Rolul derivatelor de ordinul I si II in studiul functiilor

Grupa:TRUDAMembrii:Cuibus Ioana

Gecan AlexandraLazar Petru

Porutiu AlinaHorvat Lavinia

Zecheres RalucaSoos Lehel

Cuprins Noţiuni teoretice

1. Definiţii, teoreme2. Tabel-ex

Problemă din subiecte de bacalaureat - rezolvată

Problemă compusă si rezolvată de grupă

Aspecte din timpul desfăsurării proiectului

Bibliografie

Noţiuni teoreticeRolul derivatei de ord. I in studiul functiilor

T.1. Fie un interval şi o funcţie derivabilă. Dacă funcţia f este monoton crescătoare ( respectiv monoton

descrescătoare), atunci (respectiv).

T.2. 1. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict crescătoare (respectiv monoton crescătoare).

2. Dacă (respectiv ), atunci

funcţia f este strict descrescătoare (respectiv monoton descrescătoare).

I :f I

0,f x x I 0,f x x I

0,f x x I 0,f x x I

0,f x x I 0,f x x I

Noţiuni teoretice

Tabel-exemplu

M

f x

f x

0xx

0f x

m

x 0x f x

f x

0

0 0f x

Noţiuni teoreticeRolul derivatei de ord. II in studiul functiilor

Teoremă Fie un interval şi o funcţie de două ori

derivabilă. Atunci: este convexă pe dacă şi numai dacă ; este concavă pe dacă şi numai dacă .

Observaţie dacă derivata a doua are semne diferite de o parte şi de alta a

unui punct din şi dacă este continuă în , atunci se numeşte punct de inflexiune.

I :f I

ff

II

0,f x x I

0,f x x I

f 0x I f

0x0x

Problema din subiecte de bacalaureat - rezolvata de grupa TRUDA

1. a)Sa se calculeze b)Sa se calculeze c)Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f. REZOLVARE:

a)

b)

c)

3 3: , ( )f R R f x xx

,f x x R

1

( ) (1)lim–1x

f x fx

'

3 1 33f x xx

22

3' 3 '( ) 3 x xf x xx

22

3( ) 3f x xx

1

( ) (1)lim 11x

f x f fx

' 3(1) 3 1 3 3 01

f

0)(' xf

033033 22

4

22

xxx

xx

4

4 2 2

2

3 3 0 / 3

1 0 ( 1)( 1) 0

1 0

x

x x x

x

101

cba

2

2

4

0 4 1 ( 1)4

b ac

1

1

1

20 42 12

bxa

x

x

2

2

2

20 42

2 12

bxa

x

x

)(' xf

)(xf

x 1 0

0 1

0

max4

min4

3

3

3( 1) ( 1)( 1)

( 1) 1 3 431 (1) 1 3 41

f

f

f

Bibliografie

Grup de autori, coordonatori Marius si Georgeta Burtea: Culegere de exercitii si probleme Matematica M2, Editura Campion, 2009

Ion Necşuleu, Tatiana Saulea, Cristian Buican, Mihai Postolache (coordonator): Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M2, Editura Fair Partners, 2006

Costel Chiteş, Ioan Marinescu, Boris Singer, Gh. Stoianovici, Romeo Ilie, Gabriela Streinu – Cercel : Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M1, Editura Sigma, 2001

I. Petrică, E. Constantinescu, D. Petre : Probleme de analiză matematică, vol. I (clasa a XI-a), Editura Petrion, Bucureşti, 1993

Grup de autori : Bacalaureat 2009, Matematica MT2, Editura Campion, 2009

www.edu.ro www.didactic.ro www.mate.info.ro

Aspecte din timpul desfasurarii proiectului – grupa TRUDA