Roteiro de Estudos OBMEP NA ESCOLA Grupo N3 Ciclo 1 · Roteiro de Estudos – OBMEP NA ESCOLA ... (Coordenadores e alunos de licenciatura) No início de todos os ciclos, a primeira

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Roteiro de Estudos – OBMEP NA ESCOLA Grupo N3 – Ciclo 1

Em 2017 o Planejamento Acadêmico do Programa OBMEP na Escola prevê a

realização de 7 ciclos de estudos com duração de quatro semanas cada um. Em cada

ciclo serão desenvolvidos estudos sobre conteúdos específicos de acordo com o seguinte

esquema: um encontro inicial de formação entre professores e coordenadores, dois

encontros com alunos e uma semana de estudos.

1ª semana: encontro de formação entre os coordenadores e os professores da

Educação Básica que atuam no Programa OBMEP na Escola.

2ª semana: (encontro 1) aula presencial de quatro horas ministrada por cada

professor para a sua turma de alunos convidados.

3ª semana: Período destinado para estudo dos alunos e preparação dos professores.

4ª semana: (encontro 2) aula presencial de quatro horas ministrada por cada

professor para a sua turma de alunos convidados.

Neste roteiro de estudos vamos apresentar os conteúdos que devem ser estudados neste

primeiro ciclo do grupo N3 além de sugerir atividades para coordenadores, professores

e alunos.

1ª semana: encontro de formação (Coordenadores e alunos de licenciatura)

No início de todos os ciclos, a primeira atividade que deve ser realizada é o encontro de

formação entre professores e coordenadores. Nesse encontro que antecede as aulas que

serão ministradas para os alunos, espera-se que sejam discutidos os conteúdos, os

exercícios, as estratégias para o desenvolvimento dos estudos e os materiais de apoio ao

ensino que foram disponibilizados. Dois aspectos fundamentais devem ser enfatizados

nesse encontro:

a metodologia a ser utilizada se baseia no ensino da matemática através da resolução

de problemas. Assim, em cada roteiro de estudos são fornecidas listas de problemas,

uma a cada aula, que devem ser trabalhadas junto aos alunos. Espera-se que ao

longo desse trabalho uma discussão qualitativa sobre conceitos e resultados

correlatos aos assuntos em foco seja estimulada.

o aluno deve ter o pleno conhecimento de que a atividade presencial é apenas o

início do processo de ensino inerente ao ciclo. Não é esperado que essa atividade

presencial seja amplamente abrangente e conclusiva quanto a formação do aluno em

relação aos conteúdos abordados. Então, os materiais presentes no Portal da

Matemática (http://matematica.obmep.org.br/) irão complementar essa ação

http://matematica.obmep.org.br/

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formativa. Logo, o aluno deve ser claramente informado da existência do Portal, dos

materiais complementares lá existentes e da forma de acesso a esse ambiente virtual.

As atividades presenciais e virtuais se complementam e cabe ao professor enfatizar

isso junto aos alunos, incentivando continuamente a participação dos alunos nas

atividades presentes no Portal. Salientamos que não é aceitável atitudes que se

omitam de buscar essa parceria entre ações presenciais e virtuais.

Para que esse encontro de formação seja o mais proveitoso possível, antes da sua

realização, recomendamos que os coordenadores e os professores:

façam um estudo preliminar de todo este roteiro.

assistam os vídeos indicados do Portal da Matemática ou do canal PICOBEMP no

YouTube.

resolvam os exercícios propostos.

anotem suas dúvidas.

Durante esse encontro de formação deseja-se que:

seja realizado um estudo dos materiais indicados e sejam esclarecidas as dúvidas.

caso exista infraestrutura disponível, sejam discutidas algumas videoaulas.

o coordenador deve promover discussões dos conceitos e dos exercícios mais

importantes das aulas que serão ministradas para os alunos convidados.

o coordenador auxilie os professores na preparação das aulas.

ocorra uma troca de experiências e o compartilhamento de ideias entre os

professores.

No que segue vamos detalhar os conteúdos das duas aulas (encontro 1 e encontro 2)

deste ciclo que devem ser ministradas para os alunos convidados, indicando referências

bibliográficas, videoaulas relacionadas e as listas de problemas que direcionarão o

estudo a ser realizado em cada aula. Este detalhamento deve ser utilizado tanto na aula

para os alunos quanto no encontro de formação entre professores e coordenadores.

- Assuntos a serem abordados:

Aritmética: Paridade, sistema decimal, divisão euclidiana, critérios de divisibilidade,

máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc), algoritmo de Euclides

para o cálculo do mdc.

