Ron Lavi – Chaitanya Swamy 1 Strumenti della Teoria dei Giochi per lInformatica A.A. 2009/2010...
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Truthful and Near-Optimal Mechanism Design via Linear Programming Ron Lavi – Chaitanya Swamy 1 Strumenti della Teoria dei Giochi per l’Informatica A.A. 2009/2010 Annibale Panichella
Ron Lavi – Chaitanya Swamy 1 Strumenti della Teoria dei Giochi per lInformatica A.A. 2009/2010 Annibale Panichella
Ron Lavi Chaitanya Swamy 1 Strumenti della Teoria dei Giochi
per lInformatica A.A. 2009/2010 Annibale Panichella
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Mechanism Design un insieme di giocatori un insieme di
possibili outcomes un insieme di valutazioni private per ogni
giocatore una funzione di valutazione con una funzione di scelta
sociale un vettore di pagamenti con una funzione utilit 2
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Mechanism Design ASSUNZIONI I giocatori sono egoisti ogni
giocatore cerca di massimizzare la propria utilit un giocatore
mente se e solo se mentendo aumenta la sua utilit Principio di
rivelazione diretta ogni giocatore rivela un proprio valore
OBIETTIVO che spinga i giocatori a rivelare il proprio vero valore
Meccanismo Funzione di scelta sociale Pagamenti =+ 3
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Mechanism Design DEFINIZIONE Un meccanismo deterministico
compatibile agli incentivi se per ogni giocatore i dove la
valutazione vera di i si ha che qualunque siano le valutazioni
degli altri giocatori Lutilit ottenuta dal giocatore i nel caso in
cui dice il vero Lutilit ottenuta dal giocatore i nel caso in cui
dice il falso 4
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Mechanism Design PROBLEMATICHE Il problema su cui si intende
definire una funzione di scelta sociale un problema NP-hard
Lalgoritmo che implementa la funzione di scelta sociale un
algoritmo non polinomiale Non tutti gli algoritmi portano a
meccanismi compatibili agli incentivi 5
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Es.: Asta Combinatoria m un insieme di item indivisibili da
vendere n un insieme di giocatori che competono per appropriarsi di
un sottoinsieme degli item il giocatore i ha una funzione di
valutazione per ogni sottoinsieme degli item S, che gode delle
seguenti propriet: v i ()=0 non decrescente: per item indivisibili
giocatori Maggiore il numero di item aggiudicati da i e maggiore la
sua valutazione 6
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Es.: Asta Combinatoria OBIETTIVO Problema di Social-Welfare
Maximization (SWM): vogliamo calcolare unallocazione di item (S 1,,
S n ) da distribuire tra i giocatori, tale che massimizzi il social
welfare item indivisibili giocatori PROBLEMI SWM un problema
NP-hard hanno lunghezza esponenziale: risolvere esattamente SWM pu
richiedere un numero esponenziale di comunicazioni 7
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Es.: Asta Combinatoria Mechanism Design e Asta Combinatoria
Definire un meccanismo La funzione di scelta sociale la funzione
SWM e va calcolata sui veri valori dei giocatori che non sono
pubblici Ogni giocatore cerca di massimizzare la propria utilit Il
meccanismo deve essere compatibile agli incentivi Meccanismo
Valutazioni dichiarate INPUT Allocazione Pagamenti OUTPUT 8
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Meccanismi VCG DOMANDA: data la funzione di scelta sociale
=SWM, esistono dei pagamenti p tali che il meccanismo compatibile
agli incentivi? 9 Meccanismi VCG genericiVCG per Asta Combinatoria
A = insieme di outcomeA = allocazione di item (S 1,,S n ) V i =
insieme di valutazioni valideV i = funzione di valutazioni monotone
funz. di scelta soc. pagamenti RISPOSTA: S, i pagamenti VCG
(Vickrey-Clarke-Groves) garantiscono la compatibilit agli
incentivi. Qualunque funzione che non dipende dal giocatore i
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Meccanismi VCG 10 VCG richiede di calcolare la funzione di
scelta sociale (v), ossia, di risolvere il problema SWM che NP-
hard Il meccanismo VCG corrispondente NON computazionalmente
efficiente E necessario usare algoritmi di approssimazione per
calcolare la funzione di scelta sociale VCG non funziona con tutti
gli algoritmi di approssimazione
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OBIETTIVO Mostreremo una tecnica generale per trasformare un
algoritmo di approssimazione per problemi SWM di packing in un
meccanismo probabilistico, approssimato e compatibile agli
incentivi. 11 1.Modelliamo il problema tramite la P. L. Intera
2.Costruiamo un algoritmo c-approssimato 3.Dimostriamo che
lintegrality gap al pi c Condizioni necessarie 1.Costruiamo un
meccanismo frazionario 2.Costruiamo un meccanismo di supporto
deterministico Operazioni Otteniamo un meccanismo c- approssimato,
truthful-in- expectation Output Finora ci siamo occupati di
Meccanismi Deterministici. Lobiettivo principale di tale
costruzione quello di trasformare un meccanismo deterministico in
un Meccanismo Probabilistico avente particolari propriet.
