i z u e t a l . , 1 9 9 3 ; r e v i e w e d b r i e f l y i n B e r g a n dT u r n e r , 1 9 9 3 ) , w h e r e a c o n t r o l l e d t o r q u e c a n b e a p p l i e d t oa t e t h e r e d c e l l b y p l a c i n g i t i n a r o t a t i n g e l e c t r i c f i e l d . I ne x p e r i m e n t s p e r f o r m e d i n o u r l a b o r a t o r y ( B e r g a n d T u r n e r ,1 9 9 3 ; B e r r y e t a l . , 1 9 9 5 ) , t h e r o t a t i n g e l e c t r i c f i e l d w a sg e n e r a t e d b e t w e e n f o u r t u n g s t e n e l e c t r o d e s , a r r a n g e d i n ac r o s s a r o u n d a g a p a t t h e c e n t e r o f a p p r o x i m a t e l y 7 0 , u m ,a n d h e l d a t a d i s t a n c e o f a p p r o x i m a t e l y 1 0 , u m f r o m t h es u r f a c e o n w h i c h c e l l s w e r e t e t h e r e d . O p p o s i n g p a i r s o fe l e c t r o d e s w e r e d r i v e n a t 2 . 2 5 M H z w i t h s i n u s o i d a l v o l t a g e s9 0 o u t o f p h a s e , a n d i t w a s p o s s i b l e t o m a k e c e l l s r o t a t e a ts p e e d s a p p r o a c h i n g 1 0 0 0 H z . T h e e x p e r i m e n t a l p r o t o c o l o fB e r g a n d T u r n e r i s i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 a . F o r v a r i o u se l e c t r o r o t a t i o n p o w e r l e v e l s , P ( p r o p o r t i o n a l t o v o l t a g es q u a r e d , w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t o r q u e ) , t h e r o t a t i o n r a t e o ft h e c e l l w a s m e a s u r e d , f i r s t w i t h t h e m o t o r i n t a c t ( f i l l e ds y m b o l s ) a n d l a t e r w i t h t h e m o t o r b r o k e n ( s u c h t h a t t h e c e l ln o l o n g e r r o t a t e d o n i t s o w n , o p e n s y m b o l s ) . T h e d i f f e r e n c ei n r o t a t i o n r a t e s w i t h t h e m o t o r i n t a c t o r b r o k e n , c a l l e d t h es p e e d o f f s e t , i s p r o p o r t i o n a l t o t h e t o r q u e g e n e r a t e d b y t h em o t o r w h e n i n t a c t . T w o m a i n c o n c l u s i o n s w e r e r e a c h e d ,b a s e d u p o n r e s u l t s o b t a i n e d f r o m n e a r l y 1 0 0 c e l l s . F i r s t ,m o t o r s g e n e r a t e d a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t t o r q u e r o t a t i n gf o r w a r d a t s p e e d s u p t o s e v e r a l h u n d r e d H e r t z , d e p e n d i n go n t e m p e r a t u r e . A t h i g h e r s p e e d s , t o r q u e w a s r e d u c e d , u n t i la t t h e h i g h e s t s p e e d s t h e m o t o r r e s i s t e d f o r w a r d r o t a t i o n .S e c o n d , t h e t o r q u e r e q u i r e d t o d r i v e c e l l s b a c k w a r d w a ss i g n i f i c a n t l y l a r g e r t h a n t h e t o r q u e r e q u i r e d t o s t o p t h e m

3 5 0 1


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Volume 7 1 December 1 9 9 6

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40.-II 20

0

-2 0

-4 0

-6 0

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N 20w 0

-2 0

-4 0

-6 0

201 51 0

N50

C J ' 5-10

- 1 5-2 0

a0p p .0

p 1 p 0*0

00

0

4 0 - 3 0 - 2 0 - 1 0 1 0 2 0 3 0A p p l i e d t o r q u e ( % )

p p~~~

Ifc~CW m o d e- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3A p p l i e d t o r q u e ( % )

C p p

0 Oo jO o0

*_ 0 0 0= ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~0 0 o a ) ,.S 1 P-1.5 - 1 -0.5

A p p l i e d t o r q u e ( % )FIGURE 1 ( a ) R o t a t i o n r a t e o f a t e t h e r e d c e l l as a f u n c t i o n o f e lr o t a t i o n s t r e n g t h , t a k e n f r o m B e r g a n d T u r n e r ( 1 9 9 3 ) . A p p l i e d t o r qe l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h , P ) i s p r o p o r t i o n a l to t h e s q u a r e o f e l ev o l t a g e a n d i s g i v e n as a p e r c e n t a g e o f t h e m a x i m u m p o s s i b l e f o r (s e v e r a l p o w e r s u p p l y c o n f i g u r a t i o n s . A p o s i t i v e s i g n d e n o t e s a n af i e l d t h a t t e n d s t o d r i v e th e c e l l f o r w a r d , a n e g a t i v e s i g n o ne ( r o t a t i n go p p o s i t e d i r e c t i o n ) t h a t t e n d s t o d r i v e t h e c e l l b a c k w a r d . C e l l( r o t a t i o n r a t e ) i s o b t a i n e d as th e p e a k i n t h e p o w e r s p e c t r u m o f d a t za l i n e a r - g r a d e d f i l t e r a p p a r a t u s . T h i s c e l l was s t o p p e d b y a n e l e c t r o r cs t r e n g t h o f -5 % ( P O ) , b u t more t h a n -1 0 % ( P ) was n e e d e d to I Tr o t a t e b a c k w a r d . ( b ) R o t a t i o n r a t e v e r s u s e l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h f o rw i t h a motor a b l e to g e n e r a t e t o r q u e i n e i t h e r d i r e c t i o n , t a k e n frome t a l . ( 1 9 9 5 ) . I n t h e CCW m o d e , f o r w a r d r o t a t i o n i s c o u n t e r c l o c( p o s i t i v e ) ; i n t h e CW m o d e , i t i s c l o c k w i s e ( n e g a t i v e ) . I n e i t h er m o d ep o w e r i s r e q u i r e d t o d r i v e t h e c e l l backward t h a n to s t o p i t . ( c ) R o t a t i l

_ f r o m s p i n n i n g f o r w a r d . I n o t h e r w o r d s , t h e r e was a b a r r i e rt o b a c k w a r d r o t a t i o n . T h i s c a n b e s e e n i n F i g . 1 a, w h e r e ane l e c t r o d e power l e v e l o f -5% ( P 0 ) was e n o u g h t o s t o p t h ec e l l , b u t more t h a n -10% ( P , ) was n e e d e d t o make i t s p i nb a c k w a r d . I t was a l s o n o t e d t h a t c e l l s d r i v e n b a c k w a r d o f t e nb r o k e , e i t h e r c a t a s t r o p h i c a l l y ( s u d d e n i r r e v e r s i b l e r e d u c t i o nt o z e r o t o r q u e ) o r p r o g r e s s i v e l y ( p r o g r e s s i v e r e d u c t i o n t oz e r o t o r q u e f o l l o w e d b y p r o g r e s s i v e r e c o v e r y i n a f e wm i n u t e s ) .A more d e t a i l e d s t u d y o f c e l l s d r i v e n b a c k w a r d ( B e r r y e ta l . , 1 9 9 5 ) d e m o n s t r a t e d t h a t t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a p-

_ p l i e d t o r q u e a n d s p e e d was s y m m e t r i c a l i n c e l l s t h e motors4 0 o f w h i c h s w i t c h t h e i r n a t u r a l d i r e c t i o n o f r o t a t i o n ( F i g . 1 b ) .

I t was a l s o s h o w n t h a t p r o g r e s s i v e b r e a k i n g i n v o l v e s t h er e m o v a l o f i n d i v i d u a l t o r q u e - g e n e r a t i n g u n i t s , o f w h i c h t h emotor i s t h o u g h t t o c o n t a i n 8 ( B l a i r a n d B e r g , 1 9 8 8 ) o rp e r h a p s u p t o 1 6 ( B l o c k a n d B e r g , 1 9 8 4 ; B e r r y e t a l . , 1 9 9 5 ) .T h e t o r q u e g e n e r a t e d b y p a r t i a l l y b r o k e n motors w i t h as m a l l e r n u m b e r o f w o r k i n g u n i t s was r e d u c e d b y a c o n s t a n tf a c t o r a t a l l s p e e d s ( F i g . 1 c ) ._ T h e e v i d e n c e t h a t t h e b a r r i e r was a n i n t r i n s i c f e a t u r e o ft h e t o r q u e - g e n e r a t i n g m e c h a n i s m o f t h e motor s e e m e d com-p e l l i n g . T h e symmetry s h o w n i n F i g . 1 b a r g u e d a g a i n s t a ne x p l a n a t i o n i n t e r m s o f c e l l s s t i c k i n g t o t h e s u r f a c e whend r i v e n i n o ne d i r e c t i o n . T h e b e h a v i o r o f p a r t l y b r o k e n c e l l s( F i g . 1 c ) i n d i c a t e d t h a t t h e b a r f i e r , o r more s p e c i f i c a l l y t h e

4 ratioP 1 / P O , wasattributabletoindividualtorque-generatingu n i t s . C e l l s s t a l l e d b y e l e c t r o r o t a t i o n f o r l o n g p e r i o d s o ft i m e w o u l d c r e e p b a c k w a r d as s l o w l y a s o ne r e v o l u t i o n pe rs e v e r a l m i n u t e s , as i f t h e y w e r e b e i n g p u s h e d o v e r h i g he ne r g y b a r r i e r s t o b a c k w a r d r o t a t i o n . When t h e t o r q u e wasv a r i e d between P0 and P I , a s d e f i n e d i n F i g . 1 a , c e l l sm o v e d back and f o r t h as e x p e c t e d i f t h e m o t o r w e r e lockeda n d t h e t e t h e r w e r e b e i n g wound a n d u n w o u n d . The e s t i -m a t e d t e t h e r c o m p l i a n c e f e l l i n t h e m i d d l e o f t h e r ange

_ m e a s u r e d p r e v i o u s l y u s i n g o p t i c a l t w e e z e r s ( B l o c k et a l . ,1 9 8 9 ) . F u r t h e r m o r e , i t s e e m e d r e a s o n a b l e t h a t c e l l s s h o u l db r e a k when p u s h e d b a c k w a r d i f t h e t o r q u e s u s t a i n e d b y t h emotor i n t h i s r e g i m e w e r e c o n s i d e r a b l y g r e a t e r t h a n i n c e l l s

_ r u n n i n g f o r w a r d . An d a b a r r i e r t o b a c k w a r d r o t a t i o n h a d_ b e e n p r e d i c t e d b y a t h e o r e t i c a l model o f t h e motor m e c h a -0 n i s m ( M e i s t e r e t a l . , 1 9 8 9 ) .

