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TEORIA, MAIS DE 500 QUESTÕES COMENTADASE MAIS DE 450 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Volume II
Raciocínio LógicoSimplificado
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Sérgio Carvalho
Weber Campos
TEORIA, MAIS DE 500 QUESTÕES COMENTADASE MAIS DE 450 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Volume II
Raciocínio LógicoSimplificado
S É R I E P R O V A S E C O N C U R S O S
C O N C U R S O S
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Carvalho, SérgioRaciocínio lógico simplificado, vol. 2: teoria, questões comentadas e
exercícios / Sérgio Carvalho, Weber Campos. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. p. – (Série provas e concursos)
BibliografiaISBN: 978-85-52-3853-2
1. Lógica simbólica e matemática. 2. Matemática. 3. Serviço público – Brasil – Concursos. I. Campos, Weber. II. Título. III. Série.
CDD: 511.3CDU: 510.6
10-0616.
C328rv. 2
© 2010, Elsevier Editora Ltda.
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei no 9.610, de 19/02/1998.Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros.
Editoração Eletrônica: SBNigri Artes e Textos Ltda.Copidesque: Adriana Araújo KramerAdriana Araújo KramerRevisão Gráfica: Irênio Silveira Chaves
Coordenador da Série: Sylvio Motta
Projeto GráficoElsevier Editora Ltda.Conhecimento sem Fronteiras
Rua Sete de Setembro, 111 – 16o andar20050-006 – Centro – Rio de Janeiro – RJ – Brasil
Rua Quintana, 753 – 8o andar04569-011 – Brooklin – São Paulo – SP
Serviço de Atendimento ao [email protected]
ISBN 978-85-352-3854-9
Nota: Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão.
Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens, originados do uso desta publicação.
Dedicatórias
A Sílvia Helena, meu amor
Sérgio Carvalho
À Regina Célia, minha amada esposa que me faz muito feliz.
À Beatriz, minha fi lha adorável, maior alegria da minha vida.
Aos meus pais, Campos e Terezinha, pela dedicação na criação dos fi lhos e pela
educação cristã.
Às minhas irmãs Mary Anne, Magda e Mirislândia e ao meu irmão Railson, pelo carinho
e amizade.
Weber Campos
Agradecimentos
A Deus, Nosso Senhor, por seu amor, por sua fi delidade, pelo dom da vida e pelas
oportunidades todas que nos concede!
À Editora Campus/Elsevier, que abriu suas portas para o nosso trabalho!
Ao Prof. Paulo Henrique, que nos concedeu a honra de prefaciar esta humilde obra!
Aos nossos alunos presenciais e virtuais, razão especialíssima do nosso trabalho e do nosso
empenho em fazer sempre o melhor!
A todos os nossos familiares, pela inestimável compreensão, em face de tantas horas de
ausência, que precisamos passar a fi m de escrever esta presente obra.
Os Autores
Os Autores
SÉRGIO CARVALHO é Auditor-Fiscal da Receita Federal e professor de Matemática
Financeira, Estatística Básica e Raciocínio Lógico, em cursos preparatórios para concursos
públicos de Fortaleza, João Pessoa, Recife, Manaus, Belo Horizonte e São Paulo. É também
cofundador do site EuVouPassar (www.euvoupassar.com.br) e autor das obras Matemática
Financeira Simplifi cada para Concursos, Raciocínio Lógico Simplifi cado – Vol. 1, e Estatística Básica
Simplifi cada, publicadas pela Editora Campus/Elsevier.
WEBER CAMPOS é Engenheiro de Telecomunicações, com graduação e mestrado
concluídos no IME – Instituto Militar de Engenharia. É professor de Raciocínio Lógico,
Matemática Financeira, Estatística Básica e Avançada, ministrando aulas nas cidades
de Fortaleza, São Paulo, Campinas e Belo Horizonte, e, também, no site EuVouPassar
(www.euvoupassar.com.br). É autor, em parceria com o Prof. Sérgio Carvalho, das obras Estatística
Básica Simplifi cada, Matemática Financeira Simplifi cada para Concursos, e Raciocínio Lógico
Simplifi cado – Vol. 1, publicadas pela Editora Campus/Elsevier.
Prefácio
Olá, meu povo!
Embora suspeito para dizer isto, Raciocínio Lógico é, para mim, algo apaixonante! E tanto
mais o é se os (meus) mestres Sérgio Carvalho e Weber Campos estão envolvidos! Boa parte
do que sou hoje como professor devo a eles dois.
A linguagem simplifi cada que empregaram neste trabalho, transformando temas (para
muitos) “ilógicos” em lógicos, coloca-os irrefutavelmente entre os melhores do Brasil.
Mas faltava alguma coisa. Repito: faltava!
Sejam bem-vindos ao volume complementar do Raciocínio Lógico Simplifi cado, obra que,
em seu conjunto, não pode faltar na biblioteca de nenhum concurseiro.
Sérgio e Weber lograram elaborar um material completíssimo, tratando neste livro de
assuntos de extrema relevância em concursos públicos, tais como Análise Combinatória,
Probabilidade, Matrizes, Trigonometria, Geometria, entre outros tantos!
E o fi zeram de forma incrivelmente simples e descomplicada, utilizando-se de inúmeros
exemplos, que acabam por transformar esse estudo em verdadeira diversão!
Agora sim, mestre João Antônio, o banquete está completo! (Vide prefácio do volume 1).
Vamos nos servir ao máximo da capacidade desses dois brilhantes professores, e aprender
que Raciocínio Lógico não é só para concursos, e sim para a vida! Pois raciocinar é, acima de
tudo, uma escolha de vida.
Excelente leitura a todos.
Beijo no papai e na mamãe!
Paulo Henrique (P.H.)
Professor do site EuVouPassar
Introdução
Caríssimos leitores,
É com imensa satisfação que lhes apresentamos este complemento da obra Raciocínio
Lógico Simplifi cado.
Seguindo a mesma dinâmica do primeiro volume, usamos igualmente aqui a linguagem
de sala de aula, próxima do aluno, capaz de conduzi-lo à compreensão facilitada dos diversos
temas abordados.
Na escolha dos assuntos deste livro, nosso intuito foi realmente o de assegurar aos alunos
que visam aos concursos públicos um material completo, de sorte que os dois volumes da
obra, reunidos, contemplem integralmente o conjunto de tudo o que costuma ser cobrado
em provas desta disciplina.
Enquanto o volume inicial tratava do Raciocínio Lógico propriamente dito, aquele que
normalmente não se estuda nos ensinos fundamental e médio, o presente livro retomará as-
suntos como análise combinatória, matrizes, geometria, trigonometria, entre outros tantos que já
fi zeram parte da vida estudantil de todos nós, e que passaram a ser cobrados com frequência
em diversos certames.
Inclusive temas comumente relacionados à Matemática básica – mesmo que de forma mais
breve – foram aqui trabalhados, a exemplo de razão e proporção, regra de três, porcentagem,
P.A., P.G. etc.
Estamos certos de que Raciocínio Lógico Simplifi cado em muito os ajudará em seu conhe-
cimento matemático, e na tão almejada conquista de um lugar no serviço público brasileiro!
Um forte abraço a todos!
Sérgio Carvalho & Weber Campos
Sumário
CAPÍTULO 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA ........................................................................... 11.1. Introdução ......................................................................................11.2. Técnicas da Análise Combinatória ...................................................2
1.2.1. Princípio Fundamental da Contagem .................................21.2.2. Arranjo e Combinação .......................................................91.2.3. Permutação ......................................................................161.2.4. Permutação Circular .........................................................221.2.5. Permutação com Repetição...............................................241.2.6. Combinação com Repetição .............................................27
1.3. Exercícios Resolvidos ....................................................................301.4. Exercícios Propostos ......................................................................66
CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE ..................................................................................... 812.1. Introdução ....................................................................................812.2. Conceitos Iniciais ..........................................................................812.3. Cálculo da Probabilidade ...............................................................842.4. Axiomas da Probabilidade .............................................................882.5. Probabilidade da Intersecção de Eventos (Regra do E) ...................902.6. Probabilidade de Eventos Independentes ......................................922.7. Probabilidade de Eventos Mutuamente Exclusivos ........................982.8. Probabilidade da União de Dois Eventos (Regra do OU) ..............1002.9. Probabilidade Condicional ..........................................................1062.10. Probabilidade Binomial ...............................................................1182.11. Exercícios Resolvidos ..................................................................1222.12. Exercícios Propostos ....................................................................149
CAPÍTULO 3 SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE NÚMEROS, LETRAS, PALAVRAS E FIGURAS ............. 1633.1. Introdução ..................................................................................163
3.2. Sequência Lógica de Números .......................................163
3.2.1. Exercícios Resolvidos .....................................1633.3. Sequência Lógica de Letras .............................................191
3.3.1. Exercícios Resolvidos .....................................1913.4. Sequência Lógica de Palavras .........................................200
3.4.1. Exercícios Resolvidos .....................................2003.5. Sequência Lógica de Figuras ........................................................205
3.5.1. Exercícios Resolvidos .....................................................2053.6. Exercícios Propostos .......................................................215
CAPÍTULO 4 PROBLEMAS LÓGICOS COM DADOS, FIGURAS E PALITOS ............................. 2394.1. Questões Lógicas que Envolvem Dados .......................................239
4.1.1. Exercícios Resolvidos ....................................................2394.2. Questões Lógicas com Figuras .....................................................249
4.2.2. Exercícios Resolvidos .....................................................2494.3. Questões Lógicas com Palitos ......................................................268
4.3.1. Exercícios Resolvidos .....................................................2684.4. Exercícios Propostos ....................................................................271
CAPÍTULO 5 PROBLEMAS LÓGICOS ........................................................................... 2815.1. Introdução ..................................................................................2815.2. Exercícios Resolvidos ..................................................................2815.3. Exercícios Propostos ....................................................................332
CAPÍTULO 6 RACIOCÍNIO MATEMÁTICO – MATEMÁTICA BÁSICA .................................... 3476.1. Razão e Proporção .......................................................................3476.2. Regra de Três ...............................................................................3556.3. Questões das Torneiras ................................................................3616.4. Porcentagem ................................................................................3646.5. Progressões Aritmética e Geométrica ...........................................3746.6. Equações .....................................................................................3766.7. Função ........................................................................................3836.8. Inequação ....................................................................................3846.9. Polinômios ..................................................................................3866.10. Operações Aritméticas ................................................................3876.11. Mudança de Base .........................................................................3916.12. Questões de Idades......................................................................3966.13. Quantidades Inteiras ...................................................................4006.14. Numeração de Páginas ................................................................4056.15. Moedas ........................................................................................4066.16. Princípio da Reversão ..................................................................4146.17. Operações Defi nidas ....................................................................4206.18. Questões de Velocidade ...............................................................4216.19. Números Complexos ...................................................................439
6.20. Questões Variadas .......................................................................4426.21. Exercícios Propostos ....................................................................453
CAPÍTULO 7 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES .................................... 4717.1. Matrizes ......................................................................................471
7.1.1. Conceito de Matriz .........................................................4717.1.2. Elementos de uma Matriz ...............................................4727.1.3. Lei de Formação de uma Matriz .....................................4737.1.4. Matrizes Especiais ..........................................................4747.1.5. Igualdade de Matrizes ....................................................4777.1.6. Adição e Subtração de Matrizes ......................................478
7.1.6.1. Propriedades da Adição de Matrizes ...............4817.1.7. Produto ou Divisão de um Número Real por uma
Matriz ............................................................................4817.1.8. Multiplicação de Matrizes ...............................................481
7.1.8.1. Propriedades da Multiplicação de Matrizes ....4897.1.9. Matriz Inversa ................................................................489
7.1.9.1. Matriz Inversa de uma Matriz de Primeira Ordem ...........................................................489
7.1.9.2. Matriz Inversa de uma Matriz de Segunda Ordem ...........................................................490
7.1.9.3. Matriz Inversa de uma Matriz de Terceira Ordem ...........................................................491
7.1.9.4. Propriedades da Matriz Inversa ......................4917.1.10. Exercícios Resolvidos ......................................................491
7.2. Determinantes .............................................................................4977.2.1. Determinante de uma Matriz Quadrada de 1a Ordem .....4977.2.2. Determinante de uma Matriz Quadrada de 2a Ordem .....4977.2.3. Determinante de uma Matriz Quadrada de 3a Ordem .....4987.2.4. Menor Complementar ....................................................5017.2.5. Cofator ...........................................................................5027.2.6. Teorema de Laplace ........................................................5027.2.7. Cálculo da Matriz Inversa Através de Determinante .......503
7.2.7.1. Matriz Inversa de uma Matriz de Segunda Ordem ..........................................................503
7.2.7.2. Matriz Inversa de uma Matriz de Terceira Ordem ..........................................................504
7.2.8. Propriedades dos Determinantes ....................................5087.2.9. Exercícios Resolvidos .....................................................511
7.3. Sistemas Lineares ........................................................................5227.3.1. Conceito de Sistema Linear ............................................5227.3.2. Representação de um Sistema Linear na Forma
Matricial .........................................................................522
7.3.3. Solução de um Sistema Linear ........................................5237.3.4. Classifi cação de um Sistema Linear ................................5257.3.5. Sistemas Homogêneos ....................................................5267.3.6. Regra de Cramer ............................................................5277.3.7. Análise do Sistema Linear ...............................................5287.3.8. Exercícios Resolvidos .....................................................529
7.4. Exercícios Propostos ...................................................................536
CAPÍTULO 8 GEOMETRIA BÁSICA ............................................................................. 5418.1. Ângulos .......................................................................................541
8.1.1. Defi nição ........................................................................5418.1.2. Tipos de Ângulos ...........................................................5418.1.3. Ângulos em Retas Paralelas e Transversais ......................542
8.2. Circunferência .............................................................................5438.2.1. Elementos da Circunferência .........................................5438.2.2. Regiões do Círculo .........................................................5448.2.3. Comprimento da Circunferência ...................................5448.2.4. Comprimento de um Arco da Circunferência ................544
8.3. Triângulos ...................................................................................5458.3.1. Classifi cação ...................................................................545
Quanto aos lados: ..........................................................545Quanto aos ângulos: .......................................................545
8.3.2. Condição de Existência do Triângulo .............................5458.3.3. Teorema do Ângulo Interno ...........................................5468.3.4. Teorema do Ângulo Externo ...........................................5468.3.5. Cevianas do Triângulo ...................................................547
8.3.5.1. Mediana .........................................................5478.3.5.2. Altura ............................................................5478.3.5.3. Bissetriz .........................................................548
8.3.6. Pontos Notáveis do Triângulo .........................................5508.3.7. Relações Métricas no Triângulo Retângulo ......................5518.3.8. Relação de Stewart .........................................................554
8.4. Quadriláteros ..............................................................................5558.4.1. Paralelogramo ................................................................5558.4.2. Retângulo .......................................................................5558.4.3. Losango .........................................................................5558.4.4. Quadrado .......................................................................5568.4.5. Trapézio .........................................................................556
8.5. Polígonos ....................................................................................5588.5.1. Diagonais de um Polígono ..............................................5598.5.2. Ângulos Internos e Externos de um Polígono .................560
8.6. Teorema de Tales .........................................................................5628.7. Semelhança de Polígonos ............................................................564
8.8. Ângulos na Circunferência .........................................................5678.8.1. Ângulo Central ...............................................................5678.8.2. Ângulo Inscrito ..............................................................5678.8.3. Ângulo de Vértice Interno ..............................................5698.8.4. Ângulo de Vértice Externo .............................................5708.8.5. Ângulo de Segmento ......................................................570
8.9. Áreas das Figuras Planas .............................................................5718.9.1. Retângulo .......................................................................5718.9.2. Quadrado .......................................................................5718.9.3. Paralelogramo ................................................................5718.9.4. Trapézio .........................................................................5718.9.5. Losango .........................................................................5718.9.6. Triângulo Qualquer ........................................................5728.9.7. Triângulo Equilátero .......................................................5728.9.8. Triângulo Inscrito numa Circunferência ........................5728.9.9. Triângulo Circunscrito a uma Circunferência ................5728.9.10. Área do Círculo ..............................................................5728.9.11. Setor Circular .................................................................5738.9.12. Hexágono Regular ..........................................................573
8.10. Volume dos Sólidos .....................................................................5758.10.1. Paralelepípedo Retângulo ...............................................5758.10.2. Cubo ..............................................................................5758.10.3. Cilindro .........................................................................5758.10.4. Esfera ............................................................................5758.10.5. Pirâmide .......................................................................5758.10.6. Cone ..............................................................................576
8.11. Eixos Coordenados .....................................................................5768.11.1. Distância entre Dois Pontos do Plano Cartesiano ............576
8.12. Reta ............................................................................................5778.12.1. Equação da Reta .............................................................5778.12.2. Coefi ciente Angular da Reta ...........................................5778.12.3. Coefi ciente Linear da Reta ..............................................5788.12.4. Construção do Gráfi co da Reta .......................................5788.12.5. Equação da Reta a Partir de um Ponto e do Coefi ciente
Angular .........................................................................5798.12.6. Equação da Reta a Partir de Dois Pontos da Reta ...........5798.12.7. Retas Horizontais e Verticais ...........................................5798.12.8. Retas Paralelas e Perpendiculares ....................................580
8.13. Área de um Triângulo no Plano Cartesiano ..................................5808.14. Equação da Circunferência ..........................................................5818.15. Exercícios Resolvidos ..................................................................5828.16. Exercícios Propostos ....................................................................613
CAPÍTULO 9 TRIGONOMETRIA .................................................................................. 6259.1. Arcos e Ângulos...........................................................................625
9.1.1. Conversão de Graus para Radianos ................................6259.1.2. Conversão de Radianos para Graus ................................6259.1.3. Relações entre Dois Ângulos ...........................................626
9.2. O Ciclo Trigonométrico ...............................................................6269.2.1. Ângulos Côngruos ou Congruentes ................................628
9.2.1.1. Forma Generalizada de Congruência de um Ângulo ................................................629
9.3. Função Seno................................................................................6299.3.1. Valores Notáveis de Seno ................................................6309.3.2. A Função y = sen x .........................................................6309.3.3. Sinal da Função Seno .....................................................631
9.4. Função Cosseno ..........................................................................6319.4.1. Valores Notáveis de Cosseno ..........................................6329.4.2. A Função y = cos x .........................................................6329.4.3. Sinal da Função Cosseno ................................................632
9.5. Ângulos da Forma: 180º-α, 180º+α e 360º-α ...............................6339.5.1. Simetria em Relação ao Eixo Vertical ..............................6339.5.2. Simetria em Relação ao Eixo Horizontal .........................6339.5.3. Simetria em Relação ao Centro do Ciclo .........................634
9.6. Relação Fundamental entre Seno e Cosseno ................................6369.7. Função Tangente .........................................................................6379.8. Função Cotangente ....................................................................6389.9. Função Secante ...........................................................................6399.10. Função Cossecante ......................................................................6399.11. Valores Notáveis para as Funções sen, cos, tg, cotg, sec e
cossec ..........................................................................................6399.12. Relações Trigonométricas ............................................................640
9.12.1. Relações Fundamentais ..................................................6409.12.2. Relações Decorrentes ......................................................6409.12.3. Relação entre Ângulos Complementares .........................6409.12.4. Fórmulas do Arco Duplo ................................................6419.12.5. Fórmulas da Soma e Diferença .......................................6419.12.6. Fórmulas de Divisão .......................................................6429.12.7. Transformação em Produto ............................................642
9.13. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo ..........................6439.14. Relações Trigonométricas em Triângulos Quaisquer.....................645
9.14.1. Lei dos Senos .................................................................6459.14.2. Lei dos Cossenos ............................................................646
9.15. Exercícios Resolvidos ..................................................................6479.16. Exercícios propostos ....................................................................658
GABARITOS ................................................................................................................... 663
Capítulo 1Análise Combinatória
1.1. IntroduçãoProblemas de contagem sempre estiveram presentes, através dos séculos, na história da
humanidade.
À medida que mais elaboradas e complexas tornaram-se as relações humanas, mais se viu
a necessidade de desenvolver técnicas matemáticas capazes de dar respostas mais rápidas a
situações cotidianas que envolviam o processo de contar.
Assim, desenvolveu-se a Análise Combinatória – algumas vezes tratada em editais de
concurso como “Princípios de Contagem” – com o intuito de indicar, em suma, de quantas
formas distintas se pode realizar determinado experimento.
Ao longo deste capítulo, conheceremos os caminhos da Análise Combinatória, suas téc-
nicas e aplicações.
Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas pode
ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos:
1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fi la
de cinema?
2) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos 1,
2, 3, 4, 5?
3) Quantos tipos de saladas, feitas de três tipos de frutas diferentes, podem ser formados
com as seguintes frutas: banana, maçã, pêra, uva, laranja, mamão, melão?
Enfi m, situações como essas serão resolvidas por meio de técnicas que conheceremos a
partir de agora. Ou seja, a Análise Combinatória se presta ao seguinte: a descobrir o número
de maneiras possíveis de se realizar um determinado evento, sem que seja necessário descre-
ver todas essas maneiras!
Um exemplo melhor para esclarecer o que foi dito:
Exemplo 1: Suponhamos que tenho uma moeda na mão e vou lançá-la três vezes
para o ar. A pergunta é: quantos são os resultados possíveis para esses três lançamentos
da moeda?
Ora, se fôssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderíamos fazê-lo por inter-
médio de um desenho, chamado diagrama da árvore. Da seguinte forma:
2Sé
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Conc
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sELSEVIERRaciocínio Lógico Simplificado Vol. II – Prof. Sérgio Carvalho e Prof. Weber Campos
1o Lançamento 2o Lançamento 3o Lançamento Resultados
Cara � K, K, K
Cara
Coroa � K, K, C
Cara
Cara � K, C, K
Coroa
Coroa � K, C, C
moeda
Cara � C, K, K
Cara
Coroa � C, K, C
Coroa
Cara � C, C, K
Coroa
Coroa � C, C, C
Nos resultados, chamamos cara de K e coroa de C. E assim, por meio desse desenho,
percebemos que há oito diferentes possíveis resultados para o lançamento de uma moeda
três vezes! Mas seria muito custoso, a cada novo problema, ter de fazer o tal do diagrama da
árvore!
Aí entra a Análise Combinatória! Usando técnicas simples, podemos chegar ao resultado
procurado, sem precisar desenhar os resultados possíveis!
1.2. Técnicas da Análise Combinatória
1.2.1. Princípio Fundamental da Contagem
Este princípio também é conhecido como Princípio Multiplicativo, e consiste em dividir-
mos o evento em etapas. Para cada uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobri-
remos qual o seu número de resultados possíveis!
Tomemos o exemplo anterior da moeda. O evento consiste em lançar uma moeda três
vezes. Daí, fi ca bem fácil dividi-lo em etapas: cada etapa será um lançamento. Confere?
Destarte, teremos:
1a etapa) 1o lançamento da moeda;
2a etapa) 2o lançamento da moeda;
3a etapa) 3o lançamento da moeda.
Pois bem! Conforme dissemos, temos de descobrir os resultados possíveis individuais de
cada etapa.
3Série Provas e Concursos
Capítulo 1 — Análise CombinatóriaCAMPUS
Ou seja, ao lançarmos a moeda a primeira vez, quantos serão os resultados possíveis para
esse primeiro lançamento? Dois, obviamente (cara ou coroa)! O mesmo se dará com o segun-
do lançamento e com o terceiro. Daí, teremos:
1a etapa) 1o lançamento da moeda � 2 resultados possíveis
2a etapa) 2o lançamento da moeda � 2 resultados possíveis
3a etapa) 3o lançamento da moeda � 2 resultados possíveis
Finalmente, o Princípio Fundamental da Contagem vem nos dizer: agora, basta multiplicar
os resultados parciais (de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)!
Teremos: 2×2×2=8 � A mesma resposta do diagrama da árvore!
Sem precisarmos fazer desenho algum, concluímos que há oito possíveis resultados para
o lançamento de uma moeda três vezes!
Passemos a outro exemplo, igualmente simples:
Exemplo 2: Num hospital, existem três portas de entrada (P1, P2 e P3) que dão para
um saguão, no qual existem quatro elevadores (E1, E2, E3 e E4). Um visitante deve
dirigir-se ao 5o andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes
poderá fazê-lo?
Caso decidíssemos tentar desenhar uma resolução, mediante o diagrama da árvore, faría-
mos o seguinte:
E1 � (P1, E1)
E2 � (P1, E2)
P1 E3 � (P1, E3)
E4 � (P1, E4)
E1 � (P2, E1)
E2 � (P2, E2)
porta P2 E3 � (P2, E3)
E4 � (P2, E4)
E1 � (P3, E1)
E2 � (P3, E2)
P3 E3 � (P3, E3)
E4 � (P3, E4)
Em azul, estão as doze possibilidades distintas de, usando uma das três portas e um dos
quatro elevadores, chegarmos ao quinto andar!
Ocorre que já aprendemos que esse desenho é desnecessário! Mais rápido e efi caz será
utilizar o Princípio Fundamental da Contagem. Para tanto, dividiremos o evento (chegar ao 5o
andar do hospital) em duas etapas:
1a etapa) a escolha de uma porta de entrada;
2a etapa) a escolha de um elevador.
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sELSEVIERRaciocínio Lógico Simplificado Vol. II – Prof. Sérgio Carvalho e Prof. Weber Campos
Feito isso, descobriremos o número de resultados possíveis, individualmente, para cada
etapa. Teremos:
1a etapa) a escolha de uma porta de entrada � 3 resultados possíveis;
2a etapa) a escolha de um elevador � 4 resultados possíveis.
Manda o princípio fundamental da contagem que multipliquemos os resultados parciais, e
teremos:
� 3×4=12 � A mesma resposta do diagrama da árvore!
A partir dos dois exemplos que acabamos de ver, já é possível apresentar formalmente o
Princípio Fundamental da Contagem. Vejamos:
Enunciado do Princípio Fundamental da Contagem:
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes
de tal modo que:
P1 é o número de possibilidades da 1a etapa;
P2 é o número de possibilidades da 2a etapa;
.
.
Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então:
(P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer!
Seguiremos apresentando e solucionando alguns outros exemplos que podem ser resolvi-
dos empregando-se o Princípio Fundamental da Contagem:
Exemplo 3: Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferen-
tes podem ser formados?
Solução:
O objetivo é formar um casal. Ora, um casal é composto de um homem e uma mulher!
Logo, para cumprir esse objetivo, dividiremos o evento em duas etapas:
1a etapa) escolha do homem � 80 resultados possíveis;
2a etapa) escolha da mulher � 90 resultados possíveis.
Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
� 80×90 = 7200 � Resposta!
Exemplo 4: De quantos modos três pessoas podem fi car em fi la indiana?
Solução:
Fila indiana, você sabe, é aquela em que uma pessoa fi ca atrás da outra.
Daí, as etapas do evento serão: defi nir quem vai na cabeça da fi la, quem vai no meio e
quem vai no fi m.
5Série Provas e Concursos
Capítulo 1 — Análise CombinatóriaCAMPUS
Teremos:
� 1a etapa) defi nição do 1o da fi la: 3 resultados possíveis;
� 2a etapa) defi nição do 2o da fi la: 2 resultados possíveis;
� 3a etapa) defi nição do 3o da fi la: 1 resultado possível.
Daí, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
� 3×2×1 = 6 � Resposta!
Podem ser formadas seis diferentes fi las indianas, com três pessoas!
Exemplo 5: O sistema telefônico de uma cidade utiliza oito dígitos para designar
os números de telefones, onde o primeiro dígito é dois ou três e o dígito zero pode ser
utilizado apenas nos quatro últimos dígitos. Qual é a quantidade máxima de números
de telefones diferentes?
Solução:
O evento agora é compor um número de telefone, observando as restrições previstas no
enunciado! Como teremos 8 dígitos, trabalharemos também com 8 etapas! Cada etapa cor-
responde, naturalmente, à escolha do respectivo dígito.
Este exemplo se diferencia dos anteriores, pois aqui teremos que redobrar nossa atenção,
uma vez que o enunciado estabelece exigências específi cas para algumas das etapas do evento.
Por exemplo, é dito que o primeiro dígito será 2 ou 3. É dito também que na escolha do se-
gundo, do terceiro e do quarto dígitos não poderemos usar o algarismo zero!
Essas restrições terão que ser observadas quando formos fazer o cálculo dos resultados
parciais! Teremos:
1a etapa) Defi nição do 1o dígito � 2 resultados possíveis (só pode ser “2” ou “3”);
2a etapa) Defi nição do 2o dígito � 9 resultados possíveis.
Então, vejamos: dispomos dos algarismos do sistema decimal, para escolher um deles que
ocupará o 2o dígito. São eles: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}. São dez algarismos! Ocorre que o
enunciado amarra que o algarismo zero não pode ocupar essa segunda casa! Daí, restam 9
resultados possíveis! Idêntico raciocínio se repetirá nas duas próximas etapas.
3a etapa) Defi nição do 3o dígito � 9 resultados possíveis.
4a etapa) Defi nição do 4o dígito � 9 resultados possíveis!
Para os próximos dígitos não há nenhuma exigência específi ca, e nenhuma restrição! Ou
seja, pode ser usado qualquer algarismo do sistema decimal (e são 10!).
5a etapa) Defi nição do 5o dígito � 10 resultados possíveis.
6a etapa) Defi nição do 6o dígito � 10 resultados possíveis.
7a etapa) Defi nição do 7o dígito � 10 resultados possíveis.
8a etapa) Defi nição do 8o dígito � 10 resultados possíveis.
Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
� 2×9×9×9×10×10×10×10 = 14.580.000 � Resposta!
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Exemplo 6: Quantos números de três algarismos – iguais ou distintos – podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
Solução:Nosso evento é formar um número de três algarismos distintos que podem se repetir.
Teremos aqui três etapas: preencher a primeira posição do número; preencher a segunda posição do número; e, enfi m, preencher a terceira posição daquele número. Teremos:
� 1a etapa) 1o algarismo do número � 6 resultados possíveis.Signifi ca que seis algarismos poderiam ocupar a primeira posição do número!� 2a etapa) 2o algarismo do número � 6 resultados possíveis.
Aqui, muita atenção! O enunciado diz que os algarismos que formarão esse número po-dem ser iguais ou distintos. Isso quer dizer que aquele algarismo que eventualmente ocupou a primeira posição do número poderá vir a aparecer novamente aqui, na segunda posição! Por isso, haverá novamente seis algarismos possíveis, para ocupar a segunda posição do nosso número!
� 3a etapa) 3o algarismo do número � 6 resultados possíveis.Novamente aqui teremos seis possibilidades, uma vez que, conforme já explicado, esse
número poderá ser composto por algarismos repetidos!Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:� 6×6×6 = 216 � Resposta!
Se os algarismos fossem obrigatoriamente distintos, a resposta seria: 6×5×4 = 120.
Exemplo 7: Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser forma-dos, dispondo dos algarismos de 0 a 9?
Solução:Aqui temos duas restrições: 1a) o algarismo 0 não pode ser usado na primeira posição; e
2a) o último algarismo tem de ser 0, 2, 4, 6 ou 8 para o número ser par. Nesta questão, teremos de separar a análise do algarismo 0 dos outros algarismos pares (2,
4, 6 e 8), conforme veremos a seguir.1a situação) Número terminando em 0 (zero)Vamos iniciar a análise pelo último algarismo, pois para esta situação é necessário que o
número termine em 0. Depois, passamos a verifi car o primeiro algarismo, pois este tem uma restrição (não pode ser 0).
� Defi nição do 3o algarismo: 1 possibilidade (só pode ser “0”). 1p
� Defi nição do 1o algarismo: 9 possibilidades (qualquer um dos algarismos de 1 a 9). 9p 1p
� Defi nição do 2o algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas já usamos dois deles. Resta-nos, portanto, oito.
9p 8p 1p
7Série Provas e Concursos
Capítulo 1 — Análise CombinatóriaCAMPUS
Multiplicando-se as possibilidades, teremos:
� 9×8×1= 72
Quer dizer que há 72 números pares de três algarismos distintos terminando em zero.
2a situação) Número terminando em 2, 4, 6 ou 8
Vamos iniciar a análise pelo último algarismo, pois para esta situação é necessário que o
número termine em 2, 4, 6 ou 8. Depois, passamos a verifi car o primeiro algarismo, pois este
tem uma restrição (não pode ser 0).
� Defi nição do 3o algarismo: 4 possibilidades (2, 4, 6 ou 8);
4p
� Defi nição do 1o algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas
não podemos usar o 0 (o número não inicia por 0) e nem o algarismo que já foi
usado como 3o algarismo. Resta-nos, portanto, oito.
8p 4p
Na defi nição do 1o algarismo, na situação anterior, havíamos encontrado outra quantida-
de de possibilidades: 9. Devido a essa diferença, tivemos de separar a terminação em zero das
outras terminações pares.
� Defi nição do 2o algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas já
usamos dois deles. Resta-nos, portanto, oito.
8p 8p 4p
Multiplicando-se as possibilidades, teremos:
� 8×8×4= 256
Quer dizer que há 256 números pares de três algarismos distintos terminando em 2, 4,
6 ou 8.
Somando os resultados obtidos nas duas situações, encontraremos a resposta da questão:
� 72 + 256 = 328 (Resposta!)
Concluindo, há 328 números pares de três algarismos distintos.
Exemplo 8: Determine quantos números inteiros positivos de três algarismos satis-
fazem simultaneamente as seguintes condições: menor que 800, maior que 199, possuir
todos os dígitos distintos e ser par?
Solução:
Para cumprir as exigências da questão, teremos:
� o algarismo das centenas poderá assumir os valores de 2 a 7;
� o algarismo das dezenas poderá assumir os valores de 0 a 9;
� o algarismo das unidades poderá ser 0, 2, 4, 6 ou 8.
Faremos uma análise em separado para cada possível algarismo das unidades.
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1a situação) Número terminando em zero
Vamos iniciar a análise pelo último algarismo, pois para esta situação é necessário
que o número termine em 0. Depois, passamos a verifi car o primeiro algarismo,
pois este tem uma restrição: maior ou igual a 2 e menor ou igual a 7.
� Defi nição do 3o algarismo: 1 possibilidade (só pode ser “0”).
1p
� Defi nição do 1o algarismo: 6 possibilidades (algarismos de 2 a 7).
6p 1p
� Defi nição do 2o algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas já
usamos dois deles. Resta-nos, portanto, oito.
6p 8p 1p
Multiplicando-se as possibilidades, teremos:
� 6×8×1= 48
2a situação) Número terminando em 2
Vamos iniciar a análise pelo último algarismo, pois para esta situação é necessário que o
número termine em 2. Depois, passamos a verifi car o primeiro algarismo.
� Defi nição do 3o algarismo: 1 possibilidade (só pode ser “2”).
1p
� Defi nição do 1o algarismo: 5 possibilidades (algarismos de 3 a 7. O 2 não entra,
pois já foi usado como último algarismo).
5p 1p
� Defi nição do 2o algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas já usa-
mos dois deles. Resta-nos, portanto, oito.
5p 8p 1p
Multiplicando-se as possibilidades, teremos:
� 5×8×1= 40
3a situação) Número terminando em 4
� Defi nição do 3o algarismo: 1 possibilidade (só pode ser “4”).
1p
� Defi nição do 1o algarismo: 5 possibilidades (possíveis algarismos: 2, 3, 5, 6, 7. O
4 não entra, pois já foi usado como último algarismo).
5p 1p
� Defi nição do 2o algarismo: 8 possibilidades. Dispomos de dez algarismos, mas já
usamos dois deles. Resta-nos, portanto, oito.
5p 8p 1p
