Robortella Vol 01 Cinemática- Completo

8/16/2019 Robortella Vol 01 Cinemática- Completo

http://slidepdf.com/reader/full/robortella-vol-01-cinematica-completo 1/278



A coleção consta deoito volumes:

/Mecânica: Cinemática

Mecânica: Dinâmica

^Mecân ica : Estática, Hidrostática e Gravitação

Óptica Geométricar

O Termologia

6 Oscilações, Ondas e Acústica

/Êletricidade: Eletrodinàmica

( 3 Eletricidade: Eletrostática e Eletromagnetismo

Cada capítulo apresenta asseguintes partes:

0. Introdução Teórica

ti. Questões Resolvidas

C Questões Propostas

d. Respostas







CfflïULO

1



s

A Física é o ramo da Ciência que, juntamentecom a Matemática, a Biologia e a Química,

procura explicar os fenômenos que ocorrem naNatureza, tais como os movimentos dos corpos, astrocas de energia entre sistemas, a

propagação da luz, etc.

Introdução à Mecânica• Mecânica — Para melhor analisar esses fenômenos, a Física é

dividida em partes. A Mecânica é a parte da Física que estuda osmovimentos dos corpos, bem como suas causas e conseqüências.Por sua vez, a Mecânica está subdividida em Cinemática. Dinâmica,Estática, Hidrostática e Gravitação.





10

(1571-1630)

Matemático e astrónomo alemão.Estabeleceu as leis cinemáticas domovimento dos planetas ao redor

do Sol. Criou as bases para ofuturo desenvolvimento da Mecânica.

(1564-1642)

Matemático o astrônomo italiano.Estabeleceu as leis do movimento dos

projéteis e a Lei da Inércia.Introduziu o método científico na

observação dos fenômenos econtribuiu decisivamente para o

desenvolvimento da Mecânica.

Fisico e astrónomo inglês Fez asíntese das idéias de Kepler eGalileo. estabelecendo as Leis daDmâmica e a Lei ca GravitaçãoUniversal. Seus trabalhos modificarama visão humana do Universo.



Unidade

Fundamentalmente. a solução de um problema de Física consisteem determinar as grandezas nele envolvidas. Medir uma grandezaé compará-la com outra de mesma espécie denominada unidade.

Ouandc a unidade puder ser representada materialmente, teremoso padrão.

Sistemas de unidades mecânicas

Para medirmos as grandezas mecânicas, necessitamos de umconjunto de unidades denominado sistema de unidades mecânicas,

definido pelas unidades das grandezas fundamentais: comprimento, massa ou força e tempo.

• Sistema Internacional (SI) — No Brasil, a partir de 1963, foi adotado o Sistema Internacional (SI), cujas unidades mecânicas fundamentais estão representadas no quadro:

Grandeza Unidade Símbolo

comprimento metro m

massa quilograma kgtempo segundo s

Devido às iniciais dos símbolos, este sistema de unidades também éconhecido como MKS.



12

• Sistema CGS — Com unidade® derivada» do Sistoma Interna*cional, podemos construir outro sistema de unidades mecânicas, oCGS. cujas unidades estão representadas no quadro:


comprimento centímetro cm

massa grama gtempo segundo s

• Sistema Técnico — É tradicionalmente utilizado em áreas técnicas Suas unidades fundamentais são apresentadas no quadro:


comprimento metro m

força quilograma-furça kgf

tempo segundo s

Usualmente adotam-se, ainda, as unidades quilômetro (comprimento) e hora (tempo), onde:

1 km = 1 000 me1 h = 3 600 s

Intensidade de uma grandeza

O resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade éum número real (positivo ou nulo) denominado valor numérico dagrandeza em relação àquela unidade.

O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade é denominado intensidade da grandeza.

Exemplo:



( //////////#>/ -

Ao modlrmON u nlturo do um homom, obtemos 1.70 m.Nosto cflHo, tomos:

grandeza medida: comprimento (altura):unidade: metro (m); valor numérico: 1.70; intensidade da grandeza: 1,70 m.

Assim, medir uma grandeza é, na realidade, determinar sua in-tensidade

Ponto material

Quando as dimensões do objeto a ser analisado não interferemna solução do problema, dizemos que ele é um ponto material.

Um automóvel em viagem numa estrada pode ser considerado como um

ponto material.

Assim, um móvel em translação pode ser estudado como umponto material.

Introdução à Cinemática

Movimento de translação de uma carga.



14

Na translação de um corpo, o comportamento de todos os seuspontos c o mesmo. Basta, então, estudar o comportamento de umúnico ponto (ponto material).

Resumindo:Translação ■►o corpo pode ser considerado ponto material.

Durante uma rotação, as dimensões do objeto interferem na solução co problema. Neste caso, não podemos considerá-lo como pontomaterial.

Na rotação de um corpo, cada ponto possui comportamento distinto dos demais, não podendo ser encarado como ponto material.

Resumindo:

Rotação ■►o corpo não pede ser considerado ponto material.

Observe que a Terra, juntamente com os demais planetas, pode

ser considerada como ponto matéria em relação ao seu movimentode translação ao redor do Sol.



15

Porém, em relação ao movimento de rotação, em torno do seupróprio eixo. ela não pode ser considerada como ponto material.

ê$J& r/ac& 2. __________________________________ _ _________

Embora as dimensões do corpo estudado como ponto material nãosejam consideradas, sua massa deverá ser levada em conta quandonecessário.

Referencial

Os movimentos de um móvel devem ser analisados em relaçãoa um sistema de referência, também denominado referencial.

O referencial está. em geral, associado a um outro corpo. Assim,por exemplo, o movimento do passageiro de um carro pode ser estudado em relação ao “ referencial-carro" ou em relação ao “ referencial--Terra

Dependendo do problema analisado, os referenciais tomadospoderão ser uni. bi ou tridimensionais.



16

r rp • Aplicações

Referencial unidimensional: a localização de um móvel é feitaatravés de um único número: Xp (coordenada).

Movimento de um corro numa estrada.

Referencial bidimensional: a localização do móvel é feita atravésdc dois números: Xp e Yp(coordenadas).

Referencial tridimensional: a localização do móvel P é feita atravésde três números: Xpf Y p e Zy (coordenadas).

Vôo de um pássaro num viveiro.



17

Movimento

Dizemos que um ponto materiai está em movimento em relaçãoa um referencial quando sua posição se alterar ao longo do temponeste referencial. Isso significa que, no mínimo, uma de suas co-

ordenadas varia com o tempo.

Mudança de posiçíío: movimento.

Aplicação

Um passageiro sentado está em movimento, juntamente com seu veiculo , em relação à Terra

Repouso

Dizemos que um ponto material está em repouso, em relaçãoa um referencial, quando sua posição não se alterar ao longo dotempo, neste referencial. Ou seja. quando suas coordenadas nestereferencial não sc alterarem com o tempo.

Posição inalterada: repouso.



18

i* Aplicações

1. Observe que um móvel pode se encontrar em repouso em relaçãoa um referencial e em movimento em relação a outro.

Na figura abaixo:

• a caixa está em repouso em relação ao caminhão, pois sua posição não varia em relação a ele (referencial B).

• a caixa está em movimento em relação à estrada, pois sua posi

ção varia em relação a ela (referencial A).

Indica 3xposiçõo da caix3em relação ao caminhão.

a posiçãoem

àestrada.

2. Na figura abaixo representamos a posição de um poste em relaçãoa um carro. Se a posição do poste varia em relação ao carro, dizemos que o poste movimenta-se em relação ao carro.

V ® ®

Conclusão Movimento e repouso são conceitos relativos, depen

dendo do referencial adotado. Ao descrevermos um movimento, éconveniente adotarmos um sistema de referência onde a descrição dofenômeno torne-se a mais simples possível.



19

Trajetória «

Denomina-se trajetória de um móvel a sucessão de posições

ocupadas por ele cm re ação ao referencial adotado.

Os sulcos deixados pelo veículo na areia indicam a trajetória do móvel.

trens percorrem uma trajetória previamente traçada.

A trajetória dos aviões a .ato pode ser observada através da fumaça quese origina da condensação do vapor dos gases liberados.



Geralmente, a trajetória é representada por uma função mate-mática e sempre depende do referencial adotado.

Exemplo:

C .

Desprezando as influências do ar, a trajetória de uma bomba, quecai de um avião em vôo horizontal com rapidez constante, será umarco ce parábola em relação ao solo e um segmento de reta vertical

cm relação ao avião.

A orientação da trajetória e a escolha de uma origem sobre ela

facilitam a análise do movimento, pois permitem a associação desinais a algumas grandezas que o caracterizam.

Orientação da trajetória c escolha da origem (O)

Esquema simplificado:



Movimento progressivo«

O movimento de um móvel é progressivo quando efetuado a favor (no mesmo sentido) da orientação indicada no referencial.

©

Movimento retrógrado

0 movimento de um móvel é retrógrado quando efetuado contra (em sentido contrário) a orientação indicada no referencial.

©

Espaço

A posição P ocupada pelo móvel (M) num referencial, num dadoinstante t. pode ser determinada através da grandeza espaço.

p



e # > c / * /

22

0 espaço S é a medida algébrica do arco de trajetória que teminício na origem do referencial e extremidade na posição ocupadapelo móvel.

Ou seja: S = OP.

No Sistema Internacional, o espaço é medido em metros: no Sis-tema CGS, em centímetros, e, no Sistema Técnico, em metros.



toî/zemdJim

Aplicações práticas

Marco quilométrico nas estradas:

Numeração das casas numa rua:



24

ü fó & v a flfà L ___________________________________________________

J. Ccnliecendo-se o espaço de um móvel não se tem Icéia se ele *vai\“vem", ou simplesmente está em repouso. Se o móvel está noquilômetro 30. não significa que ele tenha andado 30 km.

2. Observe a figura seguinte Nela representamos um referencial associadoà própria estrada, onde se desenvolvem os movimentos dos móveisA. B C e D. Orientando-se este referencial, teremos as regiões positivae negativa.Podemos, então, escrever: móvel A: SA — — 30 km:móvel B: S „= + 2 0 k m ; móvel C (observador):Sc = 0 .<m (origem): móvel D: SD = 0km (origem).

Para a mesma posição, três situações diferentes: o móvel A “vai", o móvelB ‘ vem’ e o observador C está em repouso.

L



Simpliíicadamente teremos:

Intervalo de tempo

Entre o início e o fim da análise de um movimento decorre umintervalo de tempo At definido como a diferença ent-e o instantefinal e o instante inicial

11. é sempre maior que tin: então, At será sempro positivo.

Um fenómeno f r \ 0 fenômenofísico tem seu W r * seu términoinício quando o quando ocronômetro . i — ! cronômetroregistra 5 s. registra 15 s.Logo: v Logo:

*»n = 5 S instante finai — tfh. = 15 s

à r

Duração do fenômeno

\ i ‘ sIntérvalo detompo At *"

/ I I v

At = tf,„ - t(ll = 15s — 5 s Logo |A> -0 s|



26

Deslocamento escalar

Deslocamento escalar AS de um móvel num dado intervalo detempo é a diferença entre o espaço final e o espaço inicial dasposições que ele ocupa nos extremos deste intervalo.

Ou seja: AS — Srm — Sir,

Deslocamento escalar: AS = S,

Esquema simplificado: s .

Vejamos, agora, qual a interpretação física que devemos dar paraos sinais do deslocamento escalar.

1) Se, por exemplo, no instante 4 s um móvel ocupa a posição inicialdeterminada por Si„ — 10 m e num instante 12 s ele ocupa a po-sição final determinada por Sn« — 30 m. seu deslocamento escalar

será:

à

I

I

Intervalo de tempo

Deslocamento escalar

A' —tfi„—tj,,At = 12 s 4 s — 8 s

AS = Sflll S|MAS 30 m — 10 m = +20 m



^Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 8 s, o móvel teve um^ des ocamento escalar de +20 m. ,

O sinal “ mais” significa que, se o móvel manteve sempre o mesmo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se a favor

do sentido do referencial unidimensional adotado.Assim, nos movimentos progressivos, o deslocamento escalar épositivo.

2) Se no instante 15 s o móvel ocupa a posição inicial determinadapor $ i;, = 35m e no instante 25 s ele ocupa a posição final determinada por Sun — 20 m. seu deslocamento escalar será:AS = Sm, — Si„ = 20 m — 35 m => AS = —15 m

s n„ - 20 m

Intervalo dc tempo A* tfin —*iiiAt = 25s — 15s = 10 s

Deslocamento escalar AS = SflI(- S iuAS = 20 m —35 m = 15 m

Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 10 s. o móvel teve umdeslocamento escalar de —15 m.O sinal "menos" significa que, se o móvel manteve sempre o mesmo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se contra osentido do referencial unidimensional adotado.

Assim, nos movimentos retrógrados, o deslocamento escalar énegativo.

Movimentos progressivos - ► AS > 0Movimentos retrógrados AS < 0





O « inholo ,\ S dovo anr entendido como módulo da grandeza AS ecorroapondo ao valor rtumórico da grandeza AS rjue ó um número real

positivo ou nulo.

Exemplo:

AS n -2 m- ► AS| =4-2

Velocidade escalar

Velocidade é a grandeza física que permite medir a rapidez comque um móvel varia sua posição.

• Velocidade escalar média — Define-se velocidade escalar média

de um móvel como o quociente do deslocamento escalar pelo intervalode tempo correspondente.

Como o intervalo de tempo At é sempre positivo a velocidadeescalar media V„, terá o mesmo sinai do deslocamento escalar AS.

Ou seja: VnJ =At tfin tin

©



30

• Velocidade escalar instantânea — Ouando o intervale de tempoAt tende a zero. a velocidade escalar média tende à velocidade escalar

instantânea.

Ou seja:

Posições sucessivas do um móvel entre dois instantes muito próximos.

velocidade média domóvel entre dois instantes

muito próximos

velocidadeinstantânea

• Unidades de velocidadeNo Sistema Internacional, a velocidade é medida em m/s; no Sis

tema CGS, em cm/s; no Sistema Técnico, em m/s. e, usualmente,mede-se também a velocidade em km/h.

Aplicações práticasVelocidade escalar média: guarda rodoviário controlando o limite

de velocidade de um veículo através de binóculo e cronômetro.



31

• Sinais da velocidade escalar — Nos movimentos progressivos avelocidade escalar instantânea é sempre positiva.

Nos movimentos retrógrados a velocidade escalar instantânea é

Ouando a velocidade de um móvel é instantaneamente nula, dize-

mos que ele está parado naquele instante.Isto ocorre, por exemplo, no ponto mais alto do lançamento ver-

tical de uma pedra.

áà v = o

"" No instante emque atinge o

ponto mais alto daJ sua trajetória, o| móvel pára Porém,

não permanece nessa posição com

V. V = 0.



í

Quando a velocidade escalar instantânea de um móvel permanece nula durante um intervalo de tempe At, dizemos que ele estáem repouso naquele intervalo.

i Complementos

• A intensidade da velocidade escalar instantânea pode ser registrada num instrumento denominado tacómetro (velocímetro).

O velocímetro do automóvel registra a intensidade tía velocidade escalar ins tartã rea

(rapidez do movimento).

• Algumas velocidades significativas:

Velocidade da luz no vácuo ............................................... 300 000 km/sVelocidade do som no ar à temperatura de 20“ C . . 344 m/sVelocidade média de translação da Terra ao redor

do Sol .................................................................................... 30 km/s

Importante: A velocidade é grandeza que depende do referencial adotado. Assim, uma pessoa dormindo em sua casa possui velocidadenula em relação à Terra, mas está dotada de velocidade não-nula emrelação ao Sol.

\

-

»

I

C t



33

Aceleração escalar

Aceleração é o grandeza física que permite medir a rapidez comque um móvel varia suei velocidade.

• Aceleração escalar média — Num intervalo de tempo M. ummóvel var a sua velocidade escalar de V.n a Vfln.

©

km. h

r 7 s

V©'km.h

Define-se aceleração escalar média do móvel como o quocienteda variação de sua velocidade escalar pelo intervalo de tempo cor

respondente.

Ou seja:

O sinal da velocidadesó indica o sentido

do movimento.

V,0 - 4C km/h Vf,u 4 85 krn - h

No exemplo:

85 40 45= ------------= -----

30 - 15 15



34

• Aceleração escalar instantânea — Quando o intervalo de tempoAt tende a zero, a aceleração escalar média tende à aceleração escalar

instantânea. At —o

Ou seja: a ==lim a.-„ a:-» ü

• Unidades de aceleração

AVLembrando que a,u= ----- , então podemos concluir que:

Atunidade de

unidade de velocidade

aceleração unidade detempo

Assim, no Sistema Internacional teremos:

unidade develocidade

unidade detempo

No Sistema


unidade detempo

No Sistema


unidade detempokm/h

Uma unidade usual és



Aplicação prática

Análise do desempenho de um automóvel: a velocidade de umCorcel GT varia de 0 a 100 km/h num intèrvalo de tempo de 17,15 s:a velocidade de um Passat TS varia de 0 a 100 km/h num intervalo

de tempo de 15,30s. (Dados extraídos ca revista Quatro Rodas de junho de 1979.)

• Sinais da aceleração escalar — Analisemos o movimento de umveículo onde, em cada um dos casos abaixo, o motorista procuramanter a leitura no velocímetro ou permanentemente crescente oupermanentemente decrescente. Lembre-se de que o velocímetro só registra as intensidades das velocidades; os sinais serão dispostos

de acordo com o sentido do movimento do móvel.1} As velocidades do veículo crescem algebricamente:

Instante t«„ - 5s tf n- 10sVelocidade Vj,, ——5 m/s Vf| „ - 4-15 m/s

A velocidade final é algebricamente maior que a velocidade n ciai.

1 5 - 5a... -

1 0 - 5a,, - + 2 m/s*

Velocidade Vh: — 15 m/s

A velocidade êstá

crescendoalgebricamente-.

a ( I ). Instante

A ve ocidade final é algebricamente maior que a velocidade inicia!.

= —

(-15)

10 5a„ - - 2 m/s

O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento



Conclusão: A aceleração escalar do móvel é positiva sempre que-- sua velocidade escalar crescer algebricamente.

2) As velocidades do veículo decrescem algebricamente:

A velocidade estádecrescendo

algebricamente: a ( )

Instante ti» - 5 s tr.„ = 10 s

Velocidade V,., - +15 m/s v n. “ +5 m/s

A velocidade final é algebricamente menor que a velocidade inicial.

5 - 1 5aai = —2 m/s-

Instante t,» “ 5 s Win — 10 s

Velocidade V;1I - - 5 m/s Vr.i. ™ -15 m/s

A velocidade final 6 algebricamente menor que a velocidade inicial.

- 15 - ( - 5 )am— a„ = —2 m/s-

O sinal da veiocidade só indica o sentido do movimento.

Conclusão: A aceleração escalar do móvel é negativa sempreque sua velocidade escalar decrescer algebricamente.



% //M /n ã /à n 37

Movimentos acelerado e retardado

Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel cresce num intervalo de tempo, o movimento é denominado acelerado.

Movimento acelerado

A velocidade aumenta em intensidade.Corresponde á situação em que as leituras do velocímetro

assumem valores crescentes.

Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel decresce num intervalo de tempo, o movimento é denominado retardado.

Movimento retardado

A velocidade diminui em intensidade.Corresponde à situação em que as leituras do veloe metro

assumem valores decrescentes.

Resumo geral — Observe, nas duas pranchas a seguir, que osinal da aceleração de um móvel nada tem a ver com o fato de seumovimento ser acelerado ou retardado. Ass im, o fato de a aceleração



38

ser positiva não implica necessariamente que o movimento seja acelerado. bem como o fato de a aceleração ser negativa não implicanecessariamente que o movimento seja retardado.

MOVIMENTO ACELERADO

Cálculo tía aceleração

Entre Os e 5 s:km/h

Entre 5 s e 10 s:8 0 - 6 0 km/h

$ 1 0 - 5 s

ACELERAÇÃO POSITIVAVELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO ACELERADO

MOVIMENTO ACELERADO

Cálculo da aceleração

Entre Os e 5 s:- 6 0 - (-40)

a —-----------------

5 - 0

ACELERAÇÃO NEGATIVAVELOCIDADE NEGATIVA

Entre 5 s e 10 s : .30 - (—60)

a ------------------

1 0 - 5

MOVIMENTO ACELERADO

O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento.

Movimento acelerado: velocidade c aceleração tém o IVESMO SINAL!



f


Entre 0 s e 5 s60 80

a —------ -—3 - 0

l km/hEntre 5 s e 10 s:

40 - 60 km/h

s 1 0- 5 s

ACELERAÇÃO NEGATIVAVELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO RETARDADO

MOVIMENTO RETARDADO


Entre 0 s e 5 s:

-60 - (-80)a ------------------

5 - 0

km/ha .. T-4------ -

Entre 5 s e 1C s:

-40 - (-60) km/h

s 1 0 - 5 s

ACELERAÇAO POSITIVAVELOCIDADE NEGATIVA MOVIMENTO RETARDADO

O sinal da velocidade só indica o ser*, do do movimento

Movimento retardado: velocidade e aceleração têm SINAIS OPOSTOS!



40

Portanto:

Movimento aceleradoVelocidade e aceleração têm o mesmo sinal.

- v . a > 0

Movimento retardadoVelocidade e aceleração têm sinais opostos.

- V . a < 0

Representação gráfica

A variação de uma grandeza emvisualizada através ce um diagrama.

função do tem oo pode ser

Assim, o comportamento das ondas cerebrais de um homem podeser estudado através de um eletroencefalograma: um tremor de terrapode ser analisado através de seu registro num sismógrafo.



W

t

Analogamente, podemos analisar as variações do espaçe S. davelocidade V e da aceleração a através de seus diagramas horáriosS X t . V X t e a X t .

A leitura direta de um diagrama horário informa-nos sobre o comportamento da grandeza ern estudo ao longo do tempo.

Exemplo:

Da leitura direta do gráfico V X t abaixo, podemos concluir que:

• De Os a 5 s . V > 0 (movimento progressivo) e V cresce (movimento acelerado).

• De 5 s a 10s, V > 0 (movimento progressivo) e V decresce

(movimento retardado).• De 10 s a 15 s, V < 0 (movimento retrógrado) e jV| cresce (movimento acelerado).

• De 15 s a 20 s. V < 0 (movimento retrógrado) e V decresce(movimento retardado).



42

' f ln

Gin

G

y\<x ! AGi

~A At 1 / a ; i

i

/ "■

*fln t

Elementos gráficos

Além da leitura direta, há dois outros elementos de interesseno estudo de um diagrama horário: o declive da curva e a área sobo gráfico.

• Declive de uma curva * —Dado um diagrama horário deuma grandeza G (S. V ou a), chamamos de declive do gráfico atangente trigonométrica do ângulo formado pelo gráfico e oeixo horizontal, medido no sentido anti-horário a partir do eixo

t. Ou seja: | dec = tgõ~ .

Gráfico retilíneo: dec = tg a =

AG _ Gfln — G|n

At trtn — tln

Gráfico curvilíneo:• declive médio

deCm — dec j^p. tg &

• declive num pontodeci» = tg a

Sinais do declive:• para 0o< a < 90°, dec > 0.

Exemplo:

6 — 3dec (o»m j»)-----------— “M ,5 —>

2 - 0

dec«)» mi‘») — 4-1.5

• para 90° < a < 180°, dec < 0.Exemplo:

dec. s -h 7») =0 - 6

7 - 5= - 3 = >

dec <5. W 7 •! = —3

• Para a = 0\ dec = 0.

Exemplo:

6 - 6dec (2 « H 5 •) = 0

_________

5 — 2 j dec<2■h »»i — 0

* Pera maior facllidace. ver Apêndice (Pranchas Matemática») no linal deste livro



Admite-se que a escala de representação da grandeza G e da grandeza tseja a mesma. f

Exemplo:eixo da grandeza G (ordenada): 1 cm representa 1 m/s;eixo da grandeza t (abscissa): 1cm representa 1s._________________________

• Área sob o gráfico — Muitas vezes a área entre o gráficoe o eixo dos tempos é numericamente igual a uma certa gran

deza física G, ou seja, A *? G .

Por outro lado, em muitos

casos, o sinal desta grandezaestá associado ao fato de o gráfico estar acima ou abaixo doeixo dos tempos. Podemos, então. adotar a seguinte convenção:

• área calculada acima do eixodos tempos: G > 0;

• área calculada abaixo doeixo dos tempos: G < 0.

Exemplos:8 + 4

D A IO» H 2 «) . 2 —

= 12 — >Ato» h 2») = 12 A ;2«m *h) — 2 . 8 = 16 =

—>A(2«h i >0= 162 . 8

A h «h 6») =•--------= 8 :

==> A « « MA») — 8

Portanto, A(0, h 6*j = 12 +■+- 16-h 8 = 36

Sendo A 5 G, vem: |G = -f36

4 .82) A(«. mio») 16

Sendo A ^ G. vem: | G = —16



1. CESCEA — Um homem, ao inclinar-se sobre a janela do vagãode um trem que .se move com velocidade constante, deixa cair

seu relógio. A trajetória do relógio, vista pelo homem do trem.é (despreze a resistência do ar):

a) uma reta.b) uma parábola.c) um quarto de circunferência.d) uma hipérbole.e) Nenhuma das anteriores.

Resolução: Embora caia verticalmente, aproximando-se do chão, hori-

zontalmcntc o relógio acompanha o trem, devido ao seu embalo inicial.Assim, em relação a uni referencial fixo no trem, a trajetória do objeto

será um segmento de reta vertical.O mesmo ocorre quando um avião, voando horizontalmente com velo

cidade constante, abandona um objeto que cai livre da resistência do ar.

— O ----

\

Resposta: alternativa a.



45

2. CESCEA — Na questão anterior, a trajetória vista por uma pessoa

no solo é:

a) uma reta.b) uma parábola. f c) uma hipérbole.d) um quarto de circunferência.e) Nenhuma das anteriores.

Resolução: Fm relação a uni referencial fixo no solo, o relógio será

dotado de dois movimentos simultâneos: queda vertical e deslocamentolateral. A combinação desses movimentos resulta em um arco de pará

bola, conforme você pode observar no exemplo do avião.

Resposta: alternativa b.

3. ITA — Um homem sobe uma escada que se apóia contra um edifício. A escada tem seu topo a 8 m do solo e a base está a 6 m

do edifício, conforme figura abaixo. Ele sobe ao topo em 4 s e.daí, cai ao ponto B no próximo segundo. A velocidade escalar

média entre A e B é de:Cv a) 3.2 m/s.

b) 1.2 m/s.c) 3,6 m/s.

d) 5.25 m/s.Bl_______________- N . a e) Nenhuma das respostas anteriores.

Resolução: Do enunciado da questão, temos:

CB = 8 m, AB = 6m , AtAC= 4 s e Atou = 1 sC

Por Pitágoras, podemos escrever:

(AB)2 + (CB)2 = (AC)2

(6)2 -4- (8)2t= (A C )2

(AC)2 = 1 0 0 = > AC = 10 m

Lembrando a definição dc velocidade escalar média, vem:

. . AS AC + CB 10-f -8 18 " 6■ât AtAC -j- AtfB 4 -f- 1 5

Logo: Vrn = 3 ,6m /s

Resposta: alternativa c.



46

4. MACKENZIE — Sejam M e N dois pontos de uma reta e P o ponto

médio de MN. Um homem percorre MP com veloc dade constante

de 4,0 m/s e PN com velocidade constan te de 6,0 m /s. A velo

cidade média do homem entre M e N é de:

a) 4,8 m/s. b) 5,0 m/s.

c) 5.2 m/s.d) 4.6 m/s.e) Nenhuma das anteriores.

Resolução: Quando um móvel mantém sua velocidade constante, as

velocidades media e instantânea tem o mesmo valor.

y © g © a

At, At,

Ou seja:

velocidade

constanteV = V,

Assim, para o trecho MH podemos escrever:AS, AS

Vm, = 4 m/s = > --------- = 4 = > At, = ------

* At, 4Para o trecho PN, teremos:

AS2Vrn = 6 m / s = > ---------= 6 = >

Ata

A velocidade media total será: ASp AS, -{- ASa

V — — At? At, -}- Ato

AtaASa

6

(UI)

Substituindo-scAS,

AS,

(I) e (II) em (III), vem:-I- AS. _ AS, + AS*

ASo ~ 3 AS, + 2ASa

(D

( I I )

12(AS, + AS-.)

3AS, -f- 2ASo

4 6 12



47

Pelo enunciado, sendo P o ponto niédio do trecho MN, então MP — PNou AS, - AS,.

Portanto:

12(AS, + AS,) 2 4 # ,

~~ 'V«

24

3AS, -f 2AS,

Conclusão:

4,8

VmT — 4,8 m/s


5. MAPOFEI — Um automóvel percorre a distância entre São Pauloe São José des Campos (90 km) com a velocidade média de

60 km/h; a distância entre São José dos Campos e Cruzeiro

(100 km) é percorrida com a velocidade média de 100 km/h e entreCruzeiro e Rio de Janeiro (210 km) com a velocidade média de60 km/h. Calcule a velocidade média do automóvel entre São

Paulo e Rio de Janeiro.

Resolução: Para o trecho (1) (São Paulo—São José dos Campos):

AS, AS, 90Vm = ------ = > At, = ----- — = > A t, = ------ = 5

1 At, V». 60At, = 1,5 h

Para o trecho (2) (São José dos Campos—Cruzeiro):

AS2 AS2 100V„, = ----i = > Ata = ---- — = > At. = ---------= >

Ato 100Ato = 1,0 h

Para o trecho (3) (Cruzeiro—Rio de Janeiro):

AS» AS3 4 210At3 — --------- —^ At:, — V« = -

1 At: 60At:, = 3,5 h

Assim, o intervalo de tempo total para ir de São Paulo ao Rio deJaneiro será: _________

At = At, 4 Ato 4- At:, = 1,5 4- 1,0 4 3,5 = > At = 6,0 h



48

O deslocamento total do automóvel será:áS = AS, 4 AS . 4 AS3 = 90 4 100 4 210 = >Portanto:

AS = 400 km

V,400

6

Vm— 66,6" km/h

Resposta: A velocidade média do automóvel em todo o trecho foi de66,67 km/h.

6. CESGRANRIO — Numa avenida longa, os sinais são sincronizadosde tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velo-cidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde). Sa-bendo que a distância entre sinais sucessivos (cruzamentos) éde 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal

e o seguinte c de 12 s. com que velocidade os carros devemtrafegar para encontrarem os sinais abertos?

a) 30 km/h

b) 40 km/hc) 60 km/hd) 80 km/he) 100 km/h

Resolução: Suponhamos que um carro esteja chegando num sinalvermelho.

Quando o sinal abrir, ele terá 12 s para percorrer 200 m até o próximosinal, que deverá estar passando do vermelho para o verde.

At

Calculemos, então, com que velocidade média o carro deverá fazereste percurso.

Sendo AS = 200 m c At = 12 s, vem:AS 200 50

V ... —— ■■■ ■ v m=

50

At 12 3

Lembrando que I m /s = 3,6 km/h, ternos:50

m/s

V,„ = . 3,6 km/h V'n-, = 60 km/h




49% /s/ £ m d / ü r/ '

7. UNIVERSIDADE DE TAUBATé — Uma bicicleta move-se sobreuma estrada curvilínea com velocidade escalar instantânea igual

a — 4 rn./s. O sinal negativo indica que:a) a bicicleta tem velocidade decrescente.

b) a bicicleta se move em marcpa a ré.c) o movimento tem sentido contrário ao da orientação positiva

da trajetória.d) é impossível tal situação; não há significado físico para velo

cidade negativa.

