Sadr zaj - Prijava€¦ · Primjer 5 Koliki je bio godi snji ulog ako je za 12 godina uz godi snji ka-matnjak 9% i slo zenu, dekurzivnu godi snju kapitalizaciju kona cna vrijednost

Sadrzaj

1 Periodicne uplate i isplate 21.1 Geometrijski niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Periodicne uplate ili isplate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Konacna vrijednost periodicnih uplata ili isplata . . . . . . . . 4

1.3.1 Oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Financijske rente. Pocetna (sadasnja) vrijednost periodicnih

uplata ili isplata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Vjecna renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Zajmovi 162.1 Zajam uz nominalno jednake anuitete . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Zajam uz nominalno jednake otplatne kvote . . . . . . . . . . 212.3 Interkalarna kamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Konverzija zajma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

Poglavlje 1

Periodicne uplate i isplate

1.1 Geometrijski niz

Geometrijski niz je niz brojeva sa stalnim kvocijentom izmedu bilo kojegclana (osim prvog) i clana ispred njega. Taj se kvocijent naziva kvocijentniza i oznacava se s q.

Primjer 1 Brojevi 1,−2, 4,−8, 16,−32, 64 tvore geometrijski niz jer je

a2a1

=−2

1= −2⇒ q = −2

Opci clan geometrijskog niza:

an = a1 · qn−1

Primjer 2 Napisati 4. i 5. clan geometrijskog niza kojemu je prvi clan 3 ikvocijent −2.

Rjesenje:

an = a1 · qn−1

a4 = a1 · q3 = 3 · (−2)3 = −24

a5 = a1 · q4 = 3 · (−2)4 = 48

Zbroj prvih n clanova geometrijskog niza:

Sn = a1 ·qn − 1

q − 1

2

POGLAVLJE 1. PERIODICNE UPLATE I ISPLATE 3

Specijalno

1 + x + x2 + . . . + xn−1 =xn − 1

x− 1

Primjer 3 Odrediti zbroj prvih 10 clanova geometrijskog niza ciji je opciclan: an = 2n.

Rjeenje:a1 = 2, a2 = 22 = 4, q = a2

a1= 4

2= 2, n = 10

Sn = a1 ·qn − 1

q − 1= 2 · 210 − 1

2− 1= 2046

1.2 Periodicne uplate ili isplate

U praksi se cesto vrsi uplata ili isplata jednakih iznosa u jednakim vremen-skim razmacima. Takve se uplate ili isplate zovu periodicne.Takve se uplate ili isplate mogu vrsiti na dva nacina:

a) na pocetku termina, to su prenumerando uplate ili isplate,

b) na kraju termina, to su postnumerando uplate ili isplate.

Periodicne uplate ili isplate mogu trajati odredeno vremensko razdoblje,neoodredeno vremensko razdoblje(na primjer osobne rente koje se ko-risniku isplacuju iz nekog trajnog izvora) ili vjecno (na primjer vjecne rentekoje se korisniku isplacuju neograniceno od iznosa neke trajno jednake vri-jednosti.)Kod periodicnih uplata ili isplata izracunava se konacna vrijednost svihperiodicnih uplata ili isplata nakon odredenog broja termina ili sadasnjavrijednost periodicnih uplata ili isplata koje su se pojavljivale odredenibroj termina.


1.3 Konacna vrijednost periodicnih uplata ili

isplata

Formulu za konacnu vrijednost periodicnih uplata ili isplata mozemo izvestiuz sljedece pretpostavke:

1. uplate (isplate) su medusobno jednake,

2. uplate (isplate) se obavljaju u jednakim vremenskim intervalima,

3. razdoblje izmedu dviju uplate (isplata) jednako je razdoblju ukamacivanja,

4. Kamatnjak je nepromjenljiv tijekom cijelog vremena,

5. ukamacivanje je slozeno i dekurzivno.

1.3.1 Oznake

- R godisnja jednaka uplata (isplata),

- n broj godina ukamacivanja,

- p(G) godisnji dekurzivni kamatnjak,

- r = 1 + p100

godisnji dekurzivni kamatni faktor,

- Sn konacna vrijednost n prenumerando uplata (isplata) na kraju n−te godine,

- Sn′ konacna vrijednost n postnumerando uplata (isplata) na kraju n−

te godine.

