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T h e o r e t i c a l m o d e l l i n g o f u l t r a s o n i cn
o n d e s t r u c t iv e t e s t in gA n d e r s B o s t r 6 mDivis
ion of Mechanics Chalmers Univers i ty o f Technology S-4 12 96
G6teborg Swed enReceived 1 March 1994; accepted 7 March 1994The ben
ef i ts o f theoret ica l model l ing o f u l trasonic no n-des t
ruct ive test ing is d iscussed and someexamples f rom a recent ly
d evelop ed model are g iven . Th is inc ludes leve l p lo ts o f
the f ie ld rad iated by ap iezoelectr ic probe an d a lso some
exam ples o f s ignal responses f rom test ing for cracks.K e y w o
r d s : n o n - d e s t r u c t i v e t e s t in g ; u l t r a s o
n i c t e c h n i q u e s ; p i e z o e l e c t r i c p r o b e
M e t h o d s o f n o n - d e s t r u c t iv e t e s t in g NDT)
are p l a y i n g a nin c r e a s in g ly imp o r t a n t r o l e f
o r t h e r e l i a b i l i t y r e q u i r e -m e n t s o f m a t
e r ia l s a n d c o m p o n e n t s . I n t h i s c o n n e c t i
o n iti s a p p r o p r i a t e t o t a l k a b o u t q u a n t i t
a t i v e n o n - d e s t ru c t i v ee v a l u a t i o n QNDE), t
h i s b e in g a n e me r g in g e n g in e e r in gd i s c ip l i
n e w h ic h i n c lu d e s q u a n t i t a t i v e me a su r e m e
n t t e c h -n iq u e s , ma th e ma t i c a l mo d e l l i n g , s
t a t i s t i c a l c o n s id e r -a t i o n s e t c . Q N DE h a
s c o n n e c t i o n s w i th o th e r e n g in e e r in gdisc ip
l ines such as ma te r ia ls sc ience , r e l iab i l i ty ana lys
is ,a n d d e s i g n a n d m a i n t e n a n c e p r o c e d u re
s .U l t r a s o n i c t e c h n i q u e s a r e a m o n g t h e m
o r e p o p u l a rNDT m e th o d s a n d a r e w id e ly u se d ,
f o r i n s t a n c e , i n t h en u c l e a r p o w e r a n d a e
r o s p a c e i n d u s tr i es . U l t r a s o u n d c a nb e u se
d f o r v a r io u s a p p l i c a t i o n s , a t y p i c a l e x
a mp le b e in gth e s e a r c h f o r d e f e c ts ( e. g . c r a
c k s ) i n n u c l e a r p o w e r c o m-p o n e n t s . T o d a t
e , u l t r a so n i c t e c h n iq u e s h a v e b e e n b a se
dmo s t ly o n e mp i r i c a l a n d s imp le t h e o r e t i c a
l c o n s id e r -a t i o n s . A s d i s c u s se d b e lo w , h o
w e v e r , a mo r e c o mp le t em a t h e m a t i c a l m o d e l
l i n g o f t h e u l t r a s o n i c N D T p r o c e d u r eh s m
a n y b e n e f i ts .
