s4 Superficies Cuadricas 2015ii

8/19/2019 s4 Superficies Cuadricas 2015ii

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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y

ALGEBRASuperfcies cuádricas y sus

aplicaciones


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Que tienen en común estasimágenes


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Al fnalizar la sesión, el estudianteidentifca,

dierencia y clasifca una superfciecuádricade una superfcie de revolución en el

espacio,utilizando para ello las ecuaciones de

conversiones de coordenadasrectangulares a

coordenadas cilíndricas y/o eséricasy

viceversa, y lo hace en base alanálisis y

Logros de Aprendizaje


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TEMARIO

! "b#etivos$ Siste%a de &oordenadas 'ridi%ensionales( )bicación de un punto en el espacio* +lanos perpendiculares a los #es- +lanos

. Superfcies &ilíndricas Superfcies &uadráticas

• lipsoide /sera• 0iperboloide de una 0o#a•

0iperboloide de dos 0o#as• &ono• +araboloide• +araboloide 0iperbólico 1Silla de 2ontar3

4 5ibliograía y 6ebgraía


6/43

X

Y

istema !e Coo"!ena!asT"i!imensionales

#es +erpendiculares

"rigen

#

Y


7/43

#

X Y

I

II

I$

III

$

$I

$II

istema !e Coo"!ena!asT"i!imensionales%

G"á&co '(gene"a!o enA"c)im $% *%+


8/43

#

X

Y

78

98

:8

178 98 :83

,-icaci.n !e un /unto en eles/acio


9/43

0uente1 La"son $ol *

2+34356

2'3'37*6

27*38396

2*378396

,-icaci.n !e un /unto en eles/acio


10/43


2+34356

2'3'37*6

27*38396

2*378396

,-icaci.n !e un /unto en el es/acio


11/43


2+34356

2'3'37*6

27*38396

2*378396

,-icaci.n !e un /unto en el es/acio


12/43


2+34356

2'3'37*6

27*38396

2*378396

,-icaci.n !e un /unto en el es/acio%


13/43


2+34356

2'3'37*6

27*38396

2*378396



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2+34356

2'3'37*6

27*38396

2*378396



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:lanos :e"/en!icula"es a los E;es%

#

X

Y

cuación; :


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:lanos :e"/en!icula"es a los E;es%

#

X

Y

cuación; 7$7$ // 9:7$ = 7

>$

cuación;y


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:lanos%#

X

Y

cuación ?eneral;

a

b

c

'raza con 9:

'raza con 7:

'raza con 79

1=++c z

b y

a x

1=+c

z

b

y

1=+c

z

a

x

1=+b y

a x


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:lanos

#e%plo !; @ada la siguiente ecuación, deter%ine cortes, trazas y

gráfcacuación;

Solución;!3 &ortes

• &on 7 19


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S)+CDE&ES

defnición; si

s una unción contínua, entonces el con#unto de nivelde la unción D correspondiente al valor c, esto esD1,y,z3


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S)+CDE&ES &EFGH@CE&AS1&EFEH@C"S3

l con#unto de todas las rectas paralelas quecortan a una curva & se lla%a cilindro de curvadirectriz & &ada una de esas rectas paralelas se

lla%a una recta generatriz del cilindroSi la generatriz esperpendicular al planoque contiene la

directriz, se dice quees un cilindro recto

Cilindro Circular

Recto x 2 + y 2 = 4


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&EFEH@C"S 1&"H'3

Fa ecuación de un cilindro cuyas generatricesson paralelas a uno de los e#es de coordenadascontiene solo las variables correspondientes a losotros dos e#es

1

6416

22

=+ z x

2

1

y

z = x y sen2=


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u/e"&cies Cil


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S)+CDE&ES &)A@CJ'E&AS

Su ecuación es de la or%a;A=* > B?* > C@* > (=? > E=@ >

0?@>

> G= > ? > I@ > 5isten . tipos;! lipsoide

$ 0iperboloide de una ho#a( 0iperboloide de dos ho#as* &ono elíptico- +araboloide elíptico. +araboloide hiperbólico