A c l o s e r i n v e s t i g a t i o n o f c e l l s s t a l l e d b y e l e c t r o r o t a t i o nf o r l o n g p e r i o d s o f t i m e , h o w e v e r , r e v e a l e d a number o fl e c t r o - i n c o n s i s t e n c i e s . Many c e l l s s t a l l e d a t p a r t i c u l a r a n g l e s , o f -ue ( o r t e n a t two a n g l e s r o u g h l y 1 8 0 0 a p a r t . When e l e c t r o r o t a t i o nc t r o d e was s t o p p e d a f t e r s t a l l i n g c e l l s w i t h P b e t w e en P 0 a nd P 1 ,o ne o f c e l l s o f t e n r o t a t e d s l o w l y o r n o t a t a l l f o r a s e c o n d o r tw ot p p l i e d b e f o r e g e t t i n g u p t o s p e e d . I f s t a l l e d c e l l s r e a l l y w e r ein t h e resisting electrorotation with a torque c o n s i d e r a b l y g r e a t e r

a f r o m) t a t i o nn a k e i t

r a c e l li B e r r yc k w i s e

, moreo n r a t e

v e r s u s e l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h b e f o r e a n d a f t e r p a r t i a l b r e a k i n g , t a k e n f r o mB e r r y e t a l . ( 1 9 9 5 ) . I n i t i a l l y , t h e c e l l r o t a t e d a t 1 7 Hz w i t h o u t e l e c t r o r o t a -t i o n ; i t g a v e t h e c u r v e m a r k e d b y o p e n s y m b o l s w i t h e l e c t r o r o t a t i o n . A f t e rp r o g r e s s i v e b r e a k i n g , t h e c u r v e m a r k e d b y c l o s e d s y m b o l s wa s o b t a i n e d .T h i s m o t o r s h o w e d t h e s a m e b e h a v i o r a s t h o s e i n a a n d b , b o t h b e f o r e a n da f t e r b r e a k i n g , w i t h t h e r a t i o P / I P ( r e m a i n i n g a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t .

3 5 0 2 B i o p h y s i c a l J o u r n a l


3/10

F l a g e l l a r M o t o r T o r q u e C l o s e t o S t a l lt h a n t h a t g e n e r a t e d w h e n r u n n i n g f o r w a r d w i t h n o e l e c t r o -r o t a t i o n , t h i s w o u l d w i n d t h e t e t h e r u p m o r e t i g h t l y t h a n i nt h e r u n n i n g c e l l . T o r q u e i n t h e t e t h e r i s a l w a y s t h e same a st h e t o r q u e s u p p o r t e d b y t h e m o t o r , a n d i n t h e a b s e n c e o fe l e c t r o r o t a t i o n , i t i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o c e l l s p e e d .T h u s , c e l l s s h o u l d h a v e r o t a t e d t r a n s i e n t l y f a s t e r w h e n t h ee l e c t r o r o t a t i o n w a s s t o p p e d , n o t s l o w e r . T h e s e a n d o t h e ri n c o n s i s t e n c i e s i n t h e d a t a l e d u s t o t e s t w h e t h e r t h e r e m i g h tb e a n a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n f o r t h e r e s u l t s o f t h e e l e c t r o -r o t a t i o n e x p e r i m e n t s .

- 6

- 8" - 1 0

p 6 4 ' - 1 2- 1 4

- 1 6An a l t e r n a t i v e i n t e r p r e t a t i o n o f t h ee l e c t r o r o t a t i o n e x p e r i m e n tI n a n e l e c t r o r o t a t i o n e x p e r i m e n t , t h e f o l l o w i n g b a l a n c e o ft o r q u e a p p l i e s :

T m + T e - f i ) = 0 ,w h e r e T m , T e , f , a n d C l a r e t h e t o r q u e g e n e r a t e d b y t h e m o t o r ,t h e t o r q u e g e n e r a t e d b y e l e c t r o r o t a t i o n , t h e r o t a t i o n a l f r i c -t i o n a l d r a g c o e f f i c i e n t , a n d t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e c e l lb o d y , r e s p e c t i v e l y . A t s t a l l , c o = 0 , a n d T m = - T e . I f T m a n dT e a r e i n d e p e n d e n t o f t h e o r i e n t a t i o n o f t h e c e l l , a s a s s u m e di n o u r e a r l i e r w o r k , a n d t h e c e l l r e m a i n s s t a l l e d a s T e i si n c r e a s e d , t h e n T m m u s t a l s o i n c r e a s e , i n d i c a t i n g a b a r r i e r t ob a c k w a r d r o t a t i o n . B u t w h a t a r e t h e c o n s e q u e n c e s i f T e , T m ,o r b o t h , v a r y w i t h c e l l o r i e n t a t i o n , 0 ? T o f i n d o u t , w e w r i t eT m = T m ( O ) a n d T e = P g ( 0 ) , w h e r e P i s t h e o s c i l l a t o r p o w e rs e t t i n g a n d g ( O ) i s a f a c t o r s p e c i f y i n g t h e a n g u l a r d e p e n -d e n c e o f a p p l i e d t o r q u e . I n t h i s c a s e , t h e p o w e r s e t t i n gr e q u i r e d t o s t a l l t h e c e l l v a r i e s w i t h a n g l e : P s t a l l = - T m ( 0 ) /g ( 0 ) .F i g . 2 a s h o w s P S t a l l f o r a h y p o t h e t i c a l c a s e i n w h i c hT m = c o n s t a n t = 1 0 a n d g ( 0 ) = 1 + 0 . 3 c o s ( 2 0 ) , i . e . , P s t a l l= - 1 0 / [ 1 + 0 . 3 c o s ( 2 0 ) ] . T h e h o r i z o n t a l l i n e s i n d i c a t ed i f f e r e n t s e t t i n g s o f t h e e l e c t r o r o t a t i o n c o n t r o l P 0 , P a s a n dP l . A t P 0 , t h e t o r q u e d u e t o e l e c t r o r o t a t i o n i s j u s t s u f f i -c i e n t l y n e g a t i v e t o s t a l l t h e c e l l a t 0 0 o r 1 8 0 0 . I f t h e p o w e rl e v e l i s m a d e s t e a d i l y m o r e n e g a t i v e , a s i n e a r l i e r e x p e r i -m e n t s ( B e r r y e t a l . , 1 9 9 5 ) , t h e c e l l w i l l r e m a i n s t a l l e d ,m o v i n g s l o w l y b a c k w a r d w i t h P ( f o r i n s t a n c e , t o e i t h e r 3 0 0 o r 1 2 0 0 a t P = P a , a s s h o w n b y t h e f i l l e d s q u a r e s i n F i g . 2a ) . A t P = P I , t h e c e l l w i l l move t o 2 7 0 0 o r 9 0 0 . A t p o w e rl e v e l s m o r e n e g a t i v e t h a n P 1 , t h e c e l l w i l l r o t a t e b a c k w a r d ,b e c a u s e now t h e a m p l i t u d e o f t h e a p p l i e d t o r q u e i s l a r g e rt h a n t h e m o t o r t o r q u e a t a l l a n g l e s . T h e d o m a i n s s h o w n b yt h e d a s h e d l i n e s a r e n o t s t a b l e . I f a c e l l f i n d s i t s e l f i n o n e o ft h e s e d o m a i n s , i t w i l l r o t a t e u n t i l c o m i n g t o e q u i l i b r i u m i no n e o f t h e a d j a c e n t d o m a i n s , s h o w n b y t h e s o l i d l i n e s . F i g .2 b s h o w s t h e a v e r a g e s p e e d o f t h e c e l l v e r s u s P ( h e a v y l i n e )f o r t h e s a m e h y p o t h e t i c a l c a s e , c a l c u l a t e d v i a a c o m p u t e rs i m u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r t h e c e l l . T h e c u r v e si n F i g . 2 b a r e s i m i l a r t o t h o s e i n F i g . 1 . F i g . 2 c s h o w sr e s u l t s o f t h e s a m e s i m u l a t i o n s a s F i g . 2 b , o v e r a l a r g e rr a n g e o f e l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h s . C u r v e s f o r b r o ke n a n di n t a c t c e l l s a r e p a r a l l e l a t h i g h s p e e d s i n e i t h e r d i r e c t i o n .

