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Abstract— This paper aims at addressing the synthesis application of robust control technique in a manipulator based on LMIs (Linear Matrix Inequalities) in order to minimize the 𝑯∞ norm by taking into account the uncertain parameters of the manipulator. The control strategy is based on the compute torque control scheme that is composed of two control loops. The inner loop aims at linearizing the nonlinear robot dynamics using feedback linearization. The outer loop tracks the desired trajectory based on a PD controller, which is robustified against uncertain parameters and neglecting dynamics. The robust control technique is applied in a two degrees of freedom planar manipulator and the numerical results show the benefits of the robustified control strategy in the dynamical performance in terms of tracking accuracy, disturbance rejection and uncertain parameters.

Keywords— Robot control, Robust control, Manipulator, Uncertainty, Computed Torque Control.

I. INTRODUÇÃO

ANIPULADORES robóticos têm sido amplamente utilizados em diversas áreas tais como sistemas de

manufatura, aplicações médicas e dispositivos para busca e resgate entre outras. Estas aplicações demandam dos manipuladores a execução de movimentos específicos com alta precisão e confiabilidade. No entanto, diversos fatores tais como ruído nos sensores, comportamento dinâmico não modeladas e incertezas paramétricas afetam o desempenho dos manipuladores. Uma solução para esta problemática é projetar sistemas de controle para os manipuladores que permitam aprimorar o desempenho dinâmico destes e assim aprimorar a execução de suas funções [1].

As leis de controle de um manipulador em gera baseiam-se no modelo, portanto a formulação do modelo dinâmico e a identificação de seus parâmetros são fundamentais no projeto dos controladores. No entanto, o modelo é uma representação matemática que aproxima a dinâmica do sistema real. Assim, efeitos dinâmicos existentes no sistema podem ser negligenciados no modelo dinâmico e por conseguinte deteriorar o desempenho do controlador. Adicionalmente, os métodos de identificação dos parâmetros apresentam como resultados pequenos erros associados aos parâmetros identificados. Neste contexto, duas estratégias de controle têm sido utilizadas no controle dos manipuladores: controle adaptativo e controle robusto [2]. Consequentemente, é necessário formular leis de controle robustas, a fim de lidar com comportamentos dinâmicos não modeladas e incertezas paramétricas.

T. L. Costa, F.A. Lara-Molina e E. Taketa, Universidade Tecnológica

Federal do Paraná, Departamento de Engenharia Mecânica, Brasil. A. A. Cavalini Jr, Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de

Engenharia Mecânica, Brasil. Corresponding author: F. A. Lara-Molina, fabianmolina@utfpr.edu.br.

Neste sentido, diversos trabalhos têm sido desenvolvidos com o propósito de robustificar os controladores de posição dos manipuladores. Fundamentalmente, cinco abordagens principais têm sido utilizadas para o controle robusto de manipuladores [3]: 𝑖) controle linear multivariável: no qual as especificações de desempenho linear estão disponíveis e o projeto da lei de controle garante robustez; 𝑖𝑖) controladores passivos: fáceis de implementar, no entanto, não proporcionam medidas de desempenho quantificáveis; 𝑖𝑖𝑖) controladores de estrutura variável: utilizados em manipuladores com elos ou juntas flexíveis para fazer frente às vibrações; 𝑖𝑣) controladores de saturação minimizar erros transientes; e 𝑣) controladores robustos adaptativos. Considerando a abordagem linear multivariável, diversos autores têm projetado controladores lineares e baseiam-se em modelos lineares com perturbações não lineares [4]-[6]. Também o controle inteligente baseado em controladores fuzzy e redes neurais têm sido utilizados nesta abordagem [7], [8] juntamente com técnicas de controle linear robustificadas tais como controle preditivo generalizado robustificado [9] entre outras.

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma abordagem alternativa no controle linear multivariável robusto. Neste trabalho, apresenta-se uma lei de controle de torque computado robustificada mediante LMIs (Desigualdades Matriciais Lineares) que visa minimizar o custo 𝐻∞ [10]. A lei de controle proposta permite a inclusão das incertezas paramétricas e dinâmicas não modeladas em um modelo linear equivalente utilizado no projeto do controlador. Para isto, as incertezas paramétricas são modeladas como variáveis aleatórias, e o modelo apropriado para o projeto do controlador robusto é obtido mediante a simulação de Monte Carlo que permite determinar a representação com incertezas politópicas do sistema. Esta representação é adicionada nas LMIs e posteriormente o controlador robusto é obtido pela minimização da norma 𝐻∞.

O restante deste atrigo está organizado em seis seções. O modelo dinâmico do manipulador é apresentado na seção II. A seção III apresenta o controle de torque computado com incertezas paramétricas e dinâmicas não modeladas. A modelagem e quantificação das incertezas paramétricas no controle de torque computado apresenta-se na seção IV. O projeto do controle robusto para o rastreamento de trajetórias apresenta-se na seção V. A avaliação do desempenho do controlador proposto mediante simulação computacional é apresentada na seção VI. Finalmente, seção VII apresenta as conclusões e os trabalhos futuros.