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ELI:OI(E

T"a@as

y; lipse

z; lipse

yz; lipse

12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

=+ b

y

a

x

12

2

2

2

=+c

z

a

x

12

2

2

2

=+c z

b y


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I:ERBOLOI(E(E ,NA OA

T"a@as

y; lipse

z; 0ipérbola

yz; 0ipérbola

12

2

2

2

2

2

=−+c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

=+b

y

a

x

12

2

2

2

=−c

z

a

x

12

2

2

2

=−c

z

b

y


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I:ERBOLOI(E(E (O OA

T"a@as

y; 0ipérbola

z; 0ipérbola

1KKL83 lipseyz; 1


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CONO ELÍ:TICO

T"a@as

y; 1z


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:ARABOLOI(EELÍ:TICO

T"a@as

y; 1z


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:ARABOLOI(EI:ERBDLICO

T"a@as

y; 1z


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S)+CDE&ES

(iscusi.n !e la g"á&ca1

Se sigue los siguientes cinco pasos;

! Entersección con los e#es coordenados$ 'razas sobre los planos coordenados( Si%etrías con respecto a los planos

coordenados, e#es coordenados y origen* Secciones por planos paralelos a los planoscoordenados

- tensión de la superfcie

0),,( = z y x F


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,:ER0ICIE (E RE$OL,CIDN

Si la gráfca de una unción con radio r gira en torno auno de los e#es de coordenadas, la ecuación de lasuperfcie resultante tiene una de las siguientes

or%as;

! n torno al e#e ; ?* > @* "2=6F*

$ n torno al e#e y; =* > @* "2?6F*

( n torno al e#e z; =* > ?* "2@6F*


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33/43

RESUMEN

C


34/43

Conos:

El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que

satisfascen una relacin de la forma

!2 "2 #2

a2 $2 c2

!2 "2 #2

a2 $2c2

!2 "2 #2

a2 $2 c2% % % % % %& 0, & 0, & 0

Cono Elíptico

"

!

#

P b l id Elí ti


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Paraboloide Elíptico

El 'ara$oloide elptico es el lugar geometrico de todos los

puntos que satisfacen una relacin de la forma

!2 "2 !2 #2 "2 #2 % & c2 # , % & $2 " , % & a2 !

a2 $2 a2 c2 $2 c2

"

!

#


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( x – h )2 ( y – k )2 + = c2 ( z – j )

a

2

b

2

i a = b ! se tiene "n paraboloide dere#ol"ci$n! %"e se obtiene haciendo

&irar la traza xz alrededor del eje z '

a ec"aci$n &eneral del Paraboloide

elíptico en el espacio tiene la or*a:

P b l id i b$li


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Paraboloide iperb$lico

El 'ara$oloide *iper$lico es el lugar geométrico de todos los

puntos que satisfacen una relacin de la forma

!2 "2 !2 #2 "2 #2 + & c2 # , + & $2 " , + & a2 !

a2 $2 a2 c2 $2 c2

!

"

#


38/43

a ecuacin general del 'ara$oloide *iper$lico en el

espacio tiene la forma

( ! - . )2 ( " - / )2 + & c2 ( # - )

a2 $2


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iperboloide de "na oja

El *iper$oloide de una *oa es el lugar geométrico de

todos los puntos que satisfacen una relacin de la forma

!2 "2 #2 !2 "2 #2 !2 "2 #2 % + & 1, + % & 1, + % % & 1

a2 $2 c2 a2 $2 c2 a2 $2 c2

!

"

#


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a ecuacin general del *iper$oloide de una *oa en el

espacio es

( ! - .

)2

( " - /

)2

( # - )2

% + &1 a2 $2 c2

ia &

b se tiene una superficie de reolucin, .aciendo girar latra#a xz alrededor del ee z

( ! - . )2 ( " - / )2 ( # - ) 2 + % & 1

a2 $2 c2


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42/43

El *iper$oloide de dos *oas es el lugar geométrico de

todos los puntos que satisfacen una relacin de la forma

!2 "2 #2 !2 "2 #2 !2 "2 #2 + + & 1, + % + & 1, + + % & 1

a2 $2 c2 a2 $2 c2 a2 $2 c2


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