N

E U-0E u0

1 050

- 5- 1 0- 1 5

0 9 0 1 8 0A n g l e ( d e g r e e s )

- 2 0 '- 2 5

1 0 0

N 5 0 -E uv t o o4 0-0~-s

- 1 0 0 V ' Y- 1 0 0

- P O

-P a- P 13 6 07 0

- 2 0 - 1 5 - 1 0 - 5E l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h , P ( % )

- 5 0 0 5 0E l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h , P ( % )

0

1 0 0

FIGURE 2 ( a ) D y n a m i c s o f a c e l l f o r w h i c h t h e e l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t hr e q u i r e d f o r s t a l l , P S , a j j , v a r i e s w i t h t h e a n g l e o f t h e c e l l b o d y . I n t h i se x a m p l e , w e a s s u m e t h a t t h e m o t o r g e n e r a t e s c o n s t a n t t o r q u e ( e q u a l t o t h em ean e l e c t r o r o t a t i o n t o r q u e a t P = 1 0 ) a n d t h a t t h e t o r q u e a p p l i e d b ye l e c t r o r o t a t i o n e q u a l s P [ 1 + 0 . 3 c o s ( 2 0 ) ] . F o r v a l u e s o f P b e t w e e n P O a n dP , , t h e c e l l w i l l b e s t a l l e d a t p o i n t s s u c h a s t h o s e m a r k e d b y s q u a r e s o np o r t i o n s o f t h e P S . 5 . , c u r v e w i t h p o s i t i v e s l o p e ( ) . ( b ) R o t a t i o n r a t ev e r s u s P f o r t h e c e l l s h o w n i n a , o b t a i n e d b y c o m p u t e r s i m u l a t i o n . T h ec u r v e p a s s i n g t h r o u g h t h e o r i g i n i s f o r t h e s a m e c e l l w i t h n o m o t o r t o r q u e ,a s a f t e r a c a t a s t r o p h i c b r e a k . T h e l i g h t l i n e s a r e f o r t h e s a m e c e l l , e i t h e ri n t a c t o r b r o k e n , w i t h n o a n g u l a r v a r i a t i o n i n e l e c t r o r o t a t i o n t o r q u e . ( c ) A sf o r b b u t o v e r a w i d e r r a n g e o f e l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h s .T h i s i n d i c a t e s t h a t a n g u l a r v a r i a t i o n i n P s t a l l d o e s n o t a f f e c tt h e c o n c l u s i o n o f e a r l i e r e l e c t r o r o t a t i o n e x p e r i m e n t s , t h a tm o t o r t o r q u e i s i n d e p e n d e n t o f s p ee d u p t o m o r e t h a n 1 0 0

B e r r y a n d B e r g 3 5 0 3


4/10

V o l u m e 7 1 D e c e m b e r 1 9 9 6H z a t r o o m t e m p e r a t u r e ( W a s h i z u e t a l . , 1 9 9 3 ; B er g a n dT u r n e r , 1 9 9 3 ) .A s i m i l a r p r e d i c a m e n t a r i s e s i f t h e a n g u l a r d e p e n d e n c er e s i d e s w i t h t h e m o t o r a n d n o t t h e e l e c t r o d e a r r a y . S u p p o s e ,f o r e x a m p l e , t h a t T m ( O ) = Q h ( O ) , a n d T e = P , w i t hQ = c o n s t a n t = 1 0 a n d h ( O ) = 1 / [ 1 + 0 . 3 c o s ( 2 0 ) ] . T h e nP s t a l l ( O ) = - 1 0 / [ 1 + 0 . 3 c o s ( 2 0 ) ] , a s b e f o r e . S o o n e o b -s e r v e s t h e s a m e a n g u l a r v a r i a t i o n i n t h e p o w e r r e q u i r e d t os t a l l t h e c e l l , e v e n t h o u g h t h e r e i s n o b a r r i e r t o b a c k w a r dr o t a t i o n .I n t h e s e c t i o n s t h a t f o l l o w we d e m o n s t r a t e t h a t s u c ha n g u l a r v a r i a t i o n s e x i s t a n d t h a t t h e y a c c u r a t e l y p r e d i c t t h ea p p a r e n t b a r r i e r s o b s e r v e d i f w e a s s u m e t h a t t h e m o t o rt o r q u e - s p e e d r e l a t i o n s h i p i s c o n s t a n t , o r l i n e a r , t h r o u g h z e r os p e e d . O n e p o s s i b l e s o u r c e o f t h e s e a n g u l a r v a r i a t i o n s i s a ni m b a l a n c e i n t h e e l e c t r o d e a r r a y . H o w e v e r , a n g u l a r v a r i a -t i o n s i n m o t o r t o r q u e o r s ma l l b a r r i e r s t o b a c k w a r d r o t a t i o nc a n n o t b e r u l e d o u t . E x p e r i m e n t s u s i n g o t h e r m e t h o d s w i l lb e r e q u i r e d t o s e t t l e t h i s i s s u e .

MATERIALS AN D M E T H O DSE l e c t r o r o t a t i o n o f c e l l sE x p e r i m e n t a l m e t h o d s w e r e a s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y ( B e r g a n d T u r n e r ,1 9 9 3 ; B e r r y e t a l . , 1 9 9 5 ) w i t h t h e f o l l o w i n g e x c e p t i o n s . A l l c e l l s w e r e o ft h e c o u n t e r c l o c k w i s e - r o t a t i n g s t r a i n KAF95 ( B e r g a n d T u r n e r , 1 9 9 3 ) .E l e c t r o d e s w e r e p l a t i n u m - i r i d i u m w i r e s o f 5 1 , u m o u t e r d i a m e t e r i n s u l a t e dw i t h a 1 2 . 5 - , u m T e f l o n c o a t i n g ( 7 7 6 0 ; A-M S y s t e m s , E v e r e t t , W A ) . T h e yw e r e m o u n t e d u p o n a p l a t f o r m a t t a c h e d t o t h e m i c r o s c o p e s t a g e , a n d c e l l s

w e r e t e t h e r e d t o a m o v e a b l e g l a s s c o v e r s l i p r e s t i n g u p o n t h i s p l a t f o r m ,s u s p e n d e d a p p r o x i ma te l y 1 0 , u m a w a y f r o m t h e e l e c t r o d e s . T h i s a r r a n g e -m e n t a l l o w e d a c h o i c e o f m i c r o s c o p e o b j e c t i v e s , a n d we u s e d p h a s e -c o n t r a s t o b j e c t i v e s w i t h e i t h e r 2 0 X o r 40X m a g n i f i c a t i o n . A l l e x p e r i m e n t sw e r e p e r f o r m e d a t r o o m t e m p e r a t u r e .

T h e o s c i l l a t o r u s e d e a r l i e r w a s r e p l a c e d b y o n e w i t h l e s s d i s t o r t i o n , b u i l ta r o u n d a v o l t a g e - p r o g r a m m a b l e o s c i l l a t o r c h i p ( M a x i n MAX038, S u n n y -v a l e , C A ) . I t s o u t p u t ( t h e s i n e s i g n a l ) w a s f e d t h r o u g h a m u l t i p l i e r ( A n a l o gD e v i c e s A D 7 3 4 , N o r w o o d , MA) a n d i n t e g r a t o r t o g e n e r a t e t h e c o s i n es i g n a l , w i t h t h e v o l t a g e u s e d t o p r o g r a m t h e o s c i l l a t o r s e r v i n g a s t h em u l t i p l i c a n d . T h i s a r r a n g em en t g a v e s i n e a n d c o s i n e s i g n a l s o f e q u a la m p l i t u d e , i n d e p e n d e n t o f f r e q u e n c y . T h e d e l a y i n t r o d u c e d b y t h e m u l t i -p l i e r w a s o f f s e t , o n t h e s i n e s i d e , b y a d e l a y l i n e . I n s o m e e x p e r i m e n t s( t h o s e i n F i g s . 3 , 4 , 7 , a n d 8 ) , t h e w i d e - b a n d p u s h - p u l l a m p l i f i e r s t h a tn o r m a l l y f o l l o w e d t h e o s c i l l a t o r w e r e r e m o v e d , s o t h a t t h e r e q u i r e d p o w e rs e t t i n g s ( P v a l u e s ) w e r e a p p r o x i m a t e l y a n o r d e r o f m a g n i t u d e l a r g e r t h a nb e f o r e .

T h e a n g u l a r d e p e n d e n c e o f P 1 t a l l w a s e s t i m a t e d a s f o l l o w s . T h e l i n e a r -g r a d e d f i l t e r ( L G F ) a p p a r a t u s ( B e r g a n d T u r n e r , 1 9 9 3 ) w a s u s e d t o r e c o r dt h e a n g l e o f t h e c e l l b o d y o v e r a l a r g e n u m b e r o f r e v o l u t i o n s w h i l e t h e c e l ls p u n o n i t s o wn o r w a s s l o w e d d o w n b y e l e c t r o r o t a t i o n . F o r e a c h v a l u e o fP , t h e s p e e d o f t h e c e l l w a s o b t a i n e d a s t h e s l o p e o f c e l l a n g l e v e r s u s t i m e ,a n d d a t a p o i n t s w e r e s o r t e d b y a n g l e i n t o 2 0 b i n s , e a c h 1 8 0 w i d e . F o r e a c hv a l u e o f P a n d a n g l e , t h e a v e r a g e s p e e d w a s c o m p u t e d , a n d t h e s t a n d a r de r r o r i n t h e s p e e d w a s t a k e n a s a n e s t i m a t e o f t h e u n c e r t a i n t y . T h e n , f o re a c h a n g l e , a l e a s t - s q u a r e s l i n e a r f i t o f a v e r a g e s p e e d v e r s u s P w a s f o u n d ,a n d t h e z e r o - s p e e d i n t e r c e p t a n d t h e e r r o r o f t h e i n t e r c e p t w e r e t a k e n a se s t i m a t e s o f P s t a l l a n d t h e u n c e r t a i n t y i n P s t . 1 1 , r e s p e c t i v e l y .F o r t h e a n a l y s i s o f d a t a f r o m c e l l s s t a l l e d f o r e x t e n d e d p e r i o d s o f t i m e ,t h e X - a n d Y-LGF s i g n a l s w e r e c o n v e r t e d t o t h e c o s i n e a n d s i n e o f t h e c e l la n g l e b y s u p e r i m p o s i n g a c i r c l e u p o n a p l o t o f Y v e r s u s X a n d a d j u s t i n g t h ec e n t e r a n d r a d i u s o f t h e c i r c l e b y e y e t o m a t c h t h e d a t a . T h i s a l s o a l l o w e dt h e s e l e c t i o n o f d a t a f o r w h i c h t h e c e l l w a s w e l l a l i g n e d i n t h e L G F , s o t h a tt h e ( X , Y ) s i g n a l w a s c i r c u l a r .