II. MODELO DINÂMICO DO MANIPULADOR

O modelo dinâmico do manipulador pode ser obtido

mediante a equação de Euler-Lagrange [2] com a finalidade de

M

Robust Control 𝐻∞ of Computed Torque for Manipulators

Thamiris L. Costa, Fabian A. Lara-Molina, Aldemir A. Cavalini Jr e Erik Taketa

398 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 2, FEB. 2018

estabelecer a equação dinâmica para o projeto do sistema de controle. A dinâmica dos elos e atrito das juntas, para um manipulador serial com 𝑛 juntas, é apresentado na equação matricial a seguir:

𝑀(𝜃)�̈� + 𝑣�𝜃, �̇�� + 𝑓��̇�� + 𝑔(𝜃) + 𝜏𝑑 = 𝜏 (1)

Onde:

• 𝜃 ∈ ℝ𝑛 é o vetor da posição das juntas. • �̇� ∈ ℝ𝑛 é o vetor da velocidade das juntas. • �̈� ∈ ℝ𝑛 é o vetor da aceleração das juntas. • 𝑀(𝜃) ∈ ℝ𝑛×𝑛 é a matriz de inércia. • 𝑣(𝜃, �̇�) ∈ ℝ𝑛 é o vetor das forças / momentos

centrípetos e de Coriolis. • 𝑓(�̇�) ∈ ℝ𝑛 é o vetor das forças / momentos de

atrito nas juntas. • 𝑔(𝜃) ∈ ℝ𝑛 é o vetor das forças / momentos

gravitacionais. • 𝜏 ∈ ℝ𝑛 é o vetor das forças / momentos aplicados

nas juntas pelos atuadores. • 𝜏𝑑 ∈ ℝ𝑛 é o vetor das forças / momentos de

distúrbio nas juntas. A equação dinâmica (1) pode ser reescrita de uma forma

simplificada considerando que ℎ�𝜃, �̇�� = 𝑣�𝜃, �̇�� + 𝑓��̇�� +𝑔(𝜃), assim: 𝑀(𝜃)�̈� + ℎ�𝜃, �̇�� + 𝜏𝑑 = 𝜏 (2)

III. TORQUE COMPUTADO COM INCERTEZAS

O controle de sistemas com incertezas é usualmente

realizado utilizando técnicas de controle robusto que visam proporcionar o melhor desempenho dos sistemas sujeitos a incertezas. Consequentemente, apresenta-se, o modelo equivalente do controle de torque computado considerando as incertezas nos parâmetros e comportamentos dinâmicos não modelados.

Controle de Torque-computado

O controle de torque computado é uma aplicação específica da linearização por realimentação de sistemas não lineares apresentada por [11]. Adicionalmente, o controle de torque computado tem sido amplamente utilizado juntamente com o controle robusto, adaptativo e preditivo em diversas aplicações no controle de posição dos manipuladores [9].

O esquema do controle de torque computado (ver Fig. 1) é composto de duas malhas de controle independentes: uma malha interna que tem por objetivo linearizar a dinâmica do manipulador e uma malha de controle externa para minimizar os erros no controle de rastreamento da trajetória.

Na malha interna de controle, os parâmetros da equação dinâmica do manipulador, apresentada na equação (2), devem ser identificados para calcular a lei de controle de torque computado. Para isto, o método dos mínimos quadrados tem sido amplamente utilizado na identificação dos parâmetros inerciais dos elos e dos atritos nas juntas [12]. Desta forma, com base na equação (2), definem-se os termos da equação

dinâmica considerando os parâmetros identificados: 𝑀�(𝜃)�̈� e ℎ�(𝜃, �̇�).

Inicialmente, no projeto do controle de torque computado, assume-se que os parâmetros identificados são iguais aos parâmetros do manipulador, portanto 𝑀�(𝜃) = 𝑀(𝜃) e ℎ��𝜃, �̇�� = ℎ(𝜃, �̇�). Adicionalmente, o ruído nos sensores e, comportamentos dinâmicos não modelados e os distúrbios são desconsiderados.

Figura 1. Diagrama do controle de torque computado. Por outro lado, a trajetória de referência no espaço das

juntas é completamente definida pela posição das juntas em função do tempo e suas respectivas derivadas que correspondem a velocidade e aceleração, portanto: 𝜃𝑑(𝑡), �̇�𝑑(𝑡) e �̈�𝑑(𝑡) é uma trajetória específica que o manipulador deve rastrear. Entende-se que todas as variáveis são função do tempo, portanto, a variável 𝑡 é retirada para simplificar a formulação. Consequentemente, o erro posição no rastreamento da trajetória e suas derivadas é definido por 𝑒, �̇� e �̈�, respectivamente, assim: 𝑒 = 𝜃𝑑 − 𝜃, �̇� = �̇�𝑑 − �̇�, �̈� = �̈�𝑑 − �̈� (3)

De forma semelhante, os termos da equação dinâmica do

manipulador são função da posição e velocidade das juntas como mostrado na equação (2). Por conseguinte, as variáveis 𝜃 e �̇� são retiradas de 𝑀(𝜃) e ℎ(𝜃, �̇�) para simplificar a notação.

Consequentemente, considerando a equação (2) com os parâmetros identificados e solucionado para �̈�, obtém-se: �̈� = 𝑀�−1[𝜏 − 𝜏𝑑 − ℎ�] (4)

Adicionalmente, substituindo �̈� na equação (3), tem-se:

�̈� = �̈�𝑑 + 𝑀�−1[ℎ� − 𝜏 − 𝜏𝑑] (5)

A entrada de controle e o distúrbio são definidos como 𝑢 e

𝑤, respectivamente, assim: 𝑢 = �̈�𝑑 + 𝑀�−1[ℎ� − 𝜏] (6)

𝑤 = 𝑀�−1𝜏𝑑 (7)

A representação no espaço de estados para a dinâmica do

erro de rastreamento de trajetória (equação (5)) é definida com

LIMA COSTA et al.: ROBUST H∞ COMPUTED 399

base nas equações apresentadas anteriormente. Para isto, define-se o vetor de estados 𝑥 = [𝑒 �̇�]𝑇, com 𝑥 ∈ ℝ2𝑛, assim: 𝑑𝑑𝑡�𝑒�̇�� = �0 𝐼𝑛

0 0 � �𝑒�̇�� + �0

𝐼𝑛�𝑢 + �0

𝐼𝑛�𝑤

(8)

A equação (8) apresenta um sistema linear para o erro na

forma canônica de Brunovsky que consiste em 𝑛 integradores duplos da forma 1 𝑠2⁄ , um para cada junta, onde 𝑠 é a variável de Laplace [2].

