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Proportionalität
Robert Piasek
Mathias Ünzelmann
Gliederung
1. Rahmenplananalyse Proportionalität
2. Kompetenzerwerbsschema mit
Beispielaufgaben
3. Modellierungsaufgaben
Rahmenlehrplananalyse
„In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen und Schüler beim
Arbeiten mit Zahlen und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit,
Muster, Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese in
unterschiedlicher Weise darzustellen. Hierauf wird bei der Behandlung
der Proportionalität aufgebaut.“ (Berliner Rahmenlehrplan Grundschule)
Zuordnungen und Proportionalität
in der Primarstufe
3/4 Themenfeld Zahl und Operation:
- Zuordnungen in Sachsituationen erkennen und diese sprachlich sowie in
Tabellen darstellen
- einfache Sachsituationen zu proportionalen Zuordnungen untersuchen
5/6 Themenfeld Zahl und Operation
- Zuordnungen in Tabellen erkennen und beschreiben
- Zuordnungen grafisch darstellen
- aus Darstellungen Eigenschaften der Zuordnung ablesen und
Rückschlüsse auf die Sachsituation ziehen
- Sachaufgaben zur Proportionalität inhaltlich lösen
Abschlussstandards Klasse 6:
- erkennen Zuordnungen, beschreiben sie sprachlich und in Tabellen
- lösen Sachaufgaben zur Proportionalität
Fazit zur Primarstufe
• keine Herausarbeitung der Eigenschaften (Quotientengleichheit, Additivität, etc.)
• keine Betrachtung von antiproportionalen Zuordnungen (sinnvoll?!)
• Aber Zuordnung von Größen als wichtige Voraussetzung integriert
Sekundarstufe I
Themenfeld P2 Klasse 7/8: Verhältnisse mit
Proportionalität erfassen
- Vertiefung durch graphische und tabellarische
Darstellung
- Nutzen Verhältnisgleichungen und Tabellen zur
Berechnung von Proportionen und prozentualen
Anteile
Inhalte: Maßstab, realitätsnahe Probleme, Prozent- und
Zinsrechnung, Dreisatz; Quotientengleichheit;
„Das Vergleichen von Anteilen als zentrale Idee der Prozentrechnung wird über die proportionale Zuordnung eingeführt. Für die Berechnung des Prozentwertes, des Grundwertes und auch des Prozentsatzes wird sowohl anschaulich mit Diagrammen gearbeitet als auch in der Tabelle. Dabei wird der Dreisatz als eine Möglichkeit zur Berechnung proportionaler Verhältnisse erarbeitet. Die Schülerinnen und Schüler wählen ihren Lösungsweg bewusst aus und begründen ihn.“
Antiproportionale Zusammenhänge werden nicht erwähnt!!!
Sekundarstufe I
Themenfeld P7 Klasse 7/8: proportionale und antiproportionale Modelle
- Besonderheiten gegenüber anderen Zuordnungsmöglichkeiten
herausstellen
- Vertiefung durch Vergleich mit antiproportionalen Zuordnungen
- Interpretieren und Validieren von Ergebnissen bei Modellierung
Inhalte: Quotienten- und Produktgleichheit; Zuordnungsvorschriften mit
Termen darstellen;
„Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Wissen, indem sie eigene Beispielaufgaben zu den unterschiedlichen Zuordnungen finden oder entwickeln, an denen sie sich die wichtigen Eigenschaften (diskrete und kontinuierliche Beispiele) verdeutlichen.“
Fazit Sekundarstufe I
• kaum inhaltliche Unterschiede in den beiden Themenfeldern
• zentrale Kompetenzen: funktionaler Zusammenhang, Zahl und Modellieren
• Verwendung unterschiedlicher Darstellungsformen
• wichtig für Prozentrechnung und andere Verhältnisgleichungen
• Aber wo bleibt der Bezug zum Funktionsbegriff???
1. THESE
Die „zeitliche“ Trennung von proportionalen
Zusammenhängen (Modul P2) zum Funktions-
begriff (Modul P4) und vor allem zur Antipro-
portionalität (Modul P7) in der Doppeljahr-
gangsstufe 7/8 ist nicht sinnvoll.
Die SuS beschreiben,
interpretieren und
berechnen proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge in
Alltagssituationen und
verwenden für sie
unterschiedliche
Darstellungsformen
Proportionales und
antiproportionales
Modellieren
Lösen von Problem mit
Verhältnisgleichungen
Mehrfaches Anwenden
von proportionalen
Zuordnungen in
Sachsituationen
Lernerfolgskontrolle
Die SuS können mit den
Eigenschaften von
proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen Probleme
aus Sachsituationen
modellieren.