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Meccanismi Probabilistici Meccanismi DeterministiciMeccanismi
Probabilistici Definizione la funzione di scelta sociale una
variabile aleatoria con una propria distribuzione di probabilit la
funzione di pagamento una variabile aleatoria con una propria
distribuzione di probabilit la funzione di utilit del giocatore i
la variabile aleatoria associata allutilit di ogni singolo
giocatore i Obiettivo: il meccanismo deve essere compatibile agli
incentivi (truthful) Obiettivo: il meccanismo deve essere truthful
in expectation (compatibile agli incentivi in aspettativa) 12
Definizioni di Meccanismi Deterministici e di Meccanismi
Probabilistici a confronto.
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Meccanismi Probabilistici 13 DEFINIZIONE Un meccanismo
probabilistico truthful in expectation (compatibile agli incentivi
in aspettativa) se per ogni giocatore i dove la valutazione vera di
i si ha che qualunque siano le d.p. delle valutazioni degli altri
giocatori Il valore atteso dellutilit ottenuta dal giocatore i nel
caso in cui dice il vero Il valore atteso dellutilit ottenuta dal
giocatore i nel caso in cui dice il falso Significato intuitivo: se
tutti gli altri giocatori dichiarano il valore vero, la best
response del giocatore i di dichiarare il vero
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Costruzione Generale Di seguito descriviamo una tecnica
generale per ottenere i meccanismi probabilistici che siano
veritieri (compatibili agli incentivi) in aspettativa, e che
garantiscono di raggiungere una buona approssimazione di benessere
sociale. Per studiare concretamente tale tecnica, vedremo come
applicarla alle aste combinatorie (CA); tuttavia i risultati
ottenibili non perdono di generalit, dato che la tecnica resta
sempre valida per gli altri problemi di packing per i quali
linsieme delle possibili valutazioni dei singoli giocatori sono
note pubblicamente e la funzione obiettivo lineare. 14
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Costruzione per CA Possiamo formulare il problema dellasta
combinatoria come un problema di Programmazione Lineare Intera:
dato linsieme degli item da vendere definiamo una variabile
aleatoria x i,S per ogni coppia giocatore i la funzione obiettivo
15 se il giocatore i riceve linsieme di item S altrimenti
corrisponde alla funzione di Social Welfare
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definiamo i seguenti vincoli Costruzione per CA 16 per ogni
giocatore i per ogni item j per ogni coppia (i,S) Ad ogni giocatore
assegnato al pi un solo insieme di item S Ogni item j assegnato al
pi ad un solo giocatore Vincoli di interezza PROBLEMA
Sfortunatamente non conosciamo un metodo matematico per risolvere
il problema di programmazione lineare intera in tempo polinomiale:
la P.L. Intera un problema NP-hard!