Sn = R · rrn − 1

r − 1

Sn′ = R

rn − 1

r − 1


Primjer 4 U banku je ulagano po 24 000 kn uz godisnji kamatnjak 9% i uzgodisnju kapitalizaciju. S kojim ce se iznosom raspolagati nakon 10 godinaako se ulagalo

a) na pocetku godine,

b) na kraju godine,

p = 9%⇒ r = 1 + p100

= 1.09

R = 24 000

n = 10

a) Sn = R · rrn − 1

r − 1= 24 000 · 1.09

1.0910 − 1

1.09− 1= 3 974 470.41

b) Sn′ = R

rn − 1

r − 1= 24 000

1.0910 − 1

1.09− 1= 3 646 303.13

Primjer 5 Koliki je bio godisnji ulog ako je za 12 godina uz godisnji ka-matnjak 9% i slozenu, dekurzivnu godisnju kapitalizaciju konacna vrijednostiznosila 540 000 kn? Ulagalo se


b) na kraju godine.

n = 12

p = 9%⇒ r = 1 + p100

= 1.09

Sn = Sn′ = 540 000

a) Sn = R·rrn − 1

r − 1⇒ R =

Sn · (r − 1)

r · (rn − 1)=

540 000 · (1.09− 1)

1.09 · (1.0912 − 1)= 24 597.57

b) Sn′ = R

rn − 1

r − 1⇒ R =

Sn′ · (r − 1)

rn − 1=

540 000 · (1.09− 1)

1.0912 − 1= 26 811.15

Primjer 6 Koliko je dugo trajalo periodicno ulaganje od 35 000 kn godisnjeuz godisnji kamatnjak 7.5% ako je konacna vrijednost iznosila 400 000 kn, akapitalizacija je bila slozena, godisnja i dekurzivna? Ulagalo se



b) na kraju godine.

R = 35 000

p = 7.5%⇒ r = 1 + p100

= 1.075

Sn = Sn′ = 400 000

a) Sn = R · rrn − 1

r − 1⇒ n =

log[Sn(r−1)R·r + 1]

log r=

log[400 000(1.075−1)35 000·1.075 + 1]

log 1.075=

8.107 godina

b) Sn′ = R

rn − 1

r − 1⇒ n =

log[Sn′(r−1)R

+ 1]

log r=

log[400 000(1.075−1)35 000

+ 1]

log 1.075=

8.561 godina

Primjer 7 Investitor uplacuje 15 premija pocetkom svake godine. Nakon15 godina primit ce akumulirani iznos svojih uplata, koji je izracunat nabazi kamatne stope 6% prve 4 godine, 5% iducih 6 godina, te 4% zavrsnih 5godina. Koliki je iznos isplate ako je svaka uplata iznosila 200.

p1 = 6%⇒ r1 = 1.06, p2 = 5%⇒ r2 = 1.05,p3 = 4%⇒ r3 = 1.04,

n1 = 4, n2 = 6, n3 = 5, n = 15, R = 200

Vrijednost prvih 4 uplata na kraju 4. godine:

Sn = R · rrn − 1

r − 1⇒ S4 = 200 · 1.06

1.064 − 1

1.06− 1= 927.42

Vrijednost prvih 4 uplata, od kraja 4. od kraja 15. godine, na kraju 15.godine:

Cn = C · rn ⇒ C ′15 = S4 · rn22 · rn3

3 = 927.42 · 1.056 · 1.045 = 1 507.20

Vrijednost iducih 6 uplata, od kraja 5. do kraja 10. godine, na kraju 10.godine:

S6 = 200 · 1.051.056 − 1

1.06− 1= 1 428.40


Vrijednost tih 6 uplata na kraju 15. godine:

C ′′15 = 1 428.40 · 1.045 = 1737.87

Vrijednost zavrsnih 5 uplata, od kraja 11. do kraja 15. godine, na kraju 15.godine:

S5 = 200 · 1.041.045 − 1

1.04− 1= 1 126.60

Vrijednost tih pet uplata na kraju 15. godine:

C ′′′15 = 1 126.60

Vrijednost svih uplata na kraju 15. godine:

C15 = C ′15 + C ′′15 + C ′′′15

= 1 507.20 + 1737.87 + 1 126.60 = 4 371.67


1.4 Financijske rente. Pocetna (sadasnja) vri-

jednost periodicnih uplata ili isplata

Renta je niz od n jednakih isplata (uplata) u jednakim vremeskim inter-valima. Sve isplate(uplate) su izvjesne, neovisne o smrti ili dozivljenju nekeosobe. Takva serija se naziva renta ili financijska renta (annuity-certain).Promatraju se i rastuce i padajuce rente. Ukoliko isplate nisu izvjesne iovise o smrti ili dozivljenju, radi se o zivotnoj renti (contingent annuity).Ako placanje renti pocinje odmah , zovemo je neposrednom rentom, a akopocinje nakon izvjesnog vremena, onda je to odgodena renta. Vise jednakihsvota R koje se javljaju u jednakim vremenskim razmacima zamjenjujemojednom svotom koja dospijeva odmah, tj. izracunavamo im pocetnu vrijed-nost. Dakle, svote sa kasnijim dospijecima svodimo na ranije dospijece, paih moramo diskontirati. Ovisno o ekonomskom problemu kojeg razmatramosvote R mogu biti: dugovanja, isplate, ulozi itd. Razlikujemo slucajeve kadasvote R dospijevaju krajem ili pocetkom termina, tj. da li su postnumerandoili prenumerando svote.Pocetnu cemo vrijednost takvih uplata (isplata) izvesti uz iste pretpostavke(1)-(5) koje smo koristili kod izracunavanja konacne vrijednost periodicnihuplata ili isplata, a uvodimo i nove oznake:

- An pocetna vrijednost n postnumerando uplata (isplata),

- An′ pocetna vrijednost n prenumerando uplata (isplata).

Pocetna vrijednost postnumerando uplata (isplata):

An = R · rn − 1

rn(r − 1)

Pocetna vrijednost prenumerando uplata (isplata):

An′ = R · rn − 1

rn−1(r − 1)

Primjer 8 Koliki iznos valja danas uloziti u banku da se osigura pet godisnjihpostnumerando isplata po 30 000 kn? Obracun kamata je godisnji, slozen idekurzivan, uz godisnji kamatnjak 4%

n = 5


R = 30 000

p = 5%⇒ r = 1 + p100

= 1.05

An =?

An = R · rn − 1

rn(r − 1)= 30 000 · 1.055 − 1

1.055(1.05− 1)= 129 884.30 kn

Primjer 9 Koliki se jednaki godisnji iznosi mogu podizati krajem svake go-dine tijekom iduce cetiri godine, na temelju ulozenog iznosa od 60 000 kn?Obracun kamata je godisnji, slozen i dekurzivan, uz godisnji kamatnjak 3.5%

n = 4

A4 = 60 000

p = 3.5%⇒ r = 1 + p100

= 1.035

R =?

An = R · rn − 1

rn(r − 1)⇒ R = An ·

rn(r − 1)

rn − 1

R = 60 000 · 1.0354(1.035− 1)

1.0354 − 1= 16 .335.07 kn

Primjer 10 Koliko ce se godina, krajem svake godine podizati po 8 734.18kn,a na temelju jednokratne uplate od 40 000kn? Obracun kamata je godisnji,slozen i dekurzivan, uz godisnji kamatnjak 3%

R = 8 734.18

An = 40 000

p = 3%⇒ r = 1 + p100

= 1.03

n =?

An = R · rn − 1

rn(r − 1)⇒ n =

log RR−(r−1)An

log r

n =log 8 734.18

8 734.18−(1.03−1)·40 000

log 1.03= 5


Primjer 11 Koliki iznos valja danas uloziti u banku da se osigura sest godisnjihprenumerando isplata po 10 000 kn? Obracun kamata je godisnji, slozen idekurzivan, uz godisnji kamatnjak 4.5%

n = 6

R = 10 000

p = 4.5%⇒ r = 1 + p100

= 1.045

An′ =?

An′ = R · rn − 1

rn−1(r − 1)= 10 000 · 1.0456 − 1

r5(1.045− 1)= 53 899.77 kn

Primjer 12 Koliki se jednaki godisnji iznosi mogu podizati pocetkom svakegodine tijekom iducih pet godina, na temelju ulozenog iznosa od 65 000 kn?Obracun kamata je godisnji, slozen i dekurzivan, uz godisnji kamatnjak 5%

n = 5

An′ = 65 000

p = 4%⇒ r = 1 + p100

= 1.04

R =?

An′ = R · rn − 1

rn−1(r − 1)⇒ R = An

′ · rn−1(r − 1)

rn − 1

R = 65 000 · 1.045−1(1.04− 1)

1.045 − 1= 14 039.19 kn

Primjer 13 Koliko ce se godina, pocetkom svake godine podizati po 12 966.73kn,a na temelju jednokratne uplate od 50 000kn?Obracun kamata je godisnji,slozen i dekurzivan, uz godisnji kamatnjak 2.5%

R = 12 966.73

An′ = 50 000

p = 2.5%⇒ r = 1 + p100

= 1.025


n =?