Proportionale und
antiproportionale
Eigenschaften
Proportionalitätsfaktor
Verhältnisgleichheit,
Quotientengleichheit,
Produktgleichheit
Additivität
Die SuS leiten die Eigenschaften
von proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen her und
können mit ihnen
Proportionalität
begründen.
Proportionale und
antiproportionale
Zuordnungen
Erkennen und Beschreiben
von (anti)proportionalen
Zuordnungen
Rechnen mit
(anti)proportion-
alen
Zusammenhängen
Darstellen von
(anti)proportinalen
Zuordnungen in
Tabellen und
Diagrammen
Die SuS können proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge
beschreiben mit ihnen
Lösungsschemata
anwenden und sie in
geeigneten Formen
darstellen.
Können
Wissen
Kompetenzerwerbsschema
Mathematik 7. Gesamtschule. Westermann. 1993.
Mathematik 7. Gesamtschule. Westermann. 1993.
Die SuS beschreiben,
interpretieren und
berechnen proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge in
Alltagssituationen und
verwenden für sie
unterschiedliche
Darstellungsformen
Proportionales und
antiproportionales
Modellieren
Lösen von Problem mit
Verhältnisgleichungen
Mehrfaches Anwenden
von proportionalen
Zuordnungen in
Sachsituationen
Lernerfolgskontrolle
Die SuS können mit den
Eigenschaften von
proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen Probleme
aus Sachsituationen
modellieren.
Proportionale und
antiproportionale
Eigenschaften
Proportionalitätsfaktor
Verhältnisgleichheit,
Quotientengleichheit,
Produktgleichheit
Additivität
Die SuS leiten die Eigenschaften
von proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen her und
können mit ihnen
Proportionalität
begründen.
Proportionale und
antiproportionale
Zuordnungen
Erkennen und Beschreiben
von (anti)proportionalen
Zuordnungen
Rechnen mit
(anti)proportion-
alen
Zusammenhängen
Darstellen von
(anti)proportinalen
Zuordnungen in
Tabellen und
Diagrammen
Die SuS können proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge
beschreiben mit ihnen
Lösungsschemata
anwenden und sie in
geeigneten Formen
darstellen.
Können
Wissen
Kompetenzerwerbsschema
Arbeitsauftrag I
Begutachtet mit Eurem Partner die
Einstiegsseiten eines Schulbuches.
Skizziert das Vorgehen und bewertet es.
Faktor 8 – Mathematik. Schroedel. 2007.
Mathematik 7. Mecklenburg-Vorpommern. 2003.
Einführung in die Mathematik. 7. Schuljahr. 1974.
Lambacher Schweizer. Klasse 7. 2007.
Die SuS beschreiben,
interpretieren und
berechnen proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge in
Alltagssituationen und
verwenden für sie
unterschiedliche
Darstellungsformen
Proportionales und
antiproportionales
Modellieren
Lösen von Problem mit
Verhältnisgleichungen
Mehrfaches Anwenden
von proportionalen
Zuordnungen in
Sachsituationen
Lernerfolgskontrolle
Die SuS können mit den
Eigenschaften von
proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen Probleme
aus Sachsituationen
modellieren.
Proportionale und
antiproportionale
Eigenschaften
Proportionalitätsfaktor
Verhältnisgleichheit,
Quotientengleichheit,
Produktgleichheit
Additivität
Die SuS leiten die Eigenschaften
von proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen her und
können mit ihnen
Proportionalität
begründen.
Proportionale und
antiproportionale
Zuordnungen
Erkennen und Beschreiben
von (anti)proportionalen
Zuordnungen
Rechnen mit
(anti)proportion-
alen
Zusammenhängen
Darstellen von
(anti)proportinalen
Zuordnungen in
Tabellen und
Diagrammen
Die SuS können proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge
beschreiben mit ihnen
Lösungsschemata
anwenden und sie in
geeigneten Formen
darstellen.
Können
Wissen
Kompetenzerwerbsschema
VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167.
Die SuS beschreiben,
interpretieren und
berechnen proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge in
Alltagssituationen und
verwenden für sie
unterschiedliche
Darstellungsformen
Proportionales und
antiproportionales
Modellieren
Lösen von Problem mit
Verhältnisgleichungen
Mehrfaches Anwenden
von proportionalen
Zuordnungen in
Sachsituationen
Lernerfolgskontrolle
Die SuS können mit den
Eigenschaften von
proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen Probleme
aus Sachsituationen
modellieren.
Proportionale und
antiproportionale
Eigenschaften
Proportionalitätsfaktor
Verhältnisgleichheit,
Quotientengleichheit,
Produktgleichheit
Additivität
Die SuS leiten die Eigenschaften
von proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen her und
können mit ihnen
Proportionalität
begründen.