2 5

FIGURE 3 ( a a n d b ) Mean r o t a t i o nr a t e v e r s u s a n g l e f o r a t e t h e r e d c e l l a tP = 0 a n d P = - 1 1 % . T h e r a t e o fr o t a t i o n o f t h e c e l l w i t h o u t e l e c t r o r o -t a t i o n a n d t h e a m o u n t b y w h i c h e l e c -t r o r o t a t i o n s l o w s t h e c e l l b o t h v a r yc o n s i d e r a b l y w i t h c e l l a n g l e . ( c a n dd ) V a l u e s o f P 0 t l 1 e s t i m a t e d f r o m t h ed a t a i n a a n d b . F o r e a c h a n g l e , P t a l lw a s t a k e n a s t h e z e r o - r o t a t i o n - r a t ei n t e r c e p t o f a l e a s t - s q u a r e s l i n e a r f i to f r o t a t i o n r a t e v e r s u s P ( i n t h i s p a r -t i c u l a r c a s e , w h e r e t h e r e w e r e o n l yt w o p o i n t s p e r a n g l e , s i m p l y t h e l i n ed r a w n t h r o u g h t h e t w o p o i n t s ) .

N

- W49E 00

0 4

2 01 51 0 [50

- 1 0- 1 1- 1 21 0 - 1 3~ - 1- 1 6

. - 1 4

- 1 7- 1 8

0 9 0 1 8 0A n g l e ( d e g r e e s )

0 9 0 1 8 0 2 7 0 3 6 0A n g l e ( d e g r e e s )

9 0a P=O-

1P = - 1 1 %

E

N-

00. 20

2 7 0 3 6 0

0

2 7 0

9 0a

a -

a l

2 4 0

0

3 0 02 7 0



5/10

F l a g e l l a r M o t o r T o r q u e C l o s e t o S t a l lComputer s i m u l a t i o n sT h e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r a c e l l was i n t e g r a t e d n u m e r i c a l l y i n LabView( N a t i o n a l I n s t r u m e n t s , A u s t i n , T X ) u s i n g t h e E u l e r m e th o d . F o r F i g . 2 b ,we a s s u m e d c o n s t a n t motor t o r q u e a n d f r i c t i o n a l d r a g c o e f f i c i e n t , a n d ane l e c t r o r o t a t i o n t o r q u e t h a t v a r i e d w i t h a n g l e as d e s c r i b e d a b o v e . F o r F i g . 4a , we a s s u m e d t h a t c e l l s p e e d i s a l i n e a r f u n c t i o n o f P a t e a c h a n g l e ,s p e c i f i c a l l y , t h a t o ( P , O ) = w o ( O ) [ 1 - P / P s t a l l ( 6 ) ] w 0 0 ( o ) , t h e s p e e d o f t h ec e l l w i t h P = 0, was o b t a i n e d f r o m F i g . 3 a , a n d P s t a l l was o b t a i n e d f r o mF i g . 3 c . T h e n t h e r o t a t i o n o f t h e c e l l was s i m u l a t e d b y n u m e r i c a l i n t e g r a -t i o n o f t h e e q u a t i o n d O l d t = o ( P , 0 ) . L i n e a r i t y b e t w e e n c e l l s p e e d a n d Pf o l l o w s i f t h e motor t o r q u e i s e i t h e r i n d e p e n d e n t o f s p e e d o r i f i t v a r i e sl i n e a r l y w i t h s p e e d , i n e i t h e r case w i t h o u t a b a r r i e r t o b a c k w a r d r o t a t i o n .

RESULTSTo t e s t t h e a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n f o r t h e a p p a r e n t b a r r i e r st o b a c k w a r d r o t a t i o n i n f l a g e l l a r m o t o r s , we o b t a i n e d e s t i -

2 01 51 0

5

0

- 5

-10 o- 2 0

-10

-1 1

- 1 2- 1 3- 1 4

- 1 5- 1 6- 1 7- 1 8

0

- 1 5 - 1 0 - 5E l e c t r o r o t a t i o n s t r en g t h , P ( % )

90 1 8 0A n g l e ( d e g r e e s ) 2 7 0FIGURE 4 ( a ) R o t a t i o n r a t e v e r s u s e l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h f o r t h e c e l ls h o w n i n F i g . 3 . T h e d o t s s h o w m e a s u r e d r o t a t i o n r a t e s , a n d t h e l i n e s h o w sr o t a t i o n r a t e s p r e d i c t e d b y a c o m p u t e r s i m u l a t i o n b a s e d o n t h e d a t a o f F i g .3 , c a n d d , a n d t h e d y n a m i c s d e s c r i b e d i n F i g . 2 . ( b ) T h e same d a t a p l o t t e da s P versus c e l l a n g l e a n d s u p e r i m p o s e d u p o n t h e P s a , , , versus a n g l e c u r v efrom F i g . 3 c . T he c e l l s t a l l e d a t p o i n t s o n t h e p o r t i o n o f t h e P s t a l l c u r v ew i t h p o s i t i v e s l o p e , as p r e d i c t e d i n F i g . 2 a .

mates o f P s t a l l as a f u n c t i o n o f a n g l e f o r a n u m b e r o f t e t h e r e dc e l l s a n d t h e n , as i n t h e p r e v i o u s e x p er i me n t s , a p p l i e di n c r e a s i n g t o r q u e a g a i n s t t h e motor u s i n g e l e c t r o r o t a t i o n .T h i s a l l o w e d u s t o c o m p a r e t h e a p p a r e n t b a r r i e r m e a s u r e df o r a p a r t i c u l a r c e l l t o t h e a p p a r e n t b a r r i e r p r e d i c t e d f o r t h esame c e l l b y t h e a l t e r n a t i v e e x p l a n a t i o n . We u s e d t h e s a m es t r a i n ( K A F 9 5 ) a n d t e t h e r i n g t e c h n i q u e a s i n t h e e a r l i e rw o r k ( B e r g a n d T u r n e r , 1 9 9 3 ) .F i g . 3 a s h o w s t h e s p e e d o f o ne c e l l w i t h e l e c t r o r o t a t i o ns t r e n g t h s ( P ) e q u a l t o 0 a n d -11%. N o t i c e t h a t t h e s p e e d o ft h e c e l l v a r i e d c o n s i d e r a b l y w i t h i n a s i n g l e r e v o l u t i o n , e v e ni n t h e a b s e n c e o f e l e c t r o r o t a t i o n . P o s s i b l e c a u s e s o f t h i si n c l u d e a n g u l a r v a r i a t i o n s i n t h e motor t o r q u e a n d a n g u l a rv a r i a t i o n s i n t h e f r i c t i o n a l d r a g c o e f f i c i e n t , e i t h e r d u e t oasymmetry i n t h e t e t h e r i n g g e o m e t r y or d i r e c t i n t e r a c t i o n sb e t w e e n t h e c e l l b o d y a n d t h e t e t h e r i n g s u r f a c e . With ex-t e r n a l t o r q u e a p p l i e d a g a i n s t t h e m o t o r , t h e c e l l r o t a t e d mores l o w l y a t a l l a n g l e s , a n d t h e amount b y w h i c h i t i s s l o w e dv a r i e d w i t h a n g l e . We o b t a i n e d a n e s t i m a t e o f P s t a l l , s h o w nf o r t h i s c e l l i n F i g . 3 c , as t h e z e r o - s p e e d i n t e r c e p t i n a l i n ef i t o f s p e e d v e r s u s P , as d e s c r i b e d i n M a t e r i a l s a n d M e t h -o d s . F i g . 3 , b a n d d , are p o l a r p l o t s o f t h e d a t a i n F i g . 3 , aa n d c , r e s p e c t i v e l y .