Resolução: A velocidade escalar negativa indica que o objeto se move

contra a orientação do referencial.Assim, diremos que o movimento da bicicleta é retrógrado.

)


8. UNIVERSIDADE DA BAHIA — O maquinista aciona os freios deum trem, reduzindo sua velocidade de 80 km/h para 6C km/h, nointervalo de 1 min. Neste intervale, a aceleração do trem foi de:

a) 20 km/h-’.b) —20 km/h2.c) —0.3 km/h2.d) 1.2 . 103 km/h-.e) —1.2 . 103km/h2.

Resolução: Lembrando que a„,AV Vfla — V|n

At At podemos es-

crcver:

&B) —

Logo:

3iu — —

60 km/h — 80 km/h

1min

20 km/h km/h

1 mina» = -2 0

mm



50

Ou seja, o trem reduz sua velocidade, cm média, de 20km/h em cada

minuto.

Como 1min = ------h, entào:60

am= - 2 0 . 60 km — => am= —1 200 km/h2h

Assim:a,3 : 1.2 . 103 km/h2|

O sinal menos (—) significa que a velocidade escalar do móvel diminui

algebricamente.

Resposta: alternativa e.

9. MEDICIMA DE LONDRINA — A tabela abaixo dá a velocidade escalar (V) de um corpo em função do tempo (t):

t(s) 0 2 4 6 8

V(cm's) -3 4 11 18 25

A pa-tir destes dados, assinale o gráfico que melhor representa

am«o*ih 2 (| = ---------------- — H--------- — -f-3,5 cm / s2 - 0 2

B in <2 « H <*1 = ----------------- - = H------------— - j- 3 , 5 c m / s -'

4 - 2 2

|-------= -f 3,5 cm/s*. 2

a.-ii <4a H 6 sl —6 - 4



51

3m(uHM8 *) — ---------------- — H--------- — +3 ,5 cm /s28 - 6 2

Portanto, a aceleração media é constante c sua representação gráfica

é uma reta paralela ao eixo dos tempos (eixo horizontal).


10. ITA — No estudo do movimento de um móvel (em trajetória retilínea), medindo-se a velocidade a cada segundo a partir de uminstante t — 0 s e de um ponto x0 ob:eve-se a seguinte tabela:

V(m/s) 1.0 2.0 6.0 8.0 9.0 10.0 12.0 13.0 14.0 15.0 15,0 15.0 14.0 10,0 5.0 2.0

t(s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 80 9.0 10.0 110 12.0 13 0 14,0 15.0

As acelerações médias do móvel entre es instantes 4 s h 5 s , 1 0 s m 1 1 s e 13 s m 14 s foram, respectivamente (em m/s2):

a) 1.0: 0.0 e 4.0.

b) 4.0; 0,5 e -4 .0 .c) 2.0; 2.0 e -2 .0 .d) 2.0; 0.0 e -4 ,0 .e) 1.0; 0.0 e —4.0.

n . . » ^ fin ^ :nResolução: Como am— --------------- , temos:

tíin — tin

(4,0 »H ’».O*) — 1 0 , 0 - 9 , 0

5,0 - 4,0

am(4«HG«) — 1,0 m/S-

am: 10.0 &H 11,0-a» —15,0 — 15,0

1,0

1,0

0,0

— 1,0 m/s2

3.H113.01 H 14,0 s) —

11,0-10,0 1,0

am(to «HM «) = 0,0 m/s*

6,0 — 10,0 -4 ,0

= 0,0 m/s*

14,0— 13,0 *1,0 — —4,0 m/s*

amíl3sHHj) — —4,0 m/s*


11. MEDICINA DE SANTOS — Um ponto material desloca-sc com umacerta velocidade segundo um eixo orientado, adquirindo, na origem deste, uma aceleração constante de —15 cm /s2. Após 6,0 ssua velocidade é de 30 cm/s, dirigida segundo o sentido negativodo eixo. A velocidade do ponto material no instante cm que lhefoi comunicada a aceleração é de:



52

a) 15 cm /s.

b) 30 cm /s.

c) 45 cm/s.

d) 60 cm/s.e) Nenhuma das anteriores.

Resolução: Do enunciado, temos a informação:

Vfu = — 30 cm /s (velocidade contrária à orientação do referencial).

VfIn — V,0Lembrando que aw

t = 0,0 s V,„ = ?

t = 6,0 s

'fii>

At

•©

■©

vem:

-1 5- 3 0 - V,

- 9 0 = - 3 0 - V,B

= > Vla = 9 0 - 3 0 = >

Viu = 00 cm/s

Resposta: alternativa d.

12. FEI — O gráfico da velocidade de um ponto material em funçãodo tempo é o que se vê na figura abaixo. Pode-se dizer que:

a) o movimento é acelerado durante todo o tempo.

b) o movimento é retardado nos trechos AB, CD e DE.

c) o movimento só é retardado no trecho AB.

d) o movimento é retardado nos trechos AB e CD.

e) nenhuma das afirmações anteriores está correta.



53

Resolução: As grandezas físicas escalares podem ter suas variações

com o tempo ilustradas através de uma representação gráfica. A leiturade um gráfico nos permite tirar conclusões a respeito do movimento

do móvel. No caso cm questão, o gráfico V X t nos informa que:

Trecho AB: V| decresce = > movimento c retardado.Trecho BC: velocidade se mantem constante.Trecho CD: V| decresce = > movimento c retardado.Trecho DE: V cresce => movimento é acelerado.Resposta: alternativa d.

13. MEDICINA DA SANTA CASA — O gráfico abaixo representa o

espaço S de um móvel em função do tempo t. Pode-se dizer quea velocidade média no intervalo de Os a 7 s foi igual a:

c) 23 m/s.d) 6,6 m /s.e) 0 m/s.

«j, __^Resolução: Lembrando que Vm— -------------, através da leitura direta

t f In t jn

do diagrama horário S X t podemos concluir que S() — 0 m e S7 = 0 m.

Portanto:

Vai(0 *H7 s)

Sv- So

7 - 0

0 - 0 0------- = ------= 0 =>

7 7

— ai :o*hT«>—0 m; S

Observe que o fato dc a velocidade média ser nula não implica que omóvel esteja cm repouso. No caso em questão, a velocidade média énula porque o móvel ocupa a mesma posição nos instantes inicial e final.




54

14. MEDICINA DO ABC — O gráfico abaixo representa a velocidadeescalar em função do tempo de um veículo que se movimentasobre uma trajetória retilínea.

O módulo da aceleração escalar média, no intervalo de 0 s a 10.0 s.

b) 2.0.c) 2.5.d) 5.0.e) 10.0.

Resolução: Lendo o gráfico, concluímos que: para t = 0,0 s, Vrt — 20 m/s para t = I0,0s, V10 = Om/s

c . AV V|0 — V„ benao a*. = ------= ---------------- , vem:

At At

0 — 20âjiMOHHio*.)----------------. . am(o,sH»'»*) ——2,0 m/s*

1 0 - 0

A velocidade final é aleebricamcnte menor que a velocidade inicial.Logo, em m/s2:


<<f s H 10 *1 - 2.0



55

1. MEDICINA DE 1TAJUBÁ — Um menino parado numa estação deixacair uma pedra. Um observador, situado num trem que se desloca com

movimento retilíneo para a esquerda, vê a pedra seguindo qual das trajetórias abaixo?

2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — lodo movimento é relativo. Então, podc-sc dizer que, cm relação a um mesmo sistema de referência:

I) Sc A está em movimento em relação a B e B está em movimento emrelação a C, então A está em movimento em relação a C.

II) Se A está parado em relação a B c B está parado em relação a C, então

A está parado em relação a C.Responder mediante o seguinte código:a) I está certa e II está errada.

b) I está errada e II está certa. d) I e II estão erradas.c) I c II estão corretas. c) Nada se pode afirmar.

3. MEDICINA DO ABC — A velocidade escalar média de um móvel é melhor definida como sendo:a) a média das velocidades escalares do móvel, ao longo do movimento.

b) o resultado da divisão do espaço percorrido pelo móvel pelo intervalode tempo empregado em percorrer esse espaço.c) o produto da aceleração pelo tempo.d) o quociente da aceleração pelo tempo.c) a media aritmética das velocidades inicial c final, relativas ao mesmo

percurso.



56

4. ENGENHARIA DF. UBERLÂNDIA — Um passageiro dc ônibus verificou que o mesmo andou 10 km nos 10 primeiros minutos de observação c8 km nos 10 minutos seguintes. A velocidade média do ônibus foi:

a) pouco menor que 60 km/h.

b) igual a 60 km/h.c) pouco maior que 60 km/h.d) igual a 120 km/h.c) impossível dc ser calculada.

5. PUC (CAMPINAS) Lm carro move-se com velocidade de 2 m/s durante10 s (l .a marcha): cm seguida, com 5 m/s durante 10 s (2.a marcha) e, de

pois, com II m/s durante 10 s (3.a marcha). Desprcza-se a duração dasmudanças de marcha.

a) A velocidade média do carro c dc 6 m/s.

b) A aceleração do carro é sempre nula.c) A aceleração media do carro na duração do fenômeno é de 0,45 m/s-.d) Nenhum dos resultados anteriores.

6. MEDICINA DF. CATANDUVA — Um automóvel percorre um trechoretilíneo dc estrada, indoda cidade A ate a cidade B,distante 150 km da

primeira. Saindo às 10:00 h dcA. pára às ll:0 0h em umrestaurante situado no ponto médio do trecho AB, onde o motorista gasta exatamente umahora para almoçar. A seguir, prossegue viagem e gasta mais uma hora para chegar à cidade B. A velocidade media do automóvel no trecho AB

foi dc:a) 75 km/h. d) 60 km/h.

b) 50 km/h. c) 90 km/h.c) 150 km/h.

7. ITA — Um motorista deseja perfa?er a distância de 20 km com a velocidade média de 80 km/h. Se viajar durante os primeiros 15 minutos com avelocidade de 40 km/h, com que velocidade média deverá fazer o percursorestante?

a) 120 km/h. b) 160 km/h.c) É impossível estabelecer a velocidade mcd:a desejada nas circunstâncias

apresentadas.d) Nula.e) Nenhuma das afirmações c correta.

8. UNESP — Um ônibus dirige-sc dc São Paulo ao Rio dc Janeiro.

0 ) Ao passar pelo marco quilométrico A dc espaço 150 km, um passageiro lê cm seu relógio o tempo 15 horas. Com esses dados, a veloci

dade é calculada cm 10 km/h.(2) Às 17 horas, o veículo passa por um marco B no qual se lê 50 km.Entro A e B o percurso é —100 km. a duração é dc 2 horas e a velocidade média é dc —50 km/h.

*

4

k

*

‘4



(3) O sinal negativo na velocidade do item (2), suposto correto, indica queo veículo faz marcha à ré.

a) Somente (1) c correta. b) Somente (2) é correta.c) Somente (3) c correta.d) Há mais de uma afirmativa correta.e) Não há nenhuma afirmativa correta.

9. UNIVERSIDADE DE SÂO CARLOS — Um móvel se desloca de um ponto A até um ponte B. a uma velocidade constante igual a 80,0 km/h.Depois, se desloca do ponto B ate um ponto C, a uma velocidade constanteigual a 30,0 km/h. Se a trajetória é retilínea desde o ponto A até o pontoC. c as distâncias de A até B c de B até C são iguais, podemos dizer que

a velocidade escalar média do móvel é de:a) 55,0 km/h. d) 50,2 km/h

b) 43,6 km/h. e) 71.7 km/h.c) 60.8 km/h.

10. PUC (RIO GRANDE DO SUL) — A velocidade média de um automóvelna primeira metade de um determinado percurso é de 10 km/h c. na segunda metade desse mesmo percurso, é de 30 km/h. Pode-se afirmar quea velocidade média desse automóvel cm todo o percurso vale:

a) 15 km/h. d) 30 km/h. b) 20 km/h. e) 40 km/h.c) 25 km/h.

11. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — Um ponto material move-se emlinha reta. percorrendo dois trechos consecutivos MN c NP O trecho MNc percorrido com uma velocidade media igual a 20 km/h, e o trecho NPcom uma velocidade média igual a 60 km/h. O trecho NP é o dobro dotrecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no trecho MP foi de:

a) 36 km/h. d) 42 km/h. b) 40 km/h. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 37,3 km/h.

12. MEDICINA DE ITAJUBÁ Um trem viaja durante 2h a 50,0 km/h;depois, passa a viajar a 60,0 km/h durante 1,5 h e, finalmcntc. passa a80,0 km/h durante 0,5 h. Sua velocidade média, neste trajeto, será de:a) 80.0km/h. d) 57,5 km/h.

c) 63,3 km/h.

13. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel, descrevendo um movimento progressivo, certamcnte está em:

b) 65,0 km/h. e) 47,5 km/h.

a) rotação. b) oscilação.c) movimento retilíneo.

d) movimento uniforme.e) Nenhuma das respostas anteriores.



58

14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Medindo-se, no sistema CGS dcunidades, a velocidade de um corpo, obteve-se o vaíor de 12,3 cm/s. Quevalor expressa esta mesma velocidade no sistema de unidades MKS?a) 1,23 . 10-3 m/s d) 1,23 . 10* m/s

b) 1,23 . 10-* m/s e) 1,23 . IO3 m/sc) 1,23 . 10-» m/s

15. PUC (CAMPINAS) — A aceleração escalar média de um automóvel queaumenta sua velocidade de 36 km/h para 108 km/h em 10 s c de:a) 7,2 m/s2. d) 4,2 m/s2.

b) 72 m/s2. e) 3,0 m/s2.c) 2,0 m/s2.

16. UNIVERSIDADE DE SÄO CARLOS Um carro, movendo-se no sen

tido positivo do eixox

com velocidade de 100 km/h. freia de modo queapós 1.0 min sua velocidade passa a ser dc 40 km/h. A aceleração médiado carro será dc:a) —1,0 km/min2. d) —0,66 km/min2.

b) 1.0 km/min2. c) 0.66 km/ s2.c) 1,0 m/s2.

17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O quociente entre velocidade c aceleração c uma grandeza que pode ser medida em:a) cm/s2. d) s.

b) cm/s3. e) s-1.c) cm2/s3.

18. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O gráfico abaixo representa o espaçoS de um ponto em função do tempo t de percurso. A maior velocidademédia, relativa a um intervalo de tempo igual a um segundo, é obtidaentre:

a) 0 s e Is. b) I s e 2 s.c) 3 s e 4 s.

d) 4 s e 5 s.e) 5 s e 6 s.



59v i& n d á a z &

19. MEDICINA DE TA UB ATÉ O gráfico S X t de um móvel c desenhadoabaixo. Esse móvel tem um movimento:

t

a) aederado. d) retrógrado. b) retardado. e) ü móvel está parado.c) progressivo.

20. MEDICINA DE SANTOS O diagrama abaixo representa a velocidadeescalar de um ponto material em função do tempo.

Podemos afirmar que:

a) entre os instantes 0 s e 5 s o movimento c progressivo c retardado. b) entre os instantes 15 se 20s a aceleração escalar é negativa.c) entre os instantes 5 se 10s o movimento c progressivo retardado.d) no instante 15 s a aceleração é nula.c) nos instantes 10 s c 20 s a aceleração atinge seus valores máximos.



S I

21. CESCEA — Dois corpos, distantes entre si 100 m. partem simultaneamenteum em direção ao outro, ao longo ca reta que os une. O gráfico abaixomarca a posição de cada um dos corpos no decorrer do tempo; (1) rcfcre-seao primeiro e (2) ao segundo corpo.

Considere as proposições:I) Os corpos se encontram noinstante t = 4 s.II) Os espaços percorridos pelo corpo (1) e pelo corpo (2) desde o mo

mento da partida até o instante de encontro são. respectivamente. —f>() m c 40 m.

III) A velocidade média do corpo (1), em módulo, durante os primeiros6 s. é maior que a do corpo (2).

São corretas as proposições:

a) I e II. d) Todas são verdadeiras.

b) I c III. c) Todas são falsas.c) II e III.

22. CESGRANRIO — Um mau motorista percorre uma avenida onde os sucessivos sinais dc tráfego são eqüidistantes e estão sincronizados para queum bom motorista possa cruzar todos os sinais no verde, dirigindo comuma determinada velocidade constante.



No entanto, o mau motorista não aproveita essa chamada "onda verde .Ele arranca subitamente, “queimando borracha", na abertura de um sinal,acelera a fundo e depois freia violentamente de modo a parar no sinalseguinte, onde aguarda a abertura, c assim por diante.

Qual dos seguintes gráficos posição x tempo melhor representa o movimentodo carro desse mau motorista? <

Tempo

Posição

Tempo







Definição de movimento uniforme

O movimento de um móvel é uniforme quando sua velocidadeescalar é constante e não-nula.

Assim, um automóvel dotado de movimento uniforme terá seu

velocímetro indicando sempre o mesmo valor:

Movimentouniforme

• Rap dez constante em qualquer trajetória.

• Sentdo do movimento sempre constante

• A indicação do velocímetro é sempre a mesma.



Movimento uniforme em trajetória curvilinea.

RAPIDEZ CONSTANTE

Resumindo: MU V constante e não-nula

• Conseqüências da definição — Como conseqüência dessa definição. podemos concluir que. no movimento uniforme, a aceleraçãoescalar é constante e nula.

Ou seja: MU => aceleração escalar é nula

Como a velocidade escalar é constante, o valor da velocidadeescalar instantânea, no movimento uniforme, coincide com o da velocidade escalar média.

Isto é: MU •=> V = V™



66

Instante qualquer (t)

Instante inicial (t 0)

Função horária do movimento uniforme

A expressão matemática que relaciona os espaços S de um móvel(indicativos de suas posições) e os correspondentes instantes t édenominada função horária do movimento, sendo representada genericamente por S = f(t).

S indica a posição do nevei num instante

t quaiquer.

§o mdica a posição do móvel para trrO .

e . w w AS S - S „ S - S .Sendo V — Vm— -----= ----------- , então: V = --------

At t - 0 t

=> S = S »-f Vt (função horária do movimento).

Conclusão: A função horária do movimento uniforme é do 1.° grau

na variável t, sendo expressa por: S — So 4- Vt

i S0 (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel

onde ' instante inicial do movimento (instante zero)-.

! V é a velocidade escalar constante e não-nula.



Exemplos :

S = 6 + 2t (SI)

S = - 3 - 8t (SI)

í Sm= + 6 m[V = +2 m/s (movimento progressivo]

í Sm= —3 m[ V — —8 m/s (movimento retrógrado)

S — 5t (SI)

(wô0VO(tft%L____

S<i = 0

V = 5 m/s (movimento progressivo]

1. A funçãc horária informa sobre o tipo de movimento desenvolvido pelomóvel mas nada informa a respeito da trajetória seguida pelo corpo.

2. É importante o conhecimento das posições ocupadas pelo móvel ao longodo tempo. Onde estará o móvel nos instantes t = 10 s. t = 20 s e t = 30 &?

A função horária respondo a esta pergunta!



68

3. Observo que o espaço S de um móve pode obedecer a uma corta funçãohorária, porém em trajetórias diferentes. A função horária ntíica como o móvel caminha e não onde o movei caminha Com apenas a funçãohorária não podemos prever a trajetória co movei.

S

Diagramas do movimento uniforme

• Diagrama S X t — A representação gráfica da função horária domovimento uniforme é uma reta inclinada em relação ao eixo horizontal, pois é uma função matemática do 1.° grau em t.

g __g(Lembrando que S = S.. 4 Vt. então V = -------- — (1).

tObservando-se o diagrama S X t seguinte, podemos escrever:

S - Sndec = tg a

t( 2).



Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico S X t nomovimento uniforme é numericamente igual à velocidade escalar domóvel.

Ou seja: dec ( S X t ) N=V

v irapidez constante

STZ I j

• Diagrama V X t — O diagrama V X t referente ao movimentouniforme será representado por uma reto paralela ao eixo dos tempos,

já que a velocidade escalar neste movimento é constante e não-nula.

Neste gráfico, calculando a área sob a reta, podemos escrever:

A 3 V t (1).

Como S = So + Vt, então S — So = Vt => AS = Vt (2).

Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico V X tno movimento uniforme é numericamente igual ao deslocamentoescalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.

Ou seja:

(M terrxjfâú -___

A (V X t) 2 AS

Como no movimento uniformo a aceleração escalar ó constantemente nula.o diagrama a X t será representado por uma reta coincidente com o eixodos tempos.



70

Exemplo:

Seja a função horária S -— 2 + 1 .5 t, no SI:

para t — 0 s, S,. — 2 m;

para t — 4 s. S í _ 8 m.

Podemos, então, construir odiagrama S X t.

Nesse gráfico, notamos que

dec8 - 2

(« » H « «> —

4 — 0= 1,5 => dec = 1,5

Da função horária, temos

V - 1,5 m/s

Logo. o declive do gráficoS X t é numericamente igual à

velocidade escalar do móvel.Neste gráfico, notamos que

A(o«h íh »— 4 . 1,5 = 6 —>

L(0» H-» «>= 6

Da função horária, temosS4— 8 m e So — 2 m.

Logo: ASm«h i »i — —- So = 8 - 2 = 6 =>

AS :o Rh t •) — 6 m0 1 2 3 4 tis)

Portanto, a área sob o gráfico V X t é numericamente igual ao

deslocamento escalar do móvel.

Como a aceleração escalar é constantemente nula. o gráfico a X tserá uma reta coincidente com o eixo dos tempos.

Encontro de móveis

Quando dois móveis percorrem a mesma trajetória orientada,poderá ocorrer encontro entre eles. Isto acontecerá quando suasposições coincidirem, ou seja, quando seus espaços forem iguais,

desde que referidos à mesma origem.



Instanteinicial

Instante cm que ocorreencontro dos móveis

71

\

Encontrode móveis

• ü s móveis ocupam a mesma posiçãono referencial.

• Ocupar a mesma posição nãoquer dizer que tenham realizadoo mesmo deslocamento.

Graficamente, o encontro de dois móveis corresponde è inter-secção das retas representativas das funções horárias:



72

Apêndice

A propriedade referente à área do diagrama V X t pode sergeneralizada para qualquer tipo de movimento. Todavia, a demons

tração desta propriedade envolve uma matemática mais refinada queserá desenvolvida no volume referente à Dinâmica.

Resumindo, para qualquer tipo de movimento: A {V X t ) ? A S

1. UNIVERSIDADE DO PARANÁ— Três móveis A. B e C par

tem, simultaneamente, emmovimento uniforme e retilíneo, dos pontos a, b e c.com velocidades constantes,respectivarnente iguais a V* = 15 m/s, VB = 4,5 m/s eVc = 7.5 m/s. Pede-se o instante em que o móvel A estará entreos móveis B e C e a gual distância de ambos.

Resolução: Lembrando que no movimento uniforme S = S„ -|- Vt, noinstante inicial, adotando o ponto A como origem dos espaços e orien-tando a trajetória conforme a figura, temos:

Situaçãc inicial

Situação final



a

Sda = ü m

VA= 15 m/s = > SA= 151

B S,)]( = 20 m = > Sr - 20 -f- 4,5t

C

V» — 4,5 m/s

Soc = 40 mSc- = 40 + 7,5t

V0 = 7,5 m/s

Nas condições do enunciado, podemos cscrcvcr: S.v — Sn = Sc — SA.Logo, 2S.v — Sii -|- So.

Substituindo as funções horárias dos móveis, teremos:

2(15 t ) = (20 -f 4,51) -f (40 + 7 ,5t) = > 30t = 60 + 12t = >

=> I8t = 60 = > L= ------=>18

Resposta: O móvel A estará equidistante de B e C ------s após o início

da contagem dos tempos.

2. AMAN — Para passar uma ponte de 50 m de comprimento, umtrem de 200 m, a 60 km/h, leva:

a) 0,35 s.

b) 1.5 s.

c) 11,0 s.

d) 15,0 s.e) 30,0 s.

Resolução: Adotando o início da ponte como origem do referencial,

orientando-o no sentido do movimento e observando o esquema abaixo,

podemos escrever, para a dianteira do trem:



74

Instante zeroSo = 0 m

V = 60km

Portanto, S = S„ | Vt

h

S =

60 m

3,6 s

603,6

. t.

Completada a travessia, teremos S = L — d = 200 -|- 50 = 250 m.

Assim: 250 =60

. t t =.-25 . 3,6

3,6t = 25 . 0,6

t = 15 s


3. MEDICINA DE VASSOURAS Um móvel A com movimento reti

líneo uniforme parte do ponto a cm direção a b, com velocidadede 90 km/h. No mesmo instante, sai de b um móvel B, tambémcom MRU. A distância retilínea ab é de IG km. A velocidade domóvel B, para que ambos sc cruzem a 6 km de a. deve ser igual a:

a) 80 km/h.b) 16.67 m/s.c) 37.5 m/s.d) 25 m/s.e) 22,22 m/s.

Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto a c orientandoa trajetória conforme o esquema a seguir, notamos que:

Móvel A: SoA= 0 k m

V A =: 90 km/h

Móvel B: SoH= 10 km



T o w é m O fà a 75

Assim, podemos escrever:

SA= SoA-f VAt = > SA= 901 (1)

S„ = Son + V„t = > SB= 10 + V„t (2)

Condição de encontro: SA= SB= 6 km.Logo, substituindo em (1),

66 - 901 = > t = ------= >

90

Voltando cm (2), temos:

vem:

It = ------h

15(instante de encontro)

6 = 1 0 - * V B Y'u — 60km /h

O sinal menos (—) indica que o movimento é retrógrado.

Então:

km J 000 mV„! = 60 -----= 60 . ----------- = í 6,67 m/s =>

h 3 600 s

Conclusão: o móvel B deverá ter velocidade escalar de intensidade16,67 m/s.


|VB| = 16,67 m/s

4. MEDICINA DE ITAJUBA — O

gráfico ao lado descreve omovimento retilíneo de 2carros A e B que viajam namesma direção. Podemosafirmar com certeza que:

a) o carro A está perdendo

velocidade enquanto ocarro B ganha velocidade.

b) o carro A parou no instante t = 100 s.

c) os dois carros estão rodando na mesma d reçãoe em sentidos contrários.

d) o carro A está mais ace-

lerado que o carro B.e) no instante t = 50 s os

dois carros têm a mesmavelocidade.

Resolução: Lembrando que o declive do gráfico S — f(t) é numerica

mente igual à velocidade escalar do móvel, observamos que tanto o



76

carro A como o B possuem velocidades constantes e nâo-nulas (umareta tem declive constante). Podemos, então, escrever:

1) carro A: 90« < a < 180° decA < 0 = > VA< 0(movimento retrógrado)

2) carro B: 0° < j3 < 90° decB> 0 VB> 0(movimento progressivo)

Note que, no instante t = 60 s, osmóveis ocupam a mesma posição,e que, no instante t = 100 s, o móvel A está na origem do referencial(S = 0 m).


5. IMS — Uma partícula percorre, durante 10 segundos, uma tra

jetória "etilínea com uma velocidade que varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Pode-se afirmar que a velocidade médiada partícula nesses 10 segundos é. em m/s, igual a:

V(m/s)10]

8

6-iiiii

2

1 1 1

0 2 4 6 8 10a) 6.b) 5.6. d) 0.8.

c) 1.3. e) 0.4.Resolução: Como no gráfico V - í(t) a área sob a curva é numerica

mente igual ao deslocamento escalar do móvel, podemos escrever:

A(0-m i ,> = 4 . 8 = 32 —r ASm»h •» ~ 32 m _

A(4 hm i<>s) = 6 . 4 = 24 >AS(.j.. m io »i = 24 m

—— AS,0ü io i) — 3z -f- 24 = 56 m

AS((| 10 Ml) --

( O f lH lO i )

56

Sendo V„ vem:At (0 » H 10 *í

V..(0 • w 1 0 M) 10

V,„ — 5,6 m/slO* H 10 “




1. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um móvel percorre o

segmento de reta AC com velocidade constante, onde AB ^ BC. Se t, c t»

são os tempos gastos, respectivamente, nos percursos AB e BC, é verdadeira a seguinte relação:

A E C

a) AB/t, = BC/to d) AC = AB/t, + BC/t2 b) AB/BC = t2/t, e) AC = (AB + BC)t,toc) AB/BC = (ta/t,)2

2. I-El A luz demora 10 min para vir do .Sol à Terra. Sua velocidade é3 . 103 km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra?

3. FAAP — Qual c a distância da Terra a uma estrela cuja luz é recebida

após 5 anos?4. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA — O tempo gasto por

um trem de 100 m para atravessar um túnel de 200 m. deslocando-se comuma velocidade escalar constante dc 72 krn/h, é de:a) 5 s. d) 15 s. b) 15 h. e) 20 s.c) 10 s.

5. CTA (COMPUTAÇÃO) — Um móvel descreve uma trajetória retilínea com

velocidade constante dc 2 m/s. Nessas condições, o gráfico cartesiano desua velocidade em função do tempo será:a) uma reta paralela ao eixo dos tempos.

b) uma reta paralela ao eixo das velocidades.c) uma reta que passa pela origem.d) uma reta com coeficiente angular 2 e coeficiente linear 4.e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.



78

6. CESGRANRIO — Analisando-se c movimento de um automóvel, obteve-sea tabela seguinte, onde se lê a posição do automóvel em vários instantesdo movimento:

posição(m) 0 60 120 180 240

tempo(»1

0 3 6 9 12

Qual dos gráficos a seguir representa a velocidade do automóvel (ordenada)em função da posição (abscissa) para o trecho analisado?

d) e)

7. CESGRANRIO — Ainda na questão anterior, qual dos gráficos propostosa seguir representa a posição cio automóvel (ordenada) em função do tempo(abscissa)?

d) c)



8. FEI — O gráfico dos espaços para um móvel é dado pela figura:

O gráfico das velocidades correspondente é o dado por:

9. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Um móvel desloca-se ern linha retade um ponto X a um ponto Z, passando pelos pontos Y c S. A distânciaentre cada ponto é a mesma e o movimento ó assim descrito: de X para Y

6 gasta 1h, à velocidade constante; de Y para S o móvel desloca-se commetade da velocidade do trecho XY e de S para Z com o quádruplo davelocidade do trecho YS. 0 tempo total gasto no percurso c dc:a) 4 h. c) 3 h 30 min.

b) 6 h. d) Nenhuma dessas.



80

10. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Na questão anterior, se o trecho XYtem 70 km, a velocidade média no percurso de X a Z é de:a) 35 km/h. c) 60km/h.

b) 52,5 km/h. d) 70 km/h.

11. CESCEA — O gráfico representa, cm forma aproximada, o movimento deum carro durante certo percurso.

A velocidade média do carronesse percurso é de:a) 20 km/h.

b) 30 km/h.c) 32km/h.

d) 40 km/h.c) Não há dados suficientes parao cálculo.

12. CESCEA Um cachorro encontra-se entre seu esconderijo e o laçador,a 50 m do primeiro e a 100 m do segundo, numa mesma reta. Inicia-se a perseguição, o cão com velocidade constante de 3 m/s, dirigindo-se ao

- esconderijo, o homem, com velocidade, também constante, de 8 m/s, noencalço do cão.

a) O laçador alcançará o cão 15 m antes do esconderijo. b) O laçador alcançará o cão 1 s antes do esconderijo.c) O laçador está a 15 m do cão quando este alcanÇa o esconderijo.d) O laçador alcançaria o cão até o esconderijo se sua velocidade fosse, no

mínimo, três vezes a do cão.e) O laçador alcançaria o cão sc dispusesse de mais 1s antes de o cão entrar

no esconderijo.

