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Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
6 de abril de 2011
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importancia do potencial eletrico.
I Como calcular o potencial eletrico que um conjunto de cargasproduz em um ponto do espaco.
I Como usar superfıcies equipotenciais para visualizar como opotencial eletrico varia no espaco.
I Como usar o potencial eletrico para calcular o campo eletrico.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importancia do potencial eletrico.
I Como calcular o potencial eletrico que um conjunto de cargasproduz em um ponto do espaco.
I Como usar superfıcies equipotenciais para visualizar como opotencial eletrico varia no espaco.
I Como usar o potencial eletrico para calcular o campo eletrico.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importancia do potencial eletrico.
I Como calcular o potencial eletrico que um conjunto de cargasproduz em um ponto do espaco.
I Como usar superfıcies equipotenciais para visualizar como opotencial eletrico varia no espaco.
I Como usar o potencial eletrico para calcular o campo eletrico.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importancia do potencial eletrico.
I Como calcular o potencial eletrico que um conjunto de cargasproduz em um ponto do espaco.
I Como usar superfıcies equipotenciais para visualizar como opotencial eletrico varia no espaco.
I Como usar o potencial eletrico para calcular o campo eletrico.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importancia do potencial eletrico.
I Como calcular o potencial eletrico que um conjunto de cargasproduz em um ponto do espaco.
I Como usar superfıcies equipotenciais para visualizar como opotencial eletrico varia no espaco.
I Como usar o potencial eletrico para calcular o campo eletrico.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Introducao
Quando uma partıcula carregada se desloca em um campo eletrico, o campo exerceuma forca que realiza trabalho sobre a partıcula.
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
aF cosφdl
onde, d~l e um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetoria da partıcula e φ eo angulo entre ~F e d~l em cada ponto da trajetoria.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Introducao
Quando uma partıcula carregada se desloca em um campo eletrico, o campo exerceuma forca que realiza trabalho sobre a partıcula.
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
aF cosφdl
onde, d~l e um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetoria da partıcula e φ eo angulo entre ~F e d~l em cada ponto da trajetoria.
Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial eletrica.
A energia potencial eletrica depende da posicao da partıcula carregada no campoeletrico.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Introducao
Quando uma partıcula carregada se desloca em um campo eletrico, o campo exerceuma forca que realiza trabalho sobre a partıcula.
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
aF cosφdl
onde, d~l e um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetoria da partıcula e φ eo angulo entre ~F e d~l em cada ponto da trajetoria.
Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial eletrica.
A energia potencial eletrica depende da posicao da partıcula carregada no campoeletrico.
A energia potencial eletrica sera descrita pelo conceito de potencial eletrico ousimplesmente potencial.
A diferenca de potencial entre dois pontos e, geralmente, chamada de voltagem.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes
~F =1
4πε0
q0q
r2r
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes
~F =1
4πε0
q0q
r2r
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2r · d~l
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes
~F =1
4πε0
q0q
r2r
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2r · d~l
=
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2cosφdl
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes
~F =1
4πε0
q0q
r2r
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2r · d~l
=
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2cosφdl
=q0q
4πε0
∫ rb
ra
r−2dr = −q0q
4πε0
1
r
∣∣∣rbra
Wa→b =1
4πε0
q0q
ra−
1
4πε0
q0q
rb
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes
~F =1
4πε0
q0q
r2r
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2r · d~l
=
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2cosφdl
=q0q
4πε0
∫ rb
ra
r−2dr = −q0q
4πε0
1
r
∣∣∣rbra
Wa→b =1
4πε0
q0q
ra−
1
4πε0
q0q
rbWa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes
~F =1
4πε0
q0q
r2r
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2r · d~l
=
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2cosφdl
=q0q
4πε0
∫ rb
ra
r−2dr = −q0q
4πε0
1
r
∣∣∣rbra
Wa→b =1
4πε0
q0q
ra−
1
4πε0
q0q
rbWa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U =1
4πε0
q0q
r
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de duas cargas puntiformes
~F =1
4πε0
q0q
r2r
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2r · d~l
=
∫ rb
ra
1
4πε0
q0q
r2cosφdl
=q0q
4πε0
∫ rb
ra
r−2dr = −q0q
4πε0
1
r
∣∣∣rbra
Wa→b =1
4πε0
q0q
ra−
1
4πε0
q0q
rbWa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U =1
4πε0
q0q
r
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Teorema trabalho energia
~FR = m~a = md~v
dte ~v =
d~l
dt
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Teorema trabalho energia
~FR = m~a = md~v
dte ~v =
d~l
dt
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
am
d~v
dt· d~l
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Teorema trabalho energia
~FR = m~a = md~v
dte ~v =
d~l
dt
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
am
d~v
dt· d~l
Wa→b =
∫ b
am
d~v
dt· ~vdt =
∫ b
amv dv
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Teorema trabalho energia
~FR = m~a = md~v
dte ~v =
d~l
dt
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
am
d~v
dt· d~l
Wa→b =
∫ b
am
d~v
dt· ~vdt =
∫ b
amv dv
Wa→b =mv2
2
∣∣∣vbva
= Kb − Ka
Wa→b = ∆K
K =mv2
2
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Conservacao da energia
Wa→b = −∆U
Wa→b = ∆K
∆K = −∆U
Kb − Ka = −(Ub − Ua)
Ka + Ua = Kb + Ub
Emeca = Emec
b
Emec = K + U = Cont.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E j
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E j
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
aj · d~l
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E j
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
aj · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E j
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
aj · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E j
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
aj · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U = q0Ey
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E j
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
aj · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U = q0Ey
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E j
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
aj · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U = q0Ey
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E j
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
aj · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U = q0Ey
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica com diversas cargas puntiformes
U =q0
4πε0
(q1
r1+
q2
r2+
q3
r3...
