Riemannhypotesen og de komplekse talsmagi

Niels Lauritzen

Institut for MatematikAarhus Universitet

UNF, 18. april 2013

Primtal

I De naturlige tal er 0,1,2,3, . . . . De betegnes medsymbolet (blackboard bold) N1.

I Vi siger at d går op i b og skriver d | b, hvis der findes a så

b = ad .

Eksempler?I Et primtal er et naturligt tal med præcis to divisorer. Med

denne definition er 1 er altså ikke et primtal!

2,3,5,7,11,13,17,19, . . .

Disse tal er de smukkeste, men samtidig også deallermystiske objekter i matematikken.

1fordi det er svært at lave bold face på en tavle

Eratosthenes (276 – 194 BC)

Eratosthenes’ si

Matematikkens forunderlige styrke!

Carl Sagan (Cosmos)2

2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33)

Euklids elementer og primtal

Verdens største primtal

257.885.161 − 1Curtis Cooper (GIMPS), University of Central Missouri

Januar 2013.

Entydig faktorisering

2 · 3 · 11 6= 5 · 13

Gauss (1777–1855)

Euler og den harmoniske række

1 +12+

13+ · · · =∞

Euler (1707 (15/4) – 1783)

Dominobrikker/spillekort

Nu til nogle “formelle” formler

I Månedlig opsparing på 100 kr bliver med en rente på 5%per måned på et år til ...

I

1 + r + r2 + · · ·+ rn =rn+1 − 1

r − 1=

1− rn+1

1− r

I

1 +12+

13+

14+ · · · = 1

1− 12

11− 1

3

11− 1

5

· · ·

I Wooops:∞ =∞

En funktion på de reelle tal!!!

I

ζ(s) = 1 +12s +

13s +

14s + · · · = 1

1− 12s

11− 1

3s

11− 1

5s

· · ·

I Her er ζ(1) =∞, men faktisk er ζ(s) <∞ for s > 1.Mindsandten ...

ζ(2) =π2

6.

Hvordan ganger man et tal med sig selv?

I

22 = 2 · 2 23 = 2 · 2 · 2,etc

22.5 = 22 · 20.5 = 4√

2

I Hvad med2√

2?

Rentes regning igen

I 1000 kroner bliver med 10% i rente om året til

1000(1 + 0.1) = 1100 kroner.

I Hvis renten tilskrives månedligt bliver det

1000(1 +0.112

)12 = 1104.71 kroner

I Hvis renten tilskrives dagligt bliver det

1000(1 +0.1365

)365 = 1105.16 kroner

Eksponentialfunktionen og logaritmen

I

ex = limn→∞

(1 +xn)n = (1 +

x∞

)∞.

I Renten tilskrevet hvert nanosekund giver

100 e0.1 = 1105.17 kroner.

I Beregning af e = e1:

(1 +15)5 = 2.48

...

(1 +1

1000)1000 = 2.72

2√

2??

Husk på regnereglen(ab)

c= abc

Logaritmen er defineret ved

n = elog(n).

Derfor ernx = (elog(n))

x= ex log(n).

f (x) = ex for x ∈ R

Funktionen f (x) = ex er nu defineret for alle tal x ∈ R.Eller er den ...?Hvad med de komplekse tal?

C = {a + bi | a,b ∈ R}?

Et dansk islæt!

Caspar Wessel (1745–1818).

Hvad????????????

√−1?

i =√−1 eller i2 = −1

Regneregler?

(a + bi)(c + di) =?

Mirakuløse uendelige formler!!

ex = (1 +x∞

)∞ = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ · · ·

sin(x) = x − x3

3!+

x5

5!− · · ·

cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− · · ·

Den smukkeste identitet i verden!

ei x =?

eiπ + 1 = 0

Potenser som er komplekse tal!

s = x + iy

ns = · · ·= nx (cos(log(n)y) + i sin(log(n)y))

Dette giver zeta-funktionen for (næsten alle) komplekse tals = x + iy ∈ C:

ζ(s) = 1 +12s +

13s + · · · = 1

1− 12s

11− 1

3s

11− 1

5s

· · ·

Eneste undtagelse er s = 1.YouTube “pdehaye”

Zetafunktionen og Hollywood

Bernhard Riemann (1826–1866)

Den banebrydende artikel

Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenenGrösse

(1859)

Riemann hypotesen

Alle nulpunkter for ζ(s) ligger på en bestemtlodret linie:

ζ(x + iy) = 0 =⇒ x =12.

Hvad har det at gøre med primtal?

π(x) = antallet af primtal ≤ x :

x π(x) π(x)/x10 4 0.4

100 25 0.251000 168 0.17

10,000 1,229 0.12100,000 9,592 0.09

1,000,000 78,498 0.0810,000,000 664,579 0.066

100,000,000 5,761,455 0.0581,000,000,000 50,847,534 0.051

Er der en lovmæssighed?

Gauss opdagede ved at studere tabeller (som 14-årig!!!):

x π(x) π(x)/x 1/ log(x)10 4 0.4 0.43

100 25 0.25 0.221000 168 0.17 0.14

10,000 1,229 0.12 0.11100,000 9,592 0.09 0.09

1,000,000 78,498 0.08 0.0710,000,000 664,579 0.066 0.062

100,000,000 5,761,455 0.058 0.0541,000,000,000 50,847,534 0.051 0.048

Gauss’ logaritmetabel

Logaritmisk regel for ϕ(x) = x/π(x) : ϕ(10x) = 2.3 + ϕ(x):

x π(x) x/π(x)10 4 2.5

100 25 4.01000 168 6.0

10,000 1,229 8.1100,000 9,592 10.4

1,000,000 78,498 12.710,000,000 664,579 15.0

100,000,000 5,761,455 17.41,000,000,000 50,847,534 19.7

Men 2.3 er ca. log(10) = 2.30259.

Gauss og Riemann

Gauss opdagede (som meget ung!!) at

x/π(x) ∼ log(x) eller π(x) ∼ x/ log(x)

En bedre approksimation er

Li(x) =∫ x

2

dtlog(t)

og endnu bedre er Riemanns approksimation

R(x) = Li(x)− 12

Li(√

x)− 13

Li( 3√

x)− · · ·

Approksimationer til π(x)

x π(x) x/ log(x) Li(x) R(x)10 4 4.3 6.2 4.6

100 25 21.7 30.1 25.71000 168 144.8 177.6 168.4

10,000 1,229 1,085.7 1,246.1 1,226.9100,000 9,592 8,685.9 9,629.8 9,587.4

1,000,000 78,498 72,382.4 78,627.5 78,527.410,000,000 664,579 620,421 664,918 664,667

Det største tal i verden!

Det ser ud til at π(x) altid er mindre end Li(x),eller ... Faktisk kan man vise at der findes et taly mindre end

10101034

med π(y) > Li(y).

Riemann hypotesen

π(x) = Li(x) + O(√

x log x).

eller

|π(x)− Li(x)| < 18π√

x log x forx ≥ 2657.

Supercomputere!!

I Supercomputers and the Riemann zeta function byA. M. Odlyzko (ATT, Bell Labs).

I De første 2,001,052 nulpukter af Riemanns zeta funktion,med præcision up til 4 · 10−9.

I Det første nulpunkt har imaginærdel:

14.1347251417346937904572519835624702707842571156992431756855674601499634298092567649490103931715610127792029715487974367661426914698822545825053632394471377804133812372059705496219558658602005555667258360107737002054109826615075427805174425913062544819786510723049387256297383215774203952157256748093321400349904680343462673144209203773854871413783 . . .