Seminarii 11-12

Ecuatiile fizicii matematice.

Prof. Gheorghe Oprisan

10.05.2007

1 Probleme rezolvate

♠ 1. Sa se aduca la forma canonica ecuatiile:

a) uxx + yuyy = 0

b) 2uxx + uxy − uyy + 2ux − uy = 0

c) y2uxx − 2xyuxy + x2uyy − xux − yuy = 0

d) uxx + x2uyy = 0

Solutie. a) ∆ = −y.1) Pentru y < 0 ecuatia este de tip hiperbolic si se face substitutia ξ = x + 2

√−y, η =

x− 2√−y; ecuatia devine

2uξη +1

ξ − η(uξ − uη) = 0

2) Pentru y > 0 ecuatia este de tip eliptic si se face substitutia ξ = x, η = 2√

y; se obtine

uξξ + uηη −1ηuη = 0

b) ∆ = 94 ⇒ ecuatia este de tip hiperbolic; ın urma substitutiei ξ = x− y, η = x + 2y se obtine

3uξη − uξ = 0

c) Ecuatia este de tip parabolic si se face substitutia ξ = x2 + y2, η = x; se obtine

uηη −η

ξ − η2uη = 0

d) Ecuatia este de tip hiperbolic; ın urma substitutiei ξ = y + x2

2 , η = y − x2

2 se obtine

uξη −1

4(ξ − η)(uξ − uη) = 0

♠ 2. Folosind o schimbare de variabile convenabila sa se gaseasca solutia generala a ecuatiilor:

a) uxx − a2uyy = 0; b) 3uxx − 5uxy − 2uyy + 3ux + uy = 2c) uxy + aux = 0; d) uxx − 2uxy − 3uyy = 0

1

Solutie. a) Se face schimbarea ξ = y + ax, η = y− ax; solutia generala este u(x, y) = f(x− y) +g(3x + y);b) ξ = y + 2x, η = 3y − x; solutia generala este

u(x, y) = x− y + f(x− 3y) + g(2x + y)e3y−x

7

c) Se integreaza ın raport cu x si se obtine uy + au = ϕ(y), care se integreaza prin metodavariatiei constantelor si gasim

u(x, y) = f(y) + g(x)e−ay

d) ξ = x− y, η = 3x + y ⇒ u(x, y) = f(x− y) + g(3x + y).

♠ 3. Prin metoda separarii variabilelor sa se integreze ecuatia coardei vibrante a2uxx − utt =0, 0 < x < ` cu conditiile

u(x, 0) =

{2h` x, 0 ≤ x ≤ `

22h` (`− x), `

2 < x ≤ `; ut(x, 0) = 0;

u(0, t) = 0; u(`, t) = 0.

Solutie. Se cauta solutia de forma

u(x, t) =∞∑

k=0

ak(t) sinkπx

`

si se gaseste

u(x, t) =8h

π2

∞∑n=0

(−1)n

(2n + 1)2cos

(2n + 1)πat

`sin

(2n + 1)πx

`

♠ 4. Prin metoda separarii variabilelor sa se integreze ecuatiaut − uxx = 0, 0 < x < ` cu conditiile

ux(x, 0) = 1; u(`, t) = 0; u(x, 0) = 0.

Solutie. Se face substitutia u = v+x−` si se obtine ecuatia vt−vxx = 0, 0 < x < ` cu conditiile

vx(x, 0) = 0; v(`, t) = 0; v(x, 0) = `− x.

iar v se cauta de forma

v(x, t) =∞∑

n=0

an(t) cos(2n + 1)πx

2`

In final

u(x, t) = x− ` +8`

π2

∞∑n=0

e−(2n+1)2π2

4`2t

(2n + 1)2cos

(2n + 1)πx

2`

♠ 5. Prin metoda separarii variabilelor sa se integreze ecuatia utt−uxx+2ut = 4x+8et cos x, 0 <x < π

2 cu conditiile

ux(x, 0) = 2t; u(π

2, t) = πt; u(x, 0) = cos x; ut(x, 0) = 2x.

