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R1VISTA DI LAVORI SULLA ELETTR0-DINAMICA~ PUBBLICATI ALL'ESTERO; PER a. F. ( | ) .

Formule di i~EUr[AN~ per l' induzione - - Zegge fondamentale dell'elettrodinamica, di WEBER ~ Teoria dell" induzione per slrisciamento, di MOST (Poggeadorff~ anno 186~ n. 5) - - Sul moto della elettricitd nei conduttori, teoria di KIa- CHHOFF--Sul moto della elettricitd nei conduttori per WEI~C, ArLTEN (Giornale di Crelle, V. LXIII. i86~) .

Cosi la espressione (a) del paragrafo 5. 0 dar/~ per la for- za elettro-motrice indotta~ nel nostro caso speciale~ la espres- sione

a ~ eudt . e'ds' I ( z t 6 " r ~ 4 u - t - - r

,) v - - ~ v v ds ~

a ) d~r v dr] �9 " ~ ~ V~j

Integrando ora per ~, da ~ ---~o, a z -----% si avr/~, la e- spressione

a ~ eud t . e ' d s ' i [dr~ d~r~ d~s J . r~ .v U~\ds~ -- 2 r - d - ~ ) - - 2 r .

Se q~ ~ r angolo che la direzione della elettricit~ positiva mos-

(I) Contlnua~ione, Vedi pag. 202 di quosto Volume.

308

sa nell ' elemento indotto fa con r , bisogner'~ molt ipl ieare per cos ~r la espressione precedente della forza indotta secondo la r ; e siceome poi si dovr~, riferire detta forza all 'unitb, di massa, cosi si dovrfi, dividere per e' quella stessa espressione, e perei5 la forza S eercata sara espressa da

a ~ e u d t . v ds' [ d r ~ d ~ r~ S - - ~ - - - - ~ . r~ U r \ d s , z - - 2 r d s ~]cOs(~

a ~

~. ~ . e u d t v d s ' d r r " ~ss cos ~o .

Ma i = a e u , 6 la intensifft della corrente dalla p i la , e

v d t 6 lo spazietto percorso nel tempo d t dalla estremit/t stri- seiante del conduttore in moto; cosi dunque facendo v d t m - d ~ ,

si avr~t

(t) s - a ias.a . r~ u \ds~ - - 2 r d s~] cos(~

a i d s d~ d r -~-2" " r d s c o s ~ .

Weber dice, nelle sue citate r i ce rche , che il pr imo ter- mine della (!) di questo paragrafo 6 da t r scura r s i , perch6 moltiplicato per ~- che 6 quantit~ p iccol i ss ima, e dice che 6 solo da conservarsi l' ultimo termiue deIla ( l ) ; cosi che per Weber' si avrebbe

a i ds d~ d r S ~ cos ~ ;

2 r d s

e giacch6 abbiamo indicato con cos (~ il coseno dell 'angolo che

la direzione della elettricifft positiva fa con un prolungamento dr

della r , si dovrb, indicate con cos 0 ~--- - - - - il eoseno del- ds

3O9

l'angolo che la direzione della elettrieit~ positlva dell'elemento indueente fa col prolungamento stesso, e si avr/~

a i d s da (2) S ~ 2 r cos 0 cos r .

Nella discussione della esperienza eitata, di Neumann, We- ber calcola con la (2) preeedcntr la 3. a delle cause distinte da Weber, e che abbiamo citate nel paragrafo 7. ~ cio6 la cau- se di induzione per str isciamento.

]~ frattanto da rimareare c h e l a forma della (2) di questo paragrafo , conduce per la integrazione ad un potenziale esat- tamente simile a quello che derixa dalla teoria di Neumann~ come testa e~'idente osservando le formule del primo e del se- condo paragrafo, e simile ancora a quello che ottenni nelle mie rieerche. Ma~ ripetiamolo, le interpretazioni fisiche che si possono dare alle formule sono ~ veto molto different ia se- conda deIle teorie da cui si p a r t e , m a l a simiglianza di que[- le formale , sia confrontate direttamente fra di l o ro , s ia dopo delle trasformazioni rese possibili nel caso di integrazioni pei: circuiti f i l iformi, 6 tale ehe i resultati finali, nei easi per ora discussi~ son sempre gli s tess i .