Também, a lei de controle de torque computado é obtida invertendo a equação (6), assim: 𝜏 = 𝑀��̈� + ℎ� + 𝜏𝑑 (9)

A transformação não linear da equação (6) tem

transformado o problema de projeto de um controlador não linear complexo em um problema de projeto de um controle linear simples considerando cada junta desacoplada. O diagrama da lei de controle é apresentado na Fig. 1.

É importante mencionar que a lei de controle de torque computado depende da inversão da equação dinâmica do manipulador, assim 𝜏 pode ser calculado utilizando a equação (2), substituindo �̈� por 𝜃𝑑 − 𝑢.

O sinal de controle da malha de realimentação externa pode ser calculado mediante técnicas lineares de controle tais como controle robusto.

Estrutura com incertezas do controle de torque

computado

A estrutura com incertezas do controle de torque computado tem sido considerada na literatura como um distúrbio não linear aplicado no modelo linear da dinâmica do erro (da equação (8)) [2], [6], [13], assim:

�̇� = 𝐴𝑒 + 𝐵(𝑢 + 𝑣) 𝑣 = ∆(𝑢 − �̈�𝑑) + 𝑀−1𝛿 (10) ∆ = 𝑀−1𝑀� − 𝐼𝑛, 𝛿 = ℎ − ℎ�

No entanto a formulação apresentada na equação (10) leva

em consideração as incertezas como uma entrada não linear, 𝑣, no sistema. Isto dificulta quantificar o efeito das incertezas paramétricas no controle de torque computado e por conseguinte o projeto do controlador utilizando técnicas de controle linear. No entanto, diversos autores apresentam controladores utilizando esta abordagem [3]. Como uma alternativa a esta abordagem será estabelecido um modelo capaz de incluir as incertezas paramétricas no modelo linear da equação (8).

A equação dinâmica do manipulador, apresentada na equação (2) e a lei de controle de torque computado mostrada na equação (9) são utilizadas com uma modificação que consiste em substituir �̈� por 𝑀�−1𝑀�̈�𝑑 − 𝑢, assim: 𝜏 = 𝑀�(𝑀�−1𝑀�̈�𝑑 − 𝑢) + ℎ� (11)

Usando as equações (2) e (11) juntamente com a definição do erro de rastreamento da equação (3), obtêm-se uma expressão que define completamente a dinâmica do erro de rastreamento que considera os parâmetros identificados em 𝑀� e ℎ�, assim: �̈� = 𝑀−1𝑀�𝑢 + 𝑀−1�ℎ − ℎ�� + 𝑀−1𝜏𝑑 (12)

É importante destacar que os parâmetros identificados dos

termos 𝑀� e ℎ� inserem incertezas no sistema, ou seja, existem pequenas diferenças entre os termos identificados em 𝑀 e ℎ. A representação no espaço de estados para a dinâmica do erro da equação (12) apresenta-se a seguir: 𝑑𝑑𝑡�𝑒�̇�� = �0 𝐼𝑛

0 0 � �𝑒�̇�� + � 0

𝑀−1 𝑀��𝑢 (13)

+ � 0𝑀−1(ℎ − ℎ�)�+ � 0

𝑀−1�𝑤

Consequentemente, utilizando as variáveis auxiliares

𝜂 = 𝑀−1 𝑀� e 𝜆 = 𝑀−1 (ℎ − ℎ�), tem-se: 𝑑𝑑𝑡�𝑒�̇�� = �0 𝐼𝑛

0 0 � �𝑒�̇�� + �0𝜂� 𝑢 + �0𝜆� + �0

𝜙�𝑤 (14)

ou �̇� = 𝐴𝑒 + 𝐵𝑢 + Λ + 𝐵1𝑤 (15) 𝑦 = 𝐶𝑒 + 𝐷𝑢 + 𝐷1𝑤

com 𝐶 = 𝐼𝑛, 𝐷 = 𝐷1 = 0𝑛 e Λ = [0 𝜆]𝑇; Λ também é uma entrada exógena no sistema.

A equação (14) mostra que as incertezas nos parâmetros inerciais inserem o acoplamento entre as juntas e aplicam distúrbios no sistema. Portanto, a expressão mostrada na equação (15) permite obter um modelo linear para o torque computado com incertezas como alternativa ao modelo mostrado na equação (10).

IV. MODELAGEM E QUANTIFICAÇÃO DAS

INCERTEZAS Uma vez apresentada a estrutura com incertezas do

controle de torque computado nas equações (13) e (15), é necessário conhecer o efeito das incertezas neste modelo para projetar o controle robusto.

Com este propósito, a Simulação de Monte Carlo é um método probabilístico que permite propagar o efeito das incertezas no modelo de um sistema. Neste caso, as incertezas paramétricas devem ser modeladas como variáveis ou aleatórias. Este modelo é bem adequado para os parâmetros identificados dos manipuladores quando o método dos mínimos quadrados é utilizado devido a que os parâmetros identificados são caracterizados por uma média e desvio padrão [14]. Os erros associados ao desvio padrão dos parâmetros identificados é produzido principalmente pelos efeitos dinâmicos não modelados, ruído nos sensores e variações nas condições de operação [15].