13. MEDICINA DO ABC Dois foguetes espaciais são enviados, a partir daTerra, com 48 h de intervalo. O primeiro a scr enviado tem velocidadeconstante dc 30 000 km/h c o segundo, de 40 000 km/h. Ambas as velocidades têm o mesmo sinal. O sistema de referência é a Terra.Para que o primeiro foguete seja ultrapassado pelo segundo, este últimodeverá voar durante o seguinte número de horas:a) 96. d) 192. b) 144. c) 288.c) 168.

14. FUVEST — Numa estrada, andando de caminhão, com velocidade cons

tante, você leva 4 s para ultrapassar um outro caminhão, cuja velocidadeé também, constante. Sendo de 10 m o comprimento dc cada caminhão, adiferença entre sua velocidade e a do caminhão que você ultrapassa c, aproximadamente, igual a:a) 0,2 m/s. d) 5.0 m/s.

b) 0.4 m/s. c) 10 m/s.c) 2,5 m/s.



fâ s im id /im

15. PUC (SAO PAULO) — l)o;s automóveis partem, no mesmo instante, dascidades A e B. percorrendo uma estrada retilínea AB com velocidades de50km/h e XOkm/h. um em direção ao outro. Ao fim de 2h eles estão auma distância dc 40 km um do outro. A distância AB vale:

a) 200 km. d) 160 km. b) 300 km. e) 240 km.c) 400 km.

16. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Dois trens (A c B) movem sc em trilhos paralelos, deslocando-se em sentidos opostos. As velocidades escalaresdos trens são constantes e iguais a 30km/h. Cada trem mede 100 in dccomprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo um observador no trem B vê passar o trem A?a) 96 s d) 12 s

b) 48 s e) 6,0 sc) 24 s

17. FAAP — Dois ciclistas distanciados de 60 m um do outro possuem funçõeshorárias S, = 20 + 2t e S2 ——40 + 3t, em relação a um mesmo referencial. Verificar quando e onde os dois ciclistas se encontrarão. (ConsiderarS| e Sa em metros e t em segundos.)

18. FUNDAÇAO CARLOS CHAGAS — A distância entre dois automóveisé de 225 km. Se eles andam, um ao encontro do outro, com 60km/h e90 km/h. ao fim de quantas horas sc encontrarão?

a) Uma hora. b) Uma hora c quinze minutos.c) Uma hora c meia.d) Uma hora c cinquenta minutos,c) Duas horas c meia.

19. PUC (SÂO PAULO) — Duas partículas cncontram-se inicial mente nas posições x, = 10 cm, y, = 0 cm. x._. = Ocm c y2 = 20 cm. com velocidadesV, — 4 . 10‘ cm/s segundo x c Va dirigida ao longo dc y. conforme indica a figura. O valor da velocidade Va para que elas colidam deve ser:

c) -8 . 10** cm/s.



82

20. CESCEA — Dois corpos deslocam-sc ortogonal mente entre si, com velocidades uniformes V, 1.5 m/s e V2 2.0 m/s. No instante t = 0s elesse encontram na origem de um sistema de referencia xOy. Considerandoque o corpo (I) se desloca ao longo do eixo x c o corpo (2) ao longo doeixo y. qual a distância que os separa no instante t 2 s?a) 7.0 m d) 1.0 m

b) 5,0 m e) 0,5 mc) 3.5 m

21. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um pouco de tinta é colocado na banda de rodagem do pneu de um carro. Quando o carro se movimenta,a mancha de tinta deixa marcas no chão. Se estas marcas tiverem a disposição abaixo, o que se pode concluir sobre a velocidade e a aceleração docarro?

0 2 4 6 8 10 12 I

a) A velocidade é constante e a aceleração é nula. b) A velocidade é crescente e a aceleração é constante.c) A velocidade é decrescente e a aceleração é constante.d) A velocidade e a aceleração são variáveis.

e) Nada se pode concluir, porque os dados são insuficientes.

9. c 10. c 11. c 12. d 13. b 14. d 15. b 16. e

17- = 140 m: t ,#walfo = 60 s.

18. c 19. c 20. b

21. e (Observe que. qualquer oue seja o movimento do carro, as marcasdeixadas no châo soráo sempre as mesmas.)



cmïuD

3

Movimento

Uniformemente Variado



04

Instante inicial (t - 0)

velocidade escalar co móvelpara t = 0.

velocidade escalar do móve!num instante t qualquer

Definição de movimento uniformemente variado

O movimento de um móvel é uniformemente variado quando suaaceleração escalar é constante e não-nula.

Instante qualquer (t)

Ou seja: escalar é constante e não-njla



• Consequência da definição — Como conseqüência dessa defi-nição, podemos concluir que, no movimento uniformemente variado,o valor da aceleração escalar instantânea coincide com o da acele-ração escalar média.

Isto é: MUV a - a„

Funções horárias do movimento uniformemente variado

Y

• Função velocidade

y

É importante o conhecimento da rapidez e do sentido do movimento emcada instante A função velocidade da essas duas informações.

A intensidade da velocidade indica a leitura do velocímetro.

O sinal de velocidade indica o sentido do movimento

Seja um móvel cujo movimento é uniformemente variado de talforma que V0 é sua velocidade inicial (instante zero), Vé sua velo-cidade no instante t e a é sua aceleração escalar constante.



V = Vo -h at (função horária da velocidade)

Ç g ; Conclusão: A função veloci

dade do MUV é dada pela ex

pressão

v

V — Vo H” at

A representação gráfica dafunção velocidade desse movi

mento será uma reta inclinadaem relação ao eixo horizontal,pois é uma função horária do1.° grau em t.

V — V o.Neste gráfico, pocemos escrever dec = tg a = ---------- (1).

V - VoComo V — Vo -r at, então a = ---------- (2).

Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico V X tno movimento uniformemente variado é numericamente igual à aceleração escalar do movimento.

Ou seja: dec(V X t)1 a

• Função horária — Lembrando que a área sob o gráfico V X t énumericamente igual ao deslocamento escalar efetuado por um móvel,

podemos escrever:A(V X t )s AS, onde AS = S - So.

sendoí So o espaço inicial do móvel (instante zero).

[ S o espaço do móvel no instante t.

Assim, temos A(V X t ) = S - S<. (1).



87

• No instante inicia t = 0. o espaço inicial e a velocidade inicial domóvel são. respectivamente. S0 e Vo

• Num instante qualquer t. o espaço e a velocidade do móvel são.respectivamente. S e V

• No intervalo de tempo lA t — t - 0). AS é o deslocamento escalar da móvel.

Observando-se o gráfico acima, concluímos:

V + Vo _ A ( V X t ) = ---------- 1 (2).

Comparando (1) c (2). vem:

V • V o V - f V o-----

-

— t = S - S o = > S = So + ----------

- t

Sendo V = Vo ■+■at, decorre:

s = s ,1+ ± ü ± ^ t ^ s = s0+ l± ^

S = So + Vot-f ----— at2 (função horária do movimento)2

Conclusão: A função horária do movimento uniformemente

variado é do 2.° grau na variável t. sendo expressa por

S - S., f V.,t |------ at-2



88

onde

So (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel noinstante inicial do movimento (instante zero).Vo (velocidade inicial) é a velocidade do móvel no instante

I inicial do movimento (instante zero).{ a é a aceleração escalar constante e não-nula.

Exemplos:

S = 10 — 8t -f- 9t2 (SI)Logo. V = — 8 -f 18t

S = — 2 + 6t — t2 (SI)Logo, V — 6 — 2t

S = 5ta (SI)Logo. V = iOt

So = -HO m

<Vo = - 8 m/sl a = -f 18 m/s2

So = —2 m

Vo = +6 m/sa = —2 m/s2

So = 0 m

V., = 0 m/sa = 4-10 m/s2

Equação de Torricelli

Extraindo o valor de t na função velocidade (V = Vo -f at) e substituindo-o na função horária ( S —So 4- Vot 4------ at2 ) cotemos a

expressão Va — V: 4- 2aAS .denominada equação de Torricelli.

Diagramas horários do movimento uniformemente variado (MUV)

A representação gráfica da função horária do MUV é uma pará

bola cuja concavidade é voltada para cima (se a > 0) ou para baixo(se a < 0).

Conforme já fo visto, o diagrama V X t será representado poruma reta inclinada em relação ao eixo t.

Como a aceleração escalar é constante e não-nula, o diagramaa X t será representado por uma reta paralela ao eixo dos tempos.

Observando-se a área sob o gráfico a X t, podemos escreverA = at (1).

Como V = V,. 4- at, então V - Vo = at => AV = at (2).

Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico a X té numericamente igual à variação da velocicade do móvel, no inter

valo de tempo considerado.

Ou seja: A(a X t ) U V



*

Diagramas horários do MUV

____________________________________ t t

o

aceleracào escalar constante



90

Exemplo:

Seja S — 4 — 5t -f- t2 (SI) afunção horária dc um móvel:

para t = 0 s, Sn = 4 m:para t = 1 s . Si = 0 m (raiz):para t = 4 s, S i = 0 m (raiz).

Podemos, então, construir ográfico S X t.

Observe que quando t = 2,5 sa parábola atinge seu vértice,instante em que o móvel muda

o sentido de seu percurso.

Da função S = 4 — 5t + t2

concluímos que. Vo = — 5 m/s ea = -f 2 m/s2.

Logo. V = —5 -f- 2t.

Para t = 0 s , Vo = —5 m/s;para t = 4 s . V, = 3 m/s.

Podemos, então, construir ográfico V X t.

Nesse gráfico notamos que. para t — 2,5 s, V — 0 m/s , instante

correspondente ao vértice do gráfico S X t.

Examinemos, agora, o. declive do gráfico V X t.

3 - ( - 5 ) _ 8

4 - 0 4Temos: deCi.. h ^ i = — = > dec<o»M4»i — 2

Assim, observamos que t íecfV X O i a

Como a aceleração escalar é constante, o gráfico a X t será uma

reta paralela ao eixo dos tempos.

Esta reta cortará o eixo das acelerações cm a ~ 2 m/s*.

Observando a área sob o gráfico, concluímos:

A<o«h 4» — 4 . 2 = 8 —^ Ao >1M-» *>= 8

Sabemos que V* = 3 m/s e V.» = —5 m/s.Logo:

AV<0sm '• — 8 m/sAV,;omh * ») — Vi - V o = 3 - (—5) = 8 ==

Assim, a área sob o gráfico a X t é numericamente igual à va

riação da velocidade escalar do móvel.



91

Velocidade média no MUV

Lembrando que A(V X t ) í AS, no gráfico V X t abaixo temos:

A = . V3 + V~ At => AS = V- + V' A t ^ A ! _ =2

V ■+ Vi

At

Conclusão: No MUV. a velocidade média de um móvel é igualà media aritmética das velocidades escalares instantâneas inicial efinal, no intervalo de tempo considerado.



92

1. ENGENHARIA DE SANTOS — Um ponto material realiza um mo-vimento sobre uma trajetória retilínea que obedece à função ho-

rária S = t2 — 6t + 8. em que S é o espaço dado em metros et é o tempo dado em segundos. Podemos afirmar que, a partir

do instante t = 0 s:

a) o movimento é sempre acelerado.b) o movimento muda de sentido no instante t = 3 s.c) o ponto material passa pela origem dos espaços apenas no

instante t = 2 s .d) a aceleração do movimento tem intensidade igual a 4 m/s*.

e) a velocidade do ponto material no instante t — 7 s tem inten-sidade igual a 9 m/s.

Resolução: Do enunciado, podemos escrever S = 8 — 6 t -f 1 . t2.

Da teoria, sabemos que S S., -f V0t -f ----at2.

Assim, concluímos: S.;i = 8 m; V„ = 6 m/s; a = 2 m/s2.Podemos, então, determinar a função velocidade deste móvel:V = V„ -f at = > fv _ - 6 f 2~t|-

Construindo os gráficos S X t e V X t. chegamos às seguintes conclusões:

• O móvel possui movimento inicialmente retrógrado (0 s a 3 s), parando no instante 3 s para, emseguida, iniciar movimento progressivo.

• O móvel passa pela origem nos

instantes t = 2 s c t = 4 s.• O movimento é inicialmenteretardado (0 s a 3 s) c, em seguida,acelerado.




2. MEDICINA DE CATANDUVA — Um automóvel desloca-se com avelocidade de 20 m/s. A partir do instante t = 0 s, seu motoristaaplica os freios até o carro parar. Admitindo uma aceleração

constante igual a 4 m/s2, a distância percorrida desde a aplicaçãodos freios até a parada do carro é de:

a) 50 m.b) 5 m.c) 75 m.d) 90 m.e) 25 m.

Resolução: Vamos orientar o referencial associado à trajetória nosentido do movimento do automóvel.

Neste caso, a distância percorrida ( d ) tem o mesmo valor do desloca

mento escalar (AS).Assim: d - A S

Como a velocidade do móvel está diminuindo algebricamente, sua aceleração será negativa, ou seja. a = 4 m/s2.Pela equação de Torricelli,' vem:

V/In = V?« + 2aAS => AS =2a

AS =0 =- 2 0 -

2 . ( - 4 )

4(X)AS — -------

8

= > AS = 50 m : d — 50 m






Pedem-se:

a) o instante em que os dois móveis se encontram.b) as velocidades e acelerações de ambos nesse instante.c) a posição do ponto de encontro.

Resolução:

\ a) Condição de encontro: S, = S>.

Logo: - I 0 t -I- 5t2 = 30 4- 5t — 1()t2 => 15t2- 15t - 30 = 0 =>=> t2 — t — 2 = 0

(D

- LO

O

I-

tt) (2 )

Resolvendo esta equação, obteremos t —2 s e t = — 1 s. Portanto,

ocorreram dois encontros: o primeiro, 1 s antes de iniciar a contagem dos tempos, e o segundo, 2 s depois de iniciada essa contagem.

Consideraremos como resposta “oficial” o encontro ocorrido noinstante t _ 2 s, pois o estudo dos movimentos é realizado a partir

de t = 0 s. b) Das funções horárias dadas.podemos concluir:

{S0l = 0 cm

V, ) 1 = — 1 0 cm/sai = 1 0 cm/s2

Logo, V, = V0j -f a,t => V, = —10 + 10t.

| So2 = 30 cm

So = 30 -f- 5t — 10t- I V0;! = 5 cm/s

. a2 = — 2 0 cm/s2

Logo, V2 = Vd 2 -J- a31 => V , — 5 — 20t.

Para t = 2s, vem:V , = — 10+ 10 . 2=> V , — -f 10 cm/s e at = 10 cm/s2

V2 = 5 - 20 . 2 = > V 2 — —35 cm/s c aa = — 20 cm/s2



96

c) Sendo Si — — 10t -f- 5t2, no instante do encontro (t - 2 s) vem:

St = - 10 . 2 -f 5 . 22 => St = - 20 + 20 => St - 0 cmSt = 2 0 • 2 0 =

Assim, o encontro ocorre na origem do referencial.

Diagramashorários

Resposta: Os dois móveis se encontram no instante t = 2 s. na origemdo referencial, com velocidades de + 10 cm/s e —35 cm/s c com ace-lerações iguais a 1 0 cm/s2 e — 2 0 cm/s2.

5. PUC (CAMPINAS) — Dois carros A e B movem-se no mesmo sentido com velocidades V3 e Vb, respectivamente. Quando o carro

A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa nofreio, o que causa uma desaceleração constante a. Para não havercolisão entre os carros é necessário que:

а) V„ - Vb = \ Í2 ã S .б) V, - Vb> V 2ad .c) V* — Vb < V 2ad .

d) V . - Vb= 2ad.e) Vt — Vb = 0.

Resolução: Adotaremos a origem dos espaços no ponto em que o carro

A se encontra quando o motorista começa a frear, e orientaremos atrajetória no sentido dos movimentos.

B

J » ©

I



O carro B possui movimento uniforme. Logo, sua função horária será

S» = Son -f- Vjjt, onde S«B = d e V# = VV

Assim, Sn — d -f- Vbt.

O carro A é dotado de movimento uniformemente retardado, cuja fun

ção horária será SA= S„A-f- V0 v ------ — at2, onde S„A= 0 c V0a = V„.

Assim, SA_ V.t - at-.

A distância D entre os móveis será dada por D = S v — SA.

Logo, D = d -j- Vbt — V„t -j----L at2 = >

2

= > D = d -f (Vb — Va)t H----- — at2.2

Para que não haja encontro, 1) não poderá se anular, ou seja, a equa

ção d - f (Vb — V.)t — at* = 0 não deverá ter solução real.

Assim, o delta (discriminante) da equação deverá ser negativo.

Portanto:

1(Vb - Va)2 - 4 . ---- ad < 0 = > (Vb — V.)2 - 2ad < 0 = ;

2

= > (Vb - V.)2 < 2ad = > (V. - Vb)2 < 2ad


v , . Vb < v-^ãa

6. PUC (SÀO PAULO) — A velocidade de um carro é. no instanteem que o motorista nota que o sinal fechou. 72 km/h. O tempo

de reação do motorista é de 0.75 s (tempo de reação: tempo decorrido entre o instante em que o motorista vê o sinal fechar atéaquele em que aplica os freios) e os freios aplicam ao carro umretardamento uniforme de 5 m/s*. A distância percorrida pelocarro desde o instante em que o motorista nota que o sinal fechouaté que o carro pare é de:a) 54 m.b) 20 m.

c) 14 m.d) 10 m.e) 44 m.Resolução: Do enunciado, temos:

72V0 = 72 km/h => V0 = ----- m/s => V,> = 20 m/s

‘ 6



98

Durante 0,7 s o movimento do móvel é uniforme, mantendo velocidade

constante dc 20 m/s.

Em seguida, o móvel adquire movimento uniformemente retardado, com

aceleração —5 m/s2.20

Assim, V = V0 + at => 0 = 20 — 5t = > t = ------=>5

Portanto, podemos construir o gráfico V x t referente ao comportamento do veículo.

Lembrando que a área sob o gráfico V x t é numericamente igual ao

deslocamento escalar AS, vem:

4,7 _j_ o,7 5 , 4

AS ä A = — — :— -— . 20 = — . 20 = 10 . 5,4 - 54 =>2 2

= > | AS — 54~m~

No caso, o deslocamento escalar é igual à distância percorrida.

Logo, ;d — 54 m.jResposta: alternativa a.

7. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Um ciclista A iniciauma corrida a partir do repouso com uma aceleração constantede 0,5 m /s2. Nesse mesmo instante, um outro ciclista B passapor ele com velocidade constante de 3 m/s e no mesmo sentidoque o ciclista A. Os dois ciclistas irão se emparelhar novamentedepois de um tempo igual a:

a) 2s. b) 5 s.

c) 8s.

d) 10 s.e) 12 s.



r

h

& 99

Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto onde A 6

ultrapassado por B. como início da contagem dos tempos o instante

em que isto ocorre c orientando as trajetórias no sentido dos movi

mentos, teremos:

Sa = S„ -f- V0 t -f- — aAt2, ondeA A 2

S,. =: 0 m

V,> 0 m/sA

aA= 0,5 m/s 2 = ---- m/s 2

2

Logo, SA= — . — t2 = > SA= — t2 (1)2 2 4

S,>ti - Dmü

Móvel B: movimento uniforme.

Sii = S„i{ -f- Vj,t f onde

v V» = 3 m/s

Logo, S„ = 3t (2)

Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente quando SA= S».

De (I) e (2), vem:

I) t = 0 s (instante inicial)1 / 1 \ 1

t2 = 3t = > t I ---- t - 3 ) = 0 = > ID — t - 3 = 0 = >4 V 4 / 4 .

=> | t = 12 s




100

8. MAPOFEI — O diagrama abaixo representa, em função do tempo,a velocidade de um objeto.

Trace o diagrama da aceleração em função do tempo.

Resolução: Neste caso, temos uma combinação de movimentos unifor

memente variados. Como o gráfico apresentado c composto por segmentos de reta oblíquos, as correspondentes funções horárias da velocidade representadas são do l.° grau (movimentos uniformemente va

riados).

Portanto:

1) Intervalo OswlOs:

Levantando-se o gráfico da aceleração em função do tempo, teremos

a seguinte representação:V(m/s)

4 - 1 0

20 aím/s2)

0 10

-20



¥

----------------------

9. MAPOFEI — Retomar o enunciado do exercício precedente. Determinar o percurso total do objeto.

Resolução: Lembrando que A(V X O = ^ S , temos:

2 0 . 2 01) A (o *h ao k ) — ------------ — 200

2

Logo, AS fu RH 2ô *) = 200 m

2 ) A !2ú )—|:ím«I — 10 . 20

= 100

Logo, AS (aoh(_ so m— — 100 m

V

Assim sendo, o deslocamento escalar total no intervalo de O s a 30 s

vale:

AS,0 ,1 H 3ü s) = : AS(0 , _j 2o “f- AS 120 »m :10 «I

A S ,0 »H .10 »> = (2 0 0 ) - j - (— 100 )

ASii) , h 3u») — 100 tu

Entretanto, por percurso total entendemos distância percorrida pelomóvel no referido intervalo, ou seja:

d = |AS,o, H2on) “j- AS(2o•h só *ií — 200 -f- 100

d = 300 m

Resposta: C) percurso total do objeto é de 300 m.



1. CESCEA — Observando-se o movimento retilíneo de um corpo, fazem-se

medidas de seu deslocamento, velocidade e aceleração para sucessivos valores do tempo, o que é mostrado na tabela abaixo:

Tempo(s) Dcslocamento(m) Velocidadcfm/s) Acclcraçãolnv s'-’)

0 1 2 2

1 4 4 2

2 9 6 2

3 16 8 2

4 25 1 0 2

A partir dessa tabela, podemos concluir que a equação horária que descrevoo movimento entre os instantes t = 0 s e t = 4 s tem a forma algébrica:

a) y = t 2 - 3t + 1. d) y = - 2 t 2 + 2. b) y = t2 + 2 t - 2 . e) y = t2 + 2 t + 1 .c) y = 2 l2 -+- 2 t -f 2 .

2. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO SUL — Numa experiência paraanalisar o movimento de um móvel, i.m aluno identificou as três posições(O. P e S) indicadas na figura, obtidas em intervalos de tempo iguais.

-f-O

H--- *---- hX Y 2

X

As distâncias entre os pontos identificados por letras consecutivas são iguaise o móvel partiu do repouso em O. Considerando que as três posiçõescaracterizam o movimento, qual será a posição do móvel no f:m de ummesmo intervalo dc tempo seguinte, contado a partir do instante cm queo móvel estava em S?

a) U b) Vc) X

d) Yc) Z



103

3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte estão assinaladasas posições (1,2, 3, 4, 5 e 6 ) de um corpo que está em movimento unifor-mcmentc acelerado sobre uma mesa horizontal. O intervalo de tempo entreduas posições sucessivas quaisquer é de 1,0 s. Na posição I, a velocidade

escalar do corpo é nula.

i r 1'z

34 5 ■

I

1,0 m

Qual é o valor da aceleração escalar do corpo?a) 5.0 m/s2 d) 2,0 m/s2

b) 4,0 m/s2 e) 1,0 m/s2

c) 3,0 m/s 2

4. MEDICINA DA SANTA CASA — Uma partícula descreve o movimentocujo gráfico horário, parabólico, e dado a seguir, mostrando que parat = 1 s, x 6 máximo.

Os valores da abscissa x são medidos a partir dc um ponto O, ponto dcorigem da reta orientada sobre a qual a partícula se movimenta.A função horária é:a) x = 15 + 2t + t2. d) x = 15 + 2t - t2.

b) x = 15 - 2t - t2. 1

c) x = 15 - t + t2. e) x = 15 —2t + — t2.

5. MEDICINA DA SANTA CASA — Em relação à questão anterior, a velocidade da partícula obedece à equação:a) V = 2 - t.

b) V = - 2 + t.c) V = 2 - 2t.

d) V = 2 + 2t.c) V = 1 - 2t.



104

6. MEDICINA DA SANTA CASA — Ainda cm relação à questão n.° para t = 5 s a aceleração da partícula, em m/s2, é de:a) zero. d) -f-2.

b) -2 . e) +1.

c) -1.

7. CESCEA Um ciclista pedala com velocidade constante de 9 km/h durante 2 min; acelera, então, uniformemente, durante 50 s, até alcançar18 km/h, desacelerando, a seguir, também uniformemente, até parar, em50 s. O espaço percorrido nesse tempo foi de:a) 818,5 m. d)612,5 m.

b) 780,5 m. e) 575,5 m.c) 487,5 m.

8. UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Um corpo desloca-se, segundo umatrajetória retilínea, com velocidade inicial de 20,0 m/s e é acelerado a8.0 m/s2 durante 5,0 s. O seu deslocamento durante o quinto segundo é,em intensidade:a) 56 m. d) 1,56 . 102 m.

b) 1,44 . IO2 m. c) nulo.c) 2.00 . 102 m.

9. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS No instante t = 0s. um carro viajaa 20,0 km/h. Dois segundos mais tarde (t = 2 s), a intensidade de sua

velocidade é de 23,0 km/h e, depois de outros dois segundos (t = 4 s), éde 26,0 km/h. Com estes dados, pode-se construir a seguinte tabela:

Tempo(s) 0 2 4

Velocidade(km/hJ 20,0 23,0 26.0

Admitindo que a aceleração seja constante, inclusive antes de t —0 s, qualfoi o módulo da velocidade do carro, cm km/h, no instante t ——3 s, istoé, ires segundos antes de atingir a velocidade de 20.0 km/h?a) 14,0 d) 15,5

b) 14,5 e) 17,0c) 15.0

10. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES O gráfico abaixo representa um movimento retilíneo de aceleração constante:

0 1.0 2,0



Se x c medido em metros e t cm segundos, então a aceleração do movimentoé de:a) 1m/s2. d) 4 m/s2.

b) 2 m/s2. e) 5 m/s2.c) 3 m/s2.

11. MEDICINA DA SANTA CASA Uma partícula subatômica, deslocan-do-sc com velocidade constante igual a 6 . 10#m/s, penetra num campoelétrico onde sofre uma desaceleração constante de 1,2 . IO1314 m/s2.A distância em linha reta que a partícula caminha antes de parar, em centímetros. é de:a) 5 . 10-«. d) 15.

b) 30 . 10--'. c) 15 . 10-2.

c) 2.12. MEDICINA DA SANTA CASA

— O movimento de um móvel,em trajetória retilínea, c representado segundo o gráfico aolado. sendo S dado em metros ct em segundos. Podemos afirmarque a velocidade media c a aceleração escalar entre os instantes

2 s e 4 s valem, respectivamente:a) Vul = 5 m/s ea = 0 m/s2.

b) Vm= 30 m/s e a = 0 m/s2.c) Vm= 5 m/s e a = 5 m/s2.

d) Vm= 30 m/s e a = 10 m/s2.c) Vm= 2,5 m/s e a = 10 m/s2.

13. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Uma partícula efetua um movimento retilíneo de acordo com o gráfico abaixo. A distância percorrida a partir dorepouso até o instante t = 12 s é :gual a:

a) 93 m. b) 96 m.c) 98 m.

d) 241 m.e) 100 m.



106

14. MEDICINA DE BRAGANÇA — Para o gráfico indicado, a sequência dos movimentos será:

a) movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento acelerado retrógrado.

b) movimento nulo. movimento uniforme progressivo e movimento acelerado progressivo.

c) movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento retardado progressivo.

d) movimento nulo, movimento uniforme progressivo e movimento retardadoretrógrado.

e) Nenhuma das anteriores é correta.

15. CESGRANRIO — Arguido sobre as relações entre posição (S), velocidade(V) e tempo (t) no movimento uniformemente acelerado (com velocidadeinicial nula), um aluno escreveu no quadre-negro o que se lê abaixo:

Porem, eu sei queJá que S = ---- at2 (1),

2 s2S V =

----

(b)tt2

de modo que, de

Mas a = (3).t

(5) e (6),

Logo, dc (2) e (3), S 28 (7)t t

V 2S---- = — <4)

t t2 ou, ainda:ou, ainda: 11 =21

V = — (5). (?)t



A conclusão final c obviamente falsa, embora o início do raciocínioequação (1) — esteja correto.Qual a relação em que o aluno desviou-se do raciocínio certo?a) Na relação (2). d) Na relação (5).

b) Na relação (3). e) Na relação (6).c) Na relação (4).

16. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel parte do repouso em movimentouniformemente acelerado. Percorre 100 m e 120m em segundos sucessivos.Calcular sua aceleração.a) 20 m/s2 d) 10 m/s2 b) 40 m/s2 e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 80 m/s2

17. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Num movimento retilíneo de aceleraçãoconstante, podemos dizer que a velocidade média é igual à:a) velocidade final menos a velocidade iniciai.b) velocidade final menos a velocidade inicial, dividido por dois.c) velocidade final mais a velocidade inicial, dividido por dois.d) velocidade final vezes a velocidade inicial.e) velocidade final vezes a velocidade inicial, dividido por dois.

18. MEDICINA DA SANTA CASA — Um trem tem velocidade de 72 km/h.Ao frear, é aplicada a desaceleração de 0,4 m/s2. O intervalo de tempo que

o trem demora até parar é, cm segundos, igual a:a) 5. d) 10.

b) 50. e) 100.c) 500.

19. MEDICINA DA SANTA CASA — O mesmo trem da questão anterior,entre o início da freada c a parada final, percorreu a d:stância, cm metros,igual a:a) 200. d) 500.

b) 750. e) I 000.c) 1500.

20. MAPOFEI — Uma composição de metrô parte de uma estação e percorreI00m com aceleração constante, atingindo 20 m/s. Determinar a aceleração a c a duração t dc processo.

21. MACKENZIE — No diagramaa = f(t), onde a representa aaceleração dc um móvel c t otempo relativo a essa aceleração,

a área A da figura c numericamente igual:a) à velocidade média do móvel, relativa ao intervalo de tempo ( t , , t a ) .

b) ao deslocamento do móvel, relativo ao intervalo de tempo ( t l t t a ) .

c) à variação da velocidade do móvel, relativa ao intervalo de tempo ( t , . t a ) .

d) à velocidade inicial do móvel.c) Nenhuma das respostas anteriores.



108

22. ENGENHARIA MAU A — Um ponto material descreve uma tra jetória retilínea, referida a ume:xo de abscissas Ox, de tal mo

do que sua velocidade, ern função do tempo, c dada pelo diagrama cartesiano ao lado.

a) Desenhe o diagrama da aceleração do ponto, em função do tempo. b) Determine a distância entre os pontos inicial (para t = 0 s) e final (para

t = 70 s).

23. MAPOFEI — Um móvel realiza um movimento retilíneo com velocidadedada pela equação V = 1,0 —0,lt (SI). Tomando como origem de coordenadas o ponto em que o móvel se encontra no instante t = 0s, calcule aaceleração do movimento e o instante t em que o móvel estará mais afastadoda origem.

24. MEDICINA DO ABC O gráfico abaixo representa a velocidade escalar,em função do tempo, dc um veículo que se movimenta sobre uma trajetóriaretilínea. A aceleração escalar instantânea no instante t —10,0 s é, cmm/s2. igual a:

c) 5,0.