~. 9. Teoria della induzione esercitata da un luogo di stri. sciamento di due condutlori voltaici; per il D r M o s t . - Il Most co- mincia il suo lavoro dicendo che il Weber non area alcun dritto di sopprimere nella formula (1) del paragrafo 8? il primo termine, moltiplicato per uT; perch,, egli dice, se 6 vero che T 6 piccolissi- mo~ ~ vero altresi che u~ velocitb~ della elcttricit~t nel conduttore voltaico 6 grandissima, per cui non si potrebbe trascurare quel termine, a meno che v non fosse un infinitamente piccolo di secondo ordine. E dice ancora c h e s e negli espcrimenti~ che citammo di Weber e Neumann~ nulla comparve per autorizza- re a conservare quel termine, cib non prov6 nulla nella que- stione~ perch6 in quegli esperimenti la cur~'a di Gleitstellen (strisciamento) 6 chiusa, ed allora si pub dimostrare ehe il fattore di uv deve sparire integrazioni fatte. Egli perb rimet-

310

te il case in eui ~ aperta la curva di striseiamento ad un al- tro sue lavoro.

Io credo che per era, adottando la teoria del Weber, non si possa decidere seque l termine della (1) debba o no traseu- rarsi generalmente~ e che non sia da ritenersi come evidente che u debba rappresentare una quantitY, grandissima. Eomun- que sia ecco come precede il Most.

Sia il circuito composto di tre parti conduttrici, ADC che /~ supposta immobile, (Tar. III.fig. 1) ed A B e BC che sono sup- poste in movimeato, strisciando 1' una sull' altra. Il cot~duttore AB, ossia ~, abbia nel punto B la veloeith c~ e il conduttore B E, ossia fl abbia hello stesso pmlto la veloeit'5 c'. Se la elettri- citer positiva percorre il cireuito da ~ a fl con la velocita -I--u~ essa passando da ~ a fi passera dalla veloeifft laterale, e~ atla velocita laterale c ' ; e all ' incontro la elettricitb, negativa che ha nel cireuito la velocifft - - u passer'5 dalla velocit~t la- terale c', alla velocith c .

Si indichi con s o la direzione nella quale scorre la elettri- citlt positiva per passare da un file al l 'a l t ro nel luogo di stri- sciamento; quella direzione sarh determinata dalla posizioue dei due fili striscianti, e dal luogo del lore contatto, o ed el indichino in generale le direzioni di c e d . Ma pel luogo di strisciamento~ e per un tempo ira zero e ~'~ che decorre fra l 'entrare e l'eseire di una massa elettriea per quel luogo me- desimo ~ pongasi:

do dot d t d t

avcndosi inoltre d So ~ u . 7 dovrh esserc pifi piccolo di c , d t

e 7' d i c ' . r indicherfi, sempre la linea di congiunzione fra l 'elcmento inducente e l 'clemento iadotto d~.

hvendosi in gcnerale

du dr d s dr do d r do~ d'-t ~--- ds o d t -4- do d r ' 4 - do4 d t

311

per il luogo di striseiamento, sarh

dr dr dr dr ( t) a t dso u + - ~ 7 +

Derivando la precedente equaziono ed osservando ehe Y o 7' sono variabili, ed u costante, si avr~ (per comporre la (t) del paragrafo ~.o).

dr dT' d'r d r ~ 2 r d r d7 + 2r .. (2) 2 r d t ~ dt ~ do d-~t do, dt

( d'r dr"~ y, ( d'r dr~'~ 4- u ~ 2 r dso--- 7 ~ dso~ ] - ~ 2r do ~ do~]

( d~r d r ~ ( d~r dr dr) -4-- 71 ~ 2 r d o~ ~ do i ~ ] + 2 u 7 2 r dso do ds ode

( d~r dr d r ) i d~r dr d r ) -+-2u7' 2 r ds ~ do~ dso -~o~ "+" 2],y' (2r.do do4 do - ~ "

Le suddette (l) e (2) valgono per le masse elettriche po- sitive; ma per le masse negative, che si muovono in sense

dy dT' eontrario delle prime, si devono eangiare i segni di ~-~ , ~ . ,

perchb se le prime passando per il luogo di strisciamento per- done in velocifft, le seconde inveee ne acquistano.