An′ = R · rn − 1

rn−1(r − 1)⇒ n =

log R·rR·r−(r−1)·An

′

log r

n =log 12 966.73·1.025

12 966.73·1.025−(1.025−1)·50 000

log1.25= 4


1.5 Vjecna renta

Koliko se mora danas uloziti ako se zeli na temelju tog jednog iznosa vjecnopodizati nominalno jednake postnumerando iznose R, uz pretpostavku da jeobracun kamata slosz, godisnji i dekurzivan uz primjenu fiksnog godisnjegkamatnjaka p%?

Vidjeli smo da pocetna vrijednost n nominalno jednakih postnumerandoiznosa R,uz pretpostavku da je obracun kamata sloszen, godisnji i dekurzivanuz primjenu fiksnog godisnjeg kamatnjaka p% jednaka:

An = R · rn − 1

rn(r − 1)

Buduci da se trazi vjecna renta, treba ispitati sto se s gornjom formu-lom dogada kada broj n nominalno jednakih postnumerando iznosa rasteu beskonacnost:

A∞ = limn→∞

An = limn→∞

(R · rn − 1

rn(r − 1))

A∞ =R

r − 1limn→∞

rn − 1

rn

A∞ =100R

p

Primjer 14 Kolika je sadasnja vrijednost vjecne rente od 5 000 kn kojadospijeva na kraju svake godine ako je godisnji kamatnjak 10%?

Rjesenje:R = 5 000, p = 10%, A∞ =?

A∞ =100R

p=

100 · 5 000

10= 50 000

Primjer 15 Kolika je sadasnja vrijednost obicnih dionica kojima se ost-varuje fiksna dividenda od 8 000 kn na kraju svake godine? Dividenda traje

a) 20 godina,

b) vjecno,


a primjenjuje se godisnji kamatnjak 8%.

Rjesenje:R = 8 000, p = 8%⇒ r = 1.08, A20, A∞ =?

a)

An = R · rn − 1

rn(r − 1)= 8 000 · 1.0820 − 1

1.0820(1.08− 1)= 78 545.18

b)

A∞ =100R

p=

100 · 8 000

8= 100 000.00

.

Primjer 16 Trzisna vrijednost trosobnog stana u Opatiji je 2 000 000kn.Ako poslovne banke na orocena sredstva placaju godisnje kamate 8%, odreditiminimalnu godisnju najamninu za taj stan.

A∞ =100R

p⇒ R =

p · A∞100

R =8 · 2 000 000

100= 160 000 kn

Primjer 17 Je li povoljnije prodati trosobni stan u Opatiji kojemu je trzisnavrijednost 2 000 000kn i dobiveni novac orociti u poslovnoj banci koja naorocena sredstva placa godisnje kamate 6% ili stan dati u najam za godisnjuneto najamninu 140 000 kn?

Ako vlasnik proda stan i dobiveni novac oroci u banci uz 6% godisnje, mozeracunati s godisnjom rentom

R =6 · 2 000 000

100= 120 000 kn,

pa mu se uz navedene uvjete vise isplati stan dati u najam.

Primjer 18 Za prodaju kuce stigle su tri ponude:

a) kupac A nudi 250 000 EUR odmah,

b) kupac B nudi 100 000 EUR odmah i 200 000 EUR na kraju desete go-dine,


c) kupac C nudi krajem svake godine kroz deset godina po 30 000 EUR.

Koja je ponuda najpovoljnija ako je godisnja kamatna stopa 5%? Obracunkamata je godisnji i dekurzivan.

a) A . . . C10 = 407 223.66,

b) B . . . C10 = 362 889.463,

c) C . . . C10 = 377 336.78.

Ponuda A je najpovoljnija.

Primjer 19 Neka je osoba uplacivala u banku pocetkom svake godine po5 000 kn kroz pet godina. Koliko ce ta osoba imati u banci na kraju de-sete godine ako je banka primjenjivala godisnju kamatnu stopu 6%. Obracunkamata je godisnji i dekurzivan.

Primjer 20 Pocetkom svake godine, kroz pet godina, ulagano je u bankuiznos od 15 000 kn. Koji ce iznos biti u banci na kraju seste godine, ako jegodisnja kamatna stopa 5%, a obracun kamata polugodisnji i dekurzivan?

(Rez: 91380.13)

Primjer 21 Koji bi iznos trabalo ulagati u banku pocetkom svakg mjesecakroz jedan kvartal da bi se na kraju trece godine moglo podici 100 000 kn?Obracun kamata je mjesecni i dekurzivan, a godisnja kamatna stopa 6.96%.

a) Koristite relativnu kamatnu stopu.

b) Koristite konformnu kamatnu stopu.

Rez:

a) 27 224.93

b) 27 393.35.

