Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja

Hari, 12/1993.

BuAxxx +==dtd

KONTINUIRANI SUSTAVI, STANJE I IZLAZ:

uDxCy cc +=

Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja

2

Sustav linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja (vremensko i frekvencijsko podruje):

rjeava se na nain kako slijedi. Prvo treba nai prijelaznu matricu :

Nekoliko je metoda za izraun prijelazne matrice:

1. Metoda redova:

2. Metoda svojstvenih (vlastitih) vrijednosti (openito):

Za sluaj razliitih svojstvenih vrijednosti i :

BuAxxx +==dtd

teA =a koja se inae eksploatira u diskretnim i diskretiziranim sustavima.

xi i su desni i lijevi transponirani svojstveni vektor koji pripadaju istoj svojstvenoj vrijednosti i:

[ ][ ] )()(

)()(1 sss

sss

BuAIx

BuxAI=

=

Kontinuirani linearni sustavi BuAxxx +==dtd

uDxCy cc +=

Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja

3

Za izraun rezolvente treba izraunati inverz . Ako je inverz u obliku:

3. Hamlton-Cayleyeva metoda (J je Jordanov oblik matrice svojstvenih vrijednosti za sluaj kad je njihova strukost vea od 1:

4. Putem matrice rezolvente:

n

n

nnnnn

nnnn

sssssssssss

++

+

==

+++++++++

=

RRRFFFFAI ...

......)(

2

2

1

1

12

21

1

122

11

1

Matrice Fi i koeficijenti i su:

Zadrat emo se pod 4 na sluajevima razliitih svojstvenih vrijednosti.

Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja

4

Matlab realizacija izrauna rezolvente poznat je kao Leverrierov algoritama ili algoritam Faddeeva:

[ ] 1AIs

Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja

5

U prethodnom je sluaju

matrino izraunati reziduum odnosno:

Sad se prijelazna matrica izrauna kao inverz Laplace-ove transformacije:

teA =

Reziduali su zapravo matrice s kojima smo se ve sreli:

xi i su lijevi i desni transponirani svojstveni vektor koji pripadaju istoj svojstvenoj vrijednosti i

Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja

6

Konano, kompletno rjeenja sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja:

BuAxxx +==dtd

uDxCy cc +=

je sljedee:

Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja

DISKRETIZIRANI SUSTAVI, STANJE I IZLAZ:

)u()x()x( 11 += kkk

)u(D)x(C)y( kkk dd +=

Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja

8

Odnosi izmeu matrica A i B kontinuiranog sustava i matrica , i diskretiziranoga sustava su sljedei. Prijelazna matrica:

Matrica se moe raunati na vie naina. S obzirom da za matricu kontinuiranog sustava A koja ime sve razliite svojstvene vrijednosti vrijedi:

Ovdje je dijagonalna matrica svojstvenih vrijednosti, a V pripadna matrica desnih svojstvenih vektora matrice kontinuiranog sustava A, oito je da se prijelazna matrica moe izraunati i na ovaj nain. Naime, raunanje eksponenta je vrlo jednostavno pa da bi se dobila prijelazna matrica preostaje da se pomnoi slijeva s V, a zdesna s V-1 (matricom lijevih svojstvenih vektora redaka matrice A) :

Diskretizirani linearni sustavi:

sTeA=Ts=tk-tk-1 korak uzorkovanja ili diskretizacije.

1VVA = )()( ff

1VV = sTe

)u()x()x( 11 += kkk )u(D)x(C)y( kkk dd +=

Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja

9

Matrica upravljanja diskretiziranog sustava:

Razvoj u red se esto navodi u literaturi. eli li se izbjei inverzija matrice

kontinuiranog sustava A matrice i se mogu raunati i na sljedei nain:

te:

Inverz (transformat diskretiziranog u ekvivalentni kontinuirani sustav) je:

BI)B(A 1 ==

sTeA

...!

...!2!1

)(2

1 ++++==

nTTT nsss

1nAAIIA

BAI =+= ,

ln1

sT=A

Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja

10

Ovdje je "ln" matrini (a ne skalarni) operator kao to je i u eksponencijalni. S obzirom da matrica kontinuiranog sustava A ne mora postojati u n, opis sustava u diskretiziranom obliku valja smatrati openitijim od onoga u kontinuiranom obliku. Ako tonost prorauna matrice A zadovoljava te ako nije singularna moe se iskoristiti i sljedei izraz:

Ponekad e zadovoljavati moda ak i aproksimacija prvog reda (ITs):

Izrauna li se sad prema: matrica upravljanja kontinuiranog sustava B je:

)(21 1

sTA

)(1 IA sT

...!

...!2!1

)(2

1 ++++==

nTTT nsss

1nAAIIA

1B

sTeA=

Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja

11

Napomenimo jo da svojstvenim vrijednostima kontinuiranog sustava odgovaraju svojstvene vrijednosti diskretiziranog sustava :

to znai da svojstvene vrijednosti diskretnog ili diskretiziranog sustava ne ovise samo o karakteru procesa ve i o koraku uzorkovanja Ts.

n ,...,, 21

snss Tn

TT ezezez === ,...,, 21 21

Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja Rjeenje sustava linearnih diferencijalnih jednadbi u prostoru stanja Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja Rjeenje odziva diskretiziranoga sustava u prostoru stanja