Robot Puma

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Cinemática del Brazo articulado PUMA

José Cortés Parejo. Enero 2008

1. Estructura del brazo robótico

El robot PUMA de la serie 500 es un brazo articulado con 6

articulaciones rotatorias que le proporcionan 6 grados de

libertad y le permiten posicionar y orientar su herramienta

final.

De manera más específica, las 3 primeras articulaciones (sistema

Hombro-Codo-Muñeca) posicionan en el espacio el grupo

formado por las 3 últimas, que son las que orientan el efector .

La estructura de articulaciones-elementos, queda esbozada en las siguientes figuras, en las que se muestra

una imagen simétrica del robot y en la de la derecha las dimensiones no están a escala para facilitar su

comprensión:

La cinemática del brazo articulado la formularemos siguiendo la representación de Denavit-Hartenberg,

cuya descripción comprende 2 apartados: asignación de Sistemas de Referencia y relación de parámetros

asociados a elementos y articulaciones.

2. Representación Denavit-Hartenberg

La cinemática de una cadena articulada se basa en asociar a cada par articulación–brazo un Sistema de

Referencia Local con origen en un punto i Q y ejes ortonormales { }, ,

i i i X Y Z , comenzando con un primer

sistema de referencia fijo e inmóvil representado por los ejes { }0 0 0, , X Y Z , anclado a un punto fijo 0

Q de

la Base sobre la que está montada toda la estructura de la cadena.

Este Sistema de Referencia no tiene por qué ser el Universal con origen en (0,0,0) y ejes { }, ,U U U X Y Z

asociados a la Base canónica.



Las articulaciones se numeran desde 1 hasta n ( 6n = en nuestro caso). A la articulación i -ésima se le

asocia su propio eje de rotación como Eje 1i Z

− , de forma que el eje de giro de la 1ª articulación es 0 Z y el

de la 6ª articulación, 5 Z .

Para la articulación i -ésima (que es

la que gira alrededor de 1i Z

− ), la

elección del origen de coordenadasi

Q y del Eje i X sigue reglas muy

precisas en función de la geometría

de los brazos articulados. el Eje i Y

por su parte, se escoge para que el

sistema { }, ,i i i

X Y Z sea dextrógiro.

La especificación de cada Eje i X

depende de la relación espacial entre

i Z y 1i

Z − , distinguiéndose 2 casos:

1- i Z y 1i

Z − no son paralelos

Entonces existe una única recta perpendicular a ambos, cuya intersección con los ejes proporciona su

mínima distancia (que puede ser nula). Esta distancia, representada por i a y medida desde el eje 1i

Z −

hacia el eje i Z (con su signo), es uno de los parámetros asociados a la articulación i -ésima.

Por otra parte, la distancia i d desde 1i

Q− a la intersección de la perpendicular común entre 1i

Z − y i

Z con

1i Z

− es el 2º de los parámetros asociados a la articulación i -ésima.

En este caso, el Eje i X es esta recta, siendo el sentido positivo el que va desde el Eje 1i

Z − al i

Z si 0i

a > .

El origen de coordenadas i Q es la intersección de dicha recta con el Eje i

Z .

2- i Z y 1i

Z − son paralelos

En esta situación el Eje i X se toma en el plano conteniendo a 1i

Z − y i

Z y perpendicular a.ambos.

El origen i Q es cualquier punto conveniente del eje i Z . El parámetro i a es, como antes, la distancia

perpendicular entre los ejes 1i Z

− y i Z , y i

d es la distancia desde 1i Q

− .



A la articulación i -ésima se le asocia un 3er parámetro fijo i que es el ángulo que forman los ejes 1i Z

− y

i Z en relación al eje i

X .

Nótese que cuando el brazo i -ésimo (que une rígidamente las articulaciones i e 1i + ) gira en torno al eje

1i Z

− (que es el de rotación de la articulación i ), los parámetros i a , i

d y i permanecen constantes, pues

dependen exclusivamente de las posiciones/orientaciones relativas entre los ejes 1i Z

− y i Z , que son

invariables. Por tanto, i a , i d y i pueden calcularse a partir de cualquier configuración de la estructura

articulada, en particular a partir de una configuración inicial estándar o de reposo.

Precisamente el ángulo i de giro que forman los ejes 1i X

− y i X con respecto al eje 1i

Z − es el 4º

parámetro asociado a la articulación i y el único de ellos que varía cuando el brazo i gira.

Es importante observar que el conjunto de los 4 parámetros i a , i

d , i y i determina totalmente el Sistema

de Referencia de la articulación 1i + en función del S.R de la articulación i .