Fatti tall cangiamcnti di segni sommate le due formulo e moltiplieate per e, risulta

( d~r dr~ [ dr d7 dr d7' E e 2r dt ~ dt.] : e ~r do d--~-~ 4r doi d t

( d~r dr dr) ( d~r dr d r ) ] -~-$u7 2r dsodo--dso-~o -+-~uT' 2r dsodo~ dso-~t "

Questa espressione si pub integrare pel tempo t, da zero

3t2

a ~'. Ma prima si osservi che si deve imitate cib che disse Weber in un caso simile, che qui abbiamo riferito nel ~. 8. 0 va- le a dire ammettere che le variazioni di velocith helle masse elettriche, allorch6 arrivano uel luogo di striseiamento non si facciano istantaneamente~ ma per continuith. E a simiglianza di Weber, la ipotesi la pifi semplice che-faremo sar~ che la massa elettrica positiva passando dal conduttore a al condut- tore fl non perda istantaneamente la velocith laterale c~ ed istan- taneamente non acquisti la velocit~ laterale c' che appartiene a

t t quel secondo conduttore; r si potrb, fare 7 --- e ~ -- e, 7 ~ = ~ c~

T 7"

ed avremo

f e d t ( 2 d : r - d r ~ I dr dr c, r d t ~ d t~ ] ~ e - - It r ~o C -+- l, r ~-~

(3) d ~ r dr_dr~ / d ~r dr d r~ .~

" + - 2 u c r ( 2 r d s o d o d s o d o / - t - 2 u c ' ~ 2 r d s o d o , ~ s o ' ~ ] ' _ ] "

Con ci0 noi abbiamo eseguito il cateolo relativamente al- l' azione delle masse elettriche indueenti -4- e ~ - - e, sopra la massa -~ e' dell' elemento d ~ indotto; ma per contemplate r azione di --~ e e di - - e sopra - - e' basra raddoppiare la (3). Dunque per avere seeondo Weber la forza elettro-motrice ba-

ster'h moltiplieare la (3) per

a ~ u d t d r d a . -4- 8 r ~ d z

w 10. Consideriamo a parte la espressione

d r d r - - ~ c' d t ; d o c d t -r "~o~

e fl possono nel tempo d t cangiarsi helle lunghezze s fl' e, nella figura 2. c d t sarlt rappresentato da B E, e c ' d t da B F EG e G F saranno due nuovi elementi eonduttori entrati in cireuito, e si potranno rappresentare con d ~ e rift .

3 t 3

Ci6 posto se noi projettiamo su r il quadrilatero curvili- nee E G F B pereorrendolo sempre hello stesso sense, e perci6 cangiando opportunamente disegno o'~ otterremo evidentemente

dr d r c' dr dr

e potremo scrivere inveee di quella espressione, sopra accen- nata, la seguente,

dr d r + d .

Se poniamo, come Weber, i = a e u , avremo per la for za cercata la espressione

(~) 2a ~" da dr dr dG -+- a i d f l d r dr da r d~ d a ~ r dj3 da

-4- a i d t d r l r r~ da odz .ur [c (2 d ~ r dr dr) r dso---~o also To

( d~r dr d r ) ] + c' 2 r ds odor d s o ~ooi

Se $, $', e n gl 'angoli ehe da~ dfl~ do fanno con uno stesso prolungamento della r , vale a dire so si ha

dr d r dr - - ~ d~r COS ~ - - ~ - - c o s ~ , d . ~ - ~ - - c o s ~' - - =

i due primi termini della espressione preeedente si r idurran- no a

a i d f l ~, a i d f l d ~ . c o s 3 c o s ~ - - d z . c o s c o s ~ . 2 r 2 r

311 note ehe tale ~ l'espressione della forza elettro-motrice

nel ease in cui la corrente varii da zero ad i , negl'el,;monti d~, e dj~. Si rieonosce da cib ehe per tenet conto dell'influen- za dello strisciamento basra raddoppiare il valore della forza elettro-motriee eecitata dagli elementi nuovi che entrano in cireuito in virth dello strisciamento stesso. E questo fu gi~t di- mostrato da Weber per il case in cui ~ immobile uno de'con- duttori fra i quali ha luogo lo strisciamento; ed ~ poi eviden- te che per gli elementi che sortiranno dal circuito si dovran- no cambiare i segni nella formula ottenuta. I)obbiamo perb rieordare che qui si suppose i costante~ ed immobile il con- duttore indotto.