Primjer 22 Neka osoba ulaze, pocevsi od danas, pet puta po 50 000 kn pocetkomsvake godine. S kojim ce iznosom raspolagati na kraju sedme godine ako jekrajem druge godine podigla 100 000 kn? Godisnja kamatna stopa je 6%, aobracun kamata godisnji i dekurzivan.


(Rez:201 870.84)

Primjer 23 Osoba ulaze, pocevsi od danas, tri puta po 10 000 kn pocetkomsvake godine. Na kraju prve godine osoba je podigla odredeni iznos. Koji je toiznos ako je osoba na kraju cetvrte godine raspolagala s 20 000 kn? Godisnjakamatna stopa je 6%, a obracun kamata godisnji i dekurzivan. (Rez: 13 241)

Poglavlje 2

Zajmovi

Zajam je poseban imovinsko pravni odnos izmedu davatelja zajma (kredi-tora) i korisnika zajma (zajmoprimatelja) koji se temelji na ugovoru o zajmu.U ugovoru se, izmedu ostalog, odreduje:

(a) iznos zajma,

(b) kamatnjak,

(c) nacin obracuna kamata,

(d) vrijeme otplate,

(e) nacin otplate.

Kada je ugovor o zajmu zakljucen, kreditor isplacuje ugovoreni iznos ko-risniku zajma odjednom ili u obrocima (transama). U pravilu, ako se radio zajmu namijenjenom financiranju neke investicije, zajam se isplacuje uobrocima prema odvijanju radova, pristizanju i montiranju opreme, odnosnonakon sto su ispunjeni dogovoreni uvjeti.

Zajmoprimatelj vraca odobreni iznos otplatama, koje se nazivaju anu-iteti jer su to nekad bile u pravilu godisnje otplate.Ako zajmoprimatelj ko-risti zajam u obrocima, kreditor svaki obrok ukamacuje od trenutka doznakeobroka do trenutka kada pocinje redovito vracanje zajma. Zbog toga zajmo-primatelj placa interkalarne kamate.Anuitet je periodicni iznos koji placa zajmoprimatelj, a sastoji se od dvadijela: otplatne kvote (dio kojim se otplacuje osnovni dug, ukljucujuci iinterkalarnu kamatu ako nije prije placena) i slozenih kamata (dio kojim

16

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 17

se placa naknada za koristenje ustupjenih financijskih sredstava).

Otplata (amortizacija) vodi se pregledno prema rokovima otplate i zasvaki se rok racuna nominalni iznos anuiteta, kamata, otplatne kvote i os-tatka duga. Takav pregled u formi tablice naziva se plan otplate. Planotplate je za zajmoprimatelja pregled iznosa i rokova njegovih obveza, a zakreditora plan priljeva sredstava od odobrenih zajmnova i kamata na ta sred-stva.Kamate se najcesce racunaju dekurzivno (na kraju obracunskog razdoblja).Anuiteti se mogu placati pocetkom svakog razdoblja (prenumerando anu-iteti) ili na kraju svakog razdoblja (postnumerando anuiteti).

Uobicajeno je, kada je plan otplate gotov, da se provode sljedece kontrole:

(a) otplatna kvota zadnjeg razdoblja jednaka je ostatku duga iz prethodnograzdoblja,

(b) zbroj svih otplatnih kvota jednak je iznosu zajma,

(c) zbroj svih otplatnih kvota i svih kamata jednak je zbroju svih anuiteta.

Postoje razliciti modeli otplate zajma.

2.1 Zajam uz nominalno jednake anuitete

Najcesce primjenjivani model otplate zajma je model otplate zajma nom-inalno jednakim anuitetima. Pretpostavke su modela:

(a) obracun kamata je slozen i dekurzivan,

(b) anuiteti su (nominalno) jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskimjedinicama krajem razdoblja (oznaka a),

(c) razdoblje ukamacivanja jednako je jedinici vremenskog dospijeca izmeduanuitetta,

(d) kamatnjak je konstantan tijekom razdoblja otplate.


Za izgradnju ovog modela koriste se oznake:

(a) C = C0− nominalni iznos zajma,

(b) n− broj razdoblja otplate zajma,

(c) Ik− iznos kamata na kraju k− tog razdoblja,

(d) Rk− iznos otplatne kvote nakraju k− tog razdoblja,

(e) Ck− ostatak duga na kraju k− tog razdoblja razdoblja,

(f) p− konstantni kamatnjak za obracunsko razdoblje.

