Upload
emin-amani
View
215
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
LABORATOR TE
Citation preview
PLĂCI PLANE DREPTUNGHIULARE
2
plăci plane dreptunghiulare simplu rezemate pe două laturi paralele, orice tip de rezemare pe celelalte laturi
yxwyxwyxw p ,,, 0
0,022 yxw
D
yxpyxwp
,,22
1
0 sin,m
m xa
myYyxw
a
myyDyyCyByAyY mmmmmmmmmm
,shchshch)(
(*)
(**)
- sunt simplu rezemate laturile paralele cu axa y, de ecuaţie x=0 şi x=a
- celelalte două laturi sunt de ecuaţie y = ±b/2
D
xp
dx
wdxpp
p
4
4**
wp + dezvoltare în serie simplă trigonometrică
1. APLICAŢII LA SOLUŢIA LÉVY
02*4
44
2
22
mm
IV
m Ya
mY
a
mY
a
b/2
b/2
q
x
y
qctxp
D
q
D
xp
dx
wd p
4
4
43
2
2
3
1
4
2624cxc
xc
xc
D
qxxwp
axx ,0
0
0
xM
w
21
2
2
2
2cxc
D
qxD
x
wDM x
0,00 42 ccx
D
qac
D
qac
acD
qa
aca
cD
qa
ax
24
2
02
0624
3
3
1
1
2
3
3
1
4
Ex. 1 Placă plană dreptunghiulară cu încărcare distribuită uniform pe toată suprafaţa
xaaxxD
q
D
xqa
D
qax
D
qxxwp
334334
224241224
1
sinm
mp xa
mbxw
a
pm xdxa
mxw
ab
0
sin2
dxxvxuxvxudxxvxu
xdxx
kxxxdxx kkk
cos
cossin 1
xdxxkx
xxdxx kkk
sin
1sincos 211
Integrare succesivă prin părţi ,5,3,1cu,sin14
155
4
mxa
m
mD
qaxw
mp
110 sinshchshchsin,
mmmmm
mm x
a
my
a
myDy
a
myCy
a
mBy
a
mAx
a
myYyxw
yxwyxwyxw p ,,, 0
155
4
1
sin14
sinshchshch,mm
mmmm xa
m
mD
qax
a
my
a
myDy
a
myCy
a
mBy
a
mAyxw
,5,3,1m
a
b/2
b/2
q
x
y
x = axă de simetrie pentru rezemare şi încărcare
deformată simetrică în raport cu x
se elimină termenii antisimetrici
0 mm CB
xa
m
Dm
qay
a
myDy
a
mAyxw
mmm
sin
4shch,
155
4
,5,3,1m
00
0
,2 2
2
0
2
2
2
2
y
w
x
w
y
wDM
w
by
y
12
22
2
22
2
2
sinshch2chm
mmm xa
my
a
myD
a
my
a
m
a
mDy
a
mA
a
m
y
w
02
sh22
ch22
ch
04
2sh
22ch
55
4
ba
mb
a
mb
a
mDb
a
mA
a
mDm
qab
a
mbDb
a
mA
mm
mm
ba
mm
2
mm
mm
m
Dm
qaD
Dm
qa
Dm
bqaA
ch
12
4th
ch
1
44
3
55
4
44
3
a
b/2
b/2
q
x
y
xa
my
a
my
yby
a
m
mD
qayxw
m m
mmm
sinsh
chch
2ch
th21
14,
1 m55
4
,5,3,1mÎn centrul plăcii, la 0,2
ya
x
15
2
1
5
4
max2ch
th21
14
m m
mm
m
mD
qaw
15
2
1
5
44
max2ch
th214
384
5
m m
mm
m
mD
qa
D
qaw
ba
ba
)0040647,0(00406,0
...710000000129,00000012241,00002481,0685615,04
384
5
4
max
4
68537,0:5
5
44
max
D
qawdefaţa
D
qa
D
qa
D
qaw
Navier
termeni
a
b/2
b/2
q
x
y
1
4
5
2
1
5
4
384
514
m
m
D
qa
mD
qa
D
qaw
384
5 4
max , analog grinzii simplu rezemate, dar EI D
,5,3,1m
Ex. 2 Placă plană dreptunghiulară cu încărcare distribuită liniar pe suprafaţă (presiune hidrostatică)
a
b/2
b/2
po
x
y
xa
pxp 0
Da
xp
D
xp
dx
wd p 04
4
43
2
2
3
1
50
26120cxc
xc
xc
Da
xpxwp
axx ,0
0
0
xM
w
21
30
2
2
6cxc
Da
xpD
x
wDM x
0,00 42 ccxD
apc
D
apcax
360
7,
36
30
30
1
D
xap
D
axp
Da
xpxwp
360
7
36120
30
30
50
1
sinm
mp xa
mbxw
a
pm xdxa
mxw
ab
0
sin2
xdxx
kxxxdxx kkk
cos
cossin 1
xdxxkx
xxdxx kkk
sin
1sincos 211
,3,2,1,sin12
15
1
5
40
mxa
m
mD
apxw
m
m
p
110 sinshchsin,
mmm
mm x
a
my
a
myDy
a
mAx
a
myYyxw
yxwyxwyxw p ,,, 0
a
mm
Dap
AA m
m 40
Dap
DD
m
mm 4
0
155
140 sinshch
12,
mmmmmm
m
xyyDyAmD
apyxw
a
b/2
b/2
po
x
y
0
0
,2 2
2
y
w
wb