From F i g . 3 c , we w o u l d p r e d i c t t h a t t h e c e l l w o u l d b es t a l l e d b y e l e c t r o r o t a t i o n b e t w e e n P 0 = -12% a n d P 1 =- 1 6 . 5 % . F i g . 4 a s h o w s t h e s p e e d o f t h i s c e l l a s a f u n c t i o no f P . T h e e l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h was f i r s t i n c r e a s e d i n c r e -m e n t a l l y f r o m P = 0 t o P =-9%, i n t h e f a s h i o n o f B e r ga n d T u r n e r ( 1 9 9 3 ) , a n d l a t e r was i n c r e a s e d s m o o t h l y , f r o m-10 t o -20%, i n t h e f a s h i o n o f B e r r y et a l . ( 1 9 9 5 ) . T h es o l i d l i n e s h o w s p r e d i c t e d mean s p e e d s f o r t h i s c e l l , c a l c u -l a t e d b y a c o m p u t e r s i m u l a t i o n b a s e d on t h e d a t a o f F i g . 3a n d a s s u m i n g t h a t t h e motor t o r q u e i s a l i n e a r f u n c t i o n o fs p e e d ( i . e . , h a s no b a r r i e r ) o v e r t h e rang e o f s p e e d s c o v e r e d ;se e M a t e r i a l s a n d M e t h o d s . F i g . 4 b s h o w s P as a f u n c t i o no f t h e a n g l e o f t h e c e l l , s u p e r i m p o s e d u p o n t h e c a l c u l a t e dv a l u e s o f P s t a l l f r o m F i g . 3 c . T h i s s h o w s t h a t t h e c e l l d i di n d e e d d w e l l o n t h e p o r t i o n s o f t h e P 1 t a l l c u r v e w i t h p o s i t i v es l o p e , as p r e d i c t e d i n F i g . 2 b . T h e c e l l s t o p p e d r o t a t i n gf o r w a r d a t l e s s n e g a t i v e v a l u e s o f P t h a n p r e d i c t e d , w h i c hm i g h t b e e x p l a i n e d i f t h e m ot o r u n d e r w e n t p a r t i a l b r e a k i n gd u r i n g t h e s e r u n s , t h u s r e d u c i n g t h e a c t u a l m a g n i t u d e o fP s t a l . T h a t p a r t i a l b r e a k i n g a c t u a l l y d i d o c c u r i s d e m o n -s t r a t e d b y t h e p o i n t s i n t h e v i c i n i t y o f 1 2 H z o n t h e P =0a x i s o f F i g . 4 a , w h e r e t h e c e l l r o t a t e d a t a r e d u c e d r a t e a f t e rb e i n g p u s h e d b a c k w a r d b y e l e c t r o r o t a t i o n .F i g . 3 s h o w s t h a t t h e s t r e n g t h o f e l e c t r o r o t a t i o n , P , r e -q u i r e d t o s t a l l o ne p a r t i c u l a r c e l l d o e s va r y c o n s i d e r a b l yw i t h c e l l a n g l e , a n d F i g . 4 s h o w s c l o s e agreement b e t w e e nt h e m e a s u r e d s p e e d s a n d a n g l e s o f t h a t c e l l a n d t h o s ep r e d i c t e d i f t h e r e i s no b a r r i e r t o b a c k w a r d r o t a t i o n . Toc o n f i r m t h i s a g r e e m e n t , we c o m p a r e d m e a s u r e d a n d pre-d i c t e d b e h a v i o r i n a n a d d i t i o n a l 1 3 c e l l s . F i g . 5 a s h o w sm e a s u r e d versus p r e d i c t e d v a l u e s o f t h e m a g n i t u d e o f t h ee l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h r e q u i r e d j u s t t o s t a l l a c e l l ( I P O 1 ,f i l l e d s y m b o l s ) a n d t o m a k e i t r o t a t e b a c k w a r d ( I P , 1 , o p e ns y m b o l s ) . M e a s u r e d v a l u e s w e r e r e a d o f f g r a p h s o f s p e e d

Nx0 )-W

0*ae a

0

C KA 4

4._t o9r i

'1 .*~~~~~ :

_~~~~~~~~~~** r

3 5 0 5B e r r y a n d B e r g


6/10

V o l u m e 7 1 December 1 9 9 6

_ Xa~~~~~~00

* O p e n s y m b o l s - P0~~~~~~~~~~~~~~~F i l l e d s y m b o l s - P 0

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4I P s t a l l M( p r e d i c t e d_b._ X / ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

0

1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4P i / P o - p r e d i c t e d

4 . 54

10U)

U)

3 . 53

2 . 52

1 . 5

0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 2R a t i o o f e l e c t r o d e v o l t a g e s

1 51 0

0- 1Nm

* . 6 .t o

:r4

10004

4 . 5 5

FIGURE 5 ( a ) M e a s u r e d versus p r e d i c t e d v a l u e s o f P 0 ( 0 ) a n d P 1 ( 0 )f o r 1 3 d i f f e r e n t c e l l s . T h e s o l i d l i n e i s a l e a s t - s q u a r e s f i t t o t h e v a l u e s o f P 0 ,a n d t h e d a s h e d l i n e i s a s i m i l a r f i t f o r P , . T h e v a l u e s o f P h e r e a n d i n F i g .6 a r e s m a l l e r t h a n i n t h e o t h e r f i g u r e s , b e c a u s e t h e o s c i l l a t o r o u t p u t s p a s s e dt h r o u g h w i d e - b a n d p u s h - p u l l a m p l i f i e r s . ( b ) M e a s u r e d versus p r e d i c t e dv a l u e s o f t h e r a t i o P / I P O f o r t h e d a t a s h o w n i n a . T h e l i n e i s a l e a s t - s q u a r e sf i t .

v e r s u s P s i m i l a r t o F i g . 1 a or F i g . 4 a . P r e d i c t ed v a l u esw e r e t a k e n a s t h e m i n i m a a n d maxima i n g r a p h s o f P s t a l lv e r s u s a n g l e , s i m i l a r t o F i g . 3 c . S t r a i g h t l i n e s a r e l e a s t -squares f i t s t o t h e I P O I a n d P 1 d a t a . We see t h a t t h e r e i sg o o d a g r e e m e n t b et we en m ea s u r e d a n d p r e d i c t e d v a l u e so v e r a w i d e r a n g e . F i g . 5 b s h o w s f o r t h e s a m e d a t a s e tm e a s u r e d versus p r e d i c t e d s i z e s o f t h e a p p a r e n t b a r r i e r ,d e f i n e d a s t h e r a t i o P 1 / P O . A g a i n , we see c l o s e a g r e e m e n tb e t w e e n measurement a n d p r e d i c t i o n , w i t h t h e l e a s t - s q u a r e sl i n e f i t a l m o s t i d e n t i c a l t o a l i n e o f u n i t s l o p e .

To s h o w t h a t a n g u l a r v a r i a t i o n s i n t h e t o r q u e d u e t oe l e c t r o r o t a t i o n c a n b e s i g n i f i c a n t , we m e a s u r e d a p p a r e n tb a r r i e r s t o b a c k w a r d r o t a t i o n f o r a n u m b e r o f a d d i t i o n a lc e l l s w h i l e a d j u s t i n g t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e o f t h e v o l t a g es i g n a l s a p p l i e d t o t h e tw o p a i r s o f e l e c t r o d e s . F i g . 6 a s h o w st h e m e a s u r e d r a t i o s P 1 / P 0 p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f t h e r a t i oo f s i g n a l a m p l i t u d e s . The a p p a r e n t b a r r i e r s v a r i e d s y s t e m -

50

- 5- 1 0- 1 5- 2 0

1 . 3 1 . 4

- 0 . 8 - 0 . 7 - 0 . 6 - 0 . 5 - 0 . 4 - 0 . 3 - 0 . 2 - 0 . 1E l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h , P (%) 0

FIGURE 6 ( a ) T h e m e a s u r e d r a t i o P 1 / P O p l o t t e d a g a i n s t t h e r a t i o o fa m p l i t u d e s o f t h e v o l t a g e s a p p l i e d t o t h e two o r t h o g o n a l p a i r s o f e l e c t r o -r o t a t i o n e l e c t r o d e s . R a t i o s w e r e m e a s u r e d f o r t h e 1 3 c e l l s o f F i g . 5 a n d a na d d i t i o n a l 8 c e l l s . T h e e l e c t r i c f i e l d s i n t h e x a n d y d i r e c t i o n s e x p e r i e n c e db y a c e l l a r e p r o p o r t i o n a l to t h e v o l t a g e b e t w e e n e a c h p a i r o f e l e c t r o d e sd i v i d e d b y t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p a i r . U n e q u a l v o l t a g e a m p l i t u d e sp r o d u c e an e l l i p t i c a l r a t h e r t h a n a c i r c u l a r r o t a t i n g f i e l d a t t h e c e l l , w h i c hp r e s u m a b l y l e a d s t o a n g u l a r v a r i a t i o n i n t h e e l e c t r o r o t a t i o n t o r q u e . T h eP 1 / P O r a t i o v a r i e d s y s t e m a t i c a l l y w i t h t h e e l l i p t i c i t y o f t h e r o t a t i n g e l e c t r i cf i e l d . ( b ) R o t a t i o n r a t e versus P f o r t h e c e l l , s h o w n i n a , w i t h a P 1 1 P O r a t i oo f 1 . T h e m ot or i n t h i s c e l l s h o w e d a n a p p r o x i m a t e l y l i n e a r d e p e n d e n c e o fs p e e d u po n a p p l i e d t o r q u e , w i t h no b a r r i e r t o b a c k w a r d r o t a t i o n .

a t i c a l l y w i t h t h e e l l i p t i c i t y o f t h e r o t a t i n g e l e c t r i c a l f i e l d ,b u t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f o ne c e l l ( s h o w n i n g r e a t e r d e t a i li n F i g . 6 b ) , t h e y w e r e n ev e r z e r o . When t h e e l l i p t i c i t y o f t h er o t a t i n g f i e l d was l a r g e , m o st c e l l s s h o w e d tw o e v e n l ys p a c e d maxima i n P s w l , a t r o u g h l y f i x e d a n g l e s r e l a t i v e t ot h e e l e c t r o d e a r r a y . When t h e e l l i p t i c i t y was s m a l l , o n t h eo t h e r h a n d , two maxima w e r e n o t e v i d e n t .