)(1)
(2)
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica com diversas cargas puntiformes
U =q0
4πε0
(q1
r1+
q2
r2+
q3
r3...
)U =
q0
4πε0
∑i
qi
ri
(1)
(2)
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Energia potencial eletrica com diversas cargas puntiformes
U =q0
4πε0
(q1
r1+
q2
r2+
q3
r3...
)U =
q0
4πε0
∑i
qi
ri
(1)
U =1
4πε0
∑i<j
qiqj
rij
(2)
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Interpretacao da energia potencial eletrica
Quando uma partıcula se desloca de um ponto a ate um ponto b, o trabalhorealizado pelo campo eletrico e Wa→b = Ua − Ub.
Portanto, a diferenca de energia potencial Ua − Ub e igual ao trabalho realizadopela forca eletrica quando a partıcula de move de a ate b.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Energia potencial eletrica
Interpretacao da energia potencial eletrica
Quando uma partıcula se desloca de um ponto a ate um ponto b, o trabalhorealizado pelo campo eletrico e Wa→b = Ua − Ub.
Portanto, a diferenca de energia potencial Ua − Ub e igual ao trabalho realizadopela forca eletrica quando a partıcula de move de a ate b.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Potencial eletrico
Denomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.
V =U
q0ou U = q0V
No S.I. [v]=1J/C=1volt.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Potencial eletrico
Denomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.
V =U
q0ou U = q0V
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferenca de potencial eletrico sera dada por:
Wa→b
q0= −
∆U
q0= −
(Ub
q0−
Ua
q0
)= −(Vb − Va)
Wa→b
q0= Va − Vb = Vab
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Potencial eletricoDenomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.
V =U
q0ou U = q0V
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferenca de potencial eletrico sera dada por:
Wa→b
q0= −
∆U
q0= −
(Ub
q0−
Ua
q0
)= −(Vb − Va)
Wa→b
q0= Va − Vb = Vab
Vab e o potencial de a em relacao a b, que e igual ao trabalhorealizado pela forca eletrica quando uma carga UNITARIA sedesloca de a ate b.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Potencial eletricoDenomina-se potencial eletrico a energia potencial por unidade de carga.
V =U
q0ou U = q0V
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferenca de potencial eletrico sera dada por:
Wa→b
q0= −
∆U
q0= −
(Ub
q0−
Ua
q0
)= −(Vb − Va)
Wa→b
q0= Va − Vb = Vab
Vab e o potencial de a em relacao a b, que e igual ao trabalhorealizado pela forca eletrica quando uma carga UNITARIA sedesloca de a ate b.
Vab, o potencial de a em relacao a b, e igual ao trabalho realizadocontra a forca eletrica para deslocar lentamente uma cargaUNITARIA de b ate a.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Calculo do potencial eletrico
A energia potencial entre duas cargaspuntiformes, q e q0 e dada por:
U =1
4πε0
q0q
r
I r e a distancia entre q e o pontoonde o potencial esta sendocalculado.
I q > 0 → V > 0.
I q < 0 → V < 0.
I r =∞ → V = 0.
I V e independente da carga q0.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Calculo do potencial eletrico
A energia potencial entre duas cargaspuntiformes, q e q0 e dada por:
U =1
4πε0
q0q
r
O potencial V para uma unica carga qsera:
V =U
q0=
1
4πε0
q
r
I r e a distancia entre q e o pontoonde o potencial esta sendocalculado.