25. MAPOFEI Um vagão ferroviário, deslocando-se com velocidade V — —30 m/s, é desacelerado até o repouso com aceleração constante. O vagão percorre 100 m antes de parar. Qual a aceleração do vagão?

26. FAAP — Um motorista de automóvel, viajando a 80 km/h, vê um obstáculoa 500 m. Verificar qual a aeeleração que deve introduzir nos freios para que

possa parar a tempo.

27. FUVEST Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s2. Nesse instante, passa por ele um outro ciclista B, comvelocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido que o ciclista A. Per-gunta-se:

a) Depois de quanto tempo, após a largada, o ciclista A alcança o ciclista B? b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?



28. ENGENHARIA TAUBÀTÊ — De uma cidade A parte para uma cidade B um automóvel com aceleração constante dc 5,0km/h2. Simultaneamente, de B parte para A um outro automóvel com velocidade constante dc50km/h. A distância entre as duas cidades é dc 180 km. Depois de quanto

tempo os dois carros se encontram?

29. ENGENHARIA MAUÁ — A maior aceleração (ou retardamento) tolerável pelos passageiros de um trem urbano é de 1.5 m/s2. Sabe-se que a distância entre as estações c de 600 m e que o trem estaciona durante 20 scm cada estação.a) Determine a maior velocidade que pode ser atingida pelo trem.

b) Calcule a máxima velocidade média do trem, numa viagem.

30. ENGENHARIA MAUÁ — Um ponto material descreve uma trajetóriaretilínea segundo a equação horária S = 4.0 —5,0t -f 2,5t2 (SI).a) Trace uma linha reta. marcando sobre c!a os seguintes pontos, com suas

distâncias relativas:• origem O das abscissas;• ponto T, onde está o móvel no instante inicial;• ponto N, onde o móvel tem velocidade nula.

b) Esboce os diagramas cartesianos do espaço, velocidade c aceleração em

função do tempo.31. ENGENHARIA TAUBATÊ — Um carro scíre uma aceleração constante

de 2 m/s2. Num percurso de A a B, de 4 m. ele sofre uma variação dcvelocidade de 1,5 m/s. Em que instante dc tempo o carro passa no ponto B?

32. ITA — Um móvel A parte da origem O. com velocidade inicial nula. noinstante t0 = 0 s, e percorre o eixo Ox com aceleração constante a. Apósum intervalo de tempo At. contado a partir da saída de A. um segundo móvel B parte dc O com uma aceleração igual a na. sendo n > 1. B alcançará

A no instante:



110

33. PUC (CAMPINAS) Um motorista espera o sinal de trânsito abrir.Quando a luz verde acende, o carro é acelerado uniformemente durante6 s, na razão de 2 m/s2, após o que ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começa a se mover, ele foi ultrapassado por

um caminhão que vinha no mesmo sentido, com velocidade uniforme delOtn/s. Após quanto tempo e a que distância da posição de partidado carro os dois veículos se encontrarão novamente?a) 18 s c 180 m. d) 19 s e 128 m.

b) 15 s e 150 m. c) Nenhum dos resultados anteriores.c) 12 s e 120 m.

34. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Dois carros A e B, deslocando-seambos no mesmo sentido, em uma estrada, passam num certo instante porum mesmo ponto: o carro A, partindo do repouso desse ponto e desenvolvendo uma aceleração constante de 4 m/s2, c o carro B com velocidadeconstante de 20m/s. Um passará novamente pelo outro após:a) 80 s. d) 5 s.

b) 10s. e) Um não passará mais pelo outro.c) 20 s.

35. PUC (SÁO PAULO) — Um carro de corrida A tem velocidade constanteVA= 54 m/s. Ao passar' pelo box de um concorrente B. este parte comaceleração aB= 4 m/s2, que permanece constante até atingir a velocidade

VB= 60 m/s, que é mantida.O tempo empregado por B para alcançar A é de:a) 75 s. d) 15 s.

b) 60 s. c) 10 s.c) 20 s.

36. FEI — Um móvel parte de um certo ponto com um movimento que obedece à seguinte lei horária: S = 4t2, válida no SI. S é a abscissa do móvelc t o tempo. Um segundo depois, parte um outro móvel do mesmo pontodo primeiro, com movimento uniforme c seguindo a mesma trajetória. Qual

a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontraro primeiro?

37. FAAP — Dado o gráfico da variação das velocidades de dois móveis emfunção do tempo, e sabendo que até o instante tx o móvel A já havia percorrido 10 m, calcular:



111

a) o espaço percorrido pelo móvel B até o instante t,. b) o instante t2, até o qual os dois móveis terão percorrido espaços iguais.

38. ENGENHARIA MAUÁ — Um móvel parte do repouso de um ponto A

executando um movimento retilíneo, uniformemente acelerado, sobre umareta AB. No mesmo instante, parte do ponto B. rumo a A, um outro móvelque percorre a reta AB com velocidade constante. A distância entre os pontos A c B c d 50 m. Depois de 10 s da partida, os móveis se cruzamexatamente no meio da distância entre A e B. Determine:a) a velocidade do móvel que partiu de B. b) a velocidade com que o móvel que partiu dc A irá chegar em B.

1. o 2. d 3. d 4. d 5. c 6. b 7. d 8. a 9. d 10. b 11. d 12. d

13. a 14. a 15. e 16. a 17. c 18. b 19. d

20. a = 2 m/s2; t = 10 s.

21. c

22. o) *aCm/s~)

0 5 10 15 20 2Í5 30 35 40 4 50 55 60 65 70 t(s)

-0.4

b ) d = 0 m

23. a ——O.f m/s2; t = 10 s.

24. b

25. a = —4,5 m/s2

26. a a —0.5 m/s2

27. a) t = 20 s;b ) V v = 10 m/s.

28. t * 3,1 h (Após a partida dos móveis.)

29. a) 30 m/s; b) 10 m/s.



112

30. a)0 1 2 3 41--- 1--- 1--- 1---*—i---*--- *---*-O N T

S(m)

31. 0,75 s após ter passado por A.

32. e 33. a 34. b 35. a

36. VmJn = 16 m/s

37. a) ASU = 15 m;

b) to = 2 s.

38. a) Vj, = 2.5 m/s:

b ) v a — V50 m/s = 7,1 m/s.





Generalização das propriedades dos gráficos horários

Todas as propriedades dos diagramas S X t, V X t e a X t. extraídas em condições particulares (movimentos uniforme e unifor

memente variado), podem ser generalizadas para quaisquer tipos de

movimento.

• Diagrama S X t

O declive do gráfico S X t é numericamente igual à velocidade

escalar instantânea do móvel.

Ou seja: dec(S X t) - tg a NV



• Diagrama V X t

fâ / t fm á â à i

O ceclive do gráfico V X t c numericamente igual à aceleraçãoescalar instantânea do móvel.

Ou seja: dec(V X t) — tg a ? o

A área sob o gráfico V X t c numericamente igual ao desloca-mento escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.

Ou seja: A(V X t) ? áS



116

• Diagrama a X t

A área sob o gráfico a X t é numericamente igual à variação davelocidade escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.

Ou seja: A(a X t) I AV

Resumindo:

Gráficos

Operação

S X t V X t a x t

Leituradireta

espaço:Sdeslocamentoescalar: ASvelocidademédia: V,,,

velocidade: Vvariação davelocidade: AVaceleraçãomédia: am

aceleração: a

Declivevelocidadeinstantânea: V

aceleraçãoinstantânea: a

Não temsignificadofísico.

ÁreaNão temsignificadofísico.

deslocamentoescalar: ASvelocidademédia: Vin

variação davelocidade: AVaceleraçãomédia: am



1. UNESP — No gráfico abaixo, o arco de parábola representa a fun-ção horária dos espaços de um movimento retilíneo.

Resolução: Lembrando que dec(S

concluir:

Julgue as afirmativas:(1) Entre os instantes 0 e ti

o movimento é retar-dado.

(2) Entre os instantes ti e t*

o movimento é acele-rado.

(3) Entre os instantes 0 e t>

a aceleração c negativa.t) £ V e que dec = tg a, podemos

1) Algebricamente:

dec,? > dec,j > dectj > dec,;, > dec,.,

= » V „ > V t, > V Cj > V,. > V,

Ou seja: algcbricainente (considerando os sinais), a velocidade es-calar diminui em todo o intervalo de tempo considerado.

Podemos, então, concluir que a aceleração escalar do móvel é nega-tiva em todo o intervalo de tempo.





b) Coir.o dcc(V x t) = a, temos:

10 — 0• deC(o«Hi oi = -------------= 10 = > a ,UBH , *>= 10 m /s2

1 — 0

1 0 - 1 0• dec(1 KM- 8j — — 0 —i' â<t *h 2 «I — Oin/s*2 - 1

0 — 10• dec<2* H3*>= -------------= —10 = > a l2 ,4M:;*> = —10 m /s2

3 - 2

• dec(3 «Hiii — ------------ — —10 — s a t3 MH.| — —10 m j s-’4 - 3

• dec 0 — ( — 10)

H>HÓ»i — 10

a,, sh i »í

= 10 m/s2

3. MEDICINA DE TAUBATÉ — Dois móveis A e B passam por umponto P em um instante t = 0 s e percorrem a mesma reta. Conhecendo os diagramas das velocidades para os dois móveis, po-demos afirmar que:

a) os móveis tornam a seencontrar após 12 s.

b) os móveis tornam a se

encontrar após 24 s.c) os móveis não mais se

encontram.d) os móveis tornam a se

encontrar após 30 s.o



120

Resolução: Lembrando que.no diagrama V X t,dec = a, vem:

móvel A: aA= -J-40

móvel B: aB=

30

6030

aA= 4 - — m/s2, constante;3

aa = — 2 m/s2, constante.

Adotando a origem do referencial no ponto F por onde os móveis passam no instante t — 0 s e levando em conta que os movimentos sãouniformemente variados (acelerações escalares constantes), podemos

escrever:

S0 — 0 m

móvel A

V0 = + 2 0 m/sA

móvel B

aA= 4“ — m/s2

S t = 0 m

V0b = 4 - 6 0 m/s=>

SA= 20t 4 -------i2 (1)

3

Sn = 60t - t2 (2)

a„ = — 2 m /s2

Os móveis voltarão a se encontrar quando ocuparem a mesma posiçãocm relação ao referencial adotado.

Logo, o encontro ocorrerá quando SA— S„ (3).



% w e m d & a S ~ 1 2 1

Assim, substituindo (1) c (2) cm (3), vem:

2 0 t 4 - — t2 = 60t — t2

3

(4 ,- 4o)=°

- t2 — 40t = 0 =>

I) t = 0 s (instante inicial).5

II) t — 40 = 03

120t = ------- = t = 24 s


4 . MAPOFEI — A velocidade de um carro, em função do tempo,pode ser descrita pelo gráfico a seguir.

Quanto andou o carro du

rante os primeiros cinco segundos? Quanto andou durante os vinte segundos?Qual a velocidade média domovimento?

Resolução:

• Como o movimento é descrito num único sentido (velocidade escalar positiva), podemos dizer que a distância percorrida pelo carro

coincide com o deslocamento AS.

Assim, durante os primeiros cinco segundos de movimento teremos:

A S (0 i H i í i : A to » H 3 *> -----^ 5 *» — - } '

5 . 20

•iSfii, h í «i -*-50 m

Para o tempo tota! de movimento vem:

__ 2 0 -f 1 0

-h.’iííi = A(o, h -‘o•> •—> AS<o*h 20»j = H------------• 20

ASÍ(>,h 2 <ik » - +300 m

• Lembrando que V„

AS

At -, então:

y = -}-(0 *H 2 0 »>

300

20V ° = 1 5 m , S

Resposta: O móvel andou 50 m durante os primeiros 5 s; 300 m duranteos 20 s e sua velocidade média nos 20 s dc movimento foi de 15 m/s.



122

5. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS — Dois carros viajam no mesmosentido em uma estrada retilínea. No instante em que um estáultrapassando o outro, os deis motoristas percebem um perigo àfrente e freiam simultaneamente. O gráfico da figura mostra a

variação da velocidade dos dois com o tempo. Pede-se a distânciaentre os dois carros no instante em que suas velocidades foremiguais.

a) 20 mb) 10 mc) 50 md) 15 me) 25 m

Resolução: As velocidades dos móveis sc igualam no instante 5 s, conforme podemos deduza- do gráfico.

|t = 0s| E Z H ] t = 5s

(1 )

v^

• (2 )

AS,

AS.Observando o esquema anterior,

podemos escrever :

d = AS2 -A S , (1),

onde AS2 = A-2 e AS, ^ A,.

i \c 25 + 5Logo, ASj = ------------ . 5 =: 75 m

e AS,

15 + 5

. 5 = 50 m.

Portanto, voltando a (I), vem:

d — 75 — 50 fd = 25 m



123

Note eue poderíamos obter a mesma resposta determinando a área

do triângulo hachurado.

Es:a área corresponde à diferença entre as áreas sob os gráficos refe

rentes às velocidades dos móveis (2

) e (1

).Logo: A' = A2 — Ai = 75 -

A '= 25 [71750

Ou seja, a área em questão representa numericamente a distância entre

os móveis quando suas velocidades são iguais.

Resposta: a l t e r n a t i v a e.

6. MEDICINA DE TAUBATÉ — O gráfico a seguir representa a ace-leração versus tempo de um móvel.É dado que num instante inicial a velocidade do móvel é zero.Em que intervalos de tempo o movimento é acelerado (isto é, avelocidade cresce em intensidade)?

d) 0 s m2 s e 4 Sm 5 s.e) 0 s h 3 s e 4 s h 5 s .



124

Resolução: No gráfico a — f(t) a área sob a curva representa numerica

mente a variação de velocidade do móvel. As áreas acima do eixo festão associadas a variações positivas de velocidade, e as áreas abaixo

do eixo t. as variações negativas de velocidade.

4 a(m/s~)

Lembrando que o corpo partiu do repouso, até o instante 3 s a velocidade do móvel crescerá tanto algebricamentc como em módulo.

Do instante 3 s ao instante 5 s leremos uma variação negativa de velocidade, o que significa uma redução no valor algébrico da velocidade.

Determinemos os valores numéricos das velocidades:

Os h I s: A (0 , h i , i = 1 • 2 = 2 = > Vl - V0 = 2 = *= > V, — 0 = 2 = > V, = 2 m/s

1sh2s: A,i,hs.i = 1. 2=2=>V*—V!=2=>= > V2 — 2 = 2 = > V2 = 4 m/s

1 . 2

2

sm 3 s : A

(2 h h s ■> = ------------- = 1 = >

V3

— V2

= 1 = >

2

= > V* — 4 = 1 = > V3 = 5 m/s

1 . 2 /-v3 SH4 s: A(a*H 4 8i = — -----= 1 = > V4 — V3 = ( —) 1

==> V, - 5 = - 1 = > V4 = 4 m/s

1 2

4 s w5 s: A ( 4 ■Hs •) = — - — = 1 = > V5 — V4 = Q 1 =>

= > Vs — 4 = — 1 = > V5 = 3 m/sResumindo: o movimento foi progressivo durante todo o intervalo de

tempo cbnsiderado, sendo acelerado de 0 s a 3 s c retardado de 3 s a 5 s.




Enunciado para as questões 1 c 2: Nos gráficos a seguir são representadas as distâncias x à origem da trajetóriaretilínea, em função do tempo t, de uma partícula em movimento:

1. FUNDAÇÃO CARl.OS CHAGAS — Em quais dos movimentos acimarepresentados a velocidade da partícula adquire o valor zero?a) I e III. d) III e IV.

b) II c V. e) II c III.

c) I e IV.2. FUNDAÇÃO CARl.OS CHAGAS — Em qual dos movimentos acimarepresentados a velocidade da partícula pode ter valores negativos?u) I d) IV

b) II c) Vc) III



126

3. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — No gráfico abaixo, deslocamentoversus tempo de um corpo, podemos afirmar que sua velocidade

a) decresce de A para B e crescede B para C.

b) decresce de A para C.c) cresce de A para C.d) cresce de A para B e decres-

ce de B para C.

4. UNIVERSIDADE DE SÀO CARLOS — Qual dos gráficos abaixo melhor

representa o movimento de um móvel que vai desde um ponto A até um ponto B, através de uma trajetória retilínea, com velocidade constante?

O enunciado c o gráfico que seguem se referem às questões de 5 a 7.O gráfico descreve o movimento retilíneo de um carro.



'S * 127

5. MEDICINA DE ITAJUBA — Em qual intervalo o movimento é retardado?a) Os h IOs. d) 50sw60s.

b) 20sm40s. c) Em nenhum dos intervalos.c) 40 s h 5 0 s .

6. MEDICINA DE ITAJUBÁ — No tempo t = 0s, a velocidade do carrocra:a) Om/s. d) 3,0 m/s.

b) 1,0 m/s. e) 4,0 m/s.c) 2,0 m/s.

7. MEDICINA DE ITAJUBÁ — No intervalo 0s a 20s, a velocidade médiado carro foi igual a:a) 0 m/s. d) 3,0 m/ s.

b) 1,0 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 2,0 m/s.

H. INATEL — O gráfico da figura abaixo representa o movimento dc umautomóvel durante 20 minutos de percurso reto. Pergunta-se:a) Qual a velocidade média do automóvel na ida e qual a velocidade média

do automóvel na volta, em km/h? b) A quantos quilómetros do ponto dc partida cie parou?c) Quanto tempo o carro permaneceu cm movimento?

*>. FUVEST — Dois pontos móveis P e Q percorrem um mesmo eixo Ox;seus movimentos estão representados na figura que segue, pelo gráfico doespaço x em função do tempo t.



128

Podemos afirmar que:a) P e O passam, no mesmo ins

tante, pelo ponto de abscissa x = 0 .

b) a aceleração de P é maior quea de Q.

c) a velocidade de O é maiorque a de P.

d) P e Q passam, no mesmo instante. pelo ponto de abscissa x = X|.

e) P e Q movcm-sc em sentidosopostos.

10. FACULDADES FARIAS BRITO — O gráfico que segue mostra como

a velocidade de uma partícula varia com o tempo: T, c T, são duasretas tangentes à curva nos pontos P ; e P2, respectivamente. As acelerações escalares instantâneas que a partícula apresenta nos instantes t, = 4 se U = 6 s são de:

T,

b) — m/s2 eO m/s2.2

d) 36 m/s2 c 42 m/s2.

II. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Qual dos gráficos da velocidade domóvel em função do tempo pode representar um deslocamento de 6 m em 4 s?



12. PUC (CAMPINAS) — No gráfico representa-se velocidade em função dotempo:

a) O movimento tem um só sentido com velocidade variável. b) O gráfico está errado, pois não se representa velocidade negativa.c) O móvel percorreu 3 m e, cm seguida, parou bruscamente; fez percurso

igual cm sentido contrário e parou no ponto de partida.d) Do gráfico apresentado só podemos obter velocidade e aceleração do

móvel em função do tempo.C) Nenhuma das respostas anteriores.

13. FATEC — L'ma partícula percorre um eixo Ox com velocidade que segue o

diagrama abaixo:V(m/s)

(1) Entre as datas Ose 2 s o percurso mede 8 m.

(2) Entre as datas 0 s e 4 s o percurso resultante é nulo.

(3) Entre as datas 2 s e 4 s (ex

clusive) a aceleração é de■♦•4,0 m/s123.

a) Somente (I) c correta. b) (1) c (3) são corretas.c) Todas as afirmações são corretas.d) Nenhuma das afirmações c correta,c) Resposta diferente das anteriores.



130

14. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Do gráfico V x t relativoao movimento de uma partícula, mostrado na figura, podemos concluir que.entre t = Os e t = 3 s. o espaço por ela percorrido c igual a:

a) 10 m. b) 12 m.c) 7 m.d) 4 m.e) 5 m.

15. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — O gráfico que segue representaa velocidade cm função do tempo de uma partícula que se desloca cm linhareta.

Quanto ao deslocamento da partícula, a afirmação certa é:a) Seu deslocamento total (entre

0 s e 6 s) é diferente de zero. b) O deslocamento da partícula

entre 0 s c l s c igual ao des-' locamento entre 3 $ e 4 s.

c) O módulo do deslocamentoentre 0 s e l s c igual uo módulo do deslocamento entre5 s e 6 s.

d) O módulo do deslocamento sempre cresce com o tempo,c) O módulo do deslocamento sempre decresce com o tempo.

16. FEI — Um móvel tem velocidade escalar variável com o tempo conformeo gráfico abaixo. Assinale a afirmação correta:

b) A distância percorrida pelo móvel nos primeiros 10 segundos de movimento é de 20 m.



c) A aceleração do móvel é negativa no intervalo de tempo 6sw8 s.d) O móvel está em repouso no intervalo de tempo 4 s h 6 s.

e) O móvel tem movimento retardado entre os instantes t ^ 2 s e t = 4 s.

17. FUVEST — Um automóvel faz uma viagem em seis horas c sua velocidadevaria em função do tempo, aproximadamente, como mostra o gráfico aseguir.A velocidade média do automóvel na viagem é dc:

______________________________________________ ’fé v tm M tá m /& * * *

131

b) 40km/h. e) 50km/h.c) 45 km/h.

IH. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — No gráfico das velocida-des dos móveis A e B. o triângulo hachurado representa:

a) a diferença entre as acelerações dosmóveis.

b) a soma das distâncias percorridas pelos móveis.

c) a diferença entre as velocidadesdos móveis.

d) a diferença entre as distâncias per-

corridas pelos móveis.e) uma grandeza sem nenhum signifi-cado físico.

19. MACKENZIE — Um móvel descreve uma reta. com velocidade que varia

Nessas condições, podemos afirmarque:a) no intervalo (0. t,) o móvel se des-

locou com aceleração variável.

b) no intervalo (t,. t2) o móvel esteve parado.c) no intervalo (t2, t3) o movimento

foi uniformemente acelerado.d) no intervalo (t3, t4) a velocidade do móvel permaneceu constante,c) Nenhuma das afirmações c correta.



132

20. ACAFE (SANTA CATARINA) — O gráfico representa a intensidade davelocidade cm função do tempo de uma partícula que se desloca numa tra

jetória retilínea.

Com base no gráfico, a alternativa correta c:

a) As acelerações da partícula nos intervalos de tempo 0 s a 5 s c 2 0 s a 2 5 ssão diferentes.

b) A partícula esteve cm repouso no intervalo de 5 s a 10s.c) De 0 s a 5 s a distância percorrida foi de 75 m.d) No intervalo dc 15 s a 20 s o movimento é retilíneo uniforme,c) A aceleração da partícula dc 10 s a 15 s foi de 4 m/s2.

As explicações a seguir referem-se às questões 21 e 22.

Três partículas partem da origem com velocidades cujas equações horáriassão representadas a seguir:

21. MEDICINA DO ABC — Considerando as partículas em ordem decrescentequanto à distância em relação à origem, ao fim de vinte segundos elas estarão dispostas da seguinte maneira:

a) I, II, III. d) II, III, I. b) I, III, II. e) III, II, I.c) II, I, III.



22. MEDICINA DO ABC — Qual a partícula que tem gráfico de aceleraçãosatisfazendo aos valores e ao aspecto a seguir?

aím/s“)

1III

2õ ti?)

d) I c III.

e) Nenhuma.c) III.

23. FEI — O gráfico dado define a velocidade dc um ponto em função dotempo.

A posição inicial do ponto c dada por S0 —50 m.Qual a posição do ponto no instante t 10 s?

24. FATEC — O diagrama ao ladodá a velocidade de um ponto emfunção do tempo. Para o intervalo dc tempo entre as datas0« c I0,0s, determinar a velocidade media c a aceleração.

25. IN ATEI. — O gráfico abaixo representa a variação da velocidade cm função do tempo, para um ponto P movendo-se cm linha reta. Pedem-se:

a) a distância total percorrida. b) a aceleração no intervalo de tempo entre 4 e 5 segundos.

V (m /s )

5 Us)

a) I.

b) II.



134

26. IME — Do movimento de uma partícula c dado o diagrama V x t. Traceo diagrama S X t, sabendo que para t = 0 s, S = 0 m (S = espaço).

-1

- 2

-3

-4

V(m/s)

t(s)

27. FEI — Ura móvel cm trajetória retilínea tem um movimento cuja velocidade varia com o tempo conforme o gráfico abaixo:

Quanto à sua aceleração, podemos afirmar que:a) c negativa entre Os c 2 s.

b) c positiva entre 2 s c 6 s.c) é positiva de 6 s a 9 s.d) é positiva de 9 sa 12s.e) c positiva dc 6 s a 7,5 s e negativa de 7,5 s a 9 s.

28. FEI — Em relação à questão anterior, quanto ao movimento do móvel, podemos afirmar que:

a) c retardado no intervalo dc 9 s a 12 s. b) é retardado no intervalo dc 8 sa 9 s.c) é acelerado no intervalo de 6 s a 7 s.d) é uniformemente acelerado no intervalo de 2 s a 6 s.e) é retardado no intervalo dc 0 s a 2 s.



Enunciado referente às duas questões seguintes:

Um móvel entra em movimento retilíneo a partir do repouso. O .gráfico desua aceleração cm função do tempo decorrido a partir do instante de partidaé dado pela figura seguinte:

29. CESCEA — Depois de 8 s, sua velocidade será igual a:a) 12 m/s. d) 16 m/s.

b) Om/s. e) Nenhuma das anteriores.c) 22 m/s.

30. CESCEA — Em que trecho a velocidade do corpo diminuí com o tempo?a) No trecho AB.

b) No trecho CD.c) No trecho BC.d) Nunca.e) Nenhuma das respostas anteriores e correta.

31. PUC (SÀO PAULO) — Sobre um corpo inicialmente em repouso atua umaaceleração que varia com o tempo, de acordo com o diagrama abaixo:

A velocidade adquirida pelocorpo c máxima no instante tigual a:

a) 5 s. b) 15 s.c) 20 s.d) 25 s.c) 10 s.

32. FEI — O gráfico da aceleração de um móvel em movimento retilíneo cmfunção do tempo c dado na figura. Determinar:

1ii

’? 40 t(s)

a) a aceleração média no intervalo 0 sh40s.

b) o gráfico- da velocidade emfunção do tempo. Sabe-seque a velocidade inicial énula.



136

3. c (Os declives de A para B decrescem em módulo mas crescema gebricamente.)

4. a 5. b 6. b 7. b

8. a) Ida: VIH= 96 km/h. volta: Vm= -4 8 km/h;b ) Ele parou a 8 km e a 4 km do ponto dc partida;c) Permaneceu em movimento durante 10 min.

9. d 10. b 11. b 12. c 13. b 14. a 15. c 1G. a 17. b

18. d (A área do triângulo hachurado representa numericamente a diferençaentre as distâncias percorridas pelos móveis A e B entre osinstantes 0 s e 10 s.)

19. c (0Ht1) = $ movimento uniformemento retardado;(t,Mto) = > movimento uniforme:

(toMt3) => movimento acelerado não-uniformemente;=> movimento uniformemente ace erado.

20. c 21. d 22. e

23. S J0 — 150 m

24. VJr = 0 m/s; a = — 1m/s2.25. a) AS = 21 m;

b) a = —6 m/s2.





Vetor

Dado um segmento orientado de reta AB, podemos distinguirnele três características:

• direção: a mesma da reta à qual pertence:

• sentido: de A para B;

• módulo: é o valor numérico associado ao comprimento do seg-mento de reta.

Dois segmentos orientados são ditos eqüipolentes quando pos-suem a mesma medida, a mesma direção e o mesmo sentido.



j ~ 139

• Conceito de vetor — Tomemos um conjunto de segmentos orien

tados. eqüipolentes. AB. CD. EF e GH. Tais segmentos apresentam,em comum, a mesma associação: módulo-direçãosentido. Esta asso

ciação abstrata é denominadavetor.

Resumindo:

móduloVetor : direção

i sentido

Observe que

8

ficamente, o mesmo vetor, simbolizado por V. Isto se deve ao fatode que todos os segmentos eqüipolentes têm a mesma direção, omesmo sentido e o mesmo módulo.

é fá iw a ttiC L

O símbolo V representa um vetor e não deve ser substituído por um

número Quando queremos ropresentar apenas o medulo do vetor V.—♦

usamos o símbolo V . Assim, se um vetor V tem módulo 5. devemos

oscrcvor |V — 5 e não V = 5.

Os vetores estão sempre associados às grandezas vetoriais.Grandezas vetoriais são grandezas físicas que, para ficarem perfeitamente caracterizadas, necessitam de intensidade, direção e sentido.Por intensidade se entende módulo seguido de unidade.

Resumo:

Grandeza vetorial intensidade (módulo -r unidade)<direção

sentido

Exemplos de grandezas físicas vetoriais: força, velocidade, acele

ração. etc.



140

• Adição de vetores — Dados os vetores V i, Va. V3 e V*. o vetor-

-soma S é obtido traçando-se, a partir de uma origem O arbitraria-

mente escolhida, os segmentos orientados representativos dos vetores. de modo que a extremidade de um coincida com a origem doseguinte e assim por diante.

O vetor-soma S é representado pelo segmento orientado de origem em O e extremidade coincidente com a extremidade P do segmento representativo do último vetor.

Importante: a adição de vetores é comutativa, isto é. qualquer queseja a ordem dos vetores-parcela, o vetor-soma será sempre o mesmo.

• Produto de um número real por um vetor — Dados um número

—> —> —>real n e um vetor V. o produto n . V é um vetor U. com as seguintescaracterísticas:

módulo: U = n| . V ;

direção: a mesma de V se n ?! 0.— — >

sentido: se n > 0. U e V têm sentidos concordantes;—>■ —>

se n < 0. U e V têm sentidos opostos.



141

Exemplos:

U = +2V

ffló a w a p fe à -

1) Quando n = —1, teremos U = —V. Neste caso. U é denominado

vetor-oposto ce V. Observe o último exemplo acima.

Conclusão: O vetor-oposto (—V) tem a mesma direção e o mesmo

módulo de V. mas sontido contrário ao deste.

2) Caso particular: Quando n = 0. o vetor-produto U será nulo. ou seja.

0. ü = O.

• Vetor-diferença — O vetor-diferença D = Va — Vi pode ser ob-— —

tido pela soma de Va com o oposto de Vj.



142

• Decomposição de um vetor — Dado um vetor V. podemos decompô-lo segundo duas direções x e y ortogonais.

Assim.

Vx e V, são denominados

componentes de V segundo asdireções x e y.

Reciprocamente, conhecendo-se os vetores-cornponentcs■—> —>Vx e Vv podemos determinar o

vetor V.

Vetor-posição

Quando a trajetória de um móvel não é conhecida, em lugar dea posição ser medida através de um arco de trajetória (espaços),

—►

será ceterminada através de um vetor-posição, representado por r. de origem arbitrária O e extremidade na pos;ção P ocupada pelo móvel.



Vetor-deslocamento

Sc um móvel parte de uma posição Pi e chega a uma posiçãoP- após um intervalo de tempo At. diremos que ele realizou um deslo

camento escalar AS e um deslocamento vetorial Ar.

Esse vetor-deslocamento Aí é. por definição, a diferença entre

o vetor-posição-final ríin e o vetor-posiçác-inicial rln.

Ou seja:^

Ar — Tf m fia

Observe que numa trajetória curvilínea AÍ, < jAS’ , enquanto quenuma trajetória retilínea A Í = AS|.