Formule:

C =a(rn − 1)

rn(r − 1)

a = C · rn(r − 1)

rn − 1

Ck = a · rn−4 − 1

rn−k(r − 1)

Rk = Rk−1 · r = R1 · rk−1 = C0 ·rk−1(r − 1)

rn − 1

Primjer 24 Zajam je odobren poduzecu na 10 godina uz 8% slozenih godisnjihdekurzivnih kamata i otplacuje se nominalno jednakim anuitetima krajem go-dine u iznosu od po 100 000 kn. Odrediti iznos zajma.

Rjesenje:a = 100 000, n = 10, p = 8%, C =?

C =a(rn − 1)

rn(r − 1)=

100 000 · (1.0810 − 1)

1.0810(1.08− 1)= 671 008.14

Primjer 25 Zajam u iznosu od 200 000 kn odobren je poduzecu na 10 god-ina uz 8% slozenih godisnjih dekurzivnih kamata i otplacuje se nominalno jed-nakim anuitetima krajem godine. Odrediti iznos nominalno jednakog godisnjeganuiteta.

Rjesenje:C = 200 000, n = 10, p = 8%, a =?

a = C · rn(r − 1)

rn − 1= 200 000 · 1.0810(1.08− 1)

1.0810 − 1= 29 805.90


Primjer 26 Zajam od 200 000 kn odobren je poduzecu na 5 godina uz 8%slozenih godisnjih dekurzivnih kamata i placanjem jednakih anuiteta krajemgodine. Odredite iznos nominalno jednakog godisnjeg anuiteta. Sastavite planotplate.

Rjesenje:C = 200 000, n = 5, p = 8%, a =?

a = C · rn(r − 1)

rn − 1= 200 000 · 1.085(1.08− 1)

1.085 − 1= 50 091.29

k ak Ik Rk Ck

0 − − − 200 000.001 50 091.29 16 000.00 34 091.29 165 908.712 50 091.29 13 272.69 36 818.59 129 090.123 50 091.29 10 327.21 39 764.08 89 326.044 50 091.29 7 146.08 42 945.21 46 380.835 50 091.29 3 710.46 46 380.83 −Σ 250 456.45 50 456.45 200 000.00 −

I1 = 200 000 · 0.08 = 16 000, R1 = a− I1 = 34 091.29,C1 = C −R1 = 165 908.71I2 = 165 908.71 · 0.08 = 13 272.69, R2 = a− I2 = 36 818.59,C2 = C1 −R2 = 129 090.12I3 = 129 090.12 · 0.08 = 10 327.21, R3 = a− I3 = 39 764.08,C3 = C2 −R3 = 89 326.04I4 = 89 326.04 · 0.08 = 7 146.08, R4 = a− I4 = 42 945.21,C4 = C3 −R4 = 46 380.83C5 = 0.00, I5 = 42 945.21 · 0.08 = 3 710.46, a = I5 + R5 = 50 091.29

Primjer 27 Zajam od 300 000 kn otplacuje se 7 godina jednakom anuitetimakrajem mjeseca, uz dekurzivno obracunavanje kamata uz mjesecnu kamatnustopu 0.5%. Prikazte detaljno plan otplate za zadnja 3 mjeseca otplate

Rjesenje:

C0 = 300 000, n = 7 · 12 = 84, p = 0.4%⇒ r = 1.005, a =?


k=81=84-3

a = C · rn(r − 1)

rn − 1= 300 000 · 1.00584(1.005− 1)

1.0884 − 1= 4 382.57

Ck = a · rn−4 − 1

rn−k(r − 1)

C81 = 4 382.57 · r84−81 − 1

r84−81(r − 1)4 382.57 · 1.0053 − 1

1.00531(1.005− 1)= 13 017.32

k ak Ik Rk Ck

81 − − − 13 017.3282 4 382.57 65.09 4 317.84 8 699.8483 4 382.57 43.50 4 399.07 4 360.7784 4 382.57 21.80 4 360.77 0.00


2.2 Zajam uz nominalno jednake otplatne kvote

Jedan od modela otplate zajma promjenljivim anuitetima je model otplatekod kojeg su otplatne kvote jednake. Pretpostavke modela:

(a) obracun kamata je slozen i dekurzivan,

(b) otplatne kvote su jednake, a anuiteti dospijevaju u jednakim vremen-skim jedinicama krajem razdoblja,

(c) razdoblje ukamacivanja jednako je jedinici vremenskog dospijeca izmeduanuiteta,

(d) kamatnjak je stalan tijekom cijelog razdoblja otplate zajma.