y ba
mm
2
0shch2
0shch12
55
1
mmmmmm
mmmmm
m
DDA
DAm
m
m
m
m
mmm
m
mD
mA
ch
1
ch
1th2
55
1
55
1
155
140
0sin
12
mmm
m
yxA
mD
apxw
0cos
120
155
14
0
0
m
mmm
m
y
x xAmD
ap
x
w
D
apwax
mba m
4
0max0 0020535,0557,0
2
ctpw
w
D
apwyax
max
max40
2
10020312,00,2/la
a
b/2
b/2
po
x
y
2. PLĂCI CONTINUE
sisteme static nedeterminate se pot rezolva cu metoda forţelor
sisteme de bază care conţin plăci individuale între liniile de rezemare intermediare. liniile de rezemare intermediare sau laturile de capăt încastrate se înlocuiesc cu articulaţii acţionate de momente încovoietoare. Acestea se determină din condiţia de compatibilitate a rotirilor produse de încărcările exterioare şi de momentele încovoietoare necunoscute.
Ex. Placă continuă pe o direcţie
a
q
x
y
1 2a 3a
b
1
1
q2 q3
x 2 3x
1 2 3
y y
Sistemul de bază:
q1
q2 q3M y
1 2( ) M y( )
a1 2a 3a
yb
myM
mm
,...3,1
11 sin
yb
myM
mm
,...3,1
22 sin
Plăcile individuale:
Placa individuală i (i = 1, 2, 3) - soluţia Lévy
,...3,155
4
sin4
hchshchsm
mi
imimi
mimimi
mimi
mimi
mi yDm
bqxxDxxCxBxAw
b
mm
(a)
1 2 3
( )M y1
M y( )1
M y( )2
M y( )2
1a 2a 3a
x 2 x 3
y y y
x 1
Condiţii de margine:
0,0 111 wax
00,021
12
1
x
wMx x
yx
wDMMax
mmmx
,...3,112
1
12
111 sin,
(b)
0,0 222 wax
yx
wDMMx
mmmx
,...3,112
2
22
12 sin,0
yx
wDMMax
mmmx
,...3,122
2
22
222 sin,
(c)
0,0 333 wax
yx
wDMMx
mmmx
,...3,122
3
32
23 sin,0
00,23
32
33
x
wMax x
(d)
Condiţii de compatibilitate:
02
2
1
1
211
xaxx
w
x
w
03
3
2
2
322
xaxx
w
x
w(e)
Panoul de placă (2): (c) în (a), cu i = 2
2221
22255
42
2
2 cothch2
ch5,011ch4
sh
1aa
aaa
m
bp
aDA mmmm
mmm
mm
Dm
bpBm 55
422 4
2
1
55
422
2
2
m
mm
DDm
bpC
2122255
42
2
2 ch1
ch14
sh2
1aa
m
bp
aDD mmm
m
mm
m
(f)
Panoul de placă (1): în (f) p2 p1
a2 a1
m2 m1
m1 0
11
11155
41
1
1 coth2
ch5,011ch4
sh
1a
aaa
m
bp
aDA mm
mmm
mm
Dm
bpBm 55
411 4
Dm
bpCm 55
411 2
2
1155
41
1
1 ch14
sh2
1
m
mm
mm a
m
bp
aDD
Panoul de placă (3): în (f) p2 p3
a2 a3
m1 m2
m2 0
32
33355
43
3
3 ch2
ch5,011ch4
sh
1a
aaa
m
bp
aDA mm
mmm
mm
Dm
bpBm 55
433 4
2
2
55
433
2
2
m
mm
DDm
bpC
322355
43
3
3 ch1
ch14
sh2
1aa
m
bp
aDD mm
m
mm
m
(a) în (e) ⇒
22111
1111
11
11
1 shchchshshch mmmmmmmmmmmmmm DAaaaDaaaCaBaA
33222
2222
22
22
2 shchchshshch mmmmmmmmmmmmmm DAaaaDaaaCaBaA
(g)
m1
m2
(a) w(x,y), Mx, My
Pentru cazul de încărcare
a2
q
x
y
a a
0
1 x 2 3x1 2 3
2 2
2a
y y
01 qq
032 qq
abai 2
= 0,3
w
Mx
yM
D
ap 40053,0 D
ap 400092,0
D
ap 4000077,0
2174,0 pa
2177,0 pa
20172,0 pa
2163,0 pa
2053,0 pa
2005,0 pa
D
apw
40
max 053,02
max, 177,0 paM x 2max, 163,0 paM y
Temă: Să se compare soluţiile analitice cu cele furnizate de Metoda Elementului Finit pentru
q0 = 0,5Ng + n [kN/m2]; a = 3 + 0,1n [m]; E = 2,1e8 kN/m2; = 0,3; h = 44 mm
Ng – numărul grupei, n – numărul de ordine în grupă
3. PLĂCI PE MEDIU ELASTIC
Modelul Winkler:
kwyxq , (1)
q – reacţiunea terenului (presiunea pe teren); are sens contrar încărcării aplicate pe placă, yxp ,
k – coeficientul de pat 3LF
w – deplasarea plăcii.