400 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 2, FEB. 2018

A seguis, apresentam-se o modelo dos parâmetros incertos mediante variáveis aleatórias e a Simulação de Monte Carlo para calcular o efeito destas no modelo.

Modelagem dos parâmetros incertos

As incertezas paramétricas são modeladas como variáveis aleatórias devido a que esta representação matemática permite associar os resultados para cada parâmetro identificado utilizando o método dos mínimos quadrados: média e desvio padrão. Portanto, os parâmetros com incertezas são modelados da forma a seguir: 𝑘�𝑖(Ω) = 𝑘�𝑖 + 𝑘�𝑖𝜎𝑖𝜉(Ω) (16)

onde para cada parâmetro 𝑘�𝑖 é a média, 𝜎𝑖 é o maior desvio percentual em relação à média e 𝜉(Ω) é a variável aleatória normal sendo Ω um processo aleatório. A variável aleatória normal é governada por uma função de distribuição de probabilidade normal; esta função de distribuição de probabilidade foi utilizada para avaliar os parâmetros incertos.

Simulação de Monte Carlo

A simulação de monte Carlo combinada com a Hipercubo Latino é um método que permite amostrar as variáveis aleatórias para avaliar o efeito das incertezas para métricas modeladas no modelo; detalhes adicionais sobre este método computacional encontram-se em [16]. Consequentemente, desta forma, calculam-se os valores máximos e mínimos dos coeficientes do modelo da equação (15), assim: �̇� = 𝑨𝒆 + 𝑚𝑎𝑥𝑩(Ω)𝒖+ 𝑚𝑎𝑥𝚲(Ω) + max𝑩1(Ω)𝒘 (17) 𝒚 = 𝑪𝒆 + 𝑫𝒖 + 𝑫1𝒘

e �̇� = 𝑨𝒆 + 𝑚𝑖𝑛𝑩(Ω)𝒖+ 𝑚𝑖𝑛𝚲(Ω) + min𝑩1(Ω)𝒘 (18) 𝒚 = 𝑪𝒆 + 𝑫𝒖 + 𝑫1𝒘

A formulação apresentada nas equações (17) e (18)

permitirá o projeto da lei de controle para a malha de realimentação externa da Fig. 1.

V. CONTROLADOR ROBUSTO PARA MALHA

EXTERNA

Este trabalho apresenta um controlador robusto baseado

em LMIs para minimizar o custo 𝐻∞ [10] que permite a inclusão das incertezas no controle de torque computado para o rastreamento de trajetórias. O projeto da malha de controle externa do sistema será realizado mediante um controlador proporcional derivativo com realimentação de estados. Portanto o controle, 𝒖, da Fig. 1 consiste em: 𝒖 = 𝑲𝒆 (19)

Sendo 𝑲 ∈ ℝ𝑛×2𝑛 a matriz de ganhos do controlador.

Controle 𝑯∞ com incertezas politópicas As incertezas politópicas de um sistema podem ser

dividas em dois grupos principais: incertezas paramétricas e devido aos fenômenos dinâmicos não modelados. As incertezas paramétricas referem-se às variações nos parâmetros do sistema. No projeto do controlador as matrizes dinâmicas são representadas mediante a modelagem politópica. Um politopo é a menor casca convexa que contém todos os vértices de um conjunto finito. E todo elemento no politopo pode ser escrito como uma combinação convexa dos vértices [17]. Então, seja um politopo 𝑃 com 𝜅 vértices, qualquer ponto 𝑝 que pertença ao politopo pode ser escrito como:

𝑝 = �𝛽𝑖𝜅𝑖

𝜅

𝑖=1

(20)

sendo: 𝛽𝑖 ≥ 0;

(21) � 𝛽𝑖𝜅

𝑖=1= 1

Considerando o modelo do manipulador da equação (15),

com 𝚲 ≪ 𝑩1𝒘, as incertezas podem-se parametrizar de forma que: �̇� = 𝑨(𝛽)𝒙+ 𝑩(𝛽)𝒖 + 𝑩1(𝛽)𝒘 (22) 𝒚 = 𝑪(𝛽)𝒙 + 𝑫(𝛽)𝒖 + 𝑫1(𝛽)𝒘

Sendo:

𝑨(𝛽) = �𝛽𝑖𝑨𝑖

𝜅

𝑖=1

𝑪(𝛽) = �𝛽𝑖𝑪𝑖

𝜅

𝑖=1

(23) 𝑩(𝛽) = �𝛽𝑖𝑩𝑖

𝜅

𝑖=1

𝑩𝟏(𝛽) = �𝛽𝑖𝑩1𝑖

𝜅

𝑖=1

𝑫(𝛽) = �𝛽𝑖𝑫𝑖

𝜅

𝑖=1

𝑫𝟏(𝛽) = �𝛽𝑖𝑫1𝑖

𝜅

𝑖=1

Λ𝜅 = {𝛽 ∈ ℝ𝑚 𝜅: �𝛽𝑖

𝜅

𝑖=1

= 1,𝛽𝑖 ≥ 0}

sendo (𝐴𝑖,𝐵𝑖,𝐵1𝑖,𝐶𝑖,𝐷𝑖,𝐷1𝑖) os vértices do politopo e 𝑥 o vetor de estados do sistema.