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Costruzione per CA Invece di risolvere il problema di
programmazione lineare intera, risolviamo una versione rilassata
del problema, per i quali conosciamo algoritmi polinomiali (ad es.
il simplesso): 17 per ogni giocatore i per ogni item j per ogni
coppia (i,S) soggetta a vincoli Rilassamento continuo
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P.L. Intera e P.L. Non Intera DOMANDA: che relazione c tra le
soluzioni di un problema di Programmazione Lineare Intera e le
soluzioni della sua versione rilassata? 18 Soluzioni ammissibili
della P.L. Intera Soluzioni ammissibili della P.L. NON Intera Gli
ottimi dei due problemi possono essere diversi
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Integrality Gap Siano: P linsieme dei punti della regione
ammissibile; linsieme delle soluzioni intere ; lintegrality gap di
P definito come 19 Soluzione ottima del problema di P.L.
frazionario Soluzione ottima del problema di P.L. intero Per i
nostri scopi, ci occuperemo dei soli algoritmi di approssimazione
che dimostrano un integrality gap IG P , il che vuol dire che la
soluzione ottima del problema di P.L. Intera al massimo 1 / volte
la soluzione ottima del suo rilassamento.
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Meccanismi VGC frazionario Meccanismo VCG frazionario cos
definito: sia di scelta sociale del problema SWM sia la soluzione
ottima del problema modellato con Programmazione Lineare
Frazionaria (ossia del rilassamento di P.L. Intera) sia il vettore
delle valutazioni dei giocatori 1. poniamo la funzione di scelta
sociale frazionaria 2. definiamo i pagamenti dei singoli giocatori
come 20 Somma delle valutazioni degli altri giocatori ji una
qualsiasi funzione che non dipende da v i tale che u i 0
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Normalizzazione Dato un meccanismo VCG frazionario con
integrality gap pari ad 1, possiamo definire un meccanismo VCG
frazionario -scalato nel seguente modo: 21 1.funzione sociale
2.pagamenti VCG frazionario 1.funzione sociale 2.pagamenti VCG
frazionario -scalato OSSERVAZIONE: dato che la funzione di
valutazione dei giocatori una funzione lineare in x, VCG
frazionario -scalato chiaramente compatibile agli incentivi
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Ne deduciamo che il meccanismo frazionario scalato compatibile
agli incentivi se e solo se il meccanismo frazionario M F ( F,p F )
compatibile agli incentivi. 22 Normalizzazione Infatti, supponiamo
che il meccanismo frazionario scalato compatibile agli incentivi,
abbiamo che Def. di compatibilit agli incentivi per il meccanismo
frazionario non scalato
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Main Decomposition Lemma Dimostreremo che dato un algoritmo A
-approssimato che dimostra avere un integrality gap pari ad ,
possiamo esprimere qualunque soluzione del problema di P.L.
frazionaria come combinazione lineare convessa delle soluzioni di
P.L. Intera. 23 Per ogni coppia (i,S) che costituiscono la
soluzione ottima del problema frazionario Per definizione di
combinazione lineare convessa, vogliamo calcolare una sequenza di
coefficienti l per cui
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Main Decomposition Lemma 24 Riscrivendo il problema come
problema di P. L. abbiamo Lintersezione tra questi due vincoli ci
garantisce la ricerca di una soluzione ottima (se esiste) con
valore pari a 1 Considerazioni: 1.Le variabili x i,S sono associate
alle coppie (i,S), quindi, il numero il loro esponenziale 2 n m
(dove n il numero di Item disponibili ed m il numero di giocatori)
2.Il numero di vincoli polinomiale ( pari al numero di variabili in
base)
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DualePrimale Main Decomposition Lemma Dato che tale problema
non pu essere risolto efficientemente, ci concentriamo sul suo
problema Duale: 25
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Main Decomposition Lemma Il problema duale presenta le seguenti
caratteristiche 26 1.Le variabili w i,S possono essere viste come
valutazioni 2.Il numero di variabili polinomiale ( pari al numero
di coppie (i,S) a cui associata una variabile x i,S * del primale
che si trovano in base, cio x i,S * > 0 ) 3.Il numero di vincoli
esponenziale 2 n m (dove n il numero di Item disponibili ed m il
numero di giocatori) Duale Corrisponde alla funzione di scelta
sociale del meccanismo frazionario - scalato.