Ecuaţia plăcii:
D
yxqyxpyxw
,,,22
(2)
în care yxq , depinde de w, deci este necunoscută a problemei.
(1), (2) pkwwD 22 (3)
(3) se poate rezolva cu - soluţia Navier (serii duble trigonometrice)
- soluţia Lévy (serii simple trigonometrice)
Soluţia Navier:
a
p(x,y)
x
y
k
b
11
sinsin,n
mnm
yb
nx
a
mAyxw
11
sinsin,n
mnm
yb
nx
a
mpyxp
dxdyyb
nx
a
myxp
abp
ba
mn
sinsin,
4
00
kb
n
a
mD
pA mn
mn
2
2
2
2
24
(3)
qctyxp ,
kb
n
a
mDmn
qAmn 2
2
2
2
24
2
116
forţă concentrată P într-un punct de ordonate ,
kb
n
a
mD
b
n
a
m
ab
PAmn
2
2
2
2
24
sinsin4
deformata plăcii simplu rezemate sub orice tip
de încărcare, aplicând principiul superpoziţiei
a
b
p(x,y)
x
y
k
/2
/2b
yxwyxwyxw p ,,, 0
1
0 sin,m
m xa
myYyxw
022 kwwD
yyDyyCyyByyAyY mmmmmmmmmmmmm coshcsinchcosshsinhs)(
D
k
a
m
a
mm
42
2
1
D
k
a
m
a
mm
42
2
1
1
sinm
mp xa
mbxw
a
pm xdxa
mxw
ab
0
sin2
1
sin,m
m xa
mypyxp
(3)
D
ypb
D
k
a
m
dy
bd
a
m
dy
bd mm
mm
4
2
22
4
4
2
mb
Soluţia Lévy:
a
b
q
x
y
k
/2
/2b
qctyxp ,
Soluţia particulară:
Exemplu de aplicare a soluţiei Lévy:
,5,3,1,4
mm
qpm
D
k
a
mm
D
qbm 4
14
Soluţia ecuaţiei omogene:
x este axă de simetrie pentru rezemare şi încărcare, deci şi pentru deformată
0 mm CB yyDyyAyY mmmmmmm coshcsinhs)(
Soluţia generală:
1
sincoshcsinhs,m
mmmmmmm xa
mbyyDyyAyxw
(4)
Condiţiile de margine: 2by 0,0
y
ww
(4)
2cos
2ch1
bb
bA
mm
mm
2cos
2ch
2th
2th
bb
bbbAD
mm
mmmmm
2th
2th
54
321
bbmm
2sin
2ch2
bbmmm
2cos
2sh3
bbmmm
2cos
2sh4
bbmmm
2sin
2ch5
bbmmm
Soluţii aproximative – M.E.F.
a = b = 5 m, h = 20 cm / E = 300000 daN/cm2, = 0,2 / q = 10 kN/m
2
a) placă simplu rezemată pe contur
Soluţia analitică Lévy: 001218,000406,04
max D
qaw m
Soluţia analitică Navier: 00123,00041,04
max D
qaw m
COSMOS: 001216,0max w m
b) placă pe mediu elastic, simplu rezemată pe contur (k = 20 daN/cm3)
COSMOS: 0005879,0max w m
Temă: Aplicând MEF, să se determine wmax pentru placa pătrată din beton armat, încastrată pe contur, cu
a = b = 5 + 0,1 n [m], h = 20 cm / E = 300000 daN/cm2, = 0,2 / q = 0,5Ng + n [kN/m2]
în cele două situaţii (k = 0 şi k = 10 daN/cm3).
Termen de predare teme plăci plane dreptunghiulare: S12