Ou seja: Ar ^ ASj



144

Resumindo:

DESLOCAMENTO

Sendo o vetor-deslocamento Ar uma grandeza vetorial, além do módulodo vetor a ela associado, a grandeza possui também uma unidade. A esseconjunto (módulo -+■ unidade) chamamos de intensidade do vetor-

•deslocamento e representamos simplesmente por Ar.

Vetor-velocidade

• Vetor-velocidade-média — Seja um móvel que se desloca de Ar num interva o de tempo At.

Denomina-se vetor-velocidade-média o quociente entre Ar c At.

Ou seja:

-> ArVc, = -----

At



memd&a

Como |Ar' ^ |ASj, entáo Vr, ^ jV,„ .

Movimento curvilíneo: |V J < |Vm

•Movimento retilíneo: |V„, - Vn

Trajetória curvilinea

Trajetória retilínea

!

• Vetor-velocidade-instantânea — Quando o intervalo de tempo At tende a zero, o vetor-velocidade-média tende ao vetor-velocidade-ins- tantãnea.



146

O vetor-velocidade-instantânea de um móvel possui a mesma intensidade que a velocidade escalar instantânea, tendo direção tangenteà trajetória e sentido concordante com o sentido do movimento do

móvel.

Soltando-se o barbante, observamos que a bola segue areta tangente à curva no ponto.

O vetor-velocidade - instantânea índica o que o corpo tende a lazernum dado instante seguir a reta tangente

Sendo o vetor-velocidade V uma grandeza vetorial, sua intensidade será

representada simplesmente por V.

Exemplos:Na figura ao lado. note que:

—>• vetor-velocidade Vi

intensidade: Vi — 30 m/s:direção: horizontal:sentido: esquerda para a

direita. —>

• vetor-velocidade V2

intensidade: Va = 20 m/s;direção: vertical:sentido: de cima para baixo.

—>• vetor-velocidade Va

intensidade: V3 —

= >/l0= -- 202= V"500 =>

— 10 \Z~5 m/s:direção: indicada pelo ângulo

1a, cuja tangente é — ;

2

sentido: indicado na figura.



=

Vetor-aceleração

• Vetor-aceleração-tangencial — Conforme foi visto anteriormente,a aceleração indica a taxa de variação da velocidade de um móvel

no tempo.O vetor-aceleração-tangencial indica que a intensidade do vetor-

Movimento retardado

km/h j*- km/h _ ° T _ _ _ _ _ _

________

Possui direção tangencial e sentido que depende do tipo de movimento:

~ -> — >

• movimento acelerado: aT e V têm o mesmo sentido;

— > —■>

• movimento retardado: aT e V têm sentidos opostos.

A intensidade do vetor-aceleração-tancencial é igual à intensidadeda aceleração escalar.

Ou seja: fc l - 1*1

õfó&W tpâCL---------

----------------------------------------------------------------------------------------------

Sendo o vetor-aceleração-tangencial a T uma grandeza vetorial, suaintensidade será simplesmente representada por a T .

• Vetor-aceleração-centripeta — O vetor-aceleração-centrípeta indica a taxa de variação da direção do vetor-velocidade no tempo.



148

Possui direção normal à trajetória, tendo sentido orientado para ocentro da trajetória, no ponto considerado.

Verifica-se que a intensidade

é dada pela expressãoV-

ar —

ac) do vetor-aceieração-centripeta

, onde V é a intensidade da velo-

cidade do móvel e r é o raio da trajetória no ponto considerado.

• Vetor-aceleração-total — O vetor-aceleração-total é a soma vetorial dos vetores aceleração tangencial e aceleração centrípeta.

Ou seja: —>

Como a direção do vetor aT é ortogonal à direção do vetor acpodemos escrever:

r® ~ aT — a r .

onde Y. aT e ac representam, respectivamente, as intensidades dos

vetores aceleração T i e Ç



J S h 149

ijJJJS Complementação: Façamos, agora, uma análise de f em todos

os tipos de movimento:

• MRU

MCU

• MRA

• MRR

• MCA

• MCR

retilíneo => ac — O —► -4 jniform e = > a-r — C

circular => ac ¥= O—> —>

uniforme => aT = O

retilíneo => ac = O—> —

acelerado => O

- 4 —4

retilíneo => ac = O—> —►

retardado => a-r O

—> - 4

circular => a<--/= O —4 —>

acelerado => ar 7*=O

— > — >

circular => ac / O —> —>

retardado = > ax 7*=O

• Vetor-aceleração-média — Seja um móvel que varia seu vetor-•velocidade de 7 Jn a num intervalo de tempo At. Definimos como

vetor-aceleração-média do móvel neste intervalo de tempo o quo-



150

1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura que segue estão — ► — >

desenhados dois segmentos X e Y. Estes segmentos representamdeslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é a intensidade do

— > — >

deslocamento representado por X -f- Y? (A escala da figura é1 : U

a) 4 cm

b) 5 cmc) 8 cm

d) 13 cm

e) 25 cm

Resolução: Traçando-se o desloca-

mento A? — X -|- Y, podemos escrever: ArL>— 4" -|- 32 = I6 -\- 9 =

= 25 = >

Determinemos a direção do deslocamento Ar.

Da figura, vem:

tg a = —— = 0,75 = >4

= > tg a 0,75



Usando uma tabela trigonométrica (ver Pranchas Matemáticas) pode

mos verificar que a ss 37°.

Assim, a direção do deslocamento Ar será indicada pelo ângulo

a ~ 37°.

Sentido de Ar: de O para P.


2. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma pessoa sai de suacasa e percorre as seguintes distâncias em qualquer ordem pos-

sível:

I) 30 metros para Leste.II) 20 metros para o Norte.

III) 30 metros para Oeste.

No fina; das três caminhadas, a distância cm que ela se encontra

do ponto de partida é:

a) 80 m.b) 50 m.c) 20 m.d) 40 m.

e) 60 m.Resolução: Construindo a poligonal orientada, obteremos o esquema

seguinte: \73

Observamos, então, que:Ar, = 30 m

Ar3 = 20 mAr.i = 30 m

onde Ar* = Ar, + Arò -f Ar-,.Da figura, temos:

Ar — 20 m




152

3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A velocidade vetorial média deum corpo que parte de um ponto P, percorre o segmento de retaPQ e volta, pelo mesmo caminho, à origem P. no intervalo de tem

po At, é:a) O.

b) OP/At.

d) 2PQ/A1.

e) PQ/At.

c) 2QP/At.

Re.solução: Como o corpo retorna ao ponto dc partida, teremos:

Ar = PO 4- OP = O

PQ

P *■->OP

Ar Sendo V» — ------ , então Vm

Al

Ke.spo.sta: alternativa a.

H q.

O —►V ', - o

At

O enunciado que segue refere-sc às questões de 4 a 6.A figura mostra uma fotografia estroboscópica de uma bola quese move ao longo da trajetória . . . . 1, 2, 3...........8, 9. 10............. 12,13. 14. . . .As regiões dc 1 a 4, 8 a 11 e 12 a 14 são linhas retas.As regiões de 4 a 8 e de 11 a 12 são arcos de circunferências.Os intervalos de tempo entre duas posições sucessivas da bola

são todos iguais.



4. FEI — A velocidade instantânea da bola no ponto 6 é melhor re-presentada por qual dos segmentos abaixo?

s)

Resolução: lembrando que o vetor-

-vclocidade é tangente à trajetória e

que o movimento é descrito da foto(4) para a foto (8), podemos representar a velocidade no ponto (6)conforme o esquema ao lado.


5. FEI — A aceleração instantânea da bola no ponto 6 é melhor repre-sentada por qual dos segmentos abaixo?

a) zero

b)

Resolução: De (4) a (8) o movimento c uniforme; logo, V e cons-

—> —>tante. Assim, ar = O.

Como a trajetória é curva, a aceleração é centrípeta

Logo, Y« = ac, sendo indicada conforme a figura anterior.




154

6. FEI — A aceleração instantânea da bola no ponto 13 é melhorrepresentada por qual dos segmentos abaixo?

d)

e) zero

c) *

Resolução: Na região considerada,a trajetória é retilínea. Assim, não

há aceleração centrípeta, pois a di-

reção da velocidade não varia. —> — >

Logo, ac = O.

Como o movimento é acelerado, omóvel somente possui aceleração

tangencial, ou seja, y™ = ar. con-forme a figura ao lado.


7. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Um ventilador acaba deser desligado e está parando vagarosamente, girando no sentidohorário. A direção e o sentido de aceleração da pá do ventiladorno ponto P são melhor representados pela figura:

P



n e m d & tz 155

Resolução: Devido ao movimento retardado, o ventilador terá acele

ração tangencial de sentido contrário ao do movimento, além de ter

aceleração centrípeta, pois a velocidade varia em direção.

Portanto, a aceleração total do ponto P será y = a* — a<;, conformeindica a figura acima.


8. PUC (SÃO PAULO) — Um móvel parte do repouso e percorre

uma trajetória circular com raio de 100 m, assumindo um movi-mento Lniformemente acelerado de aceleração igual a 1 m/s2 Asintensidades dos vetores componentes tangencial e normal daaceleração valem, respectivamente, após 10 s:

a) 1 m/s2 e 10 m/s2.b) 10 m/s2 e 1 m/s2.c) 10 m/s2 e 10 m/s2.d) 10 m/s2 e 100 m/s2.

e) 1 m/s2 e 1 m/s2.Resolução: Como o movimento é uniformemente acelerado, podemosescrever:

V = V„ -f at = > V = 0 -f 1 . 10 = > V = 10 m/s

Portanto:

• vetor-aceleração-tangencial a.,.

Sendo aT = a , vem

• vetor-aceleração-centrípeta a (.

V2 _ (IO)2 100

r

aT ~ 1,0 m/s2

aò =100 100

ac 1,0 m/s2




156

9. FEI — A velocidade V? dc um móvel em função do tempo acha-serepresentada pelo diagrama vetorial da figura. A intensidade da

velocidade inicial é Vo=20m/s.t = Os

oEsquematize a aceleração vetorial média e determine a sua inten

sidade entre os instantes t = 0 s e t = 8 s .

Resolução: Lembrando que y». =

entãoVa - V , v 8 + ( -V p )

8 - 0 “ 8

Podemos, então, construir o esquema abaixo, obtendo-se Y » 8-i

Observando o triângulo ABC, podemos escrever:

AC „ AC 20------= sen 30° = > BC = ------------- = > BC = --------

BC sen 30°BC = 40

Portanto, AV 2 BC ==> AV ~ 40.

- * AV |AV

Sendo Ym= ------

, então \ym\— — ---- -

At At

40

onde Ymrepresenta a intensidade da aceleração vetorial média Ym•



1. FUNDAÇÃO CASPER LIBERO — Dois vetores são iguais quando:a) têm a mesma intensidade.

b) são vctores-opostos.c) têm a mesma direção.d) têm o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.

2. FUNDAÇÀO CARLOS CHAGAS — A figura abaixo mostra três vetores —►—> —*A. B c C. De acordo com esta figura, podemos afirmar que c verdadeiraa seguinte relação:

a) A + B + C = O

b) A = B - C

c) íT- A = C

d) A + B = C

e) A = íT-f C

3. EMESCAM (ESPÍRITO SANTO) — Sendo dados os vetores u e v da

figura, o segmento que melhor representa a diferença veforial d = u v é:

a) nulo c) c)

b) d)



158

—►—♦4. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Dados os vetores A. B C. I>, E.

F c G, representados geometricamente num plano, corno mostra a figura, pode-se afirmar corretamente que:

b) D + A + B d) Nenhuma dessas.5. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte está representada

uma parte de um mapa geográfico de uma região plana. 1 e Z são pontosdesta região. Qual das seguintes medidas mais se aproxima do valor dadistância entre os pontos Z e Y?

Z 100 m

100m

a) 30C m b) 400 rnc) 500 m

d) 600 me) 700 m

6. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Uma pessoa sai para dar um passeio pela cidade, fazendo o seguinte percurso: sai de casa e anda 2 quarteirões para o Norte; logo após, dobra à esquerda e anda mais 3 quarteirões

para Oeste, virando, a seguir, novamente à esquerda e andando mais 2quarteirões para o Sul.

Sabendo que um quarteirão mede lOOm, o deslocamento da pessoa é de:a) 700 m para Sudeste. d) 700 m em direções variadas.

b) 300 m para Oeste. e) zero.c) 200 m para o Norte.



7. I NIVI RSIDADE DE MINAS GERAIS — Um automóvel está sendotestado em uma pista circular de 200 m de raio. Qua! será a intensidade dovetor-desloeamento do automóvel após ter ele completado meia volta?

8. MEDICINA DE CATANDUVA — Em uma nave espacial há um compartimento semelhante a uma caixa de sapatos e cujas dimensões são iguais a4 m X 3 m X 2 m. Sabendo que a mesma se encontra cm repouso emrcluçBo a três estrelas fixas e livre da ação de campos gravitacionais. querse saber qual será a intensidade do vetor-deslocamento devido à movimentarão dc um astronauta de um dos cantos do compartimento para o outro,

diamctralmente oposto, em busca dc uma ferramenta.a) y'63 m b) \/29mc) yXSnid) Faltam dados para o cálculo.c) Nenhuma das respostas anteriores.

9. MEDICINA DE SANTOS — Sejam Vu a velocidade escalar media e Vma velocidade vetorial média de um móvel num trecho dc sua trajetória.Podemos dizer que:

c) Nenhuma das anteriores.

10. FUNDAÇÃO CARI.OS CHAGAS — A velocidade de um corpo c umagrandeza vetorial, pois para determiná-la é preciso caracterizar sua direção:

a) c sentido. b) sentido e intensidade.c) sentido e ponto dc aplicação.d) intensidade c unidade.c) ponto de aplicação e unidade.

11. PUC (SÃO PAULO) - Sc a velocidade vetorial de um ponto material éconstante, sua trajetória:a) é uma parábola.

b) pode ser uma reta. mas nào necessariamente.c) deve ser uma reta.d) é uma circunferência.c) pode scr uma curva qualquer.

a) 628 m

b) 282 mc) 2Q0 m

d) 400 m

e) 314 m

b) |Vm| = |VJ.

O |Vm|$> V J.

d) Vm= Vm.



160

12. CESGRANRIO — Uma partícula descreve, com movimento uniforme, urnatrajetória circular, representada na figura, no sentido indicado pela seta.Entre as passagens A c II. a variação da velocidade vetorial da partículaserá melhor representada por:

B

13, FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um ponto em movimento circularuniforme percorre um arco de círculo de raio R 20 cm e ângulo centralde 60° em 5 s.

A variação V., é, cm cm/s, igual a:

a)10r

3

e) 4tt

3

d) 5v.

e) um valor diferente dos an-teriores.

14. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma partícula não possui

aceleração. Então, podemos concluir que:a) sua velocidade é nula. : b) ela está em movimento circular uniforme. )

c) ela está em repouso ou em movimento retilíneo uniforhie. 'd) a intensidade de sua velocidade é constante c sua direção variável.e) a intensidade dc sua velocidade é variável e sua direção constante.



15. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — No movimento circularuniforme 6:ii) variável a velocidade escalar e nula a aceleração centrípeta.

b) constante a velocidade escalar e r.ula a aceleração vetorial.

c) constante a velocidade escalar c constante a aceleração tangencial.d) constante a velocidade escalar e nula a aceleração tangencial.c) variável a velocidade escalar c constante a aceleração centrípeta.

16. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um corpo estácom movimento circular, uniforme. com sentido de 1 para 2.Quando ele atinge o ponto A. o par de vetores velocidade e ace

leração representativo do movi-mento será:V

d)“) _ *.2.

Vh)

t,>c)

V

c)

17. MEDICINA DE ITAJUBÁ Uma partícula realiza um movimento cir-culur uniforme. Se escolhemos o centro da circunferência como nosso rc-

ícrcncial e chamamos de 1* o vetor-posição da partícula num instante t —►

qualquer, de a o vetor-aceleração da partícula e de V a sua velocidade, qualdentre as opções seguintes melhor representa a disposição dos três vetores

num mesmo instante t?



162

18. MEDICINA DO ABC — Uma circunferência é percorrida por um móvel pontual M cm movimento circular uniforme. Em relação a M:

a) os vetores velocidade c aceleração são paralelos em cada instante. b) a aceleração é nula.

c) os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares em cada instante.d) a velocidade varia linearmente com o tempo.e) a aceleração varia linearmente com o tempo. |

19. CESGRANKIO A figura abaixo mostra a fotografia cstroboscópicadomovimento de uma partícula. A aceleração da mesma, no ponto P da tra-

jetória, é melhor representada pelo segmento:

V p i

a) I. d) IV. b) II. e) V.c) III.

Instruções para as questões de 20 a 22.

Na figura está representada a trajetória de um corpo que sc move sobreuma mesa horizontal.

x e y são dois eixos cartesianos de referencia. As posições do corpo, dcminuto em minuto, estão assinaladas ao longo da trajetória.



163

20. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Entre os pontos 1 c 5 da trajetória,qua. é a posição mais próxima daquela na qual foi nulo o vetor-componente,na direção y, da velocidade vetorial instantânea do corpo?a) I d) 4

b) 2 e) 5c) 3

21. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Qual dos seguintes segmentos melhorrepresenta o vetor aceleração-instantânea do corpo na posição 8, considerando que entre os pontos 7 e 9 o corpo tinha uma velocidade escalarconstante?

/y/mdába

22. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual foi, aproximadamente, a intensidade da velocidade vetorial media do corpo entre as posições 1 c 14?n) 0,41 cm/min d) 0,87 cm/minh) 0,57 cm/min e) 1,47 cm/minc) 0,65 cm/min

23. FUVEST — Um menino está num carrossel que gira cohi velocidade angular constante, executando uma volta completa a cada 10 s. A criançamantém, relativamente ao carrossel, uma posição fixa a 2 in do eixo de

rotação.a) Numa circunferência representando a trajetória circular do menino, —► —*

assinale os vetores velocidade V e aceleração a correspondentes a uma posição arbitrária do menino.

— — *

b) Calcule as intensidades de V e de a.



164

24. FEI — O vetor-velccidadc cie uma partícula, em função do tempo, estárepresentado na figura. Calcular as acelerações médias nos intervalos detempo I S h 2 s c 5 s -<6 s , indicando também sua direção c sentido.

Os 1s 2s 3s 4s

d 8. b 9. c 10. b

11. b (Se V é constante e não-nula ==> trajetória retilíneo; se V éconstantemente nula => trajetória é um ponto.)

12. b 13. c 14. c 15. d 16. c 17. e 18. c 19. b 20. c 21. a 22. d

bj V ss 1.3 m/s;a sr 0,8 m/s2.

( Intensidade: 15 m/s2direção: horizontalsentido: da esquerda para a direita

Intensidade: 15 m/s2direção: verticalsentido: de cima para baixo

2 4 .

“ ( S s h i i í :

1. d 2. e 3. e 4. c 5. c 6. b 7.



CffllUD

6



166

Introdução

Seja um móvel que descrevede origem 0 e raio r.

Deslocamento angular

uma trajetória circular orientada

Num instante t, seja P a po-sição ocupada pelo móvel.

O ângulo central $ corres-pondente ao arco OP é o ângulo de fase do móvel nesse instante.A medida algébrica de OP é S

(espaço do móvel no instante t).Em radianos. temos:

Deslocamento angular do móvel

no intervalo de tempo At = t' — té. por definição, o ângulo centralA= dV — <í>, onde 4>'éo ângulode fase no instante t e (IJ é o ân-gulo de fase no instante t.

O ângulo central A (deslo-camento angular) correspondeao arco AS (deslocamento es-

calar).Em radianos, temos:



Velocidade angular

Velocidade angular média é o quociente entre o deslocamentoangular A<1> e o correspondente intervalo de tempo At.

Ou seja:A<t>

0)M= -----

At

Sendo Amedido em rad e At medido em s. então co será medidoem r a d / s .

A velocidade angular instantânea é o limite da velocidade argjlarmédia quando o intervalo de tempo tender a zero.

O sentido do movimento concorda como sentido da trajetória orientada.

-

O sentido do movimento discorda dosentido da trajetória orientada



168

Aplicações O estudo da velocidade angjlar é importante naanálise de movimentos circulares uniformes, quando estamos interes-sados na rotação de sólidos.



Aceleração angular

Quando a hélice de um helicóptero é ligada, sua velocidade angular aumenta até atingir seu regime normal de funcionamento. Diremos, então, que a hél:ce está dotada de uma aceleração angular.

Define-se aceleração angu-lar média como o quocienteentre a variação da velocidadeangular i a e o correspondenteintervalo de tempo At.

Ou seja:Ao>

«m = -----

At

Portanto:

Sendo Aw medido em rad/s e At medido em s. então x será medido em rad/s".

A aceleração angular instantânea é o limite da aceleração angularmédia quando o intervalo de tempo tender a zero.

Ou seja: x = lirnât-* o

Sinais de x:

a > 0 => c«> cresce algebricamente;x < ü => o> decresce algebricamente.



170

Relação entre elementos lineares e angulares

Sendo S, V e a os elementos lineares do movimento de Lm móvelem trajetória circular de raio r. e «1». to e a os elementos angulares

correspondentes, podemos escrever:

elemento angular —elemento linear

raio

Ou seja:s V a

(0 — —• a —r r r

Na figura ao lado temos odiagrama referente às velocidades lineares dos pontos de umdisco em movimento de rotação,

Vpois co — — => V —cor (V é

r

função linear do raio r quando coé constante).

Movimento circular uniformeNo MU temos S — So -f Vt.

Num MCU de raio r, temos:

r r r

=> : — <l>o+ cot

Essa expressão é a função horária angular do MCU. Observe

Vque co = — = constante 0.

r



O intervalo de tempo necessário para que um móvel emMCU dê uma volta completa édenominado período (T).

O número de voltas dadaspor um móvel em MCU. num intervalo de tempo, é denominadofreqüência (f).

Observe que

O período T é medido em se a freqüência f em s 1 ou hertz

(Hz). É usual a unidade rotação por minuto (rpm) para freqüência.

Note que 1 rpm — -----Hz.60

Nurh MCU, lembrando queA<J>

o) = ----- . quando A<J>= 2n rad

At(1 volta), então At — T (período).

Logo:

Assim, por exemplo, lembrando que a Terra em seu movimentode rotação leva 24 horas para completar uma volta, podemos deter-

2;iminar a correspondente velocidade angular, ou seja. c>r -----—

2r .

24( ! ) —

TC

12

rad/h.

i*



172

v-Lembrando que a<: = ----- , vem:

r

(wr)-ac = -------- e dai

r

& ó& rxz#2a. ___________

No MCI), como a velocidade escalar 6 constante, a intensidade do vetor-

- velocidade também é constante e a aceleração tangencial é nula. isto é.

7 r = 0 .

Entretanto, embora a intensidade do vetor-velocidade seja constante, sua

direção varia e a aceleração centrípeta é não-nula. isto é, ac O

t

MCU

ï = * r + «c

Como ar - O,

V-'a(. = ----- = o)*r

r

v —a . onde

Movimento circular uniformemente variado

Lembrando que num MUV:

S = Su + Vot + — at22

V = V«, + at

V2= Vo + 2aAS

para um MCUV de raio r vem:

_S_ _So_ Vo t

r r r

1

2t2

V

r

v--2

Vu a-------1------- tr r

Vf 2aAS-----+ ----------



173

Em decorrência do que foi exposto anteriormente:

<1> —<!>„ — to ,t * f --------at*2

d» = o)í, -f- 2t

'/)' = -f 2aA<í>

aObserve que a = -----=

rconstante ^ 0.

(M & V O 0&2_____________________________________________________-

No MCUV tanto a Intensidade quanto a direção do vetor-velocidade vadam.Logo. as acelerações tangencial e centrípeta são não-nulas

Sistema de transmissão

Em qualquer sistema de transmissão, as velocidades lineares

dos pontos em contato direto ou indireto (através de correia ou corrente) são iguais em intensidade, admitindo não haver escorrega

mento.

1) Observe o dispositivo ilustrado:



174

Esquematicamente, teremos:V,

Assim, para duas engrenagens em contato teremos:

V: = V3 w » ri = «fers = > 2 r c fin = 2 n f 2rs ==> f ir i = f«ra

Portanto, quanto menor o raio da engrenagem, maior sua fre-

qüência de rotação.

J

♦

9

I

2 ) Observe o dispositivo ilustrado:

Esquematicamente, teremos:

Admitindo que não haja escorregamento e que a corrente estejaesticada, vem:

Vi — Ví => o):n = o)jrs => 2~ firi = 2^f3r2 =>



1. F-NGENHARIA DE SANTOS — Toma-se sobre uma circunferência

cie raio r = 2m um arco cie comprimento 5m. O ângulo central

correspondente é:

a) 0.40 rad.

b) 2,5 rad.

c) 3.0 rad.d) t: rad.

e) Nenhuma das respostas anteriores.

Resolução: Lembrando a expressãoda medida dc um ângulo em ra-

dianos, vem:

AAS

r = > A<t>—

= > | A= 2,5 rãd~


2. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — A velocidade angular do ponteiro dos segundos dc um relógio vale. em rad/s:

a) 2n.

b) n.d)

t:

50

C) e)»u

15

Resolução: O período dc rotação do ponteiro dos segundos é T — 60 s(tempo que c!c leva para completar uma volta).

Assim sendo, como w = - 2-~, vem:T

2~o» ----

60d) rad / s

30




176

3. CESCEA — Uma barra gira em torno do ponto O com velocidadeangular constante, completando uma volta a cada segundo. A ve-locidade escalar de um ponto P da barra, distando 2 m do ponto

O, é:

a) 4r: m /s.

b) r . m /s.n

c) -----m/s.2

d) 8 r. m /s.

e) Nenhuma das anteriores.

Resolução: Do enunciado, te-

. . voltamos: f = 1 ---------= 1 Hz.

Como o) — 2 r .f. vem:

o> = 2 n . 1 = > o) = 2tt rad/s

Lembrando que VP = ü>rP,

concluímos que

Vp = 27:. 2 n=>|Vi» = A r. m/s


4. FEI — Um móvel se desloca em uma trajetória circu'ar, de raio

r = 2,00 m, obedecendo à lei horária S = 2,00 - 5,00t (SI).

No instante t = 10 s, a intensidade de sua aceleração resultante,a intensidade de sua velocidade e a sua posição angular valem,

respectivamente:

a) 0.00 m /s2;5,00 m /s e —24,0 rad.

b) 12,5 m /s2;5,00 m /s e —48.0 rad.

c) 12,5 m /s2;5,00 m /s e —24,0 rad.

d) 5.00 m /s2;2.00 m/s e —24.0 rad.

e) 12.5 m /s2;2,00 m /s e —48,0 rad.

Resolução: Inicialmente, escrevemos a função horária do movimentona forma angular.

SSendo S = 2,00 — 5,00 t e lembtando que O = — , então:

r

S 2,00 5,00 t 2,00 5.00 — = --------------- ----- t = * = — --------------- — t = >

r r r 2,00 2,00

=><!> = 1 ,0 0 -2 ,50t



V

• Assim, como para MCU <í>= 0 -j o)t, então <I»0 = 1,(K) rad e to =

= —2,50 rad/s.

Para t = 10 s, <J>,0 = 1 — 2,50 . 10 => — —24,0 rad

Como o movimento é circular e uniforme, a aceleração do móvel6 a aceleração centrípeta.

Portanto, a<- = o)-r = > ao = (—2,50)2 . 2 = 6,25 . 2 =>

ao — 12,5 m/s2

Da função horária S = 2,00 — 5,00 t concluímos que:V = —5,00 m/s.

Logo: !V| ^ 5,00 m/s

Kesposfa: alternativa c.

5. MEDICINA DE SANTOS — Sobre uma circunferência com 60 cm

do raio, dois pontos animados de movimento uniforme se encon-tram a cada 30 s quando se movem no mesmo sentido, e a cada10 s quando se movem em sentidos opostos. Determinar seusperíodos,o) 10 s e 30 s.b) 10 s e 20 s.c) 15 s e 30 s.d) 15 s e 20 s.e) Nenhuma das respostas anteriores.

Kc.solução: Como o movimento dos pontos é uniforme, podemos es

crever:

móvel (1): , = 0j -f cM

móvel (2): 2 = + wst





Subtraindo (1) de (2), vem:

T , 10 30 30


6. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — As duas polias A e B.

de raios rA e rR respectivamente (rA > rK), estão ligadas entre si

por uma correia C. Nestas condições, estando o sistema em movi-mento, teremos:

a) A velocidade linear da polia A é maior do que a da polia B.b) A velocidade linear das duas polias é a mesma.c) A velocidade angular das duas polias é a mesma.d) A relação entre as velocidades angulares é diretamente pro-

porcional à relação entre os raios das mesmas.e) Nenhuma das respostas anteriores.

Resolução: Admitamos que não haja escorregamento e que a correia sejaincxtcnsível, a correia que une as polias tem velocidade escalar cons-

tante c igual à velocidade dos pontos periféricos das polias.

Assim, V,. = V P =Vi* A B O

Para um ponto PA da periferia da polia A temos V,.A—(oArA.



180

Para um ponto PB da periferia da polia B vem V|*It = o)»rB.

Como V,.A= VpB, então wArA= wBrB-

Sendo co — 2;tf, vem:

27rfArA— 27tf«rB fArA— fBrB

Portanto, quanto menor o raio da polia, maior sua freqücncia (número

de voltas na unidade de tempo).


7. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Um ventilador gira à razão de900 rpm. Ao ser desligado, seu movimento passa a ser uniforme-mente retardado até parar, após 75 voltas. O tempo transcorridodesde o momento em que é desligado até sua parada completavale:a) 1s.b) 10 s.C) 100 S.

d) 1 000 s.e) 0.1 s.

Resolução: Como f — 900 rpm, teremos f — 900

900

60

rot

s= 15 s -1= 15 Hz

rot

min

Portanto:

Wo = 2 tz Í Wo = 2r. . 15 Wo = 30^ rad/s

Após ser desligado, o ventilador descreve 75 voltas.

Assim, A<1> — rad A<E — 150z rad

Ao parar, w — 0 rad/s.

Lembrando que o movimento é uniformemente variado, podemos escrever a equação de Torricelli, na forma angular:

w2 = w2 4- 2aA<l> a =0)- 0)7.

2AO-' _ (30tc)- _ 900rv=

2 . 15077 ~~ 300tí

Sendo to = w» + at, teremos:

w — w0 0 — 3(>tc

“ ã —3x:Resposta: alternativa b.

a = —3ti rad/s2

t



1. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA Um ponto material, animado deum movimento circular uniforme, descreve um ângulo de 45° em 2/3 de

minuto. Nessas condições, a velocidade angular desse ponto é de:

a) rad . s“ 1.4

b) 160^ rad . s-1.

c) —— rad . s“ 1.160

d) lOnrad . $->.

c) — rad . s-1 .10

2. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA O ponteiro dos segundos de umrelógio executa um movimento circular uniforme. Pontos diferentes doreferido ponteiro terão em comum:a) a aceleração.

b) a velocidade angular.c) a velocidade escalar.

d) a energia cinética.c) o produto da aceleração pelo raio.

3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Em relação ao movimento circularuniforme, é correto afirmar que:a) o vetor-velocidade é constante.

b) o vetor-aceleração é constante.c) a aceleração é centrífuga.d) a velocidade escalar varia linearmente com o tempo,

c) a velocidade escalar angular é constante.4. UNESP — Uma polia efetua 10 revoluções em r. segundos. Julgar as afir

mativas:(1 ) 0 ângulo de rotação da polia é de 20 rad.(2) A freqüência de revolução da polia é necessariamente invariável.(3) A velocidade angular média da polia c de 20 rud/s.