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Main Decomposition Lemma Dalla dualit forte, si sa che il
Primale ha una soluzione ottima finita se e solo se anche il suo
Duale ha una soluzione ottima finita, e in questo caso i rispettivi
valori delle funzioni obiettivo coincidono Dalla dualit debole noto
che per ogni soluzione finita x del primale e y del duale, vale
Dalla propriet dei problemi di packing, sappiamo che se 27
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Main Decomposition Lemma PROPOSIZIONE 1 Siano Possiamo ottenere
una nuova soluzione tale che 28 DIMOSTRAZIONE Poniamo, che implica
che ; dato che per la propriet di packing anche Significato
intuitivo: possiamo trasformare il problema duale che ha le
variabili w non vincolate, in un problema equivalente con variabili
w + 0
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DIMOSTRAZIONE Dato che il problema utilizza delle valutazioni
non negative w +, abbiamo che Tuttavia, le valutazioni w + non sono
monotone. Tramite le Proposizione 1, possiamo definire delle nuove
valutazioni monotone w l tale che Main Decomposition Lemma
PROPOSIZIONE 2 Siano possiamo calcolare in tempo polinomiale x l
Z(P) tale che 29
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30 Main Decomposition Lemma Possiamo calcolare in tempo
polinomiale i coefficienti l che consentono di esprimere linsieme
delle soluzioni ottime del problema di P.L. frazionaria come
combinazione lineare convessa delle soluzioni di P.L. Intera
DIMOSTRAZIONE Dimostriamo che il valore ottimo del problema duale,
e quindi del suo primale (dualit forte), esattamente 1. Supponiamo
per assurdo che il valore ottimo del duale maggiore di
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Attraverso la Proposizione 2 possiamo definire un insieme di
valutazioni monotone w i,S per le x i,S l tale che 31 Main
Decomposition Lemma Che contraddice il vincolo del problema duale.
In questo modo, abbiamo dimostrato che il valore ottimo esattamente
1 : la soluzione del problema duale restituisce i coefficienti l di
combinazione lineare convessa. Per calcolare in tempo polinomiale
tali coefficienti, possiamo risolvere il problema duale mediante il
metodo dellellissoide (che risolve qualunque istanza il problema di
P.L. in tempo polinomiale).
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Meccanismo di supporto deterministico Tramite il lemma
precedente, possiamo esprimere la soluzione del problema di P.L.
Frazionaria -scalato, ossia, come combinazione lineare convessa
della soluzione ottima del problema di P.L. Intera. 32 DEFINIZIONE
Un meccanismo di supporto deterministico M D sar cos costituito la
funzione di scelta sociale i prezzi sono gli stessi del mecc. fraz.
-approssimato
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Propriet dei meccanismi M D LEMMA: il meccanismo C compatibile
agli incentivi e calcola una - approssimazione del social welfare.
DIMOSTRAZIONE: dimostriamo che M D equivalente ad un Meccanismo VCG
frazionario -scalato e ne conserva tutte le propriet. Per qualche
il valore del giocatore i risulta essere 33 Dato che anche i
pagamenti sono -scalati, il meccanismo M D compatibile agli
incentivi. Tale compatibilit garantisce anche una -approssimazione
Ottimo frazionario
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Teorema Dato un meccanismo deterministico M D di supporto,
compatibile agli incentivi e che calcola una -approssimazione del
social welfare con un numero polinomiale di coefficienti j 0,
possiamo ottenere in tempo polinomiale un meccanismo probabilistico
M R che veritiero (compatibile agli incentivi) in aspettativa e che
calcola una - approssimazione del social welfare 34 Coefficienti di
combinazione lineare convessa della soluzione ottima di P.L. Intera
Prezzi -scalati
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La funzione sociale Meccanismi Probabilistici A partire dal
meccanismo di supporto deterministico M D possibile costruire un
Meccanismo Probabilistico M R nel seguente modo 35 Meccanismo M D
La funzione sociale La funzione di scelta sociale R una variabile
aleatoria con distribuzione di probabilit pari a D Meccanismo M R
Sono anche le propriet di una funzione di probabilit secondo
Kolmogorov Sono i coefficienti di combinazione convessa
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Il giocatore i paga per ogni giocatore i Meccanismi
Probabilistici 36 Meccanismo M D Il giocatore i paga per ogni
giocatore i Meccanismo M R Variabile Aleatoria Scalare I pagamenti
vengono definiti in questo modo per garantire che lutilit dei
giocatori siano non negativi u i =v i -p i
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Meccanismi Probabilistici Per il meccanismo probabilistico
definito, valgono le seguenti propriet 1. 2. 3. lutilit 37 Un
meccanismo probabilistico M R compatibile agli incentivi in
aspettativa se e solo se il meccanismo di supporto deterministico
corrispondente compatibile agli incentivi.