Proportionale und
antiproportionale
Zuordnungen
Erkennen und Beschreiben
von (anti)proportionalen
Zuordnungen
Rechnen mit
(anti)proportion-
alen
Zusammenhängen
Darstellen von
(anti)proportinalen
Zuordnungen in
Tabellen und
Diagrammen
Die SuS können proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge
beschreiben mit ihnen
Lösungsschemata
anwenden und sie in
geeigneten Formen
darstellen.
Können
Wissen
Kompetenzerwerbsschema
VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.
VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.
VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.
Zusammenhang zwischen
Proportionalität und Monotonie
2. THESE
Der Monotoniebegriff wird zu Recht erst in der
Sekundarstufe II thematisiert, da sonst falsche
Rückschlüsse zu (anti)proportionalen
Zusammenhängen entstehen können.
Elemente der Mathematik 7. 2006.
1. Möglichkeit 2. Möglichkeit
Elemente der Mathematik 7. 2006.
Die SuS beschreiben,
interpretieren und
berechnen proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge in
Alltagssituationen und
verwenden für sie
unterschiedliche
Darstellungsformen
Proportionales und
antiproportionales
Modellieren
Lösen von Problem mit
Verhältnisgleichungen
Mehrfaches Anwenden
von proportionalen
Zuordnungen in
Sachsituationen
Lernerfolgskontrolle
Die SuS können mit den
Eigenschaften von
proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen Probleme
aus Sachsituationen
modellieren.
Proportionale und
antiproportionale
Eigenschaften
Proportionalitätsfaktor
Verhältnisgleichheit,
Quotientengleichheit,
Produktgleichheit
Additivität
Die SuS leiten die Eigenschaften
von proportionalen und
antiproportionalen
Zuordnungen her und
können mit ihnen
Proportionalität
begründen.
Proportionale und
antiproportionale
Zuordnungen
Erkennen und Beschreiben
von (anti)proportionalen
Zuordnungen
Rechnen mit
(anti)proportion-
alen
Zusammenhängen
Darstellen von
(anti)proportinalen
Zuordnungen in
Tabellen und
Diagrammen
Die SuS können proportionale
und antiproportionale
Zusammenhänge
beschreiben mit ihnen
Lösungsschemata
anwenden und sie in
geeigneten Formen
darstellen.
Können
Wissen
Kompetenzerwerbsschema
Wie groß müsste wohl ein
entsprechendes Denkmal sein, wenn
es Adenauer „von Kopf bis Fuß“ in
demselben Maßstab darstellen soll?
Das Adenauer-Denkmal (Bonn)
vom Künstler Hubertus von Pilgrim
10 cm
12 cm
Größe des Mädchens ca. 1,30m.
Proportionalitätsfaktor:
130cm : 10cm = 13
Größe des Kopfes:
12cm * 13 = 156cm
Wie ist das Verhältnis zwischen
Kopf-Größe und Körper-Größe?
Robert: 169cm : 24cm = 7,04
Mathias: 186cm : 26cm = 7,15
156cm * 7 = 1092cm = 10,92m
1,2 cm
10 cm Verhältnis Kinderkopf zu
Erwachsenenkopf:
Erwachsenenkopf um 1,1
größer
Proportionalitätsfaktor:
10cm : (1,1 * 1,2cm) = 7,6
Körpergröße eines männlichen
Erwachsenen:
185cm * 7,6 = 14,06m
Wie schwer ist dieses Bison-Baby?
Noch etwas schwach auf den Beinen ist das kleine Bisonkalb Astor, das im Stralsunder Tierpark
Mitte August zur Welt kam. Der Zoo der Hansestadt ist der einzige im Land, in dem die bis zu einer
Tonne schweren Wildrinder aus Nordamerika heimisch sind. Foto: dpa
Muttertier ca. 900kg schwer
Höhenverhältnis:
6,6cm : 3,8cm = 1,74
Längenverhältnis:
8,8cm : 4,6 cm = 1,91
Breitenverhältnis zwischen
1,74 und 1,9, also ca. 1,8
3,8cm
6,6cm
8,8cm
4,6cm
Volumenverhältnis der Mutter zum Kalb:
1,74 * 1,91 * 1,8 = 5,98
Gewicht des Kalbes:
900kg : 5,98 = 150,5kg
3. THESE
Die Thematik der (Anti)-Proportionalität ist
nicht ausreichend für Modellierungsaufgaben
geeignet, da hiermit nur einfache Probleme
gelöst werden können und komplexere
Betrachtungen nicht möglich sind.