I q > 0 → V > 0.
I q < 0 → V < 0.
I r =∞ → V = 0.
I V e independente da carga q0.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Calculo do potencial eletrico
A energia potencial entre duas cargaspuntiformes, q e q0 e dada por:
U =1
4πε0
q0q
r
O potencial V para uma unica carga qsera:
V =U
q0=
1
4πε0
q
r
I r e a distancia entre q e o pontoonde o potencial esta sendocalculado.
I q > 0 → V > 0.
I q < 0 → V < 0.
I r =∞ → V = 0.
I V e independente da carga q0.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Calculo do potencial eletrico
A energia potencial entre um conjunto de cargaspuntiformes, e dada por:
U =q0
4πε0
∑i
qi
ri
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Calculo do potencial eletrico
A energia potencial entre um conjunto de cargaspuntiformes, e dada por:
U =q0
4πε0
∑i
qi
ri
O potencial V para um conjunto de carga sera:
V =U
q0=
1
4πε0
∑i
qi
ri
ri e a distancia entre qi e o ponto onde opotencial esta sendo calculado.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Calculo do potencial eletrico
A energia potencial entre um conjunto de cargaspuntiformes, e dada por:
U =q0
4πε0
∑i
qi
ri
O potencial V para um conjunto de carga sera:
V =U
q0=
1
4πε0
∑i
qi
ri
ri e a distancia entre qi e o ponto onde opotencial esta sendo calculado.
Para um distribuicao continua de cargas osomatorio se torna uma integral,
V =1
4πε0
∫dq
r
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Como determinar o potencial eletrico a partir do campo eletrico
Quando conhecemos ~E e nao a distribuicao de cargas podemos calcular o potencialeletrico a partir do campo eletrico. Como ~F = q0
~E , entao:
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
aq0~E · d~l
I Ao se mover no sentido de ~E , voce se deslocapara valores decrescentes de V .
I Ao se mover no sentido oposto de ~E , voce sedesloca para valores crescentes de V .
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Como determinar o potencial eletrico a partir do campo eletrico
Quando conhecemos ~E e nao a distribuicao de cargas podemos calcular o potencialeletrico a partir do campo eletrico. Como ~F = q0
~E , entao:
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
aq0~E · d~l
Wa→b
q0=
∫ ba q0
~E · d~lq0
= Va − Vb
Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l =
∫ b
aE cosφdl
I Ao se mover no sentido de ~E , voce se deslocapara valores decrescentes de V .
I Ao se mover no sentido oposto de ~E , voce sedesloca para valores crescentes de V .
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Como determinar o potencial eletrico a partir do campo eletrico
Quando conhecemos ~E e nao a distribuicao de cargas podemos calcular o potencialeletrico a partir do campo eletrico. Como ~F = q0
~E , entao:
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
aq0~E · d~l
Wa→b
q0=
∫ ba q0
~E · d~lq0
= Va − Vb
Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l =
∫ b
aE cosφdl
I Ao se mover no sentido de ~E , voce se deslocapara valores decrescentes de V .
I Ao se mover no sentido oposto de ~E , voce sedesloca para valores crescentes de V .
No S.I. a unidade de campo eletrico pode ser:1N/C = 1V/m.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Potencial eletrico
Eletron-volt
Eletron-volt e uma unidade de energia.