Za izgradnju ovog modela koriste se oznake:

(a) C = C0− nominalni iznos zajma,

(b) n− broj razdoblja otplate zajma,

(c) Ik− iznos kamata na kraju k− tog razdoblja,

(d) R− iznos nominalno jednakih otplatnih kvota,

(e) ak− niznos anuiteta na kraju k− tog razdoblja razdoblja,

(f) Ck− ostatak duga na kraju k− tog razdoblja razdoblja,

(g) p− konstantni kamatnjak za obracunsko razdoblje.

Formule:C = R · n

R =C

n

Ck = C(1− k

n)

ak =C

n((n− k + 1)

p

100+ 1)

n∑k=1

Ik =C · p200

(n + 1)


Primjer 28 Zajam u iznosu 100 000 kn odobren je poduzecu na pet godinauz 10% godisnji dekurzivnih kamata i placanjem anuiteta krajem godine, pricemu su nominalno jednake otplatne kvote. Izracunati otplatne kvote i sas-taviti plan otplate.

Rjesenje:C = 100 000, n = 5, p = 10%, R =?

R =C

n=

100 000

5= 20 000

I1 =C0 · p100

=100 000 · 10

100= 10 000, a1 = I1 + R = 20 000 + 20 000 = 40 000

C1 = C0 −R = 100 000− 20 000 = 80 000

I2 =C1 · p100

=80 000 · 10

100= 8 000, a2 = I2 + R = 8 000 + 100 000 = 18 000

C2 = C1 −R = 80 000− 20 000 = 60 000

I3 =C2 · p100

=60 000 · 10

100= 6 000, a3 = I3 + R = 6 000 + 100 000 = 16 000

C3 = C2 −R = 60 000− 20 000 = 40 000

I4 =C3 · p100

=40 000 · 10

100= 4 000, a4 = I4 + R = 4 000 + 100 000 = 14 000

C4 = C3 −R = 40 000− 20 000 = 20 000

I5 =C4 · p100

=20 000 · 10

100= 2 000, a5 = I2 + R = 2 000 + 100 000 = 12 000

C5 = C4 −R = 20 000− 20 000 = 0


k ak Ik Rk Ck

0 − − − 100 000.001 30 000.00 10 000.00 20 000.00 80 000.002 28 000.00 8 000.00 20 000.00 60 000.003 26 000.00 6 000.00 20 000.00 40 000.004 24 000.00 4 000.00 20 000.00 20 000.005 22 000.00 2 000.00 20 000.00 −Σ 130 000.00 30 000.00 100 000.00 −


2.3 Interkalarna kamata

Interkalarna kamata je kamata koju zajmoprimatelj placa na odobrenasredstva za razdoblje od trenutka doznake tih sredstava do trenutka kada seona pocinju otplacivati. Interkalarna kamata se moze:

(a) otplatiti odjednom, u trenutku pocetka otplate zajama,

(b) dodati iznosu odobrenog zajma u trenutku pocetka otplacivanja zajma.

Primjer 29 Zajam od 450 000 kn odobren je poduzecu na deset godina, uzgodisnji kamatnjak 10%, placanje jednakih anuiteta krajem godine i pocek oddvije godine. Obracun kamata je slozen, godisnji i dekurzivan. Izracunatianuitet ako se interkalarne kamate

(a) placaju odmah,

(b) dodaju iznosu zajma.

Rjesenje:

C0 = 450 000, n = 10, p(G) = 10⇒ r = 1 + 10100

= 1.1Najprije izracunamo vrijednost zajma nakon dvije godine

C2 = C0 · r2 = 450 000 · 1.12 = 544 500 kn

Interkalarne kamate:

I = C2 − C0 = 544500− 450 000 = 94 500

(a) Interkalarne kamate se placaju odmah, pa je C0 = 450 000. Racunamoanuitet za preostalih osam godina.

a = C · rn−2(r − 1)

rn−2 − 1= 450 000 · 1.18(1.1− 1)

1.18 − 1= 84 349.81

(b) Interkalarne se kamate dodaju iznosu zajma, pa je sad ”novi” zajamC2 = 544 500 kn, a anuitet za preostalih osam godina

a = C2 ·rn(r − 1)

rn − 1= 544 500 · 1.18(1.1− 1)

1.18 − 1= 102 063.27 kn


Primjer 30 Poduzecu je odobren zajam od 500 000 kn pod sjedecim uvje-tima:

- pocetkom je prve godine doznaceno 300 000 kn,

- pocetkom je druge godine doznaceno 200 000 kn.

Rok otplate zajma je osam godina, uz godinji kamatnjak 12% i placanje anu-iteta krajem godine, pocevsi od cetvrte. Obracun kamata je slozen, godisnji idekurzivan. Izracunati anuitet ako se interkalarne kamate

(a) placaju odmah,

(b) dodaju iznosu zajma.