A s t h e u l t im a te g o a l o f a mo d e l is t o p r e d i
c t a me a su r e -m e n t sy s t e m s r e sp o n se t o sp e ci
fi c a n o m a l i e s i n a ma te r -i a l, a f u n d a m e n ta l
a p p r o a c h t o Q N D E mu s t b e b a se d o n am o r e o r l
e s s c o m p l e t e d e s c r i p t i o n o f t h e m e a s u r e
m e n tp r o c e ss . T h i s i n c lu d e s t h e p r o b e , p e
r t i n e n t d e t a i l s o f t h eg e o m e t r y o f t h e p r
o b e s c a n a n d t h e t e st e d c o m p o n e n t ,t h e d e f
e c t a n d t h e c a l i b r a t i o n . A l so , d a mp in g , v
a r io u sn o i s e me c h a n i sms , s i g n a l p r o c e s s in
g , e t c . c o u ld b ei n c l u d e d in a m o d e l . T h e m o
s t c r u c i al p a r t o f t h e m o d e l -l i n g , h o w e v e
r , i s t h e i n t e r a c t i o n o f t h e u l t r a so u n d w
i ththe de fec t .T h e a v a i la b i l it y o f a g o o d m o d e
l h a s m a n y b e n ef it s . Am o d e l c a n b e v e r y h e lp
f u l in t h e d e s i g n a n d o p t i m i z a t i o no f t e s t
i n g p r o c e d u r e s a n d i n t h e i n t e r p r e t a t i o
n o f e x p e ri -me n ta l r e su l t s . I t i s a l so mu c h s
imp le r t o p e r f o r m p a r a -me t r i c s t u d i e s w i th
a g o o d mo d e l t h a n e x p e r ime n ta l l y ,a n d i n t h
i s w a y t h e p r o b a b i l i t y o f d e t e c t io n o f v a
r i o u sty p e s o f d e f e c t s c a n b e a s se sse d . A g o
o d mo d e l i s a l so ap r e r e q u i s i t e t o a n y s e r io
u s a t t e mp t a t t h e i n v e r sep r o b l e m ( t h e r e a
l p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g th e d e fe c tg iv e n t
h e t r a n sm i t t e d a n d r e c e iv e d u l t r a so n i c p
u l se s ) .A l a r g e n u m b e r o f u l tr a s o n i c w a v e
p r o p a g a t i o n a n dsc a t t e r i n g p r o b l e ms h a v
e b e e n c o n s id e r e d i n t h e l i t e r a -t u r e, b u t
u s u a l l y t h e y c o n c e n t r a t e o n o n l y o n e a s p
e c t o fth e f u l l Q N D E p r o b l e m . A f e w mo d e l s h
a v e n o w r e a c h e dth e l e v e l w h e r e t h e y ma y b e
o f r e a l h e lp t o t h e N D Te n g in e e r, a n d i n c lu d
e s t h o s e o f C h a p m a n ~, L a n g e n b e r
gCorrespondence to Anders Bo strrm0261 3 069/94 /0301 64 05 1994
Butterwor th Heinemann Ltd1 6 4 M a t e r ia l s D e s i g n V o l
u m e 1 5 N u m b e r 3 1 9 9 4
et al. 2 a n d A c h e n b a c h 3. I n t h e f o l l o w in g t
h e t y p e o fr e su l t s o b t a in a b l e b y a n o th e r , p
r e se n t ly d e v e lo p e d ,mo d e l i s d e sc rib e d 4.P r o
b e sT o m a k e a d e t a i l ed m o d e l o f a n u l t r a so n
i c p r o b e i s a v e rydi f f icu l t ta sk . A p iezoe lec t r
ic con tac t p ro be inc lude s ap i e z o e le c t ri c c r y s ta
l , b a c k in g , a p l a s t ic w e d g e a n d so m es o r t o f
c o u p l a n t t o t h e c o m p o n e n t . I n s t e a d o f m o
d e l l i n gt h is t h e u s u a l a p p r o a c h i s t o p o s t
u l a t e t h e a c t i o n o f t h ep r o b e b y g iv in g i t s
t r a c t i o n v e c to r ( mo s t o f t e n o n ly t h ep r e s
su r e ) o n t h e c o m p o n e n t s su r f a c e . F o r a n e l
a s t ic h a lf -s p a c e t h e r e s u l t i n g r a d i a t i o
n f r o m t h e p r o b e m a y b es o l v e d f o r b y F o u r i
e r t r a n s f o r m t e c h n i q u e s ( i n b o t hsp a c e a n
d t ime ) .T o g i ve a n i n d i c a t i o n o f t h e f ie l ds
ra d i a t e d b y a p r o b ea f e w n u m e r i c a l e x a m p l