3. Sistemas de Referencia en el PUMA

En la siguiente Figura aparecen representadas las 6 articulaciones del robot junto con sus brazos asociados,

que han sido rotados ligeramente para visualizar mejor los ejes de cada Sistema de Referencia. Veamos

cómo se realiza la asignación de ejes:

1- La 1ª articulación, dibujada en Rojo junto con el brazo que acciona al rotar, tiene asociado el S.R. de la

Base { }0 0 0, , X Y Z junto con su origen 0Q , todos ellos anclados y fijos a la Base.

Los ejes 0 Z y 1

Z son coplanarios e intersectan en el punto 0Q . Por tanto, el eje 1

X tiene la dirección de

0 1 Z Z . Por convenio se le ha puesto de sentido contrario, para que se alinee de forma paralela con el

Brazo 2 (en Azul) cuando éste está horizontal. El origen del S.R. es la intersección de la recta

perpendicular común a 0 Z y 1

Z que da su mínima distancia (que es nula) con el eje 1 Z . Por tanto, 1

Q

coincide con 0Q . Los parámetros constantes de la 1ª articulación son: 10a = 1

0d = 190º= − .

El ángulo1

(giro de0

Z sobre1

Z alrededor de1

X ) es negativo al haber elegido1

X con sentido

opuesto al de 0 1 Z Z . Finalmente, 1 es el ángulo de giro entre 0

X y 1 X .



2- La 2ª articulación, dibujada en Azul con el brazo que acciona al rotar, tiene asociado el recién definido

Sistema de Referencia { }1 1 1, , X Y Z , alrededor de cuyo eje 1

Z rota. Ahora los ejes 1 Z y 2

Z son

paralelos, por lo que el eje 2 X es perpendicular a ambos y coplanario con 1

Z y 2 Z .

El origen 2Q se elige en estos casos como cualquier punto sobre el eje 2

Z , habiéndolo situado en el

extremo del 2º brazo.

Como ya se desribió en general, 2a es la distancia perpendicular entre 1

Z y 2 Z mientras que 2

d es la

distancia, medida sobre el eje 1 Z , desde 1

Q hasta la perpendicular común que contiene al eje 2 X .

En el caso del Robot PUMA estas magnitudes son: 2mm431.8a = 2

mm149.09d = y por otra parte,

el parámetro 20º= (ángulo entre 1

Z y 2 Z ).

3- La 3ª articulación, dibujada en Verde, tiene asociado el S.R. { }2 2 2, , X Y Z , 2

Q y gira alrededor de 2 Z .

Para determinar sus parámetros 3 3 3, ,a d α , y 3 definimos previamente el 4º S.R. { }3 3 3 3

, , , X Y Z Q .

Los ejes 2 Z y 3

Z se cruzan en el espacio (no son coplanarios), por lo que el eje 3 X es la recta

perpendicular a ambos que da la mínima distancia 3a , medida desde 2 Z a 3 Z en el sentido de 3 X

+, con

lo cual 30a < (para el PUMA es 3

mm20.32a = − ).

El origen de coordenadas 3Q es, la intersección entre 3

X y 3 Z .

Por su parte, 3d es la distancia desde 2Q a la intersección entre 2 Z y 3 X y por tanto 3 0d = , mientrasque el ángulo desde 2

Z a 3 Z alrededor de 3

X es 390º= + .



4- La 4ª articulación, dibujada en Amarillo, gira alrededor de 3 Z . Los ejes 3

Z y 4 Z se cortan, siendo este

punto de corte el origen 4Q . El eje 4

X es entonces perpendicular a 3 Z y 4

Z y naturalmente 40a = .

El parámetro 4d es la distancia a lo largo de 3

Z desde 3Q a la intersección de 3

Z y 4 Z . En el caso del

PUMA es 4mm433.07d = y finalmente, el ángulo que forman 3

Z y 4 Z respecto a 4

X es 490º= − .

Nótese que la longitud del brazo 4 (representado por un pequeño bloque amarillo) no es un parámetro.

5- La 5ª articulación, dibujada en Gris, gira alrededor de 4 Z . Los ejes 4 Z y 5 Z se cortan, siendo este

punto de corte el origen 5Q , que coincide con 4

Q . El eje 5 X es perpendicular a 4

Z y 5 Z y 5

0a = .

El parámetro 5d es la distancia a lo largo de 4 Z desde 4Q a la intersección de 4 Z y 5 Z , con lo cual setiene 5

0d = . El ángulo que forman 4 Z y 5

Z respecto a 5 X es 5

90º= .