T h e f a c t t h a t t h e minimum i n P 1 / P o o c c u r r e d w i t h a r a t i oo f e l e c t r o d e v o l t a g e s b e t w e e n 0 . 8 a n d 0 . 9 s u g g e s t s a n a s y m -m e t r y i n e l e c t r o d e s p a c i n g . The f a c t t h a t i t s a v e r a g e v a l u e i nt h i s r e g i o n was a p p r o x i m a t e l y 1 . 3 t e l l s us t h a t t h e a p p a r e n tb a r r i e r c a n n o t b e a c c o u n t e d f o r e n t i r e l y b y i m b a l a n c e b e -tween t h e X a n d Y c o m p o n e n t s o f t h e e l e c t r i c f i e l d . E i t h e r

1 . 41 . 2

g q 1Eu

0 0 . 8I - -

0 . 62 0 . 4n

0 . 20

I .a

00

0

* 0~~~~II

4 . 54

3 . 53

2 . 52

lo

(AU)

, 41 . 5

b is . 8

_ ~ ~ ~ ~ ~.- : , a

a n. _;



7/10

F l a g e l l a r M o t o r T o r q u e C l o s e t o S t a l lt h e e l e c t r i c f i e l d i s a s y m m e t r i c f o r o t h e r r e a s o n s , m o t o rt o r q u e d e p e n d s o n a n g l e , o r t h e r e i s a b a r r i e r t o b a c k w a r dr o t a t i o n , a l b e i t o n e s u b s t a n t i a l l y s m a l l e r t h a n e s ti m a te d e a r -l i e r ( B e r g a n d T u r n e r , 1 9 9 3 , w h e r e t h e P 1 / P O r a t i o w a sa p p r o x i m a t e l y 2 . 2 , o n a v e r a g e ) .

B e h a v i o r o f c e l l s u n d e r p r o l o n g e de l e c t r o r o t a t i o n t o r q u eT h e a n a l y s i s p r e s e n t e d a b o v e i n d i c a t e s t h a t m o s t o f t h eo b s e r v a t i o n s p r e v i o u s l y t a k e n a s e v i d e n c e f o r b a r r i e r s t or o t a t i o n c a n b e e x p l a i n e d , i n s t e a d , a s a r e s u l t o f t h e a n g u l a rv a r i a t i o n i n t h e e l e c t r o r o t a t i o n s t r e n g t h r e q u i r e d t o s t a l l ac e l l . H o w e v e r , t h e a n a l y s i s d o e s n o t e x p l a i n t h e b e h a v i o r o fmany c e l l s t h a t a r e s t a l l e d b y e l e c t r o r o t a t i o n f o r e x t e n d e dp e r i o d s o f t i m e . I f , w h e n s t a l l e d , t h e m o t o r g e n e r a t e s t o r q u et h a t i s i n d e p e n d e n t o f a n g l e , o r t o r q u e t h a t d e p e n d s o n a n g l eb u t i s t i m e i n v a r i a n t , t h e n w e w o u l d p r e d i c t t h a t t h e c e l lw o u l d r e m a i n i n d e f i n i t e l y a t o n e o f t h e s t a b l e p o i n t s m a r k e db y t h e s q u a r e s i n F i g . 2 a . B e r g a n d T u r n er ( 1 9 9 3 ) r e p o r t e dt h a t u n d e r s u c h c o n d i t i o n s c e l l s a c t u a l l y r o t a t e v e r y s l o w l yb a c k w a r d , s o m e t i m e s t a k i n g s e v e r a l m i n u t e s t o c o m p l e t e as i n g l e r e v o l u t i o n . To i n v e s t i g a t e t h i s p h e n o m e n o n m o r ec l o s e l y , we r e c o r d e d c e l l a n g l e s u s i n g t h e L GF a p p a r a t u sw h i l e a p p l y i n g a w i d e r a n g e o f e l e c t r o r o t a t i o n t o r q u e t o s t a l lc e l l s f o r 6 4 s a t a t i m e . Some c e l l s a c t u a l l y s t u c k a t f i x e d

U )00

- W

W-

t oFIGURE 7 ( a ) C e l l a n g l e v er s u s t i m e f o r a t e t h e r e dc e l l s u b j e c t e d t o e l e c t r o r o t a t i o n f o r 6 4 s c o n t i n u o u s l y .E l e c t r o r o t a t i o n w a s a p p l i e d a t t = 4 s a n d r e m o v e d a tt = 6 8 s , w i t h P =- 1 2 % . T h e c e l l m a d e 1 0 j u m p s o fa p p r o x i m a t e l y o n e - h a l f o f a r e v o l u t i o n e a c h . ( b ) Ont h e l e f t s i d e a r e t h e p r e d i c t e d v a l u e s o f P s t a l l v e r s u sa n g l e f o r t h e s a m e c e l l . T h e v e r t i c a l l i n e m a r k s P- 1 2 % , a n d t h e s q u a r e s s h o w t h e p r e d i c t e d s t a b l ep o i n t s . T h e r i g h t s i d e i s a s i n a b u t s h o w i n g m o r ec l e a r l y t h e t w o a n g l e s a t w h i c h t h e c e l l s t o p p e d .

3 6 0U )a )a )t o

, - .a )W-b o

a n g l e s , a s p r e d i c t e d b y F i g . 2 a , b u t o t h e r s r o t a t e d s l o w l yb a c k w a r d .W e d i s t i n g u i s h e d t w o d i f f e r e n t t y p e s o f b a c k w a r d r o t a -t i o n : s u d d e n 1 8 0 0 j u m p s a t r a n d o m l y s p a c e d t i m e i n t e r v a l sa n d s l o w , s m o o t h r o t a t i o n . F i g . 7 a s h o w s a c e l l r o t a t i n g i n1 8 0 0 j u m p s d u r i n g a r u n i n w h i c h c o n s t a n t e l e c t r o r o t a t i o nw a s a p p l i e d a t P = - 1 2 % , b e g i n n i n g a t t = 4 s a n d e n d i n ga t t = 6 8 s . T h e s a m e d a t a a r e s h o w n i n t h e r i g h t p a n e l o fF i g . 7 b , w i t h c e l l a n g l e s m a p p e d i n t o a s i n g l e p e r i o d f r o m0 0 t o 3 6 0 . T h e l e f t p a n e l o f F i g . 7 b s h o w s t h e c a l c u l a t e dv a l u e s o f P s t a l l a s a f u n c t i o n o f c e l l a n g l e , o b ta i n e d be f o r et h e c e l l w a s p u s h e d h a r d e n o u g h t o s t a l l i t a t a n y a n g l e . T h ev e r t i c a l l i n e a n d s q u a r e s i n t h e l e f t p a n e l m a r k P = -12%a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a b l e p o i n t s , r e s p e c t i v e l y . T h e c e l lj u m p e d a b r u p t l y b e t w e e n f i x e d a n g l e s c l o s e t o t h e p r e d i c t e ds t a b l e p o i n t s .F i g . 8 a s h o w s a n e x a m p l e o f s l o w , s m o o t h r o t a t i o n . T h el e f t p a n e l s h o w s t h e c a l c u l a t e d v a l u e s o f P s t a l l a s a f u n c t i o no f c e l l a n g l e , a s i n F i g . 7 b , a n d t h e c e n t r a l p a n e l s h o w s t h ea n g l e o f t h e c e l l a g a i n s t t i m e d u r i n g t w o r u n s i n w h i c hc o n s t a n t e l e c t r o r o t a t i o n w a s a p p l i e d , f i r s t a t P = -15% a n dt h e n a t P = - 1 6 % . V e r t i c a l l i n e s a n d s q u a r e s i n t h e l e f tp a n e l m a r k t h e s e v a l u e s o f P a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a b l ep o i n t s . A l t h o u g h t h e c e l l d i d move m o r e s l o w l y n e a r t h es t a b l e p o i n t s , i t d i d n o t a c t u a l l y s t o p . I n s t e a d , i t a c t u a l l ym o v e d s m o o t h l y t h r o u g h s u b s t a n t i a l f r a c t i o n s o f a r e v o l u

2

10- 1- 2- 3- 4- 5

a

I0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0

Time ( s )6 0 7 0

- 1 5 - 1 0 - 5 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0p s t a l l ( % ) Time ( s )

3 5 0 7B e r r y a n d B e r g


8/10

V o l u m e 7 1 D e c e m b e r 1 9 9 6

4 , b1 0

FIGURE 8 ( a ) I n t h e c e n t e r i s c e l l a n g l e v e r s u s t i m ef o r a t e t h e r e d c e l l s u b j e c t e d t o e l e c t r o r o t a t i o n f o r 6 4 sc o n t i n u o u s l y i n e a c h o f t w o s e p a r a t e r u n s . E l e c t r o r o -t a t i o n w a s a p p l i e d a t t = 4 s a n d r e m o v e d a t t = 6 8 sw i t h P = -15% i n t h e f i r s t r u n a n d P = -16% i n t h es e c o n d r u n . T h e c e l l m a d e a p p r o x i m a t e l y t h r e e f u l lr e v o l u t i o n s i n e a c h r u n . On t h e l e f t a r e t h e p r e d i c t e dv a l u e s o f P , , , v e r s u s a n g l e f o r t h e s a m e c e l l . T h ev e r t i c a l l i n e s m a r k P = 1 5 % a n d P = 1 6 % , a n d t h es q u a r e s s h o w t h e p r e d i c t e d s t a b l e p o i n t s f o r e a c h c a s e .On t h e r i g h t i s a n g l e v e r s u s t i m e o n a n e x p a n d e d t i m es c a l e , s h o w i n g t h e b e h a v i o r o f t h e c e l l j u s t a f t e r e l e c -t r o r o t a t i o n w a s s t o p p e d . ( b a n d c ) R o t a t i o n r a t e v e r s u st i m e f o r t h e s a m e c e l l a s i n a i n a s i m i l a r r u n w i t h P =- 1 3 % . ( b ) R o t a t i o n r a t e a r o u n d t = 4 s . ( c ) R o t a t i o nr a t e a r o u n d t = 6 8 s . T h e a r r o w s m a r k t h e t i m e s a tw h i c h e l e c t r o r o t a t i o n w a s s t a r t e d ( t = 4 s ) a n d s t o p p e d( t = 6 8 s ) .