w t l . Per ultimo eonsideriamo il seguente case pifi ge- nerale. Sia co la direzione della velocith v delrelemento indot-

d r to d c r; allora la ( t ) d e l paragrafo 9. 0 aumenta di ~--~v~il

ehe darb, in luogo delle (2) del paragrafo 9. 0 la seguente pih generale, per il case nel quale i varia~ e in cui il condutto- re indotto passa dalla posizione or' alla posizione d'.

a i d a d a d r d r a d f l d r d r 2 r dc~ do 2 r dfl dG

(5)

a t d i d r d r -4- - - - ~ d t da - - - - u r

2 r d t dso da

- -

a i d t d~r -~" 2 7 d a u r 2 r ds ode ~ d s o

"

La precedente formula si ottiene facilmente ripetendo le operazioni gi~l fatte per il ease meno generale, e seguendo le indicazioni della teoria di Weber che gia abbiamo esposta.

Il fattore di u r fra le parentesi si pub serivere pid sem-

3~5

plicemente. S i a p la direzione delia resultante w delle veloci- C C w

t 'h -~- , -~-~ - - v ; si potrh per eomodith di calcolo scrivere,

W d r c d r c' d r d r

- - .

d p 2 d o -4- 2 d o ~ -'~ v ~o

- - v ~ supposta in una direzione opposta a --I- v. Ci6 posto la espressione anzidetta fra parentesi diviene

d~r d r d r ) w 2 r d ~ o d ~ dSo -alp "

Si deve porre u T ~- dso, perch~ ds o rappresenta la via percorsa nell'elemento di tempo d t dalla corrente nel passag- gio dall'uno all' altro eonduttore, i~ chiaro che dso non pub supporsi nulla, e che deve suppoJ'si funzione di c e di c'~ di o e di o,. Se c diventa uguale a c', e d o ad o, , allora dso ha la stessa lunghezza e posizione come quando non vi ~ stri- sciamento; ed 6 ~erosimile che dso si riferisce non solo al luo- go di contatto, ma che deve altresi essere considerate come un elemento conduttore che penetri in a e in fl; e quanto pilk differenti sono fi'a di lore c e c ~, o ed o' , tanto pifl grande dovrh supporsi dso. Se tcniamo fermo questo signifieato d ids o la parte della fo~'za elettro-motrice indipendente dag['elementi che sono successivamente introdotti nel circuito in virth dello strisciamento sar/~ espressa da

(6)

a d s o d i d t d a d r d r ~2 r d t dso da

a i d t d r ( d~r d r d~p) - ~ - ~ - - r . ~ . . t I z ~ dso w 2r d s o ~ dso

~. ,12. Crede il Most possibili delle esperienze che dimo- strerebbero l' influenza del terrnine moltiplieato per dso, nella formula gcnerale (5) del paragrafo precedente. Nelle esperien- ze di Ncumann talc influenza dovea sparire perch6 la intensit~

3t6

della corrente era costante ~ il conduttore ~ in riposo, e lo strisciamento area luogo sopra un eonduttore fisso; e allora nella (5) d i , v e c doveano porsi uguali a zero: di pifi, ilcon- duttore in moto consisteva in una molla che premeva contro una striscia di ottone, e cosi la o' direzione di c' cadeva suV la curva s della base in riposo ~ che era la striscia di ottone. Cosi nella esperienza di ~eumann la parte indipendente dai nuovi elementi, che successivamente ~engono introdotti in cir- cuito, ha il valore seguente

a i d a d r ( d~r d r ~ (7) 2 ~ ~ ds u r 2 r d s ~ ds~] ,

il qual valore coincide appunto con quello del primo termine della formula (l) di Weber, nel paragrafo 7. 0 ed ~ facile di- mostrare che tal termine deve sparire eseguendo la integrazio- ne per una chiusa.