A partir da representação do sistema mostrada na equação (22), é projetado um controlador robusto 𝐻∞ com incertezas politópicas e dinâmicas não modeladas. A norma 𝐻∞ corresponde ao maior fator de amplificação da resposta do regime estacionário a uma excitação senoidal [18]. Então a fim de minimizar os efeitos causados pela dinâmica não modelada ou entrada exógena 𝒘 na saída 𝒚 do sistema, minimiza-se a norma 𝐻∞ [19].

Considerando que 𝐺(𝑠) seja a função de transferência entre a saída do sistema 𝒚 e a entrada exógena 𝒘, sendo

LIMA COSTA et al.: ROBUST H∞ COMPUTED 401

𝑠 = 𝑗𝜔 a variável de Laplace, define-se a norma 𝐻∞ de 𝐺(𝑠) como: ‖𝐺(𝑠)‖∞ = Φ𝑚𝑎𝑥[𝐺(𝑗𝜔)] (24)

sendo Φ𝑚𝑎𝑥 o valor singular máximo de 𝐺(𝑗𝜔). Limitando a magnitude de 𝐺(𝑠) por 𝛾 tem-se: ‖𝐺(𝑠)‖∞ < 𝛾 (25)

Desta forma, a fim de que a magnitude de ‖G‖∞ seja

pequena, minimiza-se 𝛾. Portanto minimizando a norma H∞ de 𝐺(𝑠), minimizam-se os efeitos causados pela dinâmica não modelada 𝒘 na saída do sistema.

Então a norma H∞ do sistema da equação (22), cuja função de transferência é 𝐺(𝑠), pode ser caracterizada como [19]: ‖𝐺(𝑠)‖∞ ≤ 𝛾 ⟺ 𝒚𝑇𝒚 < 𝛾2𝒘𝑇𝒘 (26)

Consequentemente, escrevendo novamente a equação (26), tem-se: 𝒚𝑇𝒚 − 𝛾2𝒘𝑇𝒘 < 0 (27)

A estabilidade no sistema da equação (27) deve ser

verificada para calcular a norma 𝐻∞. Portanto, a função candidata de Lyapunov para avaliar a estabilidade do sistema é apresentada na equação (28). A estabilidade é verificada se sua derivada �̇�(𝑥) for definida negativa e considerando a equação (27), tem-se: 𝑽(𝑥) = 𝒙𝑇𝒙, 𝑷 = 𝑷𝑇 (28)

com: �̇�(𝑥) = 𝒙̇𝑇𝑷𝒙 + 𝒙𝑇𝑷�̇� < 0 (29)

Das equações (27) e (29):

�̇�(𝑥) + 𝒚𝑇𝒚 − 𝛾2𝒘𝑇𝒘 < 0 (30)

Reescreve-se a Equação (30), obtém-se:

𝒙̇𝑇𝑷𝒙 + 𝒙𝑇𝑷�̇� + 𝒚𝑇𝒚 − 𝛾2𝒘𝑇𝒘 < 0 (31)

Por outro lado o sistema em malha fechada é obtido

considerando a lei de controle da equação (19) e o sistema da equação (22): �̇� = 𝑨𝑐𝑙(𝛽)𝒙 + 𝑩1(𝛽)𝒘 (32) 𝒚 = 𝑪𝑐𝑙(𝛽)𝒙+ 𝑫1(𝛽)𝒘

sendo: 𝑨𝑐𝑙(𝛽) = 𝑨(𝛽)− 𝐁(𝛽)𝑲 𝑪𝑐𝑙(𝛽) = 𝑪(𝛽) −𝐃(𝛽)𝑲

Substituindo (32) em (31) e realizando manipulações

matemáticas, obtém-se a desigualdade matricial não-linear:

�𝑺1 𝑺2𝑺2𝑇 𝑺3

� < 0 (33)

onde, 𝑆1 = 𝑨𝑐𝑙𝑇 (𝛽)𝑷 + 𝑷𝑨𝑐𝑙(𝛽) + 𝑪𝑐𝑙𝑇 (𝛽)𝑪𝑐𝑙(𝛽) 𝑆2 = 𝑷𝑩1(𝛽) + 𝑪𝑐𝑙𝑇 (𝛽)𝑫1(𝛽) 𝑆3 = 𝑫1

𝑇(𝛽)𝑫1(𝛽)− 𝛾2𝑰

Definindo que 𝑾 = 𝑷−1 e 𝒁 = 𝑲𝑾, e pré-multiplicando e pós-multiplicando (33), respectivamente, por:

�𝑃−1 00 𝑰

�−1

�𝑃−1 00 𝑰

�−𝑇

(34)

obtém-se:

�𝑸1 𝑸2𝑸2𝑇 𝑸3

� < 0 (35)

sendo: 𝑄1 = 𝑨(𝛽)𝑿+ 𝑿𝑨𝑇(𝛽) + 𝑩2(𝛽)𝑮+ 𝑮𝑇𝑩2

𝑇(𝛽)+ (𝑿𝑪𝑇(𝛽) + 𝑮𝑇𝑫2

𝑇(𝛽))(𝑪(𝛽)𝑿+ 𝑫2(𝛽)𝑮); 𝑄2 = 𝑩1(𝛽) + (𝑿𝑪𝑻(𝛽) + 𝑮𝑇𝑫2

𝑇(𝛽))𝑫1(𝛽); 𝑄3 = 𝑫1

𝑇(𝛽)𝑫1(𝛽)− 𝛾2𝑰

Desta forma aplicando o complemento de Schur em (35) que transforma desigualdades matriciais não-lineares em LMIs [20] e fazendo 𝜇 = 𝛾2, o sistema da equação (22) é estabilizado pela lei de controle (19) se as matrizes 𝒁, 𝑾 = 𝑾𝑇 são factíveis no problema de otimização: min𝜇

(36)

𝒁,𝑾 = 𝑾𝑇 > 0 𝑠. 𝑎.