182

5. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Um satélite gravita em torno dc um planetade 6,0 . I0:<km de raio, descrevendo uma órbita circular estável a 1,0 . 105km de altura. Se o seu período c de 2.0 anos, qual será o valor da aceleração comunicada ao satélite pelo planeta?a) Nulo.

b) (1/28) . IO-» km/ano2.c) 9,8 . 10a km/ano2.d) 69 . 10* km/ano2.e) Faltam dados para resolver o problema.

6. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA A rotação das palhetas de um liquidificador é mantida constante. O gráfico que descreve a velocidade escalarV dos pontos das palhetas em função dc suas distâncias r ao eixo de rotação é:

7. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um satélite está em órbita circularem torno da Terra. Desta situação, afirma-se que:

I) o vetor-velocidade c constante.II) o período é constante.

III) o vetor-aceleração é constante.

Destas afirmações, está (estão) correta(s):

a) apenas II. b) apenas III.c) apenas I c II.d) apenas I c III.e) I, II c III.



183

N. FUNDAÇÃO CARI.OS CHAGAS — Que grandeza física, no SI, temcomo unidade dc medida s - :? (s c abreviação de segundo.)a) Tempo.b ) Aceleração.c) Velocidade.d) Comprimento,c) Freqiicncia.

MEDICINA DA SANTA CASA — Qual dos gráficos abaixo melhor representa a velocidade angular de um movimento circular em função da fre-qüência?

10. PUC (CAMPINAS) — Um ponto material executa um movimento circular, percorrendo arcos iguais cm tempos consecutivos e iguais, por pequenosque sejam. O movimento é:a) uniforme c periódico.

b) uniformemente variado.c) periódico mas não uniforme.d) Nenhum dos citados (variado e uniforme),c) Nenhuma das respostas anteriores.

11. PUC (CAMPINAS) — Os pneus de um automóvel tem circunferências de2,10 m. Se o pneu efetua 240 rpm, a velocidade do automóvel é de:a) 2,10 m/s.

b) 8,40 m/s.c) 26,0 m/s.d) 16,8 m/s.e) 2-,6 m/s.

12. INATEL Calcular a velocidade angular, em radianos/segundo, dc umeixo de motor de automóvel que gira a 3 600 rpm.

13. FEI-MAUÁ — Um sarilho mecanizado está girando a 60 rpm. Qual é avelocidade de descida dc um corpo que está preso à extremidade de umacorda ligada a esse sarilho? (O diâmetro do sarilho é de 0.3 m.)



184

14. MEDICINA DE SANTOS — No instante em que um relógio bate 12 horas,seus três ponteiros estão sobrepostos. Calcular quanto tempo após esse instante pela primeira vez um dos ponteiros forma ângulos iguais com osoutros dois.

a) 59,18 s. b) 60.59 s.

c) 61,89 s.

d) 58,08 s.

c) Nenhuma das respostas anteriores.

15. MEDICINA DE TAUBAT6 — Duas polias de raios diferentes estão conectadas por uma correia. Quando em movimento, serão iguais:

a) as velocidades angulares das duas polias.

b) as velocidades angular e linear de cada polia.c) os períodos das duas polias.

d) as velocidades lineares dos pontos mais externos de cada polia (que tocam na correia).

e) as velocidades vetoriais dc todos os pontos da correia. '

16. FEI — Duas rodas tangenciam-se num certo ponto. Colocando uma delasa girar, esta transmite movimento à segunda. Admite-se não haver escorregamento no ponto dc tangência. Os raios das rodas são R, - r e R, 3r.Dar a relação entre as velocidades angulares oj1 e ü>2.

17. CESGRANRIO — Para um satélite em órbita circular cm torno da Terra,qual (ou quais) das seguintes afirmações é (são) verdadcira(s)?

—>

I) A intensidade dc sua velocidade V é constante.

II) A sua velocidade V é constante.

III) O período de seu movimento orbital é constante.

Assinale:

a) Somente I. b) Somente I e II.

c) Somente 1 e III.d) Somente III.

e) I, II e III.

18. CESCEA — A velocidade angular de uma roda diminui uniformemente de40 rad/s a 20 rad/s em 5 s. Pode-se dizer que a aceleração angular nesteintervalo de tempo é:

a) nula.

b) -0,25 rad/s2.c) —4 rad/s2.

d) 14 rad/s2.e) uniformerr.ente variada.



19. ENGENHARIA DE L.ORENA — A velocidade angular de um motor quegira a 900 rpm decresce uniformemente até 300 rpm, efetuando 50 revoluções. Qual a aceleração angular do motor?a) 2t . rad/s2.

b) 4t . rad/s2.c) 2 rad/s2.d) 3 rad/s2.e) Nenhuma das respostas anteriores.

20. AGRONOMIA LUIZ MENEGHEL — O gráfico abaixo mostra a variaçãoda velocidade angular de um móvel em função do tempo. O deslocamentoangular do móvel, no intervalo de 0 s a 20 s, é de:

a) 400 rad. b) 625 rad.c) 1C00 rad.d) 800 rad.e) 600 rad.

21. FAAP — A equação horária sob a forma angular do movimento circular deuma partícula é 4> = t2 • 6. com ângulo em radianos e o tempo emsegundos. Sabendo-se que a intensidade da aceleração total da partícula é10m/s2, no instante t = 1s. determinar o raio da trajetória circular.

22. ENGENHARIA MAUÁ A roda da frente de um triciclo tem raioR_ = 0,20 m e as duas rodas traseiras têm raios R2 = 0,40 m cada. O triciclo está se movimentando num plano horizontal, sem derrapar, em movimento uniformemente acelerado, com aceleração a = 2,5 m/s2. No instante da observação, sua velocidade é V = 18km/h. Determine a velocidade e a aceleração angulares de cada roda, em relação ao seu respectivoeixo.



186

23. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE — Dois discos giram,sem deslizamento entre si. como se mostra na figura abaixo. A velocidadeescalar do ponto X é 2,0 cm/s.

X

Qual é a velocidade escalar do ponto Y, em cm/s?

a) 1,0 d) 4,0 b) 2,0 e) 5,0c) 3,0

4. (1) E. (2) E, (3) C.

5. d 6. a 7. a 8. e 9. a 10. a 11. b

12. o) — 1207: rad/s

13. V = 0.94 m/s

14. a 15. d

0)2

17. c 18. c 19. b (em móculo) 20. o

21. A trajetória circular tem raio igual a V5m .

o), = 25 rad/sa ‘ = 12.5 rad/s2

<02 = 12.5 rad/sa2* = 6.25 rad/s2

22.

roda dianteira

roda traseira

23. b



ŒUIO

7Lancamenb Vertical e

Queda Livre noVücuo



188

Condições iniciais

O lançamento de um corpo é sempre influenciado pela presençada Terra e do ar. pois a Terra atrai os corpos para sua superfície,enquanto que o ar geralmente dificulta esse movimento.

Faremos o estudo do lançamento vertical e da queda livre nasproximidades da superfície da Terra, admit ndo desprezíveis os efeitosdo ar. ou seja. estudaremos o corpo no vácuo e sempre num mesmo

local.



Aceleração da gravidade

Um corpo abandonado no vácuo, próximo à superfície da Terra,ou arremessado com um certo impulso inicial de modo que nãoatinja grandes altitudes está sujeito a uma aceleração vertical, para

baixo, de intensidade aproximadamente igual a 9,8 m/s2, devido à açãoda Terra (às vezes, para facilidades de cálculo, o valor 9,8 m/s2 éarredondado para 10 m/s2).

1

Tal aceleração é simbolizada por g e é denominada aceleração

da gravidade local. te v=o1

tv,r!

#.Sr i i i . t . - .C \ Iri J L \

corpo corpo • * subindo

*

descendo tí

m juíV MÍM a

MOVIME NTO UNIFORMEM ENTE V ARIADO

subida. MUR: descida MUANas condições iniciais acima mencionadas, teremos:

Se a trajetória do corpo no vácuo for retilínea, seu movimento correspondente será uniformemente variado, com

->>ai = |g .

Referenciais

Dois referenciais podem ser usados no estudo do movimento deum corpo no vácuo:

• referencial orientado para cima:a = —g — —9,8 m/s2

• referencial'orientado para baixo:



190i

Equações

Para o movimento vertical de um corpo no vácuo, as equaçõescorrespondentes serão as do movimento uniformemente variado.

• Lançamento vertical para cima — Orientando o referencial paracima. teremos a = —g.

j V Instante qualquer (t)

v €

f Instante''o I inicial~ A c t = o)

jReferencial -f tr* v

s

__

iK-M

Assim:

S S.j -f- V<it — — gt*2

V - V , - gtV2 - V2 - 2gAS

Na solução de p-oblemas.geralmente adota-se para g o valor I0m /s*, bem como S» = 0.quando o ponto de lançamentofor admitido como origem.

Portanto, as equações dolançamento vertical serão:

S - V „t---

— gt22

v — Vo •- gt

V2 ~ Ví - 2gS



• Queda livre — "Queda livre"é uma simplificação da expres

são “queda livre das influências

de outros fatores que não sejaa atração da Terra".

Adotado o referencial orientado para baixo, teremos a — — g.

Para S,> = 0, vem:

S — Vmí + — yl"2

V ~ Vo - gt

V» ■- Vo I 2gS

Quando o corpo é abandonado a partir do repouso, teremos:

V — gtV- ^ 2gS

Casos particulares (para lançamento a partir do solo)

• Tempo de subida — No lançamento vertical para cima, umcorpo levará um tempo t» para

atingir o ponto mais alto da tra

jetória. Nesse instante, sua velocidade se anula.

Assim, podemos concluir

•v»r

Importante: No ponto mais alto da trajetória o corpo terá velocidadenulu mos sua aceleração não se anulará nesse instante. Portanto,o corpo não estará em repouso, e sim parado instantaneamente.

Ou seja:Ponto mais alto V — 0

da trajetória a — —g = —9.8 m/s2



• Altura máxima — Um corpolançado verticalmente para cimaatingirá sua altura máxima quando a velocidade se anular.

Ou seja:

S - H„,ix <=> V ~ 0

Sendo V2 = V,2, — 2gS,

então 0 = M- — 2gHta** =>

2g

• Tempo total — Um corpo é

lançado verticalmente para cima,a partir de um ponto adotadocomo origem.

Quando retornar ao ponto de

partida, temos:

t = tr <=> S - U

Sendo S = V<>t-----— gt1,2

vem: 0 = V ..tT------— gú =>2

( v o ---- l - 0 t T) = o = >1) tr — 0 (instante do lançamento)

1 2V„' 2

2 9

VoComo t* = ----- - podemos calcular 0 tempo de descida do corpo:

9

t, -f- td — tr — ta — tT — t, —>

2Vo V„ V«

= > td = ------------------- ----------

= >g g g

Conclusão: O tempo de subida gasto por um corpo em lançamento vertical é igual ao tempo de descida correspondente ao mesmomovimento, livre das influências do ar.



• Velocidade de chegada —Quando o corpo retornar ao ponto de partida, teremos a velocidade de chegada do movimento.

Assim: V —Vc. <=> S — 0

Sendo V2 = V* — 2gS. então:

v í = v í —2g . o => v; = Vn =>

(movimento desenvolvido contrao sentido do referencial)

if j f j i Conclusão: O móvel retorna ao ponto de partida com uma velo-cldnde cuja intensidade é igual à da velocidade de lançamento.

Resumindo:(móvel lançado do solo e retornando ao ponto de lançamento)

Altura máxima

Volocidade de , V = Vc

chegada h = 0

Tempo do

aubida

X = U

V = 0



Tempo total 11 = tr

de movimento 1S — 0

Tempo de Vo

descida g

Gráficos horários

Os gráficos horários referentes a um lançamento vertical

para cima. no vácuo, podem sermais facilmente obtidos atravésde um exemplo.

Suponhamos que um corpoé lançado verticalmente paracima. no vácuo, com velocidadeinicial Vo = 20 m/s. num localonde g — 10 m/s2, a partir deuma origem no solo.

Assim, orientando o referencial para cima, temos:

S = 2 0 t-----— . 10t" =>2

S - 20t - 5t-

Também podemos escrever

V - 20 - 10t ■

Obteremos, então, os gráficos S X t, V X t e a X t, aolado ilustrados.



Observe que:

HinixVo 20*

2g2 .

f — Vo 20 —^

g 10

tr — 2V0 2 20

9 10

• Vc = - V o = - 2 0 = >

400

20H ,õx — 20 m

tu ——2 s

4 s

V e = 20 m/s

Movimentos combinados

Seja um corpo (1) lançado verticalmente para cima a partir da

origem do referencial. Nesse mesmo instante, outro corpjo (2) éabandonado do repouso, indo chocar-se com (1) após um tempo t*.

------------- * j (2)

_________

0 1 2 )* J b d )

s, s,.

Podemos, então, escrever:

1móvel (1):t Si — V0lt gt::

móvel (2): S* = So..--------gt*2

No encontro, teremos Si = S .

1Logo: V„,te

Vo, te = S

gt; — s

»2



Um balão que possui a velocidade ascendente de 10 m/s, aopassar pela altura de 50 m. larga um corpo de 8,0 kg. De acordo

com esse enunciado, resolver as três questões a seguir:1. MEDICINA DE SAN~0 AMARO — O tempo gasto para o corpo

atingir o solo foi de:a) 4.3 s.b) 1.0 s.c) 3.3 s.dj 8.6 s.c) Nenhuma das respostas anteriores.

Resolução: Inicialmente, deve-

mos admitir que o movimentodo corpo estará livre das in-fluências do ar.Observe que a massa do corponão terá nenhuma participaçãona solução do problema, pois,no vácuo, todos os corpos sub-metidos apenas à atração daTerra se movimentam com amesma aceleração.

Enquanto o corpo estiver presoao balão, terá movimento reti-líneo uniforme.

No instante em que cie se desprender do balão, passará adescrever um lançamento ver-tical para cima, com as seguin-tes características:• S„ = 50 m• V„ = 10 m/s (velocidade

que tinha por estar preso ao balão)

• g = 10 m/s2 (admitido)



197

Assim, orientado o referencial para cima com origem no solo, podemosescrever:

S = So -f V0t ------ — gt2 = 50 + 10t------— . 10t- = >

2

2= > S = 50 -h 101 — 5t2'

Ouundo o corpo retornar ao solo, S — 0.

Logo: 5t8 — 10t — 50 = 0 = > t* — 2t — 10 = 0 =>

2 ±6,6 í 1)11^4,3 51

2 II) t a —2,3 s (nâo convem fisicamente)t

Conclusão: O corpo retorna ao solo aproximadamente 4,3 s após aban

donar o balão.


2. MEDICINA DE SANTO AMARO — A distância percorrida pelocorpo foi de:

a) 60,0 m. b) 92,5 m.c) 54.5 m.

d) 36.9 m.e) Nenhuma das respostas anteriores.

_ áÊk. v = o .Resolução: Lembrando que

H„V?,

temos:2g

Hui«* — I02

2 . 10

= 5

Hnl«* = 5 m

De acordo com a figura, podemos

escrever d — |Hmi*| -f- ASa', onde

lASdl = So + Hmixl = 50 + 5 =55 m.

Então: d = 5 -f- 55 = >


cl = 60 m

AS

3. MEDICINA DE SANTO AMARO — A velocidade do corpo ao cheqarao solo é de:

a) 43 m/s.b) 10 m/s.c) 33 m/s.

d) 86 m/s.




198

Resolução: Ao chegar ao solo, o corpo terá S = 0.

Assim: V2 = Vo — 2g(S - S 0) = > V‘ = 102 - 2 . 10 . (0 - 50) = >

= > Vc2= 100 4- 1 000 => v;’ rrr 1 100 =>

O sinal menos (—) indica que o movimento c desenvolvido contra aorientação do referencial adotado.

Admitindo que o enunciado se refira à intensidade da velocidade dechegada, teremos Vc s* 33 m/s.


V, - -3 3 m/s

4. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Sabendo que um projétil foi im

pelido verticalmente de baixo para cima com velocidade de250 m/s. qual a altura atingida pelo projétil?

a) 25 m bO 250 mcj 3 125 md) 8 375 me) 9 375 m

5.

Resolução: Lembrando que para o

sistema de referência indicado na

figura H„Võ

2g-, então:

H(250)* _ 62 500 _ Hnit

2 . 10 20

=> Hmá* — 3 125 mv

Resposta: alternativa c ____

( r~So

V = 0

Referencial

PUC (SÃO PAULO) — Um projétil é atirado verticalmente de baixo para cima com velocidade Vo —25 m /s. Uma pessoa situada a30 m de altura vê o projétil passar na subida e. após um intervalodo tempo At, o vê voltar. Desprezando a resistênc ia do ar c su pondo a aceleração local da gravidade 10 m /s'2, o tempo At decorrido entre as duas observações foi de:

a) 0.5 s. b) 1.0 s.c) 2.0 s.d) 2,5 s.e) 3,0 s.



- * í r \ r 199

Resolução: Orientando o referencial verticalmente para cima a partirdo ponto de lançamento, teremos:

S,j r 0 m

V<, — 25 m/s

a = —g — —10 m/s2S = 30 m

Assim: S — Sn V0t - f —2

at21

10t2

5t2 - 25t -j- 30 = 0 t2 — 5í

I

1

30 = 0 + 25t - —

m—K"I ts = 3 sPortanto, o móvel passará pelo

observador durante a subida(instante 2 s) c durante a des

cida (instante 3 s). gastando

para isso um intervalo de tem po At = 3 — 2 = I s.

Logo: ! At — 1 s


6. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um nadador pula verticalmentede um trampolim de 10 rn de altura. Ao atingir a água, sua velocidade é dc. aproximadamente:

a) 20 km/h.b) 50 km/h.c) 58 km/h.d) 60 km/h.e) 72 km/h.

Resolução: Orientando o referencial para baixo, a partir dotrampolim, poderemos escrever:

•= 0 So = 0 m

S = 10 m

a = -f-g = + 1 0 m/s2

V|, r 0 m /s

Portanto:

V2 = V,; + 2a(S - So) = *V2 = 0 + 2 . 10 . ( 1 0 - 0 )= > V2 = 200 =>

__ = > V = 10 \ Í2 m/s = >

= > V sí 14 m/s\



200

Como 1m km

3,6 --------- , decorre:

V 5- 50 km/hm

V = 14-----

= 14 . 3,6 =s


7. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Um corpo em queda livre, partindo co repouso, percorre certa distância d vertical após 2 segundos de queda. Logo, a distância percorrida em 6 segundos,contados desde o início da queda, será igual a:a) 9d.

b) Gd.c) 12d.d) 2d.e) 3d.

Resolução: Orientando o referencial verlicalmentc para baixo, pode

mos escrever:

S = So -f V0t -r — gt2 ==>2

=> S —So= V0t-f- — gt2==>2

= > AS = V,,t + ~ gt2

Como o corpo é abandonado,

Vo = 0.

1

— gl*-

IAS

Portanto: AS —

Para t = 2 s, AS = d.

Logo, d = — g . 222

Referencial

AS

g = ---- (D2

IPara t = 6 s, AS’ ---- g . 6a = > AS’ = ---- g . 36 =

=>AS’ = 18g (2)

Substituindo (1) em (2), vem:

AS’ = 18 [ AS’ = 9d




'i& n d â m 201

8. PUC (SÃO PAULO) — De um helicóptero que desce verticalmenteé abandonada uma pedra quando o mesmo se encontra a 100mdo solo. Sabendo que a pedra leva 4 s para atingir o solo e su-pondo g = 10m/s2, a velocidade de descida do helicóptero, no

momento em que a pedra é abandonada, tem valor igual a:a) 25 m/s.b) 20 m/s.c) 15 m/s.d) 10 m/s.e) 5 m/s.

Resolução: Desprezando as influências do ar e adotando um referencial

vertical orientado para baixo com origem no ponto em que a pedra

foi abandonada, podemos escrever:S = 100 m

S0 — 0 m

Vo = VMa = 4-g = 4-IO m/s*

t = 4 s

Logo, sendo S = S0 -j- V0t •

1

2

9

' I

+ at2= > 100 = 0 4-

Vm . 4 + ---- . 10.4*

1

201liei

Vw — 5 m/s


9. ENGENHARIA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS — Um corpo cai emqueda livre percorrendo a primeira metade de sua trajetória em1 s. A trajetória inteira será percorrida em:a) 2 s.b) (1 + 0.5) s.c ) V2s .

d) 1V"2

s.




202

Resolução: Adotando o referencial vcrticalrncnte orientado para baixo,ccm origem no ponto onde o corpo foi abandonado, teremos:

V0 = 0 m/s, S„ = 0 m e a = -f g = -4-10 m/s2

Logo, S = — gl2.

Para a primeira metade da trajetória, teremos:

S '= — . 10 . 12=52

S’ = 5 m

Como S = 2S\ teremos S = 10 m.

Para a trajetória toda, vem:

1 2S = — gtT2

10 = — . 10tr2

Origem

tv — V 2 s

Referencial

?

$


10. CESCEA — Do alto de um edifício abandona-se uma pedra noinstante exato em que, do solo, lança-se outra pcd'a. vert ca lmente. com velocidade inicial apenas suficiente para atingir otopo do edifício. As duas pedras devem se cruzar a uma altura,medida a partir do solo, equivalente a:

a) 75% da altura do edifício.b) 25% da altura do edifício.c) 60% da altura do edifício.d) 50% da altura do edifício.e) Nenhuma das anteriores.



203

Resolução:

• Cálculo da altura do edifício:

A pedra lançada do solo (pedra 2) terá altura máxima h equivalente

à altura do edifício.Assim, orientando o referencial verticalmente para cima a partir

VÍdo solo, teremos h

2g(D-

• Função horária da pedra 1:

Podemos escrever ht = h(l -f- V0 t — -i— gt2,i i 2

onde h0l = h e V0l = 0.

Logo, hi — h — — gt2.2

Substituindo (1), vem hiVõ

2g• Função horária da pedra 2:

---- gt* (2).2

1Podemos escrever h2 h0 -f- V„ t —

---- gt2.2 2 2

Observando que V0 _ V0 e h(. = 0, temos:

h2 — V0t ------ — gt2 (3)2

• Kncontro das pedras:

No encontro, hi = h2.

De (2) c (3), vem v í

2g1

gt* = V0t

V*

2

= V0t

gf 2g

V,

2gSubstituindo em (2), temos:

• Vo 1hi = -----------------g

2g 2

v í

4g2 2g

V.. Võ . 3=> h, = ----

H

_V^

2g



204

Lembrando queVo

2gh, vem ht = h, = 75%h


\1. MEDICINA DE POUSO ALEGRE O vulcão Sangay, no Equador, é o

mais turbulento da Terra. Ele é capaz de projetar lava a uma altura de12,5 km. A velocidade com que a lava sai do vulcão deve ser da ordem de(despreze as variações da aceleração da gravidade com a altitude):a) 1.8 . 108 km/h. d) 140 km/h.

b) 25 . 104 m/s. . c) 16 km/h.

c) 500 km/h.

2. MEDICINA DE POUSO ALEGRE" Uma bola é lançada para cima comuma velocidade do 20 m/s (g = 10 m/s2). Indique a afirmativa errada(despreze a resistência do ar):

a) A bola atinge uma altura de 20 m. b) No ponto mais alto a velocidade da bolac nula.c) No ponto mais alto a aceleração da bola é nula.d) A bola retorna ao ponto de partida com uma velocidade de 20 m/s.c) A bola volta ao ponto de partida depois de 4 s.

3. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma bola é lançada ver-ticalmente para cima com velocidade V„ e retorna ao ponto de partida apósT segundos.Desprezando a resistência do ar. indique o gráfico que, mais propriamente,representa a velocidade (V) da bola cm função do tempo (t):



205

4. ENGENHARIA DE SANTOS — Lança-sc um corpo verticalmente paracima. No instante cm que ele pára:

a) é nula a velocidade do móvel. b) é nula a aceleração do móvel.

c) é nula a força que age no móvel.d) é nulo o impulso no móvel.e) Nenhuma das alternativas anteriores é correta.

5. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um projétil é lançado verticalmente para cima com a velocidade de 200 m/s. A velocidade vetorial média de pois que o projétil atinge novamente o solo é de:

a) 4.00 m/s. b) 200 m/s.c) 100 m/s.

d) 0 m/s.e) Nenhuma das anteriores.

6. MEDICINA DE SANTO AMARO — Em relação ao teste anterior, a distância total percorrida pelo projétil foi de:

a) 0 m. b) 2 000 m.c) 4 000 m.d) 8 000 m.c) Nenhuma das anteriores.

7. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO Um morteiro lança uma granada, verticalmente, com uma velocidade inicial de 400 m/s. Desprezando--sc a resistência do ar e sendo a aceleração local da gravidade igual a10 m/s-, podemos concluir que a altura máxima alcançada pela granada,cm metros, é de:

a) 12 000. d) 4 000. b) 10 000. e) 6 000.c) 8 000.

8. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — Em relação ao problema anterior, o tempo que a granada leva para atingir a altura máxima, cm segundos,é de:

a) 20. d) 40. b) 10. e) 50.c) 30.



206

9. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Em uma experiência de laboratório veri-ficou-sc que a velocidade de lançamento de um corpo, para que este atingisse uma cena altura, era V, quando lançado verticalmente. Um alunorepete a experiência, porém imprime ao corpo uma velocidade 2V c concluique, ão atingir a mesma altura do primeiro ensaio, o corpo tem velocidade:

a)

b) V.

c)

C)V3V.

10, CESCEA — Um foguete com combustível próprio sobe vcrticalmcntc comvelocidade constante até uma altura h. quando termina o combustível; daí,

cai livremente. Qual dos gráficos representa melhor o espaço percorrido(S) pelo foguete cm função do tempo (t>?


11. MAPOFEI — Um tijolo cai, de um prédio em construção, de uma alturade 20 m. Qual a velocidade do tijolo ao atingir o solo? Quanto tempogasta na queda? Desprezam-se as resistências opostas pelo ar ao movimento.(Adotar g = 10,0 m/s2.)

12. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — De uma ponte deixa-se cairuma pedra que demora 4 s para chegar à superfície da água. Sendo a acele

ração local da gravidade igual a 10 m/s-, pode-se concluir que a altura da ponte, em metros, c de:a) 40. d) 90.

b) 80. , c) 60.c) 110.

r-



207

13. MAPOFEI — Ã altitude de 20 m abandona-se uma bola de chumbo cmrepouso. Adotar g = 10 m/s2. Com que velocidade a bola atinge o solo?

14. MEDICINA DE ITAJUBÁ Um corpo em queda livre caiu de umaaltura h. Se ele partiu do repouso, qual será sua velocidade após ter per-

corrido ——h?3

a)fib

2 d) Vn -gh

b)3 íh e ) vr \

-gh

c) 4 - 8h

15. CKSGKANRIO — Você deixa cair, a partir do repouso, urna bilha de açodo uma altura h,. c mede um tempo t, ate que ela atinge o solo. De quealtura ha você deve deixar cair esta bilha, também a partir do repouso, paraque o tempo de queda seja 2tt?

u) ha = 2hj

b) ha = 4hx e) h... = \ f l hj

16. UNIVERSIDADE DO PARA Um balão desce, verticalmente, comvelocidade constante; à altura de 100 m, um objeto desprende-se do balãoe atinge o solo após 4 s. A velocidade de descida do balão, considerandog = 10 m/s2, é de:a) 5 m/s. d) 10 m/s.

b) 25 m/s. c) 9 m/s.

c) 15 m/s.17. MEDICINA DE TAUBATÉ — Um pára-quedista, quando a 120m do

tolo. deixa cair uma bomba. Esta leva 4 s para atingir o solo. Qual a velocidade dc descida do pára-quedista? (g = 10 m/s2)k ) 1m/s d) 8 m/s

b) 2 m/s c) 10 m/sc) 5 m/s*

*M. UNIVERSIDADE DO PARÁ — largamos um corpo de uma altura dc

l-M m. Queremos dividir a altura de queda cm duas partes tais que sejam pcicorridas em tempos iguais. Supondo g 10 m/s2, podemos di/cr que»»» partes serão iguais a:«) 25 m e 119 m. d) 44 m c 100 m.

b) 2Hm c 116 m. ç) 72 m c 72 m.u) .16 m c 108 m.



208

19. CESGRANRIO — A laje do tetode uma sala deixa gotejar águada chuva, caindo as gotas comfreqüência constante.Uma fotografia instantânea mos

tra que as distâncias entre trêsgotas consecutivas são. respectivamente. 30 cm e 50 cm (ver figura).Concluímos que. desde que aresistência do ar seja desprezível,a gota que caiu antes da gota (1)se encontra, abaixo desta, a urnadistância de:a) 50 cm.

b) 70 cm.

c) 20 cm.

20. CESCEA — Um menino solta uma bola de gude de um apartamento auma altura h do solo. A bola, logo após chocar-se contra o solo, retornacom uma velocidade 20% inferior à que tinha imediatamente antes do choque. A máxima altura atingida pela bola será de (desprezar a viscosidadedo ar):

1 20a) ----- h. d) ----- h.

10 25

b) — h.0

e) h.

c) — h.25

CESGRANRIO — Uma pequena bola de borracha (elástica) cai vertical-mente a partir do repouso, bate numa superfície dc aço horizontal, onderepica, etc. Desprezando a resistência do ar. qual dos seguintes gráficosmelhor representa a velocidade da bola em função do tempo?

(3)

( 2)

30 cm

(1)'

50 cm

d) X0 cm.e) 40 cm.



209

22. UNIVERSIDADE DO PARÁ Duas bolas são lançadas, simultaneamente, de uma mesma altura 11, com velocidades verticais Vx e Vs: uma

para cima e outra para baixo. Desprezando a resistência do ar e sendoV, = V2 V, o atraso na chegada de uma das bolas ao solo, relativamcntc à

outra, é:a)

b)

c)

2V

Í5V2

8

H

V

d)

e)

2V2

g2H

Vg

2.%, AM AN — Considerando-se que a velocidade do som no ar é de 320 m/s,deixa-se cair uma pedra em um poço. ouvindo-se o som do choque contraO fundo 4,25 s após a pedra ter sido solta. A profundidade do poço é de:u) 35 m. d) 75 m.

b) 52 m. c) 80 m.c) 60 m.

24. I I A — Cinco bolinhas de aço estão presas por eletroímãs ao longo de umareta r de equação y = kx. As bolas estão em posições cqüidistantcs. tais qued 0.5 m. Uma bolinha () pane da origem ao longo de x (mesa horizontal

icm atrito) com V = 2 m/s, constante, no mesmo instante cm que todas asoutras são desligadas dos eletroímãs. Assinale abaixo o valor de k para queO se choque com a bola n.° 4. (Usar g = 10 m/s-.)

•») 0.621») 1,25o) 1,87



210

25. PUC (SAO PAULO) De cois ponto? A e B situados sobre a mesma vertical, respectivamente a 45 m e 20 m do solo. deixa-se cair, no mesmoinstante, duas esferas. Uma prancha se desloca no solo horizontalmcntc,com movimento uniforme. Observa-se que as esferas atingem a pranchaem pontos que estão a 2 m de distância um do outro. Nessas condições,supondo g = 10 m/s- e desprezando a resistência do ar. podemos afirmarque a velocidade da prancha, em m/s, é de:a) 2. d) 1.

b) 3. e) 2,5.c) 4.

26. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Uma partícula é lançada verticalmente, no vácuo, com velocidade inicial V0. Como se sabe, sua velocidadedecresce continuamente di.rante a subida e cresce continuamente durante

a descida. Julgar as afirmativas, indicando se estão certas ou erradas:a) O vetor-aceleração da partícula é o mesmo na subida e na descida. b) Em cada ponto da trajetória o vetor-velocidade da partícula tem a mesma

intensidade na subida e na descida.c) Na descida, ao passar no ponto onde foi lançada, a intensidade do vetor-

-velocidade da partícula é V0 e seu vetor-aceleração é igual àquele notopo da trajetória, onde sua velocidade é nula.

d) O tempo gasto na subida é maior que o gasto na descida.

27. IN ATEI. — Atira-se verricalmente uma bola de forma que, ao fim de 4s,retorna ao ponto de partida. Calcular a velocidade iniciai com que foi lançada. Admitir g —10 m/s2.

28. IME — Um projétil é lançado verticalmente do solo com velocidade inicialde 200 m/s. A uma altura II a carga do projétil explode; o ruído da ex plosão é recebido no solo 15 s após o lançamento. Despreze a resistênciado ar e use os valores de 10 m/s2 para a aceleração da gravidade c de300 m/s para a velocidade do som. Calcule:a) o intervalo de tempo entre o lançamento e a explosão.

b) a altura em que se deu a explosão.29. FUVEST — Duas bolinhas são lançadas verticalmente para cima, a partir

dc uma mesma altura, com mesma velocidade inicial de 15 m/s mas comintervalo dc tempo dc 0.5 s entre os lançamentos.a) Dcsprc/ando a resistência do ar, faça, num mesmo sistema de eixos, os

gráficos da velocidade em função do tempo para as duas bolinhas. Indique nos eixos as unidades dc medida.

b) Qual o instante etn que as alturas das duas bolinhas coincidem? Justifique.

30. EA AP — Do topo de um edifício deixa-se cair, a partir do repouso, uma pedra que leva 2 s para atingir o solo. Supondo que a aceleração da gravidade do lugar seja 10 m/s2, pedem-se:a) a velocidade com que a pedra atinge o solo.

b) a altura do edifício.



31. MAP0FE1 — De uma ponte de altura h = 20 m, um menino deixa cairuma pedra com a intenção de atingir uma lata flutuante. A correnteza temvelocidade V = 3,0 m/s. A que distância da vertical pela pedra deve situar-se a lata no instante da iargada? Admitir g —10 m/s2.

32. MAPOFE1 — Um elevador desce com velocidade V0 = 2,0 m/s, quandoo cabo sc rompe. Qual a velocidade após queda livre h = 0,25 m? Admitirg = 10 m/s2.

33. ITA — Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que, durante oúltimo segundo de queda, ele percorre 1/4 da altura total. Calcular o tempodc queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo.

a)1

----------s2 —y7

b)

c)

t _ 2

2 + v'7

2t =

2 - y T

s

s

d) t =3

2 — \ÍJ

43 —yT

1 ii 2. c 3. a 4. a 5. d 6. c 7. c 8. d 9. e 10. c

11.V 20 m/s: t = 2.0 s.

\J li 13. V 20 m/s 14. e 15. b 16. a 17. e 18. c 19. b 20. c 21. a 22. a

21 n 24. d 25. o

J n •) C b) C; c) C; d) E.

27. V0 - 20 m/s

28. •) At 10 s;

bj II 1500 m.



212

b) As alturas das duas bolinhas coincidem 1.75 s após o ançamentoda 1.* bolinha.

30. a) 20 m/s:

b) 20 m.

31. d - 6 m

32. V = 3 m/s

33. C





Introdução

Uma mosca voa do chão de um carro até seu teto enquanto oveículo se desloca sobre uma estrada.

Conhecendo as características do movimento da mosca em re-ação ao carro (MOVlll/c) e as características do movimento do carro

em relação ao solo (MOVc/J , desejamos determinar as características

do movimento da mosca em relação ao solo (MOVm/J .

Análise do vetor-deslocamento

Observando o esquema abaixo, podemos escrever:



' ï ; l= -215

Ar d/* — Ar:;i/c ■" à r t.h onde<

r Ar„,/i é o vetor-deslocamento da mos

ca em relação ao solo.

—>

Arinícé o vetor-deslocamento da mosca em relação ao carro.

v

—7Arc/J é o vetor-deslocamento do car

ro em relação ao solo.

Análise do vetor-velocidadePara os vetores-velocidade podemos escrever:

Vm/t é o vetor-velocidade da mosca

em relação ao solo.

= V»/i -r V ,/w onde <Vm/C é o vetor-velocidade da mosca

em relação ao carro.

Ví/S é o vetor-velocidade do carro em

relação ao solo.

Análise do vetor-aceleração



Jll/ • : V-n/c — Yc/s

"4

^ Tm/s é o vetor-aceleração da mosca em

relação ao solo.

—>

r m-c é o vetor-aceleração da mosca em

onde < ,• .relaçao ao carro.

Tf/* é o vetor-aceleração do carro em

v relação ao solo.

_____________________ _________________________________________________________

Esta relação somente é válida se os corpos envolvidos descreverem

movimento de translação

Em caso de rotação, uma terceira parcela será acrescentada no segundo

membro da igualdade (aceleração de Coriolis).

Tâdicionalmente, dá-se o nome de movimento relativo ao movimento da mosca em re ação ao carro; de movimento de arrastamentoao movimento do carro em relação ao solo; e de movimento absoluto

ao movimento da mosca em relação ao solo.

Ou seja:M O V m / c — movimento relativoMOV./»movimento de arrastamentoMOVni / h movimento absoluto

Aplicações

A teoria discutida pode ser aplicada nos seguintes casos:

• Determinação dos elementos vetoriais associados ao movimento

de um passageiro que se desloca no interior de um trem.



/> ^ v 217

• Determinação da velocidade de um barco em relação às margens,conhecendo a velocidade do barco em relação às águas e a das águasem relação às margens.

/ - ■ f f ?

*• u ; r i ® % % . Jk — 5c

MmVelocMade^ rftr bSfSíPéro relação ^

$ ò água;

Velocidade :ia

C - w r : '

Velocidadedo barco em

relação à margem.

\*e -.x-VelocdScfe <io barcok1 em relação à água.

Velocidade-----------uJaJjgua.

Velocidade do ba^çoem relação à margem.

• Determinação da velocidade das gotas de chuva que caem verticalmente em relação a um observador que caminha horizontalmente.

Lr



218

• Determinação da velocidade de um avião em relação ao solo,conhecendo a velocidade do avião em relação ao ar e a do ar (vento)em relação ao solo.

• Determinação da velocidade dos aviões que decolam de um porta-•aviões que se move em relação ao mar.

• Determinação da velocidade da Lua em relação ao Sol. conhecendo a velocidade da Lua em relação à Terra e a da Terra em relação

ao So I.

Lua

Terra V



----------

• Aná ise do movimento de uma carga transferida de um local paraoutro, quando ela é elevada verticalmente ao mesmo tempo em queó transportada lateralmente.

Generalização

A ilustração abaixo esquematiza o raciocínio necessário paraestudar o movimento de um corpo A em relação a vários referenciais(B. C. D e E): ^ ^

* © ^ ©

O %

©

©Para a velocidade, por exemplo, teríamos:—> —> —> —> —>VA/D -f- Vb / c ■+■Vc / d -f- Vd / e = Va / e

Princípio da Simultaneidade (Galileo)

Para a solução de exercícios que envolvam a variável tempo,devemos nos lembrar do Principio da Simultaneidade, enunciado porGalileo Galilei:

"O movimento de um corpo pode ser imaginado como a composição de outros movimentos realizados separadamente c ao mesmotempo".



220

1. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS — Um barco a motor, desenvol-vendo toda a potência, sobe um rio a 20 km/h e desce a 48 krn/h.Qual a velocidade das águas do rio?

a) 18 km/h d) 14 km/hb) 28 km/h e) Nenhuma das anteriores.c) 10 km/h

Resolução: Sendo \ \ / u = velocidade do barco em relação às águas,

—> —>V./t = velocidade das águas cm relação à terra e Vb/t = velocidade do

barco em relação à terra, vem: —>Vb/i — Vi,/# -j- Va/t.

Barco descendo o rio

y b/e Ve

"T1 b,t

Barco subindo o rio

Observando os esquemas acima, concluímos:

barco descendo o rio: Vb/rt = Vb/a + V*/t = > 48 = Vh/a -f Va/t (i)

barco subindo o rio: Vb/t = Vb/a —Va/t = > 20 := V*,/« — \ \ / t (2)

Somando (1) e (2), vem 68 = 2Vb/„ = Vb/4 — 34 km/h

Substituindo em (1), temos: Va t — 48 — Vb/a = > Vu/L 48 — 34

VH/, — 14 km/h




/ V ^ 221

2. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Um barco atravessa um rio. seguindoa menor distância entre as margens, que são paralelas. Sabendoque a largura do rio é de 2,0 km. que a travessia é feita em 15.0min e que a velocidade da correnteza é de 6.0 km/h, pergunta-se:Oual a intensidade da velocidade do barco em relação às águas?a) 2,0 km/h d) 10 km/hb) 6,0 km/h e) 14 km/hc) 8,0 km/h

Resolução: Sendo. Vb/, s= velocidade do barco em relação às águas,

—* —►V,/t = velocidade das águas cm relação à terra c Vb/t = velocidade do

barco em relação à terra, vem: t*/1 — ^h/t "f" */l-

O barco vai atravessar o rio, perpendicularmente às margens, com

movimento retilíneo uniforme.

1Sendo L = 2,0 km e t = 15,0 min — ------h, vem:

4

Observando a figura, podemos escrever:

vf/H- v ;/t + Vb/t => vb2/t = 62+ 82= 36 + Ó4

Vb/4 = 100 Vt/a — 10 km/h Note que, para atravessar o rio perpendieularmente às margens, o barco

deverá inclinar-se de modo a formar um ângulo a cm relação à sua pretendida trajetória.

Podemos, então, escrever:

V./ , 6 . . 30,75 = > a - 37a |

V '

tga =8

tg a — 4





223

lloioluçfio: Sendo VA/, = velocidade do avião em relação ao ar, V„/f =—*

velocidade do ar cm relação à terra c VA/t = velocidade do avião

em relação à terra, temos:

VA/t — VA/â -f- Va/t

V v i = VAA + V~/, - 2 . VA/â . Vn/t . cos 120° =>

-> = 3002 -J- 60*’ — 2 . 300 . 60 . ^-----l — ) =>

>V Í/t = 90 000 4- 3 600 -f 18 000 = 111 600 =>

>V j/t = 111600 = > ! VA/t - 334 km/h

Kcspn.sta: alternativa a.

O enunciado abaixo refere-sc às questões 4 e 5.Um carro move-se a 80 km/h sob uma tempestade. Seu moto-rlnta observa que a chuva deixa, nas janelas laterais, marcas incli-nndns que formam um ângulo de 80* com a vertical. Ao parar ocurro ele nota que a chuva cai verticalmente. São dados ainda:Non 80° = 0.98 e cos 80° — 0.17.

4 Ml DICINA DA SANTA CASA — Supondo constante o valor davolocldade de queda da chuva, pode-se afirmar que esse valord. em relação ao carro parado, mais aproximadamente igual a:ii) 82 km/h. d) 14 km/h.b) 80 km/h. e) 10 km/h.C) 78 km/h.



224

— >

Resolução: Sendo V a/t = velocidade do automóvel em relação à torra, —» _ —*

Vc/a = velocidade da chuva cm relação ao automóvel e Vo/t = velo-

cidade da chuva cm relação à terra, temos:

VcA = Vc/. + V./,

Da figura, vem:

V

Vc /t

= tg 80° => vc/«

V,yi ~ 14 km/h

V>/t ___ «o_

tg 80° 0,98

0,17

80

5,7a 14 =>

Ouando o carro parar, a velocidade da chuva cm relação ao carro

coincidirá com a velocidade da chuva cm relação à terra, ou seja:

V c / t — ^ c/a —


VV/n saí 14 km/h

5. MEDICINA DA SANTA CASA — O valor da velocidade da chuva,em relação ao carro, enquanto este está se movendo, é maisaproximadamente igual a:

a) 82 km/h. d) 14 km/h.b) 80 km/h, e) 10 km/h.c) 78 km/h.

Resolução: Da figura da questão 4, vem:

V.A _____ _ Va/l

c/a

sen 80°

Vc/â es 82 km/h

c/a

sen 80°

Vc/a =80

0,98




6. MAPOFEI — Uma roda de raio R — 0,25 m rola sem escorregarsobre um plano horizontal. Um ponto P do seu eixo geométrico

tem velocidade constante V, com intensidade igual a 4,5 m/s. O

ponto A da periferia é fixo em relaçáo à roda e, no instante t = 0 s ,coincide com o ponto O, origem do sistema de eixos cartesianos

—>ortogonais xOy, com Ox horizontal e paralelo a V e Oy vertical.

aj Calcule a velocidade angular do ponto A em relação ao ponto P.

b) Calcule a intensidade da velocidade de A cm relaçáo ao sistema

~ 3TxOy, no instante t = ----- . sendo T o tempo necessário oara

4que a roda efetue uma volta completa.

Resolução: Os pontos da roda

simultâneos:

• Rotação: os pontos da roda

terão movimento circularuniforme em relação ao seu

eixo central.

Assim, os pontas da perife-ria terão velocidade Vr cm

relação ao centro P (veloci-

dade relativa).•

• Translação: o eixo central

tem velocidade Vt em rela-

ção ao solo (veloeidade de

arrastamento). Assim, todosos pontos da roda estarãodotados dc velocidade de

translação V,.

estarão dotados de dois movimentos



226

Conclusão: Os pontos da periferia da roda terão velocidade absoluta(cm relação ao solo) igual à soma vetorial das velocidades dc trans-

lação e rotação, ou seja:

V,b» = Vt + VPComo a roda não escorrega, seu ponto de contato com o solo possui

Vab% nula.

Assim, necessariamente, Vt = Vr.

Designaremos V, e Vr por V, simplificadamcnte.

O ponto de contato com o solo é denominado centro instantâneo dcrotação.

a) Sendo V = 4,5 m/s, cm relação ao centro geométrico P, teremos:

V 4,5to = ------==> to = ----------= >

R 0,25o>— 18 rad/s

b) Quando t = -----

, a roda4

3efetua------de volta.

4

Assim, o ponto A sc loca-lizará na extremidade di-reita do diâmetro horizontal.

Em relação ao solo, teremos:Va = V2 -1- V2 = 2V2 = > VA= V \ /T = 4,5

VA= 4,5 m/s

Resposta: to = 18 rad/s e V A = 4 ,5 y T m / s .



*

I

I. MEDICINA DE VASSOURAS — Um barco tem uma velocidade de22,32 km/h rio abaixo e de 13,68 km/h rio acima. Podemos dizer que a

velocidade do rio é de:«) 5,00 m/s. d) 1,20 m/s.

b) 7,20 m/s. e) 4,00 m/s.

c) 4,32 m/s.

i. PUC (CAMPINAS)— Um piloto deseja voar para Leste, de A até B. c.cm seguida, voar para Oeste, retornando a A. A velocidade do avião, no#(, é V' c a velocidade do ar em relação ao solo c U. A distância entreA c B é L c a velocidade do avião no ar, V', é constante. Suponha queii velocidade do vento esteja dirigida para l.este (ou para Oeste); nestas

condições, o tempo de viagem de ida e volta será:

u) t =2LV'

V' - U

b) t =LU

V' - u

c) t =2LV'

V'2 - U2

d) t = 2LV'

c) Nenhum dos valores acima.

3. FATEC — Uma ferrovia estende-se paralclamente a uma rodovia. Umautomóvel, a 108 km/h, ultrapassa um trem de 180 m que corre a 72 km/h.

(1) Sc os sentidos forem concordantes, a ultrapassagem demora I8s.(2) Sc os sentidos forem opostos, a ultrapassagem demora 3,6 s.(3) Sc o trem estivesse parado c o automóvel passasse a 36 km/h, a ultra

passagem demoraria J 8 s.u) Somente (1) é correta,

b) Somente (1) e (2) são corretas,e) Todas as afirmativas são corretas.d) Nenhuma das afirmativas é correta.e) Alternativa diferente das anteriores.



228

4. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Uni canociro, usando um barco quedesenvolve uma velocidade de 20 m/s (cm relação à margem), atravessa umrio de lOOm dc largura, dirigindo-sc perpendicularmente às margens.O tempo gasto na travessia é de:

a) 2.85 s. b) 4,0 s.c) 5,0 s. jd) 6.67 s.c) Não é possível calcular sem se conhecer a velocidade da correnteza.

5. FATEC — Em relação ao ar, um avião voa para Leste com velocidade de120km/h, e está sujeito ao vento sul com velocidade de 50km/h. Julgaras afirmativas:(1 ) 0 avião voa aproximadamente para ENE (és-nordeste).(2) A velocidade resultante do avião é de 130 km/h.(3) Se o avião voasse para o Norte, sua velocidade seria dc 170 km/h.

6. ENGENHARIA DE SÂO JOSÊ DOS CAMPOS Um cidadão caminhacom velocidade de 1m/s sob a chuva. Para não sc molhar, ele mantémseu guarda-chuva inclinado de modo a formar um ângulo <|> em relação àvertical. A tangente de <t> é igual a 0,25. Neste caso, a velocidade da chuvaque cai vcrticalmente c de:a) 4 m/s. d) 0,10 m/s.h) 5 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores,c) 0.25 m/s.

7. MACKENZIE — Um motorista, dirigindo a 100 ^ k m /h sob uma tem pestade, observa que a chuva deixa, nas janelas laterais, marcas inclinadasque formam um ângulo de 60° com a vertical. Ao parar o carro, ele notaque a chuva cai vcrticalmente. Podemos afirmar que a velocidade da chuvarelativa ao carro, quando ele estava em movimento, era de:a) 200 km/h. d) 180 V^km/h.

b) 100 y'Tkm/h. e) Nenhuma das anteriores.c) 200yTkm/h.

Dois corpos sc encontram a uma certa distância quando começam a deslo-car-sc sobre uma mesma reta, aproximando-se um do outro. Os gráficosda velocidade do corpo I c do deslocamento do corpo II em função dotempo são mostrados abaixo:

1 2 3 4 5 tfs)





230

12. FEI — Uma roda de raioR = 20 cm rola sem escorregar, paralelamente a um plano vertical fixo. O centro C da roda temvelocidade constante Vr = 5 m/s.

c — Qual a intensidade da velocidadedo ponto B no instante em queo diâmetro AB é paralelo ao plano de rolamento?

13. ENGENHARIA MAUÁ — Um automóvel trafega com velocidade constante V = 72km/h. As suas rodas tèm diâmetro I) = 0,50 m e rodam semescorregar. Determine:a) a velocidade angular dc rotação da roda em relação ao seu eixo.

b) a velocidade instantânea, em relação ao solo, do ponto da roda que csimétrico daquele que faz contato com o solo.

14. FEI — Um automóvel, cujas rodas possuem um diâmetro d = 0.5 m, move--sc com velocidade constante, percorrendo a distância d = 56,5 km no intervalo de tempo At = 30 min. Determinar:a) sua velocidade, em m/s.

b) o número de rotações por minuto de cada roda.

Adotar r . = 3,14.

1. d 2. c 3. c 4. c

5. [1) E (O avião tem a direção sul-lcste.)

(2) C

(3) E (O avião teria velocidade de 70 km/h em relação ao solo.}

6. a 7. a 8. c

9. e (Cuidado com V „ = —40 m/s.)

10. d

11. V — 60cm/s para a esquerda.

12. V„ - 5 V T m /s

13. a) «o = 80 rad/s;

b) V = 144 km/h.

14. a) V = 31.4 m/s:

b) f = 1,2 . 103 rpm.



CfflTULO

9Gstudo de umMovimento

através de suas írojeções



232

Apresentação do problema

Suponha que estejamos interessados em estudar o movimento

de uma bola chutada por um goleiro ao bater o tiro de meta.

£A análise desse movimento não é fácil, pois sua trajetória não

é circular e sua velocidade tem intensidade variável, não apresen-tando nenhuma das características dos movimentos estudados ante-riormente (movimento uniforme ou movimento uniformemente va-

riado).

Pcrém, se projetarmos o movimento segundo duas direções con-venientes e estudarmos o comportamento dessas projeções, podere-mos obter dados suficientes para reconstituir o movimento da bola.



w e m d & u 233

Projeções do vetor-posição

Geralmcnte, a decomposição do movimento é feita segundo doiseixos ortogonais x e y.

Assim, se um ponto material P descreve um movimentoqualquer seguindo a trajetória Lnum dado instante t, vamos es-

tudar seu vetor-posição r.

Projetando o ponto P noseixos x e y, teremos:

r = rx + ry —» —»

Os vetores rs e rx são deno

minados componentes vetoriais

de r (grandeza vetorial).

—► —»

Ou seja: rx — componente horizontal de r:

—+ —>

ry — componente vertical de r.

As intensidades desses vetores-componentes, associadas a sinaisIndicativos de suas orientações em relação aos eixos x e y , são denominadas projeções do vetor r (grandezas escalares).

Assim, para a figura em questão:

r(I) = projeção horizontal de r;

—>

r(r) = -f ry - projeção vertical de r.

r, — componente do vetor-posição r segundo a direção x (grandeza vetorial);

r, — intensidade do vetor-componente r,.;

r(») — projeção do vetor-posição r no eixo x (grandeza escalar);

r y — componente do vetor-posição r secundo a direção y (grandeza vetorial);

—►T, — Intensidade do vetor-componente rt ;

t r — projeção do vetor-posição r no eixo y (grandeza escalar).



234

Podemos então escrever:r~ — r'fx. -4 r f„r xi — rcos ari,) = rscn a

Projeções do vetor-velocidade

No instante t. o ponto material P está sujeito a uma velocidade V.

Os vetores-componentes V, e V* indicam os vetores-velocidade

referentes ãs projeções do movimento.

Assim:

Para as projeções dos vetores V* e V , , na figura em questão, te

remos:

V,x) = +V* projeção horizontal de V*:

—>

V ,v )= — Vy - projeção vertical de Vv.



(% frvaa% 2 -----------------------------------------------------------------------------

V, — componente do vetor-velocidade V segundo a direção x (grandeza

vetorial);

Vx — intensidade do vetor-componente V,;V(x) — projeção do vetor-velocidade V no eixo x (grandeza escalar):

Vy — componente do vetor-velocidade V segundo o direção y (grandeza

vetorial);

V, — intensidade do vetor-componente Vy ;

V(y>— projeção do vetcr-veiocidade V no eixo y (grandeza escalar).

Podemos então escrever v —v;xl i v:,>V(x) — Vcos |5V „ , - Vsen 3

Projeções do vetor-aceleração —>

No instante t. o ponto material P está sujeito a uma aceleração y.

—> —>Os vetores-componentes y x e Yy indicam os veto-es-ace eração

referentes às projeções do movimento.

Assim: r ~ r * • r.v onde-

Yx : componente horizontal de y. —> —>Y y : componente vertical de y.

A y

Y,



236

Para as projeções dos vetores yx e yy. na figura em questão, te

remos:

Yu) = -f Y x - projeção horizontal de yx;

Y(y, = -f Yy - projeção vertical de yy .

Yx — componente do vetor-aceleração y segundo a direção x (grandeza

vetorial):

y x — intensidade do vetor-componente y x;

Yj0 — projeção do vetor-aceleração no eixo x (grandeza escalar):

y — componente do vetor-aceleração y segundo a direção y (grandoza

vetorial):

v y — intensidade do vetor-componente y v;

—♦— j . . . . . ------1. — s_ n0 (JjX0 y (grandeza escalar).

Funções horárias das projeções

Como os movimentos descritos pelas projeções do ponto material P são retilíneos, os módulos das grandezas vetoriais referentesaos movimentos serão iguais aos módulos das grandezas escalarescorrespondentes.

Podemos, então, montar as funções horárias relativas aos movi-mentos das projeções: S = f(t). V = f(t) e a = f(t).

diminando a variável t nas funções horárias S = f(t) das proje-ções. podemos obter a equação da trajetória do ponto material P.

Exemplo:

Sejam y = 3 + 6t — ôt2 (1) e x = 2t (2) as funções horárias dasprojeções do movimento de um ponto material P.

r = r m f Y?,)

Podemos então escrever: y lx. — ycosov . . . v = : v < 3 p n ^Yiy> — Tsen



237

Podemos, então, escrever x — 2t => t = — .2

Substituindo na expressão (1). vem:

y = 3 - 6 ( y ) - 8 - ( t V =

3x 2x2 = >

y = —2x2 -f 3x + 3

Assim, a trajetória do ponto material será uma parábola de equa-

Importante: Não confundir equação da trajetória (y X x) com função horária do movimento (S X t).

1. MAPOFEI — Um ponto material realiza um movimento plano talque suas coordenadas cartesianas são dadas pelas equações:x = 1 + 3ty = 1 -f- 4t

com x e y em metros e t em segundos. Determinar:

a) a velocidade do ponto material.b) a equação da trajetória.c) a equação horária do movimento, tomando como origem do

espaços o ponto P(1, 1).



238

Resolução: A projeção horizontal do ponto material realiza um movi

mento retilíneo uniforme de função horária x = I + 3t, onde x„ = 1me Vx— 3 m/s, constante.

A projeção vertical do ponto material realiza um movimento retilíneo

uniforme dc função horária y = 1 -f 4t, onde y0 = 1 m e Vy = 4 m/s,constante.

a) Podemos, então, escrever:

V2 - V2 -f Vf- :=> V2 — 3a + 4- = 9 + 16

Da figura, vem: tg a = — — = — Vx 3

Portanto, o ponto material estará sujeito a uma velocidade de in

tensidade constante igual a 5 m/s, com direção indicada pelo ângulo

, 4a cuja Rangente vale ------.

3

Seu sentido está indicado na figura.



239

h) Das funções horárias das projeções, vem:

x= 1-f 3t=>t =

y = 1 -f 4t = > t =

X—1 x — 1 y—1

1

1

3 ‘ 4

> => 3y — 3 = 4x — 4=>

=>4 1

4 3 3

A trajetória do móvel será uma reta de declive — e que corta

o eixo v no valor — — m.3

c) Ao iniciar a contagem dos tempos (t = 0 s), o móvel sc encontra

na posição:

í x = 1m (x = 1+ 3t= H - 3 . 0 = 1) y= 1m(y= 1-f- 4t= l 4.0= 1)

Se adotarmos este ponto como origem do referencial, teremos Srt — 0.

Logo, sendo o movimento do móvel descrito com velocidade constante 5 m/s, teremos:

S = S0 - V t = > S = 0 + 5t= > S - 5t (SI)Ou seja, o móvel descreverá um movimento retilíneo uniforme de

função horária S — 5t no SI.

O movimento de um ponto material é descrito pelas equaçõesx — 8t — 4t2 e y = 6t — 3t2 (SI).

Esta explicação refere-sc às questões de 2 a 4.

2. MEDICINA DE SANTOS — A trajetória do ponto pode ser expressa

pela equação:

3b) y = — x.

4

C) y = 4 — 3x.3

d) y = — x.

2e) Nenhuma das respostas anteriores.

Resolução: Para a projeção horizontal do movimento do ponto ma

terial, temos:

X = 8 t — 4 t2 = > x = 4 (2 t — t- ) = > 2 t — t- = — (1 )4



240

I

Para a projeção vertical do movimento do ponto material, temos:

y = 6t — 3t2 = > y = 3(2t - t2) = > 2t - t2 = -y- (2)

Comparando (I) e (2), vem:

Portanto, a trajetória do ponto material será uma reta que passa pela

3origem, de declive — .


3. MEDICINA DE SANTOS — A velocidade V do ponto pode ser ex

pressa pela equação:a) V = 4-t-2 t.

b) V = 10(1 - t).c) V - 1 - t.

4


Resolução: O movimento da projeção horizontal do móvel é unifor-memente variado.

Assim, sendo x = 8t — 4t2, temos V0(í) = 8 m/s e a (X) = —8 m/s2.

Logo, para Vm = V0(i) -f- a<K>t, vem V (x) = 8 — 8t (1).O movimento da projeção vertical do móvel é uniformemente variado.

Assim, sendo y = 6t — 3t2. temos V0|y| = 6 m/s c a(yl = —6 m/s2.

Logo, para V(yl = Vfl r) -f a (y)t, vem V(y, ~ 6 — 6t (2).



Lembrando que Va = V?x, + V*,,, subsliuiindo (1) c (2) temos:

Va = (8 - 8t)2 + (6 - 6t)2= 82(1 - t)2 + 62(l - t)2 = >

=> V2 = 64(1 - t)2 + 36(1 - t)2 = 100(1 - t) 2 = >

= > V = 10 — 10t (função velocidade de MUV)V = 10(1 - t )

Conclusão: () movimento do ponto material é retilíneo e uniformemente

variado, sendo progressivo entre os instantes 0 s c I s e retrógrado a partir de t = 1 s.


4 . MEDICINA DE SANTOS — A aceleração do ponto é de:a) 4 m/s2.b) 3 m/s'-.c) (3/4) m/s2.d) 10 m/s*.e) Nenhuma das respostas anteriores.

Resolução: Lembrando que a<x»= Y<*> — —8 m/s2 e =. y (>., —

= —6 m/s2, teremos:

r 2 = r?*> + r7r> = 64 36 = 10 0= » Y= 10 m/s2



242

Portanto, o vctor-aceleração do movimento terá intensidade 10m/s2,

direção indicada pelo ângulo a tal que tg a = — , e sentido indicado4

na figura.


5. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — As equações do movimentode uma partícula são x = 3cos t e y = 3sen t.

Seu movimento é:

a) retilíneo uniforme.b) retilíneo uniformemente variado.c) retilíneo uniformemente retardado.d) circular.e) Nenhum dos movimentos mencionados.

Resolução:

Sendo x = 3cos t, vem x2 = (3cos t)- => x2 = 9cos2 t (1).

Sendo y = 3sen t. vem y2 = (3scn t)2=> y2 = 9sen2 t (2).

Somando (1) e (2) membro a membro, teremos:

x2 + y* = 9cos2 1 -f 9sen2 1 = > x2 + y* = 9(sen2 1 -f cosa t)

v ___

j

Esta última expressão representa uma circunferência de raio 3 e centro

na origem do referencial.




wsT&nd/im & 243

I. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Em relação a um referencial cartesiano xOy, uma partícula se move segundo as equações

x = 8t —4t- c y = I2t - 6t2A equação cartesiana da trajetória será:

a) y = 3x d) y = —3 -f- 5x.2 e) y = —2x.

b) y = 14 - 10x.c) y = 2 + 2x.

•) 3y j . t.H) y/T. t.

o) •! yTJ . (1 - t).

d) 4t.

c) y r • t.



244

4. CESCEA — O movimento de um corpo é descrito pelas equações abaixo,onde x determina sua posição na direção leste-oeste e y determina sua posição na direção norte-sul:

x = —3+10t c y = - 4 + 2t + 2t2

Sendo x c y dados em metros e t em segundos, a velocidade escalar do corpono instante t = 2 s é:

a) 10 V?m/s. d) 9,4 m/s. b) 2 y/lB m/s. e) Nenhuma das anteriores.c) 20 m/s.