Ua − Ub = q(Va − Vb) = qVab
Quando q possui modulo igual a e = 1, 602× 10−19C a carga do eletron eVab = 1Volt, entao:
1eV = (1, 602× 10−19C)(1Volt) = 1, 602× 10−19J
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial eletrico, V (x , y , z). Va − Vb =∫ ba~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial eletrico, V (x , y , z). Va − Vb =∫ ba~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Va − Vb =
∫ a
bdV = −
∫ b
adV
−∫ b
adV =
∫ b
a
~E · d~l → dV = −~E · d~l
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial eletrico, V (x , y , z). Va − Vb =∫ ba~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Va − Vb =
∫ a
bdV = −
∫ b
adV
−∫ b
adV =
∫ b
a
~E · d~l → dV = −~E · d~l
Dado que, ~E = Ex i + Ey j + Ez k, d~l = dxi + dy j + dzk e V = V (x , y , z) entao,
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial eletrico, V (x , y , z). Va − Vb =∫ ba~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Va − Vb =
∫ a
bdV = −
∫ b
adV
−∫ b
adV =
∫ b
a
~E · d~l → dV = −~E · d~l
Dado que, ~E = Ex i + Ey j + Ez k, d~l = dxi + dy j + dzk e V = V (x , y , z) entao,
dV = −~E · d~l = −Exdx − Eydy − Ezdz
dV =∂V
∂xdx +
∂V
∂ydy +
∂V
∂zdz
Ex = −∂V
∂x; Ey = −
∂V
∂y; Ez = −
∂V
∂z
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial eletrico, V (x , y , z). Va − Vb =∫ ba~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Va − Vb =
∫ a
bdV = −
∫ b
adV
−∫ b
adV =
∫ b
a
~E · d~l → dV = −~E · d~l
Dado que, ~E = Ex i + Ey j + Ez k, d~l = dxi + dy j + dzk e V = V (x , y , z) entao,
dV = −~E · d~l = −Exdx − Eydy − Ezdz
dV =∂V
∂xdx +
∂V
∂ydy +
∂V
∂zdz
Ex = −∂V
∂x; Ey = −
∂V
∂y; Ez = −
∂V
∂z
~E(x , y , z) = −(∂V
∂xi +
∂V
∂yj +
∂V
∂zk
)= −~∇V (x , y , z)
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Superfıcies Equipotenciais
Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Superfıcies Equipotenciais
Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Superfıcies Equipotenciais
Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a superfıcieem todos os pontos, de modo que a forca ~F sejaperpendicular ao deslocamento de uma carga quese mova sobre essa superfıcie.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Superfıcies Equipotenciais
Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a superfıcieem todos os pontos, de modo que a forca ~F sejaperpendicular ao deslocamento de uma carga quese mova sobre essa superfıcie.
As linhas de campo eletrico e as superfıciesequipotenciais sao sempre mutuamenteperpendiculares.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Superfıcies Equipotenciais
Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a superfıcieem todos os pontos, de modo que a forca ~F sejaperpendicular ao deslocamento de uma carga quese mova sobre essa superfıcie.
As linhas de campo eletrico e as superfıciesequipotenciais sao sempre mutuamenteperpendiculares.
Em regioes onde o modulo de ~E e grande, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maiscompactamente.Em regioes onde o modulo de ~E e fraco, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maisespacadamente.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Superfıcies Equipotenciais
Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a superfıcieem todos os pontos, de modo que a forca ~F sejaperpendicular ao deslocamento de uma carga quese mova sobre essa superfıcie.
As linhas de campo eletrico e as superfıciesequipotenciais sao sempre mutuamenteperpendiculares.
Em regioes onde o modulo de ~E e grande, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maiscompactamente.Em regioes onde o modulo de ~E e fraco, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maisespacadamente.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Superfıcies Equipotenciais
Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a superfıcieem todos os pontos, de modo que a forca ~F sejaperpendicular ao deslocamento de uma carga quese mova sobre essa superfıcie.
As linhas de campo eletrico e as superfıciesequipotenciais sao sempre mutuamenteperpendiculares.
Em regioes onde o modulo de ~E e grande, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maiscompactamente.Em regioes onde o modulo de ~E e fraco, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maisespacadamente.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Superfıcies Equipotenciais
Uma superfıcie equipotencial e uma superfıcie em tres dimensoes, sobre a qual opotencial eletrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um pontoa outro sobre essa superfıcie, a energia potencialq0V permanece constante, assim, o campoeletrico ~E nao realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a superfıcieem todos os pontos, de modo que a forca ~F sejaperpendicular ao deslocamento de uma carga quese mova sobre essa superfıcie.
As linhas de campo eletrico e as superfıciesequipotenciais sao sempre mutuamenteperpendiculares.
Em regioes onde o modulo de ~E e grande, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maiscompactamente.Em regioes onde o modulo de ~E e fraco, assuperfıcies equipotenciais ficam agrupadas maisespacadamente.
Figura: Esfera proxima a uma superfıcie.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Condutores e Equipotenciais
Quando todas as cargas estao em repouso, asuperfıcie de um condutor e sempre umasuperfıcie equipotencial.
Quando todas as cargas estao em repouso, ocampo eletrico nos pontos proximos da superfıcieexterna de um condutor deve ser sempreperpendicular em todos os pontos da superfıcie.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Superfıcies Equipotenciais
Condutores e Equipotenciais
Quando todas as cargas estao em repouso, asuperfıcie de um condutor e sempre umasuperfıcie equipotencial.
Quando todas as cargas estao em repouso, ocampo eletrico nos pontos proximos da superfıcieexterna de um condutor deve ser sempreperpendicular em todos os pontos da superfıcie.