6- La 6ª articulación, dibujada en Cyan, gira alrededor de 5 Z y es la última del brazo articulado.

Dado que no existen más articulaciones, y por tanto más ejes de giro, se define un Sistema de Referencia,

ligado al último brazo en el que el eje 6 Z coincide con 5

Z mientras que 6 X es cualquier vector



perpendicular. El origen 6Q se sitúa en posición arbitraria, generalmente en el extremo del brazo 5, que

es donde se ancla la herramienta del manipulador.

En este caso se tiene 60a = y 6

d es la distancia desde 5Q a 6

Q , que para el robot PUMA es

6mm56.25d = . Finalmente, 6

0= .

4. Transformación de coordenadas

Ya se ha comentado que los 4 parámetros i a , i

d , i y i asociados a la i -ésima articulación, cuyo S.R.

tiene por origen el punto 1i Q

− y Base { }1 1 1, ,

i i i X Y Z

− − − determinan unívocamente la transformación en el

S.R asociado a la ( 1)i + -ésima articulación, que tiene origen en i Q y Base { }, ,i i i X Y Z . De estos 4 parámetros, los 3 primeros son constantes y dependen exclusivamente de la relación geométrica entre las

articulaciones i e 1i + , mientras que el 4º parámetro i es la única variable de la articulación i , siendo el

ángulo de giro del eje 1i X

− alrededor del eje 1i Z

− para llevarlo hasta i X .

Sabemos que dados 2 Sistemas de Referencia { }1 1 1 2 3, [ , , ]R Q u u u y { }2 2 1 2 3, [ , , ]R Q v v v con

Bases ortonormales asociadas, el cambio de coordenadas del segundo S.R. al primero viene dado por:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

R

α β λ

α β λ

α β λ

= +

⋅

donde 1 2 3, ,β β son las coordenadas de un punto en el S.R 2R , R es la matriz del Cambio de Base tal

que 1 2 3 1 2 3| | | |v v v u u u R⋅ y 1 2 3, ,λ λ son las coordenadas del origen del segundo S.R., 2Q

respecto al primero. La expresión permite entonces obtener las coordenadas 1 2 3, ,α α del punto en

cuestión con respecto al primero de los S.R.

En nuestro caso, para pasar de la ( 1)i + -ésima articulación a la i -ésima, los Sistemas de Referencia son

{ }1 1 1 1 1R , , ,i i i i Q X Y Z − − − − y { }2R , , ,i i i i Q X Y Z .

Estudiaremos por separado la matriz del Cambio de Base y la expresión de i Q en en el primer S.R.



4.1 Matriz del Cambio de Base

Habiendo asignado los ejes a cada articulación mediante la representación Denavit-Hartenberg, tenemos que:

1- El eje i X se obtiene rotando el eje 1i

X − alrededor del eje 1i

Z − un ángulo i .

2- El ejei

Z se obtiene rotando el eje1i

Z − alrededor del eje

i

X un ánguloi .

Por su parte, el eje i Y viene ya determinado por i

X y i Z .

• La primera transformación es una rotación alrededor del 3er vector de la 1ª Base, cuyas ecuaciones

genéricas son:

(1) (1) (1)1 2 3 1 2 3 3| | | | ( )i

u u u u u u R θ =

• La segunda transformación es una rotación alrededor del 1er vector de la Base ya transformada, y tiene

por expresión:

(2) (2) (2) (1) (1) (1)1 2 3 1 2 3 1| | | | ( )i u u u u u u R α

Por tanto, concatenándolas:(2) (2) (2)1 2 3 1 2 3 3 1| | | | ( ) ( )

i i u u u u u u R R α =

Finalmente, cambiamos la notación para tener: 1 1 1 3 1| | | | ( ) ( )i i i i i i i i X Y Z X Y Z R R α

− − −

Con lo cual, la matriz del Cambio de Base es:

3 1

cos sen 0 1 0 0sen cos 0 0 cos sen

0 0 1 0 sen cos

( ) ( )i i

i i i i i i

i i

R R Rθ θ

θ θ θ α α

α α

− ⋅ −

= =

cos sen cos sen sen

sen cos cos cos sen

0 sen cos

i i i i i

i i i i i

i i

R

θ θ α θ α

θ θ α θ α

α α

−

= −

4.2 Coordenadas de Q i en el primer S.R.

Según la representación de Denavit-Hartenberg, el origen del 2º Sistema de Referencia se obtiene mediante:

1- Traslación de 1i Q

− a lo largo del eje 1i Z

− por la magnitud i d .