U~la espressione della forma

dr) t d r d~r d r r ~ d c r d a d b da - ~ '

si pub utilmente trasformare come segue. Si pub scrivere

dr ( d : r dr d r ) dr ( d ~ r ~ dr d r ) (8) dc 2 r dad~b da - ~ = ~ \da 'db 3 da ~l-b "

Ma si ha

: = . - - 3

I dr dr

d c - - t

I d.r* d . r ~ d .

r ~ d a d b d c

dr dr dr t t d ~ # dr r ~ d a db dc § 2 r ~ d a d c " db

i I d r d ~ r ~

§ V r da"

3i7

Per eui opportunamente eambiando le lettere si avr~t

(9)

1 (d~ r ~ dr dr) dr r �9 h-a'~ 3 d a - ~

d ' ( lr db-~dr dr) d . ( tr dadr d~b ) d . ( i dcdr "~adr)

d a dc db

Cosi dunque si pub scrivere nel modo seguente l'integrale della (7)

dr dr d a ds ~ dsdz-- a ds~/ iur ds ~ i u r ~ dzds~

e i due preeedeuti integrali si annullano se s e ~ sono curve ehiuse.

i~oi seguiteremo con il Most in alcuno osservazioni che porranno in e~idenza la relazione fra la legge di induzione di l~eumann e quella di Weber .

w t3. In conseguenza del moto dei eonduttori striscianti c~ e fiesiasi estesa la curva della corrente chiusa A, B e C, D e di intensifft i , fino a diventare la curva della corrente chiusa A,, B, C,, D di intensith i,, ; e suppongasi pure che contempo- raneamente iI conduttore (r passi dalla posizione cr, e alia posi- zione %. (fig 3.)

Distinguiamo le seguenti cause di induzione. t . ~ II recto del conduttore or, indotto. 2. 0 I1 moto di c~ e fl, da %, flA ad %, J3,. 3. 0 L 'aumento di intensit/x della corrente da i, ad i,, in

c~in J3 e in C , D , A. ~,.o I1 detto aumento da zero a i,, in A A A, e in C~ C,A. 5. 0 Lo striseiamento in A A B e C A .

Mentre il cireuito s induconte passa dalla posizione EFO D, s'e alia posizione G H IN Des", la corrcnte i aumcnta di d i , e i l eonduttore indotto passa dalla posizione : ' alia posizione

]rol. XIX. 22

3t8

~"; ed i punti E ed 0 della parte mobile del circuito abban- donano la parte fissa del circuito, o passauo in I ed M; e i l punto F dove le due patti ~ e fl si incrociano passa in K re- lativamente ad ~, e passa in L relativamente a ft. Ci6 posto EG, G I , K I t , HL, MN ed NO saranno i nuovi elementi entrati in circuito. F [l sara. la via percorsa dal luogo di stri- seiamento.

Secondo la legge fondamentale di Weber la parte dell' azio- ne induttiva dipendente dal moto conduttore z 6 espressa da

$l (~t

, i/ff_ +, (d".r + dr dr) 0 o

come infatti risulta dalla (2)del paragrafo 6. o, faeendo uso di una sostituzione pifi sopra accennata in un altro caso. I li- miti delie integrazioni indicano che dove integrarsi lungo le carve chiuse s' e z", e do) indica la via percorsa da d a . Se corrispondentemente si indica con do la via percorsa da ds, do essendo nullo per la parte immobile del circuito, l'azione indut- tiva eccitata dal moto della corrente sarh espressa da

$t fit

I f f f i de dr ( d ~ r ~ 3 dr dr J J J -fi -~ \d~do -~s ~do] ~

ds do .

0 o

Poniamo ora

0 o ) d r dr dr d-~ dW = do d ~ § ~ d ~ '

e lo due suddette azioni insieme sommate daranno la espres- sione

8t fit

-~l fi]i'~-X dr _-.--.--d'r" dr dr) ( l , d 3 - ds d.+

. r ~ d~ h ~ " 0 a

319

Questa ultima espressione si pub serivere nel modo se- guente

s' r t dr dr s'o' t dr d r , r ds do t , d . . . . d w

d w dw ds d~ -4- -~ d s

8 t 0 ,F

, ff.'f , I d r d r

d . d w r d s d w

da ds ; d a

e si rieonosee ehe il 3. ~ integrale sparisee se or' 6 una eurva d r

chiusa; ma riponendo per ~ww dw il suo valore ( iO) , dato in

questo paragrafo~ si riconosce pure che, quand'anehe s' sia una curva chiusa, non sparisee il seeondo integrale, perch6

d r do soffre una interruzione di continuit~t ~ nel luogo di stri- do sciamento.