5. CESCEA — Na figura abaixo, a linha pontilhada indica um arco de circunferência de raio OP = 1m, sobre o qual uma bola de tênis P é constrangida a se mover com velocidade angular de intensidade constante

ü) = —— rad/s. Em cada choque com a parece e o solo. o movimento da2

bola inverte de sentido, provocando um movimento de vaivém. Considerando que no instante inicial a bola P está em contato com o solo, qualdos gráficos seguintes indica o melhor deslocamento Q (projeção de P sobreo eixox- solo) em função do tempo?



A figura mostra dois gráficos, um representando a coordenada x e o outroa coordenada y, cm função do tempo, de duas esferas I e 2, de mesma massa,em movimento sobre uma superfície plana. As que>tões de 6 a 8 referem-se aeste enunciado.

6. CESCEA — Durante qual dos intervalos de tempo a velocidade das duasesferas foi nula?

ft) (1 s, 2 s)

b) (2 s, 3 s)c) (3 s, 4 s)d) (4 s, 5 s)

7. CESCEA Durante qual dos intervalos de tempo o movimento da esferaI foi paralelo ao eixo Ox com velocidade não-nula?

a) (1 s, 2 s) b) (2 s, 3 s)c) (3 s, 4 s)d) (4 s, 5 s)

H. CESCEA — Em que instante as duas esferas sc chocaram?

u) 1 s

b) 1,5 sc) 2 sd) 3 s



246

A figura a seguir representa um móvel M em movimento circular uniforme,com velocidade escalar V e raio r. As duas próximas questões referem-se aesse enunciado.

9. CESCEA — Se V(*>segundo os eixos Ox c Oy da figura, e se o sentido do movimento for anti--horário, então:a) Vlx) é máxima c Vlv, mínima em C.

b) V ,x) é máxima e V<y) mínima em O.c) V(XI c máxima em 1) e V,yl mínima em C.d) y (%) é máxima çm l> e Vly) mínima em B.e) Nenhuma das respostas anteriores.

10. CESCEA A intensidade da aceleração centrípeta é:a) máxima cm A.

b) constante c diferente de zero.c) constante c igual a zero.d) mínima cm A.e) Nenhuma das respostas anteriores.

11* FEI — O movimento de um ponto material é descrito pelas equaçõesx —(t + 1)-' e y = (t + l) " 2, onde I representa tempo. Determinar a equação da trajetória descrita pelo ponto material.

1. a 2. d

3. c (0 módulo da aceleração é a

4. a (A trajetória do corpo é uma

5. b G. c 7. d 8. b 9. c 10. b

11. y = -

1



CAPITULO

10Lançamento

Oblíquo noVdcuo



Introdução

Ouando um canhão dispara um projétil não-verticalmente, numlocal onde a influência do ar é desprezível, se não houvesse a ação

da gravidade seu movimento seria retilíneo e uniforme segundo a —>

direção do vetor-velocidade V0.

No entanto, devido à atração exercida pela Terra, o projétil vaicaindo à medida que se translada, dc forma que. decorridos diversosintervalos de tempo, ao invés de se encontrar nas posições A, B. C,

D o projétil encontrar-se-á, respectivamente, nas posições A\ B\ C \ D’.

Conclusão: O lançamento de um projétil, não-verticalmente, nasproximidades da Terra, livre das influências do ar. é a combinaçãode um movimento retilíneo uniforme com uma queda livre.



249

Lembrando que na queda livre, a partir do repouso, os desloca

mentos escalares são obtidos através da expressão AS = —— gt\ 2

conforme vimos anteriormente, poderemos analisar a combinação demovimentos referentes ao lançamento de um projétil não-vertical-mente.

Na figura abaixo, no primeiro segundo de movimento, enquantoo projétil se desloca de uma distância d. sofre, simultaneamente,uma queda igual a AS. onde. para g = 10rn/s2. teremos:

t

Analogamente, poderemos calcular os diversos valores de AS

paru os Instantes t = 2 s. t = 3 s , t = 4 s , etc., construindo a tabelaabaixo.

Instantet(s)

Deslocamento

retilíneoQueda vertical

(AS)

0 0 0

1 d 5 m

2 2d 20 m

33d 45 m4 4d 80 m

O movimento resultante é curvilíneo e sua análise é bastantecomplexa. Para estudar esse movimento é necessário decompô-loem dois eixos ortogonais.



250

Elementos de um lançamento oblíquo

No lançamento oblíquo de um corpo no vácuo são elementos

essenciais:

• V0 — velocidade inicial de lançamento.

• a — ângulo de lançamento.

• g* — aceleração local da gravidade.

Análise das projeções

Vamos decompor o lançamento oblíquo de um móvel segundo asdireções horizontal e vertical e estudar o movimento de suas projeções.

—r

Inicialmente, analisemos a aceleração y do movimento.A única aceleração a que está submetido o corpo é a da gravi-

dade. __________

Ou seja: “ 9



1

251

• Componente r*: como g é vertical, não haverá componente hori- —r

zontal da aceleração Y-

Ou seja: Tx = 0

Logo. a aceleração escalar au>também será nula. isto é. a(x)= 0 .

Conclusão: A projeção horizontal do móvel descreve um movi-mento retilíneo uniforme.

— ► — >

• Componente Yy: como g é vertical, o vetor-componente-vertical da

aceleração coincide com a aceleração da gravidade g .

Ou seja: Tt = g

Assim, a aceleração escalar a(y) será constante e igual a —g. isto

6, a(y, = —g, constante.

, r \ Conclusão: A projeção vertical do móvel descreve um movimento '"^retilíneo uniformemente variado.

Equações das projeções• Projeção horizontal — MRU: x = Xo + V x>t

Sendo V,*) = V0(x) e Vo(xl = V0cos a, vem:

x = xo -f- Vocos a . t



252

Projeção vertical — MRUV:

y = y. + V o ,„ t+ — a r)t2

Sendo Vu<v) = V(,sen x e a (Jr) = —g. vem:------------ ]-------

y — yi> : Vosen a . t -----— gt~

V(yi = Vo(y, + 3(y)t Viy., — Vc.sen f — gt

V(yi — Vnly, -f* 2a.»(y — yo) V‘„ - VÔsen* a — 2g(y — y0)

SimplificaçõesPara x0 = 0. vem:

Para y0 — 0, vem:

x — Vocos a . t (1)

1y — Vosen a . t --------gt-

2V(y) = Vosen a — gt

VÍyl — Vosen2 cf. — 2gy

(2]

Equação da trajetória

Da equação (1), vem t =Vocos a

Substituindoêm (2). obteremos a equação da trajetória do móvel

= - (-------------- ) + (tg x) .' 2V“cos*x '



Esta equação representa uma parábola que passa pela origemtio sistema xOy e tem concavidade voltada para baixo.

Conclusão: O movimento de um projétil lançado obliquamente novácuo descreve uma trajetória parabólica, estando submetido a umaaceleração vetorial constante.

Casos particulares

• Tempo de subida — O tempo de subida de um móvel lançado

com velocidade inicial Vu sob um ângulo a. num local onde a aceleração da gravidade é g. será obtido quando a velocidade da projeçãovertical se anular.

Ou seja: t t, <=> Vjr - 0

Logo, V,r >= Vosen a — gt => 0 = V.,sen a — gt.Vosen a

g



254

• Altura máxima (flecha) — 0 móvel atingirá sua altura máximaquando a velocidade da projeção vertical se anular.

O j seja : y — f< ^ V 7 — o

Logo. víy, = Võsen8 a — 2gy => 0 = Vosen2 a — 2gf

• Tempo total — O móvel retornará ao plano de lançamento quan-do y = 0.

Ou seja: t — tT <=> y — 0

Assim , para y = V„sen a . t----

gt22

0 = Vosen x . tT — — gtr2

tr — 2V isen a



^ 255

• Alcance horizontal — O alcance horizontal do móvel ocorreráquando ele retornar ao plano horizontal de lançamento.

Ou seja:

Sendo x —

x — D <=> t — t r

Vocos a . t, vem:

D = Vecos a2V.,sen x

DVÜ

. 2sen x . cos x

sen 2a

Observando a expressão do alcance, notamos que o mesmo valordo D será obtido para dois ângulos de ançamento complementares,desde que a velocidade inicial V0 seja a mesma.

Daj = Da.y <=> X: - a> — 90'



256

A intensidade da veloc:dade de chegada do móvel ao plano horizontal de lançamento é igual à intensidade da velocidade de lança

mento.

Análise da aceleração

—> —>

A aceleração vetorial do lançamento oblíquo é constante (y = g).Decompondo-a nas direções tangencial e normal à curva, obtemos as

— > — >

acelerações componentes a , e ac , respectivamente, em cada ponto.

Importante: Como a intensidade da aceleração tangencial é variável,também a intensidade da aceleração escalar é variável. Logo. o lançamento oblíquo não é um movimento uniformemente variado.



Lançamento horizontal no vácuo

Una esfera move-se oom movimento retilíneo uniforme sobreuma mesa.

Se caso não houvesse a atração da Terra, ao perder contato coma mesa. o corpo continuaria a se mover em trajetória retilínea, coma mesma velocidade. Mas como há essa atração, o corpo cairá verticalmente. ao mesmo tempo em que se deslocará horizontalmentecom movimento uniforme.

Lembrando que AS — — gt2, para g = 10 m/s2. teremos AS — 5ta.

Podemos, então, preencher a tabela seguinte.

Instantet(s)

Deslocamentohorizontal

Quedavertical (AS)

0 0 0

1 d 5 m

2 2d 20 m

3 3d 45 m

4 4d 80 m



258

Esquematicamente, teremos a figura a seguir, onde a trajetóriado móvel é um arco de parábola. Considera-se desprezível a in

fluência do ar.

Mo lançamento horizonte), o vetor-coinponente horizontal da velocidade ésempre constante. O vetor-componente-vertical da velocidade tem

intensidade crescendo linearmente com o tornpo a partir co repouso.

Para a projeção horizontal do movimento, vem X -n Votl (1).

Note que. no instante do lançamento horizontal, o vetor-compo-nente-vertical da velocidade é nulo.

Ou seja: V.»v = 0 ==> Vn( . - 0.

Logo, para a projeção vertical do movimento, vem:

gt2 (2]

De (1), vem t — ----- .Vo

Substituindo em (2). vemx'-'





260

Considerações finais

Pe o fato de essa teoria ser aplicada no lançamento de artefatosbélicos, o lançamento oblíquo de um projétil também recebe o nome

de lançamento balístico.

Observe que, num lançamento horizontal e nuna queda livresimultâneos, os movimentos verticais são idênticos. Assim, os corposestarão sempre na mesma horizontal durante todo o movimento.

W' ■

Il I

\ II I





1. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Um projétil com massa

m c lançado com uma velocidade V0, formando um angulo a coma horizontal, conforme mostra a figura.

Desprezando a resistência do ar. pode-se afirmar que a sua velocidade no ponto mais alto da trajetória é:

a) Vosen a.

b) nula.

c) Vi.cos a -f gt.

d) V.sen a — gt.

e) VnCOS a.

Resolução: No ponto mais alto da trajetória parabólica a projeção ver

tical tem velocidade nula. Assim, a velocidade do projétil coincidirá com

a velocidade da sua projeção horizontal.

Como a projeção horizontal do lançamento balístico é um movimento

retilíneo uniforme, seu vetor-velocidade será sempre constante e igual —>

ao vetor-componente-horizontal da velocidade dc lançamento V0.



&

263

2. PUC (RIO DE JANEIRO) A curva C da figura abaixo representaa trajetória de um projétil disparado por um canhão na superfícieda Terra. ConsideranOo desprezível a resistência do ar, indique

—►

qual das opções melhor representa o vetor-velocidade V e o vetor-

-aceleração a do projétil, quando o mesmo está no ponto A de sua

trajetória.

Resolução: Livre da resistência do ar, o lançamento balístico está do-tado de aceleração constante e igual à aceleração da gravidade (inten-

sidade g = 9 ,8 m /s2, direção vertical e sentido de cima para baixo).

y



264

Lembrando que a velocidade de um móvel é sempre tangente à tra

jetória, no ponto A teremos os vetores velocidade e aceleração ilus

trados.


3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Uma pedra é jogada livrementepara cima numa direção que forma um ângulo de 302 com a horizontal no cairpo gravitacional terrestre, considerado uniforme.Ignorando o atrito com o ar, no ponto mais alto alcançado pelapedra a intensidade de:

a) sua aceleração é zero.b) sua velocidade é zero.

c) sua aceleração atinge um mínimo, mas não c zero.d) sua velocidade atinge um mínimo, mas não é zero.e) seu vetor-posiçãc, em relação ao ponto de lançamento, é má

xima.

Resolução: No vértice da trajetória parabólica dc um lançamento balístico, a velocidade tem intensidade mínima mas não-nula, conforme

vimos no exercício 2

A aceleração correspondente será vertical e igual à aceleração da gravidade. Embora seja constante e não-nula, a aceleração do movimento

balístico não caracteriza um movimento uniformemente variado, poissua aceleração componente tangencial, cuja intensidade c igual à daaceleração escalar, não é constante.

No vértice da parábola a aceleração tangencial é mínima e de inten

sidade igual a zero, enquanto que a aceleração centrípeta tem inten

sidade máxima e é igual à aceleração da gravidade.




265

4. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um projétil é lançado obliqua-mente para cima. com a velocidade de 100 m./s, numa direção queforma um ângu o de 60° com a horizontal. Após 4.0 s, a intensidadeda velocidade vetorial do projétil é:

a) 50 m/s.b) 87 m/s.c) 47 m/s.d) 69 m/s.


»

Resolução: Vamos decompor o movimento balístico segundo suas pro jeções:

• projeção horizontal: V,x) — V„

Vw>= V0 cos = 100 . cos 60°

• projeção vertical: V m = Vrt)v) _ gt

v ir> = V0 sen — gt

V,„ = 100 . sen 60« - 9,8 . 4 = joq

V„) 46,8 m/s

Portanto, V = Vx -f- V,..

Donde: V = VXJ, +V ", a

V ===68,9 m/s

VTíoF + (46,8)2 s* V 4 700 . \




266

5. MEDICINA DA SANTA CASA — Um canhão, em solo plano e horizontal, dispara uma bala com ângulo de tiro de 30u. A velocidadeinicial da bala é de 500 m/s. Sendo de 10 m/s2 o valor da aceleração da gravidade no local, a máxima altura da bala em relação

ao solo será, em km, um valor mais próximo de:a) 3,1. d) 6,3.b) 3.5. e) 7,5.c) 4,5.

Resolução: Lembrando que a flecha do lançamento balístico é dada

V0 sen2 a

por I = iw* — ---------------, logo:

2g

f _ (500)2 . sen2 30° 250 000

2 . 10 ~ 80

Portanto, |f s= 3,1 km 1.

3 100 m = 3,1 km


6. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um corpo é iançado obliquamente para cima, formando um ângulo de 30° com a horizontal.Sabendo que o tempo de permanência no ar é igual a 6.0 s. conclui-se que a intensidade da velocidade de lançamento c:

a) 10 m/s.b) 40 m/s.c) 60 m/s.d) 80 m/s.e) Nenhuma das respostas anteriores.



Resolução: Lembrando que o tempo de duração de um movimento

balístico, descrito por um corpo que parte c chega ao mesmo plano

, . „ , . . . 2V„ sen ahorizontal, e dado por tT = --------------- , entao:

g

2V„ sen 30°

10V , = 60 m/s


7. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um corpo é lançado obliqua-mente para cima com velocidade de 100 m/s. O alcance é máximo

quando:a) a massa do corpo é igual a 10 kg.b) o ângulo de lançamento é 0®.c) o ângulo de lançamento é 45°.d) o ângulo de lançamento é 70°.e) o ângulo de lançamento é 90°.

Resolução: Sendo o alcance horizontal de um lançamento balístico no

x , a „ V0 sen 2a ,

vacuo dado por D---------------

, D sera maxano quando sen 2a for g

máximo, o que ocorre para 2a — 90° ou a = 45°.

Acima ou abaixo desse ângulo teremós lançamentos com alcances infe-riores ao alcance correspondente ao ângulo de 45°.




268

8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A figura seguinte mostra astrajetórias de cinco projéteis (a, b, c. d. e) lançados no vácuo,numa região onde a aceleração da gravidade é constante. Todasas trajetórias estão num mesmo plano vertical e foram percor-

ridas em tempos iguais pelos projéteis (a subiu e desceu). Qualdeles foi lançado com maior velocidade escalar?

a) ab) bc) c

Resolução: O tempo de duração dc um lançamento balístico é dado2V0 sen a , , tTg

por tT — --------------- . . V„ sen a = ------- .g 2

Assim, para o mesmo tempo de duração, quanto maior V0, menorsen a. Para ângulos inferiores a 90°, quanto menor o sen a, menor

o valor do ângulo a.

Conclusão: A velocidade de lançamento será maior quanto menor for

o ângulo de inclinação.

Portanto, o móvel c terá maior velocidade dc lançamento, já que seu

ângulo dc inclinação é o menor de todos os apresentados.


9. ENGENHARIA DE LORENA — Um canhão dispara um projétil sobreo mar. horizontalmente, com uma velocidade inicial de 400 m/s,de um ponto situado a uma altura de 100 m acima do nível domar. Quanto tempo o projétil gastará para atingir a água? (Dado:

g = 9,8 m/s2.)a) 4.5 s.b) 3 s.c) 3.5 s.

d) 2 s.e) 2,5 s.



Cè^ i £m á&u 269

Resolução: No lançamento horizontal, a projeção vertical terá velo

cidade inicial nula. O eixo de referência vertical será orientado para

baixo, a partir do ponto do disparo.

Desse modo, as equações referentes a ela serão:

(para y0 = 0) j

Para o exercício

V„» = gt

y = i - g t *

V?„ = 2gy

em questão, temos:

y = 100 m e g = 9,8 m/s2

100= — . 9,8 t2 t s- v'T0,42

t 4,5 s

Assim, a projeção vertical ao movimento balístico levará aproximada

mente 4,5 s para chegar ao nível do mar. Paralelamente, este também

será o tempo que a própria bala levará para atingir a água.

Então, você perguntará: “E a velocidade horizontal de lançamento?

Não tem influencia no tempo de queda?” A resposta é não. A velocidade horizontal de lançamento vai influenciar o alcance horizontal

da bala. Quanto maior a velocidade horizontal de lançamento, maior

o alcance pelo projétil; porém, o tempo de queda será sempre o mesmo,dependendo somente da altura de lançamento para o mesmo g.




270

10. UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Uma pessoa atira com uma carabina na horizontal, de uma certa altura. Outra pessoa atira, também na horizontal e da mesma altura, com uma espingarda dear comprimido. Desprezando a resistérc ia do ar. pode-se afirmar

que:a) a bala mais pesada atinge o solo em um tempo menor.b) nada se pode dizer a respeito do tempo de queda, porque não

se sabe qual das armas é mais possante.c) o tempo de queda das balas é o mesmo, independendo de suas

d) a bala da carabina atinge o solo em um tempo menor que abala da espingarda.

e) a bala da espingarda atinge o solo em um tempo menor que

a bala da carabina.Resolução: Livres da resistência do ar, sendo lançadas na horizontal

e da mesma altura, independentemente de suas massas, as duas balaschegarão simultaneamente ao solo, embora a bala disparada pela arma

mais possante tenha um alcance maior.


11. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Uma bolinha de gude rolasobre uma mesa com velocidade de 40cm /s . Após sair da mesa.

cai. atingindo o chão a uma distância de 12 cm dos pés da mesa.Pode-se concluir que a altura dessa mesa é, aproximadamente,igual a:

a) 80 cm. d) 30 cm.b) 45 cm. e) 100 cm.c) 120 cm.

Resolução: A projeção horizontal do lançamento da bolinha descreve

um movimento uniforme de função horária x V0t (para x„ — 0), onde

V0 é a velocidade inicial de lançamento horizontal (a projeção hori-zontal da velocidade V0 coincide com a própria velocidade horizontal

de lançamento).

Portanto, sendo x = 12 cm c V(, =r 40 cm/ s, vem:

massas

12x = Vwt 12 = 40t t = 0,3 s

40

Para a projeção vertical, podemos escrever

y gl2 y 10 . (0.3)2 = 5 . 0,09 = 0.45 m ou2 2

y = 45 cm



271

Portanto, a bolinha cai dc uma altura igual a 45 cm (altura da mesa).


12. MEDICINA DE SANTOS — Um corpo é larçado horizontal e per-pendicularmente contra o centro dc um alvo contido num plano

vertical No instante cm que o corpo é lançado, o alvo é aban-donado e cai, conservando sua posição vertical.

O corpo atinge o alvo:

a) no centro.b) abaixo do centro.c) acima do centro.

d) acima e à direita do centro.e) acima e ã esquerda do centro.

Resolução: No instante cm que

o corpo c lançado horizontal-mente, o alvo inicia sua quedalivre. Nesse mesmo instante, a projeção vertical do lançamentotambém inicia seu movimentode queda livre.

Como o tempo dc queda sódepende da altura e da acele-ração da gravidade, os doismovimentos serão descritos paralclamcntc.

Enquanto isso, a projeção hori-zontal do corpo lerá movimento

dirigido para a trajetória ver-tical descrita pelo alvo.



272

Como tudo isto ocorre simultaneamente, em dado instante, quando a

projeção horizontal atingir a vertical descrita pelo alvo, haverá o en

contro do corpo com o alvo.

Assim, sempre haverá choque entre os dois. Todavia, se o alvo não

se desprender e cair, o corpo passará por baixo dele, pois sua trajetóriaé parabólica.


13. ESCOLA TÉCNICA DO PAPANÁ — Um bombeiro tenta apagar oincêndio do 4.° pavimento. A inclinação do bico da mangueira éde 45°, sendo que a água sai com uma velocidade de 14.0 m/s.Ka situação descrita, desprezando a resistência do ar. conseguiria

o bombeiro atingir o fogo? Considerar g = 9.8 m/s-.

€

VL -

12.0 m

a) Sim, pois o alcance é de 20.0 m.b) Não, pois o jato de água atinge o prédio apenas a urna altura

dc 6.3 m.c) Não, pois o jato de água atinge o prédio apenas a uma altura

de 9.0 m.d) Sim, só que o bombeiro deve diminuir o ângulo do bico da

mangueira.e) Sim. pois a altura máxima que o jato de água atinge é superior

a 10,0 m.Resolução: Analisemos inicialmente a projeção hori/.ontal do lança

mento:

12x = V0 cos a . t 12 — 14 . cos 45° . t t = ———- s





274

Assim: V — V0ls| = > V = V0cos 60° = > V„cos 60°

= > V 0 V0 — 400 m/ s

b) A equação horária da projeção vertical do projétil será:

y = Vo , t ------ — gt2 = > y = Vo sen 60° . t ----- í - . 10t2 = >iy> 2 2

= > y — 400 . V ^ - t — 5t2 = > y = 200 V"3t — 5t2

Quando o projétil atinge o objeto, y — 1 500 m.

Portanto, 1 500 = 200 \T3t - 5t2 = >

= > t2 — 40 v"3í ■+- 300 = 0 =>íU ar 4,6 s

112 ~=? 64,6 s

O menor intervalo de tempo para a colisão será a menor das duas

raízes da equação acima, ou seja, t s 4,6 s

Resposta: O projétil será lançado com velocidade de 400 m/s, indoatingir o corpo após, aproximadamente, 4,6 s.

1. UNIVERSIDADE IX) PARA NÁ — O esquema representa olançamento oblíquo de um corpo,no vácuo, sob a ação da gravida

de. Com relação a esse movimento, qual a informação incorreta?a) A trajetória ACB descrita pelo móvel é um arco de parábola.

b) O móvel descreve a trajetória ACB com velocidade constante.c) No ponto C a projeção vertical da velocidade é nula.



%(/?& 'n d ârn 275

d) As projeções horizontais da velocidade instantânea são iguais em todosos pontos da trajetória.

c) A intensidade da velocidade do móvel em B é igual à intensidade davelocidade em A.

Uma bola é lançada para cima, em uma direção que forma um ângulo de

45° com a horizontal, com velocidade V. Despreze a resistência do ar. Enunciado para as questões de 2 a 4.

2 UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — A intensidade do vetor-com-“> —*

ponente-hori/.ontal Vx da velocidade V da bola c:

Va) --------------- .

cos 45°

b) Vtg 45°.

c) Vcotg ^5°.

d) Vcos 45°.

V

c) sen 45°

3. LNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS A intensidade do vctor-com-

poncnte-vertical Vy da velocidade V da bola:

a) é constante.

b) é função do primeiro grau do tempo.

c) c função do segundo grau do tempo.d) tem o mesmo sentido em qualquer instante.

e) é sempre diferente de zero.

4. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS A aceleração da bola c:

a) horizontal c variável.

b) inclinada e constante.

c) vertical e constante.

d) inclinada c variável.c) nula no ponto mais alto atingido pela bola.

5. MEDICINA DA SANTA CASA — Um canhão dispara uma bala com ângulo de tiro de 40° cm relação ao solo. que é plano e horizontal. Despre

zando a resistência do ar, pode-se dizer que. durante o movimento do pro jétil:

i) sua velocidade se mantém constante.

b) o vetor-componcnte-horizontal de sua velocidade se mantém constante.

c) sua aceleração muda de sentido, pois o vetor-componente-vertical davelocidade muda de sentido.

il) o vctor-componente-horizontal de sua aceleração varia uniformemente.

»’) a trajetória é percorrida com velocidade constante, cm módulo, emboracom direção variável.



6. MEDICINA DE ITAJUBÁ — A velocidade inicial de um projétil formacom a horizontal um ângulo de 60°, como mostra a figura abaixo. Desprezando a resistência do ar, qual dos segmentos seguintes melhor representaa variação da velocidade do projétil entre o instante em que ele atinge o ponto mais alto da trajetória e o instante de lançamento?

7. MACKENZIE — Durante um exercício de segurança contra incêndio, um bombeiro segurou a mangueira dc água formando um ângulo de 45° coma horizontal. Sabendo que a aceleração local da gravidade c de 10m/s2c que a velocidade de saída do jato dc água é de 20m/s. pode-se afirmarque serão atingidos objetos situados a uma distância horizontal do bico da

mangueira de:a) 50,00 m.

b) 75,00 m.c) 60.00 m.d) 40,00 m.c) 80 \ f l m.

8. MEDICINA DA SANTA CASA A figura seguinte representa a trajetória descrita por uma bola que sofre impactos sucessivos com o solo.Sendo g a aceleração da gravidade, o intervalo dc tempo decorrido entre as

passagens pelas posições 1 e 2 é mcihor expresso por:



9. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Um projétil é lançado obliquamente, novácuo, com certa velocidade inicial, sob um ângulo de 30° com a horizontal. Simultaneamente, um projétil idêntico c lançado com a mesma velocidade inicial, porém sob um ângulo de 60° com a horizontal. Em um

ponto de altura H, o l.° projétil tem velocidade V. Em um ponto da mesmaaltura, o segundo projétil terá velocidade igual a:

10. MEDICINA DE ITAJUBA — Uma bola está parada sobre o gramado dc.um campo horizontal, na posição A. Um jogador chuta a bola para cima.imprimindo-lhe uma velocidade V0 de intensidade 8,0 m/s, c que fazcom a horizontal um ângulo de 60°. como mostra a figura.A bola sobe e desce, atingindo o solo novamente, na posição B. Desprezando a resistência do ar, qua! será a distância entre as posições A c B?

a) 2,4 m b) 4,8 mc) 2,8 m

d) 5,6 mc) Um valor compreendido entre 2,4 m e 4,8 m.

II. MAPOFEI — Um canhão dispara projéteis de 20 kg com um ângulo de30° cm relação à horizontal e com velocidade de 720 km/h. Qual o alcancedo projétil? Desprczam-se as resistepeias opostas pelo ar ao movimento.(«cn 30° = cos 60° = 1/2; sen 60° ^ cos 30° = yJ/2 ; adote g = 10 m/s2.)

IJ UNIVERSIDADE DO PARÁ — Um objeto lançado vcrticalmente parauma. no ar, atinge a altura de 280 m. Sc o objeto for lançado ohliquamcnte,

o seu ulcancc máximo será dc:«) 560 m.I>) 280 m.ü) 75 m.d) 140 m.c) 840 m.

a) v'TV.

2

d) 2V.e) V.



278

13. FEI — Um projétil é lançado do solo numa direção que forma o ângulo acom a horizontal. Sabe-se que ele atinge uma altura máxima h mtí = 15 me que sua velocidade no ponto de altura máxima c V = 10 m/s. Determinar a sua velocidade inicial c o ângulo a de lançamento. Adotarg = 10 m/s'*.

14.FAAP — Uma partícula é lançada obliquamente num plano vertical daorigem O de um referencial cartesiano xOv com velocidade de intensidade10 m/s, a qual faz com o eixo Ox um ângulo de 60°. No mesmo instante,é lançada verticalmcnte para cima uma outra partícula do ponto (100; 40\/3).onde as coordenadas são dadas em metros. Admitindo desprezíveis aresistência do ar e a curvatura da superfície terrestre c considerandog = 10 m/s2, determinar:a) a intensidade da velocidade ca partícula lançada verticalmcnte para que

consiga encontrar a outra. b) o tempo decorrido desde o instante dos lançamentos até o instante doencontro.

15.FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um canhão colocado no alto de umatorre lança, horizontalmente, uma série de projéteis iguais, com velocidadesdiferentes. Desprezando todos os atritos, qual dos seguintes gráficos melhor representa a distância (D) alcançada pelos projéteis em função do tempo(T) que os projeteis gastam para tocar o solo? Suponha que o solo também

0 0



16. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Duas bolinhas idênticasA c B partem, ao mesmo tempo, de uma certa altura II do solo. sendo Acm queda livre c B com uma velocidade V0, na direção horizontal. Podemos afirmar que:

a) A chega primeiro ao solo. b) B chega primeiro ao solo.c) A ou B chega primeiro, dependendo da altura do lançamento.d) A ou B chega primeiro, dependendo da velocidade inicial V0 de B.e) as duas chegam juntas ao solo.

17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um avião voa à altura de 2 000 n , paralclamcntc ao solo horizontal, com velocidade constante. Ele deixa cairuma bomba que atinge o solo à distância de 1000 m da vertical de lançamento inicial da bomba.

Desprezando a resistência do ar, a velocidade do avião é um valor mais próximo dc:a) 50m/s. d) 2 000 m/s.

b) 150 m/s. e) 4 000 m/s.c) 250 m/s.

18. PUC (SÀÜ PAULO) — Do alto dc uma torre são lançados, no mesmoinstante, dois corpos A e B. com velocidades iniciais iguais c inclinaçõesdistintas A= 30° e <J>„ ~ 45°. Observa-se que ambos atingem o solo (su

posto horizontal) no mesmo ponto. Desprezando a resistência do ar, podemos afirmar que a relação entre os tempos de queda tA/ tH, respectivamentedos corpos A c B. vale:a) 1.

b) VT

c) VT.

d)

el

v *

V3 '

x L

v ? ■Este enunciado refere-se aos testes 19 e 20.O esquema representa uma correia que transporta minério, lançando-o norecipiente R.A velocidade da correia é constante e a aceleração da gravidade, 10 m/s2.



230

19. PUC (SÃO PAULO) — Para que todo minério caia dentro do recipiente,a velocidade V da correia, dada em m/s, deve satisfazer à desigualdade:a) 2 < V < 3.

Documents

Robortella Vol 01 Cinemática- Completo