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Risultato Finale Il meccanismo probabilistico M R definito in
precedenza compatibile agli incentivi in aspettativa e calcola una
- approssimazione della soluzione ottima di Social Welfare
Maximization in tempo polinomiale. 38
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Ricapitolando Operazioni per costruire il Meccanismo
Probabilistico 1. modelliamo il problema tramite P.L. Intera 2.
risolviamo il suo rilassamento (P.L. Frazionaria) 3. verifichiamo
lIntegrality Gap IG 4. definiamo il meccanismo frazionario M F (
F,p F ) 5. definiamo il meccanismo frazionario M F ( F,p F )
-scalato 6. calcoliamo i coefficienti di combinazione lineare
convessa (Decomposition Lemma) tramite il metodo dellellissoide 7.
definiamo il meccanismo deterministico di supporto M D ( D,p D ) -
approssimato 8. definiamo il meccanismo probabilistico M R ( R,p R
) 39
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Esempio Vediamo come costruire un meccanismo probabilistico
approssimato e veritiero in aspettativa per le Multi-Unit
Combinatorial Auctions. 40 Formalmente una MUCA cos definita: m un
insieme di item indivisibili da vendere B copie dello stesso item n
un insieme di giocatori che competono per appropriarsi di un
sottoinsieme degli item il giocatore i ha una funzione di
valutazione per ogni sottoinsieme degli item S, che gode delle
seguenti propriet: v i ()=0 non decrescente: per
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MUCA Ogni giocatore pu aggiudicarsi pi copie dello stesso item
Le valutazioni di un giocatore i per due copie dello stesso item
sono uguali Se B= 1 parliamo di Asta Combinatoria OBIETTIVO
Problema di Social-Welfare Maximization (SWM): vogliamo calcolare
unallocazione di item (S 1,, S n ) da distribuire tra i giocatori,
tale da massimizzi il social welfare 41
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Costruzione di M R per MUCA A questo punto, vediamo le
operazioni da effettuare per costruire un M R 1. modelliamo il
problema di MUCA tramite P.L. Intera 42 per ogni giocatore i per
ogni item j per ogni coppia (i,S) soggetta a vincoli Ogni item ha B
copie
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Costruzione di M R per MUCA 2. risolviamo il suo rilassamento
(P.L. Frazionaria) 43 per ogni giocatore i per ogni item j per ogni
coppia (i,S) soggetta a vincoli Rilassamento continuo
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Costruzione di M R per MUCA 3. verifichiamo lIntegrality Gap 44
Dagli studi di Algoritmi deterministici, sappiamo che la versione
del problema di P.L. rilassata ha IIntegrality Gap M = # di item B
= # istanze dello stesso item 4.definiamo il meccanismo frazionario
M F ( F,p F ) la cui funzione di scelta sociale F = ottimo
frazionario e i pagamenti sono
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Costruzione di M R per MUCA 6. Grazie al Main Decomposition
Lemma sappiamo che le soluzioni frazionarie di P.L. possono essere
scritte come combinazione lineare convessa delle soluzioni di P.L.
intera 45 calcoliamo i coefficienti di combinazione lineare
convessa { l } tramite il metodo dellellissoide in tempo
polinomiale. 5.definiamo il meccanismo frazionario M F ( F,p F
)
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Costruzione di M R per MUCA 46 7.Definiamo il meccanismo
deterministico di supporto 8.A partire dal meccanismo
deterministico di supporto, definiamo il corrispondente meccanismo
probabilistico M R ( R,p R ) che sar Compatibile agli incentivi in
aspettativa Con complessit polinomiale