�𝑸 𝑩1𝑖 𝑊𝑪𝑖𝑇 + 𝒁𝑇𝑫2𝑖

𝑇

∗ −𝜇𝑰 𝑫1𝑖∗ ∗ −𝑰

� < 0

com: 𝑄 = 𝑨𝑖𝑾 + 𝑾𝑨𝑖𝑇 + 𝑩𝑖𝒁 + 𝒁𝑇𝑩𝑖

𝑇. Portanto pode-se minimizar a ‖𝐻‖∞ solucionando o

problema de otimização da equação (36) [19]. Adicionalmente, a matriz de ganho de realimentação da lei de controle da equação (19) é dada por: 𝑲 = 𝒁𝑾−1 (37)

Para matrizes simétricas de (36) assume-se que possuam

dimensões apropriadas. O símbolo ∗ indica o termo transposto na matriz.

VI. ESTUDO DE CASO

A metodologia do projeto de controle robusto apresentada

anteriormente será aplicada no controle de rastreamento de

402 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 2, FEB. 2018

trajetória de um manipulador planar de dois graus de liberdade. Na Fig. 2 apresenta-se um desenho esquemático do manipulador. Adicionalmente, os parâmetros identificados apresentam-se na Tabela I. A equação dinâmica completa do manipulador é apresentada no apêndice A.

A modelagem dinâmica do manipulador juntamente com os esquemas de controle foram implementados no Matlab/Simulink para avaliar o desempenho do controlador mediante simulação computacional.

Figura 2. Manipulador planar de dois graus de liberdade.

Implementação do controle 𝑯∞ Inicialmente, é necessário caracterizar as incertezas

presentes na estrutura com incertezas do controle de torque computado. Para isto, os parâmetros dinâmicos, identificados previamente utilizando o método dos mínimos quadrados [21] são apresentados na Tabela I. Os parâmetros identificados são caracterizados pela média, 𝑘�, e desvio padrão percentual, 𝜎.

TABELA I

Parâmetros identificados

Parâmetro 𝑘� 𝜎(%) 𝑚1[𝑘𝑔] 0,2504 0,0653 𝑐1[𝑁𝑚] 0,9785 0,2602

𝑣1[𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑] 1,0034 0,0455 𝑚2[𝑘𝑔] 0,2498 0,0291 𝑐2[𝑁𝑚] 0,9869 0,2611

𝑣2[𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑] 1,0018 0,0385 Adicionalmente, 𝑙1 = 0,2500 𝑚, 𝑙2 = 0,2500 𝑚 e 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠2. Como apresentado na Tabela I, as incertezas são inseridas

nos parâmetros identificados da estrutura de torque computado com incertezas e modeladas (da equação (13)) como variáveis aleatórias conforme a equação (16) que considera a média e desvio padrão percentual. No modelo com incertezas, avalia-se para os limites das juntas apresentadas a seguir: 0 ≤ 𝜃1,2 ≤𝜋 𝑟𝑎𝑑 e −1 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ≤ �̇�1,2 ≤ −1 𝑟𝑎𝑑/𝑠.

Consequentemente, a simulação de Monte Carlo permite determinar os valores máximos e mínimos dos elementos das matrizes 𝜂 e 𝜙, e do vetor 𝝀 (valores mostrados nas tabelas II, III e IV). Estes valores correspondem aos vértices do politopo da equação (23).

TABELA II

MÁXIMOS E MÍNIMOS DE 𝜂.

Parâmetro min 𝜼𝒊𝒋 max 𝜼𝒊𝒋 𝜂11 0,9994 1,0006 𝜂12 0,0000 0,0000 𝜂21 −0,0018 0,0016 𝜂22 0,9997 1,0003

TABELA III MÁXIMOS E MÍNIMOS DE 𝝀.

Parâmetro min 𝝀𝒊 max 𝝀𝒊

𝜆1 −0,0007216 0,0007216 𝜆2 −0,0001768 0,0001768

TABELA IV

MÁXIMOS E MÍNIMOS DE 𝜙.

Parâmetro min 𝝓𝒊𝒋 max 𝝓𝒊𝒋 𝜙11 32 64 𝜙12 −128 0 𝜙21 −128 0 𝜙22 64 320

Baseados nos dados das Tabelas II, III e IV descrevem-se

os vértices do politopo. Para (17):

𝑩1 = �0 00 0

1,00060,0016

0,00001,0003

� 𝑩1 = �0 00 0

640

0320

�

𝚲1 = �00

0,00072070,0001768

� (38)

O vértice correspondente à equação (18):

𝑩2 = �0 00 0

0,9994−0,0016

0,00000,9997

� 𝑩1 = �0 00 0

32−128

−12864

�

𝚲1 = �00

−0,0007207−0,0001768

� (39)

Observa-se que 𝚲 ≪ 𝑩1𝒘, assim 𝚲 não é considerado no

projeto do controle. Em segundo lugar, a malha de controle externa é projetada

solucionando o problema de otimização da equação (36) mediante a toolbox YALMIP (Yet Another LMI Parser) no software Matlab [22]. Para isto o sistema é representado pelas matrizes de estados dadas por 𝑨, 𝑩1, 𝑩2, 𝚲1, 𝚲2, 𝑩11, 𝑩12, 𝑪, 𝑫 e 𝑫1. A matriz de controle resultante do projeto é apresentada a seguir:

LIMA COSTA et al.: ROBUST H&#038;#8734; COMPUTED 403

𝑲 = �115,9557 −60,8995 46,6925 −25,018954,4661 275,7196 22,9276 111,5929�

(40)

Adicionalmente, um controlador PD para a estrutura de torque computado sem incertezas da equação (8) foi projetado com a finalidade de avaliar o desempenho do controlador robusto. Para este caso, a matriz de controle é definida por:

𝑲 = �𝑘𝑝1 0 𝑘𝑑1 0

0 𝑘𝑝2 0 𝑘𝑑2� (41)

Com 𝑘𝑝𝑖 = 𝜔𝑛2 e 𝑘𝑑𝑖 = 2𝜉𝜔𝑛, para 𝑖 = 1,2; este método de sintonia do controle tem sido utilizado amplamente na literatura [2]. Fixando 𝜉 = 1 e 𝜔𝑛 = 1,8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 para obter uma resposta equivalente no domínio do tempo à resposta do controlador 𝐻∞, tem-se 𝑘𝑝𝑖 = 3,24 e 𝑘𝑑𝑖 = 3,60.

Resultados Quatro etapas foram utilizadas nas simulações com o

propósito de avaliar o desempenho do manipulador juntamente com o controlador: 𝑖) rastreamento com uma referência degrau no espaço das juntas, 𝑖𝑖) rastreamento com trajetória de referência circular do efetuador final (localizado em 𝑚2 na Fig. 2) no espaço de trabalho, 𝑖𝑖𝑖) regulação em torno de uma posição de repouso ao aplicar um torque de distúrbio nas juntas, e 𝑖𝑣) avaliação de desempenho com incertezas nos parâmetros inerciais para uma referência degrau no espaço das juntas.

As Figs. 3 e 4 apresentam as posições das duas juntas para uma entrada degrau com posição inicial e final 𝜃𝑖𝑑 = [0 0]𝑇 e 𝜃𝑓𝑑 = [𝜋 60⁄ 𝑝𝑖 36⁄ ]𝑇, respectivamente. Os resultados indicam que o tempo de assentamento dos controladores PD e 𝐻∞ é semelhante, no entanto observa-se que a resposta transiente com o controlador 𝐻∞ é mais rápida.

Figura 3. Posição da junta 1: 𝜃1.

Figura 4. Posição da junta 2: 𝜃2.

Da mesma forma, para a entrada degrau, as Figs. 5 e 6 mostram o torque aplicado pelos atuadores nas duas juntas, respectivamente. O ruído nos sensores produz pequenas variações na velocidade das juntas que são proporcionais ao torque de atrito de coulomb aplicado quando o manipulador está em repouso. Este comportamento, observa-se antes de iniciar o movimento, assim, o toque apresenta variações de ±1 𝑁𝑚 em torno do seu valor incial: 1,8 𝑁𝑚 e 0,6 𝑁𝑚 para 𝜃1 e 𝜃2, respectivamente. O torque máximo aplicado utilizando o controlador PD é menor do que o torque máximo aplicado pelo controlador 𝐻∞. Isto indica que utilizando controlador 𝐻∞ obtém-se uma resposta mais rápida aplicando um esforço de controle maior do que o controlador PD.

Figura 5. Torque junta 1.

Figura 6. Torque junta 2.

404 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 2, FEB. 2018

A Fig. 7 apresenta a trajetória de referência circular do

efetuador final no espaço de trabalho. Também, apresentam-se as trajetórias rastreadas pelo manipulador com os controladores 𝐻∞ e PD. Os resultados indicam que o erro de rastreamento é menor utilizando o controlador 𝐻∞.

Figura 7. Trajetória circular no espaço de trabalho.

A Fig. 8 mostra uma representação polar do erro de rastreamento no espaço de trabalho para a trajetória circular de referência da Fig. 7. Semelhantemente, aos resultados obtidos no espaço das juntas, o erro de rastreamento no espaço de trabalho é menor utilizando o controlador 𝐻∞. No entanto, observa-se que a incidência do ruído nos sensores é maior com o controlador 𝐻∞.

Figura 8. Erro de posição no espaço de trabalho.

Nesta simulação, o manipulador coloca-se em repouso completamente estendido na posição 𝜃 = [0 0]𝑇; após 0,1𝑠 aplica-se um torque de distúrbio 𝜏 = [1 1]𝑇Nm. As Figs. 9 e 10 mostram os erros nas juntas. Os resultados mostram que o efeito do torque de distúrbio com o controlador 𝐻∞ é muito menor devido ao erro nas juntas ser menor utilizando este controlador.

Figura 9. Erro na junta 1: 𝑒1.

Figura 10. Erro na junta 2: 𝑒2.

As Figs. 11 e 12 mostram os torques aplicados nas juntas. Ainda que o erro produzido pelo distúrbio é menor usando o controle 𝐻∞ o torque também é menor em comparação ao obtido com o controlador PD; isto se deve as características de robustez frente as dinâmicas não modeladas. Adicionalmente, observa-se o mesmo comportamento descrito anteriormente pelo atrito de coulomb para o torque nas juntas quando o manipulador está em repouso.

Figura 11. Torque na junta 1: 𝜏1.

LIMA COSTA et al.: ROBUST H&#038;#8734; COMPUTED 405

Figura 12. Torque na junta 2: 𝜏2.