ibU Er - . 1 . 2

2 7 0

1 8 0 -

9 0 . . 1 _ _1__.. ; 1- 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 0

s t a l l (%)

2 0N 1 5x

. ' 1 0

. 5I =0 dO

- 5

. 1 . , , I

T i r M " I r r I F2 3 4Time ( s ) 5

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0Time ( s )

6 0 7 0 6 8 6 8 . 4T i m e ( s )

I' . 1 i i 1 l 1 SIv I vLA~d.,

r''R' I " l \ -6 6 7 6 8 6 9Time ( s ) 7 0 7 1

t i o n , a s , f o r e x a m p l e , b e t w e e n 1 0 a n d 2 5 s . T h e r i g h t p a n e ls h o w s c e l l a n g l e v e r s u s t i m e f o r t h e s a m e r u n s b u t o n a ne x p a n d e d t i m e s c a l e . I n b o t h r u n s w h e n t h e e l e c t r o r o t a t i o nw a s s t o p p e d , t h e c e l l r e b o u n d e d t h r o u g h a b o u t o n e - t h i r d o fa r e v o l u t i o n i n a p p r o x i m a t e l y 0 . 1 s b e f o r e s t o p p i n g f o r as h o r t w h i l e a n d t h e n s t a r t i n g t o r o t a t e f o r w a r d . T h e t i m ec o u r s e o f t h e r e b o u n d w a s s i m i l a r t o t h a t o b s e r v e d b y B l o c ke t a l . ( 1 9 8 9 ) , who w o u n d u p t h e t e t h e r s o f l o c k e d c e l l s u s i n ga n o p t i c a l t r a p a n d w a t c h e d t h em u n w i n d a f t e r t h e t r a p w a st u r n e d o f f . F i g . 8 , b a n d c s h o w s s p e e d v e r s u s t i m e f o r t h es a m e c e l l b e f o r e a n d a f t e r a r u n a t P = - 1 3 % . I n b e t w e e n ,t h e c e l l c o m p l e t e d o n e r e v o l u t i o n ( d a t a n o t s h o w n ) . Whent h e f i e l d w a s t u r n e d o n ( a r r o w , F i g . 8 b ) , t h e c e l l d e c e l e r a t e da t o n c e . When i t w a s t u r n e d o f f ( a r r o w , F i g . 8 c ) , t h e r e w a sa b r i e f r e b o u n d ( t h e s p i k e o f p o s i t i v e s p e e d a t t = 6 8 s ) ,f o l l o w e d b y a l m o s t a s e c o n d b e f o r e t h e c e l l s t a r t e d t o r o t a t ef o r w a r d . O v e r t h e c o u r s e o f t h e n e x t s e c o n d , t h e c e l l a c c e l -e r a t e d t o a s t e a d y s p e e d s i g n i f i c a n t l y s m a l l e r t h a n i t s i n i t i a ls p e e d .When c e l l s r o t a t e d i n 1 8 0 0 j u m p s , t h e y t e n d e d t o s t a r t u pi n s t a n t l y a t f u l l s p e e d . When c e l l s r o t a t e d s m o o t h l y a n ds l o w l y b a c k w a r d , o n t h e o t h e r h a n d , t h e y i n v a r i a b l y s t a r t e du p s l o w l y a f t e r r e l e a s e , a l t h o u g h n o t a l w a y s a t z e r o s p e e d .B o t h t y p e s o f b e h a v i o r a r e c o m p a r e d i n t h e h i s t o g r a m s o fF i g . 9 .DISCUSSIONO u r m a i n c o n c l u s i o n i s t h a t t h e a p p a r e n t b a r r i e r t o b a c k -w a r d r o t a t i o n i n t h e b a c t e r i a l f l a g e l l a r m o t o r , i n f e r r e d f r o me a r l i e r e x p e r i m e n t s , i s p r o b a b l y a n a r t i f a c t d u e t o a n a n g u l a rd e p e n d e n c e i n t h e p o w e r l e v e l r e q u i r e d t o s t a l l a c e l l . T h e

a n g u l a r v a r i a t i o n i n P . 1 a c c u r a t e l y p r e d i c t e d t h e a p p a r e n tb a r r i e r s o b s e r v e d , o v e r a w i d e r a n g e o f b a r r i e r s i z e s , u n d e rt h e a s s u m p t i o n t h a t t h e m o t o r t o r q u e - s p e e d r e l a t i o n s h i p i sc o n s t a n t , o r l i n e a r , t h r o u g h z e r o s p e e d . A n g u l a r v a r i a t i o n i nP s t a l l c o u l d b e d u e t o a n g u l a r v a r i a t i o n i n t h e t o r q u e g e n e r -a t e d e i t h e r b y e l e c t r o r o t a t i o n o r b y t h e m o t o r i t s e l f . Whent h e r o t a t i n g e l e c t r i c f i e l d w a s d e l i b e r a t e l y m a d e e l l i p t i c a lr a t h e r t h a n c i r c u l a r , t w o e v e n l y s p a c e d m a x i m a w e r e o b -s e r v e d i n P s 5 l , a s e x p e c t e d . When t h e e l l i p t i c i t y o f t h er o t a t i n g f i e l d w a s m i n i m i z e d , e v e n l y s p a c ed m a x i m a w e r en o l o n g e r e v i d e n t . T h e s m a l l a n d i r r e g u l a r v a r i a t i o n i n P , t a lt h a t r e m a i n e d m i g h t b e d u e t o i r r e g u l a r i t i e s i n t h e s h a p e o rp o s i t i o n o f t h e e l e c t r o d e s , i n t h e d i e l e c t r i c e n v i r o n m e n t o ft h e c e l l , o r i n t h e r o t a t i o n a l s y m m e t r i e s o f t h e r o t o r a n ds t a t o r .

O u r c o n c l u s i o n t h a t t h e m o t o r t o r q u e i s i n d e p e n d e n t o fs p e e d o r v a r i e s l i n e a r l y w i t h s p e e d , a t l o w s p e e d s , i s s i m i l a rt o t h a t o f W a s h i z u e t a l . ( 1 9 9 3 ) , who a l s o m e a s u r e d t h er o t a t i o n r a t e o f t e t h e r e d c e l l s u n d e r e l e c t r o r o t a t i o n a n df o u n d t h a t t h e m o t o r g e n e r a t e d c o n s t a n t t o r q u e . T h e i r t e t h -e r i n g t e c h n i q u e , m e a n s o f f i e l d g e n e r a t i o n , a n d e l e c t r o d eg e o m e t r y w e r e d i f f e r e n t , a n d t h e y u s e d S a l m o n e l l a t y p h i -m u r i u m i n s t e a d o f E . c o l i . H o w e v e r , t h e y a l s o s a w a n u m b e ro f c e l l s t h a t e x h i b i t e d a n a p p a r e n t b a r r i e r t o b a c k w a r dr o t a t i o n ( S - I . A i z a w a , p e r s o n a l c o m m u n i c a t i o n ) , w h i c h t h e yi g n o r e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e s e c e l l s w e r e s t i c k i n g t ot h e t e t h e r i n g s u r f a c e . T h e y a l s o r e p o r t e d t h a t f o r many c e l l s" e s p e c i a l l y w h e n ( r o t a t i o n r a t e ) w a s s m a l l , t h e r o t a t i o na p p e a r e d t o s l o w d o w n a t a p a r t i c u l a r a n g l e o n c e a r e v o l u -t i o n , " c o n s i s t e n t w i t h a v a r i a b l e P s t a l l . T h e i r p u b l i s h e d d a t ao n t h e t o r q u e - s p e e d r e l a t i o n s h i p w e r e b a s e d o n a s i n g l e c e l l ,a n d a l t h o u g h n o a p p a r e n t b a r r i e r i s d e m o n s t r a t e d , t h e d a t a



