1

SAINT-VENANT sche Torsionstheorie Bei einer Torsionsbeanspruchung werden die Stäbe um ihre Stabachse x verdreht. Abhängig von der Querschnittsgeometrie kann es dabei auch Verformungen (Verwölbungen) in Richtung der Stabachse geben. Das folgende Bild zeigt drei typische Fälle der Torsionsverformungen in Abhängigkeit von der Querschnittsgeometrie. Der Aufwand zur Berechnung der Spannungen und Verformungen infolge Torsionsbeanspruchung hängt wesentlich von der Querschnittsgeometrie des Stabes ab. Der einfachste Fall ist die in der Praxis häufig vorkommenden Torsion der Kreis- und Kreisringquerschnitte (z. B. Wellen, Achsen, Rohre).

Kreis- und Kreisringquerschnitte: Querschnitte bleiben eben (Punkt P vor und nach Verformung in der gleichen Ebene; keine Verwölbung)! Allgemeine offene und geschlossene Querschnitte: Querschnitte verwölben sich im Allgemeinen (Punkte A verschieben sich in x-Richtung; Punkte B entgegen der x-Richtung)! Folgende Annahmen werden in der ST.-VENANT schen Torsionstheorie getroffen:

1. Der Stab sei gerade und (bereichsweise) prismatisch. 2. Das Torsionsmoment sei (bereichsweise) konstant. 3. Die Oberfläche des Stabes sei lastfrei. 4. Konstante Verwölbung 5. Konturerhaltung, d.h. die Verschiebungen in der Querschnittsfläche resultieren aus einer

(infinitesimalen) Verdrehung. 6. Das Material sei (bereichsweise) homogen und linear elastisch

x

Mt

verformte (verwölbte) Profilmittellinie

A

B

Verwölbung verhindert

• • • •

x

B • •

A

A

B

• •

Mt

Mt

x

Mt Mt

P •

• •

•

ϑϑ

2

Die Verschiebungen in der Querschnittsfläche an einer Stelle x der Stablängsachse berechnen sich zu: )(xzv ϑ−= und )(xyw ϑ= mit dem Torsionswinkel ϑ .

Die Drillung ist gegeben durch dxdD ϑϑ =′= .

Mt

•

••

R

r

verformteMantellinie

Mt

•

••

R

rMt

•

••

R

r

verformteMantellinie

x

•••

dx

••••

d

•

dxx

r•

•••

•

γ

dxx

r•

•••

•

γ

Es ist dxdr γϑ = . Daraus folgt rr

dxdD )(γϑ

== . Die Drillung ist also eine längenbezogene

Verdrehung. Die BREDTsche Torsionstheorie für einzellige Hohlstäbe mit dünnen Wänden (dünnwandige geschlossene Profile) Es wird eine der Profilmittellinie folgende Koordinate s definiert (in der Querschnittsfläche). Die Profilwandstärke ist b(s) oder )(sδ . Der Schubfluss ist )()( sbst sx ⋅= τ .

Die 1. BREDTsche Formel lautet )(2

)()(sbA

Mssm

txssx ⋅

==ττ .

Dabei ist Am die von der Profilmittellinie eingeschlossene Fläche.

ϑϑ dx +)( )(xϑ

)(xϑ

)(xϑϑd

3

Die 2. BREDTsche Formel lautet

∫=

)(

2

)(

4

s

mt

sbds

AI , min2 bAW mt = .

Dickwandige und Vollprofile (Kreis- und Kreisring)

rI

Mt

tt =τ

( ) ( )4444

322 iaiazypt ddrrIIII −=−=+==ππ

2a

t

a

tt d

IrIW ==

andere dickwandige Querschnittsformen:

t

tt W

M=

maxτ (Werte für It und Wt können Tabellenbüchern entnommen werden)

Dünnwandige Vollquerschnitte mit parallelen Rändern (dünnwandige offene Profile)

qIM

t

txs

2=τ mit

22bqb

≤≤− (q senkrecht zur Profilkoordinate s in Dickenrichtung)

∑=i

iit bhI 3

3η

1≈η , abhängig vom Verhältnis hb

, b – Streifendicke, h - Streifenlänge

maxbIW t

t =

Es gilt immer:

maximale Torsionsschubspannung t

tt W

M=

maxτ

Differentialgleichung für die Verdrehung t

t

GIM

dxdD ==′=ϑϑ ( tGI - Torsionssteifigkeit)

Die SAINT-VENANT sche Torsionstheorie erlaubt die ungehinderte Verwölbung des Querschnittes. Es gibt jedoch Querschnittsformen, die wölbfrei sind. Das sind z.B. alle Kreis- und Kreisringquerschnitte und alle dünnwandigen geschlossenen sogenannten Tangentenquerschnitte. Das sind Hohlquerschnitte in die sich ein Kreis zeichnen lässt, der alle Profilseiten tangiert.