e s a r e n o w g i v e n Figures 1-3) .A t a f e w s e l ec t ed t
i m e s t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e d i s p l a -c e
m e n t f i eld b e lo w th e p r o b e i s t h e n sh o w n in l
ev e l p lo t sw i th i n c r e a s in g d a r k n e s s t o i l l
u s t r a t e i n c r e a s in g d i sp l a -c e m e n t s . T h e
l e ve ls ar e i n d B w i t h 0 d B a t t h e m a x i m u mi n e a
c h se r ie s o f f i gu r e s, a n d d e c r e a s i n g d o w n t
o - 2 5d B . T h e p r o b e s a r e s q u a r e w i t h a s id e o
f 10 m m a n d t h ep l o t s a r e f o r a p l a n e t h r o u g h
t h e m i d d l e o f t h e p r o b ep a r a l l el t o o n e s i d
e . T h e p l o t t e d a r e a i s 4 0 m m b y 4 0 m ma n d f o r
e a c h p r o b e t h e t h r e e t ime s 2 /~ s, 4 / t s a n d 6 g
s a r es h o w n . T h e m a t e r i a l is a s s u m e d t o b e s
t ee l w i t h a c o m -p r e s s i o n a l w a v e s p e e d o f 5
9 4 0 m / s a n d a s h e a r w a v esp e e d o f 3 2 3 0 m/ s . I
n t h e f i r s t sn a p sh o t i n e a c h f i g u r et h e s h a
p e o f t h e c o n t a c t p r e s s u r e a t t h e c e n t r e o
f th ep r o b e i s i n s e rt e d . T h i s s h o u l d c l o s el
y c o r r e s p o n d t o t h ein c id e n t e l e c t r ic s i g n
a l t o t h e p r o b e . I n t h e f i r s t sn a p sh o tin e a c
h f i g u r e t h e l o c a t i o n o f t h e p r o b e i s a l so
i n d i c a t e d .T h e s a m e p r o b e s y m b o l i s u s e d
i r r es p e c t iv e o f t h e a n g l eo f t h e p r o b e
.Figures 1 a n d 2 sh o w th e f i e ld b e lo w a 2 M H z u n a n
-g l ed c o m p r e s s i o n a l p r o b e w i t h a b a n d w i d
t h o f 2 M H za n d 1 M H z , r e s p ec t iv e ly . T h e d o m i
n a t i n g w a v e i n b o t hf ig u re s is a c o mp r e s s io n
a l w a v e ( t h e w a v e f a r t h e s t f r o mth e p r o b e )
. T h e l a r g e r b a n d w id th i n Figure 1 gives ash a r p e
r p u l s e i n t ime b u t i t a l so g iv e s a so me w h a tb r
o a d e r p u l s e s i d e w a y s . T w o m o r e w a v e t y p e
s c a n b ese en i n t h e f i g u re s . T h e c i r c u l a r a r
c s e ma n a t in g f r o m th ee d g e s o f t h e p r o b e a r e
sh e a r w a v e s a n d t h e w a v e s a lo n gth e su r f a c e
o f t h e h a l f - sp a c e a r e R a y le ig h su r f a c e w a v
e st r a v e l l i n g a l i t t l e s l o w e r t h a n t h e sh e
a r w a v e s . B o th o fth e se w a v e s a r e s t r o n g e r f
o r t h e p r o b e w i th l a r g e r b a n d -w i d t h i n
Figure 2.A n o th e r e x a mp le i s g iv e n i n Figure 3, w h ic
h sh o w s a
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echnical reports
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EE20
/30
40 -30
/
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i-20 - 1 0ram)
I
I
I
I
0 _2 -~ |-1
us)
0 -
10
EEl20
/30
40 -30
10
E 20
/30
F i g u r e 3
40 -30
//
/
J i-20
//
/
- 1 0mm)
10
i i i0 10
/
- i l20 0 10mm)1 .5 M H z 4 5* s h e a r p r o b e w i t h a b a
n d w i d t h o f 1 .5 M H z
4 5 s h e a r w a v e p r o b e w i t h c e n t r e f r e q u e
n c y 1 .5 M H z a n db a n d w i d t h 1 .5 M H z . T h i s g i v
es a s h a r p s h e a r w a v e in t h ee x p e c t e d d i r e c
t i o n a s w e l l a s a r a t h e r s t r o n g R a y l e i g hw
a v e a l o n g t h e s u r f a c e. N o c o m p r e s s i o n a l
w a v e s c a n b es e e n a n d t h e m a i n r e a s o n f o r t
h i s is t h a t t h e a n g l e o f t h ep r o b e i s b e y o n d
t h e c r it i ca l a n g l e f o r c o m p r e s s i o n a lw a v
e s .