2- Traslación a lo largo del eje i X por la magnitud i

a .

• La primera transformación es: 1 1 1

(1)i i i i

Q Q d Z − − −

+

• La segunda transformación es: 1

(1)i i i i

Q Q a X −

+



Teniendo ahora en cuenta que:

1 1 1

cos sen cos sen sen

| | | | sen cos cos cos sen

0 sen cos

i i i i i

i i i i i i i i i i i

i i

X Y Z X Y Z

θ θ α θ α

θ θ α θ α

α α

− − −

−

⋅ −

=

Se tiene, para el 1er

vector:

1 1 1 1 1

cos

| | sen cos sen

0

i

i i i i i i i i i X X Y Z X Y

θ

θ θ θ− − − − −

⋅ = ⋅ + ⋅

=

de donde: 1 1 1 1 1

(1) cos sen( )i i i i i i i i i i i i

Q Q a X Q d Z a X Y θ− − − − −

+ = + + ⋅ + ⋅

1 1 1 1cos sen( ) ( )

i i i i i i i i i i Q Q a X a Y d Z θ

− − − −+ + +

y por tanto, las coordenadas de i Q en el 1er Sistema de Referencia son:

1

2

3

cos

sen

i i

i i

i

a

a

d

θ

θ

λ

λ

λ

=

Finalmente, la transformación de coordenadas del S.R. [ ]i i i i Q , X ,Y , Z al S.R. 1 1 1 1, , ,[ ]i i i i Q X Y Z − − − − es:

1 1

2 2

3 3

cos sen cos sen sen cos

sen cos cos cos sen sen

0 sen cos

i i i i i i i

i i i i i i i

i i i

a

a

d

θ θ α θ α θ

θ θ α θ α θ

α α

α β

α β

α β

−

= − +

⋅

Cambiando la notación para las coordenadas:

1

1

1



0 sen cos

i i i i i i i

i i i i i i i

i i i

i i

i i

i i

a

a

d

x x

y y

z z

θ θ α θ α θ

θ θ α θ α θ

α α

−

−

−

−

= − +

⋅

Donde el subíndice denota el Sistema de Referencia respecto al cual están expresadas las coordenadas.

En coordenadas homogéneas:

1

1

1



0 sen cos

1 0 0 0 1 1

i i i i i i i

i i i i i i i

i i i

i i

i i

i i

a

a

d

x x

y y

z z

θ θ α θ α θ

θ θ α θ α θ

α α

−

−

−

−

− =

⋅



5. Matrices de transformación para el PUMA-560

En la sección 3 se explicó la estructura articulada del PUMA-560, la asignación de Sistemas de Referencia a

cada articulación y el valor de los parámetros constantes i a , i

d , i asociados. A modo de resumen,

tenemos la siguiente Tabla:

Articulación ai d i α i

1 0 0 -90

2 431.8 144.09 0

3 -20.32 0 +90

4 0 433.07 -90

5 0 0 +90

6 0 56.25 0

A partir de la cual podemos obtener las 6 matrices de transformación:

1 1

1 10

1

cos 0 -sen 0

sen 0 cos 0

0 1 0 0

0 0 0 1

T

θ θ

θ θ

=

2 2 2 2

2 2 2 21

2

2

cos sen 0 cos

sen cos 0 sen

0 0 1

0 0 0 1

a

aT

d

θ θ θ

θ θ θ

− =

3 3 3 3

3 3 3 32

3

cos 0 sen cos

sen 0 cos sen

0 1 0 0

0 0 0 1

a

aT

θ θ θ

θ θ θ

− =

4 4

4 43

4

4

cos 0 -sen 0

sen 0 cos 0

0 1 0

0 0 0 1

T d

θ θ

θ θ

=

5 5

5 54

5

cos 0 sen 0

sen 0 cos 0

0 1 0 0

0 0 0 1

T

θ θ

θ θ

−

=

6 6

6 65

6

6

cos sen 0 0

sen cos 0 0

0 0 1

0 0 0 1

T d

θ θ

θ θ

−

=

Y la transformación de coordenadas desde el S.R. [ ]i i i i Q , X ,Y , Z al [ ]0 0 0 0Q , X ,Y , Z es:

(0) 0 1 1 ( )

1 2

i i

i p T T T p= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

En particular, para la última articulación:(0) 0 1 2 3 4 5 ( )

1 2 3 4 5 6

i p T T T T T T p⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

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