4

Berechnung von It und WtQuerschnittsart Berechnung von It und WtQuerschnittsart

allgemeine It und W t aus einer Torsionsfunktion Φ, für die eine POISSONsche Differential -gleichung zu lösen ist.

allgemeine It und W t aus einer Torsionsfunktion Φ, für die eine POISSONsche Differential -gleichung zu lösen ist.

Modifizierte BREDTsche Formeln.dünnwandig,mehrzellig

Modifizierte BREDTsche Formeln.dünnwandig,mehrzellig

( ) max

tt

3i

iit

IW31I

δ≅δ≅ ∑ l

Näherungsformeln:dünnwandig, offenδi li

( ) max

tt

3i

iit

IW31I

δ≅δ≅ ∑ l

Näherungsformeln:dünnwandig, offenδi liδi liδi li

dünnwandig, ein-oder mehrzelligund offen Teile

l0l0

Im Allgemeinen Vernachlässigung deroffen Teilabschnitte l0.

dünnwandig, ein-oder mehrzelligund offen Teile

l0l0 l0l0

Im Allgemeinen Vernachlässigung deroffen Teilabschnitte l0.

( )minmt

2m

t 2AW

sds

4AI δ⋅=

δ

=

BREDTsche Formeln:

Am = von Profilmittellinie eingeschlossene Fläche

dünnwandig,einzellig

s δ

Am

( )minmt

2m

t 2AW

sds

4AI δ⋅=

δ

=

BREDTsche Formeln:

Am = von Profilmittellinie eingeschlossene Fläche

dünnwandig,einzellig

s δs δs δ

Am

∫

Tabelle aus Gabbert/Raecke: Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure, FV Leipzig, 2005 Hinweis: zypt IIII +=≤ Ip ist das polare Flächenträgheitsmoment. Die Torsionsfunktion Φ ist mit den Querschnittsschubspannungen verbunden über

zGD

yGD

xy

xz

∂Φ∂

−=

∂Φ∂

=

2

2

τ

τ

und hat außerdem noch, da die Schubspannungen die Randkurve des Querschnittes tangieren müssen, die Bedingung .konstRand =Φ zu erfüllen.

Es gilt in kartesischen Koordinaten die Gleichung 12

2

2

2

−=∂

Φ∂+

∂Φ∂

zy.

5

Beispiele zur Torsionsbeanspruchung Kragträger der Länge a, belastet durch die Kräfte F1 und F2, Profilstärke t, Gurtbreite b, Steghöhe h, (t << b,h), e

F1

F2

ey

xz

M

Welche Beanspruchungssarten treten auf? • Biegung infolge F1 und F2 • Torsion infolge F1 • Querkraftschub infolge F1 • Längskraft F2 Wo liegt der Schubmittelpunkt des Profils? • im Angriffspunkt von F2 Wo liegt der Flächenmittelpunkt des Profils?

tbth

tbhthzM +

+=

02 gemessen vom Angriffpunkt der Kraft F2

Wie groß ist die maximale Torsionsschubspannung?

(Es sind die Formeln für dünnwandige offene Profile anzuwenden.) Freischneiden und Schnittgröße Torsionsmoment bestimmen !

tt

tt W

eFWM 1==τ

( )hbteF

t += 2

13τ

Wie groß ist die Drillung?

( )hbGteF

GIMD

t

t

+== 3

13

( ) ( )

( )hbttIW

hbthtbttlI

tt

i)i(

it

+==

+=+== ∑

3

331

31

2

3333

6

mit den Zahlenwerten

a = 1000 mm b = 100 mm h = 150 mm e = 40 mm t = 10 mm F1 = 10 kN F2 = 20 kN G = 80770 Nmm-2

ergibt sich:

( )( )

( )( )( )

( )

°=⋅===

⋅=⋅=+⋅

⋅⋅=

=+

⋅⋅=

=⋅+⋅

⋅⋅=

−

−−

∫ 43106

110611061501001080770

40100003

481501001040100003

451001015010

7515010

2

0

2523

232

2

3

,radaDdxD

mmmNmmNmmD

mmN

mmNmm

mmmm

mmz

a

t

M

ϑ

τ

Der Drehwinkel ist positiv bei positiver Drehung um die x-Achse (Rechtsdrehung).

7

Angerissenes dünnwandiges Rohr der Länge a, Anrisslänge b, Durchmesser D, Profilstärke t, belastet durch M0 , Material Stahl

M0Riss

y

z

x1

x2

Wie groß sind die Verdrehung des ungerissenen und des gerissenen Bauteils? ungerissene Länge (a-b) d.h. dünnwandiges geschlossenes Profil gerissene Länge b d.h. dünnwandiges offenes Profil

222

22

2

222

111

11

1

111

CxGIMdx

GIM)x(

CxGIMdx

GIM)x(

t

t

t

t

t

t

t

t

+==

+==

∫

∫

ϑ

ϑ

Rand- und Übergangsbedingungen:

)x())ba(x()x(

000

2211

11

==−===

ϑϑϑ

daraus folgt: )ba(

GIMC

C

t

t −=

=

1

12

1 0

Verdrehwinkel

)ba(GIMb

GIM)bx(

)ba(GIMx

GIM)x(

t

t

t

t

t

t

t

t

−+==

−+=

1

1

2

222

1

12

2

222

ϑ

ϑ

Schnittgrößen (Gleichgewicht am negativen Schnittufer)

01

02

MMMM

t

t

==

8

Torsionsträgheitsmomente

322

31

31

42

2

44

4

333

2

3

22

2

1

tDtDblI

tDD

tD

)s(bdsAI

)i(iit

mt

ππ

π

π

π

===

=

==

∑

∫

alle Zwischenwerte eingesetzt:

−+=

=43 33

02

2 tD)ba(

tDb

GM

eGesamtläng.bzwbx

ππϑ

ungerissenes Rohr, b=0

20

30 44

DtDGaM

tDa

GM

ungerissen ⋅==ππ

ϑ

vollständig gerissenes Rohr, a=b

20

30 33

ttDGaM

Dta

GM

gerissen ⋅==ππ

ϑ

Verhältnis der Verdrehwinkel

34 2

2t

Dgerissen

ungerissen =ϑ

ϑ also ungerissengerissen ϑϑ >>

9

Getriebewelle Abmessung lt. Skizze, Wellendurchmesser 40 mm, Material Stahl (G=80770 Nmm-2)

Wie groß ist die Verdrehung der Wellenenden relativ zueinander? Wie groß ist die Torsionsschubspannung in der Welle zwischen den Zahnrädern? Koordinatenrichtung x von A nach B Schnittbilder

Schnittgrößen

( )NmM

NmNmMNmM

t

t

t

400200500300

300

3

2

1

==+−=

−=

)mm(lx)mm(lx)mm(lx

500040003000

33

22

11

=≤≤=≤≤=≤≤

Mt1

Mt2

Mt3

10

Torsionsschubspannung zwischen den Zahnrädern, Vollwelle mit Kreisquerschnitt

t

ta

t

tmaxt

t

tt

WMr

IM

rI

M

==

=

τ

τ

33333

44444

125664016216

2513274032232

mmmmrdrIW

mmmmrdI

aa

tt

at

=====

====

πππ

πππ

232 9215

12566200000

mmN,

mmNmm

WM

t

tmaxt ===τ

(Die größte Torsionsschubspannung gibt es im Abschnitt 3 mit 28431mm

N,maxt =τ , da

hier das größte Moment auftritt und der Wellendurchmesser überall gleich ist.)

Die relativen Verdrehwinkel der einzelnen Abschnitte lassen sich (vorzeichenbehaftet) in Richtung x addieren.

DBCDACAB ϑϑϑϑ ++=

es ist 0044025132780770

300300000421

1

01

1

11

,mmNmm

mmNmmlGIMdx

GIM

t

tl

t

tAC −=

⋅⋅−

=== −∫ϑ

0039025132780770

400200000422

2

01

2

22

,mmNmm

mmNmmlGIMdx

GIM

t

tl

t

tCD =

⋅⋅

=== −∫ϑ

00985025132780770

500400000423

3

01

3

33

,mmNmm

mmNmmlGIMdx

GIM

t

tl

t

tDB =

⋅⋅

=== −∫ϑ

°==++= 536,000935,0DBCDACAB ϑϑϑϑ

11

Torsionsstab, statisch unbestimmt (Drehstabfeder) Abmessung lt. Skizze, Wellendurchmesser 40 mm, Material Stahl

Wie groß sind die Einspannmomente bei A und B? Das angreifende Moment hat die Größe NmmmkNM 30050320 =⋅⋅= Das Momentengleichgewicht liefert 201 tt MMM =− Koordinatenrichtung x von A nach B Verformungsbetrachtung

222

22

111

11

CxGIM)x(

CxGIM)x(

t

t

t

t

+=

+=

ϑ

ϑ

)mm(lx

)mm(lx

6000

4000

22

11

=≤≤

=≤≤

Rand- und Übergangsbedingungen

00

00

222

22111

11

=====

==

)lx()x()lx(

)x(

ϑϑϑ

ϑ daraus folgt:

11

22

211

1

0

0

lGIMl

GIM

ClGIMC

t

t

t

t

t

t

+=

=

=

Multiplizieren der letzten Gleichung mit der Torsionssteifigkeit und Einsetzen der Gleichgewichtsbedingung

( ) ( ) 2021111201

1122

11

22

00

0

lMllMlMlMMlMlM

lGIMl

GIM

ttt

tt

t

t

t

t

−+=+−=+=

+=

Mt1

Mt2

12

NmmmmmNm

lllMM t 180

1000600300

21

201 ==

+

=

NmmmmmNm

lllMM

lllMMMM

t

tt

1201000400300

1

21

102

21

20012

−=−=

+

−=

−

+=−=

Dies sind gleichzeitig auch die Einspannmomente.

Mt2

MBMt1

MA

13

Anhang

2 bh tmin

14

0,208 a3

15

Tabellen aus Mayr: Technische Mechanik, Hanser Verlag, 1995