9/10

F l a g e l l a r M o t o r T o r q u e C l o s e t o S t a l l

( A

,0

z

5

4

3

2

1

0

0

r i A

,0

z

a

0 . 5 1F i n a l s p e e d / I n i t i a l s p e e d

1 . 5

2 5

2 0

1 5

1 0

5

0

0 0 . 5 1F i n a l s p e e d / I n i t i a l s p e e d

FIGURE 9 ( a ) D i s t r i b u t i o n o f s p e e d r a t i o s f o r 2 1 runs i n w h i c h c e l l sm o v e d b a c k w a r d i n j u m p s o f 1 8 0 0 . T h e f i n a l s p e e d was m e a s u r e d b e t w e e n0 . 1 a n d 0 . 2 s a f t e r t h e e l e c t r i c f i e l d w a s t u r n e d o f f , a n d t h e i n i t i a l s p e e d wasm e a s u r e d b e t w e e n 4 a n d 0 s b e f o r e t h e e l e c t r i c f i e l d was t u r n e d o n . ( b ) A si n a b u t f o r 8 4 runs i n w h i c h c e l l s r o t a t e d s m o o t h l y a n d s l o w l y b a c k w a r d .O u r d e f i n i t i o n o f s m o o t h , s l o w r o t a t i o n was s t e a d y r o t a t i o n t h r o u g h moret h a n o n e - t e n t h o f a r e v o l u t i o n o v e r t h e co u r se o f 5 s or l o n g e r . T h e d a t a i na a n d b w e r e o b t a i n e d f r o m 2 2 d i f f e r e n t c e l l s ; 3 c e l l s m o v e d i n j u m p s i na l l runs ( a ) , 1 4 r o t a t e d s m o o t h l y b a c k w a r d i n a l l runs ( b ) , a n d 5 r o t a t e ds m o o t h l y i n some runs a n d m a d e j u m p s i n o t h e r s ( a a n d b ) .

are t o o s p a r s e t o r u l e o u t t h e presence o f s u c h a b a r r i e r . O n l yo ne p o i n t i s s h o w n w h e r e t h e c e l l i s s t a l l e d a n d n o n e w h e r ei t r o t a t e s b a c k w a r d a t l e s s t h a n 2 0 H z .We f o u n d t h a t m o st c e l l s r o t a t e d s l o w l y b a c k w a r d whens t a l l e d f o r e x t e n d e d p e r i o d s b y e l e c t r o r o t a t i o n , some i nj u m p s o f 1 8 0 0 ( F i g s . 7 a n d 9 a ) a n d o t h e r s s l o w l y a n d

s m o o t h l y ( F i g s . 8 a n d 9 b ) . A l t h o u g h t h e m a j o r i t y o f o u rd a t a s h o w c e l l s r o t a t i n g s m o o t h l y , t h i s may r e f l e c t s e l e c t i o nb i a s r a t h e r t h a n a g e n u i n e p r e d o m i n a n c e o f s m o o t h r o t a t i o n .A t t h e t i m e t h e s e e x p e r i m e n t s w e r e p e r f o r m e d , o u r g o a l wast o s t u d y s m o o t h r o t a t i o n , a n d we t e n d e d t o s t o p c o l l e c t i n gd a t a on c e l l s t h a t e i t h e r d i d n o t r o t a t e o r t h a t r o t a t e d i nj u m p s o f 1 8 0 . W e s u s p e c t t h a t b a c k w a r d r o t a t i o n i n j u m p so f 1 8 0 0 i s d u e t o t e m p o r a l f l u c t u a t i o n s i n motor t o r q u e . I f ,

f o r e x a m p l e , t h e n u m b e r o f a c t i v e t o r q u e - g e n e r a t i n g u n i t s i nt h e m o t o r v a r i e s , t h e n f r o m t i m e t o t i m e t h e m o t o r t o r q u ew i l l b e r e d u c e d f a r e n o u g h t o a l l o w t h e c e l l t o r o t a t eb a c k w a r d p a s t a maximum i n I P s t a l l l I f t h e t o r q u e r e t u r n s t oh i g h e r l e v e l s w i th i n a f r a c t i o n o f a s e c o n d , t h e c e l l w i l l s t o pa t t h e n e x t s t a b l e p o i n t ( F i g s . 2 a a n d 3 c ) , p r o g r e s s i n g i nr a n d o m l y t i m e d j u m p s o f a p p r o x i m a t e l y o n e - h a l f o f a r e v -o l u t i o n e a c h a s s h o w n i n F i g . 7 . T h i s b e h a v i o r w a s r e p r o -d u c e d i n c o m p u t e r s i m u l a t i o n s , i n w h i c h e a c h t o r q u e - g e n -e r a t i n g u n i t w a s a s s u m e d t o g o o n a n d o f f a t r a n d o m , w i t hf i x e d r a t e c o n s t a n t s . W i t h r a t e c o n s t a n t s o n t h e o r d e r o f 1 t o1 0 p e r s e c o n d , t h e a v e r a g e s p ee d v a r i e d a p p r o x i m a t e l ye x p o n e n t i a l l y w i t h t o r q u e , a s w a s o b s e r v e d i n t h e m a j o r i t yo f c e l l s . S m o o t h b a c k w a r d r o t a t i o n m i g h t b e e x p l a i n e d i ft h e s e c e l l s w e r e b e i n g p u s h e d b a c k w a r d o v e r f i x e d e n e r g yb a r r i e r s t o r o t a t i o n . T h e r a t e o f c r o s s i n g s u c h a n e n e r g yb a r r i e r i s p r o p o r t i o n a l t o e x p [ A O / k T , w h e r e 4 i s t h e a n g l et h r o u g h w h i c h a n a p p l i e d t o r q u e , A , d o e s w o r k i n s u r m o u n t -i n g a b a r r i e r . I f t h e m o t o r w e r e w o r k i n g n o r m a l l y , t h i sw o u l d h a v e t o l d u s a b o u t t h e i n t e r a c t i o n p o t e n t i a l b e t w e e nt h e r o t o r a n d t h e s t a t o r , a n d t h e r e f o r e s o m e t h i n g a b o u t t h et o r q u e - g e n e r a t i n g m e c h a n i s m . H o w e v e r , t h e d e l a y e d r e c o v -e r y o f n o r m a l t o r q u e w h e n e l e c t r o r o t a t i o n w a s s t o p p e d( F i g s . 8 c a n d 9 b ) i n d i c a t e s t h a t w h e n c e l l s r o t a t e d s m o o t h l yb a c k w a r d t h e i r m o t o r s w e r e i n a n a b n o r m a l , d a m a g e d s t a t e .T h i s d a m a g e m i g h t b e c a u s e d b y o f f - a x i s t o r q u e s o r l a t e r a lf o r c e s t h a t d i s r u p t t h e r e l a t i v e p o s i t i o n s o f t h e r o t o r a n ds t a t o r a n d t h e r e f o r e t h e i n t e r a c t i o n s t h a t g e n e r a t e m o t o rt o r q u e . T h u s , a l t h o u g h w e m ay l e a r n s o m e t h i n g a b o u t t h es t r u c t u r e o f t h e m o t o r f r o m t h e s e e x p e r i m e n t s , t h e y a r eu n l i k e l y t o t e l l u s much a b o u t ho w i t w o r k s .W e a l s o f o u n d , a s b e f o r e ( B e r g a n d T u r n e r , 1 9 9 3 ; B e r r ye t a l . , 1 9 9 5 ) , t h a t m o t o r s d r i v e n b a c k w a r d a t s p e e d s u p t o af e w t e n s o f H e r t z , o f t e n b r o k e c a t a s t r o p h i c a l l y . C e l l s p u s h e d

f o r w a r d w i t h s i m i l a r a p p l i e d t o r q u e r o t a t e d a t s p e e d s u p t oa p p r o x i m a t e l y 5 0 H z , a n d d i d n o t b r e a k c a t a s t r o p h i c a l l y . I ft h e r e a r e n o b a r r i e r s t o b a c k w a r d r o t a t i o n , a n d i f m o t o rt o r q u e i s i n d e p e n d e n t o f s p ee d u p t o a f e w h u n d r e d H e r t z a troom t e m p e r a t u r e ( B e r g a n d T u r n e r , 1 9 9 3 ) , t h e n t h e a v e r a g et o r q u e e x p e r i e n c e d b y t h e m o t o r i s s i m i l a r i n e i t h e r c a s e . S ow h y s h o u l d m o t o r s b r e a k w h e n r o t a t i n g s l o w l y b a c k w a r db u t n o t w h e n r o t a t i n g f o r w a r d ? P e r h a p s t h e t o r q u e i n am o t o r d r i v e n b a c k w a r d i s t r a n s i e n t l y much h i g h e r t h a n i n am o t o r r u n n i n g f o r w a r d , e v e n t h o u g h t h e a v e r a g e t o r q u e i ss i m i l a r . T h i s p o s s i b i l i t y s h o u l d b e a d d r e s s e d i n f u t u r e m o d -e l s o f t h e m o t o r m e c h a n i s m .We a r e i n t h e p r o c e s s o f r e c o n s t r u c t i n g a n o p t i c a l t r a p

( B l o c k e t a l . , 1 9 8 9 ) t h a t c a n b e u s e d t o c o n d u c t a n e l e c t r o -r o t a t i o n - i n d e p e n d e n t t e s t f o r t h e e x i s t e n c e o f b a r r i e r s t ob a c k w a r d r o t a t i o n . W i t h a c a r e f u l l y d e s i g n e d e x p e r i m e n t ,w e h o p e t o r e m o v e a n y a n g u l a r d e p e n d e n c e i n t h e a p p l i e dt o r q u e . I f t h e v a r i a t i o n i n m o t o r t o r q u e i s s m a l l a n d t h e r e i sn o b a r r i e r , w e w o u l d e x p e c t t o b e a b l e t o d r i v e a c e l lb a c k w a r d w i t h a t r a p s t r e n g t h v i r t u a l l y i d e n t i c a l t o t h a tr e q u i r e d t o s t o p i t f r o m r o t a t i n g f o r w a r d . A l t e r n a t i v e l y , w es h o u l d b e a b l e t o d e t e c t a n d m e a s u r e a n y s i g n i f i c a n t a n g u l a rv a r i a t i o n i n m o t o r t o r q u e t h a t m i g h t e x i s t . I n a n y e v e n t , t h e

B e r r y a n d B e r g 3 5 0 9

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