O t h e r e x a m p l e s w i t h v a r y i n g s i z e , f r e
q u e n c y , a n g l e ,w a v e t y p e , e tc . c o u l d , o f c
o u r s e , b e g i v e n , b u t t h e m a i nu s e o f th i s ty
p e o f c o m p u t a t i o n s s h o u l d n o w b e c le a r .T h
e f i g u r es g i v e a g o o d p h y s i c a l f e e l i n g f o
r t h e f ie l d s a sw e l l a s i n f o r m a t i o n o n t h e s
iz e i n b o t h s p a c e a n d t i m e o ft h e g e n e r a t e d
p u ls e s. P e r h a p s m o s t i m p o r t a n t , t h e y g iv
et h e s t r en g t h o f th e v a r i o u s t y p e s o f u n w a
n t e d w a v e sg e n e r a t e d , a t y p i c a l e x a m p l e
b e i n g t h e R a y l e i g h w a v e s i nFigure 3e f e c t s a
n d c a l ib r a t i o nT h e m o s t i m p o r t a n t p a r t i n
Q N D E m o d e l l i n g i s t h e t r e a t-m e n t o f th e d e
f e c t . It is a ls o t h e p a r t t h a t h a s b e e n m o s tc
o n s i d e r e d i n t h e l i t e ra t u r e . T h u s v a r i o
u s t y p e s o f c r a c k sw i t h d i f f e r e n t s h a p e s
a n d c o n t a c t c o n d i t i o n s h a v e b e e nc o n s i d
e r e d , a s h a v e s o m e t y p e s o f v o l u m e t r i c d e
f e c t s .T h e m o s t p o p u l a r m e t h o d o f s o lu t io
n i s p r o b a b l y s o m et y p e s o f su r f a c e - in t e g
r a l e q u a t i o n s , b u t o t h e r m e t h o d ss u c h a s
t h e n u l l f i el d a p p r o a c h , f i n it e d if f e r e n
c e s a n d F Ma r e a ls o e m p l o y e d . T h e m e t h o d s m
e n t i o n e d s o f a r a r e a lle x a c t a n d b e c o m e m o
r e o r l es s c u m b e r s o m e o r e v e ni m p o s s i b l e t
o u s e a t h i g h e r f r e q u e n c i e s , w h e r e , o n t h
eo t h e r h a n d , s o m e a s y m p t o t i c m e t h o d s s u
c h as t h e G e o -m e t r i c a l T h e o r y o f D i f f r a c t
i o n I b e c o m e a p p l ic a b l e . I nt h e p r e s e n t w o
r k a n i n t e g r a l e q u a t i o n m e t h o d i s u s e d t
ot r e a t t h e u l t r a s o n i c s c a t t e r i n g b y c i r
c u l a r c r a c k s 4.T h e r e s u lt s o f u l t r a s o n i c
n o n - d e s t r u c t i v e t e s t in g a r ec o n v e n t i o n
a l l y c a l i b r a t e d b y t h e u l t r a s o n i c r e f le
c t io nf r o m a s i d e - d r i l l e d h o l e o r a f l a t - b
o t t o m e d o n e . I n t h i sw o r k a s i d e - d r i l l e d
h o l e h a s b e e n u s e d f o r t h i s p u r p o s e .W h e n
c o m p u t i n g t h e c a l i b ra t i o n t h e a c ti o n o f t
h e p r o b ea s a r e c e i v e r is , o f c o u r s e , a l s o n
e e d e d , a n d t h i s is a c c o m -p l i s h e d b y a s i m p
l e r e c i p r o c i t y a r g u m e n t 4. I t s h o u l d b en o
t e d t h a t t h i s p r o c e d u r e e s s e n t i a l l y y i e
l d s t h e e l e c t r i c a lr e s p o n s e o f t h e p r o b e