Finalmente, as Figs. 13 e 14 apresentam a posição das juntas para a entrada degrau com incertezas nos parâmetros inerciais mediante a Simulação de Monte Carlo. Assim, 𝑚1 e 𝑚2 tem uma variação de 1% em torno da média e os resultados apresentam 20 amostras.

Figura 13. Posição da junta 1: 𝜃1.

Figura 14. Posição da junta 2: 𝜃2.

Observa-se para as duas juntas que pequenas incertezas nos parâmetros produzem grandes erros para o controle de posição deteriorando a precisão no rastreamento de trajetórias utilizando o controlador PD. No entanto, os resultados indicam que o controlador 𝐻∞ é menos sensível à variação nos parâmetros inerciais devido à dispersão da posição da primeira e segunda junta ser menor com este controlador. Portanto os erros de posição também são diminuídos por causa da robustificação a incertezas paramétricas.

VI. ESTUDO DE CASO

Neste trabalho foi proposto o projeto de um controlador

robusto considerando as incertezas do manipulador para o

rastreamento de trajetória. Para isto, as incertezas paramétricas do manipulador foram caracterizadas e modeladas variáveis aleatórias. Também, as dinâmicas não modeladas foram consideradas. O controlador robusto 𝐻∞ com incertezas politópicas e dinâmicas não modeladas foi projetado após caracterizar as incertezas.

A partir dos resultados obtidos nas simulações computacionais conclui-se que o procedimento de projeto do controlador robusto levando em consideração as dinâmicas não modeladas e as incertezas paramétricas proporciona resultados satisfatórios. Portanto, o controlador robusto contribui para aprimorar o desempenho dinâmico do manipulador no rastreamento de trajetórias em termos do erro de rastreamento, atenuação de distúrbios e incertezas paramétricas.

Trabalhos futuros visam desenvolver controladores robustos aplicados em manipuladores com elementos flexíveis em seus elos e juntas.

APÊNDICE Equação dinâmica do manipulador planar de dois graus de

liberdade

Apêndice A: Inicialmente definem-se os vetores das juntas e dos torques aplicados para o manipulador com duas juntas na equação (1), assim:

𝜏 = �τ1τ2� 𝜃 = �θ1θ2

� �̇� = ��̇�1�̇�2� �̈� = ��̈�1

�̈�2�

(42)

com: cos (θ2) = c2, sin (θ2) = 𝑠2, cos (θ1) = c1 e cos (θ1 +θ2) = c12.

𝑴(𝜃) = �(𝑚1 + 𝑚2)𝑙12 + 𝑚2𝑙22 + 2𝑚2𝑙1𝑙2𝑐2 ⋯

𝑚2𝑙22 + 𝑚2𝑙1𝑙2𝑐2 ⋯�

(43)

�⋯ 𝑚2𝑙22 + 𝑚2𝑙1𝑙2𝑐2⋯ 𝑚2𝑙22

�

𝒗�𝜃, �̇�� = �−𝑚2𝑙1𝑙2(2�̇�1�̇�2 + �̇�22)𝑠2𝑚2𝑙1𝑙2�̇�12𝑠2

�

𝒈(𝜃) = �(𝑚1 + 𝑚2)𝑔𝑙1𝑐1 + 𝑚2𝑔𝑙2𝑐12

𝑚2𝑔𝑙2𝑐12� (44)

Por outra parte, os momentos correspondentes ao atrito de Coulomb e ao atrito viscoso de cada junta são considerados na equação (45).

𝐟(𝜃) = 𝐟𝑣�̇� + 𝐟𝑐 (45)

Sendo 𝐟𝒗 a força de atrito viscoso e 𝐟𝑐 a força de atrito de Coulomb. As equações (46) e (47) apresentam os momentos de atrito respectivos.

𝐟𝑐 = 𝑐 𝑠𝑔𝑛(�̇�) (46)

406 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 2, FEB. 2018

𝐟𝑣 = 𝑣�̇� (47)

Sendo 𝑣 e 𝑐 as constantes dos atritos viscoso e de Coulomb, respectivamente e 𝑠𝑔𝑛(�̇�) a função sinal que está apresentada na equação (48).

𝑠𝑔𝑛��̇�� = �−1, �̇� < 00, �̇� = 01, �̇� > 0

� (48)

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, câmpus Cornélio Procópio - PR.

REFERÊNCIAS

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Thamiris Lima Costa, Engenheira em Controle e Automação pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 2016. Atualmente cursa mestrado em Engenharia de Automação e Sistemas na Universidade Federal de Santa Catarina. Tem experiência em identificação, controle de sistemas e robótica.

Fabian Andres Lara Molina, Engenheiro em Mecatrônica, 2005. Mestre e doutor em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual de Campinas, 2008 e 2012, respectivamente. Atualmente é professor no Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, câmpus Cornélio Procópio. Tem experiência na área de Engenhaira Mecânica atuando principalmente em dinâmica e controle de sistemas mecânicos.

Aldemir Aparecido Cavalini Junior, Engenheiro Mecânico graduado pela Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” câmpus de Ilha Solteira e Mestre pela mesma instituição. Possui Doutorado em Engenharia Mecânica pela Universidade Federal de Uberlândia. Tem experiência na área de Engenharia Mecânica atuando principalmente em controle de vibrações e monitoramento da integridade estrutural de máquinas rotativas.

Erik Taketa, Engenheiro Mecânico graduado pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 2015. Atualmente cursa mestrado em Engenharia Mecânica na Universidade Federal Tecnológica Federal do Paraná. Tem experiência em identificação e controle ativo de vibrações.

LIMA COSTA et al.: ROBUST H&#038;#8734; COMPUTED 407