Todos os pontos no interior de uma cavidadepossuem o mesmo potencial.
Em equilıbrio eletrostatico, se um condutor possuiuma cavidade, e se nao existe nenhuma carga nointerior da cavidade, entao nao pode existir cargasobre qualquer ponto da superfıcie da cavidade.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
bdV = Va − Vb = 0
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
bdV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
bdV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =1
4πε0
q
r2r
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
bdV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =1
4πε0
q
r2r
dV = −~E · d~l = −q
4πε0
r · d~lr2
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =1
4πε0
q
r2r
dV = −~E · d~l = −q
4πε0
r · d~lr2
dV = −q
4πε0
dr
r2=
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =1
4πε0
q
r2r
dV = −~E · d~l = −q
4πε0
r · d~lr2
dV = −q
4πε0
dr
r2=∫ a
bdV = −
q
4πε0
∫ a
br−2dr
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =1
4πε0
q
r2r
dV = −~E · d~l = −q
4πε0
r · d~lr2
dV = −q
4πε0
dr
r2=∫ a
bdV = −
q
4πε0
∫ a
br−2dr
Va − Vb = Vab =q
4πε0(r−1
a − r−1b )
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =1
4πε0
q
r2r
dV = −~E · d~l = −q
4πε0
r · d~lr2
dV = −q
4πε0
dr
r2=∫ a
bdV = −
q
4πε0
∫ a
br−2dr
Va − Vb = Vab =q
4πε0(r−1
a − r−1b )
Para r > R o potencial eletrico e dado porV = 1
4πε0
qr
e na superfıcie e igual a V = 14πε0
qR
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo eletrico e dado por,
~E = −E j = −σ
ε0j
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo eletrico e dado por,
~E = −E j = −σ
ε0j
dV = −~E · d~l
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo eletrico e dado por,
~E = −E j = −σ
ε0j
dV = −~E · d~l
dV =σ
ε0dy
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo eletrico e dado por,
~E = −E j = −σ
ε0j
dV = −~E · d~l
dV =σ
ε0dy∫ a
bdV =
∫ a
b
σ
ε0dy
Va − Vb = Vab =σ
ε0(ya − yb)
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo eletrico e dado por,
~E = −E j = −σ
ε0j
dV = −~E · d~l
dV =σ
ε0dy∫ a
bdV =
∫ a
b
σ
ε0dy
Va − Vb = Vab =σ
ε0(ya − yb)
Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σε0d = Ed
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo eletrico e dado por,
~E = −E j = −σ
ε0j
dV = −~E · d~l
dV =σ
ε0dy∫ a
bdV =
∫ a
b
σ
ε0dy
Va − Vb = Vab =σ
ε0(ya − yb)
Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σε0d = Ed
Segue deste resultado que o modulo do campoeletrico no interior de duas placas planas e
paralelas (capacitor) e dado por E = Vabd
.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
bdV = Va − Vb = 0
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
bdV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
bdV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =λ
2πε0
r
r
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo eletrico e dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
bdV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =λ
2πε0
r
r
dV = −~E · d~l = −λ
2πε0
r · d~lr
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =λ
2πε0
r
r
dV = −~E · d~l = −λ
2πε0
r · d~lr
dV = −λ
2πε0
dr
r
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =λ
2πε0
r
r
dV = −~E · d~l = −λ
2πε0
r · d~lr
dV = −λ
2πε0
dr
r∫ a
bdV = −
λ
2πε0
∫ a
b
dr
r
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =λ
2πε0
r
r
dV = −~E · d~l = −λ
2πε0
r · d~lr
dV = −λ
2πε0
dr
r∫ a
bdV = −
λ
2πε0
∫ a
b
dr
r
Va − Vb = Vab = −λ
2πε0ln
(ra
rb
)
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R e constante pois,Va − Vb = 0 e igual ao da superfıcie.Para r > R o campo eletrico e dado por,
~E =λ
2πε0
r
r
dV = −~E · d~l = −λ
2πε0
r · d~lr
dV = −λ
2πε0
dr
r∫ a
bdV = −
λ
2πε0
∫ a
b
dr
r
Va − Vb = Vab = −λ
2πε0ln
(ra
rb
)Para r > R o potencial eletrico e dado porV = λ
2πε0ln(rR
)e na superfıcie definimos que
V = λ2πε0
ln(
RR
)= 0 pois o ln(x)→∞ para
x → 0,∞ .
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um anel carregado
Capıtulo 23 - Potencial Eletrico
Determinacao do potencial eletrico
Um fio carregado