, i .e . th e q u a n t i t y m e a s u r e d i n p r a c -tice.T o
i l lu s t r a te t h e c a p a b il i ti e s o f th e c o m p u t
e r p r o g r a ma f e w e x a m p l e s o f t h e u l t r a s o n
i c s c a t t e r i n g b y a c i r c u l a rc r a c k a r e n o w
g i v e n . D u e t o c o m p u t e r r e q u i r e m e n t st h e
r e is a n u p p e r l i m i t o n t h e s iz e o f th e d e f e c
t , o r - w h i c his th e s a m e t h i n g - h o w h i g h t h e
f r e q u e n c y m a y b e . A tp r e s e n t t h e l a r g e s t
d e f e c t s t h a t c a n b e a c c o m m o d a t e dh a v e a d
i a m e t e r o f a b o u t n i n e u l tr a s o n i c s h e a r w
a v e -l e n g t h s ( a b o u t f iv e c o m p r e s s i o n a l w
a v e l e n g t h s ) . I n s t e e l,f o r in s t a n c e , th i s
m e a n s a l a r g e s t d i a m e t e r o f a b o u t 7 m ma t a
f r e q u e n c y o f a 4 M H z a n d 1 4 m m a t 2 M H z . T h ed
e f e c t sh o u l d b e l o c a t e d w e l l i n s id e t h e i n
s p e c t e d c o m p o -n e n t o r c l o s e t o a p l a n a r b
a c k s u r f a c e t h a t i s p a r a l l e l t ot h e p l a n a
r s c a n n i n g s u r f a c e .T h e p r o b e i s a s s u m e d
t o o p e r a t e i n a p u l s e - e c h om o d e , i . e . t h e
s a m e p r o b e i s u s e d a s b o t h t r a n s m i t t e ra n
d r e c e iv e r . T h e p r o b e i s s c a n n i n g a l o n g a
s t r a i g h t l i n e
a l o n g t h e x - a x i s w h i c h i s s i t u a t e d i n t
h e s u r f a c e o ft h e c o m p o n e n t w i t h t h e c r a c
k r ig h t b e n e a t h x = 0 .F o r s i m p l i c i t y , t h e p
r o b e i s a l s o a s s u m e d t o o p e r a t ea t a s i n g l
e f r e q u e n c y , i . e . i t i s a s s u m e d t o b e n a r r
o w -b a n d . T h e c a l i b r a t i o n i s p e r f o r m e d w
i t h a s i d e - d r i l l e d
1 6 6 M a t e r ia l s D e s i g n V o l u m e 1 5 N u m b e r 3
1 9 9 4
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echnical reportsa n d i n t e r p r e t a t i o n o f e x p e r
i m e n t a l r e s u l ts , a n d i t i s v e r ye f fi c ie n t f
o r c o n d u c t i n g p a r a m e t r i c s t u d i e s.
T h e m o d e l l i n g w o r k i s c o n t i n u i n g . A t p
r e s e n t t h ee f fo r ts a r e d i re c t e d p a r t i c u l a
r ly t o w a r d s t h e m o d e l l i n g o fs u r f a c e s - b r
e a k i n g c r a c k s a n d c r a c k s w i t h r o u g h s u r f
a c es ,b o t h p r o b l e m s o f g r e a t p r a c t ic a l i n
t e re s t.
cknowledgementsT h e w o r k p r e s e n t e d h e r e h a s b e
e n s p o n s o r e d i n p a r t b yS K I t h e S w e d i s h N u
c l e a r P o w e r In s p e c t o r a t e ) .
e f e r en c e s1 Chapman, R. K. A system model for the ul
trasonic inspection ofsmooth planar cracks. J. Nonde s t r . Ev al
1990, 9, 197-2112 Lang enberg, K. J., Fellinger, P., Marklein, R.,
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