Rjesenje:

C0 = 500 000, C0 = 500 000n = 8, p(G) = 12⇒ r = 1 + 12100

= 1.12Najprije izracunamo vrijednost doznaka na kraju trece godine.

C3 = 300 000·r3+200 000·r2 = 300 000·1.123+200 000·1.122 = 641 300 kn

Interkalarne kamate:

I = C3 − (C0 + C1) = 641 300− 500 000 = 141 300

(a) Interkalarne kamate se placaju odmah, pa je C0 = 500 000. Racunamoanuitet za preostalih pet godina.

a = 500 000 · 1.125(1.12− 1)

1.125 − 1= 138 704.87 kn

(b) Interkalarne se kamate dodaju iznosu zajma, pa je sad ”novi” zajamC3 = 641 300 kn, a anuitet za preostalih pet godina

a = 641 300 · 1.125(1.12− 1)

1.125 − 1= 177 902.86 kn


2.4 Konverzija zajma

Konverzija zajma je svaka promjena uvjeta otplate zajma. U trenutku kon-verzije zajma, izracuna se ostatak duga u skladu s prvobitno ugovorenimuvjetima.

Primjer 31 Zajam od 400 000 kn odobren je poduzecu na tri godine uz 12%godisnjih kamata i placanje jednakih anuiteta krajem godine. Nakon uplatedrugog anuiteta, vrijeme otplate produzava se za godinu dana. Sastaviti planotplate. Obracun kamata je godisnji, slozen i dekurzivan.

Rjesenje:

C0 = 400 000, n = 3, p(G) = 12⇒ r = 1 + 12100

= 1.12

a = C0 ·rn(r − 1)

rn − 1= 400 000 · 1.123(1.12− 1)

1.123 − 1= 166 539.59

Prva su dva anuiteta jednaka 166 539.59 kn. Na kraju druge godine mijenjajuse uvjeti, pa racunamo ostatak duga na kraju druge godine. Po formuli

Ck = a · rn−4 − 1

rn−k(r − 1)

dobivamo

C2 = a · rn−2 − 1

rn−2(r − 1)= a · r3−2 − 1

r3−2(r − 1)

C2 = 166 539.59 · 1.12− 1

1.12(1.12− 1)= 148 696.06

To je sada novi zajam C0′ na temelju kojeg racunamo novi anuitet. Novi

podaci su:

C0′ = 148 696.06, n′ = 2, p(G) = 12⇒ r = 1 + 12

100= 1.12

Anuitet za preostale dvije godine:

a′ = C0′ · r

2(r − 1)

r2 − 1= 148 696.06 · 1.122(1.12− 1)

1.122 − 1= 87 983.18


Otplatna tablica:

- Kraj 0. godine: C0 = 400 000

- Kraj 1. godine:

I1 =400 000 · 12

100= 48 000, R1 = a−I1 = 166 539.59−48 000 = 118 539.59

C1 = C0 −R1 = 400 000− 118 539.59 = 281 460.41

- Kraj 2. godine:

I2 =281 460.41 · 12

100= 33 775.25, R2 = a−I2 = 166 539.59−33 775.25 = 132 764.34

C2 = C1 −R2 = 281 460.41− 132 764.34 = 148 696.07

U ovom trenutku mijenjaju se uvjeti, pa je novi anuitet a′ = 87 983.18 kn.

- Kraj 3. godine:

a3 = a′, I3 =148 696.07 · 12

100= 17 843.53

R3 = a′ − I3 = 87 983.18− 17 843.53 = 70 139.65

C3 = C2 −R3 = 148 696.07− 70 139.65 = 78 556.42

- Kraj 4. godine (zadnja godina otplate):

I4 = R4 = C3 = 78 556.42, I4 =78 556.42 · 12

100= 9426.77

a4 = R4 + I4 = 78 556.42 + 9426.77 = 87 983.19

k ak Ik Rk Ck

0 − − − 400 000.001 166 539.59 48 000.00 118 539.59 118 539.592 166 539.59 33 775.25 132 764.34 148 696.073 87 983.18 17 843.53 70 139.65 78 556.424 87 983.19 9426.77 78 556.42 0.00

Σ 509 045.54 109 045.55 400 000.00 −

Documents

Sadr zaj - Prijava€¦ · Primjer 5 Koliki je bio godi snji ulog ako je za 12 godina uz godi snji ka-matnjak 9% i slo zenu, dekurzivnu godi snju kapitalizaciju kona cna vrijednost