2

Solutie. Punem u(x, t) = v(x, t) + 2xt si se obtine ecuatia vtt− vxx + 2vt = 8et cos x, 0 < x < π2

cu conditiile vx(x, 0) = v(π2 , t) = 0; v(x, 0) = cos x; vt(x, 0) = 0. Cautam solutia de forma

v(x, t) = X(x) · T (t); se obtine ecuatia

X T′ ′ −X

′ ′T + 2XT

′= 8et cos x

cu conditiile X′(0)T (t) = X

(π2

)T (t) = 0. Rezulta X

′(0) = X

(π2

)= 0 si X(x)T (0) =

cos x, X(x) T′(0) = 0. Notand T (0) = a, avem X

′ ′(x) = − 1

a cos x cu solutia X(x) = cos xa ;

apoi, punand x = 0 ın ecuatie gasim

T′ ′

+ 2T′+ T = 8aet

cu conditiile T (0) = a, T′(0) = 0 a carei solutie este

T (t) = −3ate−t − ae−t + 2aet

astfel cav(x, t) = (−3ate−t − ae−t + 2aet) cos x

♠ 6. Sa se gaseasca o functie armonica u(r, ϕ) ın interiorul discului unitate (r < 1), astfel ıncatpe frontiera sa sa avem u(1, ϕ) = cos2 ϕ.

Solutie. Solutia este de forma (ın coordonate polare)

u(r, ϕ) =∞∑

n=0

rn(an cos nϕ + bn sinnϕ)

Din egalitatea u(1, ϕ) = 12 + cos 2ϕ

2 se obtine a0 = 12 , a2 = 1

2 , an = 0, n 6= 0, n 6= 2, iar bn = 0, n ∈IN.

2 Probleme propuse

♠ 7. Sa se aduca la forma canonica ecuatiile:

a) uxx + xyuyy = 0;

b) yuxx − xuyy + ux + yuy = 0;

c) yuxx − xuyy + ux + yuy = 0;

d) e2xuxx + 2ex+yuxy + e2yuyy = 0;

e) xuxx + 2√

xyuxy + yuyy − ux = 0;

f) sin2 yuxx − e2xuyy + 3ux + 3uy = 0;

♠ 8. Folosind o schimbare de variabile convenabila sa se gaseasca solutia generala a ecuatiilor:

a) uxy + aux + buy + abu = 0;

b) uxx + 2auxy + a2uyy + ux + auy = 0;

c) uxy − xux + u = 0;

3

d) uxy + ux + yuy + (y − 1)u = 0;

e) uxy − 2ux − 3uy + 6u = 2ex+y.

Indicatie. a) Se face schimbarea u(x, y) = v(x, y)e−bx−ay; b) ξ = y − ax, η = x; c) ux = v; d)v = uy + u ⇒ u = vx + yv; e) u(x, y) = v(x, y)e3x+2y.♠ 9. Prin metoda separarii variabilelor sa rezolve urmatoarele ecuatii cu conditiile indicate:

a) ut = uxx − 4u, 0 < x < π, u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = x2 − πx;

b) ut = uxx + u− x + 2 sin 2x cos x, 0 < x <π

2, u(0, t) = 0, ux

(π

2, t

)= 1, u(x, 0) = x;

c) utt = uxx + u, 0 < x < 2, u(0, t) = 2t, u(2, t) = 0, u(x, 0) = ut(x, 0) = 0;

d) utt − uxx + 2ut = 4x + 8et cos x, 0 < x <π

2, ux(0, t) = 2t,

u(π

2, t

)= πt, u(x, 0) = cos x, ut(x, 0) = 2x.

e) utt = uxx + 1, 0 < x < 1, u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = ut(x, 0) = 0.

Indicatie. b) u(x, t) = x + t sinx + v(x, t), v(x, t) = X(x) · T (t); c) u(x, t) = v(x, t) + t(2 − x);d) u(x, t) = v(x, t) + 2xt.♠ 10. Sa se gaseasca o functie armonica u(r, ϕ) ın interiorul discului unitate (r < 1), astfel

ıncat pe frontiera sa sa avem u(1, ϕ) = f(ϕ) daca:

a) f(ϕ) = cos4(ϕ); b) f(ϕ) = cos6(ϕ) + sin6(ϕ).

♠ 11. Sa se gaseasca o functie armonica u(r, ϕ) ın coroana circulara (1 < r < 2), astfel ıncatpe frontiera sa sa avem u(1, ϕ) = 1 + cos2 ϕ, u(2, ϕ) = sin2 ϕ.

4