Sieeomo do 6 zero relativamente alla parte immobile 0 D E si avr/~

S t (7 t

I d r d r ~'+fl'a' 1 d r dr do

I f f r ds d~ dw ds dcr -~-2JJo "]o i "dsd~. d w d s

Riferendo r ' a ~r', per le lunghezze cr e j3' il seeondo in- tegrale si decompone nei due seguenti , sostituendo a d o i suoi valori diversi della figura;

o 0

dr dr perb ritenendo ehe ~--~o ~ e ~ nella precedente espressione si ri-

3"20

feriscano a quello dei lore fattori F K , E J , OM~ FL che si trovano avere accanto ,

Sommiamo, era a queste espressioni, quelle delle azioni derivate dallo strisciamento ~ senza tenet conto dei termini mol- tiplicati per u~-. A tale effetto consideriamo i due primi te r - mini delle (s) del paragrafo i0~ e diamo ai diversi fattori che li compongono i valori che respettivamente corrispondono ai tre luoghi di strisciamento E, F, O, e che sono relativi ad un movimento infinitesimo di ~ e di j3. In tal mode si avrh, ae- cennando la integrazione per ~,

O-t

i f ~ c ( ..~dr ~dr d"-~dr EG-d-~ --t-GI -~-KH 0

dr d r dr) dr + H L ~ + M ~ - j - 7 + ~O ~ ~ d ~ ,

e sempre, ripetendo una osservazione dianzi fa t ta , si intenda- dr, dr,

no ~ ~ etc . . . . . . . riferiti ai loro respettivi fattori E 6,

G l, etc . . . . . , . Ma ora si osservi cho facilmente si h a , ripetendo una os-

servazione fatta nel paragrafo t0. 0

dr dr dr E G ~ + G I - -EI - -_ = o do

dr dr d r dr

dr d r dr 0M ~ +MN ~ § ~o ~ = o .

Si consideri era che per ogni luogo di strisciamento r ~ e dr d--~'c~176 lo stesso valore, si vede che sommando quel-

l ' u l t ima espressioae dovuta allo striseiamento, con quello do-

321

vuta al mote relative fra i circuiti, il secondo integrale della (t2)~ di questo paragrafo, sparisce e testa il primo solamente.

In s' aumenta di d i la intensifft della corrente~ e se si prende i funzione di w la induzione prodotta da tale aumento sar~ espressa da

8' (7' I F P P di dr dr

-2 J J J dw ds d, dw ds d, , o o

e aggiunta questa espressione alla ( i2) , paragrafo 13~ si ha

s' o' i dr dr f f F d r ds de

( J ~ ) 2 "lJo Jo d w dw ds d*

ed eseguendo la integrazione per w, si avr/~

i/'s a" l j / i d r d r

r ds do i/8 a'

ds dz ,

eve S = I K -+- LM -+- O D E . A tutto ei5 aggiungiamo la azione induttiva dei nuo~,i ele-

menti che entrano in circuito, la quale d rappresentata da

0 d

i~ (E G d r

0

dr dr + G I ~--~ + Ktl d- ~

dr dr dr ) dr + nL ~ + ~ ~ + ~o~-], ~ a ~ ,

riferendo r ' a ," .

322

I limiti dell' integrazione devono aeeennare ehe dell' inte- grale con i" lungo s" e a"~ deve essere sottratto l'integralecon i' lungo s' e (r'. Cosi un eireuito chiuso (il quale dalla posi- zione iniziale s' con la intensit~ di corrente i' passa alla posi- zione finale s" con la intensita i") esercita sopra un altro cir- euito (il quale in ugual tempo passa dalla posizione or' alla posizione or") una azione espressa da

~tl 8rl o.rt

(t5) -~ r d s d~

ed abbiamo gi~ veduto c h e l a (i5) d la espressioae stessa da- ta da Neumann.

C coat~nua )

~ , - - - - - . - o o - @ . o - ~ - 4 ~ 4 M ~ o - 0 ~