- Material a ser estudado pelo professor:

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Os textos e vídeoaulas que o coordenador deve abordar com os professores e que eles

deverão estudar para se preparem para as aulas com seus alunos são:

Aritmética:

- Textos:

1. Seções 1.1, 1.2, 2.1, 2.4, 2.6, 3.1, 3.2, 3.5, 4.1 e 4.2 da Apostila do PIC da

OBMEP “Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar.

http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf

- Videoaulas do Portal da Matemática:

Paridade:

Tópicos Adicionais Módulo “Sistemas de Numeração e Paridade”

(http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=53) videoaulas:

“Problemas envolvendo paridade”, “Problemas com dominós”, “Dominós, pesagens e

outros problemas”.

Sistema Decimal:

Tópicos Adicionais Módulo “Sistemas de Numeração e Paridade”


“Sistema de numeração decimal”.

Divisão Euclidiana:

8º Ano do Ensino Fundamental Módulo “Números Naturais: Contagem,

Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclidiana”


“Teorema da Divisão Euclidiana”.

Critérios de Divisibilidade:

6º Ano do Ensino Fundamental Módulo “Divisibilidade”


“Critérios de Divisibilidade 1”, “Critérios de Divisibilidade 2”, “Critérios de

Divisibilidade 3”, “Critérios de Divisibilidade 4”, “Exercícios sobre Divisibilidade 1”,

“Exercícios sobre Divisibilidade 2”, “Exercícios sobre Divisibilidade 3”, “Exercícios

sobre Divisibilidade 4”, “Exercícios sobre Divisibilidade 5”.

Máximo Divisor Comum (mdc), Mínimo Múltiplo Comum (mmc) e Algoritmo de

Euclides para o Cálculo do mdc:

Tópicos Adicionais Módulo “Números Naturais – Representação, Operações e

Divisibilidade” (http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=52)

videoaulas: “Múltiplos, divisibilidade e MMC”, “Divisores e MDC – Algoritmo de

Euclides”.

http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf

http://matematica.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=53





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ENCONTRO 1 2ª semana: aula para alunos convidados

- Assuntos a serem abordados: Aritmética – paridade, sistema decimal, divisão

euclidiana, critérios de divisibilidade.

- Texto para consulta: seções 1.1, 1.2, 2.1, 2.4, e 2.6 da Apostila do PIC da OBMEP

“Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar

(http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf).

- Exercícios a serem discutidos com os alunos: está disponibilizada uma lista de oito

exercícios. O professor deverá propor os exercícios da lista para que os alunos

resolvam. Acompanhando, individual ou coletivamente, a tentativa de resolução dos

exercícios pelos alunos, o professor poderá perceber o nível de compreensão dos temas

abordados. Para cada exercício da lista, sugere-se que pelo menos um dos alunos que o

tenham resolvido apresente sua resolução para os demais alunos, e o professor

acompanhe a resolução, corrigindo, destacando e aprofundando os conhecimentos

matemáticos abordados. A ideia é que os temas abordados sejam assimilados pelos

alunos durante a resolução dos exercícios, ou seja, a resolução dos exercícios deve

provocar a necessidade de aprofundar os temas abordados. Se todos os exercícios da

lista forem resolvidos durante o tempo do encontro, cabe ao professor propor exercícios

adicionais sobre os assuntos abordados. Exercícios adicionais sobre os assuntos

abordados podem ser encontrados, por exemplo, na Apostila do PIC da OBMEP

“Encontros de Aritmética” ou no livro “Círculos Matemáticos: A Experiência Russa”,

D. Fomin, S. Genkin, I. Itenberg.

http://www.obmep.org.br/docs/apostila1.pdf

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Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N3 – Ciclo 1 – Encontro 1 ENUNCIADOS

No que segue, apresentamos uma lista de problemas que devem ser utilizados para

direcionar o estudo da aula com os alunos convidados. Esses exercícios devem ser

trabalhados segundo a metodologia do ensino da matemática através da resolução de

problemas e as discussões desses exercícios devem motivar o estudo dos conteúdos

propostos para esta aula.

1) Na divisão euclidiana de por o quociente é e o resto é . Quais são os

possíveis valores para e .

2) O produto de um número de três algarismos por termina (à direita) em . Qual é

esse número?

3) Determine todos os algarismos e tais que o número seja divisível por e

por .

4) Os inteiros de a estão escritos no quadro. Dois números quaisquer e são

apagados e substituídos pelo número . Depois desse processo ser repetido diversas

vezes, pode acontecer do único número restante no quadro ser zero? (Dorichenko,

problema 20.7)

5) Exercício 6, página 6, Apostila do PIC “Encontros de Aritmética”.



8) Um inteiro é dito um quadrado perfeito quando é igual ao quadrado de um inteiro.

a) Mostre que se um quadrado perfeito é divisível por 3, então é divisível por 9.

b) Um número escrito com cem algarismos iguais a , cem iguais a e cem iguais a ,

pode ser um quadrado perfeito?

(Dica para o item b: aplique os critérios de divisibilidade por e por )

(Fomin, capítulo 3, problema 10)

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Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N3 – Ciclo 1 – Encontro 1 SOLUÇÕES

1) Tem-se , sendo . Como e

, então , ou seja, e . Mas,

se, e somente se, , e se, e somente se, . Assim,

deve-se ter e , ou seja, pode ser igual a ou ou ou , sendo

que os respectivos valores de são iguais a ou ou ou . Portanto, os possíveis

valores para e são ou .

2) Seja representação decimal do número procurado. Então, o número

termina em . Como o algarismo das unidades de

é o mesmo algarismo das unidades de , então o algarismo das

unidades de deve ser igual a . Como , conclui-se que a única

possibilidade é . Assim,

. Como o algarismo das dezenas de é o mesmo algarismo

das dezenas de , então o algarismo das dezenas de deve ser igual a

. Como , conclui-se que a única possibilidade é . Assim,

. Como o algarismo das

centenas de é o mesmo algarismo das centenas de , então o

algarismo das centenas de deve ser igual a . Como ,

conclui-se que a única possibilidade é . Assim, o número procurado é .

3) Tem-se que é divisível por se, e somente se, é divisível por .

Como , então é divisível por se, e somente se, é divisível

por . Como , conclui-se que é divisível por se, e somente se,

ou . Por outro lado, é divisível por se, e somente se,

é divisível por . Para , é

divisível por se, e somente se, , já que . Para ,

é divisível por se, e somente se, , já que

. Assim, os possíveis valores para e tais que o número seja

divisível por e por são e .

4) Não. Inicialmente, a soma dos números no quadro é igual a ,

que é um número ímpar. Em cada etapa, ao apagarmos dois números e , e substitui-

los pelo número , a soma dos números do quadrado diminui de

. Como é par e a subtração por um número par não altera a paridade, então a soma

dos números no quadro sempre tem a mesma paridade. Como inicialmente, essa soma é

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ímpar, então permanecerá sempre ímpar e, logo, não pode ocorrer do único número

restante no quadro ser zero, que é par.

5) A solução está em seguida ao enunciado do exercício na apostila.



8)

a) Seja um quadrado perfeito divisível por , sendo um inteiro. Pela Divisão

Euclidiana, é da forma ou é da foram ou é da forma , sendo um

inteiro. Se é da forma , então não é

divisível por , o que não é verdade. Se é da forma , então

não é divisível por , o que não é verdade. Assim, só resta

concluir que é da forma e, portanto, é múltiplo de .

b) Não. A soma dos algarismos do número é igual a , que é

divisível por 3 e não é divisível por . Assim, o número é divisível por e não é

divisível por e, logo, pelo item a), não pode ser um quadrado perfeito.

3ª semana: Período destinado para estudo dos alunos e preparação dos professores

Em cada ciclo, a terceira semana é destinada para estudos individuais ou em grupo.

Nesta semana, alunos e professores devem se dedicar para o estudo dos materiais

teóricos indicados, para assistir as videoaulas e para resolver os exercícios propostos.

Nesta semana não existe nenhuma aula programada e nenhum encontro entre

coordenadores, professores e alunos. Esta é uma semana de estudo. Por este motivo, é

muito importante que no primeiro encontro entre professores e alunos convidados, o

professor passe o maior número possível de informações para os alunos, indicando

apostilas, videoaulas e exercícios.

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ENCONTRO 2 4ª semana: aula para alunos convidados

- Assuntos a serem abordados: Aritmética – máximo divisor comum (mdc) e mínimo

múltiplo comum (mmc), algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc.

- Texto para consulta: seções 3.1, 3.2, 3.5, 4.1 e 4.2 da Apostila do PIC da OBMEP

“Encontros de Aritmética”, F. Dutenhefner, L. Cadar

(http://www.obmep.org.br/docs/aritmetica.pdf).

- Exercícios a serem discutidos com os alunos: está disponibilizada uma lista de oito

exercícios. O professor deverá propor os exercícios da lista para que os alunos

resolvam. Acompanhando, individual ou coletivamente, a tentativa de resolução dos

exercícios pelos alunos, o professor poderá perceber o nível de compreensão dos temas

abordados. Para cada exercício da lista, sugere-se que pelo menos um dos alunos que o

tenham resolvido apresente sua resolução para os demais alunos, e o professor

acompanhe a resolução, corrigindo, destacando e aprofundando os conhecimentos

matemáticos abordados. A ideia é que os temas abordados sejam assimilados pelos

alunos durante a resolução dos exercícios, ou seja, a resolução dos exercícios deve

provocar a necessidade de aprofundar os temas abordados. Se todos os exercícios da

lista forem resolvidos durante o tempo do encontro, cabe ao professor propor exercícios

adicionais sobre os assuntos abordados. Exercícios adicionais sobre os assuntos

abordados podem ser encontrados, por exemplo, na Apostila do PIC da OBMEP

“Encontros de Aritmética” ou no livro “Círculos Matemáticos: A Experiência Russa”,

D. Fomin, S. Genkin, I. Itenberg.

http://www.obmep.org.br/docs/apostila1.pdf

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Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N3 – Ciclo 1 – Encontro 2 ENUNCIADOS

1) Em 1 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa

que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra.

Admitindo que Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol

aproximadamente a cada e anos, respectivamente, determine qual foi o ano

imediatamente anterior a em que ocorreu uma conjunção entre os dois planetas.




5) Mariana produziu 108 barras de chocolate branco e 162 barras de chocolate ao leite.

a) Ela juntou toda a sua produção e colocou 18 barras em cada pacote. Quantos pacotes

foram formados?

b) Se forem colocadas quantidades iguais em cada pacote, sem misturar os tipos de

chocolate, quantas barras, no máximo, poderá haver em cada pacote? Quantos pacotes

de chocolate ao leite foram formados?

6) Precisamos remeter duas encomendas de sabonetes idênticos para dois compradores

diferentes. Um pediu 420 sabonetes e o outro pediu 480 sabonetes. Queremos

acondicionar os sabonetes em embalagens idênticas que sirvam para atender aos dois

pedidos. Quantos sabonetes devem caber em cada uma das embalagens para que

possamos atender as duas demandas utilizando a menor quantidade possível de

embalagens? (Exercício 2, página 65, Apostila do PIC “Encontros de Aritmética”)

7) Duas engrenagens A e B têm 16 e 28 dentes, respectivamente. Elas estão encaixadas

de modo que um motor ligado à engrenagem A a faz girar no sentido horário e esta faz a

engrenagem B girar no sentido anti-horário. Se a engrenagem A realiza uma revolução

por minuto, após quanto tempo de o motor ter sido ligado as duas engrenagens

retornarão à posição inicial pela primeira vez? (Exercício 6, página 71, Apostila do PIC

“Encontros de Aritmética”)

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8) Use o Algoritmo de Euclides para calcular (Exercício 8, página

100, Apostila do PIC “Encontros de Aritmética”)

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Lista de Exercícios – OBMEP NA ESCOLA – N3 – Ciclo 1 – Encontro 2 SOLUÇÕES

1) A partir de , os anos em que Júpiter e Saturno completam uma volta ao redor do

Sol são da forma e , com e inteiros. Assim, ocorre

conjunção dos dois planetas quando , ou seja, .

Mas, , ou seja, é múltiplo comum de 12 e 30 se, e somente se, é

múltiplo de . Ora, o maior múltiplo negativo de é igual a .

Assim, o ano imediatamente anterior a 1982 em que ocorreu uma conjunção entre os

dois planetas é .




5)

a) Como a produção total é de barras de chocolate e foram colocadas

barras em cada pacote, então foram formados

pacotes.

b) Seja a quantidade de barras de chocolate em cada pacote. Sejam e as

quantidades de pacotes de chocolate branco e de pacotes de chocolate ao leite,

respectivamente. Então, e . Assim, é um divisor comum de

e . Para que seja máximo, deve-se tomar como sendo igual ao

, que é a quantidade máxima de barras em cada pacote. Neste

caso, a quantidade de pacotes de chocolate ao leite é igual a

.

6) Seja a quantidade de sabonetes que cabem na embalagem. Sejam e as

quantidades de embalagens a serem enviadas para o primeiro comprador e para o

segundo comprador, respectivamente. Então, e . Assim, é um

divisor comum de e . Para que e tenham menor valor possível, deve-se

tomar como sendo igual ao .

7) Vamos focar nossa atenção para o ponto em que as duas engrenagens estão

encaixadas. Como elas giram simultaneamente, a quantidade de dentes que passam por

de uma engrenagem é igual à quantidade de dentes que passa por da outra

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engrenagem. Após revoluções da engrenagem A, dentes de A passam por .

Analogamente, após revoluções da engrenagem B, dentes de B passam por . A

situação em que as duas engrenagens retornam à posição inicial corresponde ao número

de dentes de A que passam por T ser igual ao número de dentes de B que passam por T,

ou seja, . O menor valor inteiro tal que , com e

inteiros positivos, ou seja, tal que seja múltiplo de e de , é

, sendo que, nesse caso,

, ou seja, a engrenagem A completa

revoluções. Como a engrenagem A realiza uma revolução por minuto, então as

engrenagens retornarão à posição inicial pela primeira vez após minutos.

8) Como então mdc . Como

então mdc . Como

então mdc . Como então

mdc . Como